第2节 二重积分的计算
高等数学--二重积分的计算
D
∫ ∫ b
d
= a ( f1( x) ⋅ c f2( y)dy )dx
∫ ⋅∫ 得 =
b
a f1( x)dx
d
c f2( y)dy
即等于两个定积分的乘积.
7
二重积分的计算法
X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点: 穿过区域且平行于x轴的直线 与区域边界相交不多于两个交点.
0
0
0
y
∫ ∫ =
a 0
f
( y)⋅
x
a y
dy
=
a
O
(a − y) f ( y)dy
0
•(a,a)
a
x
∫a
= (a − x) f ( x)dx 0
证毕.
21
二重积分的计算法
立体顶部 x2 + z2 = R2
例 求两个底圆半径为立R体,且底这部两x个2 圆+ 柱y2面= 的R2方程
分别为 x2 + y2 = R2及 x2 + z2 = R2 .求所围成的
x2
y +
y
2
⎟⎞ ⎠
=
f ( x, y),
∫ ∫ 故
1
f ( x, y)dy =
0
1 ∂ ⎜⎛ 0 ∂y ⎝
x2
y +
y2
⎞⎟ dy ⎠
=
x2
y +
y2
1 0
=
x
1 2+
; 1
∫ ∫ ∫ 所以 I1 =
1
1
dx f ( x, y)dy =
0
0
第二节 二重积分的计算
a
O
a
a
0
2a
x
原式= dy
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
19
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
b
x
11
二重积分的计算法
(4) 若区域如图, 则必须分割.
y
D1
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
O
D3
D2
x
D
D
1
D2 D3
D1、D2、D3都是X型区域
12
二重积分的计算法
例 求 ( x 2 y )dxdy , 其中D是抛物线 y x 2和
R
R
dy
R2 y2
R 2 x 2 y 2 dx
8
二重积分的计算法
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d dx f ( x , y )dy a c D dy f ( x, y ) d x
d b c a
b
d
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
立体的体积.
D
曲顶z R 2 x 2
z
解 V1 f ( x , y ) d
第2节 二重积分的计算法
23
例 2 计算 ex2 y2dxdy ，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D : 0 a,0 2 .
ex2 y2dxdy 2 d ae2 d
0
0
D
(1 ea2 ).
24
例 3 求广义积分 ex2dx . 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 }
y x 所围的闭区D 域.
y
解法1.
将D看作X–型区域,
则D
:
1
y
x
y
yx
2x
2
1 x 2 1
I dx x ydy
11
1
1 2
x
y2
x dx
1
0 1x2 x
解法2.
2
2
1 2
x3
1
将D看作Y–型区域,
2
2
1x dx9
28则Fra bibliotekD:
y 1
x y
2 2
2
I dy x ydx
1 2
x2y
2d
y
y
2y
1 2
y3
1y
1
1
dy9 8
8
例 2
改变积分
1
dx
1 x
f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
9
例3. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x2
I d x 2 f ( x, y)d y d x
第十章第二节_二重积分的计算法剖析讲解
x2 2
]2y
dy
2
(2 y
y3 )dy
11
1
2
8
【例2】 计算 y 1 x2 y2d , D :由y x, x 1,
D
和y 1所围闭区域 .
y
【解】 D既是X—型域又是—Y型域
1
D y=x
［法1］ DX
:
1 x 1
x
y
1
－1 x o
1x
上式
1
1
dx y
1 x2 y2dy 1
1. 【预备知识】
(1)［X－型域］ a x b, 1( x) y 2( x).
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x、) 在2( x区) 间 上[a连,b续] .
【X—型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点.
先求交点
由
y2
x
(1,-1) 或 (4,2)
y x2
［法1］
DY
:
1
y2
y x
2 y
2
xyd
2
dy
y2 xydx
D
1
y2
55
8
［法2］ 视为X—型域 则必须分割 D D1 D2
0 x 1 D1 : x y
x
D2
:
1
x
x 2
4 y
x
1
x
4
x
xyd
dx xydy dx xydy
0
x
1
x2
二重积分的计算法
24 3
6 1 8
整理ppt
15
例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 sinxdxdy Dx
:
0
D
:
0
dx
0
x
y x
x sin x 0x
d
y
y yx
D x
o x
0
sinxdx
x
x x yd 1
y 2 1
1 2
x
y
2
x dx
1
2 y
yx
1
2
1
12x312xdx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则D
:
1y2o yx2
1 x2x
2
I d y
1
2yx y d
x
2 1
1 2
x
2
y
2
2
dy
y
1
2y1 2y3
dy
9 8
整理ppt
14
例5. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线
解 y 2ax x y 2
2a
y 2axx2 xaa2y2 2a
Dx:
0x2a 2axx 2axx2
a 2a
整理ppt
12
0 ya
Dy1
: y2 2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2:2ax0ayaa2y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
第二节二重积分计算
cos
y[
cos
S(x)
y2 ( x)
y1( x)
f
(x,
y)dy.
故曲顶柱体的体积，也就是二重积分为
D
f
(x,
y)dxdy
b
a
S
(
x)dx
b[ f y2 (x)
a y1 ( x)
(x,
y)dy]dx.
(2)
将二重积分化成了先对y积分，后对x积分的二次积分.
需要指出，计算
y2 ( x)
y1( x)
f
(x,
y)dy时，应将x视为常
作平行于y轴的直线与区域D相
交，入口曲线为y=0，作为积分
下限.出口曲线为
y
21
x 3
，
作为积分上限.
(6
2x
3y)d
03dx
2(1
0
x) 3
(6
2x
3y)dy
D
03(6
2x)
y
3 2
y2
2(1
x 3
)
0
dx
03121
x 3
2
61
x 3
2
dx
6031
x 3
2
dx
6.
解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D
量，按定积分的计算方法解之.
为了简便常记为
D
f
(x,
y)dxdy
bdx y2 (x)
a y1 ( x)
f
(x,
y)dy.
同样，设区域D的边界曲线与平行于x轴的直线 至多有两个交点.区域D可以用不等式表示为
x1( y) x x2 ( y) c y d.
高等数学 第二节 二重积分的计算
4
又解 :
1 ≤ x ≤ 2 D= 1 ≤ y ≤ x
2 x 1 1
y
y=x y =1
x=2
∫∫ x y d x d y = ∫ d x ∫ x y d y
D
9 ⌠ 1 3 1 . = x − x d x = 8 2 ⌡1 2
2
1
2
x
(∫
x
1
1 2 1 3 1 x y d y = xy = x − x) 2 2 2 y=1
1 y 1 x 0 0 0 0
(1,1) y=x
I = ∫ d y ∫ f ( x) f ( y)d x = ∫ d x ∫ f ( y) f ( x) d y
1 1
x
y
d x + 1 f ( x) x f ( y) d y d x 2 I = ∫ f ( x )∫ f ( y ) d y ∫0 ∫0 0 x 1 x f ( y) d y + 1 f ( y) d y d x = ∫ f ( x) ∫ ∫x 0 0 1 1 f ( y ) d y d x = A2 . A2 . = ∫ f ( x ) ∫ ∴ I= 13 0 0 2
≤
∫∫ e
D1
− x2 − y2
2R
x
18
∫∫e
D
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D2
−x2 − y2
dx dy ≤ ∫∫e
D 1
−x2 − y2
dx dy
又因为
∫∫ e
D2
− x2 − y2
d x dy = ∫
R − x2 R − y2 e dx ⋅ e dy 0 0
(完整版)第二节二重积分的计算
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
第二节_二重积分的计算法
作业 P153 1 (4); 2 (3); 4; 6 (2), (3); 11; 12 (1), (3); 13 (4); 18
x 2 + y 2 = 4 y 及直线 x − 3 y = 0, y − 3x = 0 所围成的 平面闭区域. y 4
∫∫ (x
D
2
+ y ) d x d y = ∫π dθ
2
3 6
π
∫
4 sinθ 2 r ⋅rdr 2 sinθ
2
= 15( − 3) 2
π
o
x
内容小结
二重积分化为累次积分的方法 X – 型区域 直角坐标系情形 Y – 型区域 极坐标系情形: 积分区域 极坐标系情形
例7. 计算
其中D : x 2 + y 2 ≤ a 2 .
−a 2
= π (1 − e
)
∫
+∞ − x 2 e 0
dx =
π
2
例8. 求球体
x2 + y 2 = 2 ax 被圆柱面
z
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
o
2a
y
x
( x 2 + y 2 ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 + y 2 = 2 y, 例9. 计算∫∫ D
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
三、利用极坐标计算二重积分
一、曲顶柱体体积的计算
y = ϕ2 ( x)
设曲顶柱的底为
z
y
ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x) D = ( x, y) a≤ x≤b
曲顶柱体体积为
D
o
a x0 b x y = ϕ1 (x) (x
第二节_二重积分的计算法
第二节_二重积分的计算法二重积分：在平面上规定一个有界闭合区域D，对于D上的每一点P(x,y)，都有一个标量函数f(x,y)与之对应。
则二重积分的数值就是由函数f(x,y)在区域D上所有点处的函数值决定的。
二重积分一般可以表示为∬Df(x,y)dA。
计算二重积分的方法主要有以下几种：直角坐标法、极坐标法、换元积分法和累次积分法。
1.直角坐标法：针对矩形、直角三角形、抛物线和折线边界的区域，可以直接使用直角坐标法来计算二重积分。
具体步骤如下：(1)写出二重积分的累加和形式：I=ΣΣf(x,y)ΔA。
(2)将区域D分成若干小矩形，计算每个小矩形的面积ΔA。
(3)在每个小矩形上选择代表点(x,y)，计算f(x,y)的函数值。
(4)将函数值与相应小矩形的面积相乘，加和求和即可得到二重积分的数值。
2.极坐标法：当具有极坐标对称性的区域时，采用极坐标法可以简化计算。
具体步骤如下：(1) 确定极坐标变换：x=r*cosθ，y=r*sinθ。
(2) 根据变换的雅可比矩阵计算面积元素dA的极坐标形式：dA=rdrdθ。
(3) 将二重积分转化为极坐标下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(r*cosθ,r*sinθ)rdrdθ。
(4)将极坐标下的积分区域和积分限进行变换，然后按照累次积分进行计算。
3.换元积分法：当二重积分区域D的边界方程比较复杂时，可以使用换元积分法来简化计算。
具体步骤如下：(1)根据边界方程对二重积分区域D进行变换，将原来的二重积分区域映射到一个新的坐标系中的区域G。
(2)根据变换的雅可比矩阵，计算新坐标系下的面积元素dA'。
(3) 将二重积分转化为新坐标系下的累次积分：I=∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Gf(x(u,v),y(u,v))，J(u,v)，dudv，其中J(u,v)为雅可比行列式。
(4)对新坐标系下的累次积分按照直角坐标法或极坐标法进行计算。
4.累次积分法：当二重积分区域D可以通过垂直于坐标轴的直线进行划分时，可以使用累次积分法进行计算。
第二节二重积分的计算
(改变积分 ,按次 先 x后序 y积分次序 ) 计算
I
1 y si ny
dy
dx
0
y y2
1siny(yy2)dy 0y
1
1
0sin ydy0ysin ydy
1 c1 o (s c 1 s o 1 i )s n 1 s1 i .n
由以上几例可见，为了使二重积分的计算较为 简便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的 特点来确定，同时还要兼顾被积函数的特点，看被 积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分 区域和被积函数的特点。
注意两种积分次序的
I
11
dy
(x22y)dx
0
y
计算效果！
1(1x32xy)|1 dy 1(12y7y3/2)dy
03
y
03
3
(1yy214y5/2)1 2.
3
15 0 5
例2. 计算 D xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2 所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 2 y2 x
f(x,y)d等于 D为 以底，z以 f(x,曲 y)为 面 顶
D
曲顶柱体的体积．
应用计算“平行截
z
zf(x,y)
面面积为已知的立 y2(x)
体求体积”的方法,
得
y
A( x)
A(x) 2(x)f(x,y)dy 1(x)
D
ax b x
f(x,y)dxdy D
b
a A(
x)d
x
b
dx
2(x)
f
y1(x)
x2 y2 8
2
y
1 2
高等数学 第二节 二重积分的计算
图示法
• 写出积分限
(先积一条线 , 后扫积分域)
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
第十章 第二节
30
(2)
被积函数形如
f (x2 y2) ,
f
y x
,
f
x y
。
第十章 第二节
22
例9 将下列直角坐标系下的二次积分化为极坐 标系下的二次积分。
1
4 x2
2
4 x2
(1) dx
f ( x , y)dy dx
f ( x , y)dy
0
1 x2
1
0
R
Rx x
R
R2 x2 x
5
(3) 如果二重积分 f ( x , y)dxdy 的被积函数 f (x , y)
D
是两个函数 f1( x) , f2( y) 的乘积，f ( x , y) f1( x) f2( y)，
积分区域 D {(x , y) a x b , c y d}，则该二重积
分等于两个定积分的乘积，即:
D
极坐标系中的面积元素
i
o
d rdrd
f (x , y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
第十章 第二节
18
极坐标系下二重积分化为二次积分的公式
(1) 极点在积分区域的边界曲线外
区域特征如图
r 1( )
D
1( ) r 2( )
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
a
1 ( x )
• 若积分区域为 Y 型
则
f ( x , y)d
13 第二节 二重积分的计算
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数 考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块 上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上 的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy
第二节二重积分的计算法
第二节二重积分的计算法第二节学习的是二重积分的计算法。
二重积分的计算法可以通过分别采用直角坐标系和极坐标系进行求解。
本文将详细介绍这两种方法的具体步骤。
在直角坐标系中，假设被积函数为f(x,y)，要计算其在D上的二重积分，其中D是一个有界区域，可以采用以下步骤进行求解：1.将区域D进行划分，然后选择该划分的一个子区域Di，其面积为ΔA。
2. 在子区域Di内任选一个点(xi, yi)，将该点作为积分的取值点。
3. 将函数值f(xi, yi)与子区域的面积ΔA相乘，得到局部的积分量f(xi, yi)ΔA。
4.将所有子区域的局部积分量相加，得到近似的二重积分。
5.使用极限的思想，当划分的子区域趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
6.对于具体的函数形式，可以通过积分的性质进行变换，求解更为简便。
在计算二重积分时，需要注意以下几点：1.对于非均匀分布的划分，可以通过增加划分数量来提高近似的准确度。
2.划分的子区域大小越小，计算结果越准确，但也会增加计算的复杂度。
3.当函数比较复杂时，可以选择适当的数值计算方法来求解。
接下来，我们将介绍使用极坐标系进行二重积分的计算方法。
极坐标系中的二重积分采用极坐标系下的面积元素dA=rdrdθ。
具体步骤如下：1.将被积函数f(x,y)转换为极坐标下的形式f(r,θ)。
2.将被积区域D在极坐标系下的范围确定，也即确定r的取值范围和θ的取值范围。
3. 计算面积元素dA，即dA=rdrdθ。
4.将被积函数f(r,θ)与面积元素dA相乘，得到局部的积分量f(r,θ)dA。
5.将所有局部积分量相加，得到近似的二重积分。
6.使用极限的思想，当面积元素dA趋近无穷小时，近似的二重积分趋近于准确的二重积分。
极坐标系的二重积分计算方法可以简化计算过程，特别适用于对称性较强的函数和区域。
在实际应用中，二重积分的计算方法可以进一步推广到多重积分的计算。
多重积分的计算涉及到更高维度的坐标系和更复杂的积分区域，但基本的思想和步骤与二重积分类似。
第二节二重积分的计算
第二节二重积分的计算二重积分是微积分中的重要内容之一，用于计算在二维区域上的函数的平均值、面积、质心等物理量。
本文将介绍二重积分的计算方法，并以具体的例子说明。
在介绍二重积分的计算方法之前，我们先来回顾一下一重积分。
一重积分是对一维区间上的函数进行求和的过程。
对于一维区间[a,b]上的函数f(x)，可以将区间[a,b]分成无数个小区间，然后计算每个小区间上的函数值与区间长度的乘积，并将所有结果相加。
数学表示为：∫f(x)dx = lim(n->∞) Σ f(xi)Δx其中lim(n->∞)表示极限，Σ表示求和，xi表示区间的随机点，Δx表示区间的长度。
而二重积分是对二维区域上的函数进行求和的过程。
对于二维区域D 上的函数f(x,y)，可以将区域D分成无数个小区域，然后计算每个小区域上的函数值与小区域面积的乘积，并将所有结果相加。
数学表示为：∬f(x,y)dxdy = lim(m,n->∞) Σ Σ f(xi,yj)ΔxΔy其中lim(m,n->∞)表示极限，Σ表示求和，xi和yj表示区域的随机点，Δx和Δy分别表示小区域在x轴和y轴方向上的长度。
二重积分的计算方法有两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先介绍直角坐标系下的二重积分的计算方法。
在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将区域D投影到x轴和y轴上得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[a,b]∫[c,d]f(x,y)dxdy其中[a,b]是区域D在x轴上的投影区间，[c,d]是区域D在y轴上的投影区间。
接下来我们以具体的例子说明直角坐标系下的二重积分的计算方法。
考虑函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D:0≤x≤1，0≤y≤2上的二重积分的计算。
首先我们将其投影到x轴和y轴上，得到[a,b]=[0,1]和[c,d]=[0,2]。
然后我们可以计算二重积分：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,2](x^2 + y^2)dxdy内层积分∫(x^2 + y^2)dx的结果为(x^3/3 + xy^2)，[0,1] = (1/3 + y^2/3)，将其带入到外层积分∫(1/3 + y^2/3)dy中，得到：∫[0,2](1/3 + y^2/3)dy = (y/3 + y^3/9)，[0,2] = (2/3 + 8/9)- (0/3 + 0/9) = 2/3 + 8/9 = 26/9所以，函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D:0≤x≤1，0≤y≤2上的二重积分的结果为26/9接下来我们介绍极坐标系下的二重积分的计算方法。
第二节 二重积分的计算
的 f (x, y)都成立, 只须D是x—型区域即可.
注2. 习惯上常将右端的二次积分记作
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
即
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x)
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx
111y2122围成的平面区域及是由直线其中计算????????yx?xyddxdyxeidyx利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的不过重积分的情况比较复杂在运用对称性是要兼顾被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面不可误用
第八章 重积分 第二节 二重积分的计算
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的 上 下 限 ：
1
x
(x
y)d
0
dx ( x x2
y)dy
D
x
1 xy 1 y2 dx
0
2 x2
1 3 x 2 x 3 1 x4 dx
02
2
1
3 x3 1 x4 1 x5 3
6
4
10 0 20
方法2： 先对 x 积分.
y 2(x)
D
y 1(x)
a x0 b
x
从而, V
b
A( x)dx
b
[
2 ( x) f ( x, y)dy]dx,
a
a 1 ( x)
故
f ( x, y)d
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则
D f ( x, y) d a d x y ( x)
1
b
y2 ( x )
f ( x, y ) d y
• 若积分区域为
则
y x x2 ( y ) d
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
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D D1 D2 (如图所示)
显然, 在 D1上 , f ( x, y ) f ( x, y )
2
4
y 3x
y
y 4 x2
D1
o D2 1
x 1
在 D2上 , f ( x, y) f ( x, y)
I x ln( y 1 y )d xd y
2
y x2
4 x
y2 2 1 2 x y d y 2 y 1 2
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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结束
sin x 例3. 计算 d xd y, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y yx 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, x D 因此取D 为X – 型域 : x o 0 y x D: 0 x sin x x sin x d xd y dx d y D x 0 x 0
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X-型域或Y-型域 , 则
原式
D
r d r d d 0 re
0
2
a
r 2
dr
(1 e
由于 e
x2
a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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例7. 求球体
2 2 x y 2 ax 被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
第三部分
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 1 ( x) y 2 ( x) D: a xb 则
x
r 1 ( )
r ( )
D
D f (r cos , r sin ) r d r d
2 0
d
( )
0
f (r cos , r sin ) r d r
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o
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思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试 问 的变化范围是什么?
D f (r cos , r sin )r d r d
d
2 ( )
1 ( )
o f (r cos , r sin )r d r
o
r 1 ( )
r 2 ( )
0 r ( ) 特别, 对 D : 0 2
2
z
V 4
D
4 a r r d r d
2 2
o
2
y
0
2 acos
4a r r dr
2
2a
x
32 3 2 a ( ) 3 2 3
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内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法
y
y y2 ( x)
D
y y1 ( x) a bx
直角坐标系情形 : • 若积分区域为
则
x 1 ( y)
c d y
d
2 ( y)
1 ( y)
f ( x, y ) d x
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c o
x
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当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
y 2ax x 2 x a a2 y2
原式 d y
0 a
a o
2a x
dy
0
a
2a a
dy
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x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
(x y ) d x d y d
2 2
3
2
2 2 ( x y ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 y 2 2 y, 2. 计算 D
2
2
o
2
D
6
2 sin r
4 sin
r d r 15( 3) 2
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• 选择坐标系
• 确定积分序 • 写出积分限
被积函数关于坐标变量易分离
积分域分块要少
累次积好算为妙
图示法
不等式
( 先积一条线, 后扫积分域 )
• 计算要简便
充分利用对称性 应用换元公式
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补充题 1. 给定
改变积分的次序. 解： y 2ax x
y2 2a
y 2a
f1 ( x, y )
f 2 ( x, y ) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
2 D1
x
D2
x ln( y 1 y 2 )d xd y 0
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
k k k
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2 ,, n)
0 y 1 x 2 0 y 8 x 2 2 D1 : , D2 : 2 2 y1 x 0 x2 2 x2 2 2 D1 D2 将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则 o
22 2 x
2y x 8 y D: 0 y2
o
r rk x
r d d dr d r
k
D f ( x, y) d f (r cos , r sin )r d r d D
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( ) r 2 ( ) 1 设D : ,则
r ( ) 2 D
x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) rd r d
D r 2 ( )
o
r 1 ( )
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(2) 计算步骤及注意事项
• 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
(1)
y
r ( )
(2) y
r ( )
D
o x
(2)
D
x
o
答: (1) 0 ;
2
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2
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例6. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
0r a 故 解: 在极坐标系下D : , 0 2
y
y 2 ( x)
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
1
b
2 ( x)
o a y ( x) b x 1 f ( x, y ) d y
y d y
x 2 ( y)
x
D
1 ( y) x 2 ( y) 若D为Y –型区域 D : c yd
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例2. 计算
D x yd , 其中D 是抛物线
2
及直线
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域.
则