混沌动力学
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但作为一个科学术语，一般认为李天岩和约克 （Yoke）在1975年的论文“周期3则混沌”是首次 引用Chaos一词。
3.1 引 言
3.1.1 “混沌”的来历
1973年4月的一天，在美国马里兰大学 数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地 走进导师约克教授的办公室，此时李的博士 论文正处于胶着阶段，一时未有进展。
其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。
沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
3.1.2 “混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和 有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然 的行为的方法。
确定性的方程可以产生随机行为。
湍流： Navier-stokes 方程 Logistic映射：
Lorenz模型：
3.2 混沌产生的数学模型
对于确定性系统中的随机性，即混沌现象， 也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代 过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分 析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现 象的本质。
第二十二章 混沌动力学
混沌动力学(chaotic dynamics)
“混沌”一词译自英文“Chaos”，意为“混 沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。
“混沌”一词自古以来，国内外的书籍中就 早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天 辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。
1963年Lorenz在其论文《确定性非周期流》中 提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。
所以，如用 作迭代，则到第3002次有
再换一个和 相差很小的无理数
→无周期的序列
三个相差很小的初始条件， 但迭代到3002次后，则相差甚远，真是“差之 毫厘，失之千里”。
计算结果对初始条件敏感地依赖性。
3.2.2 Logistic映射
设想在一个小岛上繁衍着某类昆虫，每年春 末蜉出，夏末产卵后死去。下一代在第二年又重 复同样的生死轮回，就这样年复一年地传种接代 下去。那么，若干年后这类昆虫的繁衍状况如何 呢？
混沌现象首先是1963年被美国气象学家 Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动 力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立 了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在 计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的 位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍 去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz 的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相 径庭，几乎变得完全认不出来了。
不是2的幂数时，则序列为周期解。
例如：
… 即 大于一定的数后将在三个数
之间循环
（3）当 是无理数时，则序列既不趋向于零，也不 趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。
但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态， 即混沌。
以
为例，迭代下去有
，但若一个
初值 和 前900多位小数都相同，后面只差
一百度文库，如：
约克给了李一个区间迭代问题，李却开 玩笑地说这个问题的解决足以送到美国《数 学月刊》上发表。
两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。
如果从x=x0开始按照公式 迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小 于n时都不回到原来地方，则x0就叫f(x)的一个n周 期点。
李证明，如果区间到区间自身的函数f(x)连续， 且有一个3周期点，那么，对于任何正整数n，f(x) 有n周期点。(周期3则混沌)
二、雷诺实验
在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌 现象便是湍流。
雷诺（Reynold）实验: 在一个可控制流速的 园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一 丝有色液体，以便观察流体的运动状况。
(1) 当管中液体流速不大时，有色液体的流动 顺直光滑，层次分明→层流。
(2) 当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将 发生规则地振荡→湍流（紊流）。
为了描述这种昆虫的繁衍状况，德国生物 学家（Verhulst）1837年建立了这样一个理想化 的生态模型：
：t时刻的昆虫数
K：昆虫繁殖后代的能力 L：环境容量，环境能够供养的最大昆虫数目。
其等于
的饱和值X*。
如果我们将环境容量取为1个单位，也即意味着 如果L=100万，那么昆虫数目 应以100万为单位。 上式变为：
李和约克把这项研究成果写成论文真的 寄到《数学月刊》去了，但很快论文便被退 回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研 究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改 写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。
过了一年(1974)，约克教授在一次会议 上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛， 他立即想到这个区间迭代问题。
ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
三、Benard对流实验
3.1.3 混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。 ① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统
可以有效地表现出随机行为。
确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一维映射：
xn
1
xn=xn-1
1/2
1
xn-1
从表面上看，序
列 形态：
似乎有三种
（1）当 是有理数，且用分数表示时,其分母为2的
幂数 （k是正整数）时，此时
。
例如：
（2）当
是有理数，且用分数表示。其分母
x 此式的精确解为：
X（0）是
时的昆虫数。
t
昆虫繁衍的长期行为：当
为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子——Lorenz模型。
Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明： 短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可 能的。
“蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶 然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变 成席卷北半球某地的一场龙卷风。
3.1 引 言
3.1.1 “混沌”的来历
1973年4月的一天，在美国马里兰大学 数学系，一名叫李天岩的研究生百无聊赖地 走进导师约克教授的办公室，此时李的博士 论文正处于胶着阶段，一时未有进展。
其实，李—约克关于有3周期点则有 一切周期点的定理只是苏联一位不知名 学者的沙可夫斯基定理的一个特例。
沙可夫斯基定理：设f(x)是区间到区间 自身的连续函数，又设在沙可夫斯基序 中m位于n之前，那末如果f(x)有m周期点 的话，则它一定也有n周期点。
3.1.2 “混沌”现象
一、气候中的“蝴蝶效应”
混沌提供了把复杂的行为理解为是有目的和 有结构的某种行为，而不是理解为外来的和偶然 的行为的方法。
确定性的方程可以产生随机行为。
湍流： Navier-stokes 方程 Logistic映射：
Lorenz模型：
3.2 混沌产生的数学模型
对于确定性系统中的随机性，即混沌现象， 也存在着一些代表性的模型，这就是一维迭代 过程。它们简单得可以用一般的计算器进行分 析，但又巧妙得足以抓住很大一类真实世界现 象的本质。
第二十二章 混沌动力学
混沌动力学(chaotic dynamics)
“混沌”一词译自英文“Chaos”，意为“混 沌”、“紊乱”、“无规律”、甚至“湍流”。
“混沌”一词自古以来，国内外的书籍中就 早有使用，如我国的古代神话中认为在盘古王开天 辟地之前，宇宙就是一片混沌状态。
1963年Lorenz在其论文《确定性非周期流》中 提出了混沌的思想(对初值的敏感性)。
所以，如用 作迭代，则到第3002次有
再换一个和 相差很小的无理数
→无周期的序列
三个相差很小的初始条件， 但迭代到3002次后，则相差甚远，真是“差之 毫厘，失之千里”。
计算结果对初始条件敏感地依赖性。
3.2.2 Logistic映射
设想在一个小岛上繁衍着某类昆虫，每年春 末蜉出，夏末产卵后死去。下一代在第二年又重 复同样的生死轮回，就这样年复一年地传种接代 下去。那么，若干年后这类昆虫的繁衍状况如何 呢？
混沌现象首先是1963年被美国气象学家 Lorenz发现的。他为了预报天气变化，把大气动 力学方程组简化为12个方程组（用牛顿定律建立 了温度和压强、压强与风速等之间关系），并在 计算机上进行模拟实验，因嫌参数小数点后面的 位数太多，输入时很麻烦，便舍去几位，尽管舍 去部分看来微不足道，可结果却大大出乎Lorenz 的意料：舍去与没有舍去的模型的结果竞然大相 径庭，几乎变得完全认不出来了。
不是2的幂数时，则序列为周期解。
例如：
… 即 大于一定的数后将在三个数
之间循环
（3）当 是无理数时，则序列既不趋向于零，也不 趋向于周期解，而是一个貌似无规则的解。
但实际情况并非如此，其实序列只能有一种形态， 即混沌。
以
为例，迭代下去有
，但若一个
初值 和 前900多位小数都相同，后面只差
一百度文库，如：
约克给了李一个区间迭代问题，李却开 玩笑地说这个问题的解决足以送到美国《数 学月刊》上发表。
两个星期后，李解决了这个区间迭代问题。
如果从x=x0开始按照公式 迭代n次后，回到原来的地方，但当迭代次数小 于n时都不回到原来地方，则x0就叫f(x)的一个n周 期点。
李证明，如果区间到区间自身的函数f(x)连续， 且有一个3周期点，那么，对于任何正整数n，f(x) 有n周期点。(周期3则混沌)
二、雷诺实验
在混沌研究中，另一类比较有代表意义的混沌 现象便是湍流。
雷诺（Reynold）实验: 在一个可控制流速的 园管中注入液体，并在园管中心轴线入口处引入一 丝有色液体，以便观察流体的运动状况。
(1) 当管中液体流速不大时，有色液体的流动 顺直光滑，层次分明→层流。
(2) 当流速增加到超过某个值时，有色液体丝将 发生规则地振荡→湍流（紊流）。
为了描述这种昆虫的繁衍状况，德国生物 学家（Verhulst）1837年建立了这样一个理想化 的生态模型：
：t时刻的昆虫数
K：昆虫繁殖后代的能力 L：环境容量，环境能够供养的最大昆虫数目。
其等于
的饱和值X*。
如果我们将环境容量取为1个单位，也即意味着 如果L=100万，那么昆虫数目 应以100万为单位。 上式变为：
李和约克把这项研究成果写成论文真的 寄到《数学月刊》去了，但很快论文便被退 回来了，理由是“本刊不以论文形式发表研 究成果，如果要发表，应按本刊文章规格改 写”。于是，文章被扔进了办公室的角落里。
过了一年(1974)，约克教授在一次会议 上了解到物理学界正在为混沌现象感到头痛， 他立即想到这个区间迭代问题。
ρ-密度；a-粘滞系数；v-流速；D-园管直径
三、Benard对流实验
3.1.3 混沌的定义
混沌是一个相当难以精确定义的概念。 ① 对初值的敏感依赖性 ② 确定的随机性，由确定性规律决定的系统
可以有效地表现出随机行为。
确定的：是因为它由内在的原因而不是外来的 噪声或干扰所产生，即过程是严格确定性的。 随机性：指不规则的，不能预测的行为。
3.2.1 贝诺勒变换模型
对初始条件的敏感依赖性，是混沌现象的一 大特征，也是造成混沌的原因。 讨论一维映射：
xn
1
xn=xn-1
1/2
1
xn-1
从表面上看，序
列 形态：
似乎有三种
（1）当 是有理数，且用分数表示时,其分母为2的
幂数 （k是正整数）时，此时
。
例如：
（2）当
是有理数，且用分数表示。其分母
x 此式的精确解为：
X（0）是
时的昆虫数。
t
昆虫繁衍的长期行为：当
为了深入研究这种现象，Lorenz把12个大 气动力学方程进一步简化为三个一阶的常微分 方程组，并进行了深入细致地分析，得到同样 的结论。这三个方程也便成了经典的混沌的例 子——Lorenz模型。
Lorenz通过对他所提出的方程进行研究表明： 短期的天气预报可行，但长时期天气预报是不可 能的。
“蝴蝶效应”：在南半球某地的一只蝴蝶偶 然扇动翅膀所带来的微小气流，几星期后可能变 成席卷北半球某地的一场龙卷风。