了解完全数

第七节费马数、梅森数、完全数

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定义1.18 当自然数等于它的某些真约数之和，则称为当自然数n等于它的某些真约数之和则称n为等于它的某些真约数之和，定义半完全数。的真约数有2, 半完全数。如12的真约数有 3, 4, 6，而12=2+4+6，故的真约数有，， 12是半完全数是半完全数. 是半完全数
内容小结
1. 费马数及其性质； 2. 梅森数及其性质； 3. 完全数及其性质
作业
P111 1； 5(1),(3); 7 ；
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二、梅森数
定义1.12 当p是质数时，形状是 p=2p-1的数叫梅森是质数时，定义是质数时形状是M 的数叫梅森数。到目前为止已经找到了37个梅森质数个梅森质数. 注：到目前为止已经找到了个梅森质数求证：为质数时，性质求证：当m ≠ n，m, n为质数时，(Mm, Mn)=1. ，为质数时
定义1.14 k, n∈ N+, 若σ(n)=kn, 则称为k倍完全数用则称n为倍完全数倍完全数, 定义 ∈ pk表示k倍完全数表示倍完全数. 倍完全数如：n=2178540 =22×32×5× 72×13 ×19, σ(n)=4n, × 所以2178540是p4数。所以是定义1.15 k, n∈ N+, 若对于一切对于一切k<n都有 σ (n) > σ (k ) , 定义 ∈ 都有 n k 则称n为过剩数为过剩数. 就是过剩数. 则称为过剩数如4就是过剩数就是过剩数定义1.16 k, n∈ N+, 若对所有的 ≤n都是的某些不同若对所有的所有的k≤ 都是都是n的某些不同定义 ∈ 真约数之和，称n为实用数，如：6就是实用数。真约数之和，为实用数，就是实用数。为实用数就是实用数定义1.17 当n= σ(n)-n-1时，称n为几乎完全数。为几乎完全数。定义时为几数。定义1.13 当a∈ N+，若σ(a)=2a, 则称为完全数。 ∈ 定义定理1.7.1 正整数是偶完全数的充分必要条件是正整数a是偶完全数的充分必要条件是定理 a=2n(2n+1-1)(n≥1), 且 2n+1-1是质数。是质数。 ≥ 是质数

完全数的前世今生

公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。

他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。

6是人们最先认识的完全数。

发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。

古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：如果2n-1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数。

并给出了证明。

公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。

他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。

可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。

后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。

直到1202年才出现一线曙光。

意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。

他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。

斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。

光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。

五年级下册数学课件-完全数 (共19张PPT) 人教版

完全数
数学宝库中的一颗璀璨明珠
哇！好漂亮啊！
我们一起去看看吧!
数学宝库中的一颗璀璨的明珠—完全数（也叫完美数）
完全数？数还有 “完全”和“不
完全” ？
入口1: 什么是完全数？
入口2: 有不完全数吗？
欢迎来到“完全数的世界”！
入口3: 完全数有多少？
入口4: 完全数的特性？
一什么是完全数？
神秘的完全数
完美数这颗数学宝库中的璀璨明珠正以其独特魅力，吸引着更多的有志者去探寻和研究。
神秘的完全数
人无完人，但数有完美数，它就在那里静静等着我们去发现，你能发现下一个完美数吗？
未来已来，让我们一起努力！
谢谢观看！
主题：《完全数》教材：人教版教材年段：五年级下册
亏数：“4”这个数，它的因数有1， 2，4。而1+2<4，像这样的自然数叫做亏数；
所以，完全数就是既不盈余，也不亏欠的自然数。
三完全数知多少？
28也是完全数。
入口3: 完全数有多少？
1+2+4+7+14=28
公元6世纪的毕达哥拉斯是最早研研究完全数的人，他已经知道6和28就是完全数。在中国文化里有：六谷、六畜、六国、六常、二十八星宿等，6和28在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它们是完全数。可见，中国发现完全数比西方还早呢。
请输入6的因数！
咦，还要输入密码？
入口1: 什么是完全数？
6的因数有： 1 ，2 ，3 ，6。
完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因数（小于它本身的因数）的和，恰好等于它本身。这样的数称为“完全数”。

完全数

完全数完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。

它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和(即因子函数)，恰好等于它本身。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为"完全数"。

各个小于它的约数(真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数)的和等于它本身的自然数叫做完全数(Perfect number)，又称完美数或完备数。

例如:第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。

第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。

第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。

后面的完全数还有8128、33550336等等。

1.所有的完全数都是三角形数例如:6=1+2+328=1+2+3+...+6+7496=1+2+3+...+30+318128=1+2+3…+126+1272.所有的完全数的倒数都是调和数例如:1/1+1/2+1/3+1/6=21/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=21/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=23.可以表示成连续奇立方数之和除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。

例如:28=1³+3^3496=1^3+3^3+5^3+7^38128=1^3+3^3+5^3+……+15^333550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^34.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和不但如此，而且它们的数量为连续质数。

完全数两个有趣性质的简证

２Ｘ６— １＋２＋３＋６，
２Ｘ８— １＋２＋４＋７＋１２４＋２．８
×
故偶数６和２８均是完全数．１世纪，学大师欧８数
ｚ × ４
７３Ｘ。 Ⅱ ６／
≥ （１＋一１）× （＋）１１
× ． × ．・
，且
，
，
引理若正整数一
×ｐｚ … ×Ｐ；× ｔ，
， … ，
其中Ｐ，。 … ，为互不相同的素数，ｎ，，Ｐ，Ｐｎ， …
ａ为正整数，则的全部因子的和为
ｓ一 × × … × ．
打开思路，解疑难问题．破１巧用对称性比较函数值的大小
例Ａ，，－，，号３２若（ｙＢ１ｚｃ，一１（ｙ（）））
× ５ｚ× ７。矛盾．ｏ。
筹 × ｘ．．・
由式 ② 得
．
②
综上所述，奇完全数ｍ不能同时有素因子３，
５７证毕．，．
其中Ｐ，，为大于７的互不相同的素数． … Ｐ
定理２偶完全数的形式为２（ “ １，２一）其中２一１是素数．。证明设ｍ一２Ｘ夕ｚ；Ｘ… ×Ｐ一ａ为偶完全数，中Ｐ＜ … ＜Ｐ是大于２其的素数．由式 ① 得
２Ｘ９ × 船ＰＸ … ＸＰ一ｔ＋－Ｘ＋
）× （１＋１）× （１＋１）
一，
×． × ． ‘

完全数公式推理

第一步：我们把完全数写成连续自然数之和：有任意完全数N = 2^(n-1)×(2^n-1)；我们计算连续自然数相加，当从1加到这个完全数N的梅森尼数2^n-1时，我们用求和公式来计算这个连续自然数相加之和：首数是1尾数是2^n-1项数是2^n-1代入求和公式：Q=[1+(2^n-1)]/2 ×(2^n-1) =2^(n-1) ×(2^n-1)请注意，连续自然数相加从1加到2^n-1 ，其和的表达式与特性系数为n的完全数N的表达式完全相同。

也就是说，完全数可以写成连续自然数相加，其连续自然数的最后一个数正是这个完全数的梅森尼数2^n-1。

证毕。

第二步：我们把无穷连续自然数分组。

P为任意奇数。

每一组的首数是（P^2 +1）/2 - P (2)每一组的尾数是（P^2 -1）/2 + P (3)用此公式计算每一组内连续自然数之和Q：Q =（首数+尾数）/2 ×项数= [（P^2+1）/2 - P + （P^2-1）/2 + P ]/2×{[（P^2-1）/2 + P ]- [（P^2+1）/2 - P ] + 1}= P^2/2 × 2P = P^3此结果表示：按此规则将连续自然数分组后每一组内连续自然数之和为该奇数P的3次方。

举例：P 首数尾数所占区间区间内全部自然数之和1 0 1 0 ～1 1=1^33 2 7 2 ～7 27=3^35 8 17 8 ～17 125=5^37 18 31 18 ～31 343=7^39 32 49 32 ～49 729=9^317 128 161 128～161 4913＝17^3第三步：在连续奇数的分组的公式中计算任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差Δ。

Δ=[( P^2+1)/2 – P] – {[(P-2)^2-1]/2 + (P-2)}= P^2/2 + 1/2 – P –(P^2/2 – 4P/2 + 4/2 – 1/2 + P – 2)= P^2/2 + 1/2 – P –P^2/2 + 2P –2 + 1/2 - P + 2= 1本计算结果表明，任意奇数P所占据连续自然数组的首数与其前一个奇数（P-2）所占据连续自然数组的尾数之差等于1，也就是说这两个数组既不重叠，也无间隔。

完全数的系列定理

完全数的系列定理张祖华刘忠平阴县职业教育中心250400摘要：本文发现了完全数的系列定理。

关键词：完全数最小完全数伪素数大卫·希尔伯特，德国著名数学家。

他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。

希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为"数学界的无冕之王"，他是天才中的天才。

[1]他对科学的信仰、对人类未来的信念，可以用这句话来概括：我们必须知道，我们将会知道。

依据小学数学和初中数学教材，我们知道，自然数是存在结构的，如2的因数是1，3的因数是1，4的因数是1，2，5的因数是1，6的因数是1，2，3，...。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为完全数；任意两个不同素数之积称为一个伪素数。

完全数在认识自然数的结构方面起着重要作用，被著名数学家单墫选入数学名题词典[2]。

本文几经反思，发现如下定理：定理1：若伪素数r为完全数，则r为最小完全数。

定理2：若三个不同素数的乘积r为完全数，则r不存在。

定理3：若四个不同素数的乘积r为完全数，则r不存在。

定理4：若三十个不同素数的乘积r为完全数，则r不存在。

定理5：若三百个不同素数的乘积r为完全数，则r不存在。

定理6：若三千个不同素数的乘积r为完全数，则r不存在。

...由于定理太多，本文不一一列举，下面选定理1证明：根据条件，设p,q为两个不同的素数，不妨设p>q≧2,则r=pq=1+p+q,所以有下式成立：(p-1)(q-1)=2,根据素数性质，p=3,q=2,显然r=6为最小完全数。

参考文献：[1]360百科：大卫·希尔伯特.[2]数学名题词典，单墫，江苏教育出版社，2002.7.。

关于完全数的几个结论

关于完全数的几个结论摘要：完全数，古老、神秘、迷人。

本文通过自然数划分为10个数族的分类方法、终端数字和的思想方法的建构，在深入分析完全数的因数特点的基础上揭示了它的神秘面纱，提出了探寻完全数的路径与方法，且由此有序地检索出了相应数域的一系列的完全数。

关键词：性质特征；探寻方法小学数学课本是这样描述完全数的：6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。

像6这样的数，叫做完全数（也叫完美数）。

迄今为止，据资料称已经发现了48个完全数。

在探索完全数的漫长过程中，人们对完全数的认识并不全面、深入，对寻找完全数的路子也不清晰，寻找完全数的进程乏力而缓慢。

完全数到底是怎样的一类数，能否有的放矢地找出它们呢？本文先从自然数分类的新方法以及终端数字和说起。

一、自然数分类的新方法常见的自然数分类方法有两种，一是把自然数区分为奇数与偶数，二是把自然数（1除外）分为合数与质数，这两种分类方法都是依据自然数的某种属性来划分的。

如果按照个位上的数字分，自然数（0除外）可以分为如下10类：10、20、30、40、50、60、70、80、90、100、110……1.11、21、31、41、51、61、71、81、91、101……2.12、22、32、42、52、62、72、82、92、102……3.13、23、33、43、53、63、73、83、93、103……4.14、24、34、44、54、64、74、84、94、104……5.15、25、35、45、55、65、75、85、95、105……6.16、26、36、46、56、66、76、86、96、106……7.17、27、37、47、57、67、77、87、97、107……8.18、28、38、48、58、68、78、88、98、108……9.19、29、39、49、59、69、79、89、99、109……上述10类数，按照它们个位上的数字分别命名为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9氏数族。

魅力无穷的完全数-最新教学文档

魅力无穷的完全数公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。

他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数；而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。

6是人们最先认识的完全数。

发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。

”古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。

约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：“如果2n－1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数。

”并给出了证明。

公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。

他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。

千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。

可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。

后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。

直到1202年才出现一线曙光。

意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。

他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。

斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。

光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。

梅森素数和完全数的关系

梅森素数和完全数的关系梅森素数和完全数的关系梅森素数是指素数形如2的n次方减一的数，其中n也必须是一个素数。

例如，3、7、31等均为梅森素数。

完全数是指其所有因子（除了自己）之和等于它本身的数。

例如，6、28等均为完全数。

这两种数在数学中各自具有独特的特性，是否存在它们之间的联系呢？1. 梅森素数和完全数的定义首先，我们需要了解梅森素数和完全数的定义。

梅森素数是指形如2的n次方减一的素数，其中n也必须是一个素数。

例如，当n=2时，2的2次方减一等于3，3为梅森素数。

当n=3时，2的3次方减一等于7，7为梅森素数。

完全数是指其所有因子（除了自己）之和等于它本身的数。

例如，当数值等于6时，它的因子有1、2、3，1+2+3=6，因此6为完全数。

2. 梅森素数和完全数的关系梅森素数和完全数之间的关系是这样的：每个偶完全数都可以表示为2的p-1次方（2的p-1次方为梅森素数）乘以2的p-2次方（其中p为质数），反之，每个偶梅森素数都可以表示为2的p-1次方乘以恰当的偶完全数。

3. 实例解析例如，我们以6、28、496、8128等几个完全数为例，将它们写成2的p-1次方与2的p-2次方形式。

① 6=2的1次方×2的2次方，其中p=2，2的2次方减一等于3，即6=2的2次方减一×3。

由此可知，6可以表示成梅森素数3乘以2的1次方，符合关系中的规律。

② 28=2的3次方×2的2次方，其中p=3，2的3次方减一等于7，即28=2的2次方乘以7。

由此可知，28可以表示成梅森素数7乘以2的2次方，又符合关系中的规律。

③ 496=2的5次方×2的3次方，其中p=5，2的5次方减一等于31，即496=2的3次方乘以31。

由此可知，496可以表示成梅森素数31乘以2的3次方，符合关系中的规律。

类似地，我们可以通过2的p-1次方和2的p-2次方的形式，将完全数与梅森素数联系起来。

4. 结论总的来说，梅森素数与完全数之间是存在联系的。

小学二年级有趣数学故事推荐《完全数》

小学二年级有趣数学故事推荐《完全数》“今天我们讲的是‘完全数’……”“完全数?数还有不完全的?那不完全的数是不是就是一半的呢?”笨笨问。

“哼，当然不是啦，哪有这么简单的!”不等贾伯伯开口，聪聪就抢先说。

“哦，那你说呢，什么是完全数呢?”贾伯伯问聪聪。

“嗯…就是…就是…就是整个的数吧?”聪聪试探着说。

“当然也不是啦!”贾伯伯说。

聪聪不好意思地低下了头。

贾伯伯继续向他们讲着“完全数”的概念。

“什么是‘完全数’呢?就是说，如果一个自然数正好等于除去它本身以外所有的因数之和，这个自然数就叫‘完全数’。

那，你们说，什么数符合这样的要求呢?”聪聪和笨笨想了想，笨笨先迟疑地说：“6……是吧!”贾伯伯笑着说：“你怎么知道是6呢?”笨笨大着胆子说：“因为6除了它自己，还有1、2、3三个因数，而1+2+3，正好就是6，就像您刚才说的，三个因数的和正好等于它自己。

”贾伯伯赞许地说：“笨笨答对了!6就是最小的完全数。

除了6以外，28也是完全数，你们看，28除了自己之外，还有1、2、4、7、14五个因数，1+2+4+7+14，不也是28了吗?”笨笨和聪聪互相看看，都觉得这个“完全数”挺有意思。

聪聪问：“那还有多少这样的‘完全数’呢?”贾伯伯说：“两千多年前，人们就发现了6和28这两个完全数;后来，又发现了496和8128这两个数，也是完全数。

不过又过了一千多年，才又发现了第五个完全数，这个数就是33550326。

”笨笨说：“真不容易呀!”贾伯伯说：“后来的三百多年，人们又找出了4个完全数，第九个完全数已经有37位了。

后来有了电子计算机，人们在找完全数，就方便多了，到现在，总共找到了33个完全数，有的完全数已经有五百多位了呢!”“那，还有更大的完全数吗?”聪聪问。

贾伯伯笑了：“完全数到底是有限的还是无限的，这个问题嘛，现在还没有解决，连数学家也不知道，再比如，已经发现的33个完全数都是偶数，有没有奇数的完全数?这个也还没有答案呢!”。

美丽的完全数

美丽的完全数
在遥远的古希腊，曾经出现过一个著名的数学学派，叫毕达哥拉斯学派。

他们在研究数字的时候，发现了一些珍贵的数字。

这些数字有着奇特的性质：它们的小于其本身的所有因数之和等于其自身，这样的数叫完全数。

例如：第一个完全数是6，它有因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6，恰好等于本身。

第二个完全数是28，它有因数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28，也恰好等于本身。

接下去的第三个完全数是496，第四个是8128。

除了完全数外，毕达哥拉斯学派的成员还将自然数分为三类。

完全数、不足数和富裕数。

有些自然数比除了其本身外的所有因数之和要大，如4，这个数的真因数是1、2，其和是3。

他们把这样的数叫亏数（或不足数）。

而另有一些自然数比除了其本身外的所有因数之和要小，如12。

这个数的真因数有1、2、3、4、6，其和是16.他们称这样的数为盈数（或富裕数）。

完全数

《完全数》数学离不开数，数有时候很简单，有时候有很神秘，今天我们就来分享一种神奇的数——《完全数》古时候，自然数6是一个备受宠爱的数。

有人认为，6是属于美神维纳斯，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造它时花了6天时间……自然数6为什么备受人们青睐呢？原来，6是一个非常"完善"的数，与它的因数之间有一种奇妙的联系。

6的因数共有4个：l、2、3、6，除了6自身这个因数以外，其他的3个都是它的真因数，数学家们发现：把6的所有真因数都加起来，正好等于6这个自然数本身！数学上，具有这种性质的自然数叫做完全数。

例如，28也是一个完全数，它的真因数有1、2、4、7、14，而1＋2＋4＋7＋14正好等于28。

在自然数里，完全数非常稀少，用沧海一粟来形容也不算太夸张。

有人统计过，直到1952年，在2000多年的时间，已被发现的完全数总共才有12个。

并不是数学家不重视完全数，实际上，在非常遥远的古代，他们就开始探索寻找完全数的方法了。

公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。

公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得甚至发现了一个计算完全数的公式：如果n是一个质数，也是一个质数，那么，由公式的出来的就是一个完全数。

例如：n=2时，=3都是质数，那么，=6,6就是一个完全数。

当n=3时，=7，都是质数，那么，=28,28就是一个完全数。

当n=5时，=31，都是质数，那么，=496,28就是一个完全数。

尽管如此，寻找完全数的工作仍然非常艰巨。

直到20世纪中叶，随着电子计算机的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展。

1952年，数学家凭借计算机的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中n＝521、607、1279、2203和2281时的答案。

以后数学家们又陆续发。

当n=3217、4253、4423、9689、9941、11213和19937时，到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。

关于完全数的一个猜想及其证明

关于完全数的一个猜想及其证明刘士杰杨锡伟项以江(无锡市大桥实验中学214001)在茫茫数字世界中，有这么一种奇妙的数：如果一个自然数除自身之外的所有因数之和等于它本身，这个数就叫做完全数．这样的数有几个，该怎样求解？就这个问题，1718年，小欧拉曾向约翰·伯努利请教，当时并未得解．如今我们借助计算机初步揭开了它神秘的面纱．我们先借助计算机用穷举法来找这样的数，用Pascal语言代码找出100000000内的完全数，代码如下：var n,i,s,j:longint;beginfor j:=1 to 100000000 dobegins:=1;{加上因数1}for i:=2 to trunc(sqrt(j)) doif (j mod i)=0then s:=s+i+(j div i);if j=s thenwriteln(j);end;end.我们总共找到5个完全数：6，28，496，8128，33550336．乍一看，完全数相互之间并没有明显的关系，完全数真的是毫无规律可言吗？在毫无头绪中，让我们先来试着分解一下完全数的质因数：6=2×3，28=22×7，496=24×31，8128=26×127，33550336=212×8191．进而发现3=22-1，7=23-1，31=25-1，127=27-1，8191=213-1．对照两组数据：6=2×3 3=22-128=22×7 7=23-1496=24×31 31=25-18128=26×127 127=27-1 33550336=212×8191 8191=213-1很自然，我们可以有如下猜想：(2n)×(2n+1-1) =完全数但是，对照上式，发现当n=3和5时所得出的120与2016不是完全数，分析发现此时2n+1-1为合数15、63,而n=1,2,4,6时2n+1-1为质数．于是我们对上式作如下修正：(2n)×(2n+1-1)=完全数，其中n为自然数(n ≠0)，且2n+1-1为质数．这个猜想合理吗？可以证明吗？是的．证明如下：令(2n)×(2n+1-1) =完全数x，(此时2n+1-1为质数)，它除自身之外的所有因数之和为=(1+2+22+…+2n)+ ( )=2n+1-1+x×( )=2n+1-1+ x-将中的x用x=(2n)×(2n+1-1)代入，则：原式=2n+1-1+ x-(2n+1-1)=x．证明到此为止，并不复杂．若2n+1-1为合数，则因数不止这些，所以120与2016不是完全数．于是, 通过100000000内完全数的探求，我们可以得到完全数的一个形式：当n为自然数(n≠0)，且2n+1-1为质数时，(2n)×(2n+1-1)=完全数．囿于目前的知识水平，我们还没有证明：只要是完全数，就一定符合(2n)×(2n+1-1)的形式（其中n为自然数(n≠0)，且2n+1-1为质数），在此我们大胆作出如下猜想：完全数=(2n)×(2n+1-1)，其中n为自然数(n ≠0)，且2n+1-1为质数．同样地，我们验证这个猜想的设想是：用穷举法找出完全数，看是否存在反例．遗nnxxxx2222222213322++⋅⋅⋅+++++++nxxxx2842+⋅⋅⋅+++n211-nx2nx2憾的是在具体操作时遇到了困难：我们的个人计算机没有这么强的运算能力，相信这个问题不难得到解决．附录附录是我们修改了程序代码，试图能找出多一点的完全数，一直找到n=15,(2n)×(2n+1 1)=2147450880时，也未有新的完全数. Pascal程序代码：var i,j,n,s,s1,k:longint;f:text;beginassign(f,'d:\wq.txt');rewrite(f);j:=1;for i:=1 to 15 dobeginj:=j*2;s:=j*(j*2-1);s1:=1;for n:=2 to trunc(sqrt(s)) doif s mod n =0 then s1:=s1+n+s div n;if s=s1 thenbeginwriteln(f,'n=',i,':');write(f,s,'=');write(f,2,'(',i,')','*','(',2,'(',i+1,')','-1)=',j,'*',j *2-1);writeln(f);writeln(f);endelsebeginwriteln(f,'n=',i,':');write(f,s,'=');write(f,2,'(',i,')','*','(',2,'(',i+1,' )');write(f,'-',1,')','<','>',1,'+');n:=trunc(sqrt(s));while s mod n<>0 do n:=n-1;for k:=2 to n-1 doif s mod k=0 then write(f,k,'+',s div k,'+');write(f,n,'+',s div n);writeln(f);writeln(f);end;end;close(f);end.程序输出结果：n=1:6=2(1)*(2(2)-1)=2*3n=2:28=2(2)*(2(3)-1)=4*7n=3:120=2(3)*(2(4)-1)<>1+2+60+3+40+4+30+5+ 24+6+20+8+15+10+12n=4:496=2(4)*(2(5)-1)=16*31n=5:2016=2(5)*(2(6)-1)<>1+2+1008+3+672+4+5 04+6+336+7+288+8+252+9+224+12+168+14 +144+16+126+18+112+21+96+24+84+28+72 +32+63+36+56+42+48n=6:8128=2(6)*(2(7)-1)=64*127n=7:32640=2(7)*(2(8)-1)<>1+2+16320+3+10880 +4+8160+5+6528+6+5440+8+4080+10+3264 +12+2720+15+2176+16+2040+17+1920+20+1632+24+1360+30+1088+32+1020+34+960+ 40+816+48+680+51+640+60+544+64+510+6 8+480+80+408+85+384+96+340+102+320+1 20+272+128+255+136+240+160+204+170+1 92n=8:130816=2(8)*(2(9)-1)<>1+2+65408+4+3270 4+7+18688+8+16352+14+9344+16+8176+28 +4672+32+4088+56+2336+64+2044+73+179 2+112+1168+128+1022+146+896+224+584+ 256+511+292+448n=9:523776=2(9)*(2(10)-1)<>1+2+261888+3+17 4592+4+130944+6+87296+8+65472+11+476 16+12+43648+16+32736+22+23808+24+218 24+31+16896+32+16368+33+15872+44+119 04+48+10912+62+8448+64+8184+66+7936+ 88+5952+93+5632+96+5456+124+4224+128 +4092+132+3968+176+2976+186+2816+192 +2728+248+2112+256+2046+264+1984+341 +1536+352+1488+372+1408+384+1364+496 +1056+512+1023+528+992+682+768+704+7 44n=10:2096128=2(10)*(2(11)-1)<>1+2+1048064+4+ 524032+8+262016+16+131008+23+91136+3 2+65504+46+45568+64+32752+89+23552+9 2+22784+128+16376+178+11776+184+1139 2+256+8188+356+5888+368+5696+512+409 4+712+2944+736+2848+1024+2047+1424+1 472n=11:8386560=2(11)*(2(12)-1)<>1+2+4193280+3+ 2795520+4+2096640+5+1677312+6+139776 0+7+1198080+8+1048320+9+931840+10+83 8656+12+698880+13+645120+14+599040+1 5+559104+16+524160+18+465920+20+4193 28+21+399360+24+349440+26+322560+28+299520+30+279552+32+262080+35+239616 +36+232960+39+215040+40+209664+42+19 9680+45+186368+48+174720+52+161280+5 6+149760+60+139776+63+133120+64+1310 40+65+129024+70+119808+72+116480+78+ 107520+80+104832+84+99840+90+93184+9 1+92160+96+87360+104+80640+105+79872 +112+74880+117+71680+120+69888+126+6 6560+128+65520+130+64512+140+59904+1 44+58240+156+53760+160+52416+168+499 20+180+46592+182+46080+192+43680+195 +43008+208+40320+210+39936+224+37440 +234+35840+240+34944+252+33280+256+3 2760+260+32256+273+30720+280+29952+2 88+29120+312+26880+315+26624+320+262 08+336+24960+360+23296+364+23040+384 +21840+390+21504+416+20160+420+19968 +448+18720+455+18432+468+17920+480+1 7472+504+16640+512+16380+520+16128+5 46+15360+560+14976+576+14560+585+143 36+624+13440+630+13312+640+13104+672 +12480+720+11648+728+11520+768+10920 +780+10752+819+10240+832+10080+840+9 984+896+9360+910+9216+936+8960+960+8 736+1008+8320+1024+8190+1040+8064+10 92+7680+1120+7488+1152+7280+1170+716 8+1248+6720+1260+6656+1280+6552+1344 +6240+1365+6144+1440+5824+1456+5760+ 1536+5460+1560+5376+1638+5120+1664+5 040+1680+4992+1792+4680+1820+4608+18 72+4480+1920+4368+2016+4160+2048+409 5+2080+4032+2184+3840+2240+3744+2304 +3640+2340+3584+2496+3360+2520+3328+ 2560+3276+2688+3120+2730+3072+2880+2 912n=12:33550336=2(12)*(2(13)-1)=4096*8191n=13:134209536=2(13)*(2(14)-1)<>1+2+67104768 +3+44736512+4+33552384+6+22368256+8+ 16776192+12+11184128+16+8388096+24+5592064+32+4194048+43+3121152+48+2796 032+64+2097024+86+1560576+96+1398016 +127+1056768+128+1048512+129+1040384 +172+780288+192+699008+254+528384+25 6+524256+258+520192+344+390144+381+3 52256+384+349504+508+264192+512+2621 28+516+260096+688+195072+762+176128+ 768+174752+1016+132096+1024+131064+1 032+130048+1376+97536+1524+88064+153 6+87376+2032+66048+2048+65532+2064+6 5024+2752+48768+3048+44032+3072+4368 8+4064+33024+4096+32766+4128+32512+5 461+24576+5504+24384+6096+22016+6144 +21844+8128+16512+8192+16383+8256+16 256+10922+12288+11008+12192n=14:536854528=2(14)*(2(15)-1)<>1+2+26842726 4+4+134213632+7+76693504+8+67106816+ 14+38346752+16+33553408+28+19173376+ 31+17317888+32+16776704+56+9586688+6 2+8658944+64+8388352+112+4793344+124 +4329472+128+4194176+151+3555328+217 +2473984+224+2396672+248+2164736+256 +2097088+302+1777664+434+1236992+448 +1198336+496+1082368+512+1048544+604 +888832+868+618496+896+599168+992+54 1184+1024+524272+1057+507904+1208+44 4416+1736+309248+1792+299584+1984+27 0592+2048+262136+2114+253952+2416+22 2208+3472+154624+3584+149792+3968+13 5296+4096+131068+4228+126976+4681+11 4688+4832+111104+6944+77312+7168+7489 6+7936+67648+8192+65534+8456+63488+9 362+57344+9664+55552+13888+38656+143 36+37448+15872+33824+16384+32767+169 12+31744+18724+28672+19328+27776n=15:2147450880=2(15)*(2(16)-1)<>1+2+1073725 440+3+715816960+4+536862720+5+429490 176+6+357908480+8+268431360+10+21474 5088+12+178954240+15+143163392+16+134215680+17+126320640+20+107372544+24 +89477120+30+71581696+32+67107840+34 +63160320+40+53686272+48+44738560+51 +42106880+60+35790848+64+33553920+68 +31580160+80+26843136+85+25264128+96 +22369280+102+21053440+120+17895424+ 128+16776960+136+15790080+160+134215 68+170+12632064+192+11184640+204+105 26720+240+8947712+255+8421376+256+83 88480+257+8355840+272+7895040+320+67 10784+340+6316032+384+5592320+408+52 63360+480+4473856+510+4210688+512+41 94240+514+4177920+544+3947520+640+33 55392+680+3158016+768+2796160+771+27 85280+816+2631680+960+2236928+1020+2 105344+1024+2097120+1028+2088960+108 8+1973760+1280+1677696+1285+1671168+ 1360+1579008+1536+1398080+1542+13926 40+1632+1315840+1920+1118464+2040+10 52672+2048+1048560+2056+1044480+2176 +986880+2560+838848+2570+835584+2720 +789504+3072+699040+3084+696320+3264 +657920+3840+559232+3855+557056+4080 +526336+4096+524280+4112+522240+4352 +493440+4369+491520+5120+419424+5140 +417792+5440+394752+6144+349520+6168 +348160+6528+328960+7680+279616+7710 +278528+8160+263168+8192+262140+8224 +261120+8704+246720+8738+245760+1024 0+209712+10280+208896+10880+197376+1 2288+174760+12336+174080+13056+16448 0+13107+163840+15360+139808+15420+13 9264+16320+131584+16384+131070+16448 +130560+17408+123360+17476+122880+20 480+104856+20560+104448+21760+98688+ 21845+98304+24576+87380+24672+87040+ 26112+82240+26214+81920+30720+69904+ 30840+69632+32640+65792+32768+65535+ 32896+65280+34816+61680+34952+61440+ 40960+52428+41120+52224+43520+49344+ 43690+49152。

完全数读后感

完全数读后感看了完全数，深感数学的奥妙伟大。

完全数，一些特殊的自然数。

它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。

如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。

第一个完全数是6，第二个完全数是28，第三个完全数是496，后面的完全数还有8128、33550336等等。

根据数学家的推算，完全数存在奇数，不过这个数会很大，并且要求会很苛刻。

完全数也有一些性质：比如1.每个都是调和数，即它们的每个因子的倒数之和都是2，因此完全数一定是调和数；2.完全数都是以6或8结尾等等吧。

尽管我们现在还看不到完全数的实际用处，但它反映了自然数的某些基本规律。

探究自然规律，揭开科学上的未知之谜，正是科学追求的目标。

在漫长的数学发展史中，最重要的莫过于无数为此奋斗一生的数学家，因为有了他们的辛酸血泪，有了他们的严谨态度和锲而不舍的探索精神，才为数学打下了坚实的基础，从而给平面解析几何、微积分、无穷集合论等等的数学分支创造了诞生的机会。

然而数学的发展史曲折的、艰辛的，数学家的研究里程更是如此。

他们花尽一生的心思换来的创新思维和超时代理论，大多数在他们的有生之年都得不到世人的认同。

希帕苏斯向毕达哥拉斯学派的其他成员发表他对不可公度性的发现时，惊恐不已的成员将他抛进了大海；伽罗瓦提出的强有力的群论多次提交给科学院，最终得到的却是“完全无法理解”的评论；创造惊人的无穷集合论的康托尔最后带着诸多遗憾和无限的苦闷离开了人世；最怀才不遇的便是中学数学家阿贝尔，他经过无数努力最终证明了千古谜题——五次或以上的代数方程没有一般的求根公式，却遭到了一系列的冷遇，就连“数学王子”高斯看到论文的题目只说了一句“太可怕了，竟然写出这种东西来！”便连其正文都没看就把论文扔到了书堆里，尽管当时柏林大学已经认识到他的才华并任命他为数学教授，但阿贝尔早已在病魔侵袭的凄凉中与世长辞了。

数学的发展史也就是科学发展的历史。

完全数性质的几个注记

下来的４个完全数是２８，４９６，８１２８，３３５５０３３６．完全（２ｐ一１）．（女口６＝一１＋２＋３，２８＝一１＋２一３
＋４一５＋６＋７．４９６＝一１＋２一３＋ … ＋３０
ＥｄｕｃａｔｉｏｎｉｎＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００５（６）：６４３～６５４．
１），其中Ｐ和２一１均为质数，即２一１为梅森质数．除此之外，本人得出了以下几个结论：为方便，如下恒设偶完全数ｎ＝２（２一１），Ｐ和２一１均为质数，下（ｎ）表示ｎ的正约数个数， ‘ ｐ（ｎ）为欧拉函数，即不大于ｎ并与ｎ互质的正整数个数．
参考文献［１］纪岗．偶完全数的性质［Ｊ］．福建师大福清分校学报，１９９９（２）．［２］肖藻．奇妙的完全数及性质［Ｊ］．高师理科学刊，１９８５（２）．［３］肖藻．《奇妙的完全数》的一些注记［Ｊ］．齐齐哈尔师范学院学
下（２）＋下（２）＝ ‘ ｐ（２）＋‘ Ｐ（２），２８＝下（２０）＋下（２）＋… ＋下（２６）＝‘ ｐ（２）＋‘ Ｐ（２４）＋‘ Ｐ（２），４９６＝下（２０）＋下（２）＋ … ＋，ｒ（２０—２）＝ ‘ ｐ（２）＋ ‘ ｐ（２。）＋… ＋‘ ｐ（２）．）