用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器

《数字信号处理》课程设计报告用双线性变换法设计原型低通为巴特沃斯型的IIR数字高通滤波器学院：姓名：班级：学号：目录一、设计目的及设计内容 (2)二、概念设计 (4)三、详细设计 (14)四、实验总结 (22)五、参考文献 (23)一、设计目的及设计内容当今，数字信号处理(DSP：Digtal Signal Processing)技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科：它与国民经济息息相关，与国防建设紧密相连；它影响或改变着我们的生产、生活方式，因此受到人们普遍的关注。

数字化、智能化和网络化是当代信息技术发展的大趋势，而数字化是智能化和网络化的基础，实际生活中遇到的信号多种多样，例如广播信号、电视信号、雷达信号、通信信号、导航信号、射电天文信号、生物医学信号、控制信号、气象信号、地震勘探信号、机械振动信号、遥感遥测信号，等等。

上述这些信号大部分是模拟信号，也有小部分是数字信号。

模拟信号是自变量的连续函数，自变量可以是一维的，也可以是二维或多维的。

大多数情况下一维模拟信号的自变量是时间，经过时间上的离散化(采样)和幅度上的离散化(量化)，这类模拟信号便成为一维数字信号。

因此，数字信号实际上是用数字序列表示的信号，语音信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个一维离散时间序列；而图像信号经采样和量化后，得到的数字信号是一个二维离散空间序列。

数字信号处理，就是用数值计算的方法对数字序列进行各种处理，把信号变换成符合需要的某种形式。

例如，对数字信号经行滤波以限制他的频带或滤除噪音和干扰，或将他们与其他信号进行分离；对信号进行频谱分析或功率谱分析以了解信号的频谱组成，进而对信号进行识别；对信号进行某种变换，使之更适合于传输，存储和应用；对信号进行编码以达到数据压缩的目的，等等。

数字滤波技术是数字信号分析、处理技术的重要分支[2-3]。

无论是信号的获取、传输，还是信号的处理和交换都离不开滤波技术，它对信号安全可靠和有效灵活地传输是至关重要的。

在所有的电子系统中，使用最多技术最复杂的要算数字滤波器了。

数字滤波器的优劣直接决定产品的优劣。

1.1设计目的：（1）熟悉用双线性变换法设计IIR数字滤波器的原理与方法；（2）学会调用MATLAB信号处理工具箱中滤波器设计函数（或滤波器设计分析工具fdatool）设计各种IIR数字滤波器，学会根据滤波需求确定滤波器指标参数。

（3）掌握IIR数字滤波器的MATLAB实现方法。

（4）通过观察滤波器输入输出信号的时域波形及其频谱，建立数字滤波的概念。

1.2设计内容：本次课程设计的内容为用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR 高通滤波器，要求通带边界频率为500Hz ，阻带边界频率分别为400Hz ，通带最大衰减1dB ，阻带最小衰减40dB ，抽样频率为2000Hz ，用MATLAB 画出幅频特性，画出并分析滤波器传输函数的零极点；信号)2sin()2sin()()()(2121t f t f t x t x t x ππ+=+=经过该滤波器，其中=1f 300Hz ，=2f 600Hz ，滤波器的输出)(t y 是什么？用Matlab 验证你的结论并给出)(),(),(),(21t y t x t x t x 的图形。

二、概要设计2.1 数字滤波器介绍数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。

它的基本工作原理是利用离散系统特性对系统输入信号进行加工和变换,改变输入序列的频谱或信号波形,让有用频率的信号分量通过,抑制无用的信号分量输出。

数字滤波器和模拟滤波器有着相同的滤波概念,根据其频率响应特性可分为低通、高通、带通、带阻等类型,与模拟滤波器相比,数字滤波器除了具有数字信号处理的固有优点外,还有滤波精度高(与系统字长有关)、稳定性好(仅运行在0与l两个电平状态)、灵活性强等优点。

时域离散系统的频域特性:,其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

2.2 IIR数字滤波器的设计方法IIR滤波器的性能特点(1)封闭函数IIR数字滤波器的系统函数可以写成封闭函数的形式。

(2)IIR数字滤波器采用递归型结构IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。

IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。

由于运算中的舍入处理，使误差不断累积，有时会产生微弱的寄生振荡。

(3)借助成熟的模拟滤波器的成果IIR 数字滤波器在设计上可以借助成熟的模拟滤波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和椭圆滤波器等，有现成的设计数据或图表可查，其设计工作量比较小，对计算工具的要求不高。

在设计一个IIR 数字滤波器时，我们根据指标先写出模拟滤波器的公式，然后通过一定的变换，将模拟滤波器的公式转换成数字滤波器的公式。

(4)需加相位校准网络IIR 数字滤波器的相位特性不好控制，对相位要求较高时，需加相位校准网络。

IIR 数字滤波器的基本结构一个数字滤波器可以用系统函数表示为： 01()()()1M k kk Nk k k b z Y z H z X z a z -=-===-∑∑ (2-1)由这样的系统函数可以得到表示系统输入与输出关系的常系数线形差分程为：00()()()N M k k k k y n a y n k b x n k ===-+-∑∑(2-2)可见数字滤波器的功能就是把输入序列x (n )通过一定的运算变换成输出序列y (n )。

不同的运算处理方法决定了滤波器实现结构的不同。

无限冲激响应滤波器的单位抽样响应h (n )是无限长的，其差分方程如(2-2)式所示，是递归式的，即结构上存在着输出信号到输入信号的反馈，其系统函数具有(2-1)式的形式，因此在z 平面的有限区间(0<︱z ︱<∞)有极点存在。

前面已经说明，对于一个给定的线形时不变系统的系统函数，有着各种不同的等效差分方程或网络结构。

由于乘法是一种耗时运算，而每个延迟单元都要有一个存储寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延迟支路的网络结构是通常的选择，以便提高运算速度和减少存储器。

然而，当需要考虑有限寄存器长度的影响时，往往也采用并非最少乘法器和延迟单元的结构。

IIR 滤波器实现的基本结构有：(1)IIR 滤波器的直接型结构；优点：延迟线减少一半，变为N 个，可节省寄存器或存储单元；缺点：其它缺点同直接I型。

通常在实际中很少采用上述两种结构实现高阶系统，而是把高阶变成一系列不同组合的低阶系统(一、二阶)来实现。

(2)IIR滤波器的级联型结构；特点：系统实现简单，只需一个二阶节系统通过改变输入系数即可完成；•极点位置可单独调整；•运算速度快(可并行进行)；•各二阶网络的误差互不影响，总的误差小，对字长要求低。

缺点：不能直接调整零点，因多个二阶节的零点并不是整个系统函数的零点，当需要准确的传输零点时，级联型最合适。

(3)IIR滤波器的并联型结构。

优点：•简化实现，用一个二阶节，通过变换系数就可实现整个系统；•极、零点可单独控制、调整，调整α1i、α2i只单独调整了第i对零点，调整β1i、β2i则单独调整了第i对极点；•各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优化组合以减小运算误差；•可流水线操作。

缺点：•二阶阶电平难控制，电平大易导致溢出，电平小则使信噪比减小。

a 、直接型b 、并联型c 、串联型2.3 巴特沃兹滤波器 (Butterworth 滤波器)特点：具有通带内最大平坦的振幅特性，且随f ↗，幅频特性单调↘。

其幅度平方函数： 2221()()1a N c A H j j j Ω=Ω=⎛⎫Ω+ ⎪Ω⎝⎭N 为滤波器阶数，如图1图1、 巴特沃斯滤波器振幅平方特性通带： 使信号通过的频带 阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围Ωc ：截止频率。

过渡带为零理想滤波器 阻带|H(jΩ )|=0通带内幅度|H(jΩ)|=cons.H(jΩ)的相位是线性的图3-1中，N 增加，通带和阻带的近似性越好，过渡带越陡。

通带内，分母Ω/Ωc <1, ( Ω/Ωc )2N <1，A (Ω2)→1。

过渡带和阻带，Ω/Ωc >1， ( Ω/Ωc )2N >1, Ω增加， A(Ω2)快速减小。

Ω=Ωc , 21()2A Ω=,2()1(0)2c A A Ω=,幅度衰减，相当于3db 衰减点。

振幅平方函数的极点21()()1()a a N c H S H S S j -•=+Ω可见，Butter worth 滤波器 的振幅平方函数有2N 个极点，它们均匀对称地分布在|S |=Ωc 的圆周上。

考虑到系统的稳定性，知DF 的系统函数是由S 平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：2233345,,j j p c p c p c S eS S eππ-=Ω=-Ω=Ω系统函数为3345()()()()ca p p p H s S S S S S S Ω=---令，得归一化的三阶BF ：321()221a H s S S S =+++如果要还原的话，则有 321()(/)2(/)2(/)1a c c c H s s s s =Ω+Ω+Ω+2.4 双线性变法法目的：将模拟带通滤波器转换成数字高通滤波器为了克服冲激响应法可能产生的频率响应的混叠失真，这是因为从S 平面到Ｚ平面是多值的映射关系所造成的。

为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T ～π/T 之间，再用z =e sT转换到Z 平面上。

也就是说，第一步先将整个S 平面压缩映射到S 1平面的-π/T ～π/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系z =e s 1T 将此横带变换到整个Z 平面上去。

这样就使S 平面与Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消图2 双线性变换的映射关系为了将S 平面的整个虚轴j Ω压缩到S1平面j Ω1轴上的-π/T 到π/T 段上，可以通过以下的正切变换实现⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=Ω2tan 21T T 1c Ω=Z 平面S 1平面S 平面式中,T 仍是采样间隔。

当Ω1由-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个j Ω轴。

将式写成将此关系解析延拓到整个S 平面和S1平面，令j Ω=s ，j Ω1=s 1，则得再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z 平面z =e s 1T从而得到S 平面和Z 平面的单值映射关系为：首先,把z =e j ω，可得即S 平面的虚轴映射到Z 平面的单位圆。