2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练三理(有答案)
2019届高考数学二轮复习客观题提速练三理 附答案
客观题提速练三(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1. (2018·云南昆明一中月考)记全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},集合B={2,4,6},则图中阴影部分所表示的集合是( )(A){7,8} (B){2}(C){4,6,7,8} (D){1,2,3,4,5,6}2.(2018·河南焦作一模)已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.(2018·吉林省实验中学模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则z的共轭复数对应的点位于复平面的( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限4.(2018·吉林省实验中学模拟)已知α∈(0,π),且cos α=-,则sin（-α）·tan α等于( )(A)(B)-(C)-(D)5.(2018·黑龙江伊春一模)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )(A)60种(B)48种(C)35种(D)30种6.(2018·天津市联考)运行如图所示的程序框图,则输出的数据为( )(A)21 (B)58 (C)141 (D)3187.(2018·全国Ⅰ模拟)设x,y满足若z=ax+y有最大值无最小值,则a的取值范围是( )(A)(-∞,-1] (B)[-2,-1](C)[,1] (D)[1,+∞)8.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知点P是双曲线C:-=1的一条渐近线上一点,F1,F2是双曲线的下焦点和上焦点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则点P到y轴的距离为( )(A)(B)(C)1 (D)29.设a,b是两个非零向量( )(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa(D)若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|10. (2018·广西二模)如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )(A)8+4(B)8+2(C)4+4(D)4+211.(2018·福建厦门二模)若存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d使得无穷数列{a n}满足a n+1=则称数列{a n}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差.设数列{b n}为“段比差数列”.若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b2 016等于( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)612.(2018·豫西南部分示范高中模拟)已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则( )(A)a的最小值为-3 (B)a的最小值为-4(C)a的最大值为2 (D)a的最大值为4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·全国三模)某工厂有120名工人,其年龄都在20～60岁之间,各年龄段人数按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成四组,其频率分布直方图如图所示.工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备.现采用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为20的样本参加新设备培训,培训结束后进行结业考试.已知各年龄段培训结业考试成绩优秀的人数如表所示:一人优秀的概率为.14.(2018·淮南一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点、右焦点分别为A,F,点B(0,b),若|+|=|-|,则该双曲线离心率e的值为.15.(2018·山西实验、广东佛山南海桂城中学联考)已知四棱锥P ABCD的外接球为球O,底面ABCD 是矩形,平面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD=2,AB=4,则球O的表面积为.16.(2018·全国三模)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(1+x)= f(1-x),②在[1,+∞)上为增函数.若x∈[,1]时, f(ax)< f(x-1)成立,则实数a的取值范围为.1.A 由题意,图中阴影部分所表示的区域为∁U(A∪B),由于A={1,2,3,5},B={2,4,6},故∁U(A∪B)={7,8},故选A.2.A sin(α+β)<⇔sin αcos β+cos αsin β<,故“sin α+sin β<”可以推得“sin αcos β+cos αsin β<”,反之不成立,故“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的充分不要条件,故选A.3.C z===i(1+2i)=-2+i,=-2-i,故对应的点在第三象限,故选C.4.A 因为α∈(0,π)且cos α=-,所以sin α==,sin（-α）tan α=cosα·=sin α=.故选A.5.D 由题意得不同的选法有+=18+12=30种,故选D.6.C S=0,k=1,k>5 否S=1,k=k+1=2,k>5 否S=2×1+22=6,k=2+1=3,k>5 否S=2×6+9=21,k=3+1=4,k>5 否S=2×21+42=58,k=4+1=5,k>5 否S=2×58+52=141,k=k+1=5+1=6,k>5,是输出141,故选C.7.A 由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=ax+y为y=-ax+z,要使z=ax+y有最大值无最小值,则-a≥1,即a≤-1.所以a的取值范围是(-∞,-1].故选A.8.D 不妨设点P在渐近线y=x上,设P(y0,y0),又F1(0,-),F2(0,),由以F1F2为直径的圆经过点P,得·=(-y0,--y0)·(-y0,-y0)=3-6=0,解得y0=±,则点P到y轴的距离为|y0|=2.故选D.9.C 对于两非零向量,当|a+b|=|a|-|b|时,向量a与b共线,且a的模大于b的模,选C.10.A 由几何体的三视图得,该几何体是三棱锥S ABC,其中平面SAC⊥ABC,SA=AB=BC=SC=SB=2,AC=4,如图,所以SA⊥SC,AB⊥BC,所以该几何体的表面积为S=2(S△SAC+S△SAB)=2×（×2×2+×2×2×sin 60°）=8+4,故选A.11.D 法一因为{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b2 014=0×b2 013=0,所以b2 015=b2 014+3=3,所以b2 016=b2 015+3=6.故选D.法二因为{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b1=1,b2=4,b3=7,b4=0×b3=0,b5=b4+3=3,b6=b5+3=6,b7=0×b6=0,…,所以当n≥4时,{b n}是周期为3的周期数列,所以b2 016=b6=6.故选D.12.A ≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,可转化为a2+2a+2≤+x在x∈(1,+∞)恒成立,只需求f(x)=+x的最小值.f′(x)=-+1=.可得x=3时,函数f(x)取得极小值即最小值.f(3)=5.所以a2+2a+2≤5,化为a2+2a-3≤0,即(a+3)(a-1)≤0,解得-3≤a≤1.因此a的最小值为-3.故选A.13.解析:由频率分布直方图可知,年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的人数的频率分别为0.3,0.35,0.2,0.15,所以年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]应抽取人数分别为6,7,4,3.若随机从年龄段[20,30)和[40,50)的参加培训工人中各抽取1人,则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为P=（1-）+（1-）=.答案:14.解析:由题意知A(-a,0),F(c,0),由|+|=|-|两边平方化简得·=0,又=(-a,-b),=(c,-b),则ac=b2=c2-a2,e2-e-1=0,且e>1,解得e=.答案:15.解析: 取AD的中点E,连接PE,△PAD中,PA=PD=AD=2,所以PE=,设ABCD的中心为O′,球心为O,则O′B=BD=,设O到平面ABCD的距离为d,球O的半径为R,则R2=d2+()2=22+(-d)2,所以d=,R2=,球O的表面积为S=4πR2=π.答案:π16.解析:因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的函数图象关于直线x=1对称,因为f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,1)上为减函数,因为当x∈［,1］时,f(ax)<f(x-1)成立,所以|ax-1|<|1-(x-1)|在［,1］上恒成立,即x-2<ax-1<2-x在［,1］上恒成立,所以1-<a<-1在［,1］上恒成立.设m(x)=1-,n(x)=-1,x∈［,1］,m(x)的最大值为m(1)=0,n(x)的最小值为n(1)=2.所以0<a<2.答案:(0,2)。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(二)
小题提速练(二)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知i是虚数单位，则2i1－i＝( ) A．－1＋i B．1＋i C．1－i D．－1－i解析：选A.2i1－i＝2i（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－1＋i，故选A.2．已知集合A＝{y|y＝e x，x∈R}，B＝{x∈R|x2－x－6≤0}，则A∩B＝( )A．(0，2) B．(0，3]C．[－2，3] D．[2，3]解析：选B.由已知得A＝(0，＋∞)，B＝[－2，3]，所以A∩B＝(0，3]，故选B.3．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为( )A．9 B．19C．33 D．51解析：选C.m＝1，S＝1，满足条件，S＝1＋2×1＝3，m＝1＋2＝3；满足条件，S＝3＋2×3＝9，m＝3＋2＝5；满足条件，S＝9＋2×5＝19，m＝5＋2＝7；满足条件，S＝19＋2×7＝33，m＝7＋2＝9，不满足条件，输出的S的值为33，故选C.4．双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )A.52B ．5C.3＋12D ．3＋1解析：选B.由已知得b a＝2，所以e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋22＝5，故选B.5．如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．72B ．144C ．216D ．105＋3145解析：选A.由三视图知，该几何体是一个三棱锥，底面直角三角形的面积为12×6×8＝24，设三棱锥的高为9，所以该几何体的体积为13×24×9＝72，故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝ 13，则△ABC 的面积为( )A.3 B ．132C ．23D ．13解析：选A.由余弦定理知( 13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，所以a ＝4，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝ 3，故选A.7．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥5，2x －3y ＋4≥0，3x －y －8≥0，则z ＝2x －y 的最小值是()A ．0B ．4C ．5D ．6解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线2x －y ＝0，平移该直线，当直线经过点A 时，z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －8＝0，2x －3y ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A (4，4)，所以z min ＝2×4－4＝4，故选B.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π6的图象，因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，易知当k ＝－1时，ω取最小正值2，故选B.9．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A 34＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.10．若函数f (x )＝2x 2＋ln x －ax 在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(4，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，4]解析：选D.由已知得f ′(x )＝4x ＋1x－a (x ＞0)，因为函数f (x )是定义域上的单调递增函数，所以当x ＞0时，4x ＋1x －a ≥0恒成立．因为当x ＞0时，函数g (x )＝4x ＋1x≥4，当且仅当x＝12时取等号，所以g (x )∈[4，＋∞)，所以a ≤4，即实数a 的取值范围是(－∞，4]，故选D.11．已知a ＞b ＞0，则a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为( )A.3 102B ．4C ．23D ．32 解析：选D.因为a ＞b ＞0，所以a ＋4a ＋b ＋1a －b ＝12(a ＋b ＋8a ＋b ＋a －b ＋2a －b)≥ （a ＋b ）·8a ＋b＋ （a －b ）·2a －b＝22＋2＝32，当且仅当a ＝322，b ＝22时等号成立．12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点F 交抛物线于A ，B 两点，且|AF |＝3|FB |.直线l 1，l 2分别过点A ，B ，且与x 轴平行，在直线l 1，l 2上分别取点M ，N (M ，N 分别在点A ，B 的右侧)，分别作∠ABN 和∠BAM 的角平分线并相交于点P ，则△PAB 的面积为( )A.643 B ．323C.32 39D ．64 39解析：选C.因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以其焦点F (1，0)，准线方程为x ＝－1，如图所示，不妨设点B 在x 轴上方，过点B 向l 1作垂线，垂足为C .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，因为|AF |＝3|FB |，所以x A ＋1＝3(x B ＋1)，所以x A －x B ＝2(x B ＋1)＝2|FB |，所以cos ∠BAC ＝2|FB |4|FB |＝12，所以∠BAC ＝60°，因为AP ，BP 分别为∠BAM 与∠ABN 的角平分线，所以∠BAP ＝60°，∠ABP ＝30°，所以∠APB ＝90°，所以|AP |＝2|FB |＝2x B ＋2，所以S △PAB ＝12|AP ||AB |·sin 60°＝12×2(x B ＋1)×4(x B ＋1)×32＝23(x B ＋1)2.由∠BAC ＝60°，F (1，0)可得直线AB 的方程为y ＝－3(x －1)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ 3（x －1），y 2＝4x ，解得x ＝13或x＝3，易知x B ＝13，所以S △PAB ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＝32 39，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．命题p ：∃x 0＞1，使得x 20－2x 0＜1，则¬p 是________． 解析：根据特称命题的否定是全称命题得，¬p ：∀x ＞1，x 2－2x ≥1. 答案：∀x ＞1，x 2－2x ≥114．已知a ＝(2，5t －1)，b ＝(t ＋1，－1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则t ＝________． 通解：因为a ＝(2，5t －1)，b ＝(t ＋1，－1)，所以a ＋b ＝(t ＋3，5t －2)，a －b ＝(1－t ，5t )，因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(t ＋3)2＋(5t －2)2＝(1－t )2＋(5t )2，解得t ＝1.优解：由|a ＋b |＝|a －b |⇒(a ＋b )2＝(a －b )2⇒a ·b ＝0⇒2(t ＋1)－(5t －1)＝0⇒－3t ＋3＝0⇒t ＝1.答案：115．若(2x －a )5的二项展开式中x 3项的系数为720，则a ＝________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝(－1)r ·C r 5·(2x )5－r ·a r ＝(－1)r ·C r 5·25－r ·a r ·x 5－r ，令5－r ＝3，解得r ＝2，由(－1)2·C 25·25－2·a 2＝720，解得a ＝±3. 答案：±316．已知函数f (x )＝ln x －ax x，若有且仅有一个整数k ，使[f (k )]2－f (k )＞0，则实数a的取值范围是________．解析：因为f (x )＝ln x －ax x ＝ln x x －a (x ＞0)，所以f ′(x )＝1－ln x x2，令f ′(x )＝0得x ＝e ，令f ′(x )＞0得0＜x ＜e ，令f ′(x )＜0得x ＞e ，所以f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以f (x )的极大值(最大值)为f (e)＝1e －a .若a ＜1e ，则f (e)＝1e －a ＞0，因为有且只有一个整数k 使得不等式[f (k )]2－f (k )＞0成立，且2＜e ＜3，f (3)＞f (2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （3）－1＞0，f （2）－1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ln 33－a －1＞0，ln 22－a －1≤0，解得12ln 2－1≤a ＜13ln 3－1；若a ≥1e ，则f (e)＝1e－a ≤0，不满足有且仅有一个整数k 使[f (k )]2－f (k )＞0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2－1，13ln 3－1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12ln 2－1，13ln 3－1感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(三)(带答案)
小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C. 2．已知a ＋ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A.3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B.6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝()A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为()A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k －16，k∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B. 10．设曲线f (x )＝ m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－ m 2＋1x 2sin x ，易知函数y ＝－ m 2＋1x 2sin x是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－m 2＋1x 2sin x＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×12×2＝89π，选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( )A ．(－3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎜⎛03f(x)d x ＝3f(x 0)，x 0＞0，则x 0＝________．解析：依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋bx |30＝3(ax 20＋b)，即3ax 20＝9a(a ≠0)，x 20＝3(x 0＞0)，由此解得x 0＝ 3.答案：314．由数字2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．解析：根据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数；第一类，个位是0时，满足题意的四位偶数的个数为A 33＝6；第二类，个位是2时，满足题意的四位偶数的个数为C 12·A 22＝4.由分类加法计数原理得，满足题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.答案：1015．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l.若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a ≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM|2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M||F 2M|，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M||F 1M ＋F 2M|.由椭圆定义得|PF 1|2a＝|F 1M|2c ⇒c a ＝|F 1M||PF 1|.同理c a ＝|F 2M||PF 2|. 又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM|2＋|F 1M|2－|PF 1|22|PM|·|F 1M|＋|PM|2＋|F 2M|2－|PF 2|22|PM|·|F 2M|＝0，即(|PM|2＋|F 1M||F 2M|)(|F 1M|＋|F 2M|)＝|PF 1|2|F 2M|＋|PF 2|2|F 1M|⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝ca |PF 1|2|PF 2|＋ca |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎪⎫1＋2c 2a 2c ＝ca (|PF 1|＋|PF 2|)即1＋2e 2＝2， 解得e ＝22.答案：22。
2019年高考数学文科二轮复习练习 小题提速练2 含答案
小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≥4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(4，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 D ．(1,4]B [因为A ＝{x |x ≥4}，所以∁R A ＝{x |x ＜4}，又B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，所以(∁R A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，故选B.] 2．复数5＋3i4－i对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 A [因为5＋3i4－i ＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选A.]3．已知命题p ：x ＋y ≥2xy ，命题q ：在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .则下列命题为真命题的是( ) A ．p B ．﹁q C ．p ∨qD ．p ∧qC [当x ，y 中至少有一个负数时，x ＋y ≥2xy 不成立，所以命题p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．所以p ∨q 是真命题．] 4.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则下列向量与2a ＋b 平行的是( ) A ．(1，－2)B ．(1，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23 D ．(0,2)C [因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，所以2a ＋b ＝(3,1)，而1×2－3×23＝0，故选C.]5．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则z ＝yx的最大值为( )【导学号：04024176】A ．3B ．2C ．1D.12B [作出不等式组表示的平面区域，如图所示，yx的几何意义是区域内(包括边界)的点P (x ，y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，yx取得最大值2.]6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [由题知，函数f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；令x ＝π4，求得f (x )＝22，故函数f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故排除B ；将f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递减，故排除D.]7．执行图1中的程序框图(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )图1A ．5B ．7C ．9D ．12C [程序运行如下：(1)S ＝0＋[]0＝0，n ＝0＜5；(2)S ＝0＋[]1＝1，n ＝1＜5；(3)S ＝1＋[2]＝2，n ＝2＜5；(4)S ＝2＋[3]＝3，n ＝3＜5；(5)S ＝3＋[4]＝5，n ＝4＜5；(6)S ＝5＋[5]＝7，n ＝5；(7)S ＝7＋[6]＝9，n ＝6＞5，循环结束，故输出S ＝9.] 8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )【导学号：04024177】图2A.43B.52C.73D.53A [由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体积V ＝13×12×2×1×1＋12×2×1×1＝43.] 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱 D.53钱 B [设所成等差数列的首项为a 1，公差为d ，则依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin A sin C ＋sin 2C －sin 2A ＝12sinB sinC ，则sin A ＝( )A.14B.34C.114D.154D [由已知得b 2＝ac ，ac ＋c 2－a 2＝12bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝12bc ，所以cos A ＝14，所以sin A＝154.] 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A .若|OF |＝|OA |(O 为坐标原点)，则C 的离心率e 为( )【导学号：04024178】A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [不妨设一条渐近线为l ：y ＝bxa，作FA ⊥l 于点B (图略)，因为|OF |＝|OA |，所以B 为线段FA 的中点．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′A ，因为O 为线段FF ′的中点，所以F ′A ⊥FA .易得直线FA ，F ′A 的方程分别为y ＝－a b (x ＋c )，y ＝b a(x －c )，解方程组可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2c，－2ab c .因为该点在双曲线C 上，所以b 2－a 22a 2c 2－4a 2b 2b 2c2＝1，结合c 2＝a2＋b 2，整理得5a 2＝c 2，即5a ＝c ，所以e ＝c a＝ 5.]12．如图3所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝π2，AC ＝1，BC 边在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向△ABC 滚动，并沿△ABC 的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )图3D [当圆在点B 的左侧滚动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点C 右侧滚动时，与在线段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同．结合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________．图4[解析] 由题意可知a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，所以a 2＞a 1.[答案] a 2＞a 114．若直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．[解析] 由题意，设圆心为(a ，a )，则有|3a ＋4a －12|5＝a ，解得a ＝1或a ＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y －1)2＝115．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝－1ex 平行的切线，则实数m 的取值范围为________.【导学号：04024179】[解析] 由已知得f ′(x )＝e x －m ，由曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，知方程ex－m ＝－1e 无解，即方程m ＝e x ＋1e 无解．因为e x ＞0，所以e x＋1e ＞1e，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝4，AB ＝23，则该球的表面积为________．[解析] 依题意，把三棱锥D ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O 与A 之间的距离为球的半径(图略)．设△ABC 的中心为E ，因为AD ＝4，AB ＝23，△ABC 是正三角形，所以AE ＝2，OE ＝2，所以AO ＝22，所以该球表面积S ＝4π×(22)2＝32π. [答案] 32π。
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4 满分练(1)解析版
2019高考数学（理）通用版二轮精准提分练：12＋4 满分练(1)解析版1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋iz 是纯虚数，则|z |等于( )A. 5B.25C.53D.253答案 D解析 根据题意可设2＋iz ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解得x ＝－23，∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253.2.已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 答案 D解析 B ＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}.3.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.12B.35C.45D.710 答案 C解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x 甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x乙＝83＋83＋87＋99＋x5，因为x甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得x ＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件为从90到99共10个，而满足条件的为从90到97共8个，故甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故选C.4.(2018·宁德模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14， a 2a 6＝33，则a 1a 7等于( )A.33B.16C.13D.12 答案 C解析 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14， a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时， d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时， d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.5.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则( ) A.AD →＝13AB →－23AC →B.AD →＝13AB →＋23AC →C.AD →＝23AB →－13AC →D.AD →＝23AB →＋13AC →答案 D解析 因为BC →＝3BD →，所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)，即AD →＝23AB →＋13AC →.6.给出30个数： 1， 2， 4， 7， 11， 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框①处和处理框②处可以分别填入( )A.i ≤30？和p ＝p ＋i －1B.i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1C.i ≤31？和p ＝p ＋iD.i ≤30？和p ＝p ＋i答案 D解析 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30， 即①中应填写i ≤30？. 又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2，第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4， 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…， 故②中应填写p ＝p ＋i .7.已知实数x ， y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为( )A.12B.22 C.1 D. 2 答案 A解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1，0)的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.故选A.8.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2，0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±22xC.y ＝±77x D.y ＝±7x答案 D解析 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2，0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142，∴渐近线方程为y ＝±bax ＝±7x .9.已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13 答案 A解析 设AC ∩BD ＝O ，连接OC 1，过C 点作CH ⊥OC 1于点H ，连接DH .∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，AC ∩AA 1＝A ，AC ，AA 1⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1，又CH ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥CH ，又CH ⊥OC 1，BD ∩OC 1＝O ，BD ，OC 1⊂平面C 1BD ， ∴CH ⊥平面C 1BD ，则∠CDH 为CD 与平面BDC 1所成的角， 设AA 1＝2AB ＝2，则OC 1＝CC 21＋OC 2＝4＋⎝⎛⎭⎫222＝322，由等面积法得OC 1·CH ＝OC ·CC 1， 代入得CH ＝23，∴sin ∠CDH ＝CH CD ＝23，故选A.10.(2018·西宁模拟)函数f (x )＝2x －ln x －1的图象大致为( )答案 A解析 由函数f (x )的定义域为{x |x >0且x ≠1}，可排除C ；又f ⎝⎛⎭⎫1e >0，可排除B ； 当x →＋∞时，f (x )>0，可排除D ，故正确答案为A.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”.则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 答案 C解析 “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时， f (x )＝(x ＋1)e x ，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有( ) A.3个 B.4个 C.6个 D.9个答案 A解析 当x <0时， f ′(x )＝(x ＋2)e x ，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，0)上单调递增， f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数， f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时， f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1，1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1，1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1，1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个，故选A.13.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________. 答案 1解析 ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m＝1.14.下表是某工厂1—4月份用电量(单位：万度)的一组数据：由散点图(图略)可知，用电量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________. 答案 5.25解析 因为x ＝1＋2＋3＋44＝2.5，y ＝4.5＋4＋3＋2.54＝3.5，所以点(2.5，3.5)在回归直线y ^＝－0.7x ＋a ^上， 即3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.15.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为____. 答案55解析 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫±b 22a 2b 2＝1，解得e ＝55. 16.(2018·河北省石家庄二中模拟)已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案27π32a 2解析 设底面△ABC 的外接圆半径为r ，则asin π3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ，则R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2＋⎝⎛⎭⎫63a －R 2，∴R ＝64a . 因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫64a 2×⎝⎛⎭⎫342＝27π32a 2.。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(四)(带答案解析)
小题提速练㈣一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)设集合A = {x|y=々M + 3x-4)}, B = {y|y = 21-X2},贝iJAAB = (1.B.A.C.(0, 2][2, 4)B. (1, 2]D. (-4, 0)树：B::K = {xlx2 + 3x - 4> 0} = (x|x> 1 sgx< -4}, B = {y|0<y<2}, .-AnB = (1, 2],螭負2,已知复数z满足z（1-/旅=1+心为虚数单位），贝！］&|为（A-2树:选8.解*:因为或z满足"胪=1+匕所以z=〔 " 2 = '= 所以％=业蠣（1 - 7）2 - 2 / 2 2 2 解法二：因为复数Z满足Z（1 -,2=1+/；所以|z| = (1-/)23.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0, +的上单调递减的函数是（A. y = - x3B. y = /〃x|C. y= cos xD. y = 2-M解析：选々显然函数y = 2-x是偶函数，当x>0时，函数y = B在区间（0, +8）上是减函数.故选4.命题Wx>0, ——>0"的否定是(x-1A. 3x<0, ------ <0x-1B. 3x>0, 0<x<1D. Vx<0, 0<x<1树：选气島＞。
，*。
或3,.=＞。
的査依。
油，命题的査依*＞。
，。
女顼，蠣B.5.某単位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人中年人青年人的人数是（）A. 7, 11, 18B. 6, 12, 18C. 6, 13, 17D. 7, 14, 21解析：选。
2019届(浙江)高考数学(理科)二轮专题训练：“12+4”提速专练卷(一)(含答案)
“12＋4”提速专练卷(一)一、选择题1．(2018·西城模拟)已知集合A＝{x|log2x<1}，B＝{x|0<x<c，其中c>0}．若A∪B＝B，则c的取值范围是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,2] D．[2，＋∞)解析：选D 由已知条件可得A＝(0,2)，∵A∪B＝(0,2)∪(0，c)＝(0，c)，∴c≥2.2．若复数z＝2－i，则z＋10z＝( )A．2－i B．2＋i C．4＋2i D．6＋3i解析：选D ∵z＝2－i，∴z＋10z＝(2＋i)＋102－i＝(2＋i)＋＋－＋＝6＋3i.3．在“神十”航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．24种 B．48种C．96种 D．144种解析：选C 当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A33种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A33A14A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A33A14A22＝96种编排方法．4．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当a∥b时，有2×4＝(x－1)(x＋1)，解得x＝±3，所以x＝3⇒a∥b，但a∥b⇒/ x＝3，故“x＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．5．已知数列{a n}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{a n}的前n项和为S n，则使S n达到最大的n是( )A．18 B．19C．20 D．21解析：选C a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{a n}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，S n＝－n2＋40n，因此当S n取得最大值时n＝20.6．在如图所示的程序框图中，输入A＝192，B＝22，则输出的结果是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选B 输入后依次得到：C ＝16，A ＝22，B ＝16；C ＝6，A ＝16，B ＝6；C ＝4，A ＝6，B ＝4；C ＝2，A ＝4，B ＝2；C ＝0，A ＝2，B ＝0.故输出的结果为2.7．一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．3 cm 3B.92 cm 3C ．9 cm 3D.272cm 3解析：选B 由几何体的三视图可得该几何体是底面为底边长为3，高为3的等腰三角形，高为3的三棱锥，其体积V ＝13×12×3×3×3＝92cm 3.8．函数y ＝f(x)的图像向右平移π6个单位后与函数y ＝sin 2x 的图像重合，则y ＝f(x)的解析式是( ) A ．f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 B ．f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析：选 B 将y ＝sin 2x 的图像向左平移π6个单位即得y ＝f(x)的图像，即f(x)＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.9．经过抛物线y ＝14x 2的焦点和双曲线x 217－y28＝1的右焦点的直线方程为( )A ．x ＋48y －3＝0B ．x ＋80y －5＝0C ．x ＋3y －3＝0D ．x ＋5y －5＝0解析：选D 易知抛物线的焦点坐标，双曲线的右焦点坐标分别为(0,1)，(5,0)，则过这两点的直线方程为y －0＝0－15－0(x －5)，即x ＋5y －5＝0.10．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可能是( )A ．f(x)＝x 2－2ln|x| B ．f(x)＝x 2－ln|x| C ．f(x)＝|x|－2ln|x|D ．f(x)＝|x|－ln|x|解析：选B 由函数图像可得，函数f(x)为偶函数，且x>0时，函数f(x)的单调性为先减后增，最小值为正，极小值点的横坐标小于1，分别对选项中各个函数求导，并求其导函数等于0的正根，可分别得1，22，2,1，由此可得仅函数f(x)＝x 2－ln|x|符合条件．11．函数f(x)＝x 3－bx 2＋1有且仅有两个不同零点，则b 的值为( ) A.342 B.322C.3322D ．不能确定解析：选C f′(x)＝3x 2－2bx ＝x(3x －2b)，令f′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝2b3.当曲线f(x)与x 轴相切时，f(x)有且只有两个不同零点，因为f(0)＝1≠0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3＝0，解得b ＝3322.12．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2D ．5πa 2解析：选B 设三棱柱上底面所在圆的半径为r ，球的半径为R ，由已知r ＝23·32a ＝33a.又∵R 2＝r 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝13a 2＋14a 2＝712a 2，∴S 球＝4πR 2＝4π·712a 2＝73πa 2. 二、填空题13．(x －2)5的展开式中x 2的系数是________(用数字作答)．解析：由已知得T r ＋1＝C r 5x 5－r 2×(－2)r ，令5－r 2＝2，解得r ＝1，则x 2的系数是－10.答案：－1014．已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0，则圆心C 的坐标为________；若直线y ＝kx 与圆C 相切，且切点在第四象限，则k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －3)2＋y 2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.根据切点在第四象限，可得k ＝－24. 答案：(3,0) －2415．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确的解析：①正确，∵l ⊥α，α∥β，∴l ⊥β，又m ⊂β，∴l ⊥m; ②错误，l ，m 可以垂直，也可异面；③正确，∵l ⊥α，l ∥m ，∴m ⊥α，又m ⊂β，∴α⊥β；④错误，α与β可能相交．答案：①③16．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为________．解析：根据⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x＋y≤9，6≤x－y≤9得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x ＋2y 得y ＝－x 2＋z2，平移直线y ＝－x2，在M 点处z 取得最小值．根据⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝9，2x ＋y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－5，此时z ＝4＋2×(－5)＝－6.答案：－6。
2019高考数学(理科)二轮专题小题提速练(一)(带答案)
小题提速练(一)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |x |≤2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[2，5] B ．(2，5] C ．[－1，2]D ．[－1，2)解析：选B.由题得A ＝[－1，5]，B ＝[－2，2]，则∁R B ＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以A ∩(∁R B )＝(2，5]，故选B.2．如果复数m 2＋i1＋m i 是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1通解：选D.m 2＋i 1＋m i ＝（m 2＋i ）（1－m i ）（1＋m i ）（1－m i ）＝m 2＋m ＋（1－m 3）i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D.优解：设m 2＋i1＋m i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则有b i(1＋m i)＝m 2＋i ，即－mb ＋b i ＝m 2＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－mb ＝m 2，b ＝1，解得m ＝－1或0，故选D.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值是()A ．3B ．4C ．6D ．8通解：选C.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (6，0)时，z 取得最大值，即z max ＝6，故选C.优解：目标函数z ＝x ＋y 的最值在可行域的三个顶点处取得，易知三条直线的交点分别为(3，0)，(6，0)，(2，2)．当x ＝3，y ＝0时，z ＝3；当x ＝6，y ＝0时，z ＝6；当x ＝2，y ＝2时，z ＝4.所以z max ＝6，故选C.4．已知某批零件的长度误差ξ(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：正态分布N (μ，σ2)中，P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5)( ) A ．0.045 6 B ．0.135 9 C ．0.271 8D ．0.317 4解析：选B.因为P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，所以P (3＜ξ＜6)＝12(0.954 5－0.6827)＝0.135 9，故选B.5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，c ＝ln 3π，则( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c通解：选B.因为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1212＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＞0，c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B.优解：因为a 3＝12＞b 3＝ 127＝39，所以a ＞b ＞0.又c ＝ln 3π＜ln 1＝0，所以c ＜b ＜a ，故选B. 6．下列函数中，在其定义域内是增函数而且是奇函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2|x | C ．y ＝2x －2－xD ．y ＝2x ＋2－x解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，所以y ＝2x －2－x 为增函数，又y ＝2x －2－x 为奇函数，所以选C.7．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是( )A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π解析：选C.由三视图知该几何体是一个底面为正方形的长方体，由正视图知该长方体的底面正方形的对角线长为4.所以底面边长为22，由俯视图知该长方体的高为3，设该几何体的外接球的半径为R ，则2R ＝（22）2＋（22）2＋32＝5，解得R ＝52，所以该几何体的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×254＝25π，故选C.8．已知函数y ＝sin ()2x ＋φ在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A.由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，k ∈Z .当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，也不关于直线x ＝π3对称，故B 、D 错误．故选A.9．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－6 3πC.13－32πD ．23解析：选B.设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－6 3π，故选B.10．给出四个函数，分别满足①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，②g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，③h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，④m (x ·y )＝m (x )·m (y )．又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是( )A ．①甲，②乙，③丙，④丁B ．①乙，②丙，③甲，④丁C ．①丙，②甲，③乙，④丁D ．①丁，②甲，③乙，④丙解析：选D.①f (x )＝x ，这个函数可使f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )成立，∵f (x ＋y )＝x ＋y ，x ＋y ＝f (x )＋f (y )， ∴f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，故①对应丁．②寻找一类函数g (x )，使得g (x ＋y )＝g (x )·g (y )，指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)具有这种性质，令g (x )＝a x ，g (y )＝a y ，则g (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x ·a y ＝g (x )·g (y )，故②对应甲．③寻找一类函数h (x )，使得h (x ·y )＝h (x )＋h (y )，对数函数具有这种性质，令h (x )＝log a x ，h (y )＝log a y ，则h (x ·y )＝log a (xy )＝log a x ＋log a y ＝h (x )＋h (y )，故③对应乙．④令m (x )＝x 2，这个函数可使m (xy )＝m (x )·m (y )成立，∵m (x )＝x 2，∴m (x ·y )＝(xy )2＝x 2y 2＝m (x )·m (y )，故④对应丙．故选D.11．已知抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则|AB |＝4；②|AB |min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由题意得，焦点F (0，1)，对于①，l AB 为y ＝x ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0，得y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，故①错误；对于②，|AB |min ＝2p ＝4，故②错误；因为y ′＝x2，则l AM ∶y －y A ＝x A2(x －x A )，即l AM ：y ＝12x A x －y A ，同理l BM：y ＝12x Bx －y B，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x A x －y A ，y ＝12x Bx －y B，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4.设l AB 为y ＝kx ＋1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，AB 的斜率为1时，x M ＝2，故④错误，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0，1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0＜x 0＜12B ．12＜x 0＜1C.22＜x 0＜ 2D ．2＜x 0＜3解析：选D.由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0＜x ＜1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x，则切线l 的方程为y －ln x 1＝1x 1(x －x 1)，即y ＝1x1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 2，又0＜x 1＜1，所以x 0＞1，所以1＋ln(2x 0)＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln(2x )－1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x＞0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln 2＜0，g (2)＝1－ln2 2＜0，g (3)＝2－ln 23＞0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故2＜x 0＜3，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________．解析：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b ）＝0，故|a |2－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，解得cos 〈a ，b 〉＝12，故a 与b 的夹角为60°.答案：60°14．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为________．解：该程序框图的执行过程如下：v ＝1，i ＝2；v ＝1×2＋2＝4，i ＝1；v ＝4×2＋1＝9，i ＝0；v ＝9×2＋0＝18，i ＝－1，此时输出v ＝18.答案：1815．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝3，则|BF |＝________． 解析：解法一：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，|AF |＝3，由抛物线的定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2.如图，不妨设点A 在第一象限，将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，所以点A 的纵坐标为2 2，即A (2，22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2 2（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2，所以点B 的横坐标为12，所以|BF |＝12－(－1)＝32.解法二：如图，不妨设点A 在第一象限，设∠AFx ＝θ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3，解得cos θ＝13.又|BF |＝x B ＋1＝1－|BF |cos θ＋1＝2－13|BF |，所以|BF |＝32.答案：3216．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD ，则AD 的长为________．解析：如图，在△ABC 中，BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CDBD ＝52x.在△ACD中，AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝5 3，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝x 2＋52－（5 3）22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－（5 3）22×x ×5＝－52x，解得x ＝5，所以AD 的长为5. 答案：5。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练一理(含答案)
一、选择题
1．设全集 U＝ R，集合 M＝{ y| y＝ lg( x2＋10)} ， N＝ { x|0< x<2} ，则 N∩（?UM) ＝ (
)
A． (0,1)
B． (0,1]
C． (1,2)
D． ?
解析：选 A 由 M＝ { y| y＝lg( x2＋ 10)} 得 M＝ { y| y≥1} ，所以 ?UM＝ ( －∞， 1) ，故 N∩（?UM) ＝ (0,1) ，故
满足条件②；
1
11
x
2＋ 2 － 1
x
x
2 ＋1
－ x 2－x＋1 － x 2x＋ 1
因为当
x≠０时，f 4( x) ＝ x
x＋ 2 －1 2
＝x·
x－ ＝ 2· 2x－ 1，所以 f 4( －x) ＝ 2 ·2－x－1＝ 2 · 1
2x－ 1
x
x 2 ＋1 ＝ 2· 2x－ 1＝ f 4( x) ，所以当 x≠０时， f 4( x) 是偶函数，所以当 x1<0<x2，且 | x1| ＝ | x2| 时，有 f 4( x1) ＝ f 4 ( x2) ，
xf ′（x)>0 ；③当 x1<0<x2，且 | x1| ＝ | x2| 时，都有 f ( x1)< f ( x2) ，则称 f ( x) 为“偏对称函数”．现给出四个函
数：f
1(
x)
＝－
x 3＋
3x2 2
；f
2(
x)
＝
ex－
x－1；f
3(
x)
＝
－ x＋ 2x， x>0；
， x≤0，
11
f 4( x) ＝
2019高考数学(理)通用版二轮精准提分练：12+4满分练(4)
12＋4满分练(4)1.已知2＋a i 1－i 为纯虚数，a ∈R ，则()a ＋i i 2019的虚部为( )A.－1B.1C.－2D.2答案 C解+析 ∵a ∈R ，且复数z ＝2＋a i 1－i ＝()1＋i ()2＋a i ()1＋i ()1－i ＝2＋a i ＋2i ＋a i 22＝2－a 2＋a ＋22i 为纯虚数，∴a ＝2，∴()a ＋i i 2 019＝(2＋i)·(－i)＝1－2i ， ∴(a ＋i)i 2 019的虚部为－2.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )等于( ) A.{x |1<x <2} B.{x |1<x ≤2} C.{x |1≤x <2} D.{x |1≤x <4}答案 C解+析 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A.－15B.15C.30D.－30 答案 B解+析 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线的说法正确的是( )A.虚轴长为4B.焦距为2 5C.离心率为133D.渐近线方程为2x ±3y ＝0答案 D解+析 对于D 选项，双曲线的方程为y 24－x 29＝1，其中a ＝2，b ＝3，则渐近线方程为2x ±3y ＝0，正确. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β 其中正确的命题是( ) A.②③B.①③C.①④D.③④ 答案 C解+析 ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β. ④若m ⊥α，n ∥β，且m ∥n ，则α⊥β，正确. m ⊥α且m ∥n ，可得出n ⊥α，又n ∥β，故得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有( ) A.60种B.54种C.48种D.24种 答案 D解+析 分两类求解.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数且p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( ) A.p ＝q <v <r B.p ＝v <q <r C.p ＝v <r <q D.p <v <q <r答案 B解+析 由题意可得，p ＝f (ab )＝ln ab ＝12ln (ab )＝12(ln a ＋ln b )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2>ln ab ＝p ，v ＝12[f (a )＋f (b )]＝12(ln a ＋ln b )， ∴p ＝v ＜q ，∵a 2＋b 22>a ＋b2， ∴r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝12ln a 2＋b22>ln a ＋b 2＝q .故p ＝v <q <r .8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是( )A.n <7?B.n ≤7?C.n <8?D.n ≤8? 答案 D解+析 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋…＋2n . ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8？.9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧(左)视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为S 1，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为S 2，则S 1∶S 2为( )A.5∶1B.5∶2C.5∶4D.10∶1 答案 B解+析 由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥S －ABC ，其中SA ⊥底面ABC ，且底面△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，SA ＝5.故三棱锥外接球的球心在过BC 的中点O 1且与底面垂直的直线上，设为点O ，则有OO 1＝12SA＝52，设球半径为R ，则有R 2＝OO 21＋O 1C 2＝252. 故三棱锥的外接球表面积S 1＝4×π×252＝50π.俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积S 2＝12×(2π×4)×5＝20π.∴S 1S 2＝50π20π＝52. 10.将函数f (x )＝sin ωx (ω是正整数)的图象向右平移π6个单位长度，所得曲线在区间⎝⎛⎫4π3，3π2内单调递增，则ω的值为( ) A.3B.4C.5D.6 答案 A解+析 将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π6个单位长度，可得f (x )＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，所得曲线在⎝⎛⎭⎫4π3，3π2内单调递增，可得2k π－π2≤ω⎝⎛⎭⎫4π3－π6＜ω⎝⎛⎭⎫3π2－π6≤2k π＋π2， 求得12k 7－37≤ω≤3k 2＋38，由12k 7－37<3k 2＋38，得k <154且k ∈Z ，又∵ω为正整数，∴取k ＝2，得ω＝3.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为( ) A.155 B.154C.153 D.152答案 C解+析 由题意知等腰△ABP 中，|AB |＝|AP |＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ，∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫2552－1＝35.设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －|AP |cos 2θ＝－11a 5，y ＝|AP |sin 2θ＝8a5， 故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－11a 5，8a5. 由点P 在双曲线上，得⎝⎛⎭⎫－11a 52a 2－⎝⎛⎭⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ，1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解+析 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0.∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎫33，0，B (0，1)，C ⎝⎛⎭⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确，故选C.13.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案 8解+析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2，2)， 又|OA |＝|OB |＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.14.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC ＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案 2 2解+析 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， 又∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，有⎝⎛⎭⎫12x 2＋x 2＝10，解得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.15.(2018·河北衡水金卷模拟)七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案316解+析 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等，则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316.16.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为______. 答案 S n ＝3n －2n解+析 ∵a n ＋1＝S n ＋3n ＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n ， ∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝⎛⎭⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n ， ∴S n ＝3n －2n .。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练三理
“＋”小题提速练(三)一、选择题．(届高三·广东五校联考)复数＝等于( )．＋．－．＋．－解析：选＝＝＝＝＋.．(·惠州模拟)已知集合＝{<}，＝{－＋<}，若∩＝，则实数的取值范围是( ) ．(－∞，) ．(－∞，]．(，＋∞) ．[，＋∞)解析：选集合＝{－＋<}＝{<<}，由∩＝可得⊆，所以≥.选.．(·天津模拟)已知等差数列{}的前项和为，若＝，－＝，则数列{}的公差为( ) ．．－．－．解析：选设等差数列{}的公差为，－＝，即＋＋＝，从而＝，＝，由＝＋，得＝.故选..(·洛阳尖子生统考)执行如图所示的程序框图，若输入＝，＝，则输出的的值为( )．．．．解析：选当＝，＝时，除以的余数＝，此时＝，＝，除以的余数＝，此时＝，＝，除以的余数＝，此时＝，＝，除以的余数＝，此时＝，＝，除以的余数＝，此时＝，＝，退出循环，输出的值为，故选.．(·武昌模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )．．解析：选如图，三棱锥为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，△＝××＝，点到平面的距离＝，则＝△·＝××＝，故选.．已知函数()＝(ω＋φ)的图象在轴右侧的第一个最高点为，第一个最低点为，则()的解析式为( )．()＝．()＝．()＝．()＝解析：选由题意得，＝，设()的最小正周期为，则＝－＝，所以＝π，ω＝.又函数()的图象在轴右侧的第一个最高点为，所以＝，又φ<，所以φ＝，所以()＝.．(·河北五个一名校联考)设双曲线：－＝(>，>)的左焦点为，直线－＋＝过点且与双曲线在第二象限的交点为，＝，其中为原点，则双曲线的离心率为( )．．解析：选在直线－＋＝中，令＝，得＝－，故＝，取右焦点为′，由＝＝′，可得⊥′，由直线－＋＝，可得∠′＝，又′＝，故＝，′＝，∴′－＝＝，∴＝，故双曲线的离心率＝＝，故选.．(·开封模拟)已知实数，满足约束条件(\\(－＋≥，＋＋≥，≤，))则＝－的最大值是( )．．．解析：选作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设＝－，由图知，当＝－经过点()时取得最小值，即＝－×＝－，此时＝－取得最大值，即＝－＝，故选.．(·湖北八校第一次联考)如图，为△的外心，＝，＝，∠为钝角，为边的中点，则·的值为( )．．。
2019届高考数学二轮复习客观题提速练三理(有答案)
客观题提速练三(时间:45分钟满分:80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1. (2018·云南昆明一中月考)记全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},集合B={2,4,6},则图中阴影部分所表示的集合是( )(A){7,8} (B){2}(C){4,6,7,8} (D){1,2,3,4,5,6}2.(2018·河南焦作一模)已知α,β∈(0,π),则“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件3.(2018·吉林省实验中学模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则z的共轭复数对应的点位于复平面的( )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限4.(2018·吉林省实验中学模拟)已知α∈(0,π),且cos α=-,则sin（-α）·tan α等于( )(A)(B)-(C)-(D)5.(2018·黑龙江伊春一模)某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )(A)60种(B)48种(C)35种(D)30种6.(2018·天津市联考)运行如图所示的程序框图,则输出的数据为( )(A)21 (B)58 (C)141 (D)3187.(2018·全国Ⅰ模拟)设x,y满足若z=ax+y有最大值无最小值,则a的取值范围是( )(A)(-∞,-1] (B)[-2,-1](C)[,1] (D)[1,+∞)8.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)已知点P是双曲线C:-=1的一条渐近线上一点,F1,F2是双曲线的下焦点和上焦点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则点P到y轴的距离为( )(A)(B)(C)1 (D)29.设a,b是两个非零向量( )(A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b(B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|(C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa(D)若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|10. (2018·广西二模)如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )(A)8+4(B)8+2(C)4+4(D)4+211.(2018·福建厦门二模)若存在常数k(k∈N*,k≥2),q,d使得无穷数列{a n}满足a n+1=则称数列{a n}为“段比差数列”,其中常数k,q,d分别叫做段长、段比、段差.设数列{b n}为“段比差数列”.若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,则b2 016等于( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)612.(2018·豫西南部分示范高中模拟)已知≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,则( )(A)a的最小值为-3 (B)a的最小值为-4(C)a的最大值为2 (D)a的最大值为4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2018·全国三模)某工厂有120名工人,其年龄都在20～60岁之间,各年龄段人数按[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成四组,其频率分布直方图如图所示.工厂为了开发新产品,引进了新的生产设备.现采用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为20的样本参加新设备培训,培训结束后进行结业考试.已知各年龄段培训结业考试成绩优秀的人数如表所示:为.14.(2018·淮南一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左顶点、右焦点分别为A,F,点B(0,b),若 |+|=|-|,则该双曲线离心率e的值为.15.(2018·山西实验、广东佛山南海桂城中学联考)已知四棱锥P ABCD的外接球为球O,底面ABCD是矩形,平面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD=AD=2,AB=4,则球O的表面积为.16.(2018·全国三模)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(1+x)= f(1-x),②在[1,+∞)上为增函数.若x∈[,1]时, f(ax)< f(x-1)成立,则实数a的取值范围为.1.A 由题意,图中阴影部分所表示的区域为∁U(A∪B),由于A={1,2,3,5},B={2,4,6},故∁U(A∪B)={7,8},故选A.2.A sin(α+β)<⇔sin αcos β+cos αsin β<,故“sin α+sin β<”可以推得“sin αcos β+cos αsin β<”,反之不成立,故“sin α+sin β<”是“sin(α+β)<”的充分不要条件,故选A.3.C z===i(1+2i)=-2+i,=-2-i,故对应的点在第三象限,故选C.4.A 因为α∈(0,π)且cos α=-,所以sin α==,sin（-α）tan α=cos α·=sin α=.故选A.5.D 由题意得不同的选法有+=18+12=30种,故选D.6.C S=0,k=1,k>5 否S=1,k=k+1=2,k>5 否S=2×1+22=6,k=2+1=3,k>5 否S=2×6+9=21,k=3+1=4,k>5 否S=2×21+42=58,k=4+1=5,k>5 否S=2×58+52=141,k=k+1=5+1=6,k>5,是输出141,故选C.7.A 由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=ax+y为y=-ax+z,要使z=ax+y有最大值无最小值,则-a≥1,即a≤-1.所以a的取值范围是(-∞,-1].故选A.8.D 不妨设点P在渐近线y=x上,设P(y0,y0),又F1(0,-),F2(0,),由以F1F2为直径的圆经过点P,得·=(-y0,--y0)·(-y0,-y0)=3-6=0,解得y0=±,则点P到y轴的距离为|y0|=2.故选D.9.C 对于两非零向量,当|a+b|=|a|-|b|时,向量a与b共线,且a的模大于b的模,选C.10.A 由几何体的三视图得,该几何体是三棱锥S ABC,其中平面SAC⊥ABC,SA=AB=BC=SC=SB=2,AC=4,如图,所以SA⊥SC,AB⊥BC,所以该几何体的表面积为S=2(S△SAC+S△SAB)=2×（×2×2+×2×2×sin 60°）=8+4,故选A.11.D 法一因为{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b2 014=0×b2 013=0,所以b2 015=b2 014+3=3,所以b2 016=b2 015+3=6.故选D.法二因为{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3,所以b1=1,b2=4,b3=7,b4=0×b3=0,b5=b4+3=3,b6=b5+3=6,b7=0×b6=0,…,所以当n≥4时,{b n}是周期为3的周期数列,所以b2 016=b6=6.故选D.12.A ≤+1对于任意的x∈(1,+∞)恒成立,可转化为a2+2a+2≤+x在x∈(1,+∞)恒成立,只需求f(x)=+x的最小值.f′(x)=-+1=.可得x=3时,函数f(x)取得极小值即最小值.f(3)=5.所以a2+2a+2≤5,化为a2+2a-3≤0,即(a+3)(a-1)≤0,解得-3≤a≤1.因此a的最小值为-3.故选A.13.解析:由频率分布直方图可知,年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的人数的频率分别为0.3,0.35,0.2,0.15,所以年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]应抽取人数分别为6,7,4,3.若随机从年龄段[20,30)和[40,50)的参加培训工人中各抽取1人,则这两人培训结业考试成绩恰有一人优秀的概率为P=（1-）+（1-）=.答案:14.解析:由题意知A(-a,0),F(c,0),由|+|=|-|两边平方化简得·=0,又=(-a,-b),=(c,-b),则ac=b2=c2-a2,e2-e-1=0,且e>1,解得e=.答案:15.解析: 取AD的中点E,连接PE,△PAD中,PA=PD=AD=2,所以PE=,设ABCD的中心为O′,球心为O,则O′B=BD=,设O到平面ABCD的距离为d,球O的半径为R,则R2=d2+()2=22+(-d)2,所以d=,R2=,球O的表面积为S=4πR2=π.答案:π16.解析:因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的函数图象关于直线x=1对称, 因为f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)在(-∞,1)上为减函数,因为当x∈［,1］时,f(ax)<f(x-1)成立,所以|ax-1|<|1-(x-1)|在［,1］上恒成立,即x-2<ax-1<2-x在［,1］上恒成立,所以1-<a<-1在［,1］上恒成立.设m(x)=1-,n(x)=-1,x∈［,1］,m(x)的最大值为m(1)=0,n(x)的最小值为n(1)=2.所以0<a<2.答案:(0,2)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理.doc
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{|－1<<3}，B ＝{|2＋－2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由2＋－2>0，得<－2或>1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎨⎧ m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝1，故n －m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程2＋6＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程2＋6＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 99－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 99－2r，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为轴正半轴，终边在第二象限，A (，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3＋4y ＝0，即y ＝－34，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D. 6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f ()＝sin(ω＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为b ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛． 10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式32－y 2>0所表示的平面区域内一点P (，y )到直线y ＝3和直线y ＝－3的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式32－y 2>0⇒(3－y )(3＋y )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (，y )到直线y ＝3和直线y ＝－3的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴32－y 2＝3，即2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF ∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －1b －1＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________.解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174.答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2na n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[13n]1－3，S 2n ＝a 1×[132n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋1[103n 32n－9]23n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤103n－93n .因为10－(3)n－93n≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤103n－93n ≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n ＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a ＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n－m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选 D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233 B ． 3C.255D. 5解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a＝3b ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝2b 3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝9＋82×7×12＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos ∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a －1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b －1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sinB ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最大值是2(3＋1)．答案：2(3＋1)。
2019高考数学(理)二轮复习“12+4”小题提速练三
“12＋4”小题提速练(三)一、选择题1．(2019届高三·广东五校联考)复数z ＝3－i1－i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选C z ＝3－i1－i＝3－i 1＋i 1－i1＋i ＝4＋2i2＝2＋i. 2．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，所以a ≥2.选D.3．(2018·天津模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3，S 13－S 10＝36，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，S 13－S 10＝36，即a 13＋a 12＋a 11＝36，从而3a 12＝36，a 12＝12，由a 12＝a 3＋9d ，得d ＝1.故选A.4.(2018·洛阳尖子生统考)执行如图所示的程序框图，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为( )A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B 当m ＝209，n ＝121时，m 除以n 的余数r ＝88，此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数r ＝33，此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数r ＝22，此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数r ＝11，此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数r ＝0，此时m ＝11，n ＝0，退出循环，输出m 的值为11，故选B.5．(2018·武昌模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.112B ．94 C.92D ．3解析：选D 如图，三棱锥P ABC 为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S △ABC＝12×2×3＝3，点P 到平面ABC 的距离h ＝3，则V P ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×3×3＝3，故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y轴右侧的第一个最高点为⎝⎛⎭⎪⎫π6，3，第一个最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D 由题意得，A ＝3，设f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2π3－π6＝π2，所以T＝π，ω＝2.又函数f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.7．(2018·河北五个一名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ． 5 C.53D.43解析：选A 在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′，由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8，∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5，故选A.8．(2018·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132B ．116C ．32D ．64解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min＝1－2×3＝－5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.9．(2018·湖北八校第一次联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°.因为M 为BC 边的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)．易知AO ―→＝12AD ―→，所以AM ―→·AO ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)·AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14(|AB ―→|·|AD ―→|·cos∠BAD ＋|AC ―→|·|AD ―→|cos ∠CAD )＝14(|AB ―→|2＋|AC ―→|2)＝14(42＋22)＝5.故选D.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，所以|AB |＝x 1－x 22＋62＝10，解得|x 1－x 2|＝8.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，由f (2)＝0得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4，向右平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t －π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意，该函数图象关于y 轴对称，所以π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故t 的最小值为2，选B.11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n n ＋12个数．由于 2 016＝63×63＋12<2018<64×64＋12＝2 080，因此第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B.12．已知函数f (x )＝ln 2x x，若关于x 的不等式f 2(x )＋af (x )>0只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，ln 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，－13ln 6C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13ln 6，ln 2解析：选C 由f (x )＝ln 2x x得f ′(x )＝1－ln 2xx2，令f ′(x )＝1－ln 2x x 2＝0得，x ＝e 2，当0<x <e 2时，f ′(x )>0，当x >e2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上是减函数，所以x＝e 2时，f (x )取得极大值，也是最大值，为2e ，又x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，当0<x <e 2时，f (x )<2e 有且只有一个整数解1；当x >e2时，0<f (x )<2e 有无数个整数解．不等式f 2(x )＋af (x )>0可化为f (x )[f (x )＋a ]>0，当a ＝0时，不等式为f 2(x )>0，有无数个整数解，不满足条件；当a >0时，f (x )>0或f (x )<－a ，f (x )>0时，结合图象可知有无数个整数解，不满足条件；当a <0时，f (x )<0或f (x )>－a ，因为f (x )<0时没有整数解，所以f (x )>－a 有两个整数解．因为f (1)＝ln 2，f (2)＝ln 2，f (3)＝ln 63<ln 2，所以f (x )≥ln 2时，不等式有两个整数解1,2，当f (x )≥ln 63时，不等式有三个整数解1,2,3，所以要使f (x )>－a 有两个整数解，则ln 63≤－a <ln 2，即－ln 2<a ≤－ln 63，故选C.二、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 10－2r⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－23r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝409. 答案：40914．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (1，－2)是抛物线上的点．若存在斜率为－2的直线l 与抛物线C 有公共点，且点A 到直线l 的距离等于55，则直线l 的方程是________．解析：根据题意，得4＝2p ，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x得y 2＋2y －2t ＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由点A 到直线l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝55，解得t＝±1.因为t ≥－12，所以t ＝1，所以直线l 的方程为2x ＋y －1＝0.答案：2x ＋y －1＝015．(2018·云南调研)已知四棱锥P ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P ABCD 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4π3R 3＝500π81，R ＝53，正方形ABCD 的外接圆半径r ＝1，球心到平面ABCD 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532－12＝43，因此点P 到平面ABCD 的距离的最大值为h ＋R ＝43＋53＝3，因此四棱锥P ABCD 体积的最大值为13×(2)2×3＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)已知函数f (x )＝x n－xn ＋1(n ∈N *)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与y 轴的交点的纵坐标为b n ，则数列{b n }的前n 项和为________．解析：因为f ′(x )＝nxn －1－(n ＋1)x n ，所以f ′(2)＝n ×2n －1－(n ＋1)×2n，所以曲线y＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝[n ×2n －1－(n ＋1)×2n](x －2)，令x ＝0可得y ＝－2[n ×2n －1－(n ＋1)×2n ]＋f (2)＝－2[n ×2n －1－(n ＋1)×2n]＋2n－2n ＋1＝(n ＋1)×2n＝b n ，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)×2n，①2S n ＝2×22＋3×23＋…＋n ×2n ＋(n ＋1)×2n ＋1，②①－②得，－S n ＝2×21＋22＋…＋2n －(n ＋1)×2n ＋1＝2＋21－2n1－2－(n ＋1)×2n ＋1＝2＋2(2n－1)－(n ＋1)×2n ＋1＝2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋1＝－n ×2n ＋1，所以S n ＝n ×2n ＋1.答案：n ×2n ＋1。
2019高考数学二轮复习“12+4”小题提速练二理(含答案)
“12＋4”小题提速练(二)一、选择题1．(2018·成都一模)设集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x 2＋x －2>0}，则A ∩B ＝( ) A ．(2,3) B ．(1,3)C ．(－∞，－2)∪(1,3)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选B 由x 2＋x －2>0，得x <－2或x >1，即B ＝(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以A ∩B ＝(1,3)，故选B.2．(2018·洛阳模拟)若m ＋i ＝(1＋2i)·n i(m ，n ∈R ，i 是虚数单位)，则n －m 等于( ) A ．3 B ．2 C ．0D ．－1解析：选A 由m ＋i ＝(1＋2i)·n i ＝－2n ＋n i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2n ，1＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝1，故n －m ＝1－(－2)＝3，故选A.3．(2018·洛阳尖子生统考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2解析：选B 因为等比数列{a n }中a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.4．(2018·广州模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 9的展开式中x 3的系数为( )A ．－212B ．－92C.92D.212解析：选A 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为⎝ ⎛⎭⎪⎫－123C 39＝－18×9×8×73×2×1＝－212，选A.5．(2018·潍坊模拟)已知角α的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴正半轴，终边在第二象限，A (x ，y )是其终边上一点，向量m ＝(3,4)，若m ⊥OA ―→，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．－17C ．－7D.17解析：选D 由m ⊥OA ―→，得3x ＋4y ＝0，即y ＝－34x ，所以tan α＝－34，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝17，选D.6．(2018·成都二模)执行如图所示的程序框图，输出的结果是()A ．13B ．14C ．15D ．17解析：选C 程序在运行过程中a 的值变化如下：a ＝1；a ＝2×1＋1＝3，不满足a >10；a ＝2×3＋1＝7，不满足a >10；a ＝2×7＋1＝15，满足a >10.于是输出的a ＝15，故选C.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝0，则ω取最小值时，φ的值为( )A.π6 B ．π3C.2π3D.5π6解析：选D 由7π12－π3＝π4≥14×2πω，解得ω≥2，故ω的最小值为2，此时sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，又0<φ<π，所以φ＝5π6.8．(2018·武昌模拟)已知点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，PF ⊥x 轴(其中F 为双曲线的右焦点)，点P 到该双曲线的两条渐近线的距离之比为13，则该双曲线的离心率为( )A.233B ． 3解析：选A 由题意知F (c,0)，由PF ⊥x 轴，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，双曲线渐近线的方程为bx ±ay ＝0，由题意，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c －a ·b 2a a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ·c ＋a ·b 2a a 2＋b 2＝13，解得c ＝2b ，又c 2＝a 2＋b 2，所以a＝3b ，所以双曲线的离心率e＝ca＝2b3b＝233，故选A.9．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示(单位：尺)，问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有(取整数)( )A ．410斛B ．420斛C ．430斛D ．441斛9＋82×7×12＝解析：选D 粮仓的形状为一个如图所示的直四棱柱，其体积为V ＝714(立方尺)，又7141.62≈441，所以可以储存粟米约为441斛．10．(2018·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1―→＝(－c －m ，－n )，PF 2―→＝(c －m ，－n )，则PF 1―→·PF 2―→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1―→·PF 2―→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 即2≤e ≤2，故选B.11．(2018·武汉调研)已知不等式3x 2－y 2>0所表示的平面区域内一点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的垂线段分别为PA ，PB ，若△PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是( )A ．(2,0)B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)解析：选A 不等式3x 2－y 2>0⇒(3x －y )(3x ＋y )>0⇒⎩⎨⎧3x －y >0，3x ＋y >0或⎩⎨⎧3x －y <0，3x ＋y <0，其表示的平面区域如图中阴影部分所示．点P (x ，y )到直线y ＝3x 和直线y ＝－3x 的距离分别为|PA |＝|3x －y |3＋1＝|3x －y |2，|PB |＝|3x ＋y |3＋1＝|3x ＋y |2，∵∠AOB ＝120°，∴∠APB ＝60°，∴S △PAB ＝12×|PA |×|PB |sin 60°＝34×3x 2－y 24，又S △PAB ＝3316，∴34×3x 2－y 24＝3316， ∴3x 2－y 2＝3，即x 2－y 23＝1，∴P 点轨迹是双曲线，其焦点为(±2,0)，故选A.12．(2018·陕师大附中模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2,2)，平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ∈[1，a ]，μ∈[1，b ])的点P (x ，y )组成．若区域D 的面积为8，则a ＋b 的最小值为( )A.32 B ．2 C ．4D ．8解析：选C 如图所示，延长AB 到点N ，延长AC 到点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC ，作NG ∥AM ，MG ∥AN ，CH ∥AN 且交NG 于点H ，BF ∥AM 且交MG 于点F ，BF 交CH 于点E ，则四边形ABEC ，ANGM ，EHGF 均为平行四边形．由题意知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分(包括边界)．因为AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，所以cos∠CAB ＝AC ―→·AB ―→|AC ―→||AB ―→|＝610×10＝35，所以sin ∠CAB ＝45.由|AB ―→|＝10，|AC ―→|＝10，可得EH ＝BN ＝AN －AB ＝10(a－1)，EF ＝CM ＝AM －AC ＝10(b －1)．又区域D 的面积为8，所以10(a －1)×10(b －1)×45＝8，即(a －1)(b－1)＝1.由题知a >1，b >1，所以a ＋b ＝(a －1)＋(b －1)＋2≥2a －b －＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时不等式取等号．故a ＋b 的最小值为4.故选C.二、填空题13．(2018·长郡中学模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，m ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，14，且a ·b ＝1，则|b |＝________. 解析：依题意得a ·b ＝3m 4＋m4＝m ＝1，|b |＝m 2＋116＝174. 答案：17414．(2018·福州模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝12.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.答案：75°15．(2018·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3.答案： 316．在数列{a n }中，首项不为零，且a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2，S n 为数列{a n }的前n 项和．令T n ＝10S n －S 2n a n ＋1，n ∈N *，则T n 的最大值为________．解析：依题意得a n ＝a 1×(3)n －1，又a 1≠0，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，所以S n ＝a 1×[1－3n]1－3，S 2n ＝a 1×[1－32n]1－3，T n ＝10S n －S 2na n ＋1＝3＋3n－32n－9]3n＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n.因为10－(3)n－93n ≤10－23n×93n ＝4，T n ＝3＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－3n－93n≤ 3＋12×4＝2(3＋1)，当且仅当(3)n＝93n，即n ＝2时取等号，因此T n 的最答案：2(3＋1)。
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“12＋4”小题提速练(三)一、选择题1．(2019届高三·广东五校联考)复数z ＝3－i1－i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 解析：选C z ＝3－i1－i＝－＋－＋＝4＋2i 2＝2＋i.2．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选D 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，所以a ≥2.选D.3．(2018·天津模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝3，S 13－S 10＝36，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．－1 C ．－2D ．2解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，S 13－S 10＝36，即a 13＋a 12＋a 11＝36，从而3a 12＝36，a 12＝12，由a 12＝a 3＋9d ，得d ＝1.故选A.4.(2018·洛阳尖子生统考)执行如图所示的程序框图，若输入m ＝209，n ＝121，则输出的m 的值为( )A ．0B ．11C ．22D ．88解析：选B 当m ＝209，n ＝121时，m 除以n 的余数r ＝88，此时m ＝121，n ＝88，m 除以n 的余数r ＝33，此时m ＝88，n ＝33，m 除以n 的余数r ＝22，此时m ＝33，n ＝22，m 除以n 的余数r ＝11，此时m ＝22，n ＝11，m 除以n 的余数r ＝0，此时m ＝11，n ＝0，退出循环，输出m 的值为11，故选B.5．(2018·武昌模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.112B ．94 C.92D ．3解析：选D 如图，三棱锥P ABC 为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，S △ABC ＝12×2×3＝3，点P 到平面ABC 的距离h ＝3，则V P ABC ＝13S △ABC ·h ＝13×3×3＝3，故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝⎛⎭⎪⎫π6，3，第一个最低点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 解析：选D 由题意得，A ＝3，设f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2π3－π6＝π2，所以T ＝π，ω＝2.又函数f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.7．(2018·河北五个一名校联考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5B ． 5 C.53D.43解析：选A 在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，故c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′，由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，又|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8，∴|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，∴a ＝1，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5，故选A.8．(2018·开封模拟)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋2y ＋2≥0，x ≤1，则z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y的最大值是( )A.132B ．116C ．32D ．64解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u ＝x －2y ，5，此时z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12由图知，当u ＝x －2y 经过点A (1,3)时取得最小值，即u min ＝1－2×3＝－x －2y取得最大值，即z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，故选C.9．(2018·湖北八校第一次联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，延长AO 交圆O 于点D ，连接BD ，CD ，则∠ABD ＝∠ACD ＝90°.因为M 为BC 边的中点，所以AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)．易知AO ―→＝12AD ―→，所以AM ―→·AO ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)·AD ―→＝14(AB ―→·AD ―→＋AC ―→·AD ―→)＝14(|AB ―→|·|AD ―→|·cos∠BAD ＋|AC―→|·|AD ―→|cos ∠CAD )＝14(|AB ―→|2＋|AC ―→|2)＝14(42＋22)＝5.故选D.10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t >0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，所以|AB |＝x 1－x 22＋62＝10，解得|x 1－x 2|＝8.所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，由f (2)＝0得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4，故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4，向右平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －t －π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意，该函数图象关于y 轴对称，所以π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故t 的最小值为2，选B.11．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去，得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个红色子数列中，由1开始的第2 018个数是( )A ．3 971B ．3 972C ．3 973D ．3 974解析：选B 由题意可知，第1组有1个数，第2组有2个数……根据等差数列的前n 项和公式，可知前n 组共有n n ＋2个数．由于2 016＝＋2<2 018<＋2＝2 080，因此第2 018个数是第64组的第2个数．由于第1组最后一个数是1，第2组最后一个数是4，第3组最后一个数是9，……，第n 组最后一个数是n 2，因此第63组最后一个数为632,632＝3 969，第64组为偶数组，其第1个数为3 970，第2个数为3 972.故选B.12．已知函数f (x )＝ln 2x x，若关于x 的不等式f 2(x )＋af (x )>0只有两个整数解，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，ln 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 2，－13ln 6C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－ln 2，－13ln 6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13ln 6，ln 2解析：选C 由f (x )＝ln 2x x得f ′(x )＝1－ln 2xx2，令f ′(x )＝1－ln 2xx2＝0得，x在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 2上是增＝e 2，当0<x <e 2时，f ′(x )>0，当x >e2时，f ′(x )<0，所以函数f (x )函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2，＋∞上是减函数，所以x ＝e 2时，f (x )取得极大值，也是最大值，为2e，又x →0时，f (x )→－∞，当x →＋∞时，f (x )→0，作出函数f (x )的大致图象如图所示，当0<x <e 2时，f (x )<2e 有且只有一个整数解1；当x >e 2时，0<f (x )<2e 有无数个整数解．不等式f 2(x )＋af (x )>0可化为f (x )[f (x )＋a ]>0，当a ＝0时，不等式为f 2(x )>0，有无数个整数解，不满足条件；当a >0时，f (x )>0或f (x )<－a ，f (x )>0时，结合图象可知有无数个整数解，不满足条件；当a <0时，f (x )<0或f (x )>－a ，因为f (x )<0时没有整数解，所以f (x )>－a 有两个整数解．因为f (1)＝ln 2，f (2)＝ln 2，f (3)＝ln 63<ln 2，所以f (x )≥ln 2时，不等式有两个整数解1,2，当f (x )≥ln 63时，不等式有三个整数解1,2,3，所以要使f (x )>－a 有两个整数解，则ln 63≤－a <ln 2，即－ln 2<a ≤－ln 63，故选C.二、填空题13．二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x 10－2r⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x r ＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－23r ·x 10－3r ，令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝409. 答案：40914．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (1，－2)是抛物线上的点．若存在斜率为－2的直线l 与抛物线C 有公共点，且点A 到直线l 的距离等于55，则直线l 的方程是________． 解析：根据题意，得4＝2p ，得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .设直线l 的方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0，因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由点A 到直线l 的距离d ＝55，可得|－t |5＝55，解得t ＝±1.因为t ≥－12，所以t ＝1，所以直线l 的方程为2x ＋y －1＝0.答案：2x ＋y －1＝015．(2018·云南调研)已知四棱锥P ABCD 的所有顶点都在体积为500π81的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，则四棱锥P ABCD 体积的最大值为________．解析：依题意，设球的半径为R ，则有4π3R 3＝500π81，R ＝53，正方形ABCD 的外接圆半径r ＝1，球心到平面ABCD 的距离h ＝R 2－r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532－12＝43，因此点P 到平面ABCD 的距离的最大值为h ＋R ＝43＋53＝3，因此四棱锥P ABCD 体积的最大值为13×(2)2×3＝2.答案：216．(2018·贵州模拟)已知函数f (x )＝x n－xn ＋1(n ∈N *)，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线与y 轴的交点的纵坐标为b n ，则数列{b n }的前n 项和为________．解析：因为f ′(x )＝nxn －1－(n ＋1)x n ，所以f ′(2)＝n ×2n －1－(n ＋1)×2n，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －f (2)＝[n ×2n －1－(n ＋1)×2n](x －2)，令x ＝0可得y ＝－2[n ×2n －1－(n ＋1)×2n]＋f (2)＝－2[n ×2n －1－(n ＋1)×2n]＋2n－2n ＋1＝(n ＋1)×2n＝b n ，设数列{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝2×21＋3×22＋…＋(n ＋1)×2n，①2S n ＝2×22＋3×23＋…＋n ×2n ＋(n ＋1)×2n ＋1，②①－②得，－S n ＝2×21＋22＋…＋2n －(n ＋1)×2n ＋1＝2＋－2n1－2－(n ＋1)×2n ＋1＝2＋2(2n －1)－(n ＋1)×2n ＋1＝2n＋1－(n ＋1)×2n ＋1＝－n ×2n ＋1，所以S n ＝n ×2n ＋1.答案：n ×2n ＋1。