期末平行线的证明复习
平行线的有关证明复习一
平行线的有关证明复习一1.在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图，他们制作模型所用的铁丝一样长吗？请通过计算说明．2.判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）小红的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛考试中她必然能获一等奖．（2）因为阴天，所以今天一定会下雨．（3）小李买“天天彩”中了奖．大家纷纷劝说小李最近千万不要再买了，因为“天天彩”的中奖率是千分之一，他已经中了一次，最近是不可能中奖的．3.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且（1）红箱子上写着：“苹果在这个箱子里.”（2）黄箱子上写着：“苹果不在这个箱子里.”（3）蓝箱子上写着：“苹果不在红箱子里.”已知（1）、（2）、（3）中只有一句是真的， 则苹果应在（ ）.A ．红箱子B ．黄箱子C ．蓝箱子D ．不能确定4.已知如图所示的图形是由6个大小一样的正方形拼接而成的，此图形 折 成正方体？（在横线上填“能”或“不能”）．5.当n 为整数时，22)1()1(--+n n 的值一定是4的倍数吗？6.如图，已知AB=AC ，∠A=36°，AB 的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ，下面4 个结论：（1）射线BD 是∠ABC 的平分线； （2）△BCD 是等腰三角形；（3）△BCD 是 等腰三角形；（4）△AMD≌△BCD； （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以说明．7.下列语句中，是命题的是( ).A.两点确定一条直线吗？B.在线段AB 上任取一点C.作∠A 的平分线AMD.两个锐角的和大于直角8.下列命题中，属于定义的是( ).A.两点确定一条直线B.同角或等角的余角相等C.两直线平行，内错角相等D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度9.下列命题中，是真命题的是( ).A.内错角相等B.同位角相等，两直线平行C.互补的两角必有一条公共边D.一个角的补角大于这个角10.下列命题中，假命题是( ).A.垂直于同一条直线的两直线平行B.已知直线a、b、c，若a⊥b，a∥c，则 b⊥cC.互补的角是邻补角D.邻补角是互补的角11.命题“对顶角相等”是( ).A.角的定义B.假命题C.公理D.定理12.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________.13.命题“直角都相等”的条件是________，结论是___________.14.“互补的两个角一定是一个锐角一个钝角”是__命题，可举出反例：__________________.15.________________称为公理，_______ 称为定理，_______________称为证明.16.指出下列命题的题设和结论：(1)若a∥b，b∥c，则a∥c.(2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.(3)同一个角的补角相等.17.把下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：(1)平行于同一直线的两条直线平行.(2)同角的余角相等.(3)绝对值相等的两个数一定相等.18.判断下列命题是真命题，还是假命题；如果是假命题，举一个反例.(1)若a2＞b2，则a＞b.(2)同位角相等，两直线平行.(3)一个角的余角小于这个角.19.下列命题中是真命题的是（）.A．平行于同一条直线的两条直线平行B．两直线平行，同旁内角相等C．两个角相等，这两个角一定是对顶角D．相等的两个角是平行线所得的内错角20.下列语句中不是命题的是（）.A.延长线段ABB.自然数也是整数C.两个锐角的和一定是直角D.同角的余角相等21.下列语句中是命题的是（）.A.这个问题B.这只笔是黑色的C.一定相等D.画一条线段22.下列命题是假命题的是（）.A.互补的两个角不能都是锐角;B.若a⊥b，a⊥c，则b⊥cC.乘积是1的两个数互为倒数;D.全等三角形的对应角相等23.填空. （请你将理由补充完整）已知：如图1，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：EG ∥FH ．证明：∵∠1=∠2（已知）∠AEF =∠1 （ ）；∴∠AEF =∠2 （ ）．∴AB ∥CD （ ）．∴∠BEF =∠CFE （ ）．∵∠3=∠4（已知）；∴∠BEF －∠4=∠CFE －∠3．即∠GEF =∠HFE （ ）．∴EG ∥FH （ ）． 24.求证：两直线平行，同位角角平分线互相平行本章知识网络：课堂作业：}⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⇒⎩⎨⎧⇒⇒⇒⇒⇒⇒结论题设部分条件结构反例假命题公理外角推论内角和定理三角形性质判定平行线应用证明推论定理真命题分类命题证明）（）（1.下列句子中，不属于命题的是( )A．三角形的内角和等于180°B．对顶角相等C．过直线外一点作已知直线的平行线D．两点之间，线段最短2、把命题“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果……那么……”的形式1．下列四个命题中，属于真命题的是( )A．互补的两角必有一条公共边B．同旁内角互补C．同位角不相等，两直线不平行D．一个角的补角大于这个角如果一个角的两条边分别平行于另一个角的两条边，那么这两个角的关系是 .3. 下列说法正确的个数是( )①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.A.1个B.2个C.3个D.4个4.甲、乙、丙、丁四位同学猜测自己的数学成绩，甲说：“如果我得优，那么乙也得优”。
北师版八年级上第七章平行线的证明知识点总结及习题汇编
.八年级上册第七章平行线的证明【要点梳理】要点一、定义、命题及证明1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题. 要点诠释：（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题. （3）公认的真命题叫做公理.(4) 经过证明的真命题称为定理.3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明 要点诠释：（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事 实、定理等.（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法 1：同位角相等，两直线平行．判定方法 2：内错角相等，两直线平行．判定方法 3：同旁内角互补，两直线平行．要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交） 那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2．平行线的性质性质 1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释：（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.（2）推论可以当做定理使用.基础训练一、选择题1.下列语句中，是命题的是().A.作线段AB=CDB.在线段AB上任取一点C.作∠A的平分线AMD.两个锐角的和大于直角2.下列命题中，属于定义的是().A.两点确定一条直线B.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度C.两直线平行，内错角相等D.同角或等角的余角相等3.下列命题中，是真命题的是().A.同位角相等B.同位角相等，两直线平行C.互补的两角一定有一条公共边D.一个角的余角大于这个角4.下列命题中，假命题是().A.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C.两条直线被第三条直线所截，如果内错角互补，那么这两条直线平行D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行5.如图1，可以得到DE∥BC的条件是().图1图2图3图4A.∠ACB=∠BAC;B.∠ABC+∠BAE=180°C.∠ACB+∠BAD=180;D.∠ACB=∠BAD6.如图2，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是().A.AD∥BCB.AB∥CDC.∠3=∠4D.∠A=∠C7.如图3，∠B=75°，∠DEC=100°，∠EDB=105°，则∠C等于().A.75°B.115°C.80°D.100°8.如图4，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是().A.60°B.70°C.80°D.65°9.如图5，直线l∥l，AF∶FB=2∶3，BC∶CD=2∶1，则AE∶EC是12（）.A.5∶2B.4∶1C.2∶1D.3∶210.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连接BE交AC于点F，连接FD，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA与△ACD；②△FED与△DEB；③△CFD与△ABC；④△ADF与△CFB。
平行线的证明知识点总结（共10篇）
平行线的证明知识点总结(共10篇) ：知识点平行线证明平行线的证明知识树平行线证明定义平行线的证明思维导图篇一：命题与证明的知识点总结命题与证明的知识点总结一、知识结构梳理二、知识点归类知识点一定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。
如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
知识点二命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是华东师大版的”等。
注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
知识点三命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。
有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。
如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
例把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。
1、同角的余角相等2、两点确定一条直线知识点四真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
知识点五证明及互逆命题的定义1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。
注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。
2、一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。
平行线的有关证明复习二
F A B C D EG 图2平行线的有关证明复习二1.如图1，AB∥CD，则下列结论成立的是 ( ). A ．∠A+∠C=180° B ．∠A+∠B=180° C ．∠B+∠C=180° D ．∠B+∠D=180°2.若两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是( ) A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．相等且互补3.如图2，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，G 是BC 的延长线上一点，且∠B=∠DCG= ∠D，则下列判断错误的是( ).A.∠ADF=∠DCGB.∠A=∠BCFC.∠AEF=∠EBC D .∠BEF+∠EFC=1804.如图3，下列推理正确的是( ).A ．∵MA∥NB，∴∠1=∠3B ．∵∠2=∠4，∴MC∥NDC ．∵∠1=∠3，∴MA∥NBD ．∵MC∥ND，∴∠1=∠35.如图4，a∥b，点B 在直线b 上，且AB⊥ BC ，∠1=55°，则∠2的度数为 ( ).A ．35°B ．45° C．55° D.125°6.如图5，已知AB∥CD，∠1=65°，∠2=45°，则∠ADC=________．7.如图6，已知∠1=∠2，∠BAD =57°，则 ∠B =________.8.如图7，若AB ∥EF ，BC ∥DE ，则∠B +∠E =________． 9.如图8，由A 测B 的方向是________．A BC D4321M N 图3 21 A C ab 图4 231 A BC DA D 21A BC D FABC D E 图710.已知：如图，∠B =∠C.（1）若AD ∥BC,求证：AD 平分∠EAC;(2)若∠B+∠C+∠ABC=180°,AD 平分∠EAC,求证AD ∥BC.11.已知：如图，∠1=∠B ，∠A =32°.求：∠2的度数．12.如图，∠B+∠BCD+∠D=360， 求证：∠1=∠2．13.已知：如图，直线a 、b 被直线c 所截， 若∠1十∠2=180°，求证：a ∥b14. 如图14，已知AB ∥ED ，∠CAB=135°∠ACD=80°，求∠CDE 的度数B D1A BCD 2A BC DE1 32 415. 已知：如图15，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，∠E =∠3。
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。
写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。
八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》期末综合复习训练1(附答案)
2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第7章平行线的证明》期末综合复习训练1（附答案）1．若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行2．两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不能确定3．下列说法：（1）两点之间的距离是两点间的线段；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠BAD＝∠BCDC．∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4D．∠BAD+∠ABC＝180°5．如图，“因为∠1＝∠2，所以a∥b”，其中理由依据是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．同旁内角互补，两直线平行D．对顶角相等，两直线平行6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且∠ACB＝∠BAD，AE平分∠CAD，交BC 于点E，过点E作EF∥AC，分别交AB、AD于点F、G．则下列结论：①∠BAC＝90°；②∠AEF＝∠BEF；③∠BAE＝∠BEA；④∠B＝2∠AEF，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A＝60°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为（）A．72°B．36°C．30°D．188．若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝40°，AD是∠BAC的平分线，则∠ADC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．70°10．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（）A．3B．2C．1D．011．在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系是．12．在同一平面内，与已知直线a平行的直线有条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有条．13．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是命题（填“真”或“假”）．14．如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是．（填一个你认为正确的条件即可）15．如果△ABC的两条高线BE和CF所在的直线相交于点O，且∠A＝50°，那么∠BOC ＝．16．如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝．17．学校开展象棋大赛，A、B、C、D四队进入决赛，赛前，甲猜测比赛成绩的名次顺序是：从第一名开始，依次是B、C、D、A；乙猜测的名次依次是D、B、C、A，比赛结果，两人都只猜对了一个队的名次，已知第四名是B队，则第一名是队．18．某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是．19．（原创题）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？20．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°；求∠AEC的度数．21．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AB∥CD．22．如图，∠A＝64°，∠B＝76°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠AEC'＝22°，求∠BDC'的度数．23．如图，有三个论断：①∠1＝∠2；②∠B＝∠C；③∠A＝∠D，请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．参考答案1．解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．2．解：两条直线相交所成的四个角都相等时，则每一个角都为90°，所以这两条直线垂直．故选：C．3．解：（1）两点之间的距离是两点间的线段长度，故（1）错误；（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线不一定没有交点，故（2）错误；（3）邻补角的两条角平分线一定构成一个直角，故（3）正确；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（4）正确；（5）同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（5）错误．其中正确的是2个．故选：B．4．解：A、∵∠1＝∠2，∴AD∥CB，故本选项错误；B、∵∠BAD＝∠BCD，不能得出AB∥CD，故本选项错误；C、∵∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4，∴∠ABD＝∠BDC，∴AB∥CD，故本选项正确；D、∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故本选项错误；故选：C．5．解：因为∠1＝∠2，所以a∥b（内错角相等，两直线平行），故选：B．6．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠CAB＝90°，故①正确，∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠DAE＝∠CAE，∠BAD＝∠C，∴∠BAE＝∠C+∠CAE＝∠BEA，故③正确，∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∵∠CAD＝2∠CAE，∴∠CAD＝2∠AEF，∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAD＝2∠AEF，故④正确，无法判定EA＝EC，故②错误．故选：B．7．解：∵∠A＝60°，∠B＝48°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB＝36°，∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠BCD＝36°；故选：B．8．解：设三角形的三角的度数是x°，2x°，3x°，则x+2x+3x＝180，解得x＝30，∴3x＝90，即三角形是直角三角形，故选：A．9．解：由三角形的内角和定理可知：∠CAB＝50°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC＝25°，∴∠ADC＝90°﹣∠DAC＝65°故选：C．10．解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，所以甲只能是胜两场，即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．故选：D．11．解：∵a⊥b，b⊥c，∴a∥c．故答案为a∥c．12．解：在同一平面内，与已知直线a平行的直线有无数条；而经过直线外一点P，与已知直线a平行的直线有且只有1条．13．已知：△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A'，∠B＝∠B′，∠B、∠B′的角平分线，BD＝B′D′，求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：∵∠B＝∠B'且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′，∴∠ABD＝∠A′B′D′＝∠B，∵BD＝B'D'，∠A＝∠A′，∴△ABD≌△A′B′D′，∴AB＝A′B′，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC≌△A′B′C′．∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题，故答案为：真．14．解：可以添加条件∠B＝∠DCN（答案不唯一）．理由如下：∵∠B＝∠DCN，∴AB∥CD．故答案为：∠B＝∠DCN（答案不唯一）．15．解：本题要分两种情况讨论如图：①当交点在三角形内部时（如图1），在四边形AFOE中，∠AFC＝∠AEB＝90°，∠A＝50°，根据四边形内角和等于360°得，∠EOF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，故∠BOC＝130°；②当交点在三角形外部时（如图2），在△AFC中，∠A＝50°，∠AFC＝90°，故∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∵∠1＝∠2，∴在△CEO中，∠2＝40°，∠CEO＝90°，∴∠EOF＝180°﹣90°﹣40°＝70°，即∠BOC＝50°，综上所述：∠BOC的度数是130°或50°．故答案为：130°或50°．16．解：∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，BP平分∠ABC，PC平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，∴2∠P+2∠PBC＝∠ABC+∠A，∴2∠P＝∠A，即∠P＝∠A．∵∠A＝50°，∴∠P＝25°．故答案为：25°．17．解：由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第四名是B队．可得甲只有可能猜对了C，D的名次，当D的名次正确，则乙将全部猜错，故甲一定猜对了C的名次，故乙猜对了D的名次，那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、对、错、错；乙：对、错、错、错．因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为：D，C，A，B．故答案为：D．18．解：①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁．故答案为：丁．19．解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．20．解：∵AD⊥BC，∠B＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵∠BAC＝80°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣30°＝50°，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°，∴∠BAE＝30°+25°＝55°，∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝55°+60°＝115°．21．解：∵∠1＝∠2，∴CE∥BF，∴∠4＝∠AEC，又∵∠3＝∠4，∴∠3＝∠AEC，∴AB∥CD．22．解：如图设AE交DC′于F．在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，由折叠可知∠C'＝40°，∴∠DFE＝∠AEC'+∠C＝22°+40°＝62°，∴∠BDC'＝∠DFE+∠C＝62°+40°＝102°．23．已知：∠1＝∠2，∠B＝∠C求证：∠A＝∠D证明：∵∠1＝∠3又∵∠1＝∠2∴∠3＝∠2∴EC∥BF∴∠AEC＝∠B又∵∠B＝∠C∴∠AEC＝∠C∴AB∥CD∴∠A＝∠D。
《平行线的证明》全章复习与巩固知识讲解
平行线的证明》全章复习与巩固（提高）知识讲解学习目标】了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论 知识网络】【要点梳理】 要点一、定义、命题及证明1. 定一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义 . 2.命题： 判断一件事情的句子，叫做命题 .要点诠释：（1）命题一般由条件和结论组成 .（ 2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题 .（3）公认的真命题叫做公理 .（4） 经过证明的真命题称为定理 .3.证明 : 除了公理外， 其它的真命题的正确性都要通过推理的方法进行证实， 这种演绎推理 的过程叫做证明 .要点诠释： 实验、观察、 操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的 结论．要点二、平行线的判定与性质1．平行线的判定判定方法 1： 同位角相等，两直线平行．判定方法 2： 内错角相等，两直线平行．判定方法 3： 同旁内角互补，两直线平行．要点诠释： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交） ，那么两直线平行 （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（ 3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 .（ 4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 .2．平行线的性质 2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；1．3.性质 1： 两直线平行，同位角相等；性质 2： 两直线平行，内错角相等；性质 3： 两直线平行，同旁内角互补 . 要点诠释： 根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 要点三、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于 180°．推论：（ 1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （ 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．要点诠释： （1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论. （2）推论可以当做定理使用 .【典型例题】 类型一、定义、命题及证明1. 我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成 ,? 如果我们把一个命题的条件 变结论 , 结论变条件 , 那么所得的是不是一个命题 ?试举例说明 .【答案与解析】解：是一个命题 ,? 例如“对顶角相等”条件结论互换就变为“相等的角是对顶角” . 【总结升华】 如果将一个命题的条件与结论互换， 则得到这个命题的逆命题， 但原命题正确， 逆命题不一定正确 .举一反三： 【变式】下列命题中 , 真命题有 （ ） .① 若 x ＝ a ，则 x 2－ （a+b ）x+ab ＝ 0② 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离x 2 4③ 如果 ＝0, 那么 x ＝± 2x2④ 如果 a ＝ b,那么 a 3＝ b 3A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 【答案】 C2. 如图所示， O 是直线 AB 上一点，射线OC 、OD 在AB 的两侧，且∠ AOC ＝∠ BOD ， 试证明∠ AOC 与∠ BOD 是对顶角．证明：因为∠ AOC+ ∠ COB ＝180°（ 平角定义 ），又因为∠ AOC ＝∠ BOD （ 已知 ），所以∠ BOD+ ∠COB ＝180°，即∠ COD ＝ 180°．所以 C 、O 、D 三点在一条直线上 （ 平角定义 ） ，即直线 AB 、CD 相交于点 O ， 所以∠ AOC 与∠BOD 是对顶角 （ 对顶角定义 ）．总结升华】 证三点共线的方法，通常采用证这三点组成的角为平角，即∠ COD ＝180 类型二、平行线的性质与判定3. （2016春?胶州市期中） 将一副三角板中的两根直角顶点 C 叠放在一起 （如图 ① ）， 其中∠ A=30 °，∠ B=60 °，∠ D= ∠E=45°．（1）若∠ BCD=150 °，求∠ ACE 的度数； （2）试猜想∠ BCD 与∠ ACE 的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板 ABC 不动，绕顶点 C 转动三角板 DCE ，试探究∠ BCD 等于多少度时， CD ∥AB ，并简要说明理由．的度数； （2）根据（ 1）中的结论可提出猜想，再由∠ BCD= ∠ ACB +∠ ACD ，∠ ACE= ∠DCE ﹣∠ ACD 可得出结论；（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解． 【答案与解析】 解：（ 1）∵∠ BCA= ∠ECD=90 °，∠ BCD=150 °， ∴∠ DCA= ∠BCD ﹣∠ BCA=150 °﹣90°=60°， ∴∠ ACE= ∠ECD ﹣∠ DCA=90 °﹣60°=30°； （2）∠ BCD +∠ACE=180 °，理由如下：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90 °+∠ACD ，，可得出∠ DCA 的度数，进而得出∠ ACE 思路点拨】 （ 1）由∠ BCD=150 °，∠∠ACE= ∠ DCE ﹣∠ ACD=90 °﹣∠ ACD ，∴∠ BCD +∠ ACE=180 °；（3）当∠ BCD=120 °或 60°时， CD ∥ AB ．如图 ② ，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠ B+∠BCD=180 °时， CD ∥AB ，此时∠ BCD=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°；如图③ ，根据内错角相等，两直线平行， 当∠ B=∠BCD=60 °时， CD ∥ AB ．【总结升华】 本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平 行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．思路点拨】 欲证∠ 3+∠4=180°，需证 BE ∥DF ，而由 AD ∥BC ，易得∠ 1=∠3，又∠ 1=∠2， 所以∠ 2=∠3，即可求证．答案与解析】证明：∵ AD ∥BC ，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BE ∥DF ， ∴∠3+∠4=180°．【总结升华】 此题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错 角相等；两直线平行，同旁内角互补．要灵活应用．举一反三：【变式 1】（ 2015 春?大名）如图： AD ∥ BC ，∠ DAC=60 °，∠ ACF=25 °，∠EFC=145 °，则直 线 EF 与 BC 的位置关系是 ．如图，已知 AD ∥BC ，∠ 1=∠2，求证：∠ 3+∠4=180°．【答案】解：平行．∵AD ∥BC，∴∠ACB= ∠DAC=60 °，∵∠ACF=25 °，∴∠FCB=35 °，∴∠EFC+ ∠FCB=145 °+35 °=180 °，∴EF∥BC，故答案为：平行．【变式2】已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3. 求证：AB∥DC.【答案】证明：∵∠ABC＝∠ADC,11∴ABC ＝ADC （等式性质）.22又∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,11∴∠1＝ABC ，∠2＝ADC （角平分线的定义）.22∴∠1＝∠2 （等量代换）.又∵∠1＝∠3（已知）,∴∠2＝∠3（等量代换）.∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）.类型三、三角形的内角和定理及推论5. 如图，P是△ABC 内一点，请用量角器量出∠ABP.∠ACP.∠A和∠BPC的大小，再计算一下，∠ABP＋∠ACP＋∠A是多少度？这三个角的和与∠BPC有什么关系？你能用学到的知识来解释其中的道理吗？你能判断∠BPC和∠A的大小吗？【答案与解析】解：∠ABP＋∠ACP＋∠A＝∠BPC，∠BPC>∠A。
2022学年北师大版八年级数学上册第七章《平行线的证明》期末复习训练卷附答案
2022学年秋学期八年级数学上册第七章《平行线的证明》期末复习训练卷一、选择题（共15小题）1. 如图，点E在延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4C. ∠5=∠BD. ∠B+∠BDC=180∘2. 如图中的同旁内角有( )A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对3. 如图，下列不能判定DE∥BC的条件是( )A. ∠AED=∠ACBB. ∠2=∠4C. ∠1=∠3D. ∠DFC+∠EDF=180∘4. 一副直角三角板如图放置，点A在DF延长线上，已知：∠D=∠BAC=90∘，∠E=30∘，∠C=45∘，BC∥DA，那么∠ABF的度数为( )A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘5. 下列各数中，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为( )A. 5B. 4C. 8D. 66. 图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词A i出现在书B j中时，元素a ij=1，否则a ij=0（i，j为正整数）．例如：当关键词A1出现在书B4中时，a14=1，否则a14=0．根据上述规定，某读者去图书馆寻找同时有关键词“A2，A5，A6”的书，则下列相关表述错误的是( )A. 当a21+a51+a61=3时，选择B1这本书B. 当a22+a52+a62<3时，不选择B2这本书C. 当a2j，a5j，a6j全是1时，选择B j这本书D. 只有当a2j+a5j+a6j=0时，才不能选择B j这本书7. 下面是投影屏上出示的抢答一题，需要回答横线上符号代表的内容．则回答正确的是( )A. 代表∠FECB. @代表同位角C. ▲代表∠EFCD. ⋇代表AB8. 下列语句不是命题的是( )A. 两直线平行，同位角相等B. 锐角都相等C. 画直线AB平行于CDD. 所有质数都是奇数9. 下列命题中的真命题是( )A. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a∥b，b⊥c，则a∥cB. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥cC. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a∥b，b∥c，则a∥cD. 在同一平面内，a，b，c是直线，如果a∥b，b∥c，则a⊥c10. 已知同一平面有三条直线a，b，c，且a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是( )A. 垂直B. 平行C. 相交D. 不能确定11. 下列句子属于命题的是( )A. 正数大于一切负数吗?B. 将16开平方C. 钝角大于直角D. 作线段AB的中点12. 如图，直线a∥b，若∠1=40∘，∠2=55∘，则∠3等于( )A. 85∘B. 95∘C. 105∘D. 115∘13. 用三个不等式a>b，ab>0，1a <1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 314. 甲乙两人轮流在黑板上写下不超过10的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字( )时有必胜的策略．A. 10B. 9C. 8D. 615. 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=50∘，∠ABC=60∘，则∠EAD+∠ACD=( )A. 75∘B. 80∘C. 85∘D. 90∘二、填空题（共8小题）16. 如果两条直线都与同一条直线平行，那么这两条直线互相．17. 将命题“等角对等边”改写成“如果⋯⋯，那么⋯⋯”的形式：．18. 如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A=110∘，第二次拐的角∠B=145∘，则第三次拐的角∠C=时，道路CE才能恰好与AD平行．19. 如图，（1）∠A与∠4是直线和直线被直线所截得的；（2）∠A与∠5是直线和直线被直线所截得的；（3）∠4与∠5是直线和直线被直线所截得的；（4）图中所有的同位角有对，它们是；（5）图中所有的内错角有对，它们是；（6）图中所有的同旁内角有对，它们是．20. 小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”．其中前5题是选择题，每题10分，每题有A，B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案的选项（A或者B）（按1∼5题的顺序排列）是．题号12345得分小聪B A A B A40小玲B A B A A40小红A B B B A3021. 已知直线a，b，c在同一平面内，且满足a∥b，b⊥c，那么直线a与c的位置关系是：a c．（从“∥”或“⊥”中选填）22. 用一组a，b的值说明命题“若a>b，则a2>b2 "是错误的，这组值可以是．（按顺序分别写出a，b的值）23. 如图，AD是△ABC的角平分线，△ABC的一个外角的平分线AE交边BC的延长线于点E，且∠BAD=20∘，∠E=30∘，则∠B的度数为．三、解答题（共7小题）24. 根据图形回答：（1）由∠1=∠A，可得∥，理由是．（2）由∠1=∠2，可得∥，理由是．（3）由∠2+∠ADO=180∘，可得∥，理由是．25. 已知：如图，AB，CD相交于点O，∠1=∠A，∠2=∠B．求证：AC∥BD．26. 如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，说明∠BAC=∠DAE的理由．27. 求证：如果一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．28. 砸“金蛋”游戏：把210个“金蛋”连续编号为1，2，3，⋯，210，接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎；然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1，2，3，⋯，再把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎⋯⋯按照这样的方法操作，直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止．操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共多少个?29. 如图，AB∥CD，∠DCE的平分线CG的反向延长线和∠ABE的平分线BF交于点F，∠E−∠F=42∘，求∠E的度数．30. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举一反例加以说明．（1）两个角的和是180∘，则这两个角是邻补角．（2）已知三条线段a，b，c，如果a+b>c，那么这三条线段一定能围成三角形．答案1. A2. D3. C4. A【解析】∵∠D=∠BAC=90∘，∠C=45∘，∠E=30∘，∴∠ABC=45∘，∠DFE=60∘，且BC∥AD，∴∠FAB=∠ABC=45∘，∴∠ABF=∠DFE−∠FAB=60∘−45∘=15∘．5. D【解析】因为6是偶数，符合命题的条件，但6不是4的倍数，不符合命题的结论，所以可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是6．6. D【解析】根据题意a ij的值要么为1，要么为0，a21+a51+a61=3，说明a21=1，a51=1，a61=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中，故读者去图书馆寻找同时有关键词“A2，A5，A6”的书可选B1这本书，故选项A表述正确；当a22+a52+a62<3时，则a22，a52，a62中必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有，从而不选择B2这本书，故选项B表述正确；当a2j，a5j，a6j全是1时，即a2j=1，a5j=1，a6j=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B j中，则选择B j这本书，故选项C表述正确；根据前述分析可知，只有当a2j+a5j+a6j=3时，才能选择B j这本书，当a2j+a5j+a6j的值为0、1或2时，都不能选择B j这本书，故选项D表述错误．7. C 【解析】延长BE交CD于点F，则∠BEC=∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），又∠BEC=∠B+∠C，得∠B=∠EFC，故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故选C．8. C9. C10. B【解析】同一平面有三条直线a，b，c，且a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是平行，原因是平行与同一条直线的两直线平行．11. C12. B13. D【解析】命题①，如果a>b，ab>0，那么1a <1b．∵a>b,ab>0，∴a−b>0．∴a−bab>0.整理得1a <1b．∴命题①是真命题．命题②，如果a>b，1a <1b，那么ab>0．∵1a <1b，∴1a−1b<0．∴b−aab<0．∵a>b，∴b−a<0，∴ab>0．∴命题②是真命题．命题③，如果ab>0，1a <1b，那么a>b．∵1a <1b，∴1a−1b<0．∴b−aab<0，∵ab>0，∴b−a<0，∴b<a．∴命题③为真命题．综上，真命题的个数为3．14. D 【解析】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3，4，6，7，8，9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6（连带3）或8（连带4），乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8（连带4）或6（连带3），剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；对于选项B：当甲写9后，乙可以写2，4，5，6，7，8，10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4，5，7，8，10这5个数中，无论甲写8（连带4）或10（连带5），乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10（连带5）或8（连带4），甲最后不能写，乙必胜；对于选项C：当甲写8时，乙可以写3，5，6，7，9，10，当乙写6（或10）时，甲就必须写10（或6），因为乙写6（或10）后，连带3（或5）也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；对于选项D：甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4，5，7，8，9，10，把这6个数分成三组：(4,7)，(5,8)，(9,10)，当然也可(4,5)，(8,10)，(7,9)或(4,9)，(5,7)，(8,10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，综上可知，只有甲先写6，才能必胜，故选：D．15. A【解析】根据三角形内角和定理，得∠ACD=180∘−(∠BAC+∠ABC)=180∘−(50∘+60∘)=70∘，所以∠CAD=90∘−∠ACD=90∘−70∘=20∘．因为AE是∠BAC的平分线，所以∠CAE=12∠BAC=12×50∘=25∘．所以∠EAD=∠CAE−∠CAD=25∘−20∘=5∘．所以∠EAD+∠ACD=5∘+70∘=75∘．16. 平行17. 在三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等18. 145∘【解析】如图所示，作BF∥AD．因为AD∥CE，所以BF∥CE．当AD∥BF时，∠1=∠A=110∘，得∠2=∠ABC−∠1=145∘−110∘=35∘．因为CE∥BF，所以∠C+∠2=180∘，得∠C=180∘−∠2=180∘−35∘=145∘．即第三次拐的角为145∘时，道路CE才能恰好与AD平行．19. AC，DE，AB，同位角，AB，DE，AC，同旁内角，AB，AC，DE，内错角，6，∠A与∠4，∠A与∠8，∠3与∠6，∠2与∠5，∠1与∠8，∠4与∠7，4，∠A与∠2，∠A与∠6，∠4与∠5，∠3与∠8，4，∠A与∠3，∠A与∠5，∠3与∠5，∠4与∠820. BABBA21. ⊥22. −1，−2（答案不唯一）【解析】当a=−1，b=−2时，满足a>b，但是a2<b2，所以命题“若a>b，则a2>b2 "是错误的．答案不唯一．23. 40∘【解析】∵AD 是 △ABC 的角平分线，∠BAD =20∘，∴∠BAC =40∘， ∴∠FAC =180∘−∠BAC =180∘−40∘=140∘．∵AE 平分 ∠CAF ， ∴∠CAE =70∘， ∴∠BAE =40∘+70∘=110∘．∵∠AED =30∘， ∴∠B =180∘−30∘−110∘=40∘．故答案为：40∘．24. （1） AC ；OD ；同位角相等，两直线平行（2） AB ；OE ；内错角相等，两直线平行（3） AB ；OE ；同旁内角互补，两直线平行25. 因为 ∠1=∠2（对顶角相等），∠1=∠A ，∠2=∠B （已知），所以 ∠A =∠B （等量代换）．所以 AC ∥BD （内错角相等，两直线平行）．26. 在 △ABC 和 △ADE 中， {AB =AD(已知),AC =AE(已知),BC =DE(已知),所以 △ABC ≌△ADE (SSS )．所以 ∠BAC =∠DAE （全等三角形对应角相等）．27. 已知：如图，OA ∥O ʹA ʹ，OB ∥O ʹB ʹ，求证：∠O =∠O ʹ．证明：∵OA ∥O ʹA ʹ， ∴∠O =∠A ʹCB ．∵OB ∥O ʹB ʹ， ∴∠A ʹCB =∠O ʹ． ∴∠O =∠O ʹ．已知：如图，OA ∥O ʹA ʹ，OB ∥O ʹB ʹ，求证：∠AOB +∠A ʹO ʹB ʹ=180∘．证明：∵OA ∥O ʹA ʹ，∴∠O =∠O ʹCB ．∵OB ∥O ʹB ʹ， ∴∠O ʹCB +∠O ʹ=180∘． ∴∠O +∠O ʹ=180∘．28. 210÷3=70，第一次砸碎3的倍数的金蛋个数为70；剩下210−70=140个金蛋，重新编号为1，2，3，⋯，140，140÷3=46⋯⋯2，第二次砸碎3的倍数的金蛋个数为46；剩下140−46=94个金蛋，重新编号为1，2，3，⋯，94，94÷3=31⋯⋯1，第三次砸碎3的倍数的金蛋个数为31；剩下94−31=63个金蛋，因为63<66，所以砸三次后，就不再存在编号为66的金蛋，故操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共3个．29. 如图，过点F作FH∥AB．因为AB∥CD，所以FH∥AB∥CD，因为∠DCE的平分线CG的反向延长线和∠ABE的平分线BF交于点F，所以设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，所以∠ECF=180∘−β，∠BFC=∠BFH−∠CFH=α−β，所以四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360∘−α−(180∘−β)=180∘−(α−β)=180∘−∠BFC，即∠E+2∠BFC=180∘，又因为∠E−∠BFC=42∘，所以∠BFC=∠E−42∘，所以∠E+2(∠E−42∘)=180∘，所以∠E=88∘．30. （1）假命题．如图所示，在等腰△ABC中，∠B=∠ACB，∠ACD+∠ACB=180∘，则∠B+∠ACD=180∘，但∠B与∠ACD不是邻补角．（2）假命题．例如a=9，b=1，c=8，9+1>8，但1+8=9，构不成三角形．。
平行线的有关证明复习课件
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目录
CONTENTS
01 添加目录标题 02 平行线的性质 03 平行线的性质证明 04 平行线的判定证明 05 平行线的应用
06 总结与回顾
单击添加章节标题
第一章
平行线的性质
第二章
平行线的应用
第五章
平行线在几何中的应用
平行线的性质：传递性、内错角相等、同位角相等 平行线的判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补 平行线的应用：平行四边形、梯形、三角形中的平行线应用 平行线的应用举例：等腰三角形、等边三角形、矩形、菱形等
平行线在实际生活中的应用
建筑学：在建筑设计、施工和加固中，平行线可以用于确定水平和垂直方向，确保建筑物的稳定性和安全性。 交通：在道路、桥梁和隧道的设计中，平行线用于确定道路的走向和宽度，确保车辆的安全行驶。 机械制造：在机械制造中，平行线用于确定零件的尺寸和位置，确保机器的精确度和稳定性。 摄影：在摄影中，平行线可以用于构图和拍摄角度的选择，使照片更加美观和生动。 艺术：在绘画、雕塑和建筑艺术中，平行线可以用于创造平衡、稳定和和谐的艺术效果。
性质：平行线的性质包括同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等
判定方法：通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质来判断两条直线是否平 行
判定定理：在同一平面内，如果两条直线被第三条直线所截，那么它们之间的同位角相 等，那么这两条直线平行
平行线的性质证明
第三章
平行线的性质证明方法
平行线的性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
回顾平行线的证明方法和示例
平行线的性质和 判定方法
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点
在八年级数学中，学生学习了平行线的证明。
以下是一些相关的知识点：
1. 平行线的定义：两条直线在同一个平面内如果不相交，且不在同一直线上的任一点到另一条直线的距离相等，则这两条直线互为平行线。
2. 平行线的性质：
a. 平行线之间永远不会相交。
b. 平行线与同一条横截线所产生的对应角、同位角和内错角等对应角相等。
c. 平行线与同位角加内错角之和等于180度。
3. 平行线的证明方法：
a. 直线内角和为180度。
b. 两线条间的夹角关系：例如，错位角、锐角与钝角之间的关系。
c. 线条与横截线之间夹角的性质：例如，顶角定理和同位角定理。
4. 平行线的证明步骤：
a. 根据已知条件写出证明目标。
b. 根据性质和定义选择合适的性质或定理。
c. 根据所选的性质或定理给出相关的逻辑推理。
d. 使用逻辑推理来证明所需要的结论。
需要注意的是，平行线的证明通常是通过以证明反证法的方式进行。
也就是首先假设两条直线不平行，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而推出两条直线是平行的。
新北师大版八年级数学上册第七章平行线的证明知识点复习
AB E P DC F平行线的证明知识点复习知识点1:命题（1）判断一件事情的句子，叫_____________. _______的命题是真命题，不正确的命题是___________.（2）公认的真命题称为____________,经过证明的真命题称为_____________.典型练习：1：判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例：①．若a>b ，则ba 11 ． ②．两个锐角的和是锐角．③．同位角相等，两直线平行． ④．一个角的邻补角大于这个角． ⑤．两个负数的差一定是负数．2．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户.李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了.李大爷问:“是谁闯的祸?”甲说:“是乙不小心闯的祸.” 乙说:“是丙闯的祸.”丙说:“乙说的不是实话.” 丁说:“反正不是我闯的祸.”如果这四个小朋友中只有一个人说了实话,请你帮李大爷判断一下,究竟是谁闯的( )A.甲B. 乙C.丙D.丁知识点2：平行线（1）.平行线的判定：公理:____________相等,两直线平行. 判定定理1:___________相等,两直线平行.判定定理2:_______________,两直线平行. 定理：平行于同一直线的两直线___________.（2）.平行线的性质公理:两直线平行,同位角___________. 性质定理1:两直线平行,内错角_________.性质定理2:两直线平行,同旁内角__________.典型练习：1、已知如图∠1=∠2，BD 平分∠ABC ，求证：AB//CD2.已知：BC//EF ，∠B=∠E ，求证：AB//DE 。
3、小明到工厂去进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图所示的零 件，要求AB ∥CD ，∠BAE=35°，∠AED=90°．小明发现工人师傅只是量出∠BAE=35°，∠AED=90°后，又量了∠EDC=55°，于是他就说AB 与CD 肯定是平行的，你知道什么原因吗？4．如图，某湖上风景区有两个观望点A，C和两个度假村B，D．度假村D在C的正西方向，度假村B在C的南偏东30°方向，度假村B到两个观望点的距离都等于2km．（1）求道路CD与CB的夹角；（2）如果度假村D到C是直公路，长为1km，D到A是环湖路，度假村B到两个观望点的总路程等于度假村D到两个观望点的总路程．求出环湖路的长；（3）根据题目中的条件，能够判定DC∥AB吗？若能，请写出判断过程；若不能，请你加上一个条件，判定DC∥AB．5.与平行线有关的探究题（1）、利用平行线的性质探究：如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①②③④四个部分，规定线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA、PB，构成∠PAC、∠APB、∠PBD三个角．当动点P落在第①部分时，小明同学在研究∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系时，利用图1，过点P 作PQ∥BD，得出结论：∠APB=∠PAC+∠PBD．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）当动点P落在第②部分时，在图2中画出图形，写出∠PAC、∠APB、∠PBD三个角的数量关系；（2）当动点P落在第③、第○4部分时，在图3、图4中画出图形，探究∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系，写出结论并选择其中一种情形加以证明．知识点三：三角形的内角和外角(1)三角形内角和定理：三角形的内角和等于__________.(2) 定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的____________________.(3) 定理：三角形的一个外角大于任何一个和它____________________.典型练习：1.如下几个图形是五角星和它的变形．（1）图（1）中是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E；（2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性；（3）把图（2）中的点C向上移到BD上时，如图（3）所示，五个角的和（即∠CAD+∠B+ ∠ACE+∠D+∠E）有无变化？说明你的结论的正确性．2.．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠AB C 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，通过分析发现∠BOC =90°+21∠A,理由如下: ∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，∴∠1=21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=21(∠ABC+∠ACB)又∵∠ABC+∠ACB=180°—∠A∴∠1+∠2=21（180°—∠A ）=90°—21∠A ∴∠BOC=180°—（∠1+∠2）=180°—（90°—21∠A ） ∴∠BOC=90°+21∠A 探究2：如图2,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 请说明理由.探究3：如图3，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？（只写结论，不需证明）综合测试题：一、填空题1.如上图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对.2.如上右图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=_____.3.如右图，DAE 是一条直线，DE ∥BC ，则∠BAC =_____.4.“一次函数y=kx-2，当k>0时，y 随x 的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）二、选择题1.下列命题正确的是( )A.内错角相等B.相等的角是对顶角C.三条直线相交 ，必产生同位角、内错角、同旁内角D.同位角相等，两直线平行2.两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线( )A.互相重合B.互相平行C.互相垂直D.相交3. 下列句子中,不是命题的是( )A.三角形的内角和等于180度;B.对顶角相等;C.过一点作已知直线的平行线;D.两点确定一条直线.4.如右图，已知∠1=∠B ，∠2=∠C ，则下列结论不成立的是( )A.AD ∥BCB.∠B =∠CC.∠2+∠B =180°D.AB ∥CD5.如右图，若AB∥CD，则∠A、∠E、∠D之间的关系是( )A.∠A+∠E+∠D=180°B.∠A－∠E+∠D=180°C.∠A+∠E－∠D=180°D.∠A+∠E+∠D=270°三、解答题1.如图，已知AB∥CD，∠B=65°，CM平分∠BCE，∠MCN=90°，求∠DCN的度数.2.如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？3.如图，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．（1）求∠DAE的度数；（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．（3）若∠C=α°，∠B=β°，试猜想∠DAE与∠C—∠B有何关系，并证明你的猜想.∠DAE的度数．（∠C＞∠B）4.如图，y轴的负半轴平分∠AOB，P为y轴负半轴上的一动点，过点P作x轴的平行线分别交OA、OB 于点M、N．（1）如图1，MN⊥y轴吗？为什么？（2）如图2，当点P在y轴的负半轴上运动到AB与y轴的交点处，其他条件都不变时，等式∠APM=（∠OBA﹣∠A）是否成立？为什么？（3）当点P在y轴的负半轴上运动到图3处（Q为BA、NM的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q、∠OAB、∠OBA之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由．。
2024八年级数学上册期末复习9平行线的证明2易错专项训练习题课件新版北师大版
∵MC'∥ AB ，∴∠MC'N＝∠ B ＝65°.
∴∠ CMN ＝∠C'MN＝ ×(180°－65°－65°)＝25°.
故选B.
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2
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类型3考虑不全导致的错误
3. 一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点 B ， D 重合，
若固定三角板 AOB ，
改变三角板 ACD 的位置(其中 A 点位置
42°，
∴4 x －30°＝4×42°－30°＝138°.
∴这两个角的度数分别为42°，138°或10°，10°.
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∵ MC '∥ BC ，∴∠ C ' MN ＝∠ MNC .
∴∠ CMN ＝∠ MNC . ∵∠ C ＝65°，
∴∠ CMN ＝∠ MNC ＝ ×(180°－65°)＝57.5°.
∴∠C'MN＝57.5°；
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②如图②，MC'与△ ABC 的边 AB 平行.
∵△ MNC 沿 MN 折叠得到△MNC'，
∴如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或
互补.
设一个角的度数为 x ，则另一个
角的度数为4 x －30°.
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(1)两个角相等，则 x ＝4 x －30°，解得 x ＝10°，
∴4 x －30°＝4×10°－30°＝10°；
(2)两个角互补，则 x ＋(4 x －30°)＝180°，解得 x ＝
1
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正确的有(
A
)
A. ①②④
平行线的证明复习回顾-北师大版八年级数学上册
它符合命题的题设，也满足命题的结论就 可以了； ④“相等的角是对顶角”是假命题. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.等角的补角相等，改写成“如果…那么…”的形式：
_如__果__两__个__角__相__等__，__那__么__这___两__个__角__的__补__角__相__等__
试判断∠AED和∠C的关系，并证明.
解：∠AED=∠C 理由如下： ∵∠1+∠EFD=1800 （平角的定义）
∠1+∠2=1800 （已知）
D B ︶2
∴∠EFD=∠2（等量代换）
∴ AB∥EF（内错角相等，两直线平行）
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）
∵∠3=∠B（已知）
∴∠ADE=∠B（等量代换）
•
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
•
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
2.掌握平行线的性质定理与判定定理， 明确命题证明的基本步骤.
自学指导1(1分钟)
看课本P165-170 思考下列问题： 1、想一想：什么是定义？什么是命题？命题由哪 两部分组成？
2、什么是真、假命题？如何判断？
3、什么是公理？什么是定理？如何说明一个命 题是真命题？
学生自学，教师巡视（3分钟）
自学检测1（5分钟）
2.下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真 命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例
平行线的有关证明复习
平行线的有关证明复习平行线的证明是初中数学的基础内容之一，它是我们研究几何学中的重要概念。
证明平行线的方法有很多，下面我会介绍几种常用的证明方法。
首先，我们来看看平行线的定义。
在平面上，如果两条直线上的任意两点的连线都与第三条直线垂直，那么这两条直线就被称为平行线。
根据这个定义，我们可以尝试使用垂直线的性质来证明平行线。
证明平行线的第一种方法是使用反证法。
假设我们要证明直线l和m平行，即l//m。
我们可以先假设l和m不平行，然后找到一个与l相交的第三条直线n。
如果我们能够证明n与m垂直，那么就可以推出l和m平行，从而与我们最初的假设矛盾。
这样，我们就得到了l和m平行的证明。
证明平行线的第二种方法是使用等角性质。
我们知道，两条平行线上的任意两条相交线所夹角是等于对应角的。
因此，如果我们能够找到两条相交线的对应角相等，那么就可以推出这两条直线是平行的。
通过使用等角的性质，我们可以证明两条直线是平行的。
证明平行线的第三种方法是使用平行线的性质。
根据平行线的性质，如果两条直线分别与一组平行线相交，并且这两条直线上的对应角相等，那么这两条直线也是平行的。
因此，我们可以通过找到两条直线与一组已知平行线相交，并证明对应角相等来证明这两条直线是平行的。
除了上述方法外，还有一些其他的方法可以用来证明平行线。
例如，我们可以使用相交线的性质，通过证明两条直线上的对应角或内错角互补、补角相等等来证明平行线。
此外，还可以使用平行线之间的相交线的角的特殊性质，例如同位角相等、内错角互补等来证明平行线。
在进行证明时，我们还可以利用平行线的性质来简化证明过程。
例如，利用平行线的性质进行反证法时，我们可以利用“同线同位角”的性质来使得证明过程更加简洁。
同样，利用平行线的性质进行等角性质证明时，我们可以利用平行线的夹角定理等更深层次的性质来简化证明过程。
总结起来，证明平行线的方法有很多种，我们可以根据具体问题来选择合适的方法。
在进行证明时，我们可以利用平行线的性质以及其他几何性质来简化证明过程。
平行线的证明复习PPT教案学习
∠BDF.
证求明证：∵BC∠平1分+∠2D=B1E8.0°， ∠BDC+∠2=180°
A
B 1E
∴∠1=∠BDC
∴AE∥FC ∴∠EBC=∠C
FD 2
C
∵∠A=∠C ∴∠EBC=∠A
∵AD平分∠BDF ∴∠ADF=∠ADB
∴AD∥BC ∴∠ADB=∠CBD
∠ADF=∠C
∴∠CBD=∠C ∴∠CBD=∠EBC ∴BC平分∠DBE
3.内错角相等，两直线平行. 定理
4.同旁内角互补，两直线平行. 定理 5.平行于同一条直线的两条直线互相平行. 定理
6.平面内垂直于同一直线的两条直线平行.真命题
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自学检测2：（5分钟）
1.已知：如图，∠1=40°，∠D=50°，EF⊥DE.
求证：AB∥CD.
证证明明：：（（证证法法21）） ∵∵EEFF⊥⊥DDEE ∴∴∠∠DDEEFF==9900°°
一般地，陈述句是命题，疑问句，感叹句，命令性
的句子和表示作法的句子都不是命题.
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3.将下列命题改写成"如果...那么..."的形式. (1).同角的余角相等. 如果几个角是同一个角的余角,那么这几个角相等.
(2).等角的余角相等. 如果几个角相等,那么这几个角的余角相等.
(3).直角都相等. 如果几个角都是直角，那么这几个角相等. (4).对角线相等的平行四边形是长方形. 如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个 平行四边形是长方形.
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4.判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题请举一 个反例加以说明.
(1)两个角的和是180°，则这两个角是邻补角.
平行线的证明小结与复习
第 1 页 共 5 页平行线的证明小结与复习基础盘点1.对______的含义加以描述，作出明确的______，也就是给出了它们的定义.2.________________叫做命题. _______的命题叫做真命题，_______的命题叫做假命题.3.每个命题都由_____与_____组成，_____是已知的事项，_____是由已知事项_____出的事项.4.有些真命题，它们的正确性是人们在______总结出来的，并直接作为判断其他命题_____的依据，这类________的真命题叫做公理.5.有些真命题的正确性是通过_______得到的，这类真命题称为定理.6.举一个例子，若具备命题的______，而不具备命题的_____，这种例子称为反例.7.平行线的性质：（1） ；（2） ；（3） .8.平行线的判定：（1）两条平行线被第三条直线所截，如果___________，那么两直线平行；如果___________，那么两直线平行；如果___________，那么两直线平行.9.三角形的内角和等于_____.10.三角形的一个外角等于_____________；三角形的一个外角大于________________.考点呈现考点1 真假命题的判断 例1（2014年广州，改编）已知命题“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，该命题是______命题（填“真”或“假”）.解析：假命题. 反例：如图1，已知△ABC 与△DBC 同底，且BC 边上的高相等，所以△ABC 与△DBC 的面积相等，但△ABC 与△DBC 不全等.考点2 平行线的判定与性质例2 如图2，已知CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，∠1=∠2．则FD 与AE 平行吗？为什么？解析：FD ∥AE ．理由如下：因为CD ⊥AD ，DA ⊥AB ，所以∠2+∠FDA=90°，∠1+∠DAE=90°.又∠1=∠2，所以∠FDA=∠DAE.所以FD ∥AE.例3（2013年随州）如图3，直线a ，b 与直线c ，d 相交，若∠1=∠2，∠3=70°，则∠4的度数是（ ）A ．35°B ．70°C ．90°D ．110°解析：因为∠1=∠2，所以a ∥b.所以∠3=∠5.图3第 2 页 共 5 页因为∠3=70°，所以∠5=70°.所以∠4=180°−∠5=180°-70°=110°.故选D ．考点3 三角形的内角和例4（2014年泰安）如图4，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是（ ）A .∠1+∠6＞180°B .∠2+∠5＜180°C .∠3+∠4＜180°D .∠3+∠7＞180°解析：因为DG ∥EF ，所以∠3+∠4=180°.因为∠6=∠4，∠3＞∠1，所以∠6+∠1＜∠4+∠3=180°.选项A 错误；因为DG ∥EF ，所以∠5=∠3.因为∠3＞∠1，所以∠2+∠5=∠2+∠3＞∠2+∠1= 180°.选项B 错误；因为DG ∥EF ，所以∠3+∠4=180°.选项C 错误；因为DG ∥EF ，所以∠2=∠7.因为∠3+∠2＞180°，所以∠3+∠7＞180°.选项D 正确.故选D ．考点4 三角形的外角例5 （2014年巴中）如图5，CF 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线，且CF ∥AB ，∠ACF=50°，则∠B 的度数为（ ）A ．80°B ．40°C ．60°D ．50°解析：因为CF ∥AB ，∠ACF=50°，所以∠A=50°.因为CF 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线，所以∠ACM=100°.所以∠B=∠ACM −∠A=100°−50°=50°．故选D ．考点5 平行线与方位角 例6 如图6，在灯塔A 处看海岛B 在南偏西50°的方向，海岛C 在南偏东20°的方向，在C 处看海岛B 在南偏西80°的方向，求∠ACB 的度数.分析：由方位角的概念，可知∠DAC=20°，∠BCF=80°，AD ∥CF ，根据平行线的性质求出∠ACF 的度数，利用等量代换即可求解.解：因为海岛C 在南偏东20°的方向，所以∠DAC=20°.因为AD ∥CF ，所以∠ACF=160°.因为C 处看海岛B 在南偏西80°的方向，所以∠BCF=80°.所以∠ACB=∠ACF-∠BCF=160°-80°=80°．所以∠ACB 的度数是80°．图5图4第 3 页 共 5 页考点6 推理与证明 例7 （2014年厦门）A ，B ，C ，D 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中积分最高的两个队（有且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果A 队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才能保证一定出线？请说明理由．[注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场]．分析：根据题意，每队都要进行3场比赛，本组进行6场比赛.根据规则，每场比赛两队得分的和是3分或2分，据此对A 队的胜负情况进行讨论，从而确定．解：至少要7分才能保证一定出线.理由：每队都进行3场比赛，本组进行6场比赛．若A 队两胜一平，则积7分．因此其他队的积分不可能是9分，依据规则，不可能有球队积8分.每场比赛，两队得分的和是3分或2分，6场比赛两队的得分之和最少是12分，最多是18分，所以最多只有两个队得7分．所以积7分保证一定出线．若A 队两胜一负，积6分．则各队的比赛得分可能列表如下：根据规则，这种情况下，A 队不一定出线．同理，当A 队积分是5分，4分，3分，2分时不一定出线．因此，A 队至少得7分才能保证一定出线．误区点拨一、没弄清事情的判断和描述例1下列属于定义的是（ ）A .花儿在春天开放B .等角的余角相等C .内错角相等，两直线平行D .三角形的外角是三角形的一边与另一边的延长线所组成的图形错解：选B .剖析：定义是对名称和术语的描述，并作出明确的规定.本题中的A ，B ，C 是对某件事情的判断，而不是描述，所以它们都不是定义.正解：选D .二、语句表达不完整、不准确例2将“两点之间线段最短”写成“如果……那么……”的形式.错解：如果两点之间，那么线段最短.剖析：错在语句表达不完整、不准确.正解：如果平面上有两点，那么在连接两点的所有线中，线段最短.三、找角过程中重复或遗漏例3 如图，若AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD ，BD 交EF 于H ，则图2中与∠1相等的角（∠1除外）共有（ ）A . 6个B . 5个C .4个D . 2个第 4 页 共 5 页 错解：选A 或C.剖析：出错的原因在于未能根据已知条件逐一找出与∠1相等的角，在找角的过程中漏找或找重了，解此类问题应有序的逐一找出与∠1相等的角，这样才不会出现漏、重现象.由EF ∥AB ，可得∠1=∠FEG .由EG ∥BD ，可得∠1=∠ABH ，∠FEG=∠FHB ，∠FEG=∠EHD.由EF ∥DC ，可得∠EHD=∠HDC.即∠1=∠FEG=∠EHD=∠HDC=∠FHB=∠ABH.所以与∠1相等的角共有5个.正解：选B.典例论坛赏析一道“探究与拓展”题刘顿（2014年内蒙古赤峰） 如图1，E 是直线AB ，CD 内部一点，AB ∥CD ， 连接EA ，ED .（1）探究猜想：①若∠A ＝30°，∠D ＝40°，则∠AED 等于多少度？②若∠A ＝20°，∠D ＝60°，则∠AED 等于多少度？ ③猜想图1中∠AED ，∠A ，∠D 的关系并证明你的结论.（2）拓展应用： 如图2，射线FE 与长方形ABCD （AB ∥CD ）的边AB 交于点E ，与边CD 交于点F ，①②③④分别是被射线FE 隔开的4个区域（不含边界，其中区域③，④位于直线AB 的上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB ，∠PFC ，∠EPF 的关系（不要求证明）.分析：（1）①，②，③均可作辅助线得出∠AED ＝∠A +∠D .可延长AE 与DC 交于点F ，由AB 与DC 平行，利用“两直线平行，内错角相等”得到一对角相等，再利用外角的性质及等量代换得证.（2）可依题意，分别分四个区域画出相应的图形，作出适当的辅助线，如过点P 作PG ∥AB ，从而利用平行线的性质和角的加减，分别找出三个角的关系.解：（1）①∠AED ＝70°；②∠AED ＝80°；③猜想：∠AED ＝∠A +∠D .证明：如图1，延长AE 交DC 于点F .因为AB ∥DC ，所以∠A ＝∠EFD .因为∠AED 为△EDF 的外角，所以∠AED ＝∠D +∠EFD ＝∠A +∠D .（2）点P 在区域①时，如图3，过点P 作PG ∥AB .因为AB ∥DC ，所以PG ∥DC .所以∠EPG ＝180°－PEB ，∠FPG ＝180°－∠PFC .所以∠EPF ＝360°－(∠PEB +∠PFC )；D CE B AF ④ ② ③ ① 图2 D CB A E 图1 F DC E B A F ④ ② ③ ① 图3 G PD CE B AF ④ ② ③ ① 图4G P D CE BA F ④ ②③ ① 图5 G P点P在区域②时，如图4，过点P作PG∥AB.因为AB∥DC，所以PG∥DC.所以∠GPE＝∠PEB，∠GPF＝∠PFC.所以∠EPF＝∠PEB+∠PFC；点P在区域③时，如图5，过点P作PG∥AB.因为AB∥DC，所以PG∥DC.所以∠GPF＝180°－∠PFC，∠GPE＝180°－∠PEB.所以∠GPF－∠GPE＝(180°－∠PFC)－(180°－∠PEB)＝∠PEB－∠PFC，即∠EPF＝∠PEB－∠PFC；同法可求得当点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC－∠PEB.推理过程请同学们自己完成.第 5 页共5 页。
小专题(三)证明平行线中五种常见的结论
小专题（三） 证明平行线中五种常见的结论类型1 证明角相等1.如图，AE 平分,//DAC AE BC ∠，求证：B C ∠=∠.2.如图，已知//,//AB CD AD BC .求证：A C ∠=∠.3.如图，已知23,C D ∠=∠∠=∠，求证：A F ∠=∠.类型2 证明角平分线4.如图，AD BC ⊥于点,D EG BC ⊥于点,1G E ∠=∠.求证：AD 平分BAC ∠.类型3 证明垂直5.如图，AD平分,E A C共线，DAC EFA∠⊥于D，点,,BAC AD BC∠=∠，延长EF 交BC于点G.求证：EG BC⊥.类型4 证明平行6.如图，已知,∠=∠∠=∠，判断BC与AD的位置关系，并说明理由.B D E F7.如图，,,∠=∠∠=∠，试判断BD与CF的位置A B C三点在同一直线上，12,3D关系，并说明理由.8.已知，如图，//,12AB CD GDH ∠=∠+∠.求证：//AB EF .9.如图，,,B C E 三点在一条直线上，,,A F E 三点在一条直线上，//AB CD ，12,34∠=∠∠=∠.求证：//AD BE .类型5 证明两角的和差关系10.已知,E F 分别是,AB CD 上的动点，P 也为一动点.（1）如图1，若//AB CD ，求证：P BEP PFD ∠=∠+∠；（2）如图2，若P PFD BEP ∠=∠-∠，求证：//AB CD ；（3）如图3，//AB CD ，移动,E F ，使90EPF ︒∠=，作PEG BEP ∠=∠，则AEG PFD∠=∠_________.1.证明：//,1,2.AE BC B C AE ∴∠=∠∠=∠平分DAC ∠，1 2.B C ∴∠=∠∴∠=∠.2.证明：//,180AB CD A D ︒∴∠+∠=. 又//,180.AD BC D C A C ︒∴∠+∠=∴∠=∠.3.证明：23,12,1 3.//.DB CE DBA ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∴∠=C ∠. ,.//.D C D DBA DF AC A F ∠=∠∴∠=∠∴∴∠=∠.4.证明：,,90.//AD BC EG BC ADC EGC AD EG ︒⊥⊥∴∠=∠=∴.12∴∠=∠， 3.1,2 3.E E AD ∠=∠∠=∠∴∠=∠∴平分BAC ∠.5.证明：AD 平分,BAC DAC DAB ∠∴∠=∠.又DAC ∠=EFA ∠，.//.DAB EFA AD EG ADC EGD ∴∠=∠∴∴∠=∠.AD BC ⊥，90ADC ︒∴∠=. 90.EGD EG BC ︒∠=∴⊥.6.解：//BC AD ，理由：,//.E F BE FD B BCF ∠=∠∴∴∠=∠.又B D ∠=∠，.//BCF D BC AD ∴∠=∠∴.7.解：//BD CF .理由如下：12,//.AD BF D DBF ∠=∠∴∴∠=∠. 3,3.//D DBF BD CF ∠=∠∴∠=∠∴.8.证明：//,1.AB CD GDC GDH GDC CDH ∴∠=∠∠=∠+∠=12∠+∠， 2.//,//CDH CD EF AB EF ∴∠=∠∴∴.9.证明：//,4.34,3AB CD BAE BAE ∴∠=∠∠=∠∴∠=∠.12∠=∠， 12CAF CAF ∴∠+∠=∠+∠，即.3.//BAE CAD CAD AD BE ∠=∠∴∠=∠∴.10.证明：（1）过点P 作//PG AB ，则.//EPG BEP AB CD ∠=∠，//PG CD ∴. .GPF PFD EPF EPG FPG ∴∠=∠∴∠=∠+∠=BEP PFD ∠+∠.（2）过点P 作//PQ AB ，则QPE BEP ∠=∠.EPF PFD BEP ∠=∠-∠， .//.//PFD EPF BEP EPF QPE FPQ DC PQ AB CD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠∴∴.。
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hank you
2、将两张长方形纸片按如图方式摆放，使其中一张长方形 纸片的一个顶点恰好落在另一张长方形纸片的一条边上，则 ∠1+∠2=_____.
3、如图，∠xOy=90°，点A,B分别在坐标轴Ox,Oy上移动， BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线 交于点C,试问∠ACB的大小是否随着点A,B的移动而变化？
若保持不变，请给出证明；若随点A,B的移动发生改变，请
给出变化范围。
第二环节
【初出茅庐】
1、独立完成（5分钟）
课堂反馈
2、规定时间内完成（先完成前两两组每人5维尔） 3、组内核对答案
1、已知三条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ同的直线a,b,c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a//b,a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a,c//a,那么b//c；
第一环节 质疑释难
1、独立完成题型一至三。（10分钟）
2、小组讨论，把不懂的标出来（2分钟）
3、规定时间内完成（10维尔）
4、纪律委员注意小组纪律 5、每组的副组长顺时针到别组里组织核对答案
题型一：定义 1、下列语句属于定义的是( ) A.两点确定一条直线 B.两直线平行，同位角相等
C.等角的补角相等
D.三条边都相等的三角形叫做等边三角形
题型二：折叠问题 2、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D,C分别落在点D’， C’的位置，若∠EFB=65°，则∠AED’等于______.
题型三：综合应用 3、如图，已知∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON 上移动，∠OAB的平分线与∠OBA的外角平分线所在直线交
于点C.试猜想：随着A、B点的移动，∠ACB的大小是否变
化？说明理由。
1、独立完成跟踪训练1-3（8分钟）
2、小组讨论，解答（2分钟）
3、规定时间内完成（10维尔）
4、纪律委员注意小组纪律 5、每组的副组长顺时针到别组里组织核对答案
跟踪训练：
1、下列语句不属于定义的是(
)
A.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 B.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 C.对顶角相等 D.由不等号连接的式子叫做不等式