人教版·数学Ⅰ_§2.2.1对数的运算性质.doc
2.2.1对数的运算性质及换底公式
2.2.1对数的运算性质及换底公式一、学习目标1.理解并掌握对数的运算性质2.能灵活准确地运用对数的运算性质进行对数式的化简与计算3.了解对数恒等式以及换底公式,并会用换底公式进行一些简单的化简与证明二、预习导学1.对数的两个运算性质=)(log MN a =NM a log 其中0,0,1,0>>≠>N M a a 2.对数的换底公式一般地,=N a log ,其中 1,1,0,0,0≠≠>>>c a N c a 且这个公式称为对数的换底公式.三、预习自测1.求值()06.0lg 61lg )2(lg )1000lg 8(lg 5lg 123++++ 5lg 2lg 3)5(lg )2)(lg 2(33++()3log 2333558log 932log 2log 23-+-2.求值 (1)91log 81log 251log 532⋅⋅ (2))3log 9log 3(log 32log2524215325+∙∙∙++⋅3.已知z y x ,,均为正数,且z y x 643==,求证:yx z 2111=-四、课堂练习1.已知===5lg 3log ,5log 83则n m _________2.求值()=+-)223(log 12________3.已知()()10000112.0,10002.11==b a ,求ba 11- 五、归纳反思1.本课时的重点是对数的运算性质,包括两个运算性质及换底公式2.掌握运算性质的关键在于准确记忆公式,常见的错误:N M N M a a a log log )(log ⋅=+3.对数换底公式的灵活应用是解决对数计算,化简问题的重要基础,学习与解题过程中一定要熟记由换底公式推导出的一些常用结论六、巩固提高1.若0,,,1,0>∈∈≠>xy R y R x a a 且且,则下列各式中错误的是 ( )(1)x x a a log 2log 2= (2) x x a a log 2log 2= (3)y x xy a a a log log log += (4) y x xy a a a log log log +=A(2)(4) B(1)(3) C(1)(4) D(2)(3) 2.若210lg lg ,lg ,lg ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==y x n y m x 则的值等于 ( ) A 2221--n m B 1221--n m C 1221+-n m D 2221+-n m 3.若21log log 9log 7log 44923=⋅⋅a 则a=_______ 4.已知()93lg )3lg(33=-b a 则ba =_______________ 5.求值:421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++6.已知310log log ,1=+>>a b b a b a ,求a b b a log log -7.已知y x y x y x lg lg 2lg )lg()lg(++=++-,求y x 的值.2.2.1对数的运算性质及换底公式答案:课堂练习：1.mn mn313+ 2.-2 3.1巩固提高：1.B 2.D 3.22 4.1000 5.25 6.38- 7.2。
人教版高中数学必修一对数与对数运算对数及对数的性质课件PPT
讲授新课
1.对数的定义： 一般地，如果ax=N ( a > 0 , 且a ≠ 1 )
那么数x叫做以a为底N的对数，记作: 其中a叫做对数的底数, N叫做真数.
注意：限制条件是a > 0 , 且a ≠ 1
填写学案，题1
讲授新课
练习1：将下列指数式写成对数式：
① 52 = 25
（2）log
1 a
=
0
即：1的．对数是0
（3）log
a a
=
1
即：底数的对数是1
（4）对数恒等式：aloga N = N
（5）对数恒等式：loga an = n
巩固练习
1、指数式b2 = a(b 0,且b 1)相应的对数式是（D）
A log2a = b B log2 b = a
C logab=2
解：(1)64
-
2 3
=
(43
)
-
2 3
= 4-2 =
1
(4) ln e2 = -x
16
1
1
1
e-x = e2
(2)x6 = 8所以x = 86 = (23 )6 = 22 = 2 - x = 2
(3)10 x = 100所以x = 2
x = -2
讲授新课 4.对数的性质 探究活动 1、试求下列各式的值：
。
简记作
。如 loge 9 简记为 ln 9.
填写学案，题4
例题分析
例1．将下列指数式写成对数式：
(1) 54 = 625
(2)
e-6
=
1
b
(3) 10 a = 27 (4) ( 1 )m = 5.73
2.2.1对数的运算
[题后反思] 1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化
是解题的关键．
2．注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用．
新知探究
题型探究
感悟提升
课堂达标 1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义) A．logax· logay＝loga(x＋y) B．(logax)n＝nlogax logax n C. n ＝loga x logax D. ＝logax－logay logay ( )．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； 2 3 lg 3＋ lg 9＋ lg 27－lg 5 5 (2) lg 81－lg 27 3 .
解：(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5) ＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2· lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)· lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1.
新知探究
题型探究
感悟提升
方法技巧
巧用辅助量化指数式为对数式
对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系， 对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求
值．如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易
于沟通指对数间的关系，简化求解过程．
1 1 1 【示例】 已知2 ＝3 ＝6 ，证明 z ＝x＋y 或x＝y＝z.
感悟提升
4 ． (2013· 日 照高一检测 ) 计 算 ________． 解析 答案
1 2 3log3 ＋ lg － lg 2
5 的 结果是
原式＝3log32－ lg 2－ lg 5＝3log32－ 1 3log32－ 1
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算课件 新人教A版必修1 (2)
解：(1)方法一：
原式＝12(lg
25－lg
72)－43lg
3
22
＋lg(72×5)
1 2
＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5
＝12(lg 2＋lg 5)＝12.
方法二：
原式＝lg472－lg 4＋lg 7 5
第二章 基本初等函数 第2课时 对数的运算
1．理解并掌握对数恒等式的推导与应用．(难点、易错点) 2．理解并掌握对数的运算性质，并能运用运算性质进行 对数的有关运算．(重点) 3．掌握换底公式，能用换底公式将一般对数化成自然对 数或常用对数．(难点)
1．对数恒等式 alogaN＝__N_.(a＞0，且a≠1) 2．对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
1．求值： (1)10lg 2＝________. (2)31＋log3 4＝________. (3)22log25－1＝________. (4)13log34－2＝________.
解析：(1)10lg 2＝2.
(2)31＋log3 4＝3×3 log3 4＝3×4＝12.
(3)22log25－1＝2lo2g 252＝522＝225.
3．对数运算性质的两个注意点 (1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数 为正”，即 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.若去掉此条件，性质不一 定成立，如 log3－ －83≠log3(－8)－log3(－3)． (2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下： ①logaM＋logaN＝loga(MN)(a＞0，a≠1，M＞0，N＞0)，如 lg 2＋l公式：
底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则． 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处 理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于 真数化简的原则进行． (2)两种常用方法． ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．
2019-2020学年高中数学(人教A版必修一)教师用书：第2章 2.2.1 第2课时 对数的运算 Word版含解析
第2课时对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1 对数的运算性质阅读教材P64至P65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(M·N)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝nlog a M__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )(2)log a xy＝log a x·log a y.( )(3)log a(－2)3＝3log a(－2)．( )【解析】(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知log a xy＝log a x＋log a y；(3)×.公式log a M n＝n log a M(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题． 对数换底公式：log a b ＝logcblogca (a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c ≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．计算：log 29·log 34＝________.【解析】 由换底公式可得log 29·log 34＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4. 【答案】4[小组合作型](1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; 【导学号：97030098】 (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2；(3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72； (4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53.【精彩点拨】 当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】 (1)法一 原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二 原式＝lg 14－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝ ⎛⎭⎪⎫732×18＝lg 1＝0.(2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝错误!＝错误!＝错误!.(3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532 ＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.【解】 (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【精彩点拨】 由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．【自主解答】 设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫34t＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)．解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lgE －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)，得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9. 同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E1E2＝6，则E1E2＝106＝1 000 000，即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．[探究共研型]探究1 假设log25log23＝x ，则log 25＝xlog 23，即log 25＝log 23x ，从而有3x ＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】 进一步可以得到x ＝log 35，即log 35＝log25log23.探究2 由探究1，你能猜测logcblogca 与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】 logcb logca ＝log a b .假设logcblogca ＝x ，则log c b ＝xlog c a ，即log c b ＝log c a x ，所以b ＝a x ，则x ＝log a b ，所以logcblogca ＝log a b.(1)已知log 1227＝a ，求log 616的值；(2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【导学号：02962014】【精彩点拨】 各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值． 【自主解答】 (1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a1＋3－a 2a＝错误!. (2)法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log253＋log225log24＋log25log28·log 52＋log54log525＋log58log5125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋2log252log22＋log253log22log 52＋2log522log55＋3log523log55＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log22log25＝13.法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13lg 53lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 2lg 5＝13. 法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log25＋log25＋13log25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n m log a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________.【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】 161．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( ) ①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |； ③log a (xy )＝log a x ＋log a y ； ④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |. A ．②④ B ．①③ C ．①④D ．②③【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B . 【答案】 B2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于( ) A ．lg 2 B ．lg 3 C ．lg 4D ．lg 5【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3．(2016·宝鸡高一检测)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示) 【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n . 【答案】 m ＋2n4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________. 【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2. 【答案】 25．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645. 【导学号：97030099】 【解】 法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ， 于是log 3645＝log1845log1836＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!. 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5， 即log 185＝b .于是log 3645＝错误!＝错误!＝错误!.法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log 3645＝lg 45lg 36＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.。
对数与对数运算教案-人教版高中数学必修一第二章2.2.1 第二课时
第二章基本初等函数（Ⅰ）2.2 对数函数2.2.1.对数与对数运算第二课时对数运算1 教学目标1.1 知识与技能：[1]掌握对数的运算性质，能正确地利用对数的运算性质进行对数运算；[2]掌握对数换底公式的运用 .能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数。
[3]对数及其运算性质的综合应用1.2过程与方法：[1]通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．1.3 情感态度与价值观：[1]通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .[2]在学习过程中培养学生探究的意识.[3]让学生理解运算法则之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]重点：对数式运算性质及时推导过程；[2]对数换底公式。
[3]对数及其运算性质的综合应用2.2 教学难点[1]难点：对数运算性质的发现过程及其证明；[2]对数换底公式的证明和应用。
3 专家建议启发学生从对数运算性质入手，了解对数在数学史上的重要作用，了解对数对大数运算的简化作用，降低运算的数量级，掌握一定量的对数计算基本模型，在熟练运用对数运算性质的基础上以对数的思维模式去考虑和处理问题，加深对于运算性质和换底公式的理解和运用，掌握对数运算的特殊性，为下一节学习对数函数打好基础.高考中对数的考查方式一般以选择题或填空题的形式出现。
4 教学方法实验探究——归纳总结——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
从今天我们开始进入新一节内容的学习：对数与对数运算。
【板书】2.2.1.对数与对数运算第二课时【师】我们知道了对数的基本定义和性质,请认真回忆一下!【板书或投影】对数基本知识点1、对数的定义b N a =log其中 ),1()1,0(+∞∈ a 与 ),0(+∞∈N （负数与零没有对数）；b ∈（文字表述:N 为正数，a 为非1正数，b 为任意实数）两类特殊对数：（1）常用对数：以10为底，记作lgN ．(2)自然对数：以无理数e=2.71828……为底,记作lnN ．2、三组互化式)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且lg 10b N N b =⇔=ln b N N e b =⇔=3、两个恒值（1） 01log =a （2） 1log =a a4、两个嵌套式（迭代式）（1）对数恒等式N a N a =log（2）)10( log ≠>=a a b a b a 且5．指数运算法则,(R n m a a a n m n m ∈=⋅+),()(R n m a a mn n m ∈=)()(R n b a ab n n n ∈⋅=【生】对数定义式是......,指数式与对数式的转化......,对数恒等式,自然对数、常用对数【师】注意每个字母的取值X 围:底数，10≠>a a 且，真数N>0;再回忆一下指数运算的几个式子【板书或投影】)10( log ≠>=⇔=a a b N N a a b 且指数的运算性质n m n m a a a +=⋅; n m n m a a a -=÷mn n m a a =)( ; m nm na a = 6.2 新知介绍[1] 对数的运算性质【师】下面请同学们自行推导对数的运算性质！（5 分钟）【板演/PPT 】教师演示对数运算性质三式的证明。
高中数学人教版必修1课件：2.2.1 第二课时 对数的运算
lg 125 lg 25 lg 法二：原式＝ lg 2 ＋ lg 4 ＋lg
5 lg 2 lg 4 lg 8 · ＋ 8 lg 5 lg 25＋lg 125
3lg 5 2lg 5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 13lg 5 3lg 2 ＝13. ＝ ＋ ＋ · ＋ ＋ ＝ 3lg 2 · lg 2 2lg 2 3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5 lg 5 (2)因为log189＝a,18b＝5，所以log185＝b，于是 log189＋log185 a＋b log1845 log189×5 法一：log3645＝ ＝ ＝ ＝ . log1836 182 2log1818－log189 2－a log18 9 lg 9 法二：因为 ＝log189＝a，所以lg 9＝alg 18， lg 18 同理得lg 5＝blg 18， lg 9＋lg 5 alg 18＋blg 18 a＋b lg 45 lg9×5 所以log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . lg 36 182 2lg 18－lg 9 2lg 18－alg 18 2－a lg 9
提示：能．令am＝M，an＝N， ∴MN＝am n.
＋
由对数的定义知logaM＝m，logaN＝n，loga(MN) ＝m＋n， ∴loga(MN)＝logaM＋logaN.
[导入新知] 对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M· N)＝ logaM＋logaN ， M (2)loga N ＝ logaM－logaN ， (3)logaMn＝ nlogaM (n∈R)．
[类题通法] 解对数方程的方法 根据目前的知识我们只能求解两种简单的对数方程： (1)等号两边为底数相同的对数式，则真数相等； (2)化简后得到关于简单对数式(形如lg x)的一元二次方程， 再由对数式与指数式的互化解得x. [注意] 大于零． 在解方程时，需检验得到的x是否满足所有真数都
高中数学人教版A版必修一课件：第二章 《基本初等函数》 2.2.1 第2课时 对数的运算
25 25 32 25 5 32 ＝lg 2.故选 A． × 解析 lg 16－2lg 9＋lg 81＝lg16÷ 81 81
答案
A
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示是(
)
A．a－2
C．3a－(1＋a)2 答案 A
B．5a－2
D．3a－a2
课前预习
课堂互动
课堂反馈
规律方法 利用对数式与指数式互化求值的方法 (1) 在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定
义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关
系，进行正确的相互转化． (2) 对于连等式可令其等于 k(k>0) ，然后将指数式用对数式 表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从 而使问题得解．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
知识点2 换底公式 logcb logca log b＝__________ (a>0，且 a≠1；c>0，且 c≠1；b>0)．
a
课前预习
课堂互动
课堂反馈
【预习评价】 (1)log35·log56·log69＝________. (2)若log34×log48×log8m＝log416，则m＝________.
3－a ∴lg 2＝ 2a lg 3. 3－a 4× 2a 43－a lg 16 4lg 2 ∴log616＝ lg 6 ＝ ＝ ＝ . lg 2＋lg 3 3－a 3＋a 1＋ 2a
课前预习
课堂互动
课堂反馈
(2)法一 原式＝
log225 log25 log54 log58 3 log25 ＋ · log52＋ ＋ ＋ log24 log28 log525 log5125 2log25 log25 2log52 3log52 ＝3log25＋2log 2＋3log 2log52＋2log 5＋3log 5 2 2 5 5 1 log22 ＝ 3＋1＋3 log25· (3log52)＝13log25· log25＝13.
人教版高中数学必修1：2.2.1《对数》课件【精品课件】
20
例2
求下列各式的值：
(1) log2（47×25）；
(2) lg5
31log3 2
100
；
(3) log318 -log32 ；
(4)
3
1 log 3 2
.
21
例3 计算：
2 log 5 2 log 5 3 1 1 log 5 10 log 5 0.36 log 5 8 2 3
对数与对数运算
第二课时
对数的运算
13
问题提出
1.对数源于指数，对数与指数是怎样互 化的？
2.指数与对数都是一种运算，而且它们 互为逆运算，指数运算有一系列性质， 那么对数运算有那些性质呢？
14
15
知识探究（一）：积与商的对数
思考1:求下列三个对数的值：log232， log24 ， log28．你能发现这三个对数之 间有哪些内在联系？ 思考2:将log232＝log24十log28推广到一 般情形有什么结论？
48
思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的 位置关系？由此说明对数函数 y log a x x 的图象与指数函数 y a 的图象有怎样 的位置关系？ y Q P o x
49
思考4:一般地，对数函数的图象可分为 几类？其大致形状如何？ y 0 <a <1 y a >1
1 0 1 x 1 0 1
(5) lg0.01=－２;
化为指数式：
3
(6) ln10＝2.303.
10
2
例2.求下列各式中ｘ的值：
2 (1)log64x＝ ; (2) logx8＝6 ; 3
(3)lg100=x;
(4)－lne2＝ｘ .
§2.2.1对数与对数运算
第二章基本初等函数(I)2.2.1 对数与对数运算本节教学分析 （1）三维目标知识与技能 理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能．过程与方法 通过实例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化．通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质．通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一．情感态度与价值观 培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识． （2）教学重点 1.对数的概念；2.对数式与指数式的相互转化． （3）教学难点对数性质的推导 （4）教学建议大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感，通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼．因此，学生已具备了探索、发现、研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法．学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会．为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动，本节课可利用多媒体辅助教学，引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性．在教学重难点上，步步设问、启发学生的思维，通过课堂练习、探究活动、学生讨论的方式来加深理解，很好地突破难点和提高教学效率，让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
新课导入设计导入一 思考：（P 62思考题）13 1.01xy =⨯中，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……，该如何解决？即：1820301.01, 1.01, 1.01,131313x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.导入二 1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？ （得到：41()2＝？，1()2x ＝0.125⇒x =?）2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？ （ 得到：(18%)x +=2⇒x =? ）问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由1.01x m =求x 。
「精品」人教A版数学必修一2.2.1对数与对数运算-精品课件
2.2.1│ 考点类析
同理 b＝53.所以ab＝5.
2.2.1│ 考点类析
考点三 对数运算性质的应用 重点探究型 例 3 (1)计算 log2 478＋log212－12log242＝_－__12_____．
[解析] 原式＝log2
478×12－log2
42＝log24 73×12×
1 7×
6＝log22
－12＝－12.
2.2.1│ 考点类析
[解析]
(2)①x＝2－12＝
1＝ 2
22；②x2＝25，因为
x>0，所
以 x＝5；
③x2＝52，得 x＝±5；④lg x＝5，x＝105＝100 000.
(3)由 log3[log4(log5a)]＝0，得 log4(log5a)＝1，所以 log5a ＝4，所以 a＝54.
[导入二] (1)根据上一节的例 8 我们能从 y＝13×1.01x 中算出任意
一个 x(经过的年份)的人口总数，可不可以算出哪一年人口数 低于 13 亿？
(2)那么哪一年的人口达到 18 亿？ 师生共同讨论：(1)由指数函数性质知，a>1，x>0，有 1.01x>1，所以 y＝13×1.01x>13. (2)人口数达到 18 亿时，y＝18，所以有1183＝1.01x. 在以上这两个式子中，能求出 x 的范围或值吗？ 今天我们学习对数与对数运算．
2.2.1│ 重点难点 重点难点
[重点] 对数式与指数式的互化及对数的性质． [难点] 利用对数式的有关性质求值．
2.2.1│ 教学建议
教学建议
对于对数概念的引入的教学，建议教师先让学生阅读教材中的实 例，体会数学概念源于生活，再复习指数式，引入对数概念，便于学 生接受．
高中数学 2.2.1第2课时 对数的运算 新人教A版必修1
C．2
D．4
【解析】 log29·log34＝llgg 92·llgg 43＝2llgg23·2llgg32＝4.
【答案】 D
4.lloogg2293＝________． 【解析】 lloogg2293＝log39＝log332＝2. 【答案】 2
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问 题记录在下面的表格中
自 主 学 习
易
误
• 第2课时 对数的运算
警 示
· 基 础 知 识
• [学习目标]
·
规
范
1. 理 解 对 数 的 运 算 性
指 导
质．(重点)2.知道用换底公式能将一般对数
合
作 探
转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运 课
究
时
· 重
用运算性质进行一些简单的化简与证明(易
作 业
难
疑 点
混点)．
• 一、对数的运算性质
方法
2：因为
log189＝a，即lg
2lg 3 2＋2lg
3＝a，
所以 lg 2＝2（1－aa）lg 3，
又
18b＝5，即
b＝lg
lg 5 2＋2lg
， 3
所以 lg 5＝2ablg 3， 所以 log3645＝2llgg52＋＋22llgg33＝4（12a－ ab＋a）2 ＋2＝a2＋ －ba.
• logab＝______(a＞0，且a≠1；c＞0， 且c≠1，b＞0)． 1
• 特别地：logab·log＝__(a＞0，a≠1，b＞0， b≠1)．
• 1．判断：(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)积 、商的对数可以化为对数的和 、
差• (4(．)2由)(l换og底a(公x)式y)可＝得lolgogaaxb·＝lollooggga（（y－－.22(））ba.(
178.高一数学人教A版必修一精品教案：2.2.1对数的运算性质 Word版含答案
课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：一、引入课题1． 对数的定义：b N N a a b =⇔=log ；2． 对数恒等式：b a N a b a N a ==log ,log ；二、新课教学1．对数的运算性质提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a(log ·)N ． （学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．3． 换底公式ab bc c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）；○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =； （2）ab b a log 1log =． 设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．4． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
人教版·数学Ⅰ_§2.2.1对数的运算性质 (2)
课题：§2.2.1对数的运算性质教学目的：（1）理解对数的运算性质；（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．教学过程：一、 引入课题1． 对数的定义：b N N a a b =⇔=log ；2． 对数恒等式：b a N ab a N a ==log ,log ； 二、新课教学 1．对数的运算性质 提出问题：根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：○1 设m a =2log ，n a=3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a(log ·)N ．（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）运算性质： 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M alog ＋N a log ； ○2 =NM a log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M alog )(R n ∈． （引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）学生活动：○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．○2 完成教材Ｐ79练习1~3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法．思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解1318log 01.1的值？从而引入换底公式．3． 换底公式 ab bc c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动 ○1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）；○3 利用换底公式推导下面的结论（1）b m n b a n a m log log =； （2）ab b a log 1log =． 设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．4． 课堂练习○1 教材Ｐ79练习4 ○2 已知的值。
2.2.1对数与对数运算
2.2.1对数与对数运算一.对数的概念:1.对数的概念：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的x 次幂等于N ,就是a x =N ，那么数 X 叫做以a 为底 N 的对数，记作X=log a N ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．例如：1642= ⇔ 216log 4=； 100102=⇔2100log 10=；2421= ⇔212log 4=； 01.0102=-⇔201.0log 10-=． 2．对数的性质：（1)是不是所有的实数都有对数？X=log a N 中的N 可以取哪些值？负数与零没有对数（∵在指数式中 N ＞ 0 ）(2)根据对数的定义以及对数与指数的关系，=1log a ？ =a a log ？⑶对数恒等式如果把 a x =N 中的 X 写成 N a log , 则有 N a N a =log ．⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数．为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN ．例如：5log 10简记作lg5； 5.3log 10简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN ．例如：3log e 简记作ln3； 10log e 简记作ln10．（6）底数的取值范围),1()1,0(+∞ ；真数的取值范围),0(+∞．二．对数的运算：1.基本性质：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，N ＞0，则（1）N a N a =log（2）log a a b =b2.对数的运算性质：如果 a ＞ 0，a ≠ 1，M ＞ 0， N ＞ 0 那么：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+= 证明：①设a log M =p , a log N =q ． 由对数的定义可以得：M =p a ，N =qa ．∴MN = p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ， 即证得a log MN =a log M + a log N ．②设a log M =p ，a log N =q ． 由对数的定义可以得M =p a ，N =q a ． ∴q p q p a aa N M -== ∴q p N M a -=log 即证得N M N M a a a log log log -=． ③设a log M =P 由对数定义可以得M =p a ,∴n M ＝np a ∴a log n M =np ， 即证得a log n M =n a log M ． 例：计算：(1);50lg 2lg )5(lg 2⋅+ (2) ;25log 20lg 100+(3) .18lg 7lg 37lg 214lg -+- 注意：①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如110log 2log 5log 101010==+． ③真数的取值范围必须是),0(+∞： )5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=-- 是不成立的． ④对公式容易错误记忆，要特别注意： N M MN a a a log log )(log ⋅≠，N M N M a a a log log )(log ±≠±三．对数的换底公式：1.对数换底公式： a N N m m a log log log =( a ＞0 ,a ≠ 1 ，m ＞0 ,m ≠ 1,N ＞0)． 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ．② b mn b a n a m log log =（a ,b ＞0且均不为1）． 四．例题讲解：例1 ，已知a =9log 18，518=b .45log 36求 练：1. 已知 a =3log 2， b =7log 3, 用 a , b 表示56log 42． 解：因为2log 3 = a ，则2log 13=a , 又∵3log 7 = b , ∴1312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab . 2. 求值.25log 20lg 100+例2．设16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，求m 的值．。
对数的概念与运算性质
课题：2.2.1对数与对数运算一、教学内容解析本节课是人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中第二章第二节内容，属于单元教学课。
之前学生已经学习了指数的相关内容，对于数的研究思路也有了一定的了解，对数是在指数基础上定义的一种新数，所以这节课既是对指数的概念、运算性质、指数函数的深化与理解，又为学习对数函数打下基础。
同时也为今后复数的学习提供了研究思路与方法。
对数与对数运算主要内容包括：对数的概念、对数的运算性质、换底公式，如何将三块内容融合到一节课中，意味要抓住这一节的核心知识，舍弃细枝末节，要从整体上去研究这节课。
具体体现为借助已有经验，从“研究一个代数对象”的“基本套路”出发，发现和提出对数的研究内容，构建研究路径，得出结论，并用于解决问题。
让学生完整经历“现实背景——定义——性质——运算性质”过程，学生在整体框架下自主探究，合作学习。
基于上述分析，将本节课的教学重点确定为：对数的概念、性质与运算性质。
二、教学目标设置1．经历对数概念的形成过程，掌握对数的概念；2．从研究一个数的“基本套路”出发，能够将指数中相关的性质和运算性质转化为对数的性质和运算性质；3．知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；4．感受转化与化归、数形结合、类比、从特殊到一般的数学思想，提升学生的数学抽象，数学运算素养。
三、学生学情分析知识结构上学生已经学习了指数与指数幂运算，指数函数，经历过研究一种新数的基本套路，这为学生研究“对数与对数运算”提供了理论基础与探究方向。
能力水平上，学生已经具备一定的抽象概括能力以及类比，转化和分析问题的能力，可是如何使学生将已有的知识成功迁移到新知识的学习上，自主探究获得对数的运算性质，从而提高发现问题，探索问题和解决问题的能力，实现学习方式的转变，这是本节课需要突破的。
本节课的难点是：对数概念的理解，对数运算性质的探究与证明。
四、教学策略分析本节课始终从学生最近发展区设置问题，遵循自主探究，合作交流的学习方式，充分发挥学生的主观能动性，在探究活动中培养学生的数学素养。
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课题：§2.2.1对数的运算性质
教学目的：（1）理解对数的运算性质；
（2）知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；
（3）通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用． 教学重点：对数的运算性质，用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数 教学难点：对数的运算性质和换底公式的熟练运用．
教学过程：
一、 引入课题
1． 对数的定义：b N N a a b =⇔=log ；
2． 对数恒等式：b a N a
b a N a ==log ,log ； 二、
新课教学 1．对数的运算性质 提出问题：
根据对数的定义及对数与指数的关系解答下列问题：
○1 设m a =2log ，n a
=3log ，求n m a +； ○2 设m M a =log ，n N a =log ，试利用m 、n 表示M a
(log ·)N ．
（学生独立思考完成解答，教师组织学生讨论评析，进行归纳总结概括得出对数的运算性质１，并引导学生仿此推导其余运算性质）
运算性质：
（引导学生用自然语言叙述上面的三个运算性质）
学生活动：
○1 阅读教材Ｐ75例3、4，；
设计意图：在应用过程中进一步理解和掌握对数的运算性质．
○
2 完成教材Ｐ79练习1~
3 设计意图：在练习中反馈学生对对数运算性质掌握的情况，巩固所学知识．
2． 利用科学计算器求常用对数和自然对数的值
设计意图：学会利用计算器、计算机求常用对数值和自然对数值的方法． 思考：对于本小节开始的问题中，可否利用计算器求解13
18log 01
.1的值？从而引入换底公式．
3． 换底公式 a
b b
c c a log log log =
（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 学生活动 ○
1 根据对数的定义推导对数的换底公式． 设计意图：了解换底公式的推导过程与思想方法，深刻理解指数与对数的关系．
○2 思考完成教材P 76问题（即本小节开始提出的问题）；
○
3 利用换底公式推导下面的结论
（1）b m n b a n a m log log =； （2）a
b b a log 1log =． 设计意图：进一步体会并熟练掌握换底公式的应用．
说明：利用换底公式解题时常常换成常用对数，但有时还要根据具体题目确定底数．
4． 课堂练习
○
1 教材Ｐ79练习4 ○
2 已知的值。
试求：12lg ,4771.03lg ,3010.02lg ==
○3 试求：5lg 5lg 2lg 2lg 2
+⋅+的值。
（对换5与2，再试一试）
○4 的值。
，试求：333335lg 2lg 35lg 2lg b a ab b a ++⋅++=+
○5 设a =2lg ,b =3lg ，试用a 、b 表示12log 5 三、 归纳小结，强化思想
本节主要学习了对数的运算性质和换底公式的推导与应用，在教学中应用多给学生创造尝试、思考、交流、讨论、表达的机会，更应注重渗透转化的思想方法．
四、 作业布置
1． 基础题：教材P 86习题2．2（A 组） 第3 ~5、11题；
2． 提高题：
○1 设a =3log 8,b =5log 3
，试用a 、b 表示5lg ； ○2 设a =7log 14,514=b
，试用a 、b 表示28log 35； ○3 设a 、b 、c 为正数，且c b a 643==，求证：b
a c 2111=-． 3． 课外思考题：
设正整数a 、b 、c （a ≤b ≤c ）和实数x 、y 、z 、ω满足：
ω30===z y x c b a ，ω
1111=++z y x ， 求a 、b 、c 的值．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂； 幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼
成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。