-初中数学竞赛专题培训(2)：因式分解(2)
初中数学竞赛教程16、因式分解(2)
2013年暑期初一数学竞赛第十六讲：因式分解（2）一. 内容提要分解因式，其常用的方法有：提取公因式，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，双十字相乘法，拆（添）项法，待定系数法和换元法等等．常用公式除课本上的几个公式以外，大家还应熟悉以下的公式（结论）：a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3；a3±b3=（a±b）（a2ab+b2）；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2；a4+4=（a2+2a+2）（a2-2a+2）．a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）；二. 热身练习1．已知三个整数a、b、c的和为奇数，那么a2+b2－c2+2ab（）．A．一定是非零偶数 B．等于零C．一定是奇数 D．可能是奇数，也可能是偶数2．关于x、y的方程x2y=180的正整数解有（）．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组3．方程2x2－3xy－2y2=98的正整数解有（）．A．3组 B．2组 C．1组 D．0组4．化简：2222000199819971997 19982000199820014+--⨯-= ．5．已知实数a、b、x、y满足a+b=x+y=2，•ax+by=5，则（a2+b2）xy+ab（x2+y2）的值为_______．三. 例题分析例1．分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12例2．k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分成两个一次因式的积？例3．分解因式2x3-13x2+25x-14．例4．因式分解：①x 3－11x+20 ② a 5+a+1例5．已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。
例6．证明：若4x y -是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则810322x xy y +-是49的倍数。
因式分解(竞赛培训资料)
因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项多式的因式分解。
因式分解是整数质因数分解的发展，实质是多项式乘法的逆运算。
它是多项式的一种重要的变化方法，是解决许多数学问题的有力工具。
在几何、三角等解题与证明中扮演着重要角色，因式分解方法灵活，技巧性强，有利于培养学生的解题技能，发展学生思维能力。
它主要包括以下几个方面的内容：（1） 因式分解的对象是多项式，无论是被分解式还是分解后的每个因式都必须是多项式或单项式。
（2） 因式分解的过程是多项式的恒等变形，每一步都必须保持前后两式相等。
（3） 要注意因式分解的范围是在实数范围几因式分解，还是在有理数范围内因式分解。
（4） 因式分解的结果都是整式的乘积的形式，每一个多项式都要在规定范围内分解到不能再分解为止。
主要方法：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法等。
重要公式及结论：()3223333b ab b a a b a ±+±=± ()()3322b a b ab a b a ±=+±()bcac ab c b a c b a 2222222+++++=++()()()()c a c b b a c b a c b a +++-++=++33333 ()()()b x a x ab x b a x ++=+++2()()122321-----+++++-=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为正整数）()()122321------+-+-+=-n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为偶数）()()122321-----+--+-+=+n n n n n n n b ab b a b a a b a b a （n 为奇数）待定系数法因式分解的依据是： n n n n n n n n n n b a b a b a b x b x b x b a x a x a x a ===⇔++++=++++----,,,110011101110 因式定理：如果多项式()001110≠++++--a a x a x a x a n n n n 当a x =时，它的值为0，那么它有因式a x -。
初中培优竞赛 第4讲 因式分解
7.
(2 、 3) （数学、初中数学竞赛、因式分解、解答题）
若x 3 +3x2 − 3x + k 有一个因式是 x + 1, 求 k 的值 分析：因为x 3 +3x2 − 3x + k有一个因式是x + 1，那么我们分组分解，保证每一个组里都含 有因式x + 1. 详解： x 3 +3x2 − 3x + k = x 3 + x 2 +2x2 + 2x − 5x − 5 + 5 + k = x 2 x + 1 + 2x x + 1 = (x + 1)(x2 + 2x − 5) + (k + 5). 所 以 k = −5. 技巧：原式有一个因式，那么我们保证含有未知数的几组中都含有这个因式，得解.
2 3 n 2
= =
n 2n2 + 3n + 1 2
n(n+1)(2n+1) 2
.因
因为 n， n+l 是连续自然数，必有一个是偶数，所以 N 一定是整数 . (2) 当n = 3k（k 是自然数）时，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 1（k 是自然数）时， 2n + 1 = 3(2k + 1)，N 是 3 的倍数；当n = 3k + 2（k 是自然数）时， n + 1 = 3(k + 1)，N 是 3 倍 数. 综上所述，对任何自然数 n ， N 都是 3 的倍数 . 技巧：我们把原式因式分解，再分情况讨论，能很简便解题.
答案：B 技巧：此题我们可以先移项，再通过合并同类项从而因式分解，然后根据题意分析. 易错点：得到结果后，x、y 的结果可以互换，所以答案不能为 A.
八年级数学(竞赛)因式分解
第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。
因式分解(竞赛题)含答案
因式分解一、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头.甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了.”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃.二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、反思总结。
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数学竞赛中的因式分解问题市郊中心学校 李英1 引言因式分解是指把一个多项式分解为几个整式的积的形式，即和差化积.它是中学数学中最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用，学习它，既可以复习整式四则运算，又为学习分式打好了基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力.分解因式与整式乘法互为逆变形.因式分解的应用较为广泛，可应用于多项式除法、高次方程的求根以及分式的运算.因式分解在中学数学里占有十分重要的地位，它是学习其他知识的一座桥梁，在分式的运算中，它是通分和约分的基础知识；在解高次方程与不等式时，它又是一种重要的解法；在数的运算中，它是进行简便运算的重要方法；在代数式与三角式的恒等变形中，它又是一种重要的手段；它对整式的运算也起到巩固的作用；它是整式乘法的逆变形，对学生的逆向思维能力、观察能力的培养也起着积极的作用.在各类数学竞赛中，它是命题的热点.2 数学竞赛中常见的因式分解方法2.1 分组分解法[1]当多项式的项数较多时，可将多项式进行合理分组，然后再直接提公因式或运用公式进行因式分解.例如：要把多项式am an bm bn +++分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，再把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到()()a mn b m n +++,又可以提出公因式()m n +，从而得到()()a b m n ++ .例1分解因式2222224y x 565x 24y 30y y y x x x --+-++-（全国“希望杯”数学竞赛题）分析 本题如是按照一般的分组分解方法难以进行，若将它整理成x 或y 的二次三项式再分组，问题就变得简单了.解 原式=()()()22224545645x y y x y y y x -++-+--+=()()22456y x y x -++-=()()()23245x x y y +--+2.2 待定系数法[2]待定系数法是解决代数式恒等变形中的重要方法,如果能确定代数式变形后的字母框架,只是字母的系数高不能确定,则可先用未知数表示字母系数,然后根据多项式的恒等性质列出n 个含有特殊确定系数的方程(组)，解出这个方程(组)求出待定系数，从而把多项式因式分解.待定系数法是数学常用方法，用途十分广泛.2.2.1用待定系数法解题的依据用待定系数法解题的依据主要是多项式恒等定理：（1） 多项式()()x g x f ≡的充要条件是两个多项式的同类项的系数对应相等.（2） 如果()()x g x f ≡，则对于任意一个值a ,都有()()a g a f ≡.2.2.2用待定系数法解题的一般步骤（1）用适当的待定系数表示问题的一般形式.（2）根据多项式恒等定理列出方程（组）.（3）解方程（组），确定待定系数的值.2.2.3待定系数法在数学竞赛中的应用例2分解因式：226136xy x y y x +-++-（第十届缙云杯初二数学竞赛） 解 由于原式是二元二次式，且只可能分解成两个二元一次式之积，考虑到226xy y x +-=()()y x y x 23-+ 故可设226136xy x y y x +-++-=()()b y x a y x +-++23=226xy y x +-()()32a b x b a y ab +++-+比较恒等式两边同类项系数，得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+613231ab a b b a ②由于①、②解得,3,2=-=b a 代入③，适合.所以，226136xy x y y x +-++-=()()3223+--+y x y x说明 高次多项式的因式分解一般较难，如果能判定它含有某些因式后再分解就相对容易些.所以，在分解高次式之前，我们可以用因式定理“如果(),0=a f 则()x f 必含有因式a x =”来寻找()x f 的因式.例3 分解因式：()()()876321⨯⨯-+++x x x （1987，四川省初中数学竞赛） 解 设()=x f ()()()876321⨯⨯-+++x x x显然，().05=f由因式定理知()x f 有因式().5-x所以可设()()()⨯⨯-+++76321x x x 8= ()5-x ()b ax x ++2取,1-=x 得()b a +--=⨯⨯-16876；取,2-=x 得=⨯⨯-876().247b a +--解得.66,11==b a说明（1）有几个独立的待定系数，就必须列出几个独立的方程.当方程个数多余未知数的个数时，可选择其中适当的方程求解，而把多余的方程作检验用，当解得的未知数适合所有方程时，这些未知数的值即为所求.（2）在设多项式可能的分解形式时，应充分利用已知条件和多项式的有关性质，尽量减少待定系数的个数，这样可减少方程个数，降低解方程组的难度.（3）当分解后的可能形式不止一种而又不能确定哪一种正确时，就要逐个试探.在试探过程中，如能充分利用已知信息和解题经验，则可减少探索过程，少走弯路.2.3 换元法[3]换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并引入一个新的字母变量替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．达到简化原式结构的目的.有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来.种方法对于某些特殊的多项式因式分解可以起到简化的效果.换元法是一种重要的数学方法.注意:换元后勿忘还元.例4 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+71328123y x xy y x xy 的解是=x =y (第十一届‘五羊杯’初中数学竞赛题)分析 如果把已知方程两边都取倒数，那么可得,732,823=+=+xyy x xy y x 即,732,823=+=+xy x y 这就可以用换元法来解这个方程组.解 设,1,1v yu x == 则原方程可化为⎩⎨⎧=+=+732823u v v u 解这个方程组得⎩⎨⎧==21v u.21,1==∴y x2.4 十字相乘法[4]2.4.1q px x ++2的因式分解由乘法公式知:()()()2x a x b x a b x ab ++=+++令,,ab q b a p =+=则有q px x ++2=()()b x a x ++凡是如q px x ++2的形式的二次三项式，如果可以分解成两个一次因式，那么每个因式有两个项，它们的第一项都是x ，第二项a 和b 可以由一次项的系数p 和常数项q 确定.（1）确定a 和b 的符号：①如果q 是正数，p 也是正数，那么a 和b 都是正数；②如果q 是正数，p 是负数，那么a 和b 都是负数；③如果q 是负数，p 是正数，a 、b 中绝对值大的是正，小的是负； ④如果q 是负数，p 也是负数，a 、b 中绝对值大的是负，小的是正；（2）确定a 和b 的绝对值，可以先把q 得绝对值分解成所有可能的一对因数的积，然后看：①如果a 、b 同号的话，哪一对因数的和等于p 的绝对值，那么这一对因数就是a 和b 的绝对值；②如果a 、b 异号的话，哪一对因数的差等于p 的绝对值，那么这一对因数就是a 和b 的绝对值；2.4.2 n mx lx ++2的因式分解由乘法可以得到关于x 的两个二项式b ax +和d cx +相乘的结果：()()()bd x bc ad acx d cx b ax +++=++2.如果令,,,bd n bc ad m ac l =+==得公式：n mx lx ++2=()()d cx b ax ++. 具体步骤：（1）把l 分解成两个正因数a 和c （如果l 是负数，可以先提出公因式-1，这样括号里2x 项的系数就是正数3），把a 、c 分成上下行写在左列.（2）把n 的绝对值分解成两个因数b 和d ，分上下行写在右列.（3）交叉相乘，得到两个积ad 和bc 的值，如下式：（4）如果n 是正数，那么ad 和bc 的绝对值的和必须等于m 的绝对值才适合，如果n 是负数，那么ad 和bc 的绝对值的差必须等于m 才合适.（5）确定ad 和bc 的符号，而ad 的符号就是d 的符号，bc 的符号就是b 的符号.把符号补到竖式里去，最后把确定了的a 、b 、c 、d 分别填入两个因式()b ax +和()d cx +中去.例5 已知方程()222238213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数）至少有一整数根，那么a =分析 考虑到151322+-a a =()()325--a a 且十字相乘之积的和正好等于一次项系数a a 832+-.解 原方程用十字相乘法对左端分解因式得()()523ax a ax a ----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，,32,5121ax a x -=-=∴ 要使1x 或2x 是整数，只要a =1， 3，5.答：a 可取1， 3，5.2.4.3 双十字相乘法[5]在分解二次三项式时，十字相乘法是常用的方法，对于比较复杂的多项式，尤其是二次六项式，也可以运用十字相乘法分解因式，其具体步骤为：（1）用十字相乘法分解由前三次组成的二次三项式，得到一个十字相乘图.（2）把常数项分解成两个因式填在第二个十字的右边且使这个两个因式在第二个十字中交叉之积等于原式中含y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和等于原式中含x 的一次项.例6 分解因式224522-+++-y x y xy x .解 这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解，如下图：所以，原式=()()124--+-y x y x .2.5 对称式的因式分解[6]2.5.1对称多项式如果对换多项式()n x x x f ,...,,21的任意两个字母的位置，多项式恒不变，那么()n x x x f ,...,,21叫做n 元对称多项式.例如()333231321,.,x x x x x x f ++=，()221221323121,x x x x x x x x f +++=分别为三元，二元对称多项式，并且都是三次齐次式.三次齐次对称式的标准形为()()Cxyz x z x z yz z y xy y x B z y x A +++++++++22222223332.5.2对称式的因式分解根据对称多项式的特点和因式定理，可利用待定系数法对它进行因式分解. 例：分解因式Q =()()()()3333z y x y x z x z y z y x -+--+--+-++解：由于交换x 、y 、z 之中的任意两个字母，原多项式不变，所以原式为对称式.设0x =，那么有()()()()33330.y z y z z y y z +-+----=由因式定理可知，Q 含有因式x ，又Q 是关于x 、y 、z 的对称式，所以它还有因式y 和z .又由于Q 是三次式，xyz 也是三次式，所以Q =A xyz （A ≠0），A 是待定系数. 确定A 的值，有两种方法：（1） 因为Q =A xyz 是恒等式，所以只要任取x 、y 、z 的一组值，就可以确定A 的值. 设x =1，y =-1， z =1，左边=-24，右边=-A ；∴A =24，即Q =24xyz .（2）因为Q =A xyz 是恒等式，所以只要求出Q 的展开式中xyz 的系数，就是A的值.()3z y x ++的展开式中，xyz 的系数是6，其余三个式子的展开式中xyz 的系数是-6，所以Q 的展开式中xyz 的系数是24，即A =24.3 因式分解在数学竞赛中的应用因式分解是初中代数中重要的一中恒等变形，其特点是把和差化积的形式.作为一种数学方法，它在解题中的应用较广，有些问题，若能恰当使用，可使解题过程显得简捷明了，收到事半功倍的效果.3.1 用于计算[7]例7 计算：19961995199519931995219952323-+-⨯-（北京市中学生数学竞赛初二赛题） 解 原式=()()2219952199319951995119961995--+-=()()22199311995199611995-- =19961993 例8 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22221011411311211 （天津市初二数学竞赛题） 解 原式=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-10111011411411311311211211 =101110991098454334322321⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =20113.2 用于求值[7]例9 若n 为正整数，且4216100n n -+是质数，那么n = （希望杯初二数学竞赛试题）解 原式=()4221610036n n n -+- =()2223610n n -+ =()()22610610n n n n ++-+ 因为()()22610610n n n n ++>-+， 所以()2610n n -+=1， 所以()230n -=，所以3n =.例10 已知：0=+bd ac ，则()()2222b a cd d c ab +++得值等于 （武汉市初中数学竞赛初二试题）解 原式 =2222cdb cda abd abc +++=()()bd ac ad bd ac bc +++=()()ac bd bc ad ++0=+bd ac ∴原式=03.3 用于解决有关方程问题[7]例11 若方程2214,28,xy y xy x y x ++=++=，则x y +的值为 （TI 杯全国初中数学竞赛试题）解 把两个方程左右两边分别相加得：22242,xy x y y x ++++=移项并整理得：()()2420x y x y +++-=方程左边因式分解得：()()670x y x y +-++=所以，7,6-=+=+y x y x 或.例12 已知方程()()22221120x y x y +-+-=，则y x 、的平方和是 （孝感市英才杯初中数学竞赛试题） 解 原方程变形得，()()01222222=-+-+y x y x ，()()2222340x y x y ∴+++-= 0322>++y x ，0422=-+∴y x ，∴422=+y x3.4 用于二次根的化简[7]例13 化简2356101528-+--+的结果是 （山东省初中数学竞赛试题） 解 原式=()()235352352-++-+==35+例14 化简=+++--+2115141021151410 （武汉、重庆市初中数学竞赛题）解 原式=()()()()753752753752++++-+= =3232+- =562-3.5 用于判断整除问题[8]例15 多项式1261x x -+除以21x -的余式是 （1993，全国初中数学竞赛）解 设商式为()x g .因为除式是二次式，则余式最多是一次式，故可设1261x x -+=()()21g x ax b x -++取,1=x 得b a +=1，取,1-=x 得b a +-=1.解得1,0==b a .所以，余式是1.例16 知多项式1323+++bx ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x ，那么()b a -的值是 （第五届河南省初二数学竞赛）解 据多项式恒等式，得()()32231131x ax bx x x +++=++.取1=x 得84=++b a .取1-=x 得42-=--b a .解得3,1==b a .()()113-=-=-∴b a .3.6 用于确定大小关系[9]例17 知c b a >>，a c c b b a M 222++=，222ca bc ab N ++=，则M 与N 的大小关系是 （第十三届“希望杯”初二）解 为c b a >>，所以N M -=()()()22222b c a c b a b c bc -+-+-=()c b -()ab ac bc a --+2=()c b -()()0a c a b -->所以M N >.3.7 用于解不定方程[9]例18 足不等式2003200320032003=+--+xy y x y x y x 的正整数对()y x ,的个数是 2 (2003年全国初中数学联赛试题)解 m =n =,k =2003,则222n m km kn mnk m n k +--+=，所以()()20m n mn k mn m n k ++--+=，()()0k mn k m n -++=.因为0k m n ++>，所以0k mn -=，即=2003xy .由x 、y 都是正整数且2003是质数，易求x 与y 的值.3.8 其他应用[9]例19 个指教三角形的边长都是整数，它的面积与周长的数值相等，试确定这个直角三角形的三边的长.（2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛试题）解 两直角边分别为a 、b ，斜边为a bc >，由于a 、b 、c 全是正整数，所以b a ≠.依题意有++b a 22b a +=2ab . 移项，平方，整理得0242222=+--ab ab b a b a ， 因为ab 0≠，两边同除以abc ，得024=+--b a ab ， 可化为()()4281844⨯=⨯==--b a .因为a 、b 都为正整数，a b >，则⎩⎨⎧=-=-1484b a 或 ⎩⎨⎧=-=-2444b a 分别得a =12，b =5，c =13或a =8，b =6，c =10.答：三边长为12、5、13或8、6、10.例20 甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元;若购甲4件，乙10件，丙1件，共需4.20元.现购甲、乙、丙各一件，共需多少元？（1985，全国初中数学竞赛）解 购甲1件需x 元，乙一件需y 元，丙一件需z 元，则购甲、乙、丙各一件需()z y x ++元.由已知条件得：15.373=++z y x20.4104=++z y x设z y x ++()()z y x b z y x a +++++=10473()()()z b a y b a x b a +++++=10743比较等式两边同类项系数，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+11107143b a b a b a解得3=a ，2-=b .05.120.4215.33=⨯-⨯=++∴z y x .。
测试卷2：因式分解的方法二—换元法参考答案
因式分解的方法二——换元法参考答案知识要点：换元法是数学中的一种重要方法，在解题和证明中常常起到桥梁作用。
用换元法分解因式，是把题目中的某一部分或某几部分看成一个整体，设为一个或几个新的变元，从而使代数式的结果简单化，便于分解。
A 卷一、填空题1、分解因式：()()_______________122122=-++++x x x x .2、分解因式：()()()()_______________157531=+++++x x x x .3、（重庆市竞赛题）分解因式：()____________________199911999199922=---x x .4、（第12届“五羊杯”初二试题）分解因式：()()()_____________22333=-----y x y x . 5、（“TI 杯”初中竞赛题）若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 .二、选择题6、当1=-y x 时，42233433y xy y x y x xy x ++---的值为（ ）A 、1-B 、0C 、2D 、17、（武汉市选拔赛）若133=-x x ，则199973129234+--+x x x x 的值等于（ ）A 、1999B 、2001C 、2003D 、20058、要使()()()()m x x x x +--+-8431为完全平方式，则m 为（ ）A 、12B 、24C 、196D 、200B 卷一、填空题9、化简：()()()_______________111120022=++++++++x x x x x x x .11、（2005年第16届“希望杯”初二年级竞赛题）在有理数范围内分解因式： ()()()()________________________________________63212=+++++x x x x x二、解答题12、分解因式：（2）()13322132222-+-+-x x x x 解原式()()13211132222---+-=x x x x令y x x =-322，则原式()11112--+=y y y y 92-=()9-=y y()()9323222---=x x x x ()()()32332+--=x x x x（3）()()()91729522---+a a a （湖北省黄冈市竞赛题）解原式()()()()91723352---++=a a a a()()[]()()[]91723352---++=a a a a()()9121215222-----=a a a a 令y a a =-22，则原式()()912115---=y y224362+-=y y()()828--=y y()()8228222----=a a a a()()()827242--+-=a a a a （4）()()42424101314x x x x x ++++-（第13届“五羊杯”竞赛题）解：设y x =+14，则原式()()4221034x x y x y ++-=44221012x x y x y +--=4222x y x y --=()()222x y x y +-=()()1122424+++-=x x x x()()[]2222211x x x -+-=()()()1112222-+++-=x x x x x （5）()()()2121231-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+++y x y x xy xy xy （天津市竞赛题） 解：设a y x =+，b xy =，则 原式()()()2121231--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=a a b b b ()2212a b b -++=()()a b a b -+++=11()()y x xy y x xy --++++=11()()()()1111--++=y x y x （6）()()()3331252332y x y x y x ---+-（第13届“五羊杯”竞赛题） 解原式()()()[]33352332y x y x y x ---+-= ()()()()[]33323322332y x y x y x y x -+---+-= 设a y x =-32，b y x =-23，则原式()333b a b a +-+= ()b a ab +-=3()()()y x y x y x 5523323----=()()()y x y x y x 233215----=C 卷一、解答题13、（安徽省竞赛试题）证明：12000199919981997+⨯⨯⨯是一个整数的平方，并求出这个整数。
初中数学竞赛专题培训(2)：因式分解(2)
初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；=(x-5y+3)(x-3y-1) =(x-1)(x-y+3) (3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．=(3x-2y+2z)(x-3y-z)2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；=(x-3)(x^2+4x+2) =(x+2)(x-2)(x^2+3x+1)(3)4x4+4x3-9x2-x+2．=(x-1)(2x+1)(2x-1)(x+2)3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．= (2x-3y+4)(x+3y+5) =(x^2+3)(x^2+5x-3)。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题
初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2 =(x2-xy+y2)2．。
因式分解(竞赛题)含答案
因式分解一、导入：有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。
甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。
”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头!启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。
二、知识点回顾：1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；解 (1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．※※变式练习1分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，所以说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例3 分解因式：x3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．※※变式练习1分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解 (1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明 (4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例4 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．※※变式练习1.分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x 的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．※※变式练习1. 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：所以，原式有因式9x2-3x-2．解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．所以原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．※※变式练习1.分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，所以有由bd=7，先考虑b=1，d=7有所以原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．四、巩固练习：1. 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．五、反思总结。
九年级数学竞赛资料专题(二)——因式分解的9种方法
因式分解的多种方法----知识延伸，向竞赛过度1、提取公因式：这种方法比较常规、简单，必须掌握。
常用的公式：完全平方公式、平方差公式 例一：0322=-x x解：()032=-x x ，01=x ，232=x 这是一类利用因式分解的方程。
总结：要发现一个规律：当一个方程有一个解a x =时，该式分解后必有一个()a x -因式,这对我们后面的学习有帮助。
2、公式法常用的公式：完全平方公式、平方差公式。
注意：使用公式法前，部分题目先提取公因式。
3、十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。
注意：它不难。
这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数1a ，2a 的积21a a ⋅，把常数项c 分解成两个因数1c ，2c 的积21c c ⋅，并使1221c a c a +正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例二： 把3722+-x x 分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况：经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式()02≠++a c bx ax ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把1a ，2a ，1c ，2c ，排列如下：1a 1c╳2a 2c1221c a c a +按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式c bx ax ++2的一次项系数b ，即1221c a c a +b =，那么二次三项式就可以分解为两个因式11c x a +与22c x a +之积，即 c bx ax ++2()()2211c x a c x a ++=这种方法要多实验，多做，多练。
因式分解的应用（初中数学竞赛资料）
因式分解的应用（初中数学竞赛资料）因式分解的应用因式分解是中学代数中的一种重要的变形，它与整式、分式联系极为密切，分式运算、解方程以及一些恒等变换，都经常用到因式分解。
它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，它还是一种重要的数学思想方法，在今后的数学学习中应用很广。
下面，向同学们介绍一些因式分解的初步应用。
一、利用因式分解判断整除性例1 2n－1和2n+1表示两个连续的奇数(n是整数)，证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．证明(2n＋1)2－(2n－1)2=(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)=4n·2=8n∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．例2 x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．证明因式分解，得原式=(x+y+z)(x2+y2+z2－xy－yz－zx)，∴x3+y3+z3－3xyz能被(x+y+z)整除．例3 设4x－y为3的倍数，求证：4x2+7xy－2y2能被9整除．证明∵4x2+7xy－2y2=(4x－y)(x+2y)，又∵ x+2y=4x－y－3x+3y=(4x－y)－3(x－y)．∴原式＝(4x－y)［(4x－y)－3(x－y)］＝(4x－y)2－3(4x－y)(x－y) ∵4x－y为3的倍数∴4x2+7xy－2y2能被9整除例4设实数a<b<c<="" p="">A. x<y<z< p="">B. y<z<x< p="">C. z<x<y< p="">D. 不能确定解：∵a<b<c<d，< p="">∴x－y=(a＋b)(c＋d)－(a＋c)(b＋d)=ac＋bd－ab－cd=(a－d)(c －b)<0，即；x<y。
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初中数学竞赛专题——因式分解多式的因式分解是代数式恒等形的基本形式之一，它被广泛地用于初等数学之中，是我解决多数学的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性，学些方法与技巧，不是掌握因式分解内容所必需的，而且于培养学生的解技能，展学生的思能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介了提取公因式法、运用公式法、分分解法和十字相乘法．本及下一在中学数学教材基上，因式分解的方法、技巧和用作一步的介．1．运用公式法在整式的乘、除中，我学若干个乘法公式，将其反向使用，即因式分解中常用的公式，例如：(1)a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2)a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；(3)a 3 3 2 2 +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4)a 3 3 2 2 -b =(a -b)(a +ab+b ) ．下面再充几个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a -b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3b2+⋯ +ab n-2 +b n-1 ) 其中 n 正整数；(8)a n n n-1 n-2b+an-3 2 n-2n-1) ，其中 n 偶数；-b =(a+b)(a -a b -⋯ +ab -b(9)a n+b n=(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b2 -⋯ -ab n-2+b n-1) ，其中 n 奇数．运用公式法分解因式，要根据多式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地公式．例 1 分解因式：(1)-2x5n-1 y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1 y n+4；(2)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca -2ab；7 5 2 2 57(4)a -a b +a b -b ．解(1) 原式 =-2x n-1 y n(x 4n-2x2ny2+y4)=-2x n-1 y n[(x 2n) 2 -2x 2ny2+(y 2) 2]=-2x n-1 y n(x 2n-y2) 2n-1 nn 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式 =x3+( -2y) 3+( -z) 3-3x( -2y)( - Z)=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz -2yz) ．(3) 原式 =(a 2 -2ab+b 2)+( -2bc+2ca)+c 21＝(a -b) 2+2c(a -b)+c 2=(a -b+c) 2．本小可以稍加形，直接使用公式(5) ，解法如下：原式 =a2+( - b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式 =(a 7 5 2 2 5 7 -a b )+(a b -b )=a 5(a 2-b2)+b 5(a 2-b2) =(a 2-b2)(a 5+b5)=(a+b)(a4 3 2 2 3 4 - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )2 43 2 2 3 4=(a+b) (a - b)(a - a b+a b -ab +b )例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc．本上就是用因式分解的方法明前面出的公式(6) ．分析我已知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，将此公式形3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．个式也是一个常用的公式，本就借助于它来推．3 3解原式 =(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= ［ (a+b)3+c 3］ -3ab(a+b+c)=(a+b+c) ［ (a+b) 2 -c(a+b)+c 2] -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc -ca) ．明公式 (6) 是一个用极广的公式，用它可以推出很多有用的，例如：我将公式 (6) 形3 3 3a +b +c -3abc3 3 3；当 a+b+c＞ 0 3 3 3 3 3 3然，当 a+b+c=0 ， a +b +c =3abc ， a +b +c -3abc ≥ 0，即 a +b +c ≥3abc，而且，当且当 a=b=c ，等号成立．如果令x=a3≥ 0， y=b3≥ 0， z=c3≥ 0，有等号成立的充要条件是 x=y=z ．也是一个常用的．例 3 分解因式： x15 +x14+x13+⋯+x2+x+1．2分析个多式的特点是：有 16 ，从最高次 x15开始， x 的次数次减至 0，由此想到用公式 a n -b n 来分解．解因x16-1=(x -1)(x 15+x14+x 13+⋯ x2+x+1) ，所以明在本的分解程中，用到先乘以(x -1) ，再除以 (x -1) 的技巧，一技巧在等式形中很常用．2．拆、添法因式分解是多式乘法的逆运算．在多式乘法运算，整理、化常将几个同合并一，或将两个符号相反的同相互抵消零．在某些多式分解因式，需要恢复那些被合并或相互抵消的，即把多式中的某一拆成两或多，或者在多式中添上两个符合相反的，前者称拆，后者称添．拆、添的目的是使多式能用分分解法行因式分解．例4 分解因式： x3 -9x+8．分析本解法很多，里只介运用拆、添法分解的几种解法，注意一下拆、添的目的与技巧．解法 1 将常数8 拆成 -1+9．33=(x -1) - 9x+92=(x -1)(x +x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x +x-8) ．解法 2 将一次 -9x 拆成 -x-8x ．原式 =x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2解法 3 将三次x3拆成 9x3-8x3．原式 =9x 3 3-8x -9x+8=(9x 3 3+8)- 9x)+( -8x2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x+x+1)2=(x -1)(x +x-8) ．3解法 4 添加两项 -x 2+x 2． 原式 =x 3 -9x+8322=x -x +x -9x+8 =x 2 (x - 1)+(x -8)(x -1) =(x -1)(x 2+x-8) ．说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规， 主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1)x 9+x 6+x 3-3；(2)(m 2-1)(n 2 -1)+4mn ；(3)(x+1)4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4)a 3b-ab 3+a 2+b 2 +1．解 (1) 将 -3 拆成 -1-1-1．96 3原式 =x +x +x - 1- 1-1=(x 963-1)+(x -1)+(x -1)=(x 363333-1)(x +x +1)+(x -1)(x +1)+(x-1)=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x 3+3) ． (2) 将 4mn 拆成 2mn+2mn ．22原式 =(m -1)(n -1)+2mn+2mn2 222=mn -m-n +1+2mn+2mn2222=(m n +2mn+1)-(m -2mn+n)=(mn+1) 22-(m-n)=(mn+m-n+1)(mn -m+n+1)．(3) 将 (x 2-1) 2 拆成 2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式 =(x+1) 4+2(x 2222+(x -1) 4 -1) -(x -1)=［ (x+1) 422422+2(x+1) (x -1) +(x -1) ] - (x -1)=［ (x+1) 22222+(x - 1) ] -(x -1)22222+1)(x 2+3) ．=(2x +2) -(x - 1) =(3x (4) 添加两项 +ab-ab ．332 2原式 =a b-ab +a +b +1+ab-ab=(a 3b- ab 3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)42=a(a -b) ［ b(a+b)+1]+(ab+b+1)2=[a(a -b)+1](ab+b+1)=(a 2 2+ab+1) ．-ab+1)(b说明 (4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．例6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设 x2+x=y，则原式 =(y+1)(y+2)- 12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x -1)(x+2)(x2+x+5)．说明本题也可将2看作一个整体，比如今2x +x+1 x +x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例 7 分解因式：(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90．令y=2x2+5x+2，则原式 =y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例 8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．解设 x2+4x+8=y ，则5原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2 +5x+8)=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式： 6x4+7x3-36x2-7x+6．解法 1 原式 =6(x 4+1) ＋ 7x(x 2 -1) -36x24 2 2 2 2=6［(x -2x +1)+2x ］ +7x(x -1) -36x=6[(x 2 2]+7x(x2 2 - 1)2+2x -1) -36x=6(x 2 2+7x(x2 2 -1) -1) -24x=[2(x 2- 1) -3x］［ 3(x 2-1)+8x]=(2x 2 -3x-2)(3x 2+8x-3)=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2说明本解法实际上是将 x -1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法 2原式 =x2 [6(t 2+2)+7t -36]=x2 (6t 2+7t -24)=x 2(2t - 3)(3t+8)=x2 [2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]2 2+8x-3)=(2x - 3x-2)(3x=(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3)．例10 分解因式： (x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2 ) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令 u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．解原式 =[(x+y) 2 2 2．令 x+y=u， xy=v ，则-xy] -4xy[(x+y) -2xy]2 2 2原式 =(u -v) -4v(u -2v)=u4-6u2v+9v22 2=(u -3v)6=(x 2+2xy+y 2 -3xy) 2=(x 22 2．-xy+y )7。
(完整版)因式分解竞赛题
因式分解【例 1】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++提示:将248x x u ++=看成一个字母，可利用十字相乘【例 2】 (“希望杯”培训试题)分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++-【解析】 方法1：将25x x +看作一个整体，设25x x t +=，则方法2：将252x x ++看作一个整体，设252x x t ++=，则方法3：将253x x ++看作一个整体，【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ (1)(2)(3)(4)24a a a a ----- 22(1)(2)12x x x x ++++-【例 3】 证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．【巩固】 若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是一个完全平方数.【例 4】 (湖北黄冈数学竞赛题)分解因式2(25)(9)(27)91a a a +---【巩固】 分解因式22(32)(384)90x x x x ++++-【例 5】 分解因式：22224(31)(23)(44)x x x x x x --+--+-提示:可设2231,23x x A x x B --=+-=，则244x x A B +-=+.【巩固】 分解因式：2(2)(2)(1)a b ab a b ab +-+-+-【巩固】 分解因式：21(1)(3)2()(1)2xy xy xy x y x y +++-++-+-【例 6】 (重庆市竞赛题)分解因式：44(1)(3)272x x +-+-练习:1 .分解因式x x 3234+-2.求证：多项式的值一定是非负数3.分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+23334.在∆ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++=.求证：a c b +=25.已知：6.若x 为任意整数，求证：()()()7342---x x x 的值不大于100。
初二级竞赛专题因式分解_2
于x的二次三项式
常数项可分解为－(3y－4)(3y＋5),用待定系数法，
可设2x2＋(3y＋14)x－(9y2＋3y－20)=[mx－(3y－4)]
[nx＋(3y＋5)] 比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 ∴2x2＋3xy－9y2＋14x－3y＋20=(2x－3y＋4)(x＋3y
二、因式分解的一般方法及考虑顺序
1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法；
2、常用方法与技巧：换元法、主元法、拆项法、添项法、配方法、
待定系数法。
3、考虑顺序：（1）提公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式
法；（4）分组分解法；（5）其它常用方法与技巧（简单概括
为：提十公分）。
三、例题
＋5)
四、填空题
1、两个小朋友的年龄分别为a和b，已知a2＋ab=99，则a= ，
b= 。 2、计算：(x＋6)2(x－6)2= 3、若x＋y=4，x2＋y2=10，则(x－y)2= 4、分解因式：a2－b2＋4a＋2b＋3=
。 。
。
5、分解因式：4x3－31x＋15=
。
6、分解因式：x4＋1987x2＋1986x＋1987=
x4＋4
11、
12、x4－23x2y2＋y4
13、x3＋4x2－9
14、x3－41x＋30
15、x3＋5x2－18
16、x3＋3x2y＋3xy2＋2y3
17、x3－3x2＋3x＋7
18、x3－9ax2＋27a2x－26a3 ＋6
19、x3＋6x2＋11x
20、a3＋b3＋3(a2＋b2)＋3(a＋b)＋2
21、3x3－7x＋10 －21
22、x3－11x2＋31x
竞赛专题-因式分解
初中数学竞赛辅导 专题一：因式分解 班级 姓名因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，可以化和为积，因式分解的基本方法有： (1)提公因式法；(2)公式法；(3)分组分解法；即“一提，二套，三分组”因式分解的技巧包括：十字相乘法、双十字相乘法、换元法、添项（拆项）法、待定系数法、利用因式定理分解等．乘法公式: 2222221[()()()]2a b c ab bc ca a b b c c a ++---=-+-+- 33322222213()()()[()()()]2a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a ++-=++++---=++-+-+-一、基本方法：1．220091(1)(1)(1)x x x x x x x ++++++++2．分解因式：66a b - 3．分解因式： 326116x x x +++4．分解因式：632827x x -+ 5. (252)(472)(692)(8112)(199419972)(142)(362)(582)(7102)(199319962)⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+6． 444444(34)(74)(394)(54)(94)(414)++++++=类似4444444444(10324)(22324)(34324)(46324)(58324)(4324)(16324)(28324)(40324)(52324)++++++++++=444441111144444444441111144444(2)(4)(6)(8)(10)(1)(3)(5)(7)(9)++++++++++=7. (1)已知3330,0a b c a b c ++=++=,求151515a b c ++的值.(2)33332009200920092009,,a b c d a b c d a b c d +=++=++=+已知求证8.求证：在,m n 都是大于1的整数时，444m n +是合数。
(完整)初中数学竞赛因式分解专题
初中数学竞赛专题——因式分解多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ；2 2 2(2) a 2± 2ab+b2=(a ± b) 2；3 3 2 2(3) a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) ．下面再补充几个常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc-ca) ；(7) a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+⋯+ab n-2+b n-1)其中n 为正整数；(8) a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-⋯+ab n-2-b n-1) ，其中n为偶数；(9) a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-⋯-ab n-2+b n-1)，其中n 为奇数．运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．例 1 分解因式：5n-1 n 3n-1 n+2 n-1 n+4(1) -2x y +4x y -2x y ；(2) x 3-8y3-z3-6xyz ；222(3) a +b +c -2bc+2ca-2ab；7 5 2 2 5 7(4) a -ab +a b -b ．解(1) 原式=-2x n-1y n(x 4n-2x2ny2+y4)n-1 n 2 2 2 2 2 2=-2x y [(x n) -2x ny +(y ) ]n-1 n 2 2 2=-2x y (x n-y )n-1 n n 2 n 2=-2x y (x -y) (x +y) ．(2) 原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)( -Z)2 2 2=(x -2y-z)(x +4y +z +2xy+xz -2yz) ．22(3) 原式=(a 2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c2＝(a-b) +2c(a -b)+c =(a -b+c)本小题可以稍加变形，直接使用公式(5) ，解法如下：2 2 2 原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a( -b)=(a -b+c) 2(4) 原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)5 2 2 5 2 2=a (a -b )+b (a -b)2 2 5 5=(a -b )(a +b)4 3 2 2 3 4=(a+b)(a - b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b)=(a+b) 2(a - b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b4)例 2 分解因式：a+b+c -3abc．本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6) ．分析我们已经知道公式(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为3 3 3a +b =(a+b) -3ab(a+b) ．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．33解原式=(a+b) -3ab(a+b)+c -3abc= [ (a+b)3+c 3] -3ab(a+b+c)22=(a+b+c) [ (a+b) -c(a+b)+c ] -3ab(a+b+c)222=(a+b+c)(a +b+c -ab-bc -ca) ．说明公式(6) 是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6) 变形为333a+b +c -3abc显然，当a+b+c=0 时，则a3 +b3+c3=3abc ；当a+b+c> 0 时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc ，而且，当且仅当a=b=c 时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c 3≥0，则有等号成立的充要条件是x=y=z ．这也是一个常用的结论．例 3 分解因式：x15+x14+x13+⋯+x2+x+1．分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为16 15 14 13 2x -1=(x -1)(x +x +x +⋯x +x+1) ，所以解法 4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+83 2 2=x -x +x -9x+82=x2(x - 1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8) ．说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．例 5 分解因式：(1) x 9+x6+x3-3；22(2) (m -1)(n -1)+4mn；(3) (x+1) 4+(x 2-1) 2+(x -1) 4；(4) a 3b-ab3+a2+b2+1．解(1) 将-3拆成-1-1-1．9 6 3 原式=x +x +x -1-1-1963=(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)3 6 3 3 3 3=(x 3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)3=(x -1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) ．(2) 将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n 2-1)+2mn+2mn2 2 2 2=mn -m-n +1+2mn+2mn2 2 2 2=(mn +2mn+1)-(m -2mn+n)22=(mn+1) -(m-n) =(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3) 将(x 2-1) 2拆成2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2．原式=(x+1) 4+2(x 2-1) 2-(x 2-1) 2+(x -1) 44 2 2 4 2 2=[ (x+1) 4+2(x+1) 2(x -1) 2+(x -1) 4] -(x 2-1) 2 =[ (x+1) 2+(x - 1) 2] 2-(x 2-1) 2 =(2x 2+2) 2-(x 2- 1) 2=(3x 2+1)(x 2+3)．(4) 添加两项+ab-ab．3 3 2 2原式=a b-ab +a+b +1+ab-ab=(a 3b- ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b +1)2=a(a -b) [ b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)2=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) ．2=[a(a -b)+1](ab+b 2+1)22=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1) ．说明(4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．22例 6 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2) -12．分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x 看作一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y ，则2原式=(y+1)(y+2) - 12=y2+3y -1022=(y -2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)2=(x -1)(x+2)(x 2+x+5) ．22说明本题也可将x2+x+1 看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．例7 分解因式：22(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3) -90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3) -90 =[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)] -9022=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90 ．令y=2x2+5x+2 ，则2原式=y(y+1) -90=y 2+y-90=(y+10)(y -9)22=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)22说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．例8 分解因式：(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2．2解设x2+4x+8=y ，则原式=y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)22=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)2 =(x+2)(x+4)(x2+5x+8) ．说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．4 2 2解法 1 原式=6(x 4+1) ＋7x(x 2-1) -36x24 2 2 2 2 =6[(x -2x +1)+2x ] +7x(x -1) -36x2 2 2 2=6[(x 2- 1)2+2x 2]+7x(x 2-1) -36x22 2 2 2=6(x 2-1) 2+7x(x 2-1)-24x222=[2(x 2- 1) -3x][ 3(x 2-1)+8x]22=(2x 2-3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．说明本解法实际上是将x2-1 看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法222原式=x2[6(t 2+2)+7t -36]=x2(6t 2+7t -24)=x 2(2t -3)(3t+8)2=x2[2(x -1/x) -3][3(x - 1/x)+8]22=(2x 2- 3x-2)(3x 2+8x-3) =(2x+1)(x -2)(3x -1)(x+3) ．2 2 2 2例10 分解因式：(x 2+xy+y 2) -4xy(x 2+y2) ．分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y ，v=xy ，用换元法分解因式．2 2 2解原式=[(x+y) -xy] -4xy[(x+y) -2xy] ．令x+y=u，xy=v ，则2 2 2原式=(u -v) -4v(u -2v)4 2 2=u-6u v+9v22=(u -3v)22=(x +2xy+y -3xy)2 2 2 =(x 2-xy+y 2) 2．说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x -1) ，再除以(x -1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．3例 4 分解因式：x* 2 3-9x+8．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．解法 1 将常数项8拆成-1+9．3原式=x3-9x-1+93=(x -1) - 9x+9=(x -1)(x 2+x+1) -9(x -1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 2 将一次项-9x 拆成-x-8x ．原式=x3-x-8x+83=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．解法 3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+833=(9x 3- 9x)+( -8x3+8)2=9x(x+1)(x -1) - 8(x -1)(x 2+x+1)2=(x -1)(x 2+x-8) ．。
七年级数学竞赛辅导讲义之因式分解2
1 学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：七年级 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：授课类型T 复习两次因式分解 T 按照顺序 T 求证化简授课日期及时段 教学内容复习-因式分解 【两次因式分解】例1.对下面的数进行两次因式分解（1）22815243x xy y x y -++-- （2）223x xy x y -++-（3）222311642x xy y xz yz z -+---【指数幂的因式分解】例2.对下列式子进行因式分解（1）1151560n n n x x x +--+ （2）2126n n n aa b a b ++-- 中小学个性化辅导 2 【整体性因式分解】例3.对下列式子进行因式分解（1）222(4)(4)20x x x x +-+- （2）22(32)(34)16x x x x +-++-（3）(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++ （4）22(32)(712)120x x x x ++++-因式分解口诀：先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适。
（1）423242410x y x y xy -+ （2）43(1)24(1)a b a b ---（3）222222()2()()a b x a b xy a b y +--+- （4）41x -3 （5）2224a b ab --++ （6）431x x x --+（7）()()422223612y y y y x y y x -++-+ （8）()()()()422223612y x y x y x x y x x +-+++-+（9）228x x -- （10）2352x x +-（11）把多项式231110x x ++分解因式。
中小学个性化辅导 4 求证求值1.求证：199819992000310343⨯+⨯-能被7整除。
2.设n 为正整数，且n n 764-能被57整除，证明：21278+++n n 是57的倍数.3.求证：无论x 、y 为何值，3530912422+++-y y x x的值恒为正。
全国初中数学竞赛辅导(初2)第01讲因式分解
第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的全然形式之一，它被普遍地应用于初等数学当中，是咱们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方式灵活，技术性强，学习这些方式与技术，不仅是把握因式分解内容所必需的，而且关于培育学生的解题技术，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中要紧介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材根底上，对因式分解的方式、技术和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，咱们学过假设干个乘法公式，现将其反向利用，即为因式分解中经常使用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个经常使用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要依照多项式的特点，依照字母、系数、指数、符号等正确恰本地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题能够略加变形，直接利用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．此题事实上确实是用因式分解的方式证明前面给出的公式(6)．分析咱们已经明白公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．那个式也是一个经常使用的公式，此题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它能够推出很多有效的结论，例如：咱们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，那么a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，那么a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．若是令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，那么有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个经常使用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析那个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开场，x的次数按序递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，因此说明在此题的分解进程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技术，这一技术在等式变形中很经常使用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项归并为一项，或将两个仅符号相反的同类项彼此抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被归并或彼此抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析此题解法很多，那个地址只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技术．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题能够看出，用拆项、添项的方式分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无必然之规，要紧的是要依托对题目特点的观看，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方式中技术性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式构造较复杂，因此不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使咱们体会到拆项、添项法的极强技术所在，同窗们需多做练习，积存经历．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一局部看做一个整体，并用一个新的字母替代那个整体来运算，从而使运算进程简明清楚．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．咱们不妨将x2+x看做一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，那么原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明此题也可将x2+x+1看做一个整体，例如今x2+x+1=u，一样能够取得一样的结果，有爱好的同窗不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再从头组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，那么原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是咱们找到新元(y)的根底．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，那么原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由此题可知，用换元法分解因式时，没必要将原式中的元都用新元朝换，依照题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元能够一路变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法事实上是将x2-1看做一个整体，但并无设立新元来代替它，即熟练利用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析此题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式维持不变，如此的多项式叫作二元对称式．关于较难分解的二元对称式，常常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，那么原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的全然形式之一，它被普遍地应用于初等数学当中，是咱们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方式灵活，技术性强，学习这些方式与技术，不仅是把握因式分解内容所必需的，而且关于培育学生的解题技术，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中要紧介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材根底上，对因式分解的方式、技术和应用作进一步的介绍．1．运用公式法在整式的乘、除中，咱们学过假设干个乘法公式，现将其反向利用，即为因式分解中经常使用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几个经常使用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要依照多项式的特点，依照字母、系数、指数、符号等正确恰本地选择公式．例1 分解因式：(1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)=-2x n-1y n[(x2n)2-2x2n y2+(y2)2]=-2x n-1y n(x2n-y2)2=-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题能够略加变形，直接利用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc．此题事实上确实是用因式分解的方式证明前面给出的公式(6)．分析咱们已经明白公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．那个式也是一个经常使用的公式，此题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它能够推出很多有效的结论，例如：咱们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，那么a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，那么a3+b3+c3-3abc ≥0，即a3+b3+c3≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．若是令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，那么有等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个经常使用的结论．例3 分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析那个多项式的特点是：有16项，从最高次项x15开场，x的次数按序递减至0，由此想到应用公式a n-b n来分解．解因为x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，因此说明在此题的分解进程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技术，这一技术在等式变形中很经常使用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项归并为一项，或将两个仅符号相反的同类项彼此抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被归并或彼此抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进展因式分解．例4 分解因式：x3-9x+8．分析此题解法很多，那个地址只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技术．解法1 将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4 添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．说明由此题能够看出，用拆项、添项的方式分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无必然之规，要紧的是要依托对题目特点的观看，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方式中技术性最强的一种．例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-1-1．原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式构造较复杂，因此不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使咱们体会到拆项、添项法的极强技术所在，同窗们需多做练习，积存经历．3．换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一局部看做一个整体，并用一个新的字母替代那个整体来运算，从而使运算进程简明清楚．例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．咱们不妨将x2+x看做一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．解设x2+x=y，那么原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．说明此题也可将x2+x+1看做一个整体，例如今x2+x+1=u，一样能够取得一样的结果，有爱好的同窗不妨试一试．例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再从头组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，那么原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．说明对多项式适当的恒等变形是咱们找到新元(y)的根底．例8 分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，那么原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．说明由此题可知，用换元法分解因式时，没必要将原式中的元都用新元朝换，依照题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元能够一路变形，换元法的本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1 原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．说明本解法事实上是将x2-1看做一个整体，但并无设立新元来代替它，即熟练利用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析此题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式维持不变，如此的多项式叫作二元对称式．关于较难分解的二元对称式，常常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，那么原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．。
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初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；
(2)x2-y2+5x+3y+4；
(3)xy+y2+x-y-2；
(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．
解
(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法我们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=12-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．
分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
f(2)=23-4×22+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x2-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
所以
原式=(x-2)(x2-2x+2)．
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1
，±为：
所以，原式有因式9x2-3x-2．
解 9x4-3x3+7x2-3x-2
=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2
=(9x2-3x-2)(x2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式
(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
分析由于
(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m
和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
解设
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
解设
原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以
原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
练习二
1．用双十字相乘法分解因式：
(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3； (2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．
2．用求根法分解因式：
(1)x3+x2-10x-6； (2)x4+3x3-3x2-12x-4；
(3)4x4+4x3-9x2-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20； (2)x4+5x3+15x-9．。