不等式(组)中的参数确定
专题03 解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型(学生版)
专题03解一元一次不等式(组)及参数问题八种模型【类型一解一元一次不等式模型】例题：（2022·陕西·模拟预测）解不等式3136x x-<-，并在如图所示的数轴上表示出该不等式的解集．【变式训练1】（2022·陕西·西安市西光中学二模）解不等式7132184x x->--，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．【变式训练2】（2021·上海徐汇·期中）解不等式38236x x---≤，把解集在数轴上表示出来，并求出最小整数解．【变式训练3】（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式：(1)2(41)58x x -≥-(2)261136x x +-≤【变式训练4】（2022·河南驻马店·八年级阶段练习）解下列一元一次不等式，并把它们的解集表示在数轴上：(1)2﹣5x ＜8﹣6x ；(2)53-x +1≤32x ．【类型二解一元一次不等式组模型】例题：（2022·福建·三明一中八年级阶段练习）解不等式组52331132x xx x -≤⎧⎪-+⎨<-⎪⎩，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：【变式训练1】（2022·广东·汕头市龙湖实验中学九年级阶段练习）解不等式组：1011122x x -≥⎧⎪⎨--<⎪⎩，并写出它的所有整数解．【变式训练2】（浙江省温州市2020-2021学年八年级上学期3月月考数学试题）解一元一次不等式组523(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【变式训练3】（2022·广东揭阳·八年级阶段练习）解不等式组：12(1)2235xx x x ⎧+<-⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式训练4】（2022·湖南岳阳·八年级期末）（1）解不等式121132x x+++≥；（2）解不等式组：3242(1)31x x x -<⎧⎨-≤+⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【类型三一元一次不等式的定义时含参数问题】例题：（2021·全国·七年级课时练习）已知不等式||1(2)20n n x --->是一元一次不等式，则n =____．【变式训练1】（2022·山东·枣庄市第十五中学八年级阶段练习）已知()3426m m x --+>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______．【变式训练2】（2021·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校八年级期中）若21(2)15m m x --->是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为______________．【类型四一元一次不等式整数解中含参数问题】例题：（2022·上海·七年级期中）如果不等式2x ﹣3≤m 的正整数解有4个，则m 的取值范围是_____．【变式训练1】（2020·全国·八年级单元测试）已知不等式30x m -≤有5个正整数解，则m 的取值范围是________．【类型五一元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2022·全国·八年级）关于x 的方程42158x m x -+=-的解是负数，则满足条件的m 的最小整数值是_____．【变式训练1】（2021·四川成都·八年级期末）已知关于x 的方程35x a x +=-的解是正数，则实数a 的取值范围是______．【变式训练2】（2021·全国·七年级课时练习）如果关于x 的方程2435x a x a++=的解不是负数，那么a 的取值范围是________．【变式训练3】（2021·全国·七年级课时练习）当m________时，关于x的方程222x m xx---=的解为非负数．【类型六二元一次方程组与不等式间含参数问题】例题：（2021·内蒙古呼和浩特·七年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组231231x y kx y k+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x＋y＜4，则满足条件的k的最大整数为____．【变式训练1】（2021·四川绵阳·x，y的二元一次方程组221x yx y k+=⎧⎨+=+⎩的解为正数，则k的取值范围为__．【变式训练2】（2021·江苏江苏·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组231323x y mx y m+=+⎧⎨-=+⎩，且x，y满足x+y＞3．则m的取值范围是___．【变式训练3】（2021·四川南充·七年级期末）已知关于x，y的方程组24223x y kx y k+=⎧⎨+=-+⎩，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．【变式训练4】（2021·甘肃·九年级专题练习）若关于x，y的二元一次方程组3331x yx y a+=⎧⎨+=+⎩的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为_______．【类型七解一元一次不等式组中有无解集求参数问题】例题：（2021·内蒙古·包头市青山区教育教学研究中心八年级期中）关于x的不等式组352x ax a->⎧⎨-<⎩无解，则a的取值范围是_____．【变式训练1】（2022·广西贵港·八年级期末）若关于x的不等式组33235x xx m-<⎧⎨->⎩有解，则m的取值范围是______．【变式训练2】（2021·四川凉山·七年级期末）已知关于x的不等式组5122x ax x->⎧⎨->-⎩无解，则a的取值范围是_________．【变式训练3】（2021·河南南阳·三模）已知关于x的不等式组3xx m>⎧⎨≤⎩有实数解，则m的取值范围是____．【变式训练4】（2022·江苏南通·九年级阶段练习）如果关于x的不等式组232x ax a>+⎧⎨<-⎩无解，则常数a的取值范围是______________．【类型八解一元一次不等式组中有整数解求参数问题】例题：（2021·宁夏中卫·八年级期末）不等式组,3x ax>⎧⎨<⎩的整数解有三个，则a的取值范围是_________．【变式训练1】（2021·安徽·马鞍山二中实验学校七年级期中）已知不等式组211x x a-<⎧⎨-≤⎩，只有三个整数解，则a 的取值范围是_________．【变式训练2】（2021·黑龙江佳木斯·模拟预测）不等式组2312x ax -⎧⎨-≤⎩＜有3个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练3】（2020·内蒙古·北京八中乌兰察布分校一模）关于x 的不等式组3x ax <⎧⎨≥⎩只有两个整数解，则a 的取值范围是_____．【变式训练4】（2022·湖南湘潭·八年级期末）已知关于x 的不等式组3010x a x -≤⎧⎨-≤⎩①②，有且只有3个整数解，则a 的取值范围是______________。
不等式组常考题型
不等式组常考题型
不等式组的常考题型包括：
1. 确定不等式组的解集：根据不等式的性质，确定不等式组的解集，包括找出不等式组的公共解、各不等式的解集以及它们之间的关系。
2. 最值问题：在给定条件下，求不等式组中的未知数的最大值或最小值，或者求出满足一定条件的未知数的取值范围。
3. 应用题：将不等式组与实际问题相结合，解决生活中的各种问题，如路程、价格、时间等问题。
4. 综合题：将不等式组与其他数学知识相结合，如方程、函数、几何等，综合考查学生的数学能力。
5. 参数问题：在含有参数的不等式组中，根据参数的取值范围，求不等式组的解集或最值。
6. 不等式证明：利用不等式的性质和已知条件，证明不等式或不等式组的成立，或探究不等式的性质和结构特征。
7. 不等式组的应用：利用不等式组的性质和结构特征，解决实际问题或进行实际应用，如资源分配、决策优化等。
以上是常见的关于不等式组的常考题型，希望对你有所帮助。
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围(含答案解析)
2023年中考数学重点知识专题----已知不等式解集求参数值或参数范围（含答案解析）◆ 题型一：已知不等式确定的解集，求参数值或者范围几种常见考法： ① {若我们计算的结果为a <x <b 而题中给的结果为1<x 2，因为不等（组）的解集是确定的，则{a =1b =2② {若我们计算到ax <a ，因为未知a 的正负，无法下一步运算而题中给的结果为x <1，根据不等式的性质，则a ＞0③ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <2，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≥2④ {若我们计算的结果为{x <bx <2而题中给的结果为x <b ，根据不等式解集的取法，“同小取小”，则b ≤2⑤ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞2，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≤2⑥ {若我们计算的结果为{x ＞b x ＞2而题中给的结果为x ＞b ，根据不等式解集的取法，“同大取大”，则b ≥21. （2022·河北·模拟预测）已知a 是自然数，如果关于x 的不等式(a -3) x >a -3的解集为x <1，那么a 的值为( )A ．1，2B ．1，2， 3C ．0，1， 2D ．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a -3)x ＞a -3的解集为x <1，得a -3<0，即可求解． 【详解】解：∵(a -3)x ＞a -3，当不等式两边同时除以a -3，若a -3＞0，不等式化为x ＞1， 若a -3＜0，则不等式化为x ＜1， ∴a -3＜0，即a ＜3，符合条件的自然数有0，1，2． 故选：C ．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键．2. （2022·四川成都·模拟预测）关于x 的不等式组{3x −1>4(x −1)x <m 的解集为3x <，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ≥3B ．m >3C ．m <3D ．m =3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x <，即可求解． 【详解】解：{3x −1>4(x −1)①x <m ②，解不等式①得：3x <， ∵不等式组的解集为3x <， ∴m ≥3． 故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．1．（2022·重庆市第三十七中学校二模）若数a 既使得关于x 的不等式组{x−a 2+1≤x+a 3x −2a >6无解，又使得关于y的分式方程5y−2−a−y2−y =1的解不小于1，则满足条件的所有整数a 的和为( ) A ．−4 B ．−3 C ．−2 D ．−52．（2022·重庆·模拟预测）若关于x 的不等式组{3<0x −4>3(x −2)的解集为x <1，且关于x 的分式方程x+2x−1+m 1−x=3有非负整数解，则符合条件的m 的所有值的和是（ ）A ．6B ．8C ．11D ．143．（2022·重庆市开州区德阳初级中学模拟预测）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1−8−3y 1−y=2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．（2022·河北·模拟预测）已知a是自然数，如果关于x的不等式(a-3) x>a-3的解集为x<1，那么a的值为() A．1，2 B．1，2，3 C．0，1，2 D．2，3【答案】C【分析】根据不等式(a-3)x＞a-3的解集为x<1，得a-3<0，即可求解．【详解】解：∵(a-3)x＞a-3，当不等式两边同时除以a-3，若a-3＞0，不等式化为x＞1，若a-3＜0，则不等式化为x＜1，∴a-3＜0，即a＜3，符合条件的自然数有0，1，2．故选：C．【点睛】本题考查根据不等式解集求参数，熟练掌握根据不等式解集确定系数符号是解题的关键． 5．（2022·山东德州·二模）已知不等式组{x2+3a ≤−22x +5>1的解集在数轴上表示如图所示，则a 的值为（ ）A ．−56B ．－1C ．−13D ．−166．（2022·广东·二模）已知不等式组{x +a ≥0x +b ≤0，的解集为2≤x ≤3，则(a −b)2022的值为（ ）A ．1−B ．2022C ．1D ．−2022【答案】C【分析】解不等式得出x≥-a ，x≤-b ，由不等式组的解集得出-b=3，-a=2，解之求得a 、b 的值，代入计算可得．【详解】解：由x+a≥0，得：x≥-a ， 由x+b≤0，得：x≤-b ， ∵解集是2≤x≤3， ∴-b=3，-a=2，解得：a=-2，b=-3，∴(a−b)2022=(−2+3)2022=1，故选：C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能求出不等式（或组）的解集是解此题的关键．7．（2022·四川成都·模拟预测）关于x的不等式组{3x−1>4(x−1)x<m的解集为3x<，那么m的取值范围是（）A．m≥3B．m>3C．m<3D．m=3【答案】A【分析】先解出第一个不等式的解集，再由不等式组的解集为3x<，即可求解．【详解】解：{3x−1>4(x−1)①x<m②，解不等式①得：3x<，∵不等式组的解集为3x<，∴m≥3．故选：A【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．8．（2022·山东·日照市北京路中学二模）若关于x的不等式组{x+1<3x+124x−1≥3(a−x)的解集是x>1，关于y的分式方程ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，则所有符合条件的整数a的和为（）A．-18 B．-15 C．0 D．2【答案】B【分析】根据不等式组的解集求出不等式的解集，确定a的取值范围，再根据分式方程的解是非负数确定a 的取值范围，注意排除增根的情况，最后两个a的取值范围合并，就可以算出所有整数a的和．【详解】解：x+1<3x+12，2x+2＜3x+1，解得x＞1，4x−1≥3(a−x)，4x-1≥3a-3x，x≥3a+17，∵关于x 的不等式组的解集为x ＞1， ∴3a+17≤1，解得a≤2， 又∵ay−1=5y−8y−1−2的解为非负数，∴a=5y −8−2（y −1）， ∴y=a+63≥0且y≠1，解得a≥-6且a≠-3，∴a 的取值范围为-6≤a≤2且a≠-3，符合条件的整数a 有：-6、-5、-4、-2、-1、0、1、2，所有的a 相加的和=（-6）+（-5）+（-4）+（-2）+（-1）+（0）+1+2 =-15． 故选：B ．【点睛】本题考查含参的一元一次不等式组和含参的分式方程的解．注意含参的不等式的解法和增根的情况是解决本题的关键．9．（2020·河南·模拟预测）已知不等式组{2x −a <1x −4b >3的解集为﹣1＜x ＜1，则（a +b ）（b ﹣1）的值为_____．【点睛】本题考查不等式组的计算求解集，关键是和已知解集对应相等，求出a，b的值．10．（2022·甘肃武威·模拟预测）定义新运算“⊗”，规定：a⊗b=a−2b．若关于x的不等式x⊗m>3的解集为x>−1，则m的取值范围是________．【答案】m=-2【分析】根据定义的新运算得到x⊗m=x−2m>3，得x>3+2m，从而3+2m=-1，求得m的值．【详解】解：∵a⊗b=a−2b，∴x⊗m=x−2m，∵x⊗m>3，∴x−2m>3，∴x>2m+3，∵不等式x⊗m>3的解集为x>−1，∴2m+3=−1，∴m=-2，故答案为：m=-2．【点睛】本题考查了新定义运算在不等式的应用，解题的关键是准确理解新定义的运算．◆题型二：已知不等式的特殊解，求参数值或者范围若2＜x＜m恰有3个整数解，求m的取值范围。
初中数学知识归纳解参数不等式的问题
初中数学知识归纳解参数不等式的问题不等式是数学中常见的一个概念，而解参数不等式就是指含有参数的不等式。
在初中数学中，解参数不等式是一个重要的知识点，它要求我们找到一组参数的取值范围，使得不等式成立。
接下来，本文将对初中数学知识中解参数不等式的问题进行归纳总结。
一、一元一次不等式的参数解我们首先来看一元一次不等式的参数解。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或<、≥、≤），其中a和b为常数。
当a>0时，不等式解集为x > -b/a（或<、≥、≤）；当a<0时，不等式解集为x<-b/a（或>、≤、≥）。
如果将a和b看作参数，那么我们需要找到一组参数的取值范围，使得不等式成立。
举个例子，假设我们要解不等式2x + k > 0，其中k是参数。
根据一元一次不等式的参数解原则，我们可知当2>0时，不等式解集为x > -k/2；当2<0时，不等式解集为x < -k/2。
根据此原则，我们可以通过设定k的范围来找到使不等式成立的参数取值范围。
二、一元二次不等式的参数解接下来我们来看一元二次不等式的参数解。
一元二次不等式的一般形式为ax² + bx + c > 0（或<、≥、≤），其中a、b和c为常数，且a≠0。
解一元二次不等式需要通过判断二次函数的图像与x轴的关系来确定解集。
若a>0，则二次函数开口向上，解集为x < x1 或 x > x2；若a<0，则二次函数开口向下，解集为 x1 < x < x2。
其中，x1和x2可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0得到。
如果将a、b和c看作参数，我们同样需要找到一组参数的取值范围，使得不等式成立。
举个例子，假设我们要解不等式(x - p)(x - q) > 0，其中p和q是参数。
根据一元二次不等式的参数解原则，我们需要找到使(x - p)(x - q) > 0成立的参数范围。
不等式恒成立中参数范围的确定
数知识 紧密 结 合 ， 有 一 定 的综 合 性 和 思 维 含 量 。 具 近
年来成 为高考命 题 的热 点． 文 以不 等式 恒 成立 问题 本
为例探 讨这 一 问 题 ， 结 其 常 见类 型 与解 法 ， 望 对 总 希
同学 们 提 供 有 益 的 帮 助 和 启 发 ．
１ 分 离 参 数 法
３ 最 值 转 化 法
善
由 ＿ １ 一 ｎ １ ｅ １ 得 到 ａ ｅ 从 而 避 免 了对 ｎ进 厂 ） 一 ≥ 一 ， （ ≥ ， 在 ∈ ［ ＋ 一 ） 恒 成 立 ，即 ３ 上
，
一
４ ≤ 一 ｍ２ ３一 ２＋ １
一
由上 面 ２种 方 法 已经 可 以 发 现 ， 成 立 问 题 和 函 恒 数 的 最 值 密 切 相 关 ． 实 ， 多 问 题 都 可 以 等 价 转 化 其 很 为最值 问题进 行解 决． ： 例 ３ 已 知 函 数 ｆ（ ） ８ 。 １ｘ一 ， ｚ）＝ ｘ 一 ｘ＋ ６ ｇ（ ： ＝
争
思想 和方 法解 决 问题 ． 于参 数 不 好 分 离 的 问 题 ， 对 可 一 尝试 这一 策略 ．
◇ 辽 宁 侯 绪 刚 北 京 重 嘉 森 特 级 教 师 ） （
∞ 一．
例 ２ （ ０ １ 浙江 卷 ） 函数 厂（ 一ａ Ｉ ｚ～ ２１ 年 设 ） ｎ ≤
◇ （ 因 （ 一２ｘ ｚ｝ｘ其 ａ Ｏ 解析 １ 为厂 ） ａｎ— ａ， 中 ＞ ， ） ｚ ｌ － －
所 以
厂（ ， ｚ）一 一 ２ 十 ｎ： 一 — － ａ） ２ （ ｘ－ （ ｘ＋ ａ）
— ．
又 因为 ｘ Ｏ所 以 由 ｆ ＞ ， ） ０得 ∈ （ ， ） 由 ＞ ０ａ ， 若 不 等 式 能 化 为 ｇ ｍ） ， ）（ （ ） － ） 恒 （ ≤ （ ｇ ≥ ， ’ ） （
与方程(组)、不等式(组)有关的参数问题
4´10 - (3a +1) = 6´10 - 2a +1，
40 - 3a -1 = 60 - 2a +1 ，
39 - 3a = 61- 2a ，
-3a + 2a = -39 + 61，
-a = 22 ，
a = -22 ，
故 a 的值为 -22 ．
5．已知关于
x,
y
的方程组
ì2x - y = 2m - 4①
解得： 8 < a £ 3 ， 3
即此时 a 的取值范围是 8 < a £ 3 ． 3
12．已知
ì2x + íîx + 2
y y
= =
3 3
+
2a 2a
a
¹
0
是关于
x，y
的二元一次方程组．
(1)求方程组的解（用含 a 的代数式表示）； (2)若 x - 2 y > 0 ，求 a 的取值范围．
【答案】(1)
mx - 2x > m + 3 ， (m - 2)x > m + 3 ，
Q
它的解集是
x
<
m m
+ -
3 2
，
\m-2 < 0，
解得 m < 2 ；
（2） 2x -1 > 3 - x ，
解得： x > 4 ， 3
Q
它的解集是
x
>
m m
+ -
3 2
，
\
m m
+ -
3 2
=
4 3
，且
m
-
2
>
中考数学 专题04 代数之不等式(组 )问题(含解析)
专题04 代数之不等式（组 ）问题中考数学压轴题中不等式（组）问题较少，主要有含参数的不等式（组）问题，新定义的应用形成的不等式（组）问题，它们出现在选择和填空题中。
一、含参数的不等式（组）问题：1. 若关于x 的不等式2x m <03-恰好只有5个正整数解，则m 的取值范围是 。
【答案】10<m 43≤。
【考点】一元一次不等式的整数解。
2. 如果关于x 的不等式组：⎩⎨⎧≤-≥-0203b x a x ，的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对[a ，b]共有 个。
【答案】6.【解析】∵整数解仅有1，2，∴0＜3a ≤1，2≤2b ＜3， 解得：0＜a ≤3，4≤b ＜6，∴a=1，2，3，b=4，5，∴整数a ，b 组成的有序数对（a ，b ）共有3×2=6个. 考点：一元一次不等式组的整数解．二、新定义的应用形成的不等式（组）问题：3. 定义：对于实数a ，符号[a]表示不大于a 的最大整数．例如：[5．7]=5，[5]=5，[-π]=-4．（1）如果[a]=-2，那么a 的取值范围是 ___________．（2）如果321=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，满足条件的所有正整数x 有____________． 【答案】-3≤a ≤-2 5,6【解析】4. 阅读理解： 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为<x>，即：当n 为非负整数时，如果11n x <n 22-?，则<x>＝n 。
如：<0>＝<0.49>＝0，<0.64>＝<1.393>＝1，<3>＝3，<2.5>＝<3.12>＝3，…试解决下列问题：（1）填空：如果<3x －2>＝4，则实数x 的取值范围为 ；（2）当x 0³，m 为非负整数时，求证：x m m x +=+；（3）求满足71x x 52=-的所有非负实数x 的值； 【答案】（1）1113x <66≤。
沪科版七年级数学下册不等式(组)中的参数确定
沪科版七年级数学下册不等式(组)中的参数确定梧州三中 廖华秋【类型一】用不等式的基本性质，求参数的范围不等式的基本性质：①如果a ＞b,那么a ±c ＞b ±c ；②如果a ＞b,c ＞0,那么ac ＞bc ；a ÷c ＞b ÷c ； ③如果a ＞b,c ＜0,那么ac ＜bc ；a ÷c ＜b ÷c ；1. 不等式ax>b 的解集是a bx <，则a 的取值范围是_____________;不等式ax>b 的解集是abx >，则a 的取值范围是_____________.2. 关于x 的不等式(1-a)x>2的解集为x<a -12,则a 的取值范围为______________.关于x 的不等式(1-a)x>2的解集为x>a -12,则a 的取值范围为______________.3.若a>1，关于x 的不等式(a-1)x > a-1的解集为_____________; 若a<1，关于x 的不等式(a-1)x > 1-a 的解集为_____________;4. 若不等式（2k ﹣1）x ＜2k ﹣1的解集是x ＞1，则k 的范围是 ．【类型二】利用不等式(组)的解集，求参数的值1. 已知关于x 的不等式 3->-a x 的解集如图，则a 的值为____________2.关于x 的不等式5)1(+<-a x a 和2x<4的解集相同，则a 的值为____________。
3. 若不等式组⎩⎨⎧><ax x 2的解集为1＜x ＜2，则a = ．4. 不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是x ＞3，则m 的取值范围是____________5. 如果不等式组0x a x b ->⎧⎨+<⎩的解集是3<x<5,那么a 、b 的值分别为____________6. 若不等式组x a bx a b -≥-<+⎧⎨⎩221的解集为53<≤x ，则a = ,b = ．【类型三】利用不等式(组)的解集取交集，求参数范围1. 已知不等式组⎩⎨⎧m 5＞，＞x x 的解集是5＞x ，则m 的取值范围是 ____ ．已知不等式组⎩⎨⎧m 5＞，＞x x 的解集是m x ＞，则m 的取值范围是 ____ ．2. 若不等式组⎩⎨⎧><a x x 2的解集为a ＜x ＜2，则a 的取值范围为 ____ ．3. 不等式组⎩⎨⎧+>+<+1159m x x x 的解集是x>2，则m 的取值范围是 ____ ．4. 已知关于x 的不等式组有解，则a 的取值范围是 ． 已知关于x 的不等式组无解，则a 的取值范围是 ．5. 如果关于x 的不等式组⎩⎨⎧-<+>232a x a x 无解，则常数a 的取值范围是________.【类型四】利用不等式(组)整数解，求参数取值范围1. 如果不等式x-m ≤0的正整数解是1，2，3，那么m 的范围_____________.2. 已知关于x 的不等式3x-a 0≤的正整数解恰是1,2,3,那么a 的取值范围是_____________.3. 若关于x 的不等式组2x x a≤⎧⎨>⎩的整数解有3个，则a 的取值范围_________________.4. 关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围_________________.5. 若关于x 的不等式组的整数解共有5个，则a 的取值范围是______________.6. 若方程组2123x y mx y +=+⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足x+y ＞0,则m 的取值范围是________.7. 如果关于x 、y 的方程组322x y x y a +=⎧⎨-=-⎩的解是正数，则a 的取值范围是______________.8. 在方程组中，若未知数x 、y 满足x ﹣y ＞0，则k 的取值范围是____________.1、平方根（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
含参数的不等式组解法
含参数的不等式组是指不等式中含有某个参数，需要求出该参数的取值范围使得不等
式组的解存在或满足某种条件。
以下是解含参数的不等式组的一般步骤：
1. 列出不等式组
首先需要根据问题的具体条件列出含有参数的不等式组表达式，包括不等式的符号和
参数的系数和变量。
2. 对每个不等式进行分析
对于每个不等式，需要根据符号及系数来分析其解的取值范围，从而得到该参数的约
束条件。
若不等式为一次不等式，则可以使用代数方法求出其解；若不等式为二次不
等式，则需要使用平方根解法等方法。
3. 将约束条件组合起来
将得到的每个约束条件组合起来，作为参数的取值范围。
通常来说，解析式的形式越
简单，越容易定位参数取值范围。
4. 判断不等式组解的存在性
根据参数的取值范围和不等式组的解的性质，判断该不等式组是否有解或满足某种条件。
可以使用图像法或算法确定解的情况，同时需要注意区分解的类型和数量等问题。
5. 求解不等式组
如果不等式组的解存在，可以使用代入法、换元法等方法求出解析式，并根据问题的
具体条件验证解的正确性。
需要注意的是，含参数的不等式组的求解需要灵活运用数学方法和技巧，在求解过程
中还需注意对角线法则等问题，防止求解错误。
数学中含有参数的不等式及不等式组的问题
数学中含有参数的不等式及不等式组的问题“参数的取值”指的是在不等式或不等式组中，除未知数外的字母为满足不等式（组）成立而所取的准确数或值的范围。
要学会解这类题，必须清楚地明确以下两个问题。
（1）不等式的主要基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）不等式组的四种解集情况（a <b ）①若x a x b>>⎧⎨⎩，则x >b （大大取大大）；②若⎩⎨⎧<<b xax ，则x <a （小小取小小）③若⎩⎨⎧<>b x ax ，则a <x <b （大小小大取中间）④若⎩⎨⎧><b x ax ，则无解（大大小小落空了）以上两个问题反过来也成立，下面举例说明。
一. 用不等式的基本性质求例1. （2003年烟台市中考题）不等式ax >b 的解集是a bx <，则a 的取值范围是（）A. 0≤aB. a <0C. 0≥aD. a >0分析：由不等式的基本性质知a <0，故选B 。
二. 用等值代换法求例2. （2004年重庆市中考题）如果关于x 的不等式5)1(+<-a x a 和2x <4的解集相同，则a 的值为____________。
分析：由2x <4得x <2由5)1(+<-a x a 得15-+<a a x 所以215=-+a a 7,225=-=+a a a例3. 关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+b x a a b x 23223的解集为25≤≤-x ，求a 、b 的值。
解：将原不等式组化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≥a b x b a x 32232 即a b x b a 32232-≤≤- 所以⎪⎩⎪⎨⎧=--=-2322532a b b a 解方程组得a ＝－2，31=b三. 用不等式组的解集情况求例4. 已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>--≥-0125a x x 无解，则a 的取值范围是____________。
02-专项综合全练(二)确定不等式(组)中参数的值或范围
专项综合全练(二)确定不等式(组)中参数的值或范围类型一根据不等式的性质确定参数取值范围,则a的取值范围是()1.由不等式(1-a)x>2可得到x<-A.a>0B.a>1C.a<0D.a<1,不等号的方向发生了变化,说明不等式的两边同除以(1-a)答案B由(1-a)x>2得到x<-时,(1-a)是一个负数,即1-a<0,所以a>1,故选B.类型二已知不等式(组)的解集确定参数值2.已知不等式x-a≤1的解集如图2-8-1.则a的值为.图2-8-1答案-2解析解不等式x-a≤1得x≤1+a,由题图知不等式的解集为x≤-1,∴1+a=-1,a=-2.3.已知不等式4x-3a>-1与不等式2(x-1)+3>5的解集相同,求a的值.解析由4x-3a>-1,得x>-.由2(x-1)+3>5,得x>2.由题意可知-=2,即3a-1=8,解得a=3.4.已知不等式组-的解集为-2<x<3,求a b的值.解析-解得x<1+a,解得x>2b.∴不等式组的解集为2b<x<1+a.又∵不等式组的解集为-2<x<3,∴2b=-2,1+a=3,∴b=-1,a=2.∴a b=2-1=.类型三已知不等式(组)的特殊解个数确定参数的取值范围5.已知不等式2x-1<a有两个非负整数解,则a的范围是.答案1<a≤3解析解不等式2x-1<a得x<.因不等式有两个非负整数解,故1<≤2,2<a+1≤4,∴1<a≤3.6.已知关于x的不等式组---的整数解共有5个,则a的取值范围为.答案-4<a≤-3解析解不等式x-a≥0,得x≥a.解不等式3-2x>-1,得x<2.由于不等式组有整数解,所以不等式组的解集为a≤x<2,故不等式组的最大整数解是1,因为不等式组有5个整数解,故从大到小依次为1、0、-1、-2、-3,所以a的取值范围为-4<a≤-3.类型四已知不等式组的解集确定参数的取值范围7.(1)若关于x的不等式组无解,那么m的取值范围是.(2)已知不等式组-的解集为x>2,则m的取值范围是.答案(1)m≥8(2)m≤2解析(1)原不等式组无解,根据“大大小小无处找”,知m≥8.(2)解2x-3>1得x>2,根据“同大取大”,知m≤2.。
不等式证明中的参数法
例３ 已知
，求证
。
证明：设
，有
引入参数
，有
因
，故
本题说明在对称或轮换不等式的证明过程中，可先引入参数， 然后在证明过程中消去参数，达到简化证明过程的目的。
４ 整体设参
有些不等式的结构复杂、陌生，直接探求显得困难，但若从整
体上对式子进行观察和分析，整体设参，问题就会迎刃而解。
例５ 设
，且
，求证
。
证明：设
１ 引入待定参数
有些不等式的证明，若单从题目中的条件入手，很难解决问
题，这时可以考虑引入待定参数证明不等式。
例１ 已知
且满足
，求证
。
证明：因为
，所以利用基本不等式有
，
则
换不等式，可以引入增量
，得到
，然后
利用增量提供的信息证明不等式，进而简化证明式子入手很困难，可以采用设出参 数，再消去参数的方法证明不等式。
3 4 内江科技 ２００７年第３期
高校论坛
不等式证明中的参数法
简丽华 王华桥 余永波
（内江师范学院数学系）
摘 要 参数法作为一种重要的解题方法，具有重要的研究意义。本文介绍了几种证明不等式的参数法。 关键词 不等式 证明 参数法
不等式的证明因其证明方法灵活多变，综合性较强而成为中学 数学的一个难点。在各类考试和竞赛中，不等式的证明是一个热 点，本文介绍了几种证明不等式的参数法。所谓参数法，就是恰到 好处地引入参数，利用参数提供的信息解决问题。
，所以
本题说明若题目中含有
，故
。 条件的对称或轮
参考文献 ［１］ 张洁运 ． 不等式中的换元法［Ｊ］ ． 中 学生数学，２００３，（１） ［２］ 赵春祥 ． 一类不等式的统一证法［Ｊ］． 数学通讯，１９９７，（１） ［３］ 申世英 ． 一类不等式的一种证法［Ｊ］． 中等数学，２００１，（１） ［４］ 唐述华，汪民岳． 换 元法证明条件不等式的若干技巧［Ｊ］ ． 中学 数学，１９９９，（６） 作者简介 简丽华（１９８５－），内江师范学院数学系０４级１班。
一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法
２０２２年８月下半月㊀学习交流㊀㊀㊀㊀一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法◉白银区武川新村学校㊀刘振琴㊀㊀摘要:一元一次不等式组是学生在学完一元一次不等式㊁一元一次方程和二元一次方程组基础上接触到的新知识,该知识点本身难度不大．但是,如果一元一次不等式组中出现了另一个参数,那么这对学生求出解集和确定参数取值范围带来了很大困扰．如果借助数形结合与分类讨论的方法,采用 解㊁画㊁移㊁比 四个步骤,可顺利解决一元一次不等式组中关于参数取值范围的确定问题．关键词:一元一次不等式组;数形结合;分类讨论;参数;取值范围１引言含参数的一元一次不等式组中参数取值范围的确定是 一元一次不等组 这一节的重难点内容．从课堂教学情况来看,学生在该知识点上存在很大问题,出现了诸多错误．所以,笔者对一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法进行了研究,希望对学生有更多帮助．２例题分析例１㊀若不等式组x＜m,x＞３{无解,则m的取值范围是．分析:本题中的不等式组无需进一步求解,只需在数轴上将x＜m和x＞３表示出来．然而,由于m是除未知数x之外的又一个字母,且m的值题中未给出,这就给在数轴上的表示解集增加了难度．所以,根据题意应该采用数形结合和分类讨论的方法,分析如下．第一步,画出数轴,在数轴上表示出x＞３的解集,将x＜m的解集表示图如图１所示画出;第二步,将x＜m的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第三步,观察符合题意的x＜m解集表示图所在的位置,比较m与３的大小．解:首先,将x＜m和x＞３在数轴上表示出来,如下图１所示．㊀图１然后,分析x＜m的解集表示图有三个不同的位置可以放置,分别是数轴上３的左边㊁３的上面和３的右边,如图２所示．㊀图２再者,根据 无解 这一题意,可以确定(１)(２)两种情况符合．很明显,(１)中m＜３,(２)中m＝３．最后,综上分析可得出m的取值范围为mɤ３．例２㊀若不等式组x＋１＞a,xɤ２{有３个整数解,则a的取值范围是．分析:本题与例１的不同点在于本题中不等式组需要求解及不等式组有解集两个方面,同样用数形结合和分类讨论的方法分析如下．第一步,解出不等式的解集,分别是x＞a－１和xɤ２;第二步,画出数轴,在数轴上表示出xɤ２的解集,将x＞a－１的解集表示图如图３所示画出;第三步,将x＞a－１的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第四步,观察符合题意情况下的x＞a－１解集表示图所在的位置,比较a－１与２的大小．３４Copyright博看网. All Rights Reserved.学习交流２０２２年８月下半月㊀㊀㊀解:解不等式组x ＋１＞a ,x ɤ２,{得x ＞a －１,x ɤ２．{将不等式组的解集在数轴上表示,如图３所示:㊀图３因为原不等式组有３个整数解,所以a －１一定小于２．因为x ɤ２确定了原不等式组中的一个解,又由于x ＞a －１,a －１处是空心,所以在满足原不等式组有三个解的前提下,a －１一定要在０的左边㊁－１的右边,即－１ɤa －１＜０,如图４所示．㊀图４所以,a 的取值范围是０ɤa ＜１．３解法总结通过以上两道例题的分析可以发现,一元一次不等式组中参数取值范围的确定,不仅要利用数形结合的方法将之直观地在数轴上表示出来,还需要借助分类讨论思想,对符合题意的几种情况逐个分析[１]．对于这类问题,大致可采用以下思路解决:第一步,解．解出不等式的解集．第二步,画．画出数轴,在数轴上分别表示出不等式组的解集．对于含参数的解集,可像例１,２中一样先画出其形状待用．第三步,移．将含参数的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况．第四步,比．观察符合题意情况下含参数的解集表示图所在的位置,比较对应数字的大小[２]．另外,在操作第三步和第四步时,需注意以下几个方面的问题:首先,为了让学生有更直观的移动体验,教师可以利用多媒体画图工具,先用一种颜色将不含参数的解集在数轴上画好,然后用另一种颜色将含参数的解集在数轴以外的地方画好,然后利用 平移 或 移动 工具移动该解集的表示图,让学生经历解集表示图移动的过程,更直观地感受符合题意的几种情况．这样操作,比教师包办效果更好．其次,在移动到相应位置取值时,一定要注意 空心 和 实心 的区别[３]．空心 意味着取不到该点对应的数值,需继续移动． 实心 意味着可以取到该点对应的数值,移动时需结合题意谨慎进行．例如,在例２中a －１处是空心 ,那么在 不等式组x ＋１＞a ,x ɤ２{有３个整数解 的条件下,a －１不能放在０上,因为这样不等式解集无法取到０,那么原不等式组只有１和２两个整数解,与题意矛盾,所以应将a －１处是 空心 移向－１的左边．但是,a －１处是 空心 可以放在－１处,因为即使a －１处是 空心 可以放在－１处时原不等式组也取不到－１这个整数解,原不等式组仍只有３个整数解,符合题意．最后,解㊁画㊁移㊁比是解这类问题的通用步骤,学生不仅要对这些步骤进行常规化练习,而且要进行变式训练,以不断激发思维和拓展解题思路[４]．４结语综上所述,虽然含有参数的一元一次不等式组会给人以疑惑感,但如果能在 解 的基础上一步步尝试探究和深入,学生可能会获得不一样的学习心得．这种心得不仅体现在学习本身,更体现在与学生全面发展有关的诸多素养方面．所以,作为一线教师不仅要重视解㊁画㊁移㊁比这四个步骤的不断训练,更要借助变式练习激发学生的思维,培养学生更好的学习品质,为学生更全面的发展奠定基础．参考文献:[１]李进,王磊．解决含参数一元一次不等式问题 数形结合与分类讨论在解题中的运用[J ]．初中生世界,２０１７(Z ３):２８Ｇ２９．[２]钮丹媛．数学思想方法在课堂教学中的应用 以 一元一次不等式 教学为例[J ]．成长,２０２１(１０):１０１Ｇ１０２．[３]曹元军．例谈一元一次不等式组中参数取值问题[J ]．初中数学教与学,２０１７(５):１３Ｇ１４．[４]马永刚．用 三定法 解决一类一元一次不等式组中参数取值范围的问题[J ]．中小学数学,２０２２(Z １):６９Ｇ７０．Z４４Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。
人教版初中数学中考复习 一轮复习 —一元一次不等式(组)解法及含字母(参数)问题
8
4
．
解：（2）去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1．
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
5．（2021•武汉）解不等式组
2x x 1 ① 4x 10 x 1 ②
考点一：不等式的性质
C 1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5
B．﹣5a＜﹣5b
C． a b
cc
D．a+c＞b+c
考点一：不等式的性质
2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，
A 则a+b＜2b；④若b＞0，则 1 1 ，其中正确的个数是（ ） ab
性质3：不等式两边同时乘或除同一个负数，不等号的。方向改变
知识点梳理：
二、一元一次不等式(组)及其解法
一元一次不等 含有一个未知数,未知数的次数是
1
式定义
的不等式
解一元一次不 等式的步骤
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
一元一次 一般地,关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起,
不等式组 就组成一个一元一次不等式组
3．（2021•南京）解不等式1+2（x﹣1）≤3，并在数轴上表示解集． 解： 1+2（x﹣1）≤3， 去括号，得1+2x﹣2≤3． 移项、合并同类项，得2x≤4． 化系数为1，得x≤2．
表示在数轴上为：
考点二：解不等式（组）并在数轴上表示解（集）
Hale Waihona Puke 4．（2021•泰安）（2）解不等式： 1- 7x 1 3x 2
求一元一次不等式(组)中的参数问题
学生易错成 ： 口＞ ｂ 。
点值 ｍ、 ｆ ｉ ， ／ ＋ １ 、 或者 ｍ一１ 代入不等式（ 组） 的解集检验看是否具
司 骶已 知 关 于 的 不 等 式 组 ： 的 解 集 是 … 。枢
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语数外学 习
Ｎｏ ． Ｏ ９ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕⅥ ｒ ａ ｊ Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ９期
求 一 元 一 次不 等 式 （ 组） 中的 参数 问题
魏 文芳
（ 公安县章 田寺 中学， 湖北
荆州 ４ ３ ４ ３ ２ ４ ）
摘 要： 为了解决求一元一次不等式（ 组） 的参数 问题 ， 通过观察、 分析、 比较等方 法掌握其解题技巧 ， 从而提 高同学们的解题能 力， 培养同学们的创新思维。 关键词 ： 一元一次不等式； 一元一次不等式组； 正整数解； 取值范围 中圈分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３ 文献 标识码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ｏ ９－ ０ ０ ２ ８ － ０ １
一 一
例 ３ 、 已 知 关 于 的 不 等 式 组 ｆ Ｉ ： ： ） ． 只 有 三 个 整 数 解 ， 则口
解析： 由 不等式的性质３及解集符号特点知 ＜ ＿ 一 ＝ 一所以 ，
３
一
例４ 、 已 知 关 于 的 不 等 式 组ｆ Ｉ ＝ ＜ 。 只 有 三 个 整 数 解， 则。
元一 次不等式 （ 组） 这一 章是 初一数 学 中 的一个 重 要 内容 ， 也 是 同学们 学习 的一 个 难点 ， 又 是 中考数 学 中 的一个 热 门考 点 。 现将笔者在教学中遇到的几种情况归类解析如ห้องสมุดไป่ตู้ 。 常规题型 ： 千里之行 ， 始 于足下
不等式组中参数确定的四个技巧
不等式组中参数确定的四个技巧在解决不等式组时，有时会遇到需要确定参数的情况。
下面介绍四个技巧，可以帮助我们在解决不等式组中确定参数的值。
1. 设定合适的取值范围。
在不等式组中，参数往往需要满足某些条件。
因此，我们可以通过设定合适的取值范围来确定参数的值。
例如，假设不等式组中的参数为x，而又已知0 ≤ x ≤ 1，则我们可以得出参数x的取值范围为0到1。
在这个取值范围内，我们可以进一步求解不等式组中的其他变量。
2. 利用特殊值解方程。
有时候，我们可以通过设定特殊值来解决不等式组。
例如，假设不等式组中的参数为x，而又已知x = 0或x = 1，则我们可以通过这两个特殊值来求出其他变量。
如果不等式组中有多个参数，则可以通过设定多个特殊值来解决问题。
3. 利用代数方法解方程。
当不等式组中的参数不能通过设定特殊值或取值范围来确定时，我们可以利用代数方法来解决问题。
例如，假设不等式组中的参数为x，而又已知不等式组中的某个等式，例如x + y = 5，则我们可以通过解这个等式来求出参数x的值。
如果不等式组中有多个参数，则可以通过代数方法来求出各个参数的值。
4. 利用图像解方程。
在某些情况下，我们可以通过画出函数图像来解决不等式组。
例如，假设不等式组中的参数为x，而又已知某个函数y = f(x)，则我们可以通过画出函数y = f(x)的图像来求出参数x的值。
如果不等式组中有多个参数，则可以通过画出多个函数图像来求出各个参数的值。
通过以上四个技巧，我们可以在解决不等式组时更加灵活地确定参数的值，从而更加精确地求解不等式组。
求不等式(组)参数的取值范围
·数学基础精讲·刘家良（天津市静海区沿庄镇中学 ３０１６０５）刘家良中学高级教师，在《数理天地》、《中国数学教育》、《中学数学教学参考》等２２种刊物上发表文章２６０余篇，其中的６篇文章被全文转发于中国人民大学书报资料中心主编的《初中数学教与学》上。
已知不等式（组）有几个整数解，求不等式（组）中参数的值或范围，是不等式问题中的常见题型．例１ 若关于ｘ的不等式３ｘ＋ａ≤２只有２个正整数解，则ａ的取值范围为（ ）（Ａ）－７＜ａ＜－４． （Ｂ）－７≤ａ≤－４．（Ｃ）－７≤ａ＜－４．（Ｄ）－７＜ａ≤－４．分析 先将不等式的解集用含参数的式子表示，再根据题意确定哪几个正整数是不等式的解，确定含参数的式子介于哪两个两个连续正整数之间，进而得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数取值范围．解 解３ｘ＋ａ≤２，得ｘ≤２－ａ３．因为不等式只有２个正整数解，所以不等式的正整数解为１，２，如图１．图１所以２≤２－ａ３＜３．解得－７＜ａ≤－４．故选（Ｄ）．注 确定２－ａ３的范围（介于哪两个连续正整数之间）是求ａ值范围的关键，含参数式子的值是否等于其中的正整数是求ａ值范围应注意的地方，此处２－ａ３可等于２但不等于３．例２ 若关于ｘ的一元一次不等式组ｘ－１＞０，２ｘ－ａ＜０｛有且只有２个整数解，则ａ的取值范围是．分析 类比例１，先解不等式组，再根据题意得到哪几个正整数是不等式组的解，确定不等式组的解集含参数式子的一端介于哪两个连续正整数之间，得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数的取值范围．解 解不等式ｘ－１＞０，得ｘ＞１，解不等式２ｘ－ａ＜０，得ｘ＜ａ２，所以不等式组的解集是１＜ｘ＜ａ２．因为ｘ的一元一次不等式组有２个整数解，所以不等式的整数解为２和３，如图２．图２所以３＜ａ２≤４．解得６＜ａ≤８．注 １＜ｘ＜ａ２的右端ａ２可以等于４但不能等于３．（下转３页）·１·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版图２ 解 （１）首先根据题意画出图形，如图２．二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ的对称轴为：ｘ＝－２ａ２ａ＝－１．即ＯＥ＝１．由于ＡＤ∥ＰＱ∥ｙ轴，所以ＯＥ∶ＥＡ＝ＣＰ∶ＰＤ＝２∶３．所以ＥＡ＝３２，即Ａ－５２，０（）．由抛物线的对称性可知Ｂ１２，０（）．（２）由二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ及对称轴为ｘ＝－１可知Ｐ（－１，ｃ－ａ），Ｃ（０，ｃ）．过点Ｃ作ＣＧ⊥ＰＱ于点Ｇ，则ＣＧ＝１，ＧＥ＝ｃ，ＰＧ＝－ａ．因为ＡＤ∥ＰＱ，所以∠ＣＰＧ＝∠ＣＤＡ．由ｔａｎ∠ＣＤＡ＝５４，得ｔａｎ∠ＣＰＧ＝ＣＧＰＧ＝１－ａ＝５４．所以ａ＝－４５．所以二次函数的解析式为ｙ＝－４５ｘ－１２（）ｘ＋５２（）＝－４５ｘ２－８５ｘ＋１． （３）设Ｑ点的坐标为（－１，ｍ），△ＱＡＣ是直角三角形有以下三种情况：①ＡＱ是斜边，但由于∠ＡＣＱ＜∠ＧＣＯ＝９０°，故这种情形不存在；②ＡＣ是斜边，此时有ＡＣ２＝ＡＱ２＋ＱＣ２．而ＡＣ２＝ＯＣ２＋ＯＡ２＝１２＋５２（）２＝２９４，ＡＱ２＝ＥＡ２＋ＥＱ２＝３２（）２＋ｍ２，ＱＣ２＝ＱＦ２＋ＣＦ２＝１２＋（１－ｍ）２．所以２９４＝９４＋ｍ２＋１＋（１－ｍ）２，解得ｍ＝１±槡７２（正值舍去）．故ｍ＝１ －槡７２，即Ｑ点的坐标为－１，１ －槡７２（）．③ＣＱ是斜边，此时有ＱＣ２＝ＡＱ２＋ＡＣ２，即１＋（１－ｍ）２＝９４＋ｍ２＋２９４，解得ｍ＝－１５４．即Ｑ点的坐标为－１，－１５４（）．综上所述，当Ｑ点的坐标为－１，１－槡７２（）或－１，－１５４（）时，△ＱＡＣ是直角三角形．（上接１页）例３ 若关于ｘ的不等式组ｘ－２４＜ｘ－１３，２ｘ－ｍ≤２－ｘ烅烄烆有且只有３个整数解，则ｍ的取值范围是．解 解不等式ｘ－２４＜ｘ－１３，得ｘ＞－２，解不等式２ｘ－ｍ≤２－ｘ，得ｘ≤ｍ＋２３，所以不等式组的解集为－２＜ｘ≤ｍ＋２３，因为不等式组有且只有３个整数解，即－１，０，１．所以１≤ｍ＋２３＜２，解得１≤ｍ＜４．·３·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版。
小专题6《求不等式(组)中参数的取值(范围)》
小专题6 求不等式(组)中参数的取值(范围)类型1 根据不筹式的性质求字母的取值范围方法指导在系数化为1时,根据已知条件解集中的不等号,利用不等式的性质2或性质3确定系数的正负,列出关于字母的不等式求解即可.针对训练1.如果关于x的不等式(2a+1)x＜2a+1的解集为x＞1,那么a的取值范围是 ( )＞0 ＜0＞-12＜-12类型2 解集对应法求字母的值方法指导先求出不等式(组)用字母表示的解集,将其与给出的解集之间建立对应关系,列出关于字母的方程(组)求解即可.针对训练2.已知关于x的不等式x+6＜3x-m的解集是x＞4,则m= .3.已知不等式组12,1x ax b+⎧⎨-⎩＜＞的解集是2＜x＜3,则关于x的方程ax+b=0的解为x= .类型3 借助数轴,分析求解方法指导把已知的或可求出的解集表示在数轴上,再把带字母的解集在数轴上移动,观察何时满足题目要求,列出不等式(组)求解即可,注意是否包含端点值.针对训练4.(2021•泰安)若不等式组2961,1x xx k++⎧⎨-⎩＞＜的解集为x＜2,则k的取值范围为 ( )＞1 ＜1≥1 ≤15.(2021•荆门)已知关于x的不等式3x-m+1＞0的最小整数解为2,则实数m的取值范围是( )≤m＜7 ＜x＜7 ≤m≤7 ＜m≤76.若关于x的不等式组25,122x ax x+⎧⎨--⎩≥＞有解,则a的取值范围是 .7.已知关于x的不等式组523(1),138222x xx x a+-⎧⎪⎨-+⎪⎩＞①≤②有3个整数解,求实数a的取值范围.类型4 一元--次不等式(组)与方程(组)综合问题方法指导先把字母看作常数,求出方程(组)的解,再把解代入所给(列出)的不等式(组)中求解即可.针对训练8.已知关于x的方程2x+4=m-x的解为非负数,则m的取值范围是( )＞43≥4＜4 ≤4 39.已知关于x的方程4(x+2)-2=5+3a的解不小于方程(31)3a x+=(23)2a x+的解,则a的取值范围为 .10.若关于x,y的二元一次方程组232,24x y mx y+=-+⎧⎨+=⎩①②的解满足x+y＞-32,求满足条件的m的所有正整数值.参考答案12＞27.解不等式①,得x＞-52.解不等式②.得x≤4+a.∴原不等式组的解集为-52＜x≤4+a.∵原不等式组有3个整数解,∴0≤4+a＜1.∴-4≤a＜-3.＜-1 1510.①+②,得3x+3y=6-3m,即x+y=2-m.∵x+y＞-32,∴2-m＞-32,解得m＜72.∴m的所有正整数值为1,2,3.。
不等式组中参数确定的四个技巧
不等式组中参数确定的四个技巧在解决不等式组问题时，确定参数的值是一项重要的任务。
接下来将介绍四个技巧，帮助你更容易、更快速地确定参数的值。
1.利用整体不等式性质：我们可以借助整体不等式的性质来确定参数的值。
首先要简化不等式组，通过合并同类项，消去分数或开方等步骤，使其变得更加易于观察。
然后，观察整个不等式的大小关系，加深对参数值的认识。
例如，如果参数在不等式组中是$x$，可以先假设$x>0$，然后观察问题的变化情况，再尝试$x<0$等值。
通过这样的观察，可以找到参数的取值区间甚至准确值。
2.利用边界条件：在不等式组中，有时存在一些特殊的点或数值，可以通过特殊设置参数值来确定。
例如，如果不等式组中存在$x=0$的条件，我们可以尝试将参数取值为0并代入原方程组，然后观察是否能满足要求。
如果满足，我们就可以得出参数为0的结论。
3.利用临界点：在有些情况下，我们可以通过求解导数等方式找到不等式组的临界点，从而更好地确定参数的值。
首先，我们将不等式组表示为一个方程组，并求出其导数。
然后，解方程求出导数为0的点，即为不等式组的临界点。
接下来，我们将临界点的值代入原方程或不等式组中，观察结论是否成立。
如果成立，我们就可以得出参数的值。
4.利用递增递减性质：当不等式组中的参数存在于函数中时，我们可以通过分析函数的递增递减性质来确定参数的值。
首先，将不等式组表示为等式组，并求出函数的导数。
然后，观察导数的正负性质，判断函数在不同区间的增减情况。
接着，通过函数的递减区间或递增区间来确定参数的值。
例如，如果我们需要解决$\dfrac{1}{x}+a<0$的问题，可以通过分析函数$\dfrac{1}{x}$的递减区间来确定参数$a$的取值范围。
在解决不等式组问题时，确定参数的值是一项需要耐心和技巧的任务。
以上介绍的四个技巧可以帮助你更快地找到参数的取值，但在实际操作过程中还需要根据具体问题灵活运用。
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不等式（组）中的参数确定
一、 利用不等式的基本性质
例1：已知关于x 的不等式()1a x -＞2的解集为x ＜
21a
-，则a 的范围是（ ）A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a ＜0 D ．a ＜1
二、利用不等式（组）的解集 例2：已知关于x 的不等式()322a x -+＜3的解集是x ＜2，则a ＝ ．
例3：已知不等式组2235x m n x m n --⎧⎨+≥⎩
的解集为16x -≤ ，求4m n -的值． 三、利用整数解
例4：关于x 的不等式组()2331324
x x x x a -+⎧⎪⎨++⎪⎩ 有四个整数解，则a 的取值范围是（ ） 例5：若不等式组01x a x b -⎧⎨-⎩
的整数解只有2-和1-，则a 、b 的取值范围 公共部分．（填“有”或“无”）
四、 利用不等式（组）的解集情况
例6：若不等式组4050a x x a -⎧⎨+-⎩
无解，则a 的取值范围是（ ） A ．1a B ．1a ≤ C ．1a D ．1a ≥
例7：如果不等式组320x x m
-≥⎧⎨≥⎩有解，则m 的取值范围是（ ）
A ．32m
B ．32m ≤
C ．32m
D ．32
m ≥
专题一：确定字母的取值范围
例1.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>>3
x a x 的解集为3>x ，则a 的取值范围是__________ 例2.若关于x 的不等式组⎩⎨
⎧≤≥-m x x 032无解，则m 的取值范围为_____________ 例3.若不等式组⎩⎨⎧<<+<<-5
321x a x a 的解集是23+<<a x ，则a 的取值范围是_______
例4.若关于x 的不等式05)2(>-+-b a x b a ,的解集为107<
x 求关于x 的不等式b ax >的解集。
专题练习：
1若关于x 的不等式组⎩
⎨⎧≥-≤-3212b x a x 的解集是11≤≤-x ，则（a+1）（b+1）的值为：______ 2已知关于x 的不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧>->a x x x 12 无解，则a 的取值范围是（）
A.1-≤a B 2≥a C 21<<-a D a<-1,或a>2 3 不等式ax>a 的解集为x<1,则a 的取值范围是（）
A.0>a B 0≥a C 0<a D 0≤a
4.若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+0
1234k x x x 的解集为x<2则k 的取值范围为：___________ 5.若不等式组⎩
⎨⎧>≤≤k x x 21 有解，则k 的取值范围是：____________ 6.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>-<+n
n x n m x 的解集是-3<x<5,求不等式0<-n mx 的解集
7.若不等式（2k+1）x<2k+1的解集是x>1,则k 的取值范围是：_____________。