第5章 三角恒等变换 5.3 简单的三角恒等变换
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化三角函数的复杂表达式，以及解决与三角函数相关的问题。
本文将介绍三角恒等变换的定义、常见的三角恒等变换公式，以及使用恒等变换解决问题的实例。
一、定义三角恒等变换是指通过等式变换将一个三角函数变换为具有相同函数值的其他三角函数的过程。
这种变换可以帮助我们简化三角函数的表达式，使其更易于计算和处理。
二、常见的三角恒等变换公式在三角恒等变换中，常见的公式包括以下几种：1. 余弦函数恒等变换：a) $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ ：这是最基本的三角恒等变换公式，称为余弦函数的平方与正弦函数的平方之和等于1。
b) $\cos(-x)=\cos(x)$ ：余弦函数具有对称性质，关于y轴对称。
c) $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ ：余弦函数与正弦函数的关系，通过将自变量进行变换，可以转化为正弦函数。
2. 正弦函数恒等变换：a) $\sin(-x)=-\sin(x)$ ：正弦函数具有奇函数的性质，关于原点对称。
b) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ ：正弦函数与余弦函数的关系，通过将自变量进行变换，可以转化为余弦函数。
3. 三角函数的和差化积：a) $\sin(x \pm y)=\sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)$ ：正弦函数的和差化积公式。
b) $\cos(x \pm y)=\cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$ ：余弦函数的和差化积公式。
4. 二倍角公式：a) $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ ：正弦函数的二倍角公式。
b) $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$ ：余弦函数的二倍角公式。
高中数学第5章三角函数5.5三角恒等变换5.5.2简单的三角恒等变换教学案新人教A版必修第一册
5.5.2 简单的三角恒等变换(教师独具内容)课程标准：1.能用二倍角公式导出半角公式.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式进行化简、求值以及证明三角恒等式．教学重点：利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明． 教学难点：利用三角恒等变换来解决问题.【知识导学】知识点一 半角公式知识点二 积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．(2)和差化积公式 sin α＋sin β＝2sinα＋β2cosα－β2.sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2. cos α＋cos β＝2cosα＋β2cosα－β2. cos α－cos β＝－2sinα＋β2sinα－β2.【新知拓展】辅助角公式辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a.推导过程：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x . 令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)， 其中角φ所在象限由a ，b 的符号确定，角φ的值由tan φ＝ba确定或由sin φ＝b a 2＋b 2和cos φ＝a a 2＋b2共同确定．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知cos α＝13，α∈(0，π)，则sin α2＝－33.( )(2)cos2π8－14＝2＋14.( ) (3)函数f (x )＝3sin x ＋cos x (x ∈R )的最小正周期为π.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33(2)已知cos α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.3310 D ．－35(3)函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 3(4)若tan α＝2，则tan α2＝________.答案 (1)A (2)B (3)C (4)－1±52题型一 利用半角公式求值例1 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－1＋cos α2＝－55， tan α2＝sin α2cosα2＝－2.金版点睛由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论．一般讨论角所在象限． (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子．②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)． ③将已知条件代入所求式子，化简求值．[跟踪训练1] 已知sin α2－cos α2＝－15，450°<α<540°，求tan α2的值．解 由题意，得⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＝15，即1－sin α＝15，得sin α＝45.∵450°<α<540°，∴cos α＝－35，∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝2.题型二 三角函数式的化简例2 化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.又∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α.[变式探究] 将本例改为化简：(1＋sin α－cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22－2cos α(180°<α<360°)．解 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22·2sin2α2＝2sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝2sin α2(－cos α)2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2.∵180°<α<360°，∴90°<α2<180°，∴sin α2>0，∴原式＝－cos α. 金版点睛化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．[跟踪训练2] 化简： (1)1＋sin θ－1－sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2<θ<2π；(2)cos 2α1tanα2－tanα2.解 (1)原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2－cos θ2，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π， ∴0<sin θ2<22，－1<cos θ2<－22，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0.∴原式＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ2＝－2sin θ2. (2)原式＝cos 2αtan α21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α. 题型三 三角恒等式的证明例3 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos2x .[证明] 证法一：tan 3x 2－tan x2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2 ＝2sin xcos x ＋cos2x.∴原式成立．证法二：2sin x cos x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.∴原式成立． 金版点睛在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.[跟踪训练3] 求证：sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α. 证明 证法一：左边＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β＝1－tan 2βtan 2α＝右边． ∴原等式成立．证法二：右边＝1－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2βsin 2αcos 2β ＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)sin 2αcos 2β ＝sin (α＋β)sin (α－β)sin 2αcos 2β＝左边． ∴原式成立.题型四 利用辅助角公式研究函数性质例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解] (1)∵f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π＋5π12，k ∈Z .金版点睛(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)公式、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.[跟踪训练4] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )max ＝2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )min ＝－1.题型五 三角变换的实际应用例5 如图，A ，B 是半径为1的圆O 上任意两点，以AB 为一边作等边三角形ABC .当点A ，B 处于怎样的位置时，四边形OACB 的面积最大？最大面积是多少？[解] 如图，设∠AOB ＝θ(0<θ<π)，四边形OACB 的面积为S .取AB 的中点D ，连接OD ，CD ，则OD ⊥AB ，CD ⊥AB .在Rt △ODA 中，OA ＝1，∠AOD ＝θ2，所以AD ＝OA sin ∠AOD ＝sinθ2，OD ＝OA cos ∠AOD ＝cos θ2，所以AB ＝2AD ＝2sin θ2.因为△ABC 为等边三角形，所以CD ＝AC sin ∠CAB ＝2sin θ2sin60°＝3sin θ2.所以S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝12CD ·AB ＋12OD ·AB ＝12×3sin θ2×2sin θ2＋12×cos θ2×2sin θ2 ＝3sin2θ2＋12sin θ＝3×1－cos θ2＋12sin θ＝12sin θ－32cos θ＋32 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋32.因为0<θ<π，所以－π3<θ－π3<2π3.所以当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，S 取得最大值1＋32.所以当OA 与OB 的夹角为5π6时，四边形OACB 的面积最大，最大面积是1＋32.金版点睛解答此类问题，关键是合理引入辅助角，先将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.在求解过程中，要注意角的取值范围.[跟踪训练5] 有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 建为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，才能使矩形ABCD 的面积最大？解 画出图形如图所示．设∠AOB ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则AB ＝a sin θ，OA ＝a cos θ. 设矩形ABCD 的面积为S ， 则S ＝2OA ·AB＝2a cos θ·a sin θ＝a 2·2sin θcos θ＝a 2sin2θ.因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2θ∈(0，π)．当2θ＝π2，即θ＝π4时，S max ＝a 2，此时点A ，D 距离点O 均为22a .1．已知sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则cos α2等于( )A.45 B ．－45 C ．－31010 D.31010 答案 D解析 ∵sin α＝35且0<α<π2，∴cos α＝45.又cos α＝2cos 2α2－1，∴cos 2α2＝1＋cos α2＝910， ∵0<α2<π4，∴cos α2＝31010.2.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D.12答案 B解析 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.3．函数y ＝3sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的值域为________． 答案 [－3,23]解析 函数y ＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2， ∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， ∴23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－3,23]． 4．求值：sin 235°－12cos10°cos80°＝________. 答案 －1解析 sin 235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1. 5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋sin2x cos π3－cos2x sin π3＋cos2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上单调递减，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.。
三角的恒等变换
三角恒等变换公式如下：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ。
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ。
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ。
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ。
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)。
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)。
定号法则将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的来象垍限头樤，取三角函数的符号。
也就是“象限定号，符号看象限”（或为“奇变偶不变，符号看象限”）。
在Kπ/2中如果K为偶数时函数名不变，若为奇数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中α所在象限的正负号。
关于正负号有个口诀；一全正，二正弦，三两切，四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角，正弦为正，第三象限，正切和余切为正，第四象限，余弦为正。
或简写为“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次为正。
还可简记为：sin上cos右tan/cot对角，即sin的正值都在x轴上方，cos的正值都在y轴右方，tan/cot 的正值斜着。
比如：90°+α。
定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。
所以sin（90°+α）=cosα, cos（90°+α）=-sinα这个非常神奇，屡试不爽~还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数PPT(第5课时简单的三角恒等变换)
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 运用和、差、倍角公式化简 ↓
统一化成f（x）＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式 ↓
利用辅助角公式化为f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋k 的形式，研究其性质
1．已知函数 f(x)＝cos2x－1π2＋sin2x＋1π2－1，则 f(x)(
)
A．是奇函数
＝79×－13－－4
9
2×2
3
2＝13.
本部分内容讲解结束
α ＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
（1＋sin θ＋cos θ）sin
θ2－cos
θ
2
2＋2cos θ
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
2sin 解：原式＝
θ 2cos
θ2＋2cos2
θ
2
sin
θ2－cos
θ 2
4cos2
θ 2
cos ＝
θ2sin2
θ2－cos2
θ 2
θ
cos
2
2sin2
α 2
α
2sin
2
αα
2 ＝－
2sin 2cos
sin
α
2
2.
因为 0＜α＜π，
所以 0＜α2＜π2.所以 sin α2＞0.
所以原式＝－2 2cos α2.
与三角函数性质有关的问题
已知函数 f(x)＝cos(π＋x)cos 32π－x－ 3cos2x＋ 23. (1)求 f(x)的最小正周期和最大值；
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
三角恒等变换
三角恒等变换什么是三角恒等变换三角恒等变换，又称三角恒等式，是指一类三角函数之间的等式关系。
它们可以将一个三角函数表达式变换为另一个等价的三角函数表达式，从而简化计算和证明过程。
常见的三角恒等变换包括正弦、余弦和正切函数之间的关系。
常见的三角恒等变换公式下面是一些常见的三角恒等变换公式：1. 正弦函数的恒等变换•正弦函数的平方和差恒等式：$$\\sin^2 (A) = \\frac{1 - \\cos (2A)}{2}$$$$\\sin^2 (A) = \\frac{1 - \\cos (2A)}{2}$$•正弦函数的倍角恒等式：$$\\sin (2A) = 2\\sin (A)\\cos (A)$$2. 余弦函数的恒等变换•余弦函数的平方和差恒等式：$$\\cos^2 (A) = \\frac{1 + \\cos (2A)}{2}$$$$\\cos^2 (A) = \\frac{1 + \\cos (2A)}{2}$$•余弦函数的倍角恒等式：$$\\cos (2A) = \\cos^2 (A) - \\sin^2 (A)$$3. 正切函数的恒等变换•正切函数的平方恒等式：$$\\tan^2 (A) = \\sec^2 (A) - 1$$$$\\tan^2 (A) = \\csc^2 (A) - 1$$•正切函数的相反数恒等式：$$\\tan (-A) = -\\tan (A)$$三角恒等变换的应用三角恒等变换在数学和物理学中有广泛应用。
它们可以用于简化三角函数的计算，证明数学关系，以及解决实际问题。
1. 例题：求解三角方程假设我们需要求解方程 $\\sin (2A) = \\cos (2A)$ 的解集。
利用三角恒等变换公式，我们可以将方程转化为 $\\tan (2A)= 1$。
再进一步，我们可以使用反正切函数来求解 $2A =\\tan^{-1}(1)$，所以 $A = \\frac{\\pi}{4} + k\\frac{\\pi}{2}$，其中k为整数。
5.5.2 简单的三角恒等变换(课件)
第五章 三角函数
课堂互动探究
探究一 降幂、半角公式的应用 设 π<θ<2π，cos2θ＝a，求：
(1)sin θ 的值；(2)cos θ 的值；(3)sin24θ的值．
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第五章 三角函数
解 (1)∵π<θ<2π，∴π2<2θ<π.又∵cos2θ＝a， ∴sin2θ＝ 1－cos22θ＝ 1－a2. ∴sin θ＝2sin2θcos2θ＝2a 1－a2. (2)cos θ＝2cos22θ－1＝2a2－1. (3)sin24θ＝1－2cos2θ＝1－2 a.
第五章 三角函数
5.5 三角恒等变换
5.5.2 简单的三角恒等变换
第五章 三角函数
课程标准
能用两角和与差的正弦、余弦、 正切公式及二倍角公式进行简单 的恒等变换(包括推导出积化和 差、和差化积、半角公式，这三 组公式不要求记忆).
核心素养
通过对简单的三角恒等变换 的学习，提升“逻辑推 理”、“数学运算”的核心 素养.
2＋1 4.
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第五章 三角函数
2．若 cos α＝13，且 α∈(0，π)，则 sinα2＝________.
解析 ∵α∈(0，π)，∴α2∈0，π2.∴sinα2>0.
又 cos α＝1－2sin2α2＝13，∴sinα2＝
1－cos 2
α＝
3 3.
答案
3 3
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第五章 三角函数
(2)由 x∈－π4，π4得 2x－π3∈－56π， π6，
则 sin2x－π3∈－1，12，
即函数 f(x)＝12sin
人教A版高中数学必修一课件 《三角恒等变换》三角函数名师授课课件(第5课时简单的三角恒等变换)
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x.
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x ＝4sin222xscinosx2c2xo－s xsin22x
23
＝2ssiinn2x2x
2α＝右边，
∴原式成立．
21
三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它 们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直 到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.
＝cos x2x＝
2cos22x x
x＝1＋sincoxs
x＝右边．
sin2 2sin2cos2
所以原等式成立．
24
恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例3】 已知函数f(x)＝ 3cos2x－π3－2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期． (2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12. [思路点拨] 化为fx＝Asinωx＋φ＋b → 由T＝|2ωπ|求周期 →
∴sin4θ＝－
1－2cos2θ＝－ 1－2 a.]
(2)[解] 原式＝
2csoinsα2α2＋－cos2α2s2inα2＋ 2csoinsαα22－＋cos2α2s2inα2.
12
∵π＜α＜32π，∴π2＜α2＜34π，∴cosα2＜0，sinα2＞0，
∴原式＝－si2nα2si＋nα2c＋oscα2o2sα2＋
简单的三角恒等变换公式
简单的三角恒等变换公式
三角恒等变换是一种数学操作，用于在不改变一个三角形的形状的情况下改变它的位置或方向。
下面是几个常用的三角恒等变换公式：旋转：如果要将三角形旋转角度θ，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x * cosθ - y * sinθ
y' = x * sinθ + y * cosθ
平移：如果要将三角形平移到新的位置 (x',y')，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x + x0
y' = y + y0
缩放：如果要将三角形缩放比例为k，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = k * x
y' = k * y
这些公式都可以使用单位矩阵来表示，例如旋转变换的单位矩阵如下：
[cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ]。
三角恒等变换讲解
三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。
下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。
在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。
新教材5.5三角恒等变换 5.5.2简单的三角恒等变换 教案
第五章 三角函数5.5 三角恒等变换5.5.2 简单的三角恒等变换【素养目标】1．能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式．(逻辑推理) 2．了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题．(数学运算)3．进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵活利用公式解决求值、化简、证明问题．(逻辑推理、数学运算) 【学法解读】在本节学习中学生应先复习二倍角公式，利用二倍角公式推导半角公式，并掌握半角适用条件．培养学生数学中的逻辑推理．必备知识·探新知基础知识知识点一 半角公式 cos α2＝±1＋cos α2(2C α)， sin α2＝±1－cos α2(2S α)， tan α2＝±1－cos α1＋cos α(2T α)．思考：(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的？如何推导的？ (2)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？ (3)半角公式对α∈R 都成立吗？提示：(1)二倍角的余弦公式．推导如下：在二倍角公式cos2α＝1－2sin 2α＝2cos 2α－1中，以α代替2α，以α2代替α，即得：cos α＝1－2sin 2α2＝2cos 2α2－1.所以sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2，tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.开方可得半角公式．(2)不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求α2所在范围，然后根据α2所在范围选用符号．(3)公式2C α，2S α对α∈R 都成立，但公式2T α要求α≠(2k ＋1)π(k ∈Z )．基础自测1．下列说法中正确的个数是( A ) ①sin α2＝±1＋cos α2. ②cos20°＝±1＋cos40°2. ③tan α2＝sin α1－cos α＝1＋cos αsin α. ④sin4α＋3cos4α＝2sin(4α＋π3)．A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①②③错误，④正确，故选A ．2．已知180°<α<360°，由cos α2的值等于( C )A ．－1－cosα2 B ．1－cosα2 C ．－1＋cos α2D ．1＋cos α23．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( B ) A ．－1010B ．1010C ．3103D ．－35[解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，∴sin α2＝1－cos α2＝1010. 4．sin x －cos x 等于( C ) A ．sin2x B ．2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 C ．2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 D ．sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 [解析] 原式＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. 5．已知cos θ＝13，且270°<θ<360°，试求sin θ2和cos θ2的值．[解析] ∵270°<θ<360°，∴135°<θ2<180°，∴sin θ2>0，cos θ2<0.∴sin θ2＝1－cos θ2＝1－132＝33； cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋132＝－63.关键能力·攻重难题型探究题型一 应用半角公式给角求值例1 求下列式子的值： sin 75°、cos 75°、tan 75°.[分析] 75°是150°的半角．[解析] sin 75°＝1－cos 150°2＝1＋cos 30°2＝1＋322＝2＋32＝8＋434＝(6＋2)24＝6＋24.cos 75°＝1＋cos 150°2＝1－cos 30°2＝1－322＝2－32＝8－434＝(6－2)24＝6－24.tan 75°＝sin 75°cos 75°＝6＋246－24＝6＋26－2＝2＋ 3.或tan 75°＝1－cos 150°1＋cos 150°＝1＋321－32＝2＋32－3＝2＋ 3. 或tan 75°＝1－cos 150°sin 150°＝1＋3212＝2＋ 3.或tan 75°＝sin 150°1＋cos 150°＝121－32＝2＋ 3. [归纳提升] 求sin 75°、cos 75°，利用sin(45°＋30°)，cos(45°＋30°)求解不易出错，但比较麻烦．而应用半角公式化简容易化简不到位．tan 75°的求解应注意选择合理的公式．当然sin 75°、cos 75°，可以先利用诱导公式将角变小，sin 75°＝sin(90°－15°)＝cos 15°，cos 75°＝cos(90°－15°)＝sin 15°，再利用半角公式求解．【对点练习】❶ 求值tan π8＋1tan π12.[解析] 方法一：tan π8＋1tan π12＝1－cosπ41＋cosπ4＋1＋cosπ61－cosπ6 ＝1－221＋22＋1＋321－32＝2－22＋2＋2＋32－3＝2－22＋2＋3＝2－1＋2＋3＝1＋2＋ 3. 方法二：tan π8＋1tan π12＝1－cos π4sin π4＋1＋cosπ6sin π6＝1－2222＋1＋3212＝2－1＋2＋3＝1＋2＋ 3.题型二 应用半角公式求值例2 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求sin θ2，cos θ2，tan θ2.[分析] 已知条件中的角θ与所求角中的θ2成二倍关系，从而选择半角公式求值．[解析] ∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－255， cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2. [归纳提升] 已知θ的某个三角函数值，求θ2的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可．【对点练习】❷ 设π<θ<2π，cos θ2＝－35，求：(1)sin θ的值；(2)cos θ的值；(3)sin 2θ4的值．[解析] (1)∵π<θ<2π，∴π2<θ2<π，又cos θ2＝－35，∴sin θ2＝1－cos 2θ2＝1－(－35)2＝45，∴sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×(－35)×45＝－2425.(2)cos θ＝2cos 2θ2－1＝2×(－35)2－1＝－725.(3)sin 2θ4＝1－cos θ22＝1－(－35)2＝45.题型三 三角恒等式的化简与证明例3 求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x.[分析] 可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x ＝3x 2－x 2，2x ＝3x 2＋x2，从消除等式两边角的差异入手考虑．[证明] 证法一：tan 3x 2－tan x2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x2cosx2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x2cos 3x 2cosx 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝2sin x cos x ＋cos2x . 证法二：2sin xcos x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＝2⎝⎛⎭⎫sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 22cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x2cosx 2＝tan 3x 2－tan x2.[归纳提升] 化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．【对点练习】❸ 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α.[证明] 证法一 左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边．∴原式成立． 证法二 左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2αsin α2cos α＝12sin αcos α＝14sin2α＝右边．∴原式成立．证法三： 左边＝cos 2αtanα21－tan 2α2＝12cos 2α·2tanα21－tan 2α2＝12cos 2α·tan α＝12cos αsin α＝14sin2α＝右边．∴原式成立．误区警示忽略对角的终边所在象限的讨论例4 已知sin α＝35，求sin α2，cos α2与tan α2的值．[错解] ∵sin α＝35，∴cos α＝±45.(1)当cos α＝45时，sin α2＝±1－cos α2＝±1010，cos α2＝±1＋cos α2＝±31010，tan α2＝sinα2cos α2＝±13.(2)当cos α＝－45时，sin α2＝±1－cos α2＝±31010，cos α2＝±1＋cos α2＝±1010，tan α2＝sinα2cos α2＝±3.[错因分析] 由sin α＝35>0，知角α是第一或第二象限角，从而α2必为第一或第三象限角，所以tan α2的值必然为正．上述解法中忽视了sin α>0，从而α2为第一或第三象限角这一隐含条件，导致解中的tan α2有正负两个值．另外，错解中还有一点不妥，就是解法过于笼统与简单，没有细分sin α2，cos α2与tan α2的值的对应情况，依上述解法，sin α2，cos α2与tan α2的值对应着2×2×2＋2×2×2＝16(组)情况，但实际情况却只有4组(见下面正确解法)，这就造成了解的结果混乱，不能体现三个数值的对应情况．[正解] 由sin α＝35>0，知角α是第一或第二象限角．(1)当α是第一象限角时，cos α＝45，且α2为第一或第三象限角，于是①当α2为第一象限角时，sin α2＝1－cos α2＝1010，cos α2＝1＋cos α2＝31010，tan α2＝sinα2cos α2＝13； ②当α2为第三象限角时，sin α2＝－1010，cos α2＝－31010，tan α2＝sinα2cos α2＝13. (2)当α是第二象限角时，cos α＝－45，且α2为第一或第三象限角，于是①当α2为第一象限角时，sin α2＝31010，cos α2＝1010，tan α2＝sinα2cos α2＝3；②当α2为第三象限时，sin α2＝－31010，cos α2＝－1010，tan α2＝sinα2cos α2＝3.[方法点拨] (1)应用公式sin α2＝±1－cos α2，cos α2＝±1＋cos α2以及tan α2＝±1－cos α1＋cos α时，一定要注意根号前的符号是由α2的终边所在的象限来确定这一原则，充分挖掘题设中的隐含条件，利用隐含条件，判断解的符号，缩小解的范围，减少解答中的失误．另外，在解答过程中也要充分注意解题格式的规范性，规范表述，不要给出模糊不清的过程与结果．(2)注意等号两边表达式的定义域是否一致．学科素养三角恒等变换的综合应用三角恒等变换就是熟练运用所学公式将三角函数式进行化简，在综合讨论三角函数性质时，通常先要将三角函数式化简成某一个角的三角函数式，再去研究其图象与性质是考试的重点．例5 已知f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin(x ＋π4)·sin(x －π4)．(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈[π12，π2]，求f (x )的取值范围．[分析] (1)将函数f(x)转化为只含有sin 2x 与cos 2x 的式子，由tan α＝2，求出sin 2α与cos 2α的值，代入f(x)求f(α)．(2)将f(x)化为A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，利用正弦函数的图象与性质求解．[解析] (1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin(x ＋π4)·cos(x ＋π4)＝1－cos2x 2＋12sin2x ＋sin(2x ＋π2)＝12＋12(sin2x －cos2x )＋cos2x ＝12(sin2x ＋cos2x )＋12.由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以，f (α)＝12(sin2α＋cos2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin2x ＋cos2x )＋12＝22sin(2x ＋π4)＋12.由x ∈[π12，π2]，得5π12≤2x ＋π4≤5π4.所以－22≤sin(2x ＋π4)≤1,0≤f (x )≤2＋12. 所以f (x )的取值范围是[0，2＋12]． [归纳提升] 利用三角恒等变换的解题技巧(1)将f (x )化简是解题的关键，本题中巧妙运用“1”的代换技巧，将sin2α，cos2α化为正切tan α，为第(1)问铺平道路．(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．课堂检测·固双基1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( A )A ．－12B ．12C ．2D ．－2[解析] ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A ．2．若θ∈[π4，π2]，且sin2θ＝378，则sin θ＝( D )A ．35B ．45C ．74D ．34[解析] 本题主要考查简单的三角恒等变换、倍角公式及同角三角函数关系式．∵θ∈[π4，π2]，∴2θ∈[π2，π]， ∴sin θ>0，cos2θ<0，∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－18，又sin 2θ＝1－cos2θ2，∴sin 2θ＝916，∴sin θ＝34，故选D ．3．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos (α－π)2的结果是( C ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π，∴cos α2<0，∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 4．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2sin13°cos13°，c ＝1－cos50°2，则有( C ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a[解析] a ＝sin30°cos6°－cos30°sin6°＝sin(30°－6°)＝sin24°，b ＝sin26°，c ＝2sin 225°2＝sin25°，∴b >c >a .故选C ．5．已知tan(α＋π4)＝2，则sin2α－cos 2α1＋cos2α的值为( A )A ．－16B ．16C ．52D ．－56[解析] tan α＝tan[(α＋π4)－π4]＝tan (α＋π4)－11＋tan (α＋π4)＝13，原式＝cos α(2sin α－cos α)2cos 2α＝tan α－12＝13－12＝－16，故选A ．素养作业·提技能A 组·素养自测一、选择题1．(2019·陕西省西安市段考)1＋cos 260°2的值等于( A ) A ．sin 40° B ．cos 40° C ．cos 130° D ．±cos 50°[解析] 1＋cos 260°2＝1＋2cos 2130°－12＝cos 2130°＝|cos 130°|＝－cos 130°＝sin40°，故选A ．2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝( C )A ．1B ．－1C ．0D ．±1[解析] 因为sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sin αcos2β＝0.3．若sin θ＝35，5π2<θ<3π，则tan θ2＋cos θ2＝( B )A ．3＋1010B ．3－1010C ．3＋31010D ．3－31010[解析] 因为5π2<θ<3π，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－45.因为5π4<θ2<3π2，所以sin θ2<0，cosθ2<0，所以sin θ2＝－1－cos θ2＝－31010，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1010，所以tan θ2＝sinθ2cos θ2＝3.所以tan θ2＋cos θ2＝3－1010.4．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( D )A ．15B ．14C ．13D ．12[解析] 由sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，得1sin θ·cos θ＝4，所以2sin2θ＝4，sin2θ＝12.5．设3π<α<4π，cos α2＝m ，那么cos α4等于( B )A ．m ＋12 B ．－m ＋12 C ．－1－m2D ．1－m2[解析] 由于cos α2＝2cos 2α4－1，可得cos 2α4＝1＋cosα22.又3π<α<4π，所以3π4<α4<π.所以cosα4<0.所以cos α4＝－m ＋12.6.2sin 2αsin2α·2cos 2αcos2α等于( B ) A ．tan α B ．tan2α C ．1D ．12[解析] 原式＝(2sin αcos α)2sin2αcos2α＝sin 22αsin2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.二、填空题7．已知sin θ＝－35，3π<θ<7π2，则tan θ2＝__－3__.[解析] 根据角θ的范围，求出cos θ后代入公式计算，即由sin θ＝－35，3π<θ<7π2，得cos θ＝－45，从而tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－351－45＝－3.8．已知cos2α＝12，且π2<α<π，则tan α＝__－3[解析] ∵π2<α<π，∴tan α＝－1－cos2α1＋cos2α＝－33.9．若sin2α<0，cos α<0，则cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－cos α1＋cos α＝4[解析] 由题可知α为第二象限角，且π4<α2<π2.原式＝cos α1－cos (π2－α)1＋cos (π2－α)＋sin α1－cos α1＋cos α＝－cos αtan(π4－α2)＋sin α·tan α2＝－2sin 2(π4－α2)＋2sin 2α2＝－1＋cos(π2－α)＋(1－cos α)＝2sin(α－π4)．三、解答题10．求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .[证明] 左边＝2sin x cos x(2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2)(2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2)＝2sin x cos x4sin 2x 2(cos 2x 2－sin 2x 2)＝sin x2sin 2x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos x sin x ＝右边．∴原等式成立．11．已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2与tan α－β2的值．[解析] 因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－35)×513＋45×1213＝3365.因为π2<α<π，且0<β<π2，所以0<α－β<π，即0<α－β2<π2，所以cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 方法一：由0<α－β2<π2，得sin α－β2＝1－cos 2α－β2＝46565，所以tan α－β2＝sin α－β2cosα－β2＝47. 方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝3365，得sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝5665.所以tan α－β2＝sin (α－β)1＋cos (α－β)＝56651＋3365＝47.B 组·素养提升一、选择题1．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是( C )A ．[0，12]B ．[12，1]C ．[12，32]D ．[0,1][解析] cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2B2＝1＋12(cos2A ＋cos2B )＝1＋cos 2A ＋2B 2·cos 2A －2B2＝1＋cos(A ＋B )·cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B )＝1－12cos(A －B )．∵cos(A －B )∈[－1,1]，∴cos 2A ＋cos 2B ∈[12，32]．2．(2019·甘肃武威第十八中学单元检测)若π2<θ<π，则1－sin θ－12(1－cos θ)＝( D ) A ．2sin θ2－cos θ2B ．cos θ2－2sin θ2C ．cos θ2D ．－cos θ2[解析] ∵π2<θ<π，∴π4<θ2<π2，∴sin θ2>cos θ2>0.∵1－sin θ＝sin 2θ2＋cos 2θ2－2sin θ2cos θ2＝(sin θ2－cos θ2)2，12(1－cos θ)＝sin 2θ2，∴1－sin θ－12(1－cos θ) ＝(sin θ2－cos θ2)2－sin 2θ2＝(sin θ2－cos θ2)－sin θ2＝－cos θ2.3．(多选题)下列各式中，值为12的是( AC )A ．tan22.5°1－tan 222.5°B ．tan15°cos 215°C ．33cos 2π12－33sin 2π12D ．tan30°1－tan 230°[解析] A 符合，原式＝12×2tan22.5°1－tan 222.5°＝12tan45°＝12；B 不符合，原式＝sin15°·cos15°＝12sin30°＝14；C 符合，原式＝33·cos π6＝12；D 不符合，原式＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32，故选AC ．4．(多选题)下列各式与tan α相等的是( CD ) A ．1－cos2α1＋cos2αB ．sin α1＋cos αC ．1＋cos (π＋2α)2·1cos α(α∈(0，π))D ．1－cos2αsin2α[解析] A 不符合，1－cos2α1＋cos2α＝2sin 2α2cos 2α＝tan 2α＝|tan α|；B 不符合，sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos 2α2＝tan α2；C 符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝1－cos2α2·1cos α＝sin αcos α＝tan α；D 符合，1－cos2αsin2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α.二、填空题5．已知tan α2＝13，则cos α＝__45__.[解析] ∵tan α2＝±1－cos α1＋cos α，∴tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.∴1－cos α1＋cos α＝19，解得cos α＝45.6．设0<θ<π2，且sin θ2＝x －12x ，则tan θ等于 [解析] ∵0<θ<π2，sin θ2＝x －12x ， ∴cos θ2＝1－x －12x＝x ＋12x. ∴tan θ2＝sinθ2cos θ2＝x －1x ＋1，tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝2x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x －1x ＋1·(x ＋1)＝x 2－1. 7．(sin α2＋cos α2)2＋2sin 2(π4－α2)的值等于__2__.[解析] 原式＝1＋sin α＋2·1－cos (π2－α)2＝1＋sin α＋1－sin α＝2. 三、解答题8．已知cos(x ＋π4)＝35且17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值．[解析] 原式＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x ＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x ，cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)，由17π12<x <7π4，即5π3<x ＋π4<2π，知sin(x ＋π4)<0， 由cos(x ＋π4)＝22(cos x －sin x )＝35，得cos x －sin x ＝325，且sin(x ＋π4)＝－45，对cos x －sin x ＝325两边平方得1－2sin x cos x ＝1825.∴2sin x cos x ＝725.∴原式＝725×2×(－45)325＝－2875.9．已知在△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0，求角A ，B ，C 的大小．[解析] 由sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，得sin A sin B ＋sin A cos B －sin(A ＋B )＝0， ∴sin A sin B ＋sin A cos B －sin A cos B －cos A sin B ＝0， ∴sin B (sin A －cos A )＝0，∵B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，∴sin A ＝cos A ， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，从而B ＋C ＝3π4.由sin B ＋cos2C ＝0，得sin B ＋cos(3π2－2B )＝0，∴sin B －sin2B ＝0，sin B －2sin B cos B ＝0， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝5π12.于是A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12.。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换三角恒等变换是数学中非常重要的基础知识，它能够帮助我们解决很多与三角函数相关的问题。
在学习三角恒等变换的过程中，我们需要掌握一些基本的变换公式，这样才能灵活地运用它们来解决实际问题。
首先，我们来看正弦函数的恒等变换。
对于任意实数x，有如下公式：sin(x) = sin(x + 2πk) = sin(-x + 2πk)其中k为任意整数。
这意味着，在正弦函数中，每隔2π，函数的值会重复出现。
此外，我们还可以通过对称性质，得到以下两个恒等式：sin(π + x) = -sin(x)sin(π - x) = sin(x)这两个恒等式告诉我们当x逐渐增大或减小，正弦函数的值也会相应地发生变化。
接下来，我们来看余弦函数的恒等变换。
对于任意实数x，有如下公式：cos(x) = cos(x + 2πk) = cos(-x + 2πk)其中k为任意整数。
这表明在余弦函数中也存在着每隔2π重复的特征。
此外，我们还可以得到以下两个恒等式：cos(π + x) = -cos(x)cos(π - x) = -cos(x)这两个恒等式告诉我们，当x逐渐增大或减小，余弦函数的值也会相应地发生变化，并与正弦函数产生相反的变化。
最后，我们来看正切函数的恒等变换。
对于任意实数x，有如下公式：tan(x) = tan(x + πk)其中k为任意整数且x不为(π/2 + πk)。
这意味着正切函数也存在2π周期性。
此外，我们还可以得到以下两个恒等式：tan(π + x) = tan(x)tan(π/2 - x) = 1/tan(x)这两个恒等式告诉我们，正切函数在π/2和π处会出现无穷大和无穷小的特征，并且在这两个点附近的图像非常陡峭。
总之，三角恒等变换是非常重要的数学基础知识，它能够帮助我们解决非常多与三角函数相关的问题。
在学习的过程中，我们需要认真掌握各种基本变换公式，并能够正确地运用它们来解决实际问题。
希望读者能够通过学习，更好地掌握这一知识点。
5.5三角恒等变换第6课时简单的三角恒等变换(二)课件高一下学期数学人教A版(2019)(1)
(2)解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式．
新知运用
三、三角函数的简单化解求值
反思感悟
方法总结
三角函数式化简的方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角
函数式的化简中“降次升角”和“升次降角”是基本的规律，根号中含有三角函数式
时，一般需要升次．
新知运用
四、三角恒等变换的综合应用
反思感悟
方法总结
新知运用
新知运用
随堂检测
B
C
随堂检测
课堂小结
1.知识清单：
(1)辅助角公式.
(2)三角恒等变换的综合问题.
(3)三角函数在实际问题中的应用.
2.方法归纳：转化与化归.
3.常见误区：半角公式符号的判断，实际问题中的定义域.
过程中通常利用辅助角公式，将=sin+cos转化为=sin(+)或=cos(+)
的形式，以便研究函数的性质．
新知运用
二、三角函数的实际应用
反思感悟
方法总结
(1)三角函数与平面几何有着密切的联系，几何中的角的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用
第五章 三角函数
5.5三角恒等变换
第6课时 简单的三角恒等变换(二)
旧知回顾
知识点一 辅助角公式
一、辅助角公式的运用
一、辅助角公式的运用
反思感悟
方法总结
研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰
当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质.在这个
高考数学5.3简单的三角恒等变换专题1
高考数学5.3简单的三角恒等变换专题12020.031,已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________．2,求证：cos 2x+cos 2（x+α）－2cosxcos αcos （x+α）=sin 2α．3,已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值．4,在△ABC 中，若sinAsinB=cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形 5,求函数y=cos3x ·cosx 的最值．6,求证：4cos （60°－α）cos αcos （60°+α）=cos3α．7,已知f （x ）=－21+2sin225sinxx ，x ∈（0，π）．（1）将f （x ）表示成cosx 的多项式； （2）求f （x ）的最小值 8,已知sin α+sin β=2，cos α+cos β=32，求tan （α+β）的值．9,sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2B ．－3πC ．3πD ．3π210,已知tan 262=+βα，tan αtan β=713，求cos （α－β）的值．11, 已知sinA+sin3A+sin5A=a ，cosA+cos3A+cos5A=b ， 求证：（2cos2A+1）2=a 2+b 2．12,已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－32B ．－31C ．31D ．3213,已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ）A ．－mB ．mC ．－4mD ．4m 14,求值：tan9°+cot117°－tan243°－cot351°． 15,sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________．答案1, －972, 证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x+2α）］－2cosxcos αcos（x+α）=1+21［cos2x+cos （2x+2α）］－2cosxcos αcos （x+α）=1+cos （2x+α）cos α－cos α［cos （2x+α）+cos α］ =1+cos （2x+α）cos α－cos αcos （2x+α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立．3, 解：由题设条件知B=60°，A+C=120°，∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22．将上式化简为cosA+cosC=－22cosAcosC ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos2C A -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］，将cos2CA +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－21代入上式得cos2C A -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2CA -）+2cos2CA -－32=0，即［2cos 2C A -－2］［22cos2CA -+3］=0． ∵22cos2C A -+3≠0，∴2cos2C A -－2=0．∴cos 2C A -=22．4, B5, 解：y=cos3x ·cosx=21（cos4x+cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x+21cos2x －21=（cos2x+41）2－169．∵cos2x ∈［－1，1］，∴当cos2x=－41时，y 取得最小值－169；当cos2x=1时，y 取得最大值1．6, 证明：左边=2cos α［cos120°+cos （－2α）］=2cos α（－21+cos2α）=－cos α+2cos α·cos2α =－cos α+cos3α+cos α =cos3α=右边．7, 解：（1）f （x ）=2cos23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xx x x x ==-=cos2x+cosx=2cos 2x+cosx －1．（2）∵f （x ）=2（cosx+41）2－89，且－1≤cosx ≤1，∴当cosx=－41时，f （x ）取得最小值－89．8, 解：322cos cos sin sin =++βαβα，由和差化积公式得2-2+2-2+βαβαβαβαcoscos 2cossin2=3，∴tan 2+βα=3，从而tan （α+β）=433132tan tan222-=-⨯=2+-12+βαβα．9, D10, 解：∵tan αtan β=713)cos()cos()cos()cos(cos cos sin sin =+-+--=βαβαβαβαβαβα， ∴cos （α－β）=－310cos （α+β）．又tan 26=2+βα，∴cos （α+β）=51)26(1)26(1tan 1tan 12222-=+-=2++2+-βαβα，从而cos （α－β）=－310×（－51）=32．11, 证明：由已知得⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A+1）2=a 2+b 2．12, C 13, B14, 解：tan9°+cot117°－tan243°－cot351° =tan9°－tan27°－cot27°+cot9°=)27sin 27cos 27cos 27sin (9sin 9cos 9cos 9sin ︒︒+︒︒-︒︒+︒︒ =︒︒︒+︒+︒︒︒+︒27cos 27sin 27cos 27sin 9cos 9sin 9cos 9sin 2222 =︒︒︒-︒=︒-︒36cos 18sin )18sin 54(sin 254sin 218sin 2=4．15, 41。
高考数学知识点：简单的三角恒等变换
高考数学知识点：简单的三角恒等变换一、半角公式(不要求记忆)
典型例题1：
二、三角恒等变换的常见形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．
1、三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
2、三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．
3、三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典型例题2：
三、三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1、一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
2、二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3、三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．
典型例题3：
四、三角函数求值有三类
1、“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
2、“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
3、“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
典型例题4：
三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．典型例题5：
【作者：吴国平】。
高中数学三角恒等变换知识点归纳总结
高中数学三角恒等变换知识点归纳总结1. 基本定义三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。
2. 基本恒等式- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$3. 和差恒等式- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$4. 二倍角恒等式- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$5. 三倍角恒等式- 正弦函数的三倍角恒等式：$\sin3\theta = 3\sin\theta -4\sin^3\theta$- 余弦函数的三倍角恒等式：$\cos3\theta = 4\cos^3\theta -3\cos\theta$- 正切函数的三倍角恒等式：$\tan3\theta = \dfrac{3\tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3\tan^2\theta}$6. 半角恒等式- 正弦函数的半角恒等式：$\sin\dfrac{\theta}{2} = \sqrt{\dfrac{1 - \cos\theta}{2}}$- 余弦函数的半角恒等式：$\cos\dfrac{\theta}{2} =\sqrt{\dfrac{1 + \cos\theta}{2}}$- 正切函数的半角恒等式：$\tan\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1 -\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$7. 和角恒等式- 正弦函数的和角恒等式：$\sin(\alpha + \beta) =\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$- 余弦函数的和角恒等式：$\cos(\alpha + \beta) =\cos\alpha\cos\alpha - \sin\alpha\sin\beta$以上是高中数学中常用的三角恒等变换知识点的归纳总结。
简单的三角恒等变换
简单的三角恒等变换三角恒等变换是指在三角函数中，通过一系列等价转换，将一个三角函数表达式转化为另一个等价的三角函数表达式的过程。
掌握三角恒等变换的关键是熟悉三角函数的基本性质和一些常见的恒等关系。
一、基本恒等变换：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.余弦函数和正弦函数的关系：cos(x) = sin(x + π/2)sin(x) = cos(x - π/2)3.正切函数的定义：tan(x) = sin(x) / cos(x)4.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = 1 / cot(x)cot(x) = 1 / tan(x)5.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = cos(x) / cot(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)6.余弦函数和余切函数的关系：cos(x) = sin(x) / csc(x)csc(x) = sin(x) / cos(x)7.倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))8.半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))二、和差角公式：1.正弦函数的和差角公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)2.余弦函数的和差角公式：cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)3.正切函数的和差角公式：tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y)) / (1 ∓ tan(x)tan(y))三、倍角公式与半角公式：1.正弦函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)2.余弦函数的倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)3.正切函数的倍角公式：tan(2x) = (2tan(x)) / (1 - tan^2(x))4.正弦函数的半角公式：sin(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / 2)5.余弦函数的半角公式：cos(x/2) = ±√((1 + cos(x)) / 2)6.正切函数的半角公式：tan(x/2) = ±√((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))四、和差化积公式：1.正弦函数的和差化积公式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2)sin(x) - sin(y) = 2cos((x + y)/2)sin((x - y)/2)2.余弦函数的和差化积公式：cos(x) + cos(y) = 2cos((x + y)/2)cos((x - y)/2)cos(x) - cos(y) = -2sin((x + y)/2)sin((x - y)/2)3.正切函数的和差化积公式：tan(x) + tan(y) = sin(x + y) / (cos(x)cos(y))tan(x) - tan(y) = sin(x - y) / (cos(x)cos(y))以上是一些常见的三角恒等变换，通过熟练掌握和灵活运用这些公式，可以在解决三角函数相关问题时简化计算过程，提高解题效率。
三角恒等变换简单的三角恒等变换ppt
在电磁学中，三角恒等变换可以用来描述电场和 磁场的变化规律。
光学
在光学中，三角恒等变换可以用来描述光的干涉 和衍射等现象。
05
总结与展望
总结
内容详尽
该PPT详细讲述了三角恒等变换的基本概念、公式和技巧，内容 全面且易于理解。
实用性强
通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握三角恒等变换的运用， 提高解题能力。
揭示函数性质
通过三角恒等变换，可以 进一步揭示三角函数的性 质和特点，为研究三角函 数提供有力的工具。
三角恒等变换的应用
解析几何
在解析几何中，常常需要 用到三角恒等变换来研究 点、线、圆等几何对象的 性质和位置关系。
微积分
在微积分中，三角恒等变 换被广泛应用于解决与极 坐标有关的问题，如计算 面积、体积等。
等变换的应用。
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总结词
利用泰勒级数展开式，将一个函数展开成幂级数形式。
详细描述
泰勒级数展开式是一种将一个函数展开成幂级数形式的方法。通过选择不同的幂级数展开式，我们可以得到不 同的形式的结果。在三角恒等变换中，我们常常利用泰勒级数展开式来进行幂级数展开式的计算，从而得到我 们需要的结论。
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三角恒等变换在解题中的 应用
在几何中的应用
证明三角形全等
利用三角恒等变换可以证明两 个三角形全等，从而得出它们
的对应边和对应角相等。
计算角度和长度
通过三角恒等变换，可以计算出 三角形中的角度和边的长度，以 及三角形的高和中线等。
证明平行和垂直
利用三角恒等变换可以证明两条直 线平行或垂直，从而得出线段之间 的比例关系。
在代数中的应用
积化和差与和差化积公式可以将两个角度的积与和差表示为只含有一个角度的三角函数形式。积化和 差与和差化积公式可以用于解决一些涉及两个不同角度的乘积或和差的问题，例如求两个角的积、证 明恒等式等。
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7．（2013•陕西）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
答案：A
33．（2006•安徽）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
答案：D
36．（2005•黑龙江）锐角三角形的内角A、B满足，则有（）A．sin2A-cosB=0
B．sin2A+cosB=0
C．sin2A-sinB=0
D．sin2A+sinB=0
答案：A
7．（2005•陕西）已知α是第三象限的角，则是（）
A．第一或二象限的角
B．第二或三象限的角
C．第一或三象限的角
D．第二或四象限的角
答案：D
38．（2004•北京）已知sin（θ+π）＜0，cos（θ-π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（）
A．sinθ＜0，cosθ＞0
B．sinθ＞0，cosθ＜0
C．sinθ＞0，cosθ＞0
D．sinθ＜0，cosθ＜0
答案：B
43．（2001•北京）若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB-sinA，sinB-cosA）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
答案：B。