2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(3)Word版含解析
2019高考数学(理)精准提分二轮(课件+讲义+优选习题)通用版：第三篇 渗透数学思想,提升学科素养(二)
分类与整合思想、转化与化归思想一、概念、定理分类整合概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决.解决此问题可以分解为三个步骤：分类转化、依次求解、汇总结论.汇总结论就是对分类讨论的结果进行整合.1.若一条直线过点(5，2)，且在x 轴，y 轴上截距相等，则这条直线的方程为( ) A.x ＋y －7＝0 B.2x －5y ＝0C.x ＋y －7＝0或2x －5y ＝0D.x ＋y ＋7＝0或2y －5x ＝0 答案 C解析 设该直线在x 轴，y 轴上的截距均为a ，当a ＝0时，直线过原点，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当a ≠0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，求得a ＝7，则直线方程为x ＋y －7＝0.2. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 5－S 4的值为( ) A.8 B.10 C.16 D.32 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，解得a 1＝2. 因为S n ＝2a n －2，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1， 则数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 则S 5－S 4＝a 5＝25＝32.3.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，B ＝{x |mx －1＝0，m ∈R }，若A ∩B ＝B ，则所有符合条件的实数m组成的集合是( ) A.{0，－1，2}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0，1C.{－1，2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12答案 A解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .若B 为∅，则m ＝0；若B ≠∅，则－m －1＝0或12m －1＝0，解得m ＝－1或2.综上，m ∈{0，－1，2}.故选A.4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0.若f (1)＋f (a )＝2，则实数a 的所有可能取值的集合是________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1解析 f (1)＝e 0＝1，即f (1)＝1. 由f (1)＋f (a )＝2，得f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝1＝ea －1，所以a ＝1.当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， 所以πa 2＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以a 2＝2k ＋12(k ∈Z )，k 只能取0，此时a 2＝12.因为－1<a <0，所以a ＝－22. 则实数a 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－22，1.二、图形位置、形状分类整合图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于几何图形中点、线、面的位置关系的研究以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系. 5.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833 B.4 3 C.239 D.43或833答案 D解析 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V ＝2×3×12×4＝4 3；当长、宽分别为4和6时，体积V ＝43×233×12×6＝833.6.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( ) A.－12 B.12 C.0 D.0或－12答案 D解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，若要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0或y ＝2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率k 的值为0或－12.7.设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为________. 答案 12或32解析 不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，其中t >0. 若该曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝12；若该曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝32.综上，曲线C 的离心率为12或32.8.抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为________. 答案 4解析 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在.事实上，F (p ，0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形.当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾. ∴符合要求的点P 有4个. 三、含参问题分类整合某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等. 解决这类问题要根据解决问题需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全.9.已知实数a ，x ，a >0且a ≠1，则“a x>1”的充要条件为( ) A.0<a <1，x <0 B.a >1，x >0 C.(a －1)x >0 D.x ≠0 答案 C解析 由a x >1知，a x >a 0，当0<a <1时，x <0；当a >1时，x >0. 故“a x>1”的充要条件为“(a －1)x >0”.10.若函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0，2]上有最大值f (2)，则实数a 的取值范围为( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.(－∞，0) D.(0，＋∞)答案 B解析 当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0，2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意. 当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a.当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0，2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意.当a <0时，只有当－2a≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0，2]上为增函数，最大值为f (2)，满足题意.综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0，2]上有最大值f (2). 故选B.11.设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( ) A.(7，＋∞) B.(－∞，－2)∪(6，＋∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知，f (0)＝a ＋3，f (1)＝4.又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，所以Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，解得a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过点(2，0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示.由函数的图象知，当a >6时，若g (x 0)<0，则x 0<2，∴要使f (x 0)<0，则需⎩⎪⎨⎪⎧a >6，f (2)<0，解得a >7.当a <－2时，若g (x 0)<0，则x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a2<－1，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞上为增函数， 又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立. 综上，实数a 的取值范围为(7，＋∞).一、特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案或者思路.1.据统计某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天价格分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n ，令M ＝{m |a m ＜b m ，m ＝1，2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的价格，记作：A ＜B ，现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( ) A.若A ＜B ，B ＜C ，则A ＜CB.若A ＜B ，B ＜C 同时不成立，则A ＜C 不成立C.A ＜B ，B ＜A 可同时不成立D.A ＜B ，B ＜A 可同时成立 答案 C解析 特例法：例如蔬菜A 连续10天价格分别为1，2，3，4，…，10，蔬菜B 连续10天价格分别为10，9，…，1时，A ＜B ，B ＜A 同时不成立，故选C.2.过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点.若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q等于( )A.2aB.12aC.4aD.4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a .过焦点F 作直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，∴1p ＋1q＝4a .3.已知函数f (x )＝(a －3)x －ax 3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.[12，＋∞)C.[－1，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12答案 D解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－3x ，x ∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A ，B ； 当a ＝－32时，函数f (x )＝32x 3－92x ，f ′(x )＝92x 2－92＝92(x 2－1)，当－1≤x ≤1时，f ′(x )≤0，所以f (x )在[－1，1]上为减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝32－92＝－3，满足条件，故排除C.综上，选D.4.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝________. 答案 45解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝12＋121＋12×12＝45.二、命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化，正与反的转化，常量与变量的转化，图形形体及位置的转化. 5.由命题“存在x 0∈R ，使0|1|e x -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a的值是( ) A.(－∞，1) B.(－∞，2) C.1 D.2答案 C解析 命题“存在x 0∈R ，使0|1|ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.6.如图所示，已知三棱锥P －ABC ，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为( )A.40B.80C.160D.240答案 C解析 因为三棱锥P －ABC 的三组对棱两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥P －ABC 补成一个长方体AEBG －FPDC ，可知三棱锥P －ABC 的各棱分别是此长方体的面对角线. 不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.从而知V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.7.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________________.答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.f (p )在[0，4]上恒为正等价于⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.8.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析 设k ＝y ＋3x －1，则y 表示点P (1，－3)和圆(x －2)2＋y 2＝1上的点的连线的斜率(如图).从图中可知，当过P 的直线与圆相切时斜率取最值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k PA ，其中k PB 不存在.由圆心C (2，0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞.三、 函数、方程、不等式之间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的协作.9.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x－2，若对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 根据题意，得x ＋a x－2>1在[2，＋∞)上恒成立，即a >－x 2＋3x 在[2，＋∞)上恒成立， 又当x ＝2时，(－x 2＋3x )max ＝2，所以a >2.10.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12，0)，B (0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________.答案 [－52，1]解析 方法一 因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52). 因为A (－12，0)，B (0，6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)， PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x ，6＋50－x 2).因为PA →·PB →≤20，先取P (x ，50－x 2)进行计算，所以(－12－x )·(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤50－x 2. 当2x ＋5<0，即x <－52时，上式恒成立.当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－52≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]. 方法二 设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y ). ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点，∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1].11.已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数.对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 解析 由题意知，g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5(－1≤a ≤1). 对－1≤a ≤1，恒有g (x )<0，即φ(a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2<0，3x 2＋x －8<0，解得－23<x <1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0. 12.已知函数f (x )＝ln x .若不等式mf (x )≥a ＋x 对所有m ∈[0，1]，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2都成立，则实数a 的取值范围为________. 答案 (－∞，－e 2]解析 由题意得，a ≤m ln x －x 对所有的m ∈[0，1]，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2都成立，令H (m )＝ln x ·m －x ，m ∈[0，1]，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2是关于m 的一次函数，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 2，所以－1≤ln x ≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x ·0－x ≥a ，ln x ·1－x ≥a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－x ，a ≤ln x －x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－e 2，a ≤(ln x －x )min .令g (x )＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e 2，所以g ′(x )＝1－x x ，所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，1上是增函数，在[1，e 2]上是减函数，所以g (x )min ＝g (e 2)＝2－e 2，所以a ≤2－e 2. 综上知a ≤－e 2.1.如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，那么( ) A.a 1a 8>a 4a 5 B.a 1a 8<a 4a 5 C.a 1＋a 8>a 4＋a 5D.a 1a 8＝a 4a 5答案 B解析 取特殊数列1，2，3，4，5，6，7，8，显然只有1×8<4×5成立，即a 1a 8<a 4a 5.2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1， ＋∞)答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1， ∴a ≥23，∴23≤a <1；当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.3.过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线l 有( )A.1条B.2条C.3条D.4条 答案 C解析 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l 与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足要求； 当直线l 与实轴垂直时，由3－y 22＝1，解得y ＝2或y ＝－2，所以此时线段AB 的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条. 综上可知，有3条直线满足|AB |＝4.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n－1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n－1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)pn －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.5.如图，在棱长为5的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，点Q是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体PQEF 的体积()A.是变量且有最大值B.是变量且有最小值C.是变量且有最大值和最小值D.是常数 答案 D解析 点Q 到棱AB 的距离为常数，所以△EFQ 的面积为定值.由C 1D 1∥EF ，C 1D 1⊄平面EFQ ，EF ⊂平面EFQ ，可得棱C 1D 1∥平面EFQ ，所以点P 到平面EFQ 的距离是常数，于是可得四面体PQEF 的体积为常数.6. 设点P (x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1，则y x －xy的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D.[－1，1] 答案 B解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，x ≥1，y ≥1所表示的可行域，如图阴影部分所示(包括边界)，其中A (2，1)，B (1，2)，令t ＝y x，f (t )＝t －1t，根据t 的几何意义可知，t 为可行域内的点与坐标原点连线的斜率，连接OA ，OB ，显然OA 的斜率12最小，OB 的斜率2最大，即12≤t ≤2.由于函数f (t )＝t －1t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，故－32≤f (t )≤32，即y x －x y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x ＞0，mx ，x <0，若f (x )－f (－x )＝0有四个不同的实根，则m 的取值范围是( ) A.(0，2e) B.(0，e)C.(0，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e答案 D解析 若m ≤0，那么f (x )＝f (－x )只可能有2个实根，所以m ＞0，若f (x )＝f (－x )有四个实根，根据对称性可知当x ＞0时，ln x ＝－m x有两个实根，即－m ＝x ln x 有两个实根，设y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，令ln x ＋1＝0，解得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时， y ′<0，函数单调递减，当x ＞1e 时，y ′>0，函数单调递增，所以当x ＝1e 时，y ＝x ln x 有最小值－1e ，即－1e <－m <0，即0<m <1e ，故选D.8.已知函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 的定义域为[－3，3]，则不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为( ) A.[－2，－1]B.[－2，2]C.[－2，－1)∪(1，2]D.(－2，－1)∪(1，2)答案 C解析 因为f (－x )＝－x (e －x－e x )－cos(－x )＝x (e x －e －x)－cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，令g (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，易知g (x )在[0，3]上为增函数，令h (x )＝－cos x ，易知h (x )在[0，3]上为增函数，故函数f (x )＝x (e x －e －x )－cos x 在[0，3]上为增函数，所以f (x 2＋1)>f (－2)可变形为f (x 2＋1)>f (2)，所以2<x 2＋1≤3，解得－2≤x <－1或1<x ≤2，故不等式f (x 2＋1)>f (－2)的解集为[－2，－1)∪(1，2].9.已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________. 答案 －32解析 当a >1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解.当0<a <1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.10.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________.答案 72或2解析 若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， 又|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 所以|PF 1|＝143，|PF 2|＝43，所以|PF 1||PF 2|＝72.若∠F 1PF 2＝90°，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2， 所以|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2＝20，且|PF 1|>|PF 2|， 所以|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，所以|PF 1||PF 2|＝2.综上知，|PF 1||PF 2|＝72或2.11.(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________. 答案 4 2 5解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵|a |＝1，|b |＝2，∴|a ＋b |＋|a －b |＝(a ＋b )2＋(a －b )2＝5＋4cos θ＋5－4cos θ. 令y ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ， 则y 2＝10＋225－16cos 2θ. ∵θ∈[0，π]，∴cos 2θ∈[0，1]， ∴y 2∈[16，20]，∴y ∈[4，25]，即|a ＋b |＋|a －b |∈[4，25]. ∴|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.12.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°，则椭圆C 离心率的取值范围是______________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 解析 当点P 在短轴端点时，∠F 1PF 2达到最大值， 即∠F 1BF 2≥120°时，椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2＝120°， 当∠F 1BF 2＝120°时，e ＝ca ＝sin 60°＝32，而椭圆越扁，∠F 1BF 2才可能越大， 椭圆越扁，则其离心率越接近1， 所以椭圆C 离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习：第三篇+(一)函数与方程思想、数形结合思想+Word版含解析
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用.函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解.1.若0<x 1<x 2<1，则( )A.21e e x x ->ln x 2－ln x 1B.21e e x x -<ln x 2－ln x 1C.1221e >e x x x xD.1221e <e x xx x答案 C解析 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)，则f ′(x )＝e x －1x ＝x e x －1x . 令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y 1＝e x 与y 2＝1x的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确；设g (x )＝e x x (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0，∴函数g (x )在(0，1)上是减函数.又0<x 1<x 2<1，∴g (x 1)>g (x 2)，∴1221e >e x x x x ，故选C.2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g (x )e x >1的解集为________. 答案 (－∞，0)解析 ∵函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴g (0)＝g (4)＝1.设f (x )＝g (x )e x ， 则f ′(x )＝g ′(x )e x －g (x )e x (e x )2＝g ′(x )－g (x )e x . 又g ′(x )－g (x )<0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在R 上单调递减.又f (0)＝g (0)e 0＝1，∴f (x )>f (0)，∴x <0. 3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________.答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 ∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎡⎦⎤12，3.问题转化为m (x －2)＋(x －2)2>0恒成立，当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2，m ∈⎣⎡⎦⎤12，3.问题转化为g (m )在⎣⎡⎦⎤12，3上恒大于0，则⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫12>0，g (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧12(x －2)＋(x －2)2>0，3(x －2)＋(x －2)2>0，解得x >2或x <－1.。
2019高考数学(文)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4) Word版含解析
12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2 019的虚部为( ) A.－1 B.1 C.－2 D.2答案 C解析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ，∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.(2018·安徽省六安一中适应性考试)若A ＝{}x ∈Z | 2≤22－x <8，B ＝{}x ∈R | log 2x <1，则A ∩(∁R B )中的元素有( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析 ∵A ＝{}x ∈Z |2≤22－x <8＝{}x ∈Z |－1<x ≤1＝{}0，1，B ＝{}x ∈R |log 2x <1＝{}x |0<x <2，∴∁R B ＝{}x |x ≤0或x ≥2，∴A ∩()∁R B ＝{}0.则A ∩()∁R B 中的元素个数为1.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 11＝a 9＋7，则S 25等于( )A.1452B.145C.1752D.175 答案 D解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵2a 11＝a 9＋7，∴2(a 1＋10d )＝a 1＋8d ＋7，化为a 1＋12d ＝7＝a 13.则S 25＝25()a 1＋a 252＝25a 13＝175.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( ) A.虚轴长为4B.焦距为25C.离心率为133 D.渐近线方程为2x ±3y ＝0 答案 D解析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1， 其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确.5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β；②若α⊥β，m ⊥α，则m ∥β；③若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α.其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 A解析 ①中，由条件可得γ∥β或β，γ相交，故①不正确；②中，由条件可得m ∥β或m ⊂β，故②不正确；③中，由条件可得n ∥α或n ⊂α，故③不正确.综上真命题的个数是0.6.甲、乙、丙、丁四个人聚在一起讨论各自的体重(每个人的体重都不一样).甲说：“我肯定最重”；乙说：“我肯定不是最轻”；丙说：“我虽然没有甲重，但也不是最轻”丁说：“那只有我是最轻的了”.为了确定谁轻谁重，现场称了体重，结果四人中仅有一人没有说对.根据上述对话判断四人中最重的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁答案 B解析 ①假设甲没说对，则乙、丙、丁说的正确.故最重的是乙，第二名是甲，第三名是丙，丁最轻；②假设乙没说对，则甲、丙、丁说的正确.故乙最轻，与丁最轻矛盾，故假设不成立；。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4 满分练(1)解析版
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练：12＋4 满分练(1)解析版1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋iz 是纯虚数，则|z |等于( )A. 5B.25C.53D.253答案 D解析 根据题意可设2＋iz ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解得x ＝－23，∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253.2.已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 答案 D解析 B ＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}.3.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710 答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x乙＝83＋83＋87＋99＋x5，因为x甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得x ＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件为从90到99共10个，而满足条件的为从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C.4.(2018·宁德模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14， a 2a 6＝33，则a 1a 7等于( )A.33B.16C.13D.12 答案 C解析 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14， a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时， d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时， d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.5.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则( ) A.AD →＝13AB →－23AC →B.AD →＝13AB →＋23AC →C.AD →＝23AB →－13AC →D.AD →＝23AB →＋13AC →答案 D解析 因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13AC →.6.给出30个数： 1， 2， 4， 7， 11， 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和处理框②处可以分别填入( )A.i ≤30？和p ＝p ＋i －1B.i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C.i ≤31？和p ＝p ＋iD.i ≤30？和p ＝p ＋i答案 D解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30， 即①中应填写i ≤30？. 又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2，第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4， 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…， 故②中应填写p ＝p ＋i .7.已知实数x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为( )A.12B.22 C.1 D. 2 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1，0)的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.故选A.8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2，0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±22xC.y ＝±77x D.y ＝±7x答案 D解析 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2，0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142，∴渐近线方程为y ＝±bax ＝±7x .9.已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13 答案 A解析 设AC ∩BD ＝O ，连接OC 1，过C 点作CH ⊥OC 1于点H ，连接DH .∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1，又CH ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥CH ，又CH ⊥OC 1，BD ∩OC 1＝O ，BD ，OC 1⊂平面C 1BD ， ∴CH ⊥平面C 1BD ，则∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角， 设AA 1＝2AB ＝2，则OC 1＝CC 21＋OC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫222＝322，由等面积法得OC 1·CH ＝OC ·CC 1， 代入得CH ＝23，∴sin ∠CDH ＝CH CD ＝23，故选A.10.(2018·西宁模拟)函数f (x )＝2x －ln x －1的图象大致为( )答案 A解析 由函数f (x )的定义域为{x |x >0且x ≠1}，可排除C ；又f ⎝⎛⎭⎫1e >0，可排除B ； 当x →＋∞时，f (x )>0，可排除D ，故正确答案为A.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时， f (x )＝(x ＋1)e x ，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有( ) A.3个 B.4个 C.6个 D.9个答案 A解析 当x <0时， f ′(x )＝(x ＋2)e x ，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增， f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数， f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时， f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1，1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1，1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1，1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个，故选A.13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________. 答案 1解析 ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m＝1.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以点(2.5，3.5)在回归直线y ^＝－0.7x ＋a ^上， 即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为____. 答案55解析 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫±b 22a 2b 2＝1，解得e ＝55. 16.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案27π32a 2解析 设底面△ABC 的外接圆半径为r ，则asin π3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，∴R ＝64a . 因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫64a 2×⎝⎛⎭⎫342＝27π32a 2.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练12+4满分练(3)(解析版)
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练12＋4满分练(3)（解析版）1.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i (a ∈R )为纯虚数，则a 的值为( )A.－2B.－12C.2D.12答案 C解析 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.故选C.2.已知集合A ＝{x |log 2x <3}，B ＝{x |x 2－4x －5>0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A.[－1，8) B.(0，5] C.[－1，5) D.(0，8) 答案 B解析 由log 2x <3，得0<x <8，所以A ＝{x |0<x <8}，由x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1，所以B ＝{x |x >5或x <－1}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，所以A ∩(∁R B )＝(0，5].故选B.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3等于( ) A.4 B.5 C.9 D.16 答案 C解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 D解析 ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4).∴a －b 与b 的夹角的余弦值为－124×23＝－32，又∵夹角的范围是[0°，180°]， ∴夹角为150°，故选D.5.函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )答案 C解析 因为f (x )是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B ，D ，又因为f (π)＝0，故选 C.6.如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是( )A.36πB.48πC.56πD.64π 答案 C解析 根据三视图知几何体是三棱锥D －ABC ，为棱长为4的正方体的一部分，直观图如图所示.∵该多面体的所有顶点都在球O 的表面上，∴由正方体的性质，得球心O 到平面ABC 的距离d ＝2，由正方体的性质，可得AB ＝BD ＝42＋22＝25，AC ＝42，设△ABC 的外接圆的半径为r ，在△ABC 中，∠ACB ＝45°，则sin ∠ACB ＝22，由正弦定理可得，2r ＝AB sin ∠ACB ＝2522＝210，则r ＝10，则球O 的半径R ＝r 2＋d 2＝14，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝56π.7.执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是( )A.－12B.－1C.2D.12答案 D解析 执行程序框图，依次可得a ＝2，n ＝1，a ＝12，n ＝2，a ＝－1，n ＝3，a ＝2，n ＝4，a ＝12，n ＝5，…，由此可看出周期为3，当n ＝2 018时输出结果，此时a ＝12.8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( ) A.360 B.520 C.600 D.720 答案 C解析 若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有C 25A 22A 23种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有C 12C 35A 44种不同的发言顺序.综上可得不同的发言顺序为C 25A 22A 23＋C 12C 35A 44＝600(种).9.设双曲线x 24－y 23＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线右支于A ，B 两点，则|AF 1|＋|BF 1|的最小值为( ) A.16 B.12 C.11 D.192答案 C解析 由双曲线的定义，得 |AF 1|－|AF 2|＝4，且|BF 1|－|BF 2|＝4，则|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |≥8＋2b 2a ＝8＋2×32＝11，当且仅当AB ⊥x 轴时取等号.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2，0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列是g (x )的单调递增区间的为( )A.⎣⎡⎦⎤73，133B.⎣⎡⎦⎤43，103C.⎣⎡⎦⎤103，163D.⎣⎡⎦⎤13，73 答案 C解析 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令|HM |＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，将(2，0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2⎝⎛⎭⎫x －13＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .令k ＝1，得函数g (x )的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤103，163.11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于( ) A.83 B.833 C.163 D.1633 答案 B解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x－1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833，故选B. 12.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 B.(－∞，e ＋2] C.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 D.(－∞，e ＋2]答案 B解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，0)上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，＋∞)上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f (2－x )＋2x 可得F (x )≥F (2－x )，解得x ≤1， 由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x ＋3x －a 在(－∞，1]上有解， 即a ＝e x ＋2x 在(－∞，1]上有解， 令h (x )＝e x ＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x ＋2>0，故h (x )＝e x ＋2x 在(－∞，1]上单调递增， 则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e ＋2，故选B. 13.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是_______.答案 [－3，＋∞)解析 画出变量x ，y 满足的线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，如图所示：目标函数z ＝2x －y 经过点(0，3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[－3，＋∞).14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2ab sin C ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案 3 3解析 由题意得2ab sin C2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A ，所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若|OP |＝e |OQ |(e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案2＋1解析 由已知得，A (－a ，0)，B (a ，0)，F 1(－c ，0)，M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .由△BOQ ∽△BF 1M 可得，|OQ ||MF 1|＝|OB ||BF 1|，即|OQ |b 2a ＝a a ＋c ，解得|OQ |＝b 2a ＋c .由△AOP ∽△AF 1M 可得，|OP ||MF 1|＝|OA ||AF 1|，即|OP |b 2a＝a c －a ，解得|OP |＝b 2c －a . 由已知得|OP |＝e |OQ |，可得b 2c －a ＝e ×b 2a ＋c ，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.16.已知曲线y ＝e x +a 与y ＝(x －1)2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为______. 答案 (－∞，2ln 2－3)解析 y ＝(x －1)2的导数y ′＝2(x －1)，y ＝e x +a 的导数为y ′＝e x +a ，设与曲线y ＝e x +a 相切的切点为(m，n )，与y ＝(x －1)2相切的切点为(s ，t )，则有公共切线斜率为2(s －1)＝e m +a ＝t －ns －m >0，又t ＝(s －1)2，n ＝e m +a ，即有2(s －1)＝(s －1)2－e m +a s －m ＝(s －1)2－2(s －1)s －m ，即为s －m ＝s －12－1，即有m ＝s ＋32(s ＞1)，则有e m ＋a ＝2(s－1)，即为a ＝ln [2(s －1)]－s ＋32(s ＞1)，令f (s )＝ln [2(s －1)]－s ＋32(s ＞1)，则f ′(s )＝1s －1－12＝3－s 2(s －1)，当s ＞3时，f ′(s )＜0，f (s )单调递减，当1＜s ＜3时，f ′(s )＞0，f (s )单调递增，即f (s )在s ＝3处取得极大值，也为最大值，且为2ln 2－3.由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的取值范围是(－∞，2ln 2－3).。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习：第三篇-(三)求准提速秒杀选择、填空题-Word版
11 a＋ b
1 ·a（＋ b)＝3
ba a＋ b
＋
23≥23＋
2 3＝
4 3(当且仅当
a
3
11
4
＝ b＝2时等号成立 )，即 a＋ b的最小值为 3.
4.已知抛物线
C1：y2＝ 4x 的焦点为
F，点 P 为抛物线上一点，
且 |PF|＝ 3，双曲线
x2 C2：a2
－
by22＝
1(a>0， b>0) 的渐近线恰好过 P 点，则双曲线 C2 的离心率为 ________.
所以 x＝ 0.故选 B.
2.已知 α满足 sin α＝13，则 cos π4＋ αcos π4－ α等于 (
)
1 / 17
7 25
7
25
A. 18 B.18 C.－ 18 D.－ 18
答案 A
解析
cos
π 4＋ αcos
π 4－ α＝
2
2
2 (cos α－ sin α) ·2 (cos α＋sin
求准提速， 秒杀选择、 填空题
选择、填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点
.在高考中，选择、填空题的
题量较大，共同特点是不管过程，只要结果 .因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解
题的基本策略， 避免“小题大做” . 解题基本解答策略是： 充分利用题目提供的信息作出判断 .
先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度
D.(1 ，＋∞ )
答案 D
1＋ ln t 1＋ln s 解析 由已知 s＋sln t＝ t＋ tln s，可得 t ＝ s .
1＋ ln x
－ ln x
设 f(x)＝ x (x>0) ，则 f′ (x)＝ x2 .
2019高考数学(理)精准提分练：12+4满分练(全解析)
12＋4满分练12＋4 满分练(1)1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋i z是纯虚数，则|z |等于( ) A. 5 B.25 C.53 D.253答案 D解析 根据题意可设2＋i z＝b i(b ∈R 且b ≠0)， ∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解得x ＝－23， ∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253. 2.已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.10答案 D解析 B ＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}.3.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x 乙＝83＋83＋87＋99＋x 5，因为x 甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得x ＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件为从90到99共10个，而满足条件的为从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C. 4.(2018·宁德模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14， a 2a 6＝33，则a 1a 7等于( )A.33B.16C.13D.12答案 C解析 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14， a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3.当a 2＝3，a 6＝11时， d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13； 当a 2＝11，a 6＝3时， d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13. 5.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则( )A.AD →＝13AB →－23AC → B.AD →＝13AB →＋23AC → C.AD →＝23AB →－13AC → D.AD →＝23AB →＋13AC → 答案 D解析 因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13AC →. 6.给出30个数： 1， 2， 4， 7， 11， 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和处理框②处可以分别填入( )A.i ≤30？和p ＝p ＋i －1B.i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C.i ≤31？和p ＝p ＋iD.i ≤30？和p ＝p ＋i答案 D解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30，即①中应填写i ≤30？.又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2，第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4，第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…，故②中应填写p ＝p ＋i .7.已知实数x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为( )A.12B.22C.1D. 2 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1，0)的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.故选A.8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2，0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±22xC.y ＝±77x D.y ＝±7x 答案 D解析 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2，0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±b ax ＝±7x . 9.已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13答案 A解析 设AC ∩BD ＝O ，连接OC 1，过C 点作CH ⊥OC 1于点H ，连接DH .∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，又CH ⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥CH ，又CH ⊥OC 1，BD ∩OC 1＝O ，BD ，OC 1⊂平面C 1BD ，∴CH ⊥平面C 1BD ，则∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角，设AA 1＝2AB ＝2，则OC 1＝CC 21＋OC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫222＝322， 由等面积法得OC 1·CH ＝OC ·CC 1，代入得CH ＝23，∴sin ∠CDH ＝CH CD ＝23， 故选A.10.(2018·西宁模拟)函数f (x )＝2x －ln x －1的图象大致为( )答案 A解析 由函数f (x )的定义域为{x |x >0且x ≠1}，可排除C ；又f ⎝⎛⎭⎫1e >0，可排除B ；当x →＋∞时，f (x )>0，可排除D ，故正确答案为A.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为( )A.4B.6C.8D.10答案 C解析 “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时， f (x )＝(x ＋1)e x ，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有( )A.3个B.4个C.6个D.9个答案 A解析 当x <0时， f ′(x )＝(x ＋2)e x ，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增， f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数， f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时， f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1，1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1，1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1，1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个，故选A.13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________.答案 1解析 ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m ＝1. 14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5， y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5， 所以点(2.5，3.5)在回归直线y ^＝－0.7x ＋a ^上，即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为____.答案 55 解析 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧ |y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫±b 22a 2b2＝1， 解得e ＝55. 16.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________.答案 27π32a 2 解析 设底面△ABC 的外接圆半径为r ，则a sin π3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，∴R ＝64a . 因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫64a 2×⎝⎛⎭⎫342＝27π32a 2.12＋4满分练(2)1.(2018·绵阳模拟) 若复数z 满足1＋i z －i＝i(i 是虚数单位)，则z 等于( ) A.1 B.－1 C.i D.－i答案 A解析 由题设有z ＝1＋i i＋i ＝－i ＋1＋i ＝1，故选A. 2.(2018·绵阳模拟)已知集合A ＝{2，0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，故P ＝A ∩B ＝{－2}，所以P 的子集的个数为2，选B.3.已知cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3等于( ) A.－1114 B.3314 C.5314 D.1314答案 D解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝17×12＋437×32＝1314. 4.从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有( )A.35B.70C.80D.140答案 B解析 从9人中，任取3人进行视力检测共C 39＝84(种)情况，其中选出的3人都为男生时，有C 35＝10(种)情况，选出的3人都为女生时，有C 34＝4(种)情况，所以符合题意的选法共84－10－4＝70(种).5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)等于( )A.1B.－1C.2 017D.－2 017答案 B解析 根据斐波那契数列可知， a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…，所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1，当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1，故选B.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期为π2B.直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴 C.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π6上单调递增 D.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin 2x 答案 D解析 A ＝2，T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2，π2＋2π32＝7π12 ，当x ＝7π12时，2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解得 φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝⎛⎭⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎡⎦⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以D 正确，故选D.7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为21，则判断框内应填()A.n≥5?B.n>6?C.n>5?D.n<6?答案 B解析初始值：n＝0，S＝0；第一次循环：n＝1，S＝1；第二次循环：n＝2，S＝1＋2＝3；第三次循环：n＝3，S＝3＋3＝6；第四次循环：n＝4，S＝6＋4＝10；第五次循环：n＝5，S＝10＋5＝15；第六次循环：n＝6，S＝15＋6＝21；第七次循环：n＝7.因为输出的值为21，所以结合选项，可知判断框内应填n>6？.8.如图1，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图2所示，则AD的长是()A. 3B.23C. 2D.2 2答案 A解析根据俯视图可知BD＝2，CD＝4，BC＝23，所以△BCD为直角三角形，且∠CDB＝60°，由于AB∥CD，所以∠ABD＝∠CDB＝60°，所以AD＝BD sin 60°＝ 3.故选A.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为( ) A.x 216＋y 24＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 264＋y 216＝1 D.x 25＋y 24＝1 答案 A解析 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b 的最小值是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案 C解析 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m ，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m (x－m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m ，4a ＋e b ＝4m ＋m ≥24m ·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号.故选C. 11.过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为( ) A.522 B.32 C.722 D.4 2答案 D解析 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)， 又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解得p ＝22， 即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0， 则x 1＋x 2＝62， 所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝42，故选D.12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2 018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是( ) A.(2＋22，＋∞) B.[2＋22，＋∞) C.(4＋22，＋∞) D.[4＋22，＋∞) 答案 D解析 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t ，所以ab ＝1，2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ，而2 018t >0， 所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t ＝2时等号成立.令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174， 因为y ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增， 所以4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫m ＋122－174≥4＋2 2. 13.(2018·绵阳模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是______.答案 6解析 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2，0)时，z 取最小值6.14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案 16解析 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.15.如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为___________.答案 610解析 如图所示，连接BD ，因为ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得cos A ＝62＋52－BD 22×6×5，cos C ＝32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝2477，所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ＝2107，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610.16.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案102解析 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝⎛⎭⎫12×1×2×sin A 2＋⎝⎛⎭⎫12×1×1×sin C 2 ＝34－⎝⎛⎭⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝⎛⎭⎫b 2－522＋1216， 所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值. 12＋4满分练(3)1.已知i 为虚数单位，复数1＋a i 2－i (a ∈R )为纯虚数，则a 的值为( )A.－2B.－12C.2D.12答案 C解析 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.故选C.2.已知集合A ＝{x |log 2x <3}，B ＝{x |x 2－4x －5>0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A.[－1，8) B.(0，5] C.[－1，5) D.(0，8) 答案 B解析 由log 2x <3，得0<x <8，所以A ＝{x |0<x <8}，由x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1，所以B ＝{x |x >5或x <－1}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，所以A ∩(∁R B )＝(0，5].故选B.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3等于( ) A.4 B.5 C.9 D.16 答案 C解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 D解析 ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4).∴a －b 与b 的夹角的余弦值为－124×23＝－32，又∵夹角的范围是[0°，180°]， ∴夹角为150°，故选D.5.函数f (x )＝x 2sin x 的图象可能为( )答案 C解析 因为f (x )是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B ，D ，又因为f (π)＝0，故选 C. 6.如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是()A.36πB.48πC.56πD.64π 答案 C解析 根据三视图知几何体是三棱锥D －ABC ，为棱长为4的正方体的一部分，直观图如图所示.∵该多面体的所有顶点都在球O 的表面上，∴由正方体的性质，得球心O 到平面ABC 的距离d ＝2，由正方体的性质，可得AB ＝BD ＝42＋22＝25，AC ＝42，设△ABC 的外接圆的半径为r ，在△ABC 中，∠ACB ＝45°，则sin ∠ACB ＝22，由正弦定理可得，2r ＝AB sin ∠ACB ＝2522＝210，则r ＝10，则球O 的半径R ＝r 2＋d 2＝14，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝56π.7.执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是( )A.－12B.－1C.2D.12答案 D解析 执行程序框图，依次可得a ＝2，n ＝1，a ＝12，n ＝2，a ＝－1，n ＝3，a ＝2，n ＝4，a＝12，n ＝5，…， 由此可看出周期为3，当n ＝2 018时输出结果，此时a ＝12.8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( ) A.360 B.520 C.600 D.720 答案 C解析 若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有C 25A 22A 23种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有C 12C 35A 44种不同的发言顺序.综上可得不同的发言顺序为C 25A 22A 23＋C 12C 35A 44＝600(种).9.设双曲线x 24－y 23＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线右支于A ，B 两点，则|AF 1|＋|BF 1|的最小值为( ) A.16 B.12 C.11 D.192答案 C解析 由双曲线的定义，得|AF 1|－|AF 2|＝4，且|BF 1|－|BF 2|＝4，则|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |≥8＋2b 2a ＝8＋2×32＝11，当且仅当AB ⊥x 轴时取等号.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2，0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列是g (x )的单调递增区间的为( )A.⎣⎡⎦⎤73，133B.⎣⎡⎦⎤43，103C.⎣⎡⎦⎤103，163D.⎣⎡⎦⎤13，73 答案 C解析 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令|HM |＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，将(2，0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2⎝⎛⎭⎫x －13＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π6. 由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .令k ＝1，得函数g (x )的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤103，163.11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于( ) A.83 B.833 C.163 D.1633 答案 B解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833，故选B. 12.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 B.(－∞，e ＋2] C.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 D.(－∞，e ＋2]答案 B解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，0)上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，＋∞)上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f (2－x )＋2x 可得 F (x )≥F (2－x )，解得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x ＋3x －a 在(－∞，1]上有解， 即a ＝e x ＋2x 在(－∞，1]上有解， 令h (x )＝e x ＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x ＋2>0，故h (x )＝e x ＋2x 在(－∞，1]上单调递增， 则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e ＋2，故选B. 13.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是_______.答案 [－3，＋∞)解析 画出变量x ，y 满足的线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，如图所示：目标函数z ＝2x －y 经过点(0，3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[－3，＋∞).14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2ab sin C ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案 3 3解析 由题意得2ab sin C2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A ， 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若|OP |＝e |OQ |(e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案2＋1解析 由已知得，A (－a ，0)，B (a ，0)，F 1(－c ，0)，M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .由△BOQ ∽△BF 1M 可得，|OQ ||MF 1|＝|OB ||BF 1|，即|OQ |b 2a ＝a a ＋c ，解得|OQ |＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，|OP ||MF 1|＝|OA ||AF 1|，即|OP |b 2a＝a c －a ，解得|OP |＝b 2c －a . 由已知得|OP |＝e |OQ |，可得b 2c －a ＝e ×b 2a ＋c ，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.16.已知曲线y ＝e x +a 与y ＝(x －1)2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为______. 答案 (－∞，2ln 2－3)解析 y ＝(x －1)2的导数y ′＝2(x －1)，y ＝e x +a 的导数为y ′＝e x +a ，设与曲线y ＝e x +a 相切的切点为(m ，n )，与y ＝(x －1)2相切的切点为(s ，t )，则有公共切线斜率为2(s －1)＝e m +a ＝t －ns －m >0，又t ＝(s －1)2，n ＝em +a，即有2(s －1)＝(s －1)2－e m +a s －m ＝(s －1)2－2(s －1)s －m，即为s －m ＝s －12－1，即有m ＝s ＋32(s ＞1)，则有e m ＋a ＝2(s －1)，即为a ＝ln [2(s －1)]－s ＋32(s ＞1)，令f (s )＝ln [2(s－1)]－s ＋32(s ＞1)，则f ′(s )＝1s －1－12＝3－s 2(s －1)，当s ＞3时，f ′(s )＜0，f (s )单调递减，当1＜s ＜3时，f ′(s )＞0，f (s )单调递增，即f (s )在s ＝3处取得极大值，也为最大值，且为2ln 2－3.由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的取值范围是(－∞，2ln 2－3).12＋4满分练(4)1.已知2＋a i1－i 为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2 019的虚部为( )A.－1B.1C.－2D.2答案 C解析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i ＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ， ∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |1<x <2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |1≤x <2} D.{x |1≤x <4}答案 C解析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A.－15 B.15 C.30 D.－30 答案 B解析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2 5C.离心率为133D.渐近线方程为2x ±3y ＝0答案 D解析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β 其中正确的命题是( )A.②③B.①③C.①④D.③④ 答案 C解析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵ n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β. ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β，正确. m ⊥α且m ∥n ，可得出n ⊥α，又n ∥β，故得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A.60种 B.54种 C.48种 D.24种 答案 D解析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数且p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A.p ＝q <v <r B.p ＝v <q <r C.p ＝v <r <q D.p <v <q <r答案 B解析 由题意可得，p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )＝12(ln a ＋ln b )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2>ln ab ＝p ， v ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )，∴p ＝ v ＜q ，∵a 2＋b 22>a ＋b2， ∴ r ＝12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22 ＝12ln a 2＋b22>ln a ＋b 2＝q .故p ＝v <q <r .8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是( )A.n <7?B.n ≤7?C.n <8?D.n ≤8? 答案 D解析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n .∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意； 当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意. ∴判断框中的条件为n ≤8？.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧(左)视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S 1，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S 2，则S 1∶S 2为( )A.5∶1B.5∶2C.5∶4D.10∶1 答案 B解析 由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥底面ABC ，且底面△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，SA ＝5.故三棱锥外接球的球心在过BC 的中点O 1且与底面垂直的直线上，设为点O ，则有OO 1＝12SA＝52，设球半径为R ，则有R 2＝OO 21＋O 1C 2＝252. 故三棱锥的外接球表面积S 1＝4×π×252＝50π.俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积S 2＝12×(2π×4)×5＝20π.∴S 1S 2＝50π20π＝52. 10.将函数f (x )＝sin ωx (ω是正整数)的图象向右平移π6个单位长度，所得曲线在区间⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，则ω的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A解析 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π6个单位长度，可得f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所得曲线在⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，可得2k π－π2≤ω⎝⎛⎭⎫4π3－π6＜ω⎝⎛⎭⎫3π2－π6≤2k π＋π2， 求得12k 7－37≤ω≤3k 2＋38，由12k 7－37<3k 2＋38，得k <154且k ∈Z ，又∵ω为正整数，∴取k ＝2，得ω＝3.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为( ) A.155 B.154 C.153 D.152答案 C解析 由题意知等腰△ABP 中，|AB |＝|AP |＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2a sin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.设点P 的坐标为(x ，y )，则x ＝－a －|AP |cos 2θ＝－11a 5，y ＝|AP |sin 2θ＝8a 5， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－11a 5，8a5. 由点P 在双曲线上，得⎝⎛⎭⎫－11a 52a 2－⎝⎛⎭⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0.∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确，故选C. 13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2，2)， 又|OA |＝|OB |＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.14.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， 又∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.15.(2018·河北衡水金卷模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等， 则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316.16.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为______. 答案 S n ＝3n －2n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝⎛⎭⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n .12＋4满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则复数z 的模等于( ) A.1 B.2 C. 3 D.2 答案 B解析 由题意知z ＝2i1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2.2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q 等于( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，52 B.(0，2) C.[－1，2) D.⎝⎛⎦⎤2，52 答案 B解析 P ∩Q ＝(0，2)，故选B.3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2，b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为( ) A.120° B.60° C.45° D.30° 答案 C解析 ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10， ||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝(3e 1－e 2)·(2e 1＋e 2)＝6||e 12－||e 22＝5， 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22， ∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°，故选C.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是( )A.16B.17C.13D.14 答案 A解析 可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1， 故A (3，1)，但点(3，1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4，1)时，z 有最小值16.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.23 B.223C. 2D.2 2 答案 B解析 题中三视图表示的几何体如图所示，其中△P AD 为等腰直角三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形且面积为22，点P 到平面ABCD 的距离为1， 故体积为13×1×22＝223，故选B.6.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下面是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x ＝3，n ＝2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s 等于( )A.8B.17C.29D.83 答案 C解析 由程序框图知，循环一次后s ＝2，k ＝1. 循环二次后s ＝2×3＋2＝8，k ＝2. 循环三次后s ＝8×3＋5＝29，k ＝3. 满足k >n ，输出s ＝29.7.如图，可导函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线为l ：y ＝g (x )，设h (x )＝f (x )－g (x )，则下列说法正确的是( )A.h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极大值点B.h ′(x 0)＝0，x ＝x 0是h (x )的极小值点C.h ′(x 0)≠0，x ＝x 0不是h (x )的极值点D.h ′(x 0)≠0，x ＝x 0是h (x )的极值点 答案 B解析 由题设有g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)， 故h (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 所以h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)， 因为h ′(x 0)＝f ′(x 0)－f ′(x 0)＝0，又当x <x 0时，有h ′(x )<0，当x >x 0时，有h ′(x )>0， 所以x ＝x 0是h (x )的极小值点，故选B.8.设不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域为M ，函数y ＝1－x 2的图象与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内的概率为( )A.2πB.π4C.π8D.π16 答案 B解析 区域M 表示的是底为22，高为2的三角形，面积为12×22×2＝2，区域N 表示的是以原点为圆心，半径为1的半圆(在x 轴上方)，面积为12π×12＝π2，且半圆与直线x ＋y ＝2，x －y ＝－2相切.由几何概型计算公式，得点落在N 内的概率为P ＝π22＝π4，故选B.9.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式是()A.g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B.g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C.g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 D.g (x )＝2cos 2x答案 A解析 ∵由图象知A ＝2，14T ＝π6－⎝⎛⎭⎫－π12＝π4， ∴T ＝π，ω＝2.∵2sin ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝2， ∴2×⎝⎛⎭⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . ∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 10.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ， B 两点，与双曲线交于C ， D 两点，当|AB |＝2|CD |时，双曲线的离心率为( ) A.2 B.62 C.5＋12 D.6＋22答案 C解析 由题意知F (2，0)， c ＝2，∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C ， D 两点， 在y 2＝8x 中，令x ＝2，则y 2＝16，即y ＝±4. ∴|AB |＝8，∴|CD |＝4，将x ＝2代入到双曲线的方程，可得y ＝±b 4a 2－1， 则2b4a 2－1＝4. ∵a 2＋b 2＝c 2＝4，∴a ＝5－1，∴双曲线的离心率为e ＝c a ＝25－1＝5＋12.11.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1＋a2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a2，x ≥0，若关于x 的方程f (－f (x ))＝e －a ＋a 2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，2＋2e B.⎝⎛⎭⎫2，2＋2e C.⎝⎛⎭⎫1，1＋1e D.⎝⎛⎭⎫2，2＋1e 答案 B解析 当x ＜0时， f (x )为增函数，当x ≥0时， f ′(x )＝e x －1＋ax －a －1， f ′(x )为增函数， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的图象如图所示.令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎨⎧f ()t ＝e －a ＋a2，f ()t ＝et －1＋a 2，解得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根， 则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解得2＜a ＜2e＋2.12.已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为( )A.[2－3，1]B.[1，7]C.[7，7＋23]D.[1，7＋23]答案 B解析 如图，过B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ， 则四边形BMNC 为直角梯形.在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E . 又BM ＝2sin ∠BAM ＝2sin π3＝3，AM ＝2cos π3＝1，CN ＝3sin ∠CAN ＝3sin π6＝32，AN ＝3cos π6＝32，所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即 12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52，所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7，故选B.13.(2018·巩义模拟)已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(3，1)，c ＝(1，2)，若向量2a －b 与c 共线，则向量a 在向量c 方向上的投影为________. 答案 0解析 向量2a －b ＝(－1，2λ－1)，由2λ－1＝－2，得λ＝－12.∴向量a ＝⎝⎛⎭⎫1，－12， ∴向量a 在向量c 方向上的投影为|a |·cos 〈a ，c 〉＝a ·c||c ＝1－2×125＝0.14.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m ，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为______. 答案 12(2m ＋1－1)(3m ＋1－1)解析 ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i ·3j (i ，j ＝0，1，2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m2i ·∑j ＝0m3j ＝12(2m ＋1－1)·(3m ＋1－1). 15.已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________. 答案 2解析 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2，故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2，当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.16.已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________. 答案 (3，＋∞)解析 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解，则⎩⎨⎧ f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解.综上，m 的取值范围为(3，＋∞).12＋4 满分练(6)1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x |－3<x <－1}B.{x |－3<x <0}C.{x |－1≤x <0}D.{x |x <－3}。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(6)+Word版含解析
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练12＋4 满分练(6)1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x |－3<x <－1}B.{x |－3<x <0}C.{x |－1≤x <0}D.{x |x <－3}答案 C2.欧拉(Leonhard Euler ，国籍瑞士)是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式在复变函数理论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e －4i 表示的复数在复平面中位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案 B解析 e －4i ＝cos(－4)＋isin(－4)，∵cos(－4)＝－cos(4－π)<0，sin(－4)＝sin(4－π)>0，∴e －4i 表示的复数在复平面中位于第二象限.3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5等于( ) A.132 B.116C.14 D.12答案 A解析 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12. 令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1， 所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列. 因此a 5＝a 1q 4＝⎝⎛⎭⎫125＝132.4.为了响应国家发展足球的战略，某市一所学校在秋季运动会中，安排了足球射门比赛.现有10名同学参加足球射门比赛，已知每名同学踢进的概率均为0.6，每名同学有2次射门机会，且各同学射门之间没有影响.现规定：踢进两个得10分，踢进一个得5分，一个未踢进得0分，记X 为10个同学的得分总和，则X 的数学期望为( )A.30B.40C.60D.80答案 C解析 每位同学的进球个数ξ～B (2，0.6)，得E (ξ)＝2×0.6＝1.2.∴E (X )＝10×5E (ξ)＝50×1.2＝60.5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12C.⎝⎛⎭⎫12，1D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 B解析 由题意可得| PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，再由椭圆的定义可得| PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2c . 设∠PF 1F 2＝θ，又60°<∠PF 1F 2<120°，∴－12<cos θ＜12. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos θ＝c 2－a 2＋2ac 2c 2， 由－12＜cos θ＜12，可得e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12. 6.(2018·济宁模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 2 018等于( )A.22 016B.22 017C.22 018D.22 019答案 B解析 ∵S n ＝2a n －1(n ∈N *)，∴当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2a n －1－(2a n －1－1)， 化为a n ＝2a n －1.当n ＝1时， a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1. ∴a 2 018＝22 018－1＝22 017. 7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC 等于( )A.3B.2 3C.3 3D.6答案 C解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：解答题滚动练1(A)Word版含解析
解答题滚动练解答题滚动练1(A)1.如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E ，F 分别在三边AB ，BC 和CA 上，且D 为AB 的中点，∠EDF ＝90°，∠BDE ＝θ(0°<θ<90°).(1)当tan ∠DEF ＝32时，求θ的大小； (2)求△DEF 的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值.解 (1)在△BDE 中，由正弦定理得DE ＝BD sin 60°sin (120°－θ)＝32sin (60°＋θ)，在△ADF 中，由正弦定理得DF ＝AD sin 60°sin (30°＋θ)＝32sin (30°＋θ).由tan ∠DEF ＝32，得sin (60°＋θ)sin (30°＋θ)＝32， 整理得tan θ＝3， 所以θ＝60°.(2)S ＝12DE ·DF ＝38sin (60°＋θ)sin (30°＋θ)＝32(3cos θ＋sin θ)(cos θ＋3sin θ)＝32[3(cos 2θ＋sin 2θ)＋4sin θcos θ]＝32(3＋2sin 2θ). 当θ＝45°时，S 取最小值32(3＋2)＝6－332.2.(2018·四川省南充高级中学考前模拟)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是56，45，34，23，女生闯过一至四关的概率依次是45，34，23，12.(1)求男生闯过四关的概率；(2)设ξ表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量ξ的分布列和期望.解 (1)记男生四关都闯过为事件A ，则P (A )＝56×45×34×23＝13.(2)记女生四关都闯过为事件B ， 则P (B )＝45×34×23×12＝15，因为P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫452＝64225，P (ξ＝1)＝C 12×13×23×⎝⎛⎭⎫452＋C 12×15×45×⎝⎛⎭⎫232＝96225， P (ξ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫452＋C 22×⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫232＋C 12×13×23×C 12×15×45＝52225， P (ξ＝3)＝C 12×13×23×⎝⎛⎭⎫152＋C 12×15×45×⎝⎛⎭⎫132＝12225， P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫152＝1225， 所以ξ的分布列如下：E (ξ)＝0×64225＋1×96225＋2×52225＋3×12225＋4×1225＝240225＝1615.3.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R ). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n .解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5. 所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3， 又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列， 所以a n ＝3n －2(n ∈N *).(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1， 所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)， 所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n2.又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n2(n ∈N *).所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n ＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2). 4.(2018·宜昌调研)如图，N (1，0)是圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16内一个定点，P 是圆上任意一点.线段NP 的垂直平分线和半径MP 相交于点Q .(1)当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹E 是什么曲线？并求出其轨迹方程；(2)过点G (0，1)作直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于原点O 的对称点为D ，求△ABD 的面积S 的最大值.解 (1)由题意得|QM |＋|QN |＝|QM |＋|QP |＝|MP |＝4>2＝|MN |， 根据椭圆的定义，得点Q 的轨迹E 是以M ，N 为焦点的椭圆， ∴a ＝2，c ＝1，∴b ＝ 3.∴轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意知S △ABD ＝2S △ABO ＝2×12×|AB |·d＝d |AB |(d 为点O 到直线l 的距离)， 由题意知，直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0. Δ＝64k 2＋32(3＋4k 2)＝192k 2＋96>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k 2， 则|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝46·1＋2k 2·1＋k23＋4k2， 又d ＝11＋k 2，∴S △ABD ＝d ||AB ＝46·1＋2k 23＋4k 2， 令1＋2k 2＝t ，由k 2≥0，得t ≥1，∴S △ABD ＝46t 2t 2＋1＝462t ＋1t ，t ≥1，易证y ＝2t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，∴2t ＋1t ≥3，S △ABD ≤463，∴△ABD 面积S 的最大值为463.5.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝2，D ，E 分别为边AC ，AB 的中点，点F ，G 分别为线段CD ，BE 的中点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使∠A 1DC ＝60°.点Q 为线段A 1B 上的一点，如图2.(1)求证：A 1F ⊥BE ；(2)线段A 1B 上是否存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE ？若存在，求出A 1Q 的长，若不存在，请说明理由；(3)当＝34时，求直线GQ 与平面A 1DE 所成角的大小.(1)证明 因为A 1D ＝DC ，∠A 1DC ＝60°，所以△A 1DC 为等边三角形.又因为点F 为线段CD 的中点，所以A 1F ⊥DC .由题可知ED ⊥A 1D ，ED ⊥DC ，A 1D ∩DC ＝D ，A 1D ，DC ⊂平面A 1DC ， 所以ED ⊥平面A 1DC .因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以ED ⊥A 1F . 又ED ∩DC ＝D ，ED ，DC ⊂平面BCDE ， 所以A 1F ⊥平面BCDE . 所以A 1F ⊥BE .(2)解 由(1)知，A 1F ⊥平面BCDE ，FG ⊥DC ，如图，建立空间直角坐标系，则F (0，0，0)，D (0，－1，0)，C (0，1，0)，E (1，－1，0)，A 1(0，0，3)，B (2，1，0).设平面A 1DE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ＝(0，－1，－3)，＝(1，0，0)，所以 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＋3z ＝0，x ＝0.令z ＝1，则y ＝－3，所以n ＝(0，－3，1). 假设在线段A 1B 上存在点Q ，使得FQ ∥平面A 1DE . 设＝λ，λ∈(0，1).又＝(2，1，－3)，所以＝(2λ，λ，－3λ). 所以Q (2λ，λ，3－3λ).则＝(2λ，λ，3－3λ). 所以·n ＝－3λ＋3－3λ＝0， 解得λ＝12.所以在线段A 1B 上存在中点Q ，使FQ ∥平面A 1DE ， 且A 1Q ＝ 2.(3)解 因为＝34，又＝(2，1，－3)，所以＝⎝⎛⎭⎫32，34，－334.所以Q ⎝⎛⎭⎫32，34，34.又因为G ⎝⎛⎭⎫32，0，0，所以＝⎝⎛⎭⎫0，34，34. 因为n ＝(0，－3，1)，设直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为θ，则sin θ＝＝⎪⎪⎪⎪0－334＋342×234＝12. 所以直线GQ 与平面A 1DE 所成的角为30°.6.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρsin θ－ρcos θ＋m ＝0.(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P (m ，0)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|P A ||PB |＝1，求实数m 的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝2sin α，得(x －1)2＋y 2＝2，故曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝2. 直线l 的直角坐标方程为3y －x ＋m ＝0， 即y ＝33()x －m . (2)直线l 的参数方程可以写为⎩⎨⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t(t 为参数).设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程()x －12＋y 2＝2，可以得到⎝⎛⎭⎫m ＋32t －12＋⎝⎛⎭⎫12t 2＝2，即t2＋3(m－1)t＋(m－1)2－2＝0，Δ＝3(m－1)2－4[(m－1)2－2]＝－m2＋2m＋7. 所以|P A||PB|＝|t1||t2|＝|(m－1)2－2|＝1，即|m2－2m－1|＝1，所以m2－2m－2＝0或m2－2m＝0，解得m＝1±3或m＝0或m＝2.经检验，均可使Δ>0.∴实数m的值为1＋3或1－3或0或2.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分解答题通关练数列(解析版)
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分解答题通关练数列（解析版）1.数列{a n }中，a 1＝0且a n ＋1＝3a n ＋2.(1)求数列{a n }的前5项；(2)求证数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式.解 (1)由a 1＝0且a n ＋1＝3a n ＋2，得a 2＝3a 1＋2＝3×0＋2＝2，a 3＝3a 2＋2＝3×2＋2＝8，a 4＝3a 3＋2＝3×8＋2＝26，a 5＝3a 4＋2＝3×26＋2＝80，所以数列{a n }的前5项为0，2，8，26，80.(2)由a n ＋1＝3a n ＋2得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，而a 1＋1＝1≠0，所以数列{a n ＋1}是一个首项为1，公比为3的等比数列.所以a n ＋1＝3n －1，故a n ＝3n －1－1(n ∈N *).2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. (1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n＝2＋(n －1)×2＝2n ， 故a n ＝12n (n ∈N *).(2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1n <14×2＝12.故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5，3a 5＋a 9＝S 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5，3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)， 当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式， 所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.(2018·东莞模拟)已知等比数列{a n }与等差数列{b n }，a 1＝b 1＝1，a 1≠a 2，a 1，a 2，b 3成等差数列，b 1，a 2，b 4成等比数列.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，若S n ＋T n >100，求n 的最小值. 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＝2＋2d ，q 2＝1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0，q ＝1(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2， ∴a n ＝2n －1，b n ＝n .(2)由(1)易知S n ＝1－2n1－2＝2n －1，T n ＝n (n ＋1)2. 由S n ＋T n >100，得2n ＋n (n ＋1)2>101， ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋n (n ＋1)2是单调递增数列，且26＋6×72＝85<101，27＋7×82＝156>101， ∴n 的最小值为7.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4)
12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i 为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2019的虚部为( )A.－1B.1C.－2D.2答案 C解+析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i ＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ， ∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |1<x <2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |1≤x <2} D.{x |1≤x <4}答案 C解+析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A.－15B.15C.30D.－30 答案 B解+析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2 5C.离心率为133D.渐近线方程为2x ±3y ＝0答案 D解+析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β 其中正确的命题是( ) A.②③B.①③C.①④D.③④ 答案 C解+析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β. ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β，正确. m ⊥α且m ∥n ，可得出n ⊥α，又n ∥β，故得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A.60种B.54种C.48种D.24种 答案 D解+析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数且p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A.p ＝q <v <r B.p ＝v <q <r C.p ＝v <r <q D.p <v <q <r答案 B解+析 由题意可得，p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )＝12(ln a ＋ln b )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2>ln ab ＝p ，v ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )， ∴p ＝v ＜q ，∵a 2＋b 22>a ＋b2， ∴r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝12ln a 2＋b22>ln a ＋b 2＝q .故p ＝v <q <r .8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是( )A.n <7?B.n ≤7?C.n <8?D.n ≤8? 答案 D解+析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n . ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8？.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧(左)视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S 1，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S 2，则S 1∶S 2为( )A.5∶1B.5∶2C.5∶4D.10∶1 答案 B解+析 由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥底面ABC ，且底面△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，SA ＝5.故三棱锥外接球的球心在过BC 的中点O 1且与底面垂直的直线上，设为点O ，则有OO 1＝12SA＝52，设球半径为R ，则有R 2＝OO 21＋O 1C 2＝252. 故三棱锥的外接球表面积S 1＝4×π×252＝50π.俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积S 2＝12×(2π×4)×5＝20π.∴S 1S 2＝50π20π＝52. 10.将函数f (x )＝sin ωx (ω是正整数)的图象向右平移π6个单位长度，所得曲线在区间⎝⎛⎫4π3，3π2内单调递增，则ω的值为( ) A.3B.4C.5D.6 答案 A解+析 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π6个单位长度，可得f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所得曲线在⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，可得2k π－π2≤ω⎝⎛⎭⎫4π3－π6＜ω⎝⎛⎭⎫3π2－π6≤2k π＋π2， 求得12k 7－37≤ω≤3k 2＋38，由12k 7－37<3k 2＋38，得k <154且k ∈Z ，又∵ω为正整数，∴取k ＝2，得ω＝3.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为( ) A.155 B.154C.153 D.152答案 C解+析 由题意知等腰△ABP 中，|AB |＝|AP |＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ，∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －|AP |cos 2θ＝－11a 5，y ＝|AP |sin 2θ＝8a5， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－11a 5，8a5. 由点P 在双曲线上，得⎝⎛⎭⎫－11a 52a 2－⎝⎛⎭⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解+析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0.∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确，故选C.13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8解+析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2，2)， 又|OA |＝|OB |＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.14.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解+析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， 又∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.15.(2018·河北衡水金卷模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解+析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316.16.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为______. 答案 S n ＝3n －2n解+析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝⎛⎭⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n .。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：解答题滚动练1(B)Word版含解析
解答题滚动练1(B)1.已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值和最小值. 解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， 因此当x ＝π12时，f (x )的最大值为1， 当x ＝－π4时，f (x )的最小值为－12. 2.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤100)的天数；(按这个月总共30天计算)(2)现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；(3)将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的分布列和期望.解 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为610＝35，从而估计该月空气质量优良的天数为30×35＝18. (2)由题意可知，10天中有6天是优良，其中2天优，所以P ＝1－C 02C 24C 26＝1－25＝35. (3)由(1)估计某天空气质量优良的概率为35， ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫253＝8125，P (ξ＝1)＝C 13×35⎝⎛⎭⎫252＝36125， P (ξ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫352×25＝54125，P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125， 故ξ的分布列为显然ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，35，E (ξ)＝3×35＝1.8. 3.(2018·四川省南充高级中学模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S 2n 2S n －1(n ≥2). 求证：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)当n ≥2时，S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n <32. 证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1， S n －1－S n ＝2S n S n －1，∴1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以1为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n －1， ∴S n ＝12n －1， ∴当n ≥2时，1n S n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，从而S1＋12S2＋13S3＋…＋1n S n<1＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝32－12n<32.4.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求二面角F－BE－D的余弦值；(3)设点M是线段BD上的一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论.(1)证明∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DE⊥AC，又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，∴AC⊥平面BDE.(2)解∵DA，DC，DE两两垂直，∴建立如图所示空间直角坐标系D－xyz，∵BE与平面ABCD所成的角为60°，即∠DBE＝60°，∴EDDB＝3，由AD＝3，可知DB＝32，DE＝36，AF＝ 6.则A(3，0，0)，F(3，0，6)，E(0，0，36)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，∴＝(0，－3，6)，＝(3，0，－26)，设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0， 令z ＝6，得x ＝4，y ＝2，则n ＝(4，2，6).∵AC ⊥平面BDE ，∴为平面BDE 的一个法向量，又＝(3，－3，0)，∴cos 〈n ，〉＝＝632×26＝1313. ∵二面角为锐角，∴二面角F －BE －D 的余弦值为1313. (3)解 依题意得，设M (t ，t ，0)，0<t <3，则＝(t －3，t ，0)，∵AM ∥平面BEF ，∴·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2，∴点M 的坐标为(2，2，0)，此时＝23， ∴点M 是线段BD 靠近B 点的三等分点.5.已知函数f (x )＝x e xx －a. (1)若曲线f (x )在x ＝2处的切线过原点，求实数a 的值；(2)若1<a <2，证明：当x ∈(a ，a ＋1)时，f (x )>x 3＋x 2.参考数据：e ≈2.7.(1)解 因为f (x )＝x e xx －a， 所以f ′(x )＝(1＋x )e x ·(x －a )－x e x (x －a )2＝(x 2－ax －a )e x(x －a )2. 由题意知，曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线过原点，则切线斜率k ＝f ′(2)＝f (2)－02－0，即(4－3a )e 2(2－a )2＝2e 22－a －02－0，整理得4－3a 2－a＝1，所以a ＝1. (2)证明 由1<a <2，且x ∈(a ，a ＋1)，得x >0，所以f (x )>x 3＋x 2等价于e x x －a －x 2－x >0. 设g (x )＝e x x －a －x 2－x ，则g ′(x )＝e x (x －a －1)(x －a )2－2x －1. 由x >0且a <x <a ＋1，可知g ′(x )<0，所以g (x )在(a ，a ＋1)上单调递减，所以当x ∈(a ，a ＋1)时，g (x )>e a ＋1－(a ＋1)(a ＋2).设t ＝a ＋1，则t ∈(2，3).设h (t )＝e t －t (t ＋1)，则h ′(t )＝e t －2t －1，令φ(t )＝e t －2t －1，则φ′(t )＝e t －2，易知当t ∈(2，3)时，φ′(t )>0，所以h ′(t )在(2，3)上单调递增，所以h ′(t )＝e t －2t －1>e 2－2×2－1>0，所以h (t )在(2，3)上单调递增，所以h (t )>e 2－6>0，所以e t －t (t ＋1)>0，即e a ＋1－(a ＋1)(a ＋2)>0，所以当x ∈(a ，a ＋1)时，g (x )>0，即当x ∈(a ，a ＋1)时，f (x )>x 3＋x 2.6.已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|的最小值为m .(1)求m 的值以及此时x 的取值范围；(2)若实数p ，q ，r 满足：p 2＋2q 2＋r 2＝m ，证明：q (p ＋r )≤2.(1)解 依题意，得f (x )＝|x ＋3|＋|x －1| ≥|x ＋3－x ＋1|＝4，故m 的值为4.当且仅当(x ＋3)(x －1)≤0，即－3≤x ≤1时等号成立，即x 的取值范围为[－3，1].(2)证明 因为p 2＋2q 2＋r 2＝m ，故(p2＋q2)＋(q2＋r2)＝4.因为p2＋q2≥2pq，当且仅当p＝q时等号成立；q2＋r2≥2qr，当且仅当q＝r时等号成立，所以(p2＋q2)＋(q2＋r2)＝4≥2pq＋2qr，故q(p＋r)≤2，当且仅当p＝q＝r时等号成立.。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：压轴小题组合练(B)Word版含解析
压轴小题组合练(B)1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 24＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 220＝1 答案 B解析 把y ＝x ＋3代入椭圆方程，得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由于只有一个公共点，所以Δ＝0，得a 2＋b 2＝9，又c a ＝55，所以b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 2.(2018·淮南模拟)已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，且＝x ，＝y (x ，y >0)，则3x ＋y 的最小值是( ) A.83 B.72 C.52 D.43＋233 答案 D解析 如图，∵M ，N ，G 三点共线， ∴＝λ，∴－＝λ(－)，∵G 是△ABC 的重心，∴＝13(＋)，∴13(＋)－x ＝λ， ∴⎩⎨⎧13－x ＝－13λ，13＝λy －13λ，解得(3x －1)(3y －1)＝1.结合图象可知12≤x ≤1，12≤y ≤1.令3x －1＝m ，3y －1＝n ⎝⎛⎭⎫12≤m ≤2，12≤n ≤2，故mn ＝1，x ＝1＋m 3，y ＝1＋n3，故3x ＋y ＝1＋m ＋1＋n 3＝43＋m ＋n 3≥43＋213mn ＝43＋233， 当且仅当m ＝33，n ＝3时等号成立. 3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 上一点，且AE ＝1，BE ＝3，以E 为球心，线段EC 的长为半径的球与棱A 1D 1，DD 1分别交于F ，G 两点，则△AFG 的面积为( ) A.42－2 B.3 2 C.22＋2 D.4 答案 D解析 正方体的棱长为4，则DE ＝17，EC ＝5. 作EH ⊥A 1B 1 于H ，则EF ＝EG ＝EC ＝5，A 1F ＝22，DG ＝22，则FH ＝()222＋12＝3 ，所以S △AFG ＝1111A FA FD G A D DA S S S --△△四边形－S △ADG＝16－42－12()4－222－42＝16－42－12＋82－42＝4.4.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点.以F 1F 2为直径的圆与双曲线的右支交于P 点，且以OF 2为直径的圆与直线PF 1相切，若|PF 1|＝8，则双曲线的焦距等于( ) A.6 2 B.6 C.3 2 D.3 答案 A解析 如图，不妨设点P 在第一象限，连接PF 2，依题意知PF 1⊥PF 2，设以OF 2为直径的圆与直线PF 1相切于点N ，圆心为M ，连接NM ，则NM ⊥PF 1，因此Rt △PF 1F 2∽Rt △NF 1M ，所以|NM ||PF 2|＝|F 1M ||F 1F 2|，则c 2|PF 2|＝3c 22c ，解得|PF 2|＝2c3，由勾股定理可得|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝(2c )2－⎝⎛⎭⎫2c 32＝42c 3，所以42c 3＝8，得c ＝32，故双曲线的焦距为6 2.5.已知抛物线T 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与T 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则△CMD 是( ) A.等腰三角形且为锐角三角形 B.等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.非等腰的直角三角形 答案 A解析 不妨设抛物线T 的方程为y 2＝2px (p >0).∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，F 为抛物线的焦点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，NM 是M 到抛物线准线的垂线，垂足为N ，准线与x 轴的交点为E ，如图：∴在△CMD 中，|CN |＝|ND |，∴△CMD 是等腰三角形， 又根据抛物线定义，|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |，∴∠CFD ＝∠CFE ＋∠DFE ＝∠ACF ＋∠BDF ＝∠AFC ＋∠BFD . 可得∠CFD ＝90°，又|MN |>|EF |，可得∠CMD <90°. 则△CMD 是等腰三角形且为锐角三角形.6.(2018·马鞍山模拟)已知M ，N 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上关于长轴对称的两点，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，设k 1，k 2分别为直线MA ，NB 的斜率，则|k 1＋4k 2|的最小值为( )A.2b aB.3b aC.4b aD.5b a 答案 C解析 设M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，∴k 1＝y 0x 0＋a ，k 2＝－y 0x 0－a ，∴||k 1＋4k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ＋－4y 0x 0－a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ＋4y 0－x 0＋a ，∴|k 1＋4k 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0x 0＋a ＋4y 0－x 0＋a ≥2y 0x 0＋a ·4y 0－x 0＋a＝4y 20a 2－x 20， 由题意得y 20＝b 2a2(a 2－x 20)，所以|k 1＋4k 2|≥4y 20a 2－x 20＝4b 2a 2(a 2－x 20)a 2－x 20＝4ba . 7.已知棱长为6的正四面体A －BCD (四个面都是正三角形)，在侧棱AB 上任取一点P (与A ，B 都不重合)，若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为a ，b ，则4a ＋1b 的最小值为( )A.72B.4C.92 D.5 答案 C解析 由题意得13aS △BCD ＋13bS △ACD ＝13h ·S △BCD ，其中S △BCD ＝S △ACD ，h 为以△BCD 为底面的正四面体A －BCD 的高. h ＝(6)2－⎝⎛⎭⎫23×32×62＝2，∴a ＋b ＝2.∴4a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋24b a ·a b ＝92，当且仅当a ＝43，b ＝23时取等号. 8.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2等于( ) A.1＋2 2 B.4－2 2 C.5－2 2 D.3＋2 2答案 C解析 设|AF 1|＝|AB |＝m ，则|BF 1|＝2m ， |AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ， ∵|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m ，∴m －2a ＋2m －2a ＝m ，解得4a ＝2m ，∴|AF 2|＝⎝⎛⎭⎫1－22m ， 在Rt △AF 1F 2中，由勾股定理得4c 2＝⎝⎛⎭⎫52－2m 2. ∵4a ＝2m ，∴4c 2＝⎝⎛⎭⎫52－2×8a 2， ∴e 2＝5－2 2.9.(2018·河北省衡水金卷调研)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F 1()c ，0，过点F ，F 1的直线与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线y ＝－3x 垂直，则ab 的最大值为( ) A.32B.32C. 3D.2答案 B解析 由题意可知，直线FF 1的方程为y ＝－1c x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1c x ＋1，x 2＝4y ，得x M ＝－2＋21＋c 2c ，又由x 2＝4y ，即y ′＝12x ，因此－1＋1＋c 2c×(－3)＝－1，即c ＝3，所以a 2＋b 2＝3，又 a 2＋b 2≥2ab ，即3≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝62时取等号，即(ab )max ＝32. 10.点M (3，2)到抛物线C ：y ＝ax 2(a >0)准线的距离为4，F 为抛物线的焦点，点N (1，1)，当点P 在直线l ：x －y ＝2上运动时，|PN |－1|PF |的最小值为( )A.3－228B.2－24C.5－228D.5－224答案 B解析 ∵点M (3，2)到抛物线C ：y ＝ax 2(a >0)准线的距离为4，∴2＋14a ＝4，∴a ＝18，∴抛物线C ：x 2＝8y ，直线l ：x －y ＝2与x 轴交于A (2，0)，则F A ⊥l ， 且点N ，A ，F 三点共线，设|AP |＝t ，则|AN |＝2，|AF |＝22，|PN |＝t 2＋2，|PF |＝t 2＋8， 设t 2＋2－1＝m (m ≥2－1)，则|PN |－1|PF |＝t 2＋2－1t 2＋8＝m(m ＋1)2＋6＝17⎝⎛⎭⎫1m ＋172＋67，∴m ＝2－1，即t ＝0时，|PN |－1|PF |的最小值为2－24.11.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝6，∠ABC ＝90°，点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使PC ＝PD ，连接PC ，得到三棱锥P －BCD ，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A.7πB.5πC.3πD.π 答案 A解析 依题意可得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD ，设三棱锥P －BDC 外接球的球心为O ，△PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形，由BD ＝3，O 1D ＝1及OB ＝OD ，可得OB ＝72，则外接球的半径R ＝72.所以该球的表面积S 球＝4πR 2＝7π. 12.已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是AB 的中点，点F 是B 1C 1的中点，若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球与直线EF 交于点G ，H ，且GH ＝3，若点Q 是棱BB 1上一个动点，则AQ ＋D 1Q 的最小值为( ) A.6 B.310 C.62＋ 2 D.61＋ 2答案 C解析 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，内切球球心为O ，由题意可得内切球半径r ＝a2.OE ＝OF ＝22a ，EF ＝EB 2＋BB 21＋B 1F 2＝62a ， 取EF 中点P ，则OP ＝OE 2－EP 2＝24a ， 所以cos ∠POG ＝OP OG ＝24aa 2＝22，所以∠GOH ＝π2，OG ＝a 2＝32，a ＝32，把平面DD 1B 1B 与平面AA 1B 1B 展成一个平面， 则A ，Q ，D 1共线时AQ ＋D 1Q 最小，最小值为 D 1A ＝()2a ＋a 2＋a 2＝()6＋322＋()322＝62＋ 2.13.(2018·天津滨海新区联考)已知正实数a ，b 满足2a >b ，且ab ＝12，则4a 2＋b 2＋12a －b 的最小值为________. 答案 2 3解析 由题意得2a －b >0，4a 2＋b 2＋12a －b ＝4a 2＋b 2－4ab ＋32a －b ＝(2a －b )2＋32a －b ＝(2a －b )＋32a －b ≥23，当且仅当2a －b ＝32a －b，即b ＝7－32时等号成立.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λ－|≥||恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________. 答案5解析 由题意知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，b 2＋c 2＝2bc cos A ＋a 2.对任意λ∈R ，不等式|λ－|≥||恒成立⇔(|λ－|)min ≥||恒成立⇔BC 边上的高h 大于等于||恒成立⇔h ≥a ，∵S △ABC ＝12ah ＝12bc sin A ≥12a 2，∴a 2≤bc sin A ，∴b 2＋c 2≤2bc cos A ＋bc sin A ，由此可知c b ＋bc ≤2cos A ＋sin A ＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(A ＋φ)＝1时，c b ＋bc取得最大值 5.15.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AA 1＝2，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，三棱柱外接球的球心为O ，点E 是侧棱BB 1上的一个动点.有下列判断：①直线AC 与直线C 1E 是异面直线；②A 1E 一定不垂直于AC 1；③三棱锥E －AA 1O 的体积为定值；④AE ＋EC 1的最小值为2 2. 其中正确命题的序号是________.答案 ①③④解析 ①因为点A ∉平面BB 1C 1C ，点C ∉C 1E ，所以直线AC 与直线C 1E 是异面直线；②A 1E ⊥AB 1时，直线A 1E ⊥平面AB 1C 1.所以A 1E ⊥AC 1，错误；③球心O 是直线AC 1，A 1C 的交点，底面OAA 1面积不变，直线BB 1∥平面AA 1O ，所以点E 到底面距离不变，体积为定值；④将矩形AA 1B 1B 和矩形BB 1C 1C 展开到一个面内，当点E 为AC 1与BB 1交点时，AE ＋EC 1取得最小值2 2.所以正确命题的序号是①③④.16.(2018·四川省成都市石室中学模拟)已知四面体A －BCD 的所有棱长都为6，O 是该四面体内一点，且点O 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD ，平面BCD 的距离分别为13，x ，16和y ，则1x ＋1y 的最小值是________.答案 83解析 该几何体为正四面体，体积为13×12×6×6×32×2＝ 3.各个面的面积为34×()62＝332，所以四面体的体积又可以表示为13×332×⎝⎛⎭⎫13＋x ＋16＋y ＝3，化简得x ＋y ＝32，故1x ＋1y ＝23×⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ×()x ＋y ＝23⎝⎛⎭⎫2＋y x ＋x y ≥23()2＋2＝83.⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝y ＝34时，等号成立。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练习：第三篇+(四)审题路线中寻求解题策略+Word版含解析
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练审题路线中寻求解题策略审题是解题的前提，只有认真阅读题目，提炼关键信息，明确题目的条件与结论，才能通过分析、推理启发解题思路，选取适当的解题方法.最短时间内把握题目条件与结论间的联系是提高解题效率的保障.审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解答后的反思回顾.正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向.事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分.下面结合实例，教你正确的审题方法，制作一张漂亮的“审题路线图”，助你寻求解题策略.题目的条件是解题的主要素材，条件有明示的，也有隐含的，审视条件时更重要的是充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，对条件进行再认识、再加工，注意已知条件中容易疏忽的隐含信息、特殊情形，明晰相近概念之间的差异，发挥隐含条件的解题功能.1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c. (1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 审题路线图 cos B cos C ＝－b 2a ＋c ―――――――――→隐含的三角形内角和正、余弦定理转化△ABC 边或角的关系→角B 的三角函数值―――――→角B 的范围角B ――――――→应用余弦定理求ac →△ABC 的面积解 (1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12. ∵B 为三角形的内角，∴B ＝2π3.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得13＝42－2ac －2ac cos 2π3，解得ac ＝3. ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.解题的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解题的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的.审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近已知条件，从而发现和确定解题方向.2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 审题路线图 欲求tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4―→sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4，cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4―――――――――――→⎝⎛⎭⎫θ＋π4－⎝⎛⎭⎫θ－π4＝π2利用sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35易求 答案 －43 解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35>0，且θ是第四象限角，易知cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45， ∵θ－π4＝θ＋π4－π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45， cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－43. 3.(2017·全国Ⅰ)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：解答题通关练1Word版含解析
解答题通关练1.解三角形1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(c cos C ，1)，n ＝(2，a cos B ＋b cos A )，且m ⊥n .(1)若c 2＝7b 2，S △ABC ＝23，求a ，b 的值；(2)若λsin A cos A ＝sin A ＋cos A ，求实数λ的取值范围.解 (1)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝2c cos C ＋a cos B ＋b cos A ＝0，由正弦定理得2sin C cos C ＋sin A cos B ＋sin B cos A ＝0，∴2sin C cos C ＝－sin(A ＋B )＝－sin C .又C ∈(0，π)，sin C ≠0，∴cos C ＝－12，∴C ＝2π3. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c 2＝7b 2，得a 2－6b 2＋ab ＝0，∴a ＝2b 或a ＝－3b (舍去)，又S △ABC ＝12ab sin C ＝23，∴ab ＝8， ∴a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得A 为锐角，故sin A cos A ≠0.又λsin A cos A ＝sin A ＋cos A ，∴λ＝sin A ＋cos A sin A cos A， 设t ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4， ∵A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴1<t ≤2， ∴λ＝2t t 2－1＝2t －1t在(1，2]上单调递减，∴λ≥22(2)2－1＝22， ∴实数λ的取值范围为[22，＋∞). 2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B . (1)求AB ； (2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值. 解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且sin C sin B ＋sin B sin C ＝1－cos 2A 2sin B sin C－1. (1)求角A ；(2)若a ＝4，求△ABC 的面积的最大值.解 (1)∵sin C sin B ＋sin B sin C ＝1－cos 2A 2sin B sin C－1， ∴sin C sin B ＋sin B sin C ＝sin 2A sin B sin C－1，又sin B sin C ≠0，∴sin 2C ＋sin 2B ＝sin 2A －sin B sin C .由正弦定理得，b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， ∵0<A <π，∴A ＝2π3. (2)由(1)知，A ＝2π3，由余弦定理得， 42＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3＝b 2＋c 2＋bc ≥2bc ＋bc ＝3bc ， 即bc ≤163，当且仅当b ＝c 时取等号，∴(bc )max ＝163， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×bc ×32＝34bc ≤34×163＝433，当且仅当b ＝c 时取等号， ∴△ABC 的面积的最大值为433. 4.(2018·六安模拟)已知函数f (x )＝23·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝3⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋ 3. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，得sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12， 因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0，2π)，2A ＋π6∈⎝⎛⎫π6，13π6， 所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3， 又BC 边上的中线长为3，所以|＋|＝6， 所以||2＋||2＋2·＝36， 即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36， 所以b 2＋c 2＋bc ＝36，① 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝9，②由①②得，bc ＝272， 所以S ＝12bc sin A ＝2738.。
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12＋4满分练(3)1.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i (a ∈R )为纯虚数，则a 的值为( )A.－2B.－12C.2D.12答案 C解析 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.故选C.2.已知集合A ＝{x |log 2x <3}，B ＝{x |x 2－4x －5>0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A.[－1，8) B.(0，5] C.[－1，5) D.(0，8) 答案 B解析 由log 2x <3，得0<x <8，所以A ＝{x |0<x <8}，由x 2－4x －5>0，得x >5或x <－1，所以B ＝{x |x >5或x <－1}，所以∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}，所以A ∩(∁R B )＝(0，5].故选B.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3等于( ) A.4 B.5 C.9 D.16 答案 C解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 D解析 ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0，4).∴a －b 与b 的夹角的余弦值为－124×23＝－32，又∵夹角的范围是[0°，180°]，∴夹角为150°，故选D.5.函数f(x)＝x2sin x的图象可能为()答案 C解析因为f(x)是奇函数，图象关于坐标原点对称，排除B，D，又因为f(π)＝0，故选 C.6.如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是()A.36πB.48πC.56πD.64π答案 C解析根据三视图知几何体是三棱锥D－ABC，为棱长为4的正方体的一部分，直观图如图所示.∵该多面体的所有顶点都在球O的表面上，∴由正方体的性质，得球心O到平面ABC的距离d＝2，由正方体的性质，可得AB＝BD＝42＋22＝25，AC ＝42，设△ABC 的外接圆的半径为r ，在△ABC 中，∠ACB ＝45°，则sin ∠ACB ＝22，由正弦定理可得，2r ＝AB sin ∠ACB＝2522＝210，则r ＝10，则球O 的半径R ＝r 2＋d 2＝14，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝56π.7.执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是( )A.－12B.－1C.2D.12答案 D解析 执行程序框图，依次可得a ＝2，n ＝1，a ＝12，n ＝2，a ＝－1，n ＝3，a ＝2，n ＝4，a ＝12，n ＝5，…， 由此可看出周期为3，当n ＝2 018时输出结果，此时a ＝12.8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加.当甲、乙同时参加时，他们两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A.360B.520C.600D.720 答案 C解析 若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有C 25A 22A 23种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有C 12C 35A 44种不同的发言顺序.综上可得不同的发言顺序为C 25A 22A 23＋C 12C 35A 44＝600(种).9.设双曲线x 24－y 23＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交双曲线右支于A ，B 两点，则|AF 1|＋|BF 1|的最小值为( ) A.16 B.12 C.11 D.192答案 C解析 由双曲线的定义，得 |AF 1|－|AF 2|＝4，且|BF 1|－|BF 2|＝4，则|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |≥8＋2b 2a ＝8＋2×32＝11，当且仅当AB ⊥x 轴时取等号.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2，0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列是g (x )的单调递增区间的为( )A.⎣⎡⎦⎤73，133B.⎣⎡⎦⎤43，103C.⎣⎡⎦⎤103，163D.⎣⎡⎦⎤13，73 答案 C解析 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令|HM |＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ，将(2，0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2⎝⎛⎭⎫x －13＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π6. 由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .令k ＝1，得函数g (x )的一个单调递增区间为⎣⎡⎦⎤103，163.11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN 等于( ) A.83 B.833 C.163 D.1633 答案 B解析 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833，故选B. 12.设函数g (x )＝e x ＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时， f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g (g (x 0))＝x 0，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 B.(－∞，e ＋2] C.⎝⎛⎦⎤－∞，e ＋12 D.(－∞，e ＋2]答案 B解析 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，0)上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是(－∞，＋∞)上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f (2－x )＋2x 可得 F (x )≥F (2－x )，解得x ≤1， 由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x ＋3x －a 在(－∞，1]上有解， 即a ＝e x ＋2x 在(－∞，1]上有解， 令h (x )＝e x ＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x ＋2>0，故h (x )＝e x ＋2x 在(－∞，1]上单调递增， 则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e ＋2，故选B. 13.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是_______.答案 [－3，＋∞)解析 画出变量x ，y 满足的线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，如图所示：目标函数z ＝2x －y 经过点(0，3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[－3，＋∞).14.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2ab sin C ＝3(b 2＋c 2－a 2)，若a ＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________.答案 3 3解析 由题意得2ab sin C2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A ，所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.15.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若|OP |＝e |OQ |(e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案2＋1解析 由已知得，A (－a ，0)，B (a ，0)，F 1(－c ，0)，M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，|OQ ||MF 1|＝|OB ||BF 1|，即|OQ |b 2a ＝a a ＋c ，解得|OQ |＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，|OP ||MF 1|＝|OA ||AF 1|，即|OP |b 2a＝a c －a ，解得|OP |＝b 2c －a . 由已知得|OP |＝e |OQ |，可得b 2c －a ＝e ×b 2a ＋c ，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.16.已知曲线y ＝e x +a 与y ＝(x －1)2恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为______. 答案 (－∞，2ln 2－3)解析 y ＝(x －1)2的导数y ′＝2(x －1)，y ＝e x +a 的导数为y ′＝e x +a ，设与曲线y ＝e x +a 相切的切点为(m ，n )，与y ＝(x －1)2相切的切点为(s ，t )，则有公共切线斜率为2(s －1)＝e m +a ＝t －ns －m >0，又t ＝(s －1)2，n ＝e m +a，即有2(s －1)＝(s －1)2－e m +a s －m ＝(s －1)2－2(s －1)s －m，即为s －m ＝s －12－1，即有m ＝s ＋32(s ＞1)，则有e m ＋a ＝2(s －1)，即为a ＝ln [2(s －1)]－s ＋32(s ＞1)，令f (s )＝ln [2(s －1)]－s ＋32(s ＞1)，则f ′(s )＝1s －1－12＝3－s 2(s －1)，当s ＞3时，f ′(s )＜0，f (s )单调递减，当1＜s ＜3时，f ′(s )＞0，f (s )单调递增，即f (s )在s ＝3处取得极大值，也为最大值，且为2ln 2－3.由恰好存在两条公切线，即s 有两解，可得a 的取值范围是(－∞，2ln 2－3).。