2018年全国高考(理科)数学试题分类汇编：函数
2018年全国高考真题分类汇编----函数
2018年全国高考真题分类汇编----函数一、填空题1.（北京理13）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 1．y =sin x （不答案不唯一） 2.(江苏5)函数2()log 1f x x =-的定义域为________． 2．[2，+∞）3.（全国卷III 文16）已知函数2()ln(1)1f x x x =--+，()4f a =，则()f a -=________． 3．2-4.(全国卷I 理16)已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 4..332-5.(江苏9)函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为________．5．226.(全国卷I 文13)已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．6．-77.(全国卷II 理改11)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…________． 7.28.(全国卷II 理13)曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 8.2y x =9.（全国卷III 理14）曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 9.3-10.(全国卷I 理改5)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为________． 10.y x =11.(全国卷I 文12改)设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．11．()0-∞，12.(江苏11)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为________． 12.–313.(全国卷I 理9改)已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是________． 13.[–1，+∞）14.（全国卷III 理15）函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 14.315.(天津理14)已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax =恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是 .15.(48)，16.（天津文14）已知a ∈R ，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤⎪=⎨-+->⎪⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．16.［18，2］17.（浙江15）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 17.(1,4);(1,3](4,)+∞ 二、解答题18.（北京理18）设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ．（1）若曲线y= f （x ）在点（1，(1)f ）处的切线与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在x =2处取得极小值，求a 的取值范围． 18. 解：（1）因为()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ， 所以f ′（x ）=［2ax –（4a +1）］e x +［ax 2–（4a +1）x +4a +3］e x （x ∈R ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x ．f ′(1)=(1–a )e ． 由题设知f ′(1)=0，即(1–a )e=0，解得a =1．此时f (1)=3e≠0．所以a 的值为1．（2）由（1）得f ′（x ）=［ax 2–（2a +1）x +2］e x =（ax –1）(x –2)e x ．若a >12，则当x ∈(1a ，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，+∞)时，f ′(x )>0．所以f (x )<0在x =2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x –2<0，ax –1≤12x –1<0，所以f ′(x )>0．所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是（12，+∞）．19.（北京文19）设函数2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++.（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.19. 解：（1）因为2()[(31)32]e x f x ax a x a =-+++，所以2()[(1)1]e x f x ax a x '=-++.2(2)(21)e f a '=-，由题设知(2)0f '=，即2(21)e 0a -=，解得12a =. （2）方法一：由（Ⅰ）得2()[(1)1]e (1)(1)e x xf x ax a x ax x '=-++=--.若a >1，则当1(,1)x a∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时，110ax x -≤-<，所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是(1,)+∞.方法二：()(1)(1)e xf x ax x '=--.（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1. (),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x (,1)-∞ 1(1,)+∞ ()f x ' + 0 − ()f x ↗ 极大值 ↘∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.（2）当a >0时，令()0f x '=得121,1ax x ==. ①当12x x =，即a =1时，2()(1)e 0x f x x '=-≥， ∴()f x 在R 上单调递增，∴()f x 无极值，不合题意.②当12x x >，即0<a <1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x (,1)-∞ 11(1,)a 1a 1(,)a+∞ ()f x ' + 0 −0 + ()f x ↗ 极大值 ↘极小值 ↗ ∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当12x x <，即a >1时，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(,)a -∞ 1a 1(,1)a1 (1,)+∞ ()f x ' + 0 −0 + ()f x ↗ 极大值 ↘极小值 ↗ ∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意.（3）当a <0时，令()0f x '=得121,1ax x ==.(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x1(,)a -∞ 1a 1(,1)a1 (1,)+∞ ()f x ' − 0 +0 − ()f x ↘ 极小值 ↗极大值 ↘ ∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞.20.(全国卷I 理21）已知函数1()ln f x x a x x=-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．20.解:（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x -+'=--+=-.（i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，242a a x --=或242a a x +-=.当2244(0,)(,)22a a a a x --+-∈+∞U 时，()0f x '<；当2244(,)22a a a a x --+-∈时，()0f x '>.所以()f x 在2244(0,),(,)22a a a a --+-+∞单调递减，在2244(,)22a a a a --+-单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----，所以1212()()2f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数1()2ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在(0,)+∞单调递减，又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即1212()()2f x f x a x x -<--.21.(全国卷I 文21）已知函数()e ln 1x f x a x =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．21．解：（1）f （x ）的定义域为(0)+∞，，f ′（x ）=a e x –1x ．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e． 从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1e x x --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则e 1()e x g x x'=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0因此，当1ea ≥时，()0f x ≥．22.(全国卷II 理21）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．22．【解析】（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10xx -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1e a h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值．①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e 4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e4a =．23.（全国卷II 文21）已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点．23．解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =323-或x =323+．当x ∈（–∞，323-）∪（323+，+∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（323-，323+）时，f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，323-），（323+，+∞）单调递增，在（323-，323+）单调递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++． 设()g x =3231xa x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．学·科网又f （3a –1）=22111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．24.（全国卷III 理21）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．24.解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+. 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2()(1)x g x x '=+. 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=.所以()f x 在(1,)-+∞单调递增. 又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >. （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++.由于当1||min{1,}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点. 2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++. 如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且1||min{1,}||x a <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且1||m i n {1,}||x a <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-.25.（全国卷III 文21）已知函数21()e xax x f x +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥．25．解：（1）2(21)2()e xax a x f x -+-+'=，(0)2f '=．因此曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，21()e (1e )e x x f x x x +-+≥+-+．令21()1e x g x x x +≥+-+，则1()21e x g x x +'≥++．26.(江苏17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．26．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，故OE =40cos θ，EC =40sin θ， 则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ），△CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）．过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）．（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0），则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ）=8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）．设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′．令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数，因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．27.(江苏19）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由．27．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分． 解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）．设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e 2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()x bf x x ag x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增； 所以()g x (1)=0g ≥-．因此()e 0f x +≥．28.(天津理20)已知函数()xf x a =，()log a g x x =，其中a >1. （1）求函数()()lnh x f x x a =-的单调区间；（2）若曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线与曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线平行，证明122ln ln ()ln ax g x a+=-； （3）证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.28.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.（1）解：由已知，()ln x h x a x a =-，有()ln ln x h x a a a '=-. 令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时，()h x '，()h x 的变化情况如下表：x (,0)-∞0 (0,)+∞()h x ' -0 + ()h x极小值所以函数()h x 的单调递减区间(,0)-∞，单调递增区间为(0,)+∞.（2）证明：由()ln x f x a a '=，可得曲线()y f x =在点11(,())x f x 处的切线斜率为1ln xa a .由1()ln g x x a '=，可得曲线()y g x =在点22(,())x g x 处的切线斜率为21ln x a. 因为这两条切线平行，故有121ln ln x a a x a=，即122(ln )1x x a a =.两边取以a 为底的对数，得212log 2log ln 0a x x a ++=，所以122ln ln ()ln ax g x a+=-.（3）证明：曲线()y f x =在点11(,)x x a 处的切线l 1：111ln ()x x y a a a x x -=⋅-.曲线()y g x =在点22(,log )a x x 处的切线l 2：2221log ()ln a y x x x x a-=⋅-.要证明当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线，只需证明当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，2(0,)x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ee a ≥时，方程组1112121ln ln 1ln log ln x x x a a a x a a x a a x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩①②有解， 由①得1221(ln )x x a a =，代入②，得111112ln ln ln 0ln ln x x a a x a a x a a -+++=. ③ 因此，只需证明当1ee a ≥时，关于x 1的方程③有实数解.设函数12ln ln ()ln ln ln xxa u x a xa a x a a=-+++，即要证明当1e e a ≥时，函数()y u x =存在零点. 2()1(ln )x u x a xa '=-，可知(,0)x ∈-∞时，()0u x '>；(0,)x ∈+∞时，()u x '单调递减，又(0)10u '=>，21(ln )2110(ln )a u a a ⎡⎤'=-<⎢⎥⎣⎦，故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得0()0u x '=，即 0201(ln )0x a x a -=.由此可得()u x 在0(,)x -∞上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减. ()u x 在0x x =处取得极大值0()u x . 因为1ee a ≥，故ln(ln )1a ≥-， 所以0000002012ln ln 12ln ln 22ln ln ()ln 0ln ln (ln )ln ln xxa a a u x a x a a x x a a x a a a+=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <. 由（I ）可得1ln xa x a ≥+， 当1ln x a>时， 有2212ln ln 12ln ln ()(1ln )(1ln )(ln )1ln ln ln ln a a u x x a x a x a x x a a a a≤+-+++=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1ee a ≥时，存在1(,)x ∈-∞+∞，使得1()0u x =.所以，当1ee a ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()yf x =的切线，也是曲线()yg x =的切线.29.（天津文20）设函数123()=()()()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t ∈R ,且123,,t t t 是公差为d 的等差数列. （1）若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若3d =，求()f x 的极值；（3）若曲线()y f x = 与直线 12()63y x t =---有三个互异的公共点，求d 的取值范围.29.本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分.（1）解：由已知，可得f (x )=x (x −1)(x +1)=x 3−x ，故f ‵(x )=3x −1，因此f (0)=0，(0)f '=−1，又因为曲线y =f (x )在点(0， f (0))处的切线方程为y −f (0)= (0)f ' (x −0)，故所求切线方程为x +y =0.（2）解：由已知可得f (x )=(x −t 2+3)( x −t 2) (x −t 2−3)=( x −t 2)3−9 ( x −t 2)=x 3−3t 2x 2+(3t 22−9)x − t 22+9t 2. 故()f x '= 3x 3−6t 2x +3t 22−9.令()f x '=0，解得x = t 2−3，或x = t 2+3. 当x 变化时，f ‵(x )，f (x )的变化如下表：x (−∞，t 2−3) t 2−3 (t 2−3，t 2+3) t 2+3(t 2+3，+∞) ()f x '+ 0 − 0 + f (x )↗极大值↘极小值↗所以函数f (x )的极大值为f (t 2−3)=(−3)3−9×(−3)=63；函数小值为f (t 2+3)=(3)3−9×(3)=−63. （III ）解：曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−63有三个互异的公共点等价于关于x 的方程(x −t 2+d ) (x −t 2) (x −t 2−d )+ (x −t 2)+ 63=0有三个互异的实数解，令u = x −t 2，可得u 3+(1−d 2)u +63=0.设函数g (x )= x 3+(1−d 2)x +63，则曲线y =f (x )与直线y =−(x −t 2)−63有三个互异的公共点等价于函数y =g (x )有三个零点.()g'x =3 x 3+(1−d 2).当d 2≤1时，()g'x ≥0，这时()g'x 在R 上单调递增，不合题意.当d 2>1时，()g'x =0，解得x 1=213d --，x 2=213d -.易得，g (x )在(−∞，x 1)上单调递增，在[x 1， x 2]上单调递减，在(x 2， +∞)上单调递增，g (x )的极大值g (x 1)= g (213d --)=32223(1)639d -+>0.g (x )的极小值g (x 2)= g (213d -)=−32223(1)639d -+. 若g (x 2) ≥0，由g (x )的单调性可知函数y =f (x )至多有两个零点，不合题意.若2()0,g x <即322(1)27d ->，也就是||10d >，此时2||d x >，(||)||630,g d d =+> 且312||,(2||)6||2||636210630d x g d d d -<-=--+<-+<，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x = 在区间1122(2||,),(,),(,||)d x x x x d -内各有一个零点，符合题意.所以d 的取值范围是(,10)(10,).-∞-+∞30.（浙江22）已知函数f (x )=x −ln x ．（1）若f (x )在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，证明：f (x 1)+f (x 2)>8−8ln2；（2）若a ≤3−4ln2，证明：对于任意k >0，直线y =kx +a 与曲线y =f (x )有唯一公共点．30．本题主要考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力。
2018年高考真题汇编(函数与导数)
函数与导数1 .【2018年浙江卷】函数【解析】分析:先研究函数的奇偶性』再研究雷数在G"）上的符号，即可判断选择详解；令= 2圍血滋，因为^ e =刃*血2（—x） = —2罔血Zx = —fG（）p所以fOO = 2團血2耳力奇画数’排除选项止出因为工匸$町时『f@） < 0,所以曲穩选项J选D点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复.c = b眉2. 【2018年理天津卷】已知il=lo^^in2, 2 ,则a, b, c的大小关系为A. u > b>cB.b>u> e C c> b> a D.c> a> b【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果b = ln2 = -^―e （0A）c= 3詰=和g* > Sg声详解：由题意结合对数函数的性质可知: "忆吆>1, 5慾, 2据此可得：•本题选择D选项.点睛：对于指数幕的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幕的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较•这就必须掌握一些特殊方法•在进行指数幕的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断•对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确.龙兰0*3. 【2018年理新课标I卷】已知函数I曲乩北〉心饥巧二“/) + +a .若g (x)存在2个零点，则a的取值范围是A. [ - 1, 0)B. [0 , +R)C. [ - 1 , +R)D. [1 , +R)【答案】C【解析】分析；首先根据存在2个零点，得到方程f CO十""哨两个亀将其转化为金〉二-覽-口有两个解，即直线y =-第-诣曲^二fCO有两个交点”根据題中所给的函数解析式，画出函数f何的團像(将町4掉A再画出直绳=-补并将其上下移动』从图中可臥发现走丄时/龊7=-電-口与曲线y=f^＞有两个玄点'从而求得结果.详解：画出函数的图像，7■-了在y轴右侧的去掉，再画出直线卜:讨，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程■有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即• ，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果4. 【2018年理新课标I卷】设函数兀心--，若$叩为奇函数，则曲线：在点’ 处的切线方程为A.卜「阙B. H" - '■ - -IC."划D.【答案】D【解析】分析；利用奇函数偶此项系数为零求得"X进而得到的解析式，再对“）求导得出桩戋的斜率©进而求得切线方程.详解；因豹画数雇苛函数J 解得"二4所以』⑴二卯1,门>）二阪y 所臥厂◎二九代町二g所汰曲线y二厲刃在点（啦处的切线方程为y-m））二比建简可得y二知故选D点睛：该题考查的是有关曲线卜在某个点凤煮強；；|处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得帀，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果•5. 【2018年全国卷川理】设“=』0目仇2°収，方=衍的帖，贝UA. N + bunbcOB.C. u + bcOca/iD. kb<OCQ +市【答案】B1 i I 11【解析】分析：求出-= io^^ 2t-=lo^.32,得到- +二的范围，进而可得结果。
2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解
2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则 的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线 交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。
18年理科数学高考真题
18年理科数学高考真题2018年理科数学高考真题共分为选择题和解答题两部分，共计12个小题。
下面将逐一进行讲解和解答。
一、选择题部分1. 如题设函数 $f(x)=\begin{cases} 2x+1, & x<0\\ x^2-1, & x\geq 0\end{cases}$，则 $f(x)$ 的一个单调递减区间是 $()$。
解析：当 $x<0$ 时，$f'(x)=2>0$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增；当 $x\geq 0$ 时，$f'(x)=2x\geq 0$，因此 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增。
所以， $f(x)$ 的一个单调递减区间是 $(0,+\infty)$。
2. 若 $a,b$ 是两个不相等的实数，且 $a^2+b^2=2$，则$a^4+b^4$ 的最大值是 $()$。
解析：由均值不等式可得$a^4+b^4\geq \frac{1}{2}(a^2+b^2)^2=2$，等号成立时，要求 $a=b=1$。
故 $a^4+b^4$ 的最大值为 $2$。
3. 记 $\lim_{n\to \infty}\frac{\tan^2 n}{n^2}=A$，则$A=\underline{()}$。
解析：根据极限的性质可得 $\lim_{n\to \infty}\frac{\tan^2n}{n^2}=\lim_{n\to \infty}\left( \frac{\tan n}{n} \right)^2=1^2=1$。
因此，$A=1$。
4. 已知向量 $\overrightarrow{a}=(1,m),\overrightarrow{b}=(2,-1)$，若向量 $\overrightarrow{a}$ 与向量 $\overrightarrow{b}$ 的夹角为$60^\circ$，则实数 $m$ 的值是 $()$。
2018全国高考试题分类汇编-导数部分(含解析)
2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析）1.(2018·全国卷I高考理科·T5)同(2018·全国卷I高考文科·T6)设函数f=x3+-x2+ax.若f为奇函数,则曲线y=f在点处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x2.(2018·全国卷II高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为3.(2018·全国卷II高考文科·T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=e x在点处的切线的斜率为-2,则a=.5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=e x ln x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(1)的值为.6.(2018·全国卷I高考理科·T16)已知函数f=2sin x+sin2x,则f的最小值是.7.(12分)(2018·全国卷I高考文科·T21)已知函数f=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f的极值点.求a,并求f的单调区间.(2)证明:当a≥时,f≥0.8.(2018·全国Ⅲ高考理科·T21)(12分)已知函数f=ln-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f<0;当x>0时,f>0.(2)若x=0是f的极大值点,求a.9.(2018·全国Ⅲ高考文科·T21)(12分)已知函数f=-.(1)求曲线y=f在点-处的切线方程.(2)证明:当a≥1时,f+e≥0.10.(本小题13分)(2018·北京高考理科·T18)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程与x轴平行,求a.(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.11.(本小题13分)(2018·北京高考文科·T19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a.(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.12.(12分)(2018·全国卷I高考理科·T21)已知函数f=-x+a ln x.(1)讨论f的单调性.(2)若f存在两个极值点x1,x2,证明:-<a-2.-13.(2018·全国卷II高考理科·T21)(12分)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1.(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.14.(2018·全国卷II高考文科·T21)(12分)已知函数f=x3-a.(1)若a=3,求f(x)的单调区间.(2)证明:f(x)只有一个零点.15.(本小题满分14分)(2018·天津高考理科·T20)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1.(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间.(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-.(Ⅲ)证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.(本小题满分14分)(2018·天津高考文科·T20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(Ⅰ)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若d=3,求f(x)的极值;(Ⅲ)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点,求d的取值范围.17.(本小题满分14分)(2018·江苏高考·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围.(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)(2018·江苏高考·T19)记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=ln x存在“S点”,求实数a的值.(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.19.(2018·浙江高考T22)(本题满分15分)已知函数f(x)=-ln x.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.1.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f′(0)=1,所以切线方程为y=x.2.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.答案:y=2x3.【解析】y′=,k==2,所以切线方程为y-0=2(x-1)即y=2x-2.答案:y=2x-24.【解析】由y=(ax+1)e x,所以y′=a e x+(ax+1)e x=(ax+1+a)e x,故曲线y=(ax+1)e x在(0,1)处的切线的斜率为k=a+1=-2,解得a=-3.答案:-35.【解析】因为f(x)=e x ln x,所以f′(x)=(e x ln x)′=(e x)′ln x+e x(ln x)′=e x·ln x+e x·,f′(1)=e1·ln1+e1·=e.答案:e6.【解析】方法一:f′(x)=2cos x+2cos2x=4cos2x+2cos x-2=4(cos x+1)-, 所以当cos x<时函数单调减,当cos x>时函数单调增,从而得到函数的减区间为--(k∈Z),函数的增区间为-(k∈Z),所以当x=2kπ-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值,此时sin x=-,sin2x=-,所以f(x)min=2×--=-.方法二:因为f(x)=2sin x+sin2x,所以f(x)最小正周期为T=2π,所以f′(x)=2(cos x+cos2x)=2(2cos2x+cos x-1),令f′(x)=0,即2cos2x+cos x-1=0,所以cos x=或cos x=-1.所以当cos x=,为函数的极小值点,即x=或x=π,当cos x=-1,x=π,所以f=-,f=,f(0)=f(2π)=0,f(π)=0,所以f(x)的最小值为-.答案:-7.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a e x-.由题设知,f′(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f′(x)=e x-.当0<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g′(x)=-.当0<x<1时,g′(x)<0;当x>1时,g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当时a≥时,f(x)≥0.8.【解析】(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f′(x)=ln(1+x)-.设函数g(x)=f′(x)=ln(1+x)-,则g′(x)=.当-1<x<0时,g′(x)<0;当x>0时,g′(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,当且仅当x=0时,g(x)=0,从而f′(x)≥0,当且仅当x=0时,f′(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)上单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-.由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点,当且仅当x=0是h(x)的极大值点. h′(x)=--=.如果6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h′(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h′(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点..如果6a+1=0,则h′(x)=---则当x∈(-1,0)时,h′(x)>0;当x∈(0,1)时,h′(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-.9.【解析】(1)f(x)的定义域为R,f′(x)=--,显然f(0)=-1,即点(0,-1)在曲线y=f(x)上,所求切线斜率为k=f′(0)=2,所以切线方程为y-(-1)=2(x-0),即2x-y-1=0.(2)方法一(一边为0):令g(x)=-ax2+(2a-1)x+2,当a≥1时,方程g(x)的判别式Δ=(2a+1)2>0,由g(x)=0得,x=-,2,且-<0<2,x,f′(x),f(x)的关系如下①若x∈(-∞,2],f(x)≥f-=-又因为a≥1,所以0<≤1,1<≤e,-≥-e,f(x)+e≥0,②若x∈(2,+∞),ax2+x-1>4a+2-1>0,e x>0,所以f(x)=->0,f(x)+e≥0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法二(充要条件):①当a=1时,f(x)=-.显然e x>0,要证f(x)+e≥0只需证-≥-e, 即证h(x)=x2+x-1+e·e x≥0,h′(x)=2x+1+e·e x,观察发现h′(-1)=0,x,h′(x),h(x)的关系如下所以h(x)有最小值h(-1)=0,所以h(x)≥0即f(x)+e≥0.②当a>1时,由①知,-≥-e,又显然ax2≥x2,所以ax2+x-1≥x2+x-1,f(x)=-≥-≥-e,即f(x)+e≥0.综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.方法三(分离参数):当x=0时,f(x)+e=-1+e≥0成立.当x≠0时,f(x)+e≥0等价于-≥-e,等价于ax2+x-1≥-e·e x,即ax2≥-e·e x-x+1等价于a≥--=k(x),等价于k(x)max≤1.k′(x)=--,令k′(x)=0得x=-1,2.x,k′(x),k(x)的关系如下又因为k(-1)=1,k(2)=-<0,所以k(x)max=1,k(x)≤1,x≠0,综上,当a≥1时,f(x)+e≥0.10.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x,所以f′(x)=[2ax-(4a+1)]e x+[ax2-(4a+1)x+4a+3]e x=[ax2-(2a+1)x+2]e x. f′(1)=(1-a)e.由题设知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]e x=(ax-1)(x-2)e x.若a>,则当x∈时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤x-1<0, 所以f′(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(,+∞).11.【解析】(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x, 所以f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x,f′(2)=(2a-1)e2, 由题设知f′(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)方法一:由(1)得f′(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x若a>1,则当x∈时,f′(x)<0.当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).方法二:f′(x)=(ax-1)(x-1)e x.①当a=0时,令f′(x)=0得x=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.②当a>0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.(ⅰ)当x1=x2,即a=1时,f′(x)=(x-1)2e x≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.(ⅱ)当x1>x2,即0<a<1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.(ⅲ)当x1<x2,即a>1时,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.③当a<0时,令f′(x)=0得x1=,x2=1.f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).12.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--1+=--.(i)若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.(ii)若a>2,令f′(x)=0得,x=--或x=-.当x∈--∪-时,f′(x)<0;当x∈---时,f′(x)>0.所以f(x)在--,-上单调递减,在---上单调递增.(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点,当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.由于--=--1+a--=-2+a--=-2+a--,所以--<a-2等价于-x2+2ln x2<0.设函数g(x)=-x+2ln x,由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(1)=0,从而当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0.所以-x2+2ln x2<0,即--<a-2.13.【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x≠1时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)∪(1,+∞)上单调递减.而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点.(i)当a≤0时,h(x)>0,h(x)没有零点;(ii)当a>0时,h′(x)=ax(x-2)e-x.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在[0,+∞)上的最小值.①若h(2)>0,即a<,h(x)在(0,+∞)上没有零点;②若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+∞)上只有一个零点;③若h(2)<0,即a>,由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)上有一个零点,由(1)知,当x>0时,e x>x2,所以h(4a)=1-=1->1-=1->0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+∞)有两个零点.综上,f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=.14.【解析】(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.令f′(x)=0解得x=3-2或3+2.当x∈(-∞,3-2)或(3+2,+∞)时,f′(x)>0;当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.(2)由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.故g(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6--<0,f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.15.【解析】(I)由已知,h(x)=a x-x ln a,有h′(x)=a x ln a-ln a.令h′(x)=0,解得x=0.由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如表:所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).(II)由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线斜率为ln a.由g′(x)=,可得曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线斜率为.因为这两条切线平行,故有ln a=,即x2(ln a)2=1.两边取以a为底的对数,得log a x2+x1+2log a(ln a)=0,所以x1+g(x2)=-. (III)曲线y=f(x)在点(x1,)处的切线l1:y-=ln a·(x-x1).曲线y=g(x)在点(x2,log a x2)处的切线l2:y-log a x2=(x-x2).要证明当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线,只需证明当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),x2∈(0,+∞),使得l1和l2重合.即只需证明当a≥时,方程组有解,--由①得x2=,代入②,得-x1ln a+x1++=0③,因此,只需证明当a≥时,关于x1的方程③有实数解.设函数u(x)=a x-xa x ln a+x++,即要证明当a≥时,函数y=u(x)存在零点. u′(x)=1-(ln a)2xa x,可知x∈(-∞,0)时,u′(x)>0;x∈(0,+∞)时,u′(x)单调递减,又u′(0)=1>0,u′[]=1-<0,故存在唯一的x0,且x0>0,使得u′(x0)=0,即1-(ln a)2x0=0.由此可得u(x)在(-∞,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.u(x)在x=x0处取得极大值u(x0).因为a≥,故ln(ln a)≥-1,所以u(x0)=-x0ln a+x0++=+x0+≥≥0.下面证明存在实数t,使得u(t)<0.由(I)可得a x≥1+x ln a,当x>时,有u(x)≤(1+x ln a)(1-x ln a)+x++=-(ln a)2x2+x+1++,所以存在实数t,使得u(t)<0,因此,当a≥时,存在x1∈(-∞,+∞),使得u(x1)=0.所以,当a≥时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.16.【解析】(Ⅰ)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f′(x)=3x2-1,因此f(0)=0,f′(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f′(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(Ⅱ)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3-9)x-+9t2.故f′(x)=3x2-6t2x+3-9.令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×(-)=6;函数极小值为f(t2+)=()3-9×=-6.(III)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+6=0有三个互异的实数解,令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+6=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+6,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g′(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g′(x)≥0,这时g′(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,g′(x)=0,解得x1=--,x2=-.易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x1)=g-=-+6>0,g(x)的极小值g(x2)=g-=--+6.若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1>27,也就是|d|>,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+6>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6<-62+6<0,从而由g(x)的单调性,可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,符合题意.所以d的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞)17.【解析】(1)设PO的延长线交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈.当θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ),sinθ的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ) =8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈,则f′(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f′(θ)=0,得θ=,当θ∈时,f′(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈时,f′(θ)<0,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.【解析】(1)函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f′(x)=g′(x),得-此方程组无解,因此,f(x)与g(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=ln x,则f′(x)=2ax,g′(x)=.设x0为f(x)与g(x)的“S”点,由f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),得-即-(*)得ln x0=-,即x0=-,则a=-=.当a=时,x0=-满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S”点.因此,a的值为.(3)f′(x)=-2x,g′(x)=-,(x≠0),由f′(x0)=g′(x0),得b=-->0,得0<x0<1,由f(x0)=g(x0),得-+a==--,得a=--,令h(x)=x2---a=---,(a>0,0<x<1),设m(x)=-x3+3x2+ax-a,(a>0,0<x<1),则m(0)=-a<0,m(1)=2>0,得m(0)m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,则m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点,则f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S”点.19.【解析】(Ⅰ)函数f(x)的导函数f′(x,由f′(x1)=f′(x2)得-=-,因为x1≠x2,所以+=.由基本不等式得=+≥2.因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=-ln x1+-ln x2=-ln(x1x2).设g(x)=-ln x,则g′(x)=(-4),所以所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(Ⅱ)令m=e-(|a|+k),n=+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n-≤n<0,所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=--.设h(x)=--,则h′(x)=--=--,其中g(x)=-ln x.由(Ⅰ)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h′(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.。
2018年高考全国一卷理科数学答案及解析
2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学参考答案与解析一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。
1、设z=，则|z|=A 、0B 、C 、1D 、【答案】C【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1【考点定位】复数2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则A =A 、{x|-1<x<2}B 、{x|-1x 2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x -1}∪{x|x 2} 【答案】B【解析】由题可得C R A={x|x 2-x-2≤0}，所以{x|-1x 2}【考点定位】集合3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是：A 、新农村建设后，种植收入减少。
B 、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C 、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D 、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
【答案】A【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，【考点定位】简单统计4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=A、-12B、-10C、10D、12【答案】B【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10【考点定位】等差数列求和5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：A、y=-2xB、y=-xC、y=2xD、y=x【答案】D【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1f（x）=x3+x求导f‘（x）=3x2+1f‘（0）=1 所以选D【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=A、--B、--C、-+D、-【答案】A【解析】AD 为BC 边∴上的中线 AD=AC 21AB 21+ E 为AD 的中点∴AE=AC 41AB 41AD 21+= EB=AB-AE=AC 41AB 43）AC 41AB 41（-AB -=+= 【考点定位】向量的加减法、线段的中点7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为11A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A 、B 、C 、3D 、2 【答案】B【解析】将圆柱体的侧面从A 点展开：注意到B 点在41圆周处。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）=（）A．i B．C．D．2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．43．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（）A．4B．3C．2D．05．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．27．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+48．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．CD．10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50B．0C．2D．5012．（5分）已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A 且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(03 函数的性质及其应用)
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（03函数的性质及其应用）一、选择题1. （2018上海）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ） （A ）3（B ）32（C ）33（D ）02．（2018浙江）函数y =||2x sin2x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2.答案：D解答：令||()2sin 2x y f x x ==，||||()2sin(2)2sin 2()x x f x x x f x --=-=-=-，所以()f x 为奇函数①；当(0,)x p Î时，||20x >，sin 2x 可正可负，所以()f x 可正可负②.由①②可知，选D.3．（2018天津文）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>3．【答案】D【解析】由题意可知：3337log 3log log 92<<，即12a <<，11031110444⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即01b <<，133317log log 5log 52=>，即c a >，综上可得：c a b >>．故选D ．4．（2018天津理）已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） (A) a b c >>(B) b a c >> (C) c b a >> (D) c a b >>4．【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln 20,1log e b ==∈，12221log log 3o 3e l g c ==>， 据此可得c a b >>，故选D ．5．（2018全国新课标Ⅰ文）设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ） A ．(]1-∞-， B ．()0+∞， C ．()10-， D ．()0-∞，5.答案：D解答：取12x =-，则化为1()(1)2f f <-，满足，排除,A B ； 取1x =-，则化为(0)(2)f f <-，满足，排除C ，故选D .6．（2018全国新课标Ⅰ理）已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）6. 答案：C解答：∵()()g x f x x a =++存在2个零点，即()y f x =与y x a =--有两个交点，)(x f 的图象如下：要使得y x a =--与)(x f 有两个交点，则有1a -≤即1a ≥-，∴选C.7．（2018全国新课标Ⅱ文、理）函数()2e e x xf x x --=的图像大致为（ ）7．【答案】B【解析】0x ≠Q ，()()2ee x xf x f x x ---==-，()f x ∴为奇函数，舍去A ，()11e e 0f -=->Q ， ∴舍去D ；()()()()()243ee e e 22e 2e xx x x x xx xx x f x xx---+---++='=Q ，2x ∴>，()0f x '>，所以舍去C ；因此选B ．8．（2018全国新课标Ⅲ文）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+8.答案：B解答：()f x 关于1x =对称，则()(2)ln(2)f x f x x =-=-.故选B.9．（2018全国新课标Ⅲ文、理）函数422y x x =-++的图像大致为（ ）9．答案：D解答：当0x =时，2y =，可以排除A 、B 选项；又因为322424(y x x x x x '=-+=-+，则()0f x '>的解集为22(,)(0,)22-∞-U ，()f x 单调递增区间为2(,)2-∞-，2(0,2；()0f x '<的解集为22(,)22-+∞U ，()f x 单调递减区间为2(2-，2()2+∞.结合图象， 可知D 选项正确.10．（2018全国新课标Ⅱ文、理）已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=L （ ）10．【答案】C 【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，()()()311f x f x f x ∴+=-+=-，4T ∴=，因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦L ， 因为()()31f f =-，()()42f f =-，所以()()()()12340f f f f +++=，()()()222f f f =-=-Q ，()20f ∴=，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L ，选C ．11．（2018全国新课标Ⅲ理）设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+11．答案：B解答：∵0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，∴0.31log 0.2a =，0.31log 2b =， ∴0.311log 0.4a b +=，∴1101a b <+<即01a b ab+<<， 又∵0a >，0b <，∴0ab a b <+<，故选B.二、填空:1．（2018北京理）能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________． 1．【答案】sin y x =（答案不唯一） 【解析】令()(]00402x f x x x =⎧⎪=⎨-∈⎪⎩，，，，则()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立， 但()f x 在[]0,2上不是增函数．又如，令()sin f x x =，则()00f =，()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，但()f x 在[]0,2上不是增函数．2. （2018上海）设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(04 导数及其应用)
则曲线 y 2ln x 在点 1,0 处的切线的斜率为 k f 1 2 ， 则所求切线方程为 y 0 2 x 1 ，即 y 2x 2 ．
4．（2018 全国新课标Ⅱ理）曲线 y 2 ln(x 1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为__________．
4．【答案】 y 2x
x
,1
1
1,1a
f x
0
f x
Z
极大值
]
f x 在 x 1处取得极大值，不合题意． ③当 x1 x2 ，即 a 1时， f x ， f x 随 x 的变化情况如下表：
x
,1 a
1 a
1 a
,1
f x
0
1 a 0 极小值
1 0
1 a
,
Z
1,
f x
Z
极大值
]
极小值
Z
f x 在 x 1处取得极小值，即 a 1满足题意．
1 x
1)2 k 1
4
16
0 ，得 h(x) 有两个极值点 x1, x2 (x1 x2 ) ，
∴
1 x1
1 4
，∴ 0
x1
16 .
可知 h(x) 在 (0, x1) 递增， (x1, x2 ) 递减， (x2 , ) 递增，
∴ h(x1) kx1
x1
ln x1
a
( 2
1 x1
1) x1
（1）证明：函数 f (x) x 与 g(x) x2 2x 2 不存在“S 点”；
（2）若函数 f (x) ax2 1与 g(x) ln x 存在“S 点”，求实数 a 的值； （3）已知函数 f (x) x2 a ，g(x) bex ．对任意 a 0 ，判断是否存在 b 0 ，使函数 f (x) 与 g(x)
2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数附答案详解
2018-2019年高考数学试题分类汇编三角函数一、选择题.1、（2018年高考全国卷1文科8）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，则（）A．f（x）的最小正周期为π，最大值为3B．f（x）的最小正周期为π，最大值为4C．f（x）的最小正周期为2π，最大值为3D．f（x）的最小正周期为2π，最大值为4【解答】解：函数f（x）=2cos2x﹣sin2x+2，=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x，=4cos2x+sin2x，=3cos2x+1，=，=，故函数的最小正周期为π，函数的最大值为，故选：B．2、（2018年高考全国卷1文科11）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，则|a﹣b|=（）A．B．C．D．1【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2α=，∴cos2α=2cos2α﹣1=，解得cos2α=，∴|cosα|=，∴|sinα|==，|tanα|=||=|a﹣b|===．故选：B．3、（2018年高考全国卷3理科4）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．4、（2018年高考全国卷3理科9文科11）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．5、（2018年高考全国卷2理科6文科7）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4 B． C． D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．6、（2018年高考全国卷2理科10）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．7、（2018年高考全国卷2文科）10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C． D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=﹣sin（x﹣），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，由f（x）在[0，a]是减函数，得a≤．则a的最大值是．故选：C8、（2018年高考全国卷3文科4）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．9、（2018年高考全国卷3文科6）函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：函数f（x）===sin2x的最小正周期为=π，故选：C．10、（2018年高考北京卷理科7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由题意d==，tanα=﹣，∴当sin（θ+α）=﹣1时，d max=1+≤3．∴d的最大值为3．故选：C．11、（2018年高考北京卷文科7）在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2=1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．12、（2018年高考天津卷文理科6）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间[，]上单调递增B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x ≤，k ∈Z ， 减区间满足：≤2x ≤，k ∈Z ，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k ∈Z ， 减区间为[+kπ，+kπ]，k ∈Z ，∴将函数y=sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A ．13、（2019年高考全国I 卷文理科5）函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答案：D解析：因为)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数又01)(2>-=πππf ，124412)2(22>+=+=πππππf ，故选D 14、（2019年高考全国I 卷理科11）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③答案：C解析：由)(|sin |||sin |)sin(|||sin )(x f x x x x x f =+=-+-=-，故①正确；),2(ππ∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数递减，故②错误；],0[π∈x 时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，函数有2个零点，0)()0(==πf f ，而],0[π∈x 时0)()0(=-=πf f ，所以函数有且只有3个零点，故③错误；函数为偶函数，只需讨论0>x ，N k k k x ∈+∈),2,2(πππ时，x x x x f sin 2sin sin )(=+=，最大值为2，N k k k x ∈++∈),22,2(ππππ时，0sin sin )(=-=x x x f ，故函数最大值为2，故④正确。
高三数学-2018年全国各地高考题目分章整理(函数部分) 精品
若[1 f (a)][1 f (b)] 8 ,则f(a - b)的值为 ( (A) 1 (B)2 (C)3 (D) log2 3
1
1
)
(04湖南理3)
3、函数的性质：单调性、奇偶性、周期性
(1)奇偶性(1题)
已知函数 f ( x ) lg A．b B．－b
1 x .若f (a ) b.则f ( a ) （ 1 x 1 1
） D
(04重庆理1)
[2 3 ,1]
(2 3 ,1]
命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充要条件。 命题q：函数y= | x 1 | 2 的定义域是（-∞，-1]∪[3，+∞). 则 ( ) （A）“p或q”为假 （B）“p且q”为真 (04福建理3) （C）p真q假 （D）p假q真
C．
b
D．－
b
） (04全国卷Ⅰ理2 )
(2)单调性(7题)
函数 y 2 sin( 2 x )( x [0, ])为增函数的区间是(
6
A. [0,
3
]
7 5 [ , ] ] B. 12 12 C. [ , 3 6
5 [ D. 6 , ]
) (04天津理9)
函数 f ( x) 2a loga ( x 1) 在[0，1]上的最大值与最小值之和为 a,则a的值为 ( ) (04湖北理7) 1 1 （A） （B） （C）2 （D）4 2 4
函数 y x cos x sinx在下面哪个区间内是增函数 （B ）
3 5 ( , 2 ) ( , ) ( A． B． C． , ) 2 2 2 2
2018年全国高考(理科)数学试题分类汇编：三角函数
全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数一、选择题1 （浙江数学（理）试题）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43C.43-D.34-*C2 （高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定*B3 （天津数学（理）试题）在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠(B)C 4 （山东数学（理）试题）将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-*B5 （辽宁数学（理）试题）在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56π *A 6 （大纲版数学（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x()f x 既奇函数,又是周期函数*C 7 （山东数学（理）试题）函数cos sin y x x x =+的图象大致为*D8 （高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )(A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π*A9 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是( )(A)sin y x = (B)cos y x = (C)sin 2y x = (D)cos 2y x =*B10（重庆数学（理）试题）04cos50tan 40-= ( )1*C 11（高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A.12π B.6π C.4π D.3π*D12（高考湖北卷（理））将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π*B 二、填空题13（浙江数学（理）试题）ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.*314（高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______*.15（福建数学（理）试题）如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________16（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数2sin y x =的最小正周期是_________*2π17（高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是________18（高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()________x y +=*2sin()3x y +=. 19（高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)*1arccos 3C π=-20（大纲版数学（理））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________.* 21（江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.*π22（上海市春季高考数学试卷(含答案)）在ABC ∆中,角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、,若5 8 60a b B === ，，,则b=_______*723（安徽数学（理）试题）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.*π3224（新课标Ⅱ卷数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=____*25（高考江西卷（理））函数2sin 2y x x =+的最小正周期为T 为_________.*π 26（上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数4sin 3cos y x x =+的最大值是_________*5 三、解答题27（高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b ,∠B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.*解:(I)因为a =3,b =2,∠B =2∠A . 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =.所以2s i n c o s6s i n A A A =.故cos A =. (II)由(I)知cos A =,所以sin A ==.又因为∠B=2∠A,所以21c o s2c o s 13B A =-=.所以sin 3B ==. 在△ABC中,sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=. 所以sin 5sin a C c A ==.28（高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.*解:(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ==22T . 所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈.]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . 所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.29（重庆数学（理）试题）在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==求tan α的值.【答案】 由题意得30（天津数学（理）试题）已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.*31（辽宁数学（理）试题）设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值*32（高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.*(1)因为0ω>,根据题意有 34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2)()2sin(2)f x x =,()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈, 即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π, 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 33（大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B(II)若sin sin A C =求C .*34（高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.*解:()I 由()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-,得 ()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦, 即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-, 则()3cos 5A B B -+=-,即3cos 5A =- ()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4sin 5A =, 由正弦定理,有sin sin a b A B =,所以,sin sin b A B a ==. 由题知a b >,则A B >,故4B π=. 根据余弦定理,有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭, 解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2BA B = 35（山东数学（理）试题）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =.(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.*解:(Ⅰ)由余弦定理2222cos b a c ac B =+-,得()222(1cos )b ac ac B =+-+, 又6a c +=,2b =,7cos 9B =,所以9ac =,解得3a =,3c =. (Ⅱ)在△ABC中,sin B ==, 由正弦定理得sin sin a B A b ==, 因为a c =,所以A 为锐角,所以1cos 3A ==因此sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=.36（安徽数学（理）试题）已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π. (Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.*解: (Ⅰ)2)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x122=⇒=⇒ωπωπ.所以1,2)42s i n (2)(=++=ωπx x f (Ⅱ) ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x所以.]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y = 37（福建数学（理）试题）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. (1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2018个零点.*解:(Ⅰ)由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π,0ω>,得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π,(0,)ϕπ∈ 故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=,得2πϕ=,所以()cos 2f x x = 将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得cos y x =的图象,再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x = (Ⅱ)当(,)64x ππ∈时,1sin 2x <<,10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >> 问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-,(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈,所以()0G x '>,()G x 在(,)64ππ内单调递增 又1()064G π=-<,()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断,故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x , 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 (Ⅲ)依题意,()sin cos 2F x a x x =+,令()sin cos 20F x a x x =+= 当sin 0x =,即()x k k Z π=∈时,cos 21x =,从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解,所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x =-,()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x =-,(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况 22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=,令()0h x '=,得2x π=或32x π= 当x 变化时,()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时,()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时,()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时,()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时,()h x 趋向于+∞ 故当1a >时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点,在(,2)ππ内有2个交点; 当1a <-时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内无交点; 当11a -<<时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点,在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性,可知当1a ≠±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点,从而不存在正整数n ,使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点;当1a =±时,直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点,由周期性,20133671=⨯,所以67121342n =⨯= 综上,当1a =±,1342n =时,函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点38（江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= ,求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c = ,若a b c +=,求βα,的值.*解:(1)∵2||=- ∴2||2=- 即()22222=+-=-, 又∵1sin cos ||2222=+==αα,1sin cos ||2222=+==ββ∴222=-∴0=∴⊥ (2)∵)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβα ∴⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα即⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos 两边分别平方再相加得:βsin 221-= ∴21sin =β ∴21sin =α ∵παβ<<<0 ∴πβπα61,65==39（广东省数学（理）卷）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.*(Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ)222cos2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭c o s 2s i θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.40（高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()f α=求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.*解: (I)533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f . 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且(II)21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππ41（江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为m i n /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C .(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?*解:(1)∵1312cos =A ,53cos =C ∴），（、20π∈C A ∴135sin =A ,54sin =C ∴[]6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（π 根据s i n B s i n C AC AB =得m C AC AB 1040sin sinB== (2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d ∴)507037(20022+-=t t d ∵13010400≤≤t 即80≤≤t ∴3735=t 时,即乙出发3735分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理sinB sinA AC BC =得50013565631260sin sinB ===A AC BC (m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min /m ,则350710500≤-v ∴3507105003≤-≤-v ∴14625431250≤≤v ∴为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250范围内 法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m. (2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2), 由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000, 其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050 =1265 (min). 若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265 +3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) . 此时乙的速度最小,且为:500÷865 =125043 m/min. 若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265 -3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) . 此时乙的速度最大,且为:500÷565 =62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043 ,62514]范围内.42（高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.CBAC BADMN*解:(I)由已知条件得:cos23cos 1A A += 22cos 3cos 20A A ∴+-=,解得1cos 2A =,角60A =︒(II)1sin 2S bc A ==4c ⇒=,由余弦定理得:221a =,()222228sin a R A== 25sin sin 47bc B C R ∴==43（新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.*44（高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA *(Ⅰ)由已知得,∠PBC=o 60,∴∠PBA=30o,在△PBA 中,由余弦定理得2PA =o 1132cos3042+-=74,∴; (Ⅱ)设∠PBA=α,由已知得,PB=sin α,在△PBA 中,由正弦定理得osin sin(30)αα=-,化简得4sin αα=, ∴tan α,∴tan PBA ∠.45（上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n nP AP θ+∠=,n N *∈.(1)若31arctan 3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.[解](1) (2)*[解](1)设(0 )A t ，,根据题意,12n n x -=.由31arctan3θ=,知31tan 3θ=, 而3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅, 所以241323t t =+,解得4t =或8t =. 故点A 的坐标为(0 4)，或(0 8)，. (2)由题意,点n P 的坐标为1(2 0)n -，,1tan n n OAP -∠=. 111212tan tan()1n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===+. 因为2n ≥,所以tan n θ≤=, 当且仅当n=,即4n =时等号成立. 易知0 t an 2n y x πθ<<=，在(0 )2π，上为增函数, 因此,当4n =时,n θ最大,其最大值为arctan 4. 46（高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围*解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin sin cos 0AB A B = 因为sin 0A ≠,所以sin cos 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3B π=. (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有2114b ≤<,即有112b ≤<.。
2018年高考真题理科数学分类汇编(解析版)：函数及答案
2018年高考真题理科数学分类汇编（解析版）
函 数
1、（2018年高考（安徽卷））函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥ 个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n n
f x f x f x x x x 则n 的取值范围是 （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4
（C ） {}3,4,5 （D ）{}2,3
【答案】B
【解析】由题知，过原点的直线与曲线相交的个数即n 的取值.用尺规作图，交点可取2,3,4. 所以选B
2、（2018年高考（北京卷））函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=
A.1e x +
B. 1e x -
C. 1e x -+
D. 1e x --
3、（2018年高考（广东卷））定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,2
1y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是( )
A . 4
B ．3
C ．2
D ． 【解析】C ；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为3y x =与2sin y x =,故选C ．
4、（2018年高考（全国（广西）卷））已知函数()()()-1,021f x f x -的定义域为，则函数的定义域为
（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()-1,0 （D ）1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】由题意可知 1210,x -<+<，则1
12x -<<-。
故选B。
2018年高考数学分类汇编函数及答案解析
2018年高考数学分类汇编函数一．选择题1、（2018年高考全国卷I文科5）（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．2、（2018年高考全国卷1文科9）（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．3、（2018年高考全国卷1理科2）（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A={x|﹣1≤x≤2}．故选：B．4、（2018年高考全国卷1理科5）（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x【解答】解：函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．5、（2018年高考全国卷1理科9）（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．6、（2018年高考全国卷2文科3）（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．CD．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．7、（2018年高考全国卷2文科12）（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．8、（2018年高考全国卷2理科3）（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．9.（2018年高考全国卷2理科11）（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．10.（2018年高考全国卷3文科7）（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（）A．y=ln（1﹣x）B．y=ln（2﹣x）C．y=ln（1+x） D．y=ln（2+x）【解答】解：首先根据函数y=lnx的图象，则：函数y=lnx的图象与y=ln（﹣x）的图象关于y轴对称．由于函数y=lnx的图象关于直线x=1对称．则：把函数y=ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y=ln（2﹣x）．即所求得解析式为：y=ln（2﹣x）．故选：B．11.（2018年高考全国卷3文科9）（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，故选：D．12.（2018年高考全国卷3理科7）（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，排除C，故选：D．13.（2018年高考全国卷3理科12）（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故选：B．14.（2018年北京市高考数学试卷文科8）（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y ≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x ﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．15.（2018年北京市高考数学试卷理科8）（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay ≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉AC．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤时，（2，1）∉A【解答】解：当a=﹣1时，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y ≥1，﹣x+y＞4，x+y≤2}，显然（2，1）不满足，﹣x+y＞4，x+y≤2，所以A，C不正确；当a=4，集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}={（x，y）|x﹣y≥1，4x+y＞4，x ﹣4y≤2}，显然（2，1）在可行域内，满足不等式，所以B不正确；故选：D．16.（2018年上海市高考数学试卷16）（5分）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的可能取值只能是（）A．B．C．D．0【解答】解：设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，故f（1）=cos=，故选：B．17.（2018年浙江省高考数学试卷5）（4分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数的解析式y=2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x=时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．18.（2018年天津市高考数学试卷文科3）（5分）设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由x3＞8，得x＞2，则|x|＞2，反之，由|x|＞2，得x＜﹣2或x＞2，则x3＜﹣8或x3＞8．即“x3＞8”是“|x|＞2”的充分不必要条件．故选：A．19.（2018年天津市高考数学试卷文科5）（5分）已知a=log3，b=（），c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：∵a=log 3，c=log=log35，且5，∴，则b=（）＜，∴c＞a＞b．故选：D．20.（2018年天津市高考数学试卷理科5）（5分）已知a=log2e，b=ln2，c=log，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【解答】解：a=log 2e＞1，0＜b=ln2＜1，c=log=log23＞log2e=a，则a，b，c的大小关系c＞a＞b，故选：D．二．填空题1.（2018年高考全国卷I文科13）（5分）已知函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，则a=．【解答】解：函数f（x）=log2（x2+a），若f（3）=1，可得：log2（9+a）=1，可得a=﹣7．故答案为：﹣7．2.（2018年高考全国卷2文科13）（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y=2lnx，∴y′=，当x=1时，y′=2∴曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x﹣2．故答案为：y=2x﹣2．3.（2018年高考全国卷2理科13）（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．【解答】解：∵y=2ln（x+1），∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．4.（2018年高考全国卷3文科16）（5分）已知函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，则f（﹣a）=．【解答】解：函数g（x）=ln（﹣x）满足g（﹣x）=ln（+x）==﹣ln（﹣x）=﹣g（x），所以g（x）是奇函数．函数f（x）=ln（﹣x）+1，f（a）=4，可得f（a）=4=ln（﹣a）+1，可得ln（﹣a）=3，则f（﹣a）=﹣ln（﹣a）+1=﹣3+1=﹣2．故答案为：﹣2．5.（2018年高考全国卷3理科14）（5分）曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=．【解答】解：曲线y=（ax+1）e x，可得y′=ae x+（ax+1）e x，曲线y=（ax+1）e x在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．6.（2018年北京市高考数学试卷理科13）（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是．【解答】解：例如f（x）=sinx，尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，故答案为：f（x）=sinx．7.（2018年江苏省高考数学试卷5）（5分）函数f（x）=的定义域为．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．8.（2018年江苏省高考数学试卷9）（5分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：9.（2018年江苏省高考数学试卷11）（5分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．10（2018年上海市高考数学试卷4)（4分）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=．【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．f（x）的反函数的图象经过点（3，1），∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），∴log2（1+a）=3，解得a=7．故答案为：7．10.（2018年上海市高考数学试卷7)（5分）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=．【解答】解：∵α∈{﹣2，﹣1，，1，2，3}，幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a是奇数，且a＜0，∴a=﹣1．故答案为：﹣1．11.（2018年上海市高考数学试卷11)（5分）已知常数a＞0，函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．若2p+q=36pq，则a=．【解答】解：函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为：612.（2018年上海市高考数学试卷12)（5分）已知实数x1、x2、y1、y2满足：x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，则+的最大值为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，且•=1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然d1+d2≤AB=1，即+的最大值为1，故答案为：1．13.（2018年天津市高考数学试卷文科10）（5分）已知函数f（x）=e x lnx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（1）的值为．【解答】解：函数f（x）=e x lnx，则f′（x）=e x lnx+•e x；∴f′（1）=e•ln1+1•e=e．故答案为：e．14.（2018年天津市高考数学试卷文科13）（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．15.（2018年天津市高考数学试卷文科14）（5分）己知a∈R，函数f（x）=．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，函数f（x）=x2+2x+a﹣2的对称轴为x=﹣1，抛物线开口向上，要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则只需要f（﹣3）≤|﹣3|=3，即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）=﹣x2+2x﹣2a，则直线y=x的下方或在y=x上，由﹣x2+2x﹣2a=x，即x2﹣x+2a=0，由判别式△=1﹣8a≤0，得a≥，综上≤a≤2，故答案为：[，2]．16.（2018年天津市高考数学试卷理科13）（5分）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，则2a+的最小值为．【解答】解：a，b∈R，且a﹣3b+6=0，可得：3b=a+6，则2a+==≥2=，当且仅当2a=．即a=﹣3时取等号．函数的最小值为：．故答案为：．17.（2018年天津市高考数学试卷理科14）（5分）已知a＞0，函数f（x）=．若关于x的方程f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=ax得x2+2ax+a=ax，得x2+ax+a=0，得a（x+1）=﹣x2，得a=﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=﹣=﹣，由g（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x=﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）=4，当x＞0时，由f（x）=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax，得x2﹣ax+2a=0，得a（x﹣2）=x2，当x=2时，方程不成立，当x≠2时，a=设h（x）=，则h′（x）==，由h（x）＞0得x＞4，此时递增，由h（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x=4时，h（x）取得极小值为h（4）=8，要使f（x）=ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）19（2018年浙江省高考数学试卷15）（6分）已知λ∈R，函数f（x）=，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集是．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是．【解答】解：当λ=2时函数f（x）=，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．函数f（x）恰有2个零点，函数f（x）=的草图如图：函数f（x）恰有2个零点，则λ∈（1，3]．故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]．三.解答题1.（2018年高考全国卷I文科21）（12分）已知函数f（x）=ae x﹣lnx﹣1．（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．【解答】解：（1）∵函数f（x）=ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）=ae x﹣，∵x=2是f（x）的极值点，∴f′（2）=ae2﹣=0，解得a=，∴f（x）=e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）=，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．证明：（2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）=﹣lnx﹣1，则﹣，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x=1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）=0，∴当a≥时，f（x）≥0．2.（2018年高考全国卷I理科21）（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，设g（x）=x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△=a2﹣4，①当0＜a≤4时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则=﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnx﹣x +，（0＜x＜1），其中h（1）=0，求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x +＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．3.（2018年高考全国卷2文科21）（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x3﹣a（x2+x+1），所以f′（x）=x2﹣6x﹣3时，令f′（x）=0解得x=3，当x∈（﹣∞，3﹣2），x∈（3﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（3﹣2时，f′（x）＜0，函数是单调递减，综上，f（x）在（﹣∞，3﹣2），（3﹣2，+∞），上是增函数，在（3﹣2上递减．（2）证明：因为x2+x+1=（x+）2+，所以f（x）=0等价于，令，则，所以g（x）在R上是增函数；取x=max{9a，1}，则有=，取x=min{9a，﹣1}，则有=，所以g（x）在（min{9a，﹣1}，max{9a，1}）上有一个零点，由单调性则可知，f（x）只有一个零点．4.（2018年高考全国卷2理科21）（12分）已知函数f（x）=e x﹣ax2．（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=e x﹣x2．则f′（x）=e x﹣2x，令g（x）=e x﹣2x，则g′（x）=e x﹣2，令g′（x）=0，得x=ln2．当∈（0，ln2）时，h′（x）＜0，当∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）≥h（ln2）=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2＞0，∴f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）≥f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+∞）只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在（0，+∞）只有一个根，⇔a=在（0，+∞）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+∞）只有一个交点．G，当x∈（0，2）时，G′（x）＜0，当∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递增，当→0时，G（x）→+∞，当→+∞时，G（x）→+∞，∴f（x）在（0，+∞）只有一个零点时，a=G（2）=．5.（2018年高考全国卷3文科21）（12分）已知函数f（x）=．（1）求曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．【解答】解：（1）=﹣．∴f′（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k=2，∴曲线y=f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）=2x．即2x﹣y﹣1=0为所求．（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得=﹣．令f′（x）=0，可得，当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，注意到a≥1时，函数g（x）=ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（@）=4a+1＞0函数g（x）的图象如下：∵a≥1，∴，则≥﹣e，∴f（x）≥﹣e，∴当a≥1时，f（x）+e≥0．6.（2018年高考全国卷3理科21）（12分）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，显然h″（x）单调递减，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；②若﹣＜a＜0，则h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一个零点，设为x0，∴当0＜x＜x0时，h″（x）＞0，h′（x）单调递增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递增，不符合题意；③若a＜﹣，则h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一个零点，设为x1，∴当x1＜x＜0时，h″（x）＜0，h′（x）单调递减，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）单调递增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x1，0）上单调递减，不符合题意．综上，a=﹣．7.（2018年北京市高考数学试卷文科19)（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x．曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，可得（4a﹣2a﹣2+1）e2=0，解得a=；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（a+1）x+1]e x=（x﹣1）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞1，f′（x）＜0，f（x）递减．x=1处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=1，则f′（x）=（x﹣1）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞1，则＜1，f（x）在（，1）递减；在（1，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=1处取得极小值；若0＜a＜1，则＞1，f（x）在（1，）递减；在（，+∞），（﹣∞，1）递增，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜1，f（x）在（，1）递增；在（1，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（1，+∞）．8.（2018年北京市高考数学试卷理科18)（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]e x=（x﹣2）（ax﹣1）e x，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2e x≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．综上可得，a的范围是（，+∞）．9.（2018年江苏省高考数学试卷19）（16分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g （x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．10.（2018年天津市高考数学试卷文科20）（14分）设函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．（Ⅰ）若t2=0，d=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若d=3，求f（x）的极值；（Ⅲ）若曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，求d的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），t2=0，d=1时，f（x）=x（x+1）（x﹣1）=x3﹣x，∴f′（x）=3x2﹣1，f（0）=0，f′（0）=﹣1，∴y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0=﹣1×（x﹣0），即x+y=0；（Ⅱ）d=3时，f（x）=（x﹣t2+3）（x﹣t2）（x﹣t2﹣3）=﹣9（x﹣t2）=x3﹣3t2x2+（3﹣9）x ﹣+9t2；∴f′（x）=3x2﹣6t2x+3﹣9，令f′（x）=0，解得x=t2﹣或x=t2+；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表；x（﹣∞，t2﹣）t2﹣（t2﹣，t2+）t2+（t2+，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调增极大值单调减极小值单调增∴f（x）的极大值为f（t2﹣）=﹣9×（﹣）=6，极小值为f（t2+）=﹣9×=﹣6；（Ⅲ）曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有三个互异的公共点，等价于关于x的方程（x﹣t2+d）（x﹣t2）（x﹣t2﹣d）+（x﹣t2）﹣6=0有三个互异的实数根，令u=x﹣t2，可得u3+（1﹣d2）u+6=0；设函数g（x）=x3+（1﹣d2）x+6，则曲线y=f（x）与直线y=﹣（x﹣t2）﹣6有3个互异的公共点，等价于函数y=g（x）有三个不同的零点；又g′（x）=3x2+（1﹣d2），当d2≤1时，g′（x）≥0恒成立，此时g（x）在R上单调递增，不合题意；当d2＞1时，令g′（x）=0，解得x1=﹣，x2=；∴g（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上也单调递增；∴g（x）的极大值为g（x1）=g （﹣）=+6＞0；极小值为g（x2）=g （）=﹣+6；若g（x2）≥0，由g（x）的单调性可知，函数g（x）至多有两个零点，不合题意；若g（x2）＜0，即＞27，解得|d|＞，此时|d|＞x2，g（|d|）=|d|+6＞0，且﹣2|d|＜x1；g（﹣2|d|）=﹣6|d|3﹣2|d|+6＜0，从而由g（x）的单调性可知，函数y=g（x）在区间（﹣2|d|，x1），（x1，x2），（x2，|d|）内各有一个零点，符合题意；∴d的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．11.（2018年天津市高考数学试卷理科20）（14分）已知函数f（x）=a x，g（x）=log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．【解答】（Ⅰ）解：由已知，h（x）=a x﹣xlna，有h′（x）=a x lna﹣lna，令h′（x）=0，解得x=0．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）↓极小值↑∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=a x lna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，两边取以a为底数的对数，得log a x2+x1+2log a lna=0，∴x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，log a x2）处的切线l2：．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线，只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）存在零点．u′（x）=1﹣（lna）2xa x，可知x∈（﹣∞，0）时，u′（x）＞0；x∈（0，+∞）时，u′（x）单调递减，又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．∵，故lnlna≥﹣1．∴=．下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，由（Ⅰ）可得a x≥1+xlna，当时，有u（x）≤=．∴存在实数t，使得u（t）＜0．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线．12.（2018年浙江省高考数学试卷22）（15分）已知函数f（x）=﹣lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，∴x＞0，f′（x）=﹣，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，∵x1≠x2，∴x1x2＞256，由题意得f（x 1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，∴列表讨论：x（0，16）16（16，+∞）g′（x）﹣0+g（x）↓2﹣4ln2↑∴g（x）在[256，+∞）上单调递增，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．312018高考数学汇编函数第页共页。
2018年高考理科数学分类汇编---三角函数
2018年全国高考理科数学分类汇编——三角函数1.（北京）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为．【解答】解：函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得：，k∈Z，解得ω=，k∈Z，ω＞0则ω的最小值为：．故答案为：．2.（北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，∵cosB=﹣，∴sinB===，由正弦定理得=得sinA===，则A=．（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，即64=49+c2+2×7×c×，即c2+2c﹣15=0，得（c﹣3）（c+5）=0，得c=3或c=﹣5（舍），则AC边上的高h=csinA=3×=．3. （江苏）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值是．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．4.（江苏）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．5.（江苏）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，α），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．6. （江苏）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【解答】解：（1）S=（40sinθ+10）•80cosθ矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；（2）θ=时总产值y最大．7.（全国1卷）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．8.（全国1卷）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC=2，求BC．【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．∴由正弦定理得：=，即=，∴sin∠ADB==，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB==．（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，∵DC=2，∴BC===5．9.（全国2卷）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）AA．4B．C．D．2【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．10. （全国2卷）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．11.（全国2卷）已知sinα+cosβ=l，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【解答】解：sinα+cosβ=l，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=．故答案为：．12.（全国3卷）若sinα=，则cos2α=（）BA．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故选：B．13.（全国3卷）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）CA．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为，∴S==，∴sinC==cosC，△ABC∵0＜C＜π，∴C=．故选：C．14.（全国3卷）函数f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零点个数为3．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，当k=0时，x=，当k=1时，x=π，当k=2时，x=π，当k=3时，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零点的个数为3，故答案为：315.（上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．（1）若f（x）为偶函数，求a的值；（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，∴2asin2x=0，∴a=0；（2）∵f（）=+1，∴asin+2cos2（）=a+1=+1，∴a=，∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（x+）+1，∵f（x）=1﹣，∴2sin（x+）+1=1﹣，∴sin（x+）=﹣，∴x+=﹣+2kπ，或x+=π+2kπ，k∈Z，∴x=﹣π+2kπ，或x=π+2kπ，k∈Z，∵x∈[﹣π，π]，∴x=或x=π．16.（天津）将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）AA．在区间[，]上单调递增 B．在区间[，π]上单调递减C．在区间[，]上单调递增D．在区间[，2π]上单调递减解：将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为：y=sin2x，增区间满足：﹣+2kπ≤2x≤，k∈Z，减区间满足：≤2x≤，k ∈Z，∴增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，减区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，∴将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：A．17.（天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，又bsinA=acos（B﹣）．∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin =cosB+，∴tanB=，又B∈（0，π），∴B=．（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，∵a＜c，∴cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，cos2A=2cos2A﹣1=，∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．18. （浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=，c=3．【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．a=，b=2，A=60°，∴由正弦定理得：，即=，解得sinB==．由余弦定理得：cos60°=，解得c=3或c=﹣1（舍），∴sinB=，c=3．故答案为：，3．19.（浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）．∴x=﹣，y=，r=|OP|=，∴sin（α+π）=﹣sinα=；（Ⅱ）由x=﹣，y=，r=|OP|=1，得，，又由sin（α+β）=，得=，则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=，或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=．∴cosβ的值为或．。
2018年高考试题分类汇编(三角函数)
2018年高考试题分类汇编(三角函数) 2018年高考试题分类汇编（三角函数）考点1：任意角的三角函数考法1：三角函数的定义已知角$\alpha$的顶点与坐标原点重合，始边与$x$轴的非负半轴重合，终边上两点$A(1,a)$，$B(2,b)$，且$\cos2\alpha=\frac{1}{3}$，则$a-b=5\sqrt{3}$。
考法2：三角函数的图像与性质1.（2018·全国卷Ⅲ理）函数$f(x)=\cos(3x+\frac{\pi}{6})$在$[0,\pi]$的零点的个数为6.2.（2018·江苏）已知函数$y=\sin(2x+\varphi)$，($-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$)关于直线$x=\frac{\pi}{4}$对称，则$\varphi$的值是$-\frac{\pi}{4}$。
3.（2018·天津文科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象关于直线$x=\frac{\pi}{3}$对称的图象对应的函数为$y=\sin(2x+\frac{5\pi}{6})$。
4.（2018·天津理科）将函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的图象向右平移$\frac{1}{2}$个单位长度，所得图象对应的函数在区间$[\frac{3\pi}{4},2\pi]$上单调递减。
5.（2018·北京理科）设函数$f(x)=\cos(\omega x-\frac{\pi}{4})$，若$f(x)\leq f(\frac{\pi}{4})$对任意的实数$x$都成立，则$\omega$的最小值为$\frac{2}{\pi}$。
6.（2018·全国卷Ⅱ文科）若函数$f(x)=\cos x-\sin x$在$[0,a]$是减函数，则$a$的最大值为$\frac{3\pi}{4}$。
2018年高考数学—函数(解答+答案)
3
8.（18 北京文（19）（本小题 13 分））
设函数 f (x) [ax2 (3a 1)x 3a 2]ex . （Ⅰ）若曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a； （Ⅱ）若 f (x) 在 x 1处取得极小值，求 a 的取值范围.
9.（18 全国二文 21．（12 分））
当 1 x 0 时，g(x) 0 ；当 x 0 时，g(x) 0 .故当 x 1 时，g(x) g(0) 0 ，
且仅当 x 0 时， g(x) 0 ，从而 f (x) 0 ，且仅当 x 0 时， f (x) 0 .
所以 f (x) 在 (1, ) 单调递增.学#科网
又 f (0) 0 ，故当 1 x 0 时， f (x) 0；当 x 0 时， f (x) 0 .
f (x) 在 (0, ) 只有一个零点当且仅当 h(x) 在 (0, ) 只有一个零点．
（i）当 a 0 时， h(x) 0 ， h(x) 没有零点； （ii）当 a 0 时， h'(x) ax(x 2)ex ．
当 x (0, 2) 时， h'(x) 0 ；当 x (2, ) 时， h'(x) 0 ．
7
综上， f (x) 在 (0, ) 只有一个零点时， a e2 ． 4
4.解：（1）当 a 0 时， f (x) (2 x) ln(1 x) 2x ， f (x) ln(1 x) x . 1 x
设函数 g(x)
f
(x)
ln(1 x) x 1 x
，则 g(x)
x (1 x)2
.
（1）若 a 0 ，证明：当 1 x 0时， f x 0 ；当 x 0 时， f x 0 ； （2）若 x 0 是 f x 的极大值点，求 a ．
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全国高考理科数学试题分类汇编2：函数
一、选择题
1 （高考江西卷（理））函数
的定义域为
A.(0,1)
B.[0,1)
C.(0,1]
D.[0,1]*D 2 （重庆数学（理）试题）若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )
A.(),a b 和(),b c 内
B.(),a -∞和(),a b 内
C.(),b c 和(),c +∞内
D.(),a -∞和(),c +∞内*A
3 （上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数1
2()f x x -=的大致图像是( )
*A
4 （高考四川卷（理））设函数()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )
(A)[1,]e (B)1[,-11]
e -， (C)[1,1]e + (D)1[-1,1]e e -+*A 5 （高考新课标1（理））已知函数()
f x =22,0ln(1),0
x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是
A.(,0]-∞
B.(,1]-∞
C.[2,1]-
D.[2,0]-*D
6 ．（大纲版数学（理））函数()()21=log 10f x x x ⎛
⎫+> ⎪⎝⎭
的反函数()1=f x - (A)()1021x x >- (B)()1021
x x ≠- (C)()21x x R -∈ (D)()210x x ->*A 7 （浙江数学（理）试题）已知y x ,为正实数,则
A.y x y x lg lg lg lg 222
+=+ B.y x y x lg lg )lg(222•=+ C.y x y x lg lg lg lg 222+=• D.y x xy lg lg )lg(222•=*D
8 （山东数学（理）试题）已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x =+,则(1)f -=
(A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2*A。