二面角及其度量
高中数学二面角
高中数学二面角
摘要：
1.二面角的定义
2.二面角的性质
3.二面角的应用
4.结论
正文：
一、二面角的定义
二面角是由两个共享一个公共顶点的平面角所组成的角，它的度量通常使用两个平面角的补角。
二面角通常用希腊字母B-A-C 表示，其中A、B、C 是平面角A-bc、B-ac、C-ab 的补角。
二、二面角的性质
1.二面角的度量是锐角或钝角，它的度量范围是0°到180°。
2.二面角的度量等于它的两个组成平面角的补角之和。
3.二面角的度量与它的组成平面角的度量一一对应。
4.如果两个二面角共享一个公共顶点，并且它们的度量之和为180°，则这两个二面角是互补二面角。
三、二面角的应用
二面角在三维几何中有广泛的应用，特别是在解决立体几何问题时。
例如，在求解立体几何中的表面角、交角、投影角等问题时，常常需要使用二面角的概念和性质。
四、结论
二面角是三维几何中的一个重要概念，它具有丰富的性质和应用。
空间向量应用-二面角
04
二面角的应用
在几何学中的应用
向量投影
在求解向量的投影时，可以利用二面 角的概念，通过计算向量在某一平面 上的投影长度，来得到该向量与该平 面的夹角。
向量夹角
二面角的概念可以用于计算两个向量 的夹角，通过比较两个向量的夹角与 二面角的夹角，可以判断两个向量的 方向关系。
在物理学中的应用
力的合成与分解
建筑设计
在建筑设计中，利用二面角的概念可以确定建筑物的位置、方向和高度等信息， 以保证建筑物的安全和稳定性。
05
空间向量与二面角的关系
向量与二面角的关联
向量是既有大小又有方向的量，其大 小和方向可以用来表示二面角的大小 和方向。
二面角的大小和方向可以通过两个向 量的夹角来描述，这个夹角就是二面 角的平面角。
二面角的向量定义
总结词
二面角的向量定义是通过向量的投影 和叉积来定义的，它是一个标量值， 其大小等于两个向量的叉积的绝对值 再除以两向量的模的乘积。
详细描述
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来 描述的。设两非零向量a和b分别属于两个半平 面，那么二面角θ的大小可以用公式 ∣a×b∣/∣a∣∣b∣表示，其中a×b表示向量a和b 的叉积，∣a∣和∣b∣分别表示向量a和b的模。这 个标量值的大小就等于二面角θ的大小。
二面角的性质
总结词
二面角具有一些重要的性质，如二面角的取值范围是[0,π]，二面角的大小与观察方向有关，以及二面角的补角等 于其平面角的补角等。
详细描述
首先，二面角的取值范围是[0,π]，这是由其几何定义直接得出的。其次，二面角的大小与观察方向有关，即观察 方向的不同可能导致二面角的大小发生变化。最后，二面角的补角等于其平面角的补角，这是由向量的性质得出 的。
二面角及其度量
3.2.4二面角及其度量一、两个平面的位置关系1、平面与平面平行如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行， βα//，读作：平面α和平面β互相平行①和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段。
两个平行平面的公垂线段都相等，把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。
2、 相交平面如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交。
这条公共直线叫做这两个平面的交线。
平面α与平面β相交，记作l =βα ，读作：平面α和平面β的交线是a ①两个平面互相垂直一般地，两个平面相交，如果他们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
平面α与平面β垂直，记作βα⊥，读作：平面α和平面β互相垂直二、二面角及其度量1、二面角平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作βα--l ，如果α∈A ，β∈B ，二面角也可以记作B l A --。
2、二面角的平面角（二面角的度量方法）在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线l OA ⊥，l OB ⊥，则AOB ∠叫做二面角βα--l 的平面角。
注意：（1）这个平面角与点O 在l 上的位置无关，因为：等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
(2)二面角的大小可以用它的平面角来度量。
二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度。
（3）二面角的大小，也就是二面角的平面角的范围是]180,0[(4)平面角是直角的二面角叫做直二面角。
互相垂直的平面也就是相交成直二面角的两个平面。
三、二面角的平面角的计算公式平面βα,的法向量分别为,，二面角βα--l 的平面角为θ二面角βα--l 的大小为><=≤≤,cos cos ),0(θπθθ必须记住这个公式 特例、21,n n 分别是平面βα,的法向量 21////n n ⇔重合与或βαβα02121=⋅⇔⊥⇔⊥n n n n βα例题1、已知在一个二面角的棱上有两个点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱AB ，且AB ＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ， CD 172= cm ，则这个二面角的度数是____ 60________4．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．90°解析：cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11·2＝22， 即〈m ，n 〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.答案：C3、（2011辽宁理科）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD 。
高考二面角知识点
高考二面角知识点高考，作为中国学生普遍面临的一道重要关卡，一直备受关注。
在高考数学中，有一部分知识点常常被称为“二面角”，是高考数学中的热点内容之一。
本文将就高考二面角的相关知识点进行简要介绍。
一、二面角的定义在几何学中，二面角是指由两个平面之间的夹角所围成的角。
具体而言，如果平面A与平面B相交，而相交的线段落在一个确定的平面内，那么这个线段所决定的角就是二面角。
二面角主要应用于空间解析几何和三角函数的推导中。
二、二面角的性质1. 同一平面内的二面角之和为360度。
这是因为，在同一平面内，两个相对角之和为180度，而二面角包括了两个相对角，所以其和为360度。
2. 平行平面之间的二面角相等。
如果两个平面是平行的，那么它们之间的二面角是相等的。
这是因为平行平面切割空间时，对应于同一线段的两个二面角相等。
3. 二面角的度量可以通过夹角的正弦函数来求解。
具体而言，设夹角为α，则二面角的度数可以用sinα来表示。
三、应用举例1. 体积计算在几何体的体积计算中，二面角的概念经常被使用。
例如，当计算棱柱体、棱锥体或棱台的体积时，我们可以通过计算相邻面间的二面角来推导出相应的公式。
2. 导线走向在电力输送系统的规划中，经常需要考虑导线的走向问题。
二面角可以用来描述导线走向的角度，从而有助于确定合理的导线架设方案。
3. 测量建筑高度当我们需要测量建筑物的高度时，可以利用二面角的概念进行计算。
通过在不同位置测量建筑物与地平线之间的夹角，结合三角函数的计算，我们可以推断出建筑物的高度。
四、解题技巧1. 注意平行关系在解决二面角相关问题时，要特别注意平行关系。
对于平行平面，二面角是相等的；对于平行直线与平面的交线，其二面角也是相等的。
2. 运用三角函数如前所述，二面角的度数可以用正弦函数来表示。
运用三角函数的性质，可以将二面角的计算与角度之间的转换更加灵活。
总结：高考数学中涉及的二面角知识点不仅仅是理论内容，还有其在实际问题中的应用。
19-20版 第3章 3.2 3.2.4 二面角及其度量
3．2.4二面角及其度量学习目标核心素养1.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．(重点)2.掌握求二面角的方法、步骤．(重点、难点) 1.通过学习二面角的概念及二面角的平面角，培养学生的数学抽象素养.2.借助求二面角的方法和步骤的学习，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.1．二面角的概念(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作α-l-β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A-l-B，也可记作2∠l，二面角的范围为[0，π]．(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角．思考：如何找二面角的平面角？[提示](1)定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识．(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角．(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致．2．用向量的夹角度量二面角设二面角的大小为θ，n 1，n 2为两个非零向量．(1)当n 1∥α，n 2∥β，n 1⊥l ，n 2⊥l ，且n 1，n 2的方向分别与半平面α，β的延伸方向相同，则θ＝〈n 1，n 2〉．(2)当n 1⊥α，n 2⊥β，则θ＝〈n 1，n 2〉或θ＝π－〈n 1，n 2〉．1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定C [由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或互补．]2．三棱锥A -BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π3，则二面角A -BD -C 的大小为( )A.π3B.2π3C.π3或2π3D.π6或π3C [当二面角A -BD -C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π3；当二面角A -BD -C 为钝角时，它应等于π〈n 1，n 2〉＝π－π3＝2π3.]3．已知点A (1,0,0)，B (0,2,0)，C (0,0,3)，则平面ABC 与平面xOy 所成锐二面角的余弦值为________．27 [由题得AB →＝(－1,2,0)，AC →＝(－1,0,3)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，知⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，－x ＋3z ＝0.令x ＝2，得y ＝1，z ＝23，则平面ABC的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，23.平面xOy 的一个法向量为OC →＝(0,0,3)．由此易求出所求锐二面角的余弦值为|cos θ|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪OC →·n |OC →|·|n |＝23×73＝27.]用定义法求二面角【例1】 如图所示，ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A -VB -C 的余弦值．[思路探究] 先判断△VAB ，△VBC 为等边三角形，取VB 的中点E ，连接AE ，CE ，再证明∠AEC 是二面角的平面角．[解] 取VB 的中点为E ， 连接AE ，CE .∵VA ＝VB ＝VC ＝AB ， ∴AE ⊥VB ，CE ⊥VB .∴∠AEC 是二面角A -VB -C 的平面角． 设AB ＝a ，连接AC ，在△AEC 中，AE ＝EC ＝32a ，AC ＝2a ，由余弦定理可知：cos ∠AEC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－(2a )22×32a ×32a＝－13，∴所求二面角A -VB -C 的余弦值为－13.用定义求二面角的步骤(1)作(找)出二面角的平面角(作二面角时多用三垂线定理)； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角.1．如图所示，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.(1)证明AB⊥平面VAD；(2)求面VAD与面VDB夹角的正切．[解](1)证明：∵平面VAD⊥平面ABCD，交线为AD.AB⊂平面ABCD，AB⊥AD.∴AB⊥平面VAD.(2)如图，取VD的中点E，连接AE，BE.∵△VAD是正三角形，∵AE⊥VD，AE＝32AD.∵AB⊥平面VAD，∴AB⊥AE.又由三垂线定理知BE⊥VD.因此，∠AEB是所求二面角的平面角．于是tan∠AEB＝ABAE＝233，即平面VAD与平面VDB夹角的正切为233.用向量法求二面角[探究问题]1．构成二面角的平面角有几个要素？[提示](1)角的顶点在二面角的棱上；(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内；(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．2．二面角的大小与其两个半平面的法向量的夹角有何关系？[提示]条件平面α，β的法向量分别为u，v，α，β所构成的二面角的大小为θ，〈u，v〉＝φ图形关系 θ＝φ θ＝π－φ 计算cos θ＝cos φcos θ＝－cos φ1111＝O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD ；(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．[思路探究] (1)充分利用图形中的垂直关系，用传统的方法(综合法)可证． (2)利用垂直关系建立空间直角坐标系，用法向量求二面角的余弦值． [解] (1)因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD ，又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1， 所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)， 平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由m ⊥OB 1→，m ⊥OC 1→，所以3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23， 所以m ＝(2,23，－3)，所以cos〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝2319＝25719.由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角， 所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719.1．(改变问法)本例条件不变，求二面角B -A 1C -D 的余弦值． [解] 如图建立空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)． 所以BC →＝(－3，1,0)，A 1C →＝(0,2，－2)，CD →＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·A 1C →＝0，n 1·BC →＝0，即⎩⎨⎧2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0，取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3， 故n 1＝(3，3,3)．设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1C →＝0，n 2·CD →＝0，即⎩⎨⎧2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0，取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，故n 2＝(3，－3，－3)．所以cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1||n2|＝－1521＝－57.由图形可知二面角B-A1C-D的大小为钝角，所以二面角B-A1C-D的余弦值为－57.2．(变换条件、改变问法)本例四棱柱中，∠CBA＝60°改为∠CBA＝90°，设E，F分别是棱BC，CD的中点，求平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值．[解]以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱长为1，则A(0,0,0)，B1(1,0,1)，E⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，D1(0,1,1)，F⎝⎛⎭⎪⎫12，1，0，AE→＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，AB1→＝(1,0,1)，AF→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，0，AD1→＝(0,1,1)．设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n1·AB1→＝0，n1·AE→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x1＋z1＝0，x1＋12y1＝0，令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1，所以n1＝(－1,2,1)．设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n2·AD1→＝0，n2·AF→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y2＋z2＝0，12x2＋y2＝0.令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1.所以n2＝(2，－1,1)．所以平面AB1E与平面AD1F所成锐二面角的余弦值为|n1·n2||n1||n2|＝|(－1，2，1)·(2，－1，1)|(－1)2＋22＋12·22＋(－1)2＋12＝|(－1)×2＋2×(－1)＋1×1|6×6＝12.利用坐标法求二面角的步骤设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图．用坐标法的解题步骤如下：(1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系．(2)求法向量：在建立的坐标系下求两个面的法向量n1，n2.(3)计算：求n1与n2所成锐角θ，cos θ＝|n1·n2| |n1|·|n2|.(4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ.提醒：确定平面的法向量是关键．空间中的翻折与探索性问题【例3】如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC ＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB.将四边形ABEF 沿EF折起，连接AD，AC，BC.(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝12PD，求证：CP∥平面ABEF；(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．[解](1)在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，∴AF＝3.又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，在线段AF上取点Q，使AQ＝12QF，连接PQ，QE，∵AP＝12PD，∴PQ綊13DF，∵CE綊13DF，∴CE綊PQ，∴四边形ECPQ为平行四边形，∴CP∥EQ，∵CP⊄平面ABEF，EQ⊂平面ABEF，∴CP∥平面ABEF.(2)在梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥EF ，∴EF ⊥AF ，EF ⊥FD ，∵平面ABEF ⊥平面EFDC ，平面ABEF ∩平面EFDC ＝EF ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面EFDC .设FA ＝x (0＜x ＜4)，∵EF ＝AB ＝2，∴FD ＝6－x ，EC ＝4－x ，∴FC ＝4＋(4－x )2， ∵线段FA ，FC ，FD 的长成等比数列， ∴FC 2＝FA ·FD ，即4＋(4－x )2＝x (6－x )， 化简得x 2－7x ＋10＝0，∴x ＝2或x ＝5(舍去)． 以点F 为坐标原点，FE ，FD ，FA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则F (0,0,0)，E (2,0,0)，C (2,2,0)，A (0,0,2)， ∴EC →＝(0,2,0)，EA →＝(－2,0,2)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面EAC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0n 1·EA →＝0，即⎩⎨⎧2y 1＝0－2x 1＋2z 1＝0， 取z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝0，∴平面EAC 的一个法向量为n 1＝(1,0,1)． 又FC →＝(2,2,0)，FA →＝(0,0,2)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC →＝0n 2·FA →＝0，即⎩⎨⎧2x 2＋2y 2＝02z 1＝0，取x 2＝1，则y 2＝－1，z 2＝0，∴平面ACF 的一个法向量为n 2＝(1，－1,0)．∴cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝12×2＝12.∵平面EAC和平面ACF的夹角为锐角，∴平面EAC和平面ACF的夹角为60°.1．与空间角有关的翻折问题与最值问题的解法(1)翻折问题：要找准翻折前后的图形中的不变量及变化的量，再结合向量知识求解相关问题．(2)三视图问题：关于三视图问题，关键是通过三视图观察直观图中的对应线段的长度．2．关于空间角的探索问题的处理思路利用空间向量解决空间角中的探索问题，通常不需要复杂的几何作图，论证，推理，只需先假设结论成立，设出空间的坐标，通过向量的坐标运算进行推断，把是否存在问题转化为点的坐标是否有解的问题来处理．2．如图所示，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．[解](1)因为ABCD为矩形，故AB⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.(2)过点P作PO⊥AD于点O，则PO⊥平面ABCD，过点O作OM⊥BC于点M，连接PM.则PM⊥BC，因为∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，所以BC＝6，PM＝23 3，设AB＝t，则在Rt△POM中，PO＝43－t2，所以V P-ABCD＝13·t·6·43－t2＝13－6⎝⎛⎭⎪⎫t2－232＋83，所以当t2＝23，即t＝63时，V P-ABCD最大为269.如图，此时PO＝AB＝63，且PO，OA，OM两两垂直，以OA，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P⎝⎛⎭⎪⎫0，0，63，D⎝⎛⎭⎪⎫－263，0，0，C⎝⎛⎭⎪⎫－263，63，0，B⎝⎛⎭⎪⎫63，63，0.所以PD→＝⎝⎛⎭⎪⎫－263，0，－63，PC→＝⎝⎛⎭⎪⎫－263，63，－63，PB→＝⎝⎛⎭⎪⎫63，63，－63.设平面PCD的一个法向量m＝(x1，y1，z1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m·PC→＝0，m·PD→＝0，即⎩⎨⎧－2x1＋y1－z1＝0，－2x1－z1＝0，令x1＝1，则m＝(1,0，－2)，|m|＝5；同理设平面PBC 的一个法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)， ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋y 2－z 2＝0，x 2＋y 2－z 2＝0，令y 2＝1，则n ＝(0,1,1)，|n |＝2，设平面PBC 与平面DPC 夹角为θ，显然θ为锐角， 且cos θ＝|m·n ||m||n |＝25×2＝105.1．思考辨析(1)二面角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)若二面角α-l -β的两个半平面的法向量分别为n 1，n 2， 则二面角的平面角与两法向量夹角〈n 1，n 2〉一定相等． ( ) (3)二面角的大小通过平面角的大小来度量． ( )[提示] (1)× 不是．是[0，π]． (2)× 不一定．可能相等，也可能互补． (3)√2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BC -A 的余弦值为( ) A.12 B.23 C.22 D.33 C [易知∠A 1BA 为二面角A 1 -BC -A 的平面角， cos ∠A 1BA ＝AB A 1B ＝22.]3．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于________．23834[设直线l 与平面α所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n ||n||a|＝|－8＋1|14·17＝23834.] 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A 1-BD -C 1的余弦值是________．13[如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,0)，A1(1,0,1)，DA1→＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)．设n＝(x，y，z)是平面A1BD的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n·DA1→＝0，n·DB→＝0，即⎩⎨⎧x＋z＝0，x＋y＝0，令x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．同理，求得平面BC1D的一个法向量m＝(1，－1,1)，则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝13，所以二面角A1-BD-C1的余弦值为13.]课时分层作业(二十五)二面角及其度量(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，PA⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D，E分别是点A在PC，PB上的射影，则()A．∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B．∠AED是二面角A-PB-C的平面角C ．∠DAE 是二面角B -PA -C 的平面角D ．∠ACB 是二面角A -PC -B 的平面角 B [由二面角的定义及三垂线定理，知选B.]2．已知△ABC 和△BCD 均为边长为a 的等边三角形，且AD ＝32a ，则二面角A -BC -D 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° C [如图取BC 的中点为E ，连接AE ，DE ， 由题意得AE ⊥BC ，DE ⊥BC ， 且AE ＝DE ＝32a ，又AD ＝32a ，∴∠AED ＝60°，即二面角A -BC -D 的大小为60°.]3．如图所示，在正四棱锥P -ABCD 中，若△PAC 的面积与正四棱锥的侧面面积之和的比为6∶8，则侧面与底面所成的二面角为( )A.π12B.π4C.π6D.π3D [设正四棱锥的底面边长为a ，侧面与底面所成的二面角为θ，高为h ，斜高为h ′，则12×2ah 4×12ah ′＝68，∴h h ′＝32，∴sin θ＝32，即θ＝π3.]4．已知二面角α-l -β中，平面α的一个法向量为n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，－2，平面β的一个法向量为n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，则二面角α-l -β的大小为( )A ．120°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°C [设所求二面角的大小为θ，则|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝32，所以θ＝30°或150°.]5．如图所示，P 是二面角α-AB -β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM ，PN ，如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°，∠MPN ＝60°，那么二面角α-AB -β的大小为( )A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°D [不妨设PM ＝a ，PN ＝b ，作ME ⊥AB 交AB 于点E ，NF ⊥AB 交AB 于点F (图略)，因为∠EPM ＝∠FPN ＝45°，故PE ＝a 2，PF ＝b2，于是EM →·FN→＝(PM →－PE →)·(PN →－PF →)＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF →＝ab cos 60°－a ·b2cos 45°－a 2·b cos 45°＋a 2·b 2＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0.因为EM ，FN 分别是α，β内的两条与棱AB 垂直的线段，所以EM 与FN 之间的夹角就是所求二面角的大小，所以二面角α-AB -β的大小为90°.]二、填空题6．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．60°或120° [设二面角大小为θ，由题意可知 cos θ＝82＋52－722×8×5＝64＋25－4980＝12，所以θ＝60°或120°.]7．若P 是△ABC 所在平面外一点，且△PBC 和△ABC 都是边长为2的正三角形，PA ＝6，则二面角P -BC -A 的大小为________．90° [取BC 的中点O ，连接PO ，AO (图略)，则∠POA 就是二面角P -BC -A 的平面角．又PO ＝AO ＝3，PA ＝6，所以∠POA ＝90°.]8．在空间四面体O -ABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．0 [OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0. ∴cos 〈OA →·BC →〉＝|OA →·BC →||OA →||BC →|＝0.]三、解答题9．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，平面ABCD 是一个直角梯形，AB ⊥AD ，AB ，CD 为梯形的两腰，且AB ＝AD ＝AA 1＝a .(1)若截面ACD 1的面积为S ，求点D 到平面ACD 1的距离； (2)当ABBC 为何值时，平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1?[解] (1)由VD -ACD 1＝VC -ADD 1，过C 作CE ⊥AD ，垂足为E . ∵AA 1⊥平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AA 1D 1D ，∴CE ⊥平面AA 1D 1D ，∴CE ＝a 是C 到平面ADD 1的距离，设点D 到平面ACD 1的距离为h ，由13Sh ＝13×12a 2×a ，得h ＝a 32S. (2)分别以A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A 1(0,0,0)，A (0,0，a )，B 1(a,0,0)，设C (a ，b ，a )，且n 1＝(x ，y ，z )是平面AB 1C 的法向量， ∴AB 1→＝(a,0，－a )，AC →＝(a ，b,0)．则n 1·AB 1→＝0，n 1·AC →＝0，即ax －az ＝0，ax ＋by ＝0， 得z ＝x ，y ＝－a b x ，取x ＝1，则y ＝－ab ，z ＝1， 则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a b ，1为平面AB 1C 的一个法向量． 同理可得平面AB 1D 1的一个法向量为n 2＝(1,1,1)． 若平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1，则n 1·n 2＝0，∴ab ＝2， 即当ABBC ＝2时，平面AB 1C ⊥平面AB 1D 1.10．如图所示，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．[解] (1)证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD .又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ，四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF .又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB .(2)由已知，得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0<x <1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)． 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， 即|z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22，即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →，则 x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62，(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎨⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝105.因此二面角M -AB -D 的余弦值为105. [能力提升练]1．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C -BF -D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33D.233 D [如图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF .以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .设PA ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3.所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0. 结合图形可知，OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0且OC →为平面BDF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)．所以cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，所以tan 〈n ，OC →〉＝23 3.即二面角C -BF -D 的正切值为233.] 2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为( )A ．－12 B.23C.33D.22B [建系如图，设正方体棱长为1，则D (0,0,0)、A 1(1,0,1)、E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12.∴DA 1→＝(1,0,1)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12.设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0x ＋y ＋12z ＝0.令x ＝1，则z ＝－1，y ＝－12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－1.又平面ABCD 的一个法向量为DD 1→＝(0,0,1)．∴cos 〈n ，DD 1→〉＝－194·1＝－23.又平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角为锐角， ∴平面A 1ED 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23.]3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．π3[∵底面对角线长为26，∴底面边长为23，从而利用体积得四棱锥的高为3，所求二面角的正切为高底面边长的一半＝33＝ 3.∴侧面与底面所成的二面角为π3.]4．已知正四棱锥的底面边长为23，高为3.则侧面与底面所成的二面角等于________．60°[如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，连接AC，BD相交于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD.作OE⊥CD，连接PE，则∠PEO即为侧面与底面所成二面角的平面角．由题意知PO＝3，OE＝3，∴tan∠PEO＝33＝ 3.∴∠PEO＝60°.]5.如图所示，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．(1)设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E-AG-C的大小．[解](1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP＝A，所以BE⊥平面ABP.又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)法一：如图，取EC的中点H，连接EH，GH，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC为菱形，所以AE＝GE＝AC＝GC＝32＋22＝13.取AG的中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC为所求二面角的平面角．又AM＝1，所以EM＝CM＝13－1＝2 3.在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°.法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2,0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2,0,3)． 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎨⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0. 取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎨⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0. 取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12. 故所求的角为60°.。
二面角及其度量
本书中，我们约定，二面角不小于 0°，不大于180°。 即0 °≤ θ ≤180° 平面角是直角的二面角叫做直二面角, 互相垂直的平面也就是相交成直二面角的 两个平面。
我们可以用向量的夹角来研究二面角的 性质及其度量。
m2 n2 D m1
n1
l C
如图所示，分别在二面角 α－l－β 的面 α，β
代入已知线段的长度， 得 (2 17) 6 4 8 2 6 8 ( cos x) ，
2 2 2 2
1 解得 cosx= ，得 x=60° . 2
因此所求的二面角的度数是 60° .
例2．已知：二面角α－l－β的度数为θ (0≤θ≤ )，在α面内有△ABC，它在β内的 2 射影为△A’BC，它们的面积分别为S，S’， 求证：S’=Scosθ.
（2）A1F与平面B1EB所成角的大小； （3）二面角C－D1B1－B的大小。
1 arccos 3
6 arcsin 3
A
B D C A'
证明：不妨假定△ABC的边BC在l上， 作BC边的高AD，AD在β内的射影为 A’D， 根据正射影的性质，知A’D=ADcosθ， S’=BC×A’D
=BC×ADcosθ
=Scosθ.
例3．已知ABCD是直角梯形，∠DAB= ∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=
3.2.4 二面角及其度量
平面内一条直线把平面分成两部分，其 中的每一部分都叫做半平面，从一条直线 出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角；这条直线叫做二面角的棱，每个半平 面叫做二面角的面。棱为l，两个面分别为 α，β的二面角，记作α－l－β，二面角也可 以记作A－l－B。
3.2.4二面角及其度量
3．2．4二面角及其度量制作人： 郭明珍 审核人：高二数学组 时间：2012.02.14 学案编号：4 一、学习目标 1、掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单的图形中的二面角的平面角； 2、掌握求二面角大小的基本方法、步骤. 二、学习重、难点1、重点：二面角的概念，二面角的平面角的定义.2、难点：二面角大小的求法. 三、预习检测1、二面角的定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角;2、二面角的度量：在二面角α-l -β的棱上任取一点O,在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则 叫做二面角α-l -β的平面角；3、二面角的范围： ；4、设二面角α-l -β的平面角大小为θ，n 1⊥α,n 2⊥β,则cos θ= 。
问题：＜n 1,n 2＞与θ的关系如何？四、课内讲解 1、复习提问直线与直线所成的角直线与平面所成角的定义将一个平面沿平面上的一条直线折起，得到的空间图形称为什么？ 2、新课讲授（1）二面角的概念及其记法 概念：记法：画法：问题：如何度量二面角的大小？数学二是怎样刻画两平面垂直的？ （2）二面角βα--l 的平面角二面角的范围是：（3）用向量如何求二面角的大小： 方法一 用法向量的夹角求二面角的平面角设二面角α-l -β的平面角大小为θ，α⊥1n ,α⊥2n ,与θ的关系如何？方法二用平面内垂直于棱的向量的夹角求二面角的平面角3.典例分析例1、如图，已知在一个二面角的棱上有两个点A,B，线段AC,BD分别在这个二面角的两个2cm，求这个二面角的度数。
面内，并且都垂直于棱AB,AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，CD=17归纳：归纳：归纳：巩固练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角C-BD-C1的大小。
课堂小结：。
324二面角及其度量
面
ALeabharlann 棱lBa3、二面角的表示方法：
如图空间四边形ABCD所形成的 二面角如何表示？
A
QB
bl P
B
D 二面角 A? BD ? C
a
C
A
棱为AB，面分别为α ，β 的二面角记作二面角 a ? AB? b
有时为了方便，也可在α ，β 内（棱以外的半平面部分） 分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q。
∴ tan ? PEO ? 2
2
2?，2PO
2
?1 2 E 2
O
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
课堂小结
1.二面角及其平面角的定义 2、求二面角平面角的步骤： ①作（找） ② 证 ③ 建模求解
2.数学思想：
（1）化归思想 ，(2)类比思想
即把空间的角转化为平面的角，进而 构建数学模型 ——可解三角形 ， 然后通过解三角形求得 .
VC? 1, 试画出二面角 V-AB-C 的平面角, 并求它的度数.
V
解: 取AB的中点D, 连接 VD, CD, 而 VA? VB? AC?BC? 2, ∴VD⊥AB, CD⊥AB, 则∠VDC就是二面角V-AB-C的平面角.
而AB? 2 3,
则由勾股定理求得 VD? CD? 1, 又 VC? 1,
b
类比:两条异面直线所成的角、直线与平
a
面所成的角，将空间角转化为平面角
l
二面角的平面角的定义： 猜想：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作 垂
直于棱的两条射线 ，这两条射线所成的平面角可以 度量二面角大小 .
如图 ，OA? l,OB ? l ，则∠AOB就是二面角a ? l ? b 的大小.
3.2.4 二面角及其度量
解：(1)在等腰梯形ABCD中，AB //CD，∠DAB＝60°, CB = CD, 由余弦定理可知
2 2 BD＝CD + CB2 - 2CD×CB×cos 180° -∠DAB ＝3CD2 ,
即BD＝ 3CD = 3AD,在ΔABD中，∠DAB＝60°, BD = 3AD,则ΔABD为直角三角形，且AD⊥ DB, 又AE⊥BD,AD 平面AED，AE 平面AED,且 AD∩AE = A,故BD⊥ 平面AED.
取y = 1,则x = 3,z = 1,则m = 的一个法向量.
3,1,1 为平面BDF
1 5 cos < m,n >= = = ,而二面角F - BD - C 5 5 m n 5 的平面角为锐角，则二面角F - BD - C的余弦值为 . 5
mn
回顾本节课你有什么收获？
1.二面角的定义 2.二面角的求法
在二面角 - l - 的棱上任取一点O，在两半平面 内分别作射线OA l，OB l，则AOB叫做二面角
- l - 的平面角.
二面角的大小是 通过其“平面角” 来度量的.
特别地，当两个平面相互垂直时，它们的平面角是 直角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，如 图所示：
探究点2 二面角大小的求法
设平面SAB与平面SCD的夹角为， 2 由图形可知 i, n 为锐角，即 tan . 2
【变式练习】
正方体ABEF - DCE F 中，M , N 分别为AC， BF的中点 如图，求平面MNA与平面MNB 所成锐二面角的余弦值.
E
解：设正方体的棱长为1, 以BA，BE， BC所在直线分别为x轴，y轴, z轴建 立空间直角坐标系. 设平面AMN的法向量n1 x, y, z , 1 1 1 1 由于 AM - , 0, , AN - , , 0 . 2 2 2 2 1 1 x z 0, AM n 0, 2 1 2 即 AN n1 0, 1 x 1 y 0, 2 2 令x 1得y 1, z 1. n1 1,1,1 ,
第十一讲 二面角及其度量
二面角及其度量同学们可能经常谈论**同学是白羊座的，**同学是双子座的．可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”．黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°27′，它与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽8°以内的区域称为黄道带．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来．今天我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题.1.二面角的定义及表示方法(1)平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做________．(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________，每个半平面叫做二面角的________．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作___________．若A∈α，B∈β，二面角也可以记作____________．(3)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做________________________．(4)二面角的范围是[0，π]．(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨：(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．(2)符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．(3)两个平面相交，构成四个二面角．2．设m1⊥α，m2⊥β，则角<m1，m2>与二面角α－l－β_________________.用三垂线定理或特殊图形求二面角【典题导入】【亮点题】例题1、如图，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝PC，求二面角B－AP－C的大小．考点1[思路分析] 首先考虑要作出二面角的平面角，可考虑通过B 向AC 作垂线．[解析] 如图，过B 作BM ⊥AC 于M ，过M 作MN ⊥AP 于N ，连接BN ，由三垂线定理知：BN ⊥PA.【方法提炼】[方法总结] 利用三垂线定理作角时，在作垂线时一般利用面面垂直先作出垂线，确定垂足的位置． 【小试牛刀】练1：如图：ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A —VB—C 的大小．[解析] 取VB 的中点为E ，连接AE ，CE.∴∠MNB 为所求二面角的平面角， 设AB ＝BC ＝AC ＝PC ＝1， ∴BM ＝32，MN ＝24， ∴tan ∠MNB ＝3224＝ 6.故∠MNB ＝arctan 6，即所求二面角B －AP －C 的大小为arctan 6.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB.∴CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A—VB—C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝2a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝(32a)2＋(32a)2－(2a)22×32a×32a＝－13，∴所求二面角A—VB—C的大小为π－arccos 1 3.向量法求二面角的平面角【典题导入】【亮点题】例2：已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC ，PA=AC=1， BC=2. 求二面角A-PB-C的余弦值.考点2[思路分析] 当二面角的平面角不易作出，空间直角坐标系又易建立时，可考虑法向量法求二面角大小．设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0m ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0y ＝－2x，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0n ·CP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos<m ，n >＝m ·n |m ||n |＝33.由图可知二面角A －PB －C 是锐角， ∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.【方法提炼】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法解较为简捷，用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是否是二面角的大小(相等还是互补)，但我们完全可以根据图形观察得到结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是很明显的． 【小试牛刀】如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD.底面ABCD 为边长是1的正方形，PA ＝1，求平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．[分析] 解答本题可首先求出平面PCD 和平面PAB 的法向量，再求其夹角大小，然后转化为平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．[解析] 如图建立空间直角坐标系．平面P AB 的法向量AD →＝(0,1,0)，DC →＝(1,0,0)，PD →＝(0,1，－1)．与空间角有关的翻折问题及最值问题【典题导入】【亮点题】例3.正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B(如图②)．在图②中求平面ABD 与平面EFD 所成二面角．[思路分析] 翻折问题注意长度和角度的变化．本题中AD ，DB ，DE ，DF ，AC ，BC 均未变化，而AB ，EF 发生了长度变化．考点2[解析] 方法一：由已知CD ⊥AD ，CD ⊥BD ， ∴∠ADB 就是直二面角A —CD —B 的平面角， ∴AD ⊥BD .以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则D (0,0,0)、A (0,0,2)、B (2,0,0)、C (0,23，0)，E 、F 分别是AC 、BC 的中点， ∴E (0，3，1)，F (1，3，0)．设m ＝(x ，y ，z )是平面DEF 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝0m ·DF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0x ＋3y ＝0，令y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1z ＝－3，∴m ＝(－3，1，－3)．同理可求得平面ABD 的一个法向量n ＝(0,1,0)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝17＝77.∴平面ABD 与平面EFD 所成的角为arccos 77.【小试牛刀】如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．设锐二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定[答案]C[解析]二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，P A⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则()A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角C．∠DAE是二面角B—P A—C的平面角D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角[答案]B[解析]由二面角定义及三垂线定理知选B.3．正方形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，若P A＝AB，则平面P AB与平面PCD所成的角的度数为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] ∠DP A 为二面角平面角，而在Rt △P AD 内，∠APD ＝45°.故选B.4．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为( )A.33B ．63 C.13 D ．23[答案] B[解析] 以A 为坐标原点建系，由法向量法，可得cos θ＝63. 5．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.6．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] ∠BDC 就是二面角B －AD －C 的平面角． ∵cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ＝14a 2＋14a 2－14a22×12a ×12a ＝12，∴∠BDC ＝60°. 二、填空题7．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α.B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．[答案]34[解析] 过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在平面β内过C 作l 的垂线．垂足为D ，连结AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，为60°，又由已知，∠ABD ＝30°，连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.8．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________．[答案] 60°[解析] 设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为S3，由题意，得S 1S ＝23，设侧面与底面所成二面角为θ，则cos θ＝13S S 1＝S 3S 1＝12，∴θ＝60°.三、解答题9.如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)， 因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0.所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos 66.一、选择题1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°，故选C.2．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B ．34C.33D ．233[答案] D[解析] 如图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，∴tan 〈n ，OC →〉＝233.3.如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN与AE 所成的角为90°.4．三棱锥S －ABC 中， ∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D[解析] 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，∴SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故①②③正确；取AB 的中点E ，连结CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，其值为12a ，故④正确．二、填空题5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，E 为BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 的夹角为________．[答案] π6[解析] 以AC 中点为空间坐标系原点建系，平面ABC 的法向量n 1＝(0,0,1)，由OA →＝(0，－1,0)，AE →＝(3，1,1)．n 2＝(－1,0，3)∴cos 〈n 1，n 2〉＝32，∴〈n 1，n 2〉＝π6. 6．(2013·龙岩高二检测)设平面ABC 的一个法向量为m ＝(1,1,0)，平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)，则二面角C －AB －D 的大小为________．[答案] 60°或120°[解析] 由二面角定义得cos<m ，n >＝12·2＝12， ∴<m ，n >＝60°或120°.即二面角C －AB －D 的大小为60°或120°.7．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．[答案]23[解析] 本小题考查的内容是二面角的求法，可采用几何法或向量法．方法一：(几何法)如图，延长FE 交BC 于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，连结AC ，w∵PB ＝BC ，∴∠CAP ＝90°.由三垂线定理，∴∠F AP ＝90°， ∴∠F AC 为二面角的平面角． ∴tan ∠F AC ＝FC AC ＝232＝23.方法二：(向量法)建立如图，令棱长为3，∴A (3,0,0)，E (3,3,1)，F (0,3,2)， 平面ABC 的法向量为(0,0,1)，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·AF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0－3x ＋3y ＋2z ＝0，令x ＝1，∴z ＝3，y ＝－1，∴n ＝(1，－1,3)，令平面夹角为θ，∴cos θ＝31×|n |＝311，sin θ＝211，∴tan θ＝23.三、解答题8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，△P AB 为等边三角形．求二面角B－AC －P 的大小．[解析] 建立如图的空间直角坐标系O －xyz ，则A (－1,0,0)，B (1,0,0)，P (0,0，3)，C (1,2,0)．∴P A →＝(－1,0，－3)，PC →＝(1,2，－3)，OP →＝(0,0，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面P AC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·PC →＝0，∴⎩⎨⎧－x －3z ＝0，x ＋2y －3z ＝0，令z ＝1，得x ＝－3，y ＝3， 得n ＝(－3，3，1)．又∵OP →是平面ABCD 的一个法向量，设二面角B －AC －P 的大小为θ，且为锐角，则cos θ＝|cos<n ，OP →>|＝|n ·OP →|n |·|OP →||＝37×3＝77，∴二面角P －AC －B 的大小约为arccos77. 9．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成夹角的正弦值．[解析] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)， 所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2， 所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。
3.2.4二面角及其度量
思考： 为什么平面角与点 O 在 l 上的位置无关？
练习：在长方体 ABC D -A 1 B 1C 1 D 1 中， A B 3, B C 1, C C 1 下列两个平面所成的角: (1)平面 A1 B C 与平面 ABC D ; (2)平面 C 1 A B 与平面 ABC D ; (3) 平面 D1 A B 与平面 A A1 B1 B ;
3 ,求
问题二:向量法求二面角
方法 1:将二面角转化为两个面内垂直于棱的两个向量的夹角。 分别在二面角 l 的面 , 内，并且沿 , 延伸的方向作向量
n1 l , n 2 l , 则我们可以用 n1 , n 2 度量这个二面角的大小
A 、 150 ,30 B 、 90 ,30
C 、 150 , 0
D 、 90 , 0
2.在正三棱柱 ABC - A1 B 1 C 1 中，已知 AB 1, D 在棱 B B1 上，且
BD 1 ，若 A D 与平面 A A1C 1C 所成角为 ，则 sin 的值是（ ）
思考：可用此题结论求 解例 3 吗？
课堂小结 本节综述: 1、二面角及二面角平面角的定义；2、求二面角大小的基本方法(构造法、向量法) 及其步骤 具体总结:（对照问题总结）
练习与巩固
（必做题）课本 111 页练习 A 2. 练习 B 1.(1)
(2)
4
3.
2.
5
高二数学导学案
教学课题 课标要求 主要问题
3.2.4 二面角及其度量
题中的作用。
备课人
李怀春
能用向量方法解决面与面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问
高二数学3.2.4二面角及其度量
5．平面 α的一个法向量 n1＝ (1,0,1) ，平面 β的一个法向量 n 2＝ (－ 3,1,3) ，则 α与 β所成的
角是 _____．
6．已知
A∈
α，
P?α
，
→ PA
＝
－
23， 12，
2 ，平面 α的一个法向量
n＝
0，－
1，－ 2
2，
则直线 PA 与平面 α所成的角为 ________．
二、能力提升
7．在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝ 60°，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD ＝
1，则二面角 B—AC— D 的余弦值为
()
1
1
23
3
A. 3
B.2
C. 3
D. 2
8． A、 B 是二面角 α— l— β的棱 l 上两点， P 是平面 β上一点， PB⊥ l 于 B， PA 与 l 成 45
3.2.4 二面角及其度量
1．二面角的概念 (1) 二面角的定义： 平面内的一条直线把平面分成两部分， 其中的每一部分都叫做半 平面．从一条直线出发的 ______________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其 中，直线 l 叫做二面角的 ______，每个半平面叫做二面角的 ______，如图中的 α，β. (2) 二面角的记法： 棱为 l，两个面分别为 α，β的二面角， 记作 α—l — β.如图， A∈ α， B∈ β，二面角也可以记作 A— l— B. (3) 二面角的平面角：在二面角 α— l — β的棱上任取一点 O， 在两半平面内分别作射线 OA⊥ l， OB⊥ l，则∠ AOB 叫做二面角 α— l— β的平面角，如图所 示，由等角定理知，这个平面角与点 O 在 l 上的位置无关． (4) 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5) 二面角的范围是 [0 °， 180 °] ． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1) 如图，分别在二面角 α— l— β的面 α、 β内，并沿 α、 β延伸的方向， 作向量 n1⊥ l， n2⊥ l，则〈 n1， n2〉等于该二面角的平面角． (2) 如图，设 m1⊥α，m2⊥ β，则〈 m1， m2〉与该二面角相等或互补 . 探究点一 定义法求二面角 问题 1 如何找二面角的平面角？ 问题 2 如何利用面积射影求二面角？ 例 1 如图， S 是 △ABC 所在平面外一点，且 SA⊥平面 ABC ， AB⊥ BC， SA＝ AB， SB＝BC， E 是 SC 的中点， DE⊥ SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD —C 的大小．
二面角及其度量
A
B
A`
D
M
C
直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线. 射线 射线
思考：平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部 分叫什么名称？
α
l
平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。
在平面几何中“角”是怎样定义的？
答：从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是一个角．
小结： 1.二面角就是用它的平面角来
度量的。一个二面角的平面角多大，我
O
。
们就说这个二面角是多少度的二面角。
A
2.二面角的平面角与点（或垂直平面） O1 。
的位置无任何关系，只与二面角的张 角大小等有角关定。理 若一个角的两边与
A1
α
另一个角的两边分别平行且方
向相同，则这两个角相等。
B B1
β
演示
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
O
α
ι
A
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
二面角
练习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 A
3.2.4二面角及其度量
B
A B
O
3
A
l
用它的平面角来度量 度量：
(1)以二面角的棱上任意一点为端点， (2)在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 (3)这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
∠A O B
B B1
= ∠A1O1B1
l
O1
O
A
A1
[0, ] 范围：
C
A
D
B
CD (CA AB BD)2
2
(2 17)2 62 42 82 2 6 8 cos CA, BD
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
AC， BD ＝－ CA， BD
＝ 3
应用：
法(2)找平面角 例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
l
n2
Hale Waihona Puke n1， n2n1
n1
l
应用：
BD 法(1)向量法 ＝ AC， 例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
CD CA AB BD
y 2 y 2
巩固练习：
小结
１、二面角的定义 ２、二面角的求法
(1)找平面角 (2)向量法（法向量，方向向量）
二面角及其度量
令 x2＝1，得 n2＝(1,1,0). 10 分
∴cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝312＝
2 6.
通过观察二面角是 锐角还是钝角来确 定其余弦值的正负.
∴平面
AED
与平面
ABE
所成的锐二面角的余弦值为
2 6.
12 分
构建答题模板
第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线. 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标. 第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量. 第四步 求夹角：计算向量的夹角. 第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角.
规 范 解 答 ·分 步 得 分
(1)证明 ∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，
又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，
又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，
∴BC⊥平面ACD，
又DC∥EB，DC＝EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD.
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量.
n·A→G＝0， 由n·C→G＝0，
可得x2＋ 3y2＝0， 2x2＋3z2＝0.
取 z2＝－2，可得平面 ACG 的一个法向量 n＝(3，－ 3，－2).
所以 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝12. 因此所求的角为60°.
例1如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点， DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
(1)求证：DE⊥平面ACD； (2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦 值.
审题路线图 (1)
线面角二面角线线角的公式
线面角二面角线线角的公式线面角、二面角和线线角是在几何学中常见的概念，它们有各自的计算公式。
下面将分别介绍这三个角的定义和计算方法。
1.线面角：线面角是由一条线与一个平面相交所形成的角。
设平面上有一条直线L，平面上有一点A和直线上的一点B，在平面上从点A引一条垂线，与直线L相交，就形成了一个线面角。
线面角的度量是直线L的角度与平面的夹角。
线面角的计算公式如下：线面角=直线L与平面的夹角2.二面角：二面角是由两个平面相交所形成的角。
设有一个平面P1和一个不与P1平行的平面P2，两个平面相交于一条直线L。
通过P1和P2的交线L 可以确定两个交点A和B。
二面角的计算公式如下：二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）值得注意的是，二面角没有固定的度量单位，它的度量取决于直线L 在两个平面上的角度度量单位。
3.线线角：线线角是由两条直线相交所形成的角。
设有两条直线L1和L2，它们相交于一点O。
通过O可以确定L1上的一点A和L2上的一点B。
线线角的计算公式如下：线线角=∠AOB其中，∠AOB表示点A、O和B所形成的角。
总结：线面角、二面角和线线角是几何学中常见的角度概念。
线面角由一条直线与一个平面相交所形成，计算公式为线面角=直线L与平面的夹角。
二面角由两个平面相交所形成，计算公式为二面角=（直线L在P1中所成的角）+（直线L在P2中所成的角）。
线线角由两条直线相交所形成，计算公式为线线角=∠AOB。
这些角度概念在几何学的应用中起着重要的作用。
原创2：3.2.4 二面角及其度量
[0，π]
．
，
走进教材
二.二面角的向量求法
角的分类
向量求法
若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内
与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A、C)，
则二面角的大小就是AB与CD的夹角
二面角
cos θ＝ cos<AB，CD>
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos<n1，n2>|
第三章 空间向量与立体几何
§3.2.4 二面角及其度量
高中数学选修2-1·精品课件
复习引入
角的分类
异面直线
所成的角
直线与平面
所成的角
定义
范围
设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或
(0°,90°]
直角叫做a与b所成的角.
直线与它在这个平面内的射影所成的角.
图形
自主练习
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，
则直线l与平面α所成的角等于( C )
A．120°
C．30°
B．60°
D．以上均错
自主练习
2．向量a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，
15
±
且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________．
AE＝( , − , )，AC＝(b,0,0)．
2
2 2
D
C x
y
典例导航
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由m·AE=0， m ·AC=0得
选修2-1二面角及其度量
第三章 3.2 3.2.4
与名师对话·系列丛书
知识梳理
自
主
预 习
1．二面角的概念
要 点 导 学
第6页
课标B版 ·数学 ·选修2-1 课 时 作 业
第三章 3.2 3.2.4
与名师对话·系列丛书
课标B版 ·数学 ·选修2-1
(1)二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其
自 主
中的每一部分都叫做半平面．从一条直线出发的 两个半平面 所
业
导
学
第30页
第三章 3.2 3.2.4
与名师对话·系列丛书
课标B版 ·数学 ·选修2-1
如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A－xyz，则 B(0,3,0)，
自 主
A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)．
预
习
设平面 A1BC1 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
课
要 点 导 学
自 主
∵VA＝AB＝BC＝VC，
预
习
课
时
作
要
业
点
导
学
∴AE⊥VB，CE⊥VB. ∴∠AEC 是二面角 A－VB－C 的平面角．
第16页
第三章 3.2 3.2.4
与名师对话·系列丛书
课标B版 ·数学 ·选修2-1
设 AB＝a，连接 AC，在△AEC 中，
自
主 预 习
AE＝EC＝ 23a，AC＝ 2，由余弦定理可知：
预
习 法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向
量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的
课 时
作要 点Βιβλιοθήκη 大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形
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则
1 2 2 cos n1 , n2 | n1 | | n2 | 1 3 3
n1 n2
根据题意知，侧面SCD与面SBA所成的 二面角的大小的大小为
2 arccos 3
探究二：
试一试 例二：如图：直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形， AD=AA1 ，∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。 求：平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
1 1 SD ( , 0, ), 2 2
1 1 S 0,0, , A 0,0,0 , B 0,1,0 , C 1,1,0 , D ,0,0 , 2 2
1 SB (0, 1, ) 2
1 SC (1, 1, ) 2
显然平面SBA的一个法向量为
α C α β
α β γ
A B β
试一试： 求二面角的平面角：几何法
在正四面体A-BCD中，你能找到二面角
A-BC-D的平面角吗？
A
AED即为二面角
B D
E
C
A - BC - D的平面角。
1.方向向量法
AB l , CD l.你能找到二面角的平面 角吗？
B
在二面角 l 中，若AB, CD分别在两个面内，
∴2x0+ 0y0-z0=0且x0+ 3 y0-2z0=0 令x0=1可得z0= 2 , y0= 3 , 即
B
y
u
=（ 1， 3 ，2）
设所求二面角的平面角为θ，则COSθ = 2 = ,所以所求二面角大小为450 2 解毕
u DD u DD
1
1
二. 如何求平面的一个法向量: 1、定义：如果表示向量
n
的有向线段所在的
直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,
记作
n ⊥α,
这时向量 n 叫做平面α的法向量.
如图,设 a =( x1,y1,z1)、b =(x2,y2,z2)是平面α内的两 个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定 理知,若 n a 且 n b 则 n . 换句话说,若
x, y, z
1
z C1 B1 D E F B y
由 n GE, n FE 可得
1 1 n GE y z 0, 2 2 1 1 n FE x y 0. 2 2
D A1
G
C
A
x y z y
令y=1,取平面的一个法向量为
n a 0 且 n b 0 则 n .
n a
b
可按如下步骤求出平面的法向量的坐标. 第一步(设):设出平面法向量的坐标为
n =(x,y,z).
第二步(列):根据 n a 0 且 n b 0 x1 x y1 y z1 z 0 可列出方程组 x2 x y2 y z2 z 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特
二面角
我们规定：二面角的取值范围为 0, 平面角是直角的二面角叫做直二面角
互相垂直的平面就是相交成直二面角 的两个平面
1、怎样做出二面 角的平面角？
答：1、做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个 半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所 夹 的角； （2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面， 这个平面与2个半平面分别有一条交线，这 2条交线所成的角； （3）、三垂线法：过一个半平面内一点 （记为A）做另一个半平面的一条垂线，过 这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足 为C，连接AC，则∠ACB即为该二面角的 平面角。
a 2 a1 , a 3 2a1 ,
n2 (a1 , a1 ,2a1 )
则 n2 (1,1, 2),
n1 n ． 2
令a1=1，
6 cos n1 , n2 6 n1 n2 1 6
1
二面角的平面角为锐角
6 arccos 6
∴二面角A—A1D—Q的大小为
1
2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
一. 利用法向量求二面角的大小的原理:
n2
α l θ
n1
β
，
n1
α
l
θ
图1
图2
β n2
约定，图1中，n1 的方向对平面α而言向内.
n2 的方向对平面α而言向内.
图2
n1 n2
的方向对平面α而言向内. 的方向对平面α而言向外.
CD (CA AB BD)2 (2 17)2 62 42 82 2 CA BD cos CA, BD
2
C
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
3
二面角
练习
1 、如图， AB 是圆的直径， PA 垂直圆所在 的平面， C 是圆上任一点，则二面角 P-BC-A 的平面角为: A.∠ABP B.∠ACP C.都不是
A1 F A D1 B1 C1
D
B
C
z
法向量法：建系如图：
设这个四棱柱各棱长均为2. 则D(0，0，0） D1（0，0，2） B（1， 3 ，0） F（-1， 3 ，1） ∴ BF =（-2，0 ，1） A1 F A
D1 B1 D
C1
C
x
DB
1
=（1， 3 ，-2）
DD1 就是平面ABCD的法向量，再设平面 显然， BDD1的一个法向量为向量 u=(x0,y0,z0)。则 u⊥ FB 且u⊥ D1B
1 1 1 则 E 1, 2 , 0 , F 2 ,1, 0 , G 1, 0, 2 1 1 1 1 GE 0, , , FE , 为 n
n1 (1， 0，， 0)
设平面SCD的一个法向量为
S
z 1
1 SA , 2
B 1 y
n2 ( x，y，z)，
x
D
A
则 n2 平面SCD
图5
C
1 AD . 2
xz 0 n2 SD 0 取z 2, 则n2 (2, 1, 2) 2 x 2 y z 0 n2 SC 0
D（0，4，0）， z 面AA1D的法向量 n1 (1,0,0) 设面A1DQ的法向量为
AQ (2,2, 2), QD (2,20) 1
D1 B1 y
n2 (a1 , a2 , a3 ),
A1 D4 O（A） 2 2
C1 C x
Q
B
则
n2 A1Q 2a1 2a2 2a3 0, n2 QD 2a1 2a2 0,
n 1,1,1
注：因为平面的法向量有无数个，方向可上，可下，
模可大可小，我们只要求出平面的某个法向量即可.
例题4. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中， AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，
求此时二面角A—A1D—Q的大小． 解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0），
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD， 1 1 SA , AB=BC=1， AD . 2 2
求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。 z B 图5 y
S
x
D
A
C
解： 以A为原点如图建立空间直角坐标系， 则
1 SA (0, 0, ), 2
殊越好),便得到平面法向量 n 的坐标.
例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B1C1D1中
G、E、F分别为AA1、AB、BC的中点，求平 面GEF的法向量。 z D A1
1
C1
B1 D E y
G
A x
F B
C
解： 不妨设正方体的棱长为一个单位长度 以D为原点建立右手空间直角坐标系，如图所示，
P C A
B
2.法向量法 cos cos n1 , n2
n1， n2
n1， n2
n1 n2 n1 n2
n1， n2
n2
n1， n2
n2
l
n1
n1
l
cos
cos n1, n2 cos
cos n , n
cos cos AB, CD
A
E
AB CD AB CD
C l
D
注意：向量AB,CD的 方向与两个半平面延 伸的方向相同。
探究一、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数。 D 分析：二面角的大小与哪两个向量的夹 A B 角有关？