南昌大学线性代数期末考试试卷与答案

大学2008～2009学年第二学期期末考试试卷
大学08～09学年第二学期线代考试（A 卷）评分标准
一、1
1_________3n +； 2 ____________
8675-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
； 3 120,1λλ==； 4 __________________________________
A 有n个线性无关的特征向量； 5
_____________________
114130404-⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
； 二、1（C ）； 2（A ）； 3（C ）； 4（D ）； 5（B ）。

三、1、41
00
131213112111211
2
3
1
2
3
D ----=
=-- ---------5分
014
14
0421842
123
--=--==--
---------9分
四、()12
3421
3
811151
1150312,,,171906241102110936A αααα-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥''''==→⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦ ---------4分
413103312013300000000⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
-------------------7分 ∴12,αα是向量组1234,,,αααα的一个最大无关组。

-------------9分
且3124133ααα=-， 412132
33
ααα=+ -------------------11分
五、8262116353242101213411462342120X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
Q ---------6分 52134111
3312033X ⎡
⎤-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
∴=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
---------9分
六、由211
3
130530,5
10t t t =->>得 ---------9分
七、102100102100012010012010103001001101--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦Q ------------3分
100302010212001101⎡⎤
⎢⎥→--⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
------------6分
1
102302012212103101--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥∴=--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
------------9分
故1
10212
001230
5103X
--⎡⎤
-⎡⎤⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦ ------------10分 72
6140
11--⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
------------12分 八、1211
211120123554100459λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-++⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦
Q ---------3分 ∴当4
5
λ=-时，方程组无解； -------------------4分
当1λ=时，方程组有无穷多个解； -------------------5分
当4
5
λ≠-，1λ≠时，方程组有唯一解。

-------------------6分
当1λ=时，增广矩阵：
112111211101111200330011554100660000----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ --------8分 它的特解为：()01,0,1γ'= -------------------9分 导出组的基础解系为：()1,1,0η'=， -------------------10分 方程组的通解为：0c γη+ （c 为任意常数） --------11分
九、1
2
2
2122
21E A λλλλ----=
------=522
512521
λλλλλ---------=()()2
51λλ-+ 解得特征值为：15λ=，231λλ==-。

----------------2分 对应于15,λ=求解()10E A X λ-=，
()1422224242242224422E A λ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-=--→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦ →112112033033033000--⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
于是得方程组12323200x x x x x +-=⎧⎨-=⎩ ------4分 取31x =，则易求得121,1x x ==。

即关于15λ=的特征向量()11,1,1α'=
其全部特征向量为：11k α （其中10k ≠） ----------------6分
对应于231,λλ==-有1232
2202
2202
220x x x ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
， 22211
122200022200
0---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
Q 于是得方程123
0x x x ++=， ------8分 取231,0x x ==，得()21,1,0α'=-
取230,1x x ==，得()31,0,1α'=-
23,αα均为矩阵A 的1λ=-的特征向量。

其全部特征向量为 2233k k αα+， （其中23,k k 不全为零。

） -----------------10分。