黑龙江省大庆铁人中学2013-2014学年度高三下学期4月月考数学(理科)

黑龙江省大庆铁人中学2013－2014学年度高三下学期4月月考数学试题(理科)2014.4考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 已知集合{1,2},{,},a A B a b ==若⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋂21B A ,则A B 为 ( )A ． 1{1,,1}2- B ．1{1,}2- C ．1{1,}2 D ． 1{,1,}2b2．设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ） A ．3- B ． 1- C ．1 D ．33．已知m ，n 为两条不同的直线,α，β为两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．l m ⊥,l n ⊥,且,m n α⊂,则l α⊥B ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等,则βα//C ．若n m m ⊥⊥,α,则α//nD ．若α⊥n n m ,//,则α⊥m 4．给出下列三个结论：（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“q p ∨”为假命题；（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”； （3）命题“,20xx ∀∈>R ”的否定是“ ,20xx ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05.设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则=++987a a a （ ）A ．81 B ．81- C ．857 D ．855 6. 将4名实习教师分配到高一年级三个班实习，每班至少安排一名教师，则不同的分配方案有 （ ）种 A ．12B ． 36C ．72D ．1087. 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图象向右平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点)0,6(π对称B ．关于6π=x 对称C ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于12x π=对称8. 若1ln ln 1(,1),ln ,(),,2xx x e a x b c e -∈===则,,a b c 的大小关系为 （ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>9. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是 （ ）A ．12- B ．13 C ．3- D ． 210. 已知向量()3,z x +=，()z y -=,2，且⊥，若实数y x ,满足不等式1≤+y x ，则实数z 的取值范围为（ ）A ．[－3,3]B ．[]2,2- C ．[]1,1- D ．[]2,2- 11. 若抛物线24x y =上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为（ ）A ．34B ．32C ．1D ．2 12．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（ ）A B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13. 6)1(xx -的展开式的常数项为 14.某几何体的三视图如图，则它的体积是________15．0(21)nna x dx =+⎰，则数列1{}na 的前n 项和n S =____________ 16．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作倾斜角为6π的直线FE 交该双曲线右支于点P ，若1()2OE OF OP =+且0OE EF ⋅=，则双曲线的离心率为________ 三、解答题（本大题共6小题，其中17-21每题各12分，22-24三选一10分，共70分） 17．在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，满足222()AB AC a b c ⋅=-+． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角B C 、的大小．18．某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1） 指出这组数据的众数和中位数； （2）若幸福度不低于9.5分，则称该人 的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机 选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19． 如图，直三棱柱111C B A ABC -中,4=AC ，3=BC ，41=AA ，BC AC ⊥,点D 在线段AB 上．（Ⅰ）若D 是AB 中点，证明1AC ∥平面CD B 1； （Ⅱ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值。

20. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 经过点)23,1(P ，离心率21=e ，直线l 的方程为 4=x .(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与l 相交于点M ，记P A ,PB ,PM 的斜率分别为321,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得321k k k λ=+？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由。

21. 已知函数32,1()ln ,1x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩，当23x =时， ()f x 有极大值427。

(1)求实数,b c 的值；(2)若存在0[1,2]x ∈-，使得0()37f x a ≥-成立，求实数a 的取值范围。

三选一：22.(本题满分10分)选修4—1几何证明选讲:如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC的延长AA 1BC DB 1C 1线于点E ，OE 交AD 于点F 。

（I ）求证：DE 是⊙O 的切线； （II ）若2,5AC AFAB DF=求的值. 23.(本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 的圆心)4C π，半径r = （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x （t 为参数），直线l 交圆C 于A B 、两点，求弦长 24．(本题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数||)(a x x f -=。

（1）若m x f ≤)(的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数m a ,的值。

（2）当2=a 且20<≤t 时，解关于x 的不等式()(2)f x t f x +≥+。

2014.4 高三考试理科数学试题答案 一、选择题ADDCC BDBAA DB二、填空题15 283π- 1n n + 1三、解答题 17、18. 解：（1）众数：8.6； 中位数：8.75 ；……………………………2分（2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，则140121)()()(3162121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； …………………6分（3）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ； 64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP ……..……………..10分所以ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………..……….…12分 另解：ξ的可能取值为0，1，2，3.则1~(3,)4B ξ，3313()()()44k k kP k C ξ-==.所以ξE =75.0413=⨯． 19．证明：如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C-xyz ．则B (3, 0, 0)，A (0, 4, 0)，1A (0, 4, 4)，1B (3, 0, 4)，1C (0, 4, 4)（1）解法一：)4,4,0(1-=AC设平面B 1 CD 的法向量为),,(z y x m =，由043),,()4,0,3(1=--=⋅--=⋅z x z y x m C B 且0223),,()0,2,23(=+=⋅=⋅y x z y x ， 令x = 4得)3,3,4(--=，所以 0)3,3,4()4,4,0(1=--⋅-=⋅AC 又CD B AC 11平面⊄ 所以 AC 1∥平面B 1CD ； 解法二：证明：连结BC 1，交B 1C 于E ，DE ． 因为 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，D 是AB 中点， 所以侧面B B 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE // AC 1． 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1CD ， 所以 AC 1∥平面B 1CD ． （2）解：由（Ⅰ）知AC ⊥BC ，设D (a , b , 0)（0a >，0b >），因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =． 所以 2a =，43b =，4(1,,0)3BD =-．所以)4,0,3(1--=C B ，4(2,,0)3CD =．平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1 CD 的法向量为2(,,1)n x y =，由 120B C n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 3404203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以 43x =-，2y =，24(,2,1)3n =-． 设二面角1B CD B --的大小为θ， 所以 1212cos 61n n n n θ⋅==． 所以 二面角1B CD B --的余弦值为61． 20．解：（1）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b += ①11,22c e a ==又所以 ② 由 ①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的方程为22143x y +=……………………..4分 （2）假设存在常数λ，使得123k k k λ+=.由题意可设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④ ……………6分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--.又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y=.232-k 1)(2212121++--+x x x x x x ⑤ 将④代入⑤得=+21k k .232-k 12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，又213-=k k ， 所以=+21k k 32k故存在常数2=λ符合题意……………………………………………………………12分 21．（1）当1x <时，'2()32f x x x b =-++则'2222()3()20333f b =-⨯+⨯+=，所以0b = （2分） 因为322224()()()33327f c =-++=，所以0c = （4分）（2）因为存在0[1,2]x ∈-，使得0()37f x a ≥-所以问题可转化为当[1,2]x ∈-时，max ()37f x a ≥- 由（1）知，32,1()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩○1当11x -≤<时，'22()323()3f x x x x x =-+=-- 令'()0f x =得0x =或23x =当x 变化时，'，f(x)变化情况如下表又f(-1)=2,f(3)=27,f(0)=0 所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2 （6分） ○2当12x ≤≤时，f(x)=alnx 当0a ≤时，()0f x ≤，所以f(x)的最大值为0当a>0时，f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(x)在[1,2]上的最大值为aln2 (8分) 由此可知，当0a ≤时，f(x)在[-1,2]上的最大值为2；由max 0()237a f x a ≤⎧⎨=≥-⎩得0a ≤当a>0时，若ln 22a ≤即2ln 2a ≤时，f(x)在区间[-1,2]上的最大值为2；由max 20ln 2()237a f x a ⎧<≤⎪⎨⎪=≥-⎩得20ln 2a <≤ （10分） 若ln 22a >即2ln 2a >时，f(x)在区间[-1,2]上的最大值为ln 2a由max 2ln 2()ln 237a f x a a ⎧>⎪⎨⎪=≥-⎩得27ln 23ln 2a <≤- 综上可知，a 的取值范围为7(,]3ln 2-∞- （12分）… 22．（I ）证明：连结OD ，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分 ∴OD//AE 又AE ⊥DE …………………………………3分 ∴OE ⊥OD ，又OD 为半径∴DE 是的⊙O 切线 ………………………5分 （II ）解：过D 作DH ⊥AB 于H ，则有∠DOH=∠CAB2cos cos 5AC DOH CAB AB ∠=∠== …………6分 设OD=5x ，则AB=10x ，OH=2x ， 7AH x ∴=由△AED ≌△AHD 可得AE=AH=7x ……………8分 又由△AEF ∽△DOF 可得7::5AF DF AE OD ==75AF DF ∴= ……………………………………………………10分 23.(1)由)4C π得，C 直角坐标（1,1），所以圆C 的直角坐标方程为22(1)(1)3x y -+-=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得，圆C 的直角坐标方程为 22cos 2sin 10ρρθρθ---=（2）将2cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩带入C 的直角坐标方程22(1)(1)3x y -+-= 得22(cos sin )10t t αα++-= 则0∆>设Ａ，Ｂ对应参数分别为12,t t ，则122(cos sin )t t αα+=-+，121t t =-12||||AB t t =-=因为[0,)4πα∈，所以sin 2[0,1)α∈所以84sin 2[8,12)α+∈所以||AB 的取值范围为分解集为（成立时当成立时当舍去时，当）（分）解：（10..........................................................] (2)2,2,0,2202,20,20,222225.................................................................32,5151,1.24+∞-∴∴-≥+-<+≤≤∴≥+-<≤∴<≤≥+-≥≥+-∴=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+-=-∴≤≤-+≤≤-∴≤-t x t x x t x x t x x t x t x x x t x a m a m a m a x m a x m a m a x。