基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法201310632445.7

建立约束函数
直接输出所述数字曲面 ，并结束流程
判断所得到的数字曲面是 否满足精度要求
优化求解器对所 述目标函数进行 优化求解，得到 模拟形式的数字 曲面
S5 S4
100005 2010.2
1
权 利 要 求 书 1、一种基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，其特征在于，包括以 下步骤： S1，设定待拟合曲面的初始值矩阵 F0 以及采样数据；建立约束函数； S2，将待拟合曲面所在原始区域空间离散化为格网点形式，其中，格网点 包括两类：边界格网点和内部格网点；各个边界格网点组成边界区域，各个内 部格网点组成内部区域； 然后根据 S1 获得的初始值矩阵 F0 以及采样数据，计算所有格网点的第一 类基本量系数 E、 F、 G、 第二类基本量系数 L、 M、 N 和 k i=1,2； j =1,2； k=1,2； ij ， 其中，所述第一类基本量系数用于表示地形曲面上曲线的弧长、地形曲面上两 个方向的夹角和地形曲面域的面积；所述第二类基本量系数用于刻画地形曲面 空间中的弯曲性； S3，利用代数建模工具，根据曲面论的三个基本方程建立目标函数，并将 所述目标函数、所述约束函数和所述初始值矩阵 F0 传递给优化求解器；其中， 所述目标函数建立在所述内部区域； S4，所述优化求解器对所述目标函数进行优化求解，得到模拟形式的数字 曲面； S5，所述优化求解器判断所得到的所述数字曲面是否满足精度要求，如果 满足，则直接输出所述数字曲面，并结束流程；如果不满足，则迭代 S2-S5，直 到得出满足精度要求的数字曲面，并输出所述满足精度要求的数字曲面。 2、根据权利要求 1 所述的基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，其 特征在于，S1 中，所述初始值矩阵 F0 包括以下几种情况： （1）设所述初始值矩阵 F0 为零矩阵； （2）设所述初始值矩阵 F0 中的元素全部为采样数据的平均值。 3、根据权利要求 1 所述的基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，其 特征在于， S1 中， 所述约束函数为根据采样数据建立的等式约束函数， 即： SIST 的约束函数为 f m,n height 形式的等式约束，其中 m,n 表示在格网点（xm，yn） 处有采样点，该采样点的属性值为 height。 4、根据权利要求 1 所述的基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，其
Az RHS1 Bz RHS 2 Cz RHS 3 ，
(12)
A 、 B 和 C 为系数矩阵，采用以下方式表达：
定义 Z m,n 表示一个零矩阵, 这个零矩阵的行数和列数分别为 m 和 n ，则： 系数矩阵 A 表达为：
Z c , r*c Ac ,( r 2)*c A= Ac ,( r 2)*c Z c ,r*c ，
(2)
其中，f xx , f yy , f xy 分别表示 f ( x, y ) 对 x 的二阶导数、 对 y 的二阶导数以及对 x, y 各 一阶导数； 对于任意一个格网点（xi，yj） ，高斯方程组表达为式（3） ：
f 1 f 2 f L E G F 2 1 2 11 x 11 y xx 1 1 2 2 2 fyy 22 fx 22 fy N E G F 1 1 2 2 2 f f f M E G F xy 12 x 12 y ，


(3)
则：
1 11
1 G E x 2F Fx F E y E G F 2 2


1
(4)
100001 2010.2
2
权 利 要 求 书
1 12
1 G E y F G x E G F 2 2


1
(5)
(17)
其中， Cc ,( r 2)*c 表示一个行数和列数分别为 c 和 (r 2)*c 的矩阵，表示为
Z1,( r 2)*c 1 Z1,c 1 1 Z1,c 1 -1 Z1,c 1 1 1 Z Z1,c1 1 1, c 1 1 Z1, c 1 -1 1 Z1,c 1 1 Z1,c 1 -1 Z1,c 1 1 1 Z1,c 1 1 Z1,c1 -1 Z1,c 1 1 Z 1,( r 2)* c 。
c2
6、根据权利要求 5 所述的基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，其 特征在于，还包括： 设
z ( f 0,0 , f0,1 , , f0,c 1 , f1,0 , f1,1 ,, fi,0 , , fi,c 1 , f r 1,c 1 )T
，则方程（10）表达为以
下矩阵形式：


1




1 2
).h 2
；
(10)
其中，h 为计算步长，即像元分辨率； fi ,j 代表 f x, y 在格网点（xi，yj）处的 值； S32，将式（10）的右端项分别简写为 RHS1、RHS2 和 RHS3，同时将右端 移动到左端，得到以下方程表达式：
ex1 fi 1, j 2 fi , j fi 1, j RHS1i , j ex 2 fi , j 1 2 fi , j fi , j 1 RHS 2i , j ex3 fi 1, j 1 f i 1, j 1 f i 1, j 1 fi 1, j 1 RHS 3i , j
；
(11)
S33，式（11）中三个表达式的平方和的最小化表达式即为 SIST 方法的目 标函数，其中，i 的取值范围为 1,2,...,r-2；j 的取值范围为 1,2,...,c-2； 写成数学 函数的形式，SIST 方法的目标函数表达为：
100001 2010.2 3
权 利 要 求 书
r2 min i 1 ( f i 1, j 2 f i , j fi 1, j RHS1i , j ) 2 +( f i , j 1 2 f i , j fi , j 1 RHS 2i , j ) 2 2 j 1 +( f i 1, j 1 f i 1, j 1 f i 1, j 1 f i 1, j 1 RHS 3i , j ) 。
说 明 书 摘 要 本发明提供一种基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，包括：将待 拟合曲面空间离散化为格网点形式，计算所有格网点第一第二类基本量系数和
k j =1,2；k=1,2，基于约束函数，根据曲面论的三个基本方程建立目标 ij ，i=1,2 ；
函数，对待拟合区域的内部区域格网点，最小化这三个方程的有限差分平方和。 用优化求解器对优化控制问题求解，得到拟合的数字曲面；判断所得数字曲面 是否满足精度要求，如果不满足，则迭代上述过程，直到得出满足精度要求的 曲面。本发明提供的方法，摆脱传统的基于曲面论的曲面拟合方法对待拟合区 域边界值的依赖，能够准确可靠地获得高精度的模拟曲面。
(13)
其中， Ac ,( r 2)*c 表示一个行数和列数分别为 c 和 (r 2)*c 的矩阵，即：
Ac ,( r 2)*c
Z1,( r 2)*c Z1,c 1 1 1 Z1,c 1 2 1 Z Z1,c 1 1 1, c 1 2 1 Z1,c 1 2 Z1,c 1 1 1 Z1,c 1 2 Z1,c 1 1 Z 1,( r 2)* c ，
100004 2010.2
1
摘 要 附 图
S2 S1
待拟合曲面的初始值矩 阵F0和采样数据 将待拟合曲面所在原始区域空间离散化 为格网点形式，计算所有格网点的第一 类基本量系数E、F、G、第二类基本量 系数L、M、N和GAMMA（ijk）值
S3
利用代数建模工 具，根据曲面论 的三个基本方程 建立目标函数
1 22
1 2G Fy G G x F G y E G F 2 2


1
(6) (7) (8)
2 11
1 2E F x E E y F E x E G F 2 2


1
2 12
1 E G x F E y E G F 2 2
100001 2010.2 1
权 利 要 求 书 特征在于，S2 具体包括以下步骤： S21， 将待拟合曲面所在原始区域空间离散化为 r 行 c 列的格网点矩形阵列， 共包括 r*c 个格网点，其中，行编号依次为：0、1、2…r-1；列编号依次为：0、 1、2…c-1； S22， 设曲面表达式为 s f ( x, y) ， 对于任意一个格网点 （xi， yj） ， 其中， i∈(0、 1、2…r-1)，j∈(0、1、2…c-1)，通过方程式（1）计算该格网点的 E、F、G 值； 通过方程式（2）计算该格网点的 L、M、N 值；通过方程式（4）-（9）计算该 格网点的 k ij , i=1,2；j =1,2；k=1,2 ；
Z1,( r 2)*c 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 Z1,( r 2)*c ，
Bc ,( r 2)*c
(16)
系数矩阵 C 为：
Z c ,r*c Cc ,( r 2)*c C= Cc ,( r 2)*c Z c ,r*c ，


1
2 22
1 E G y 2 F Fy F G x E G F 2 2


1
，
(9)
其中，
E x、E y、Fx、Fy、G x、G y
分别表示 E、F、G 对 x、 y 求偏导数。
5、根据权利要求 4 所述的基于曲面论的空间数据插值与曲面拟合方法，其 特征在于，S3 中，利用代数建模工具，根据曲面论的三个基本方程建立目标函 数具体为： S31，将式（3）的等号左端用中心有限差分形式展开，再在等号两端同时 乘以 h2，并将式（3）右端作为常数项保持原始形式不变，将式（3）左端作为 变量，则式（3）重新表达为：