(数学)江苏省徐州市铜山区2018届高考模拟(三)数学试题 Word版含答案

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2018年江苏省徐州市铜山区高考数学一模试卷

2018年江苏省徐州市铜山区高考数学一模试卷

2018年江苏省徐州市铜山区高考数学一模试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分,请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.(★)已知集合A={x|2<x<4},B={x|x<3或x>5},则A∩B= .2.(★)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= .3.(★)为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位:分钟)内的学生人数为.4.(★)执行如图所示的伪代码,若x=0,则输出的y的值为.5.(★★)甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”、“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是.6.(★★)已知tan(-α)= ,则tan(+α)= .7.(★★★)若实数x,y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最小值为.8.(★★★)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为.9.(★★)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n}的公差为.10.(★★★)已知椭圆C:的左、右顶点分别为A 1,A 2,且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为.11.(★★)已知函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为.12.(★★★)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,若,则λ+μ的最大值为.13.(★★★)已知函数f(x)=x 2-2x+a(e x-1+e -x+1)有唯一零点,则a= .14.(★★★)已知a>1,b>2,则的最小值为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(★★★)已知函数,(1)求f(x)的值域;(2)若△ABC的面积为,角C所对的边为c,且,,求△ABC的周长.16.(★★★)如图,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面ACD,E,F,G分别为AB,AD,AC的中点,AC=BC,∠ACD=90°.(1)求证:AB⊥平面EDC;(2)若P为FG上任一点,证明:EP∥平面BCD.17.(★★★)某企业为了减少噪声对附近居民的干扰,计划新增一道“隔音墙”,从上往下看,“隔音墙”可以看成曲线,在平面直角坐标系xOy中,“隔音墙”的一部分所在曲线的方程f(x)=lnx+ x∈[1,2]为(单位:千米).已知居民区都在x轴的下方,这部分曲线上任意两点连线的斜率都小于-1时“隔音墙”的隔音效果最佳.(1)当a= 时,求“隔音墙”所在曲线f(x)上的点到轴最近距离;(2)当实数a在什么范围时,“隔音墙”的隔音效果最佳?18.(★★★)已知椭圆C 1以直线所过的定点为一个焦点,且短轴长为4.(Ⅰ)求椭圆C 1的标准方程;(Ⅱ)已知椭圆C 2的中心在原点,焦点在y轴上,且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1),过点C(-1,0)的直线l与椭圆C 2交于A,B两个不同的点,若,求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程.19.(★★★)已知函数f(x)=ax 2+(2a-1)x-lnx,a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线经过点(2,11),求实数a的值;(2)若函数f(x)在区间(2,3)上单调,求实数a的取值范围;(3)设,若对∀x 1∈(0,+∞),∃x 2∈[0,π],使得f(x 1)+g(x 2)≥2成立,求整数a的最小值.20.(★★★★★)已知两个无穷数列{a n},{b n}分别满足,,其中n∈N *,设数列{a n},{b n}的前n项和分别为S n、T n.(1)若数列{a n},{b n}都为递增数列,求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)若数列{c n}满足:存在唯一的正整数k(k≥2),使得c k<c k-1,称数列{c n}为“k坠点数列”.①若数列{a n}为“5坠点数列”,求S n.②若数列{a n}为“p坠点数列”,数列{b n}为“q坠点数列”,是否存在正整数m,使得S m+1=T m,若存在,求m的最大值;若不存在,说明理由.[选修4-2:矩阵与变换]21.(★★★)若二阶矩阵M满足:M = .曲线C:x 2+2xy+2y 2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′,求曲线C′的方程.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(★★★)在极坐标系中,设圆C经过点P(,),圆心是直线ρsin(-θ)=与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.【必做题】第23题、第24题,每小题0分,共20分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.23.(★★★)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠A 1C 1B 1=90°,AC=2,BC=BB 1=1,点D是棱A 1C 1的中点.求:(1)直线AB与平面BB 1D所成角的正弦值;(2)二面角A-BD-B 1的大小.24.(★★★)设有甲、乙两个盒子,均分别装有编号依次为1,2,3,…,n(n≥5,且n∈N *)的n个球,学生A从甲盒子中随机选取i个球,学生B从乙盒子中随机选取j个球,其中i,j≤n,且i,j∈N *.(1)若i=2,j=3,且A在编号为1到m(m为给定的正整数,且2≤m≤n-3)的球中选取,B在编号为m+1到n的球中选取.记P(u,v)(1≤u≤m,m+1≤v≤n)是编号为u的球和编号为v的球同时被选中的概率.①若n=10,m=4,求P(2,8)的值;②求所有的P(u,v)的和;(2)求学生A,B取到的球的编号不相同的概率.。

【高三数学试题精选】2018年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)

【高三数学试题精选】2018年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)

2018年高三数学高考前模拟试题(附答案徐州市)
5 徐州市2矩阵与变换](本小题满分10分)
设,,试求曲线在矩阵变换下的曲线方程.
c.[选修4-4坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,已知点为圆上任一点.求点到直线的距离的最小值与最大值.
D.[选修4-5不等式选讲](本小题满分10分)
已知为正数,且满足,求证.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出字说明、证明过程或演算步骤22.过直线上的动点作抛物线的两切线,为切点.
(1)若切线的斜率分别为,求证为定值;
(2)求证直线过定点.
23.已知.
⑴求及;
⑵试比较与的大小,并说明理由.
徐州市2018年高考考前信息卷
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题1. 2.3 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12. 13.9 14.
二、解答题
15.⑴由,得.......................................................2分因为,,所以, (4)

所以,
所。

江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学

江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学

0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置 作答一律无效。
5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合 A { 1,2,3} , B {2,3,4} ,则集合 A B 中元素的个数为 ▲ .
x2 8.若双曲线 a2
y2 1
4a 2 的离心率为
3 ,则实数 a 的值为
▲ .
9.设 Sn 为等差数列 { an} 的前 n 项和,若 a1 +a3 a5 a7 a9
10 ,a82 a2 2 =36 ,则 S10 的值为 ▲ .
10.函数 f ( x) Asin( x 的值为 ▲ .
)( A 0,
切点为 T ,若 PA 2PT ,则实数 k 的取值范围是 ▲ .
13.如图,在梯形 ABCD 中, AB // DC ,
D
C
AB 4, AD 2, BAD

3 , E 为 BC
的中点,若 AE DB 9 ,则对角线 AC
E
A
B
(第 13 题)
的长为 ▲ .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
14.若关于 x 的不等式 x3 3x2 +ax b 0 对
3
3.
( 1)求 tan B ;
( 2)若 a2 b2 7 ,求 c 的值 .
16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中.

H01徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题

H01徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题

徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置........ 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3,4}B =,则集合AB 中元素的个数为 .2.已知复数2(12i)z =-(i 为虚数单位),则z 的模为 .3.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为 .4.运行如图所示的伪代码,其结果为 .5.从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素,则这两个元素之和为奇数的概率是 .6.若函数4()2x xaf x x -=⋅为奇函数,则实数a 的值为 .7.不等式2221xx --<的解集为 .8.若双曲线222142x y a a -=-的离心率为3,则实数a 的值为 . 9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若13579+10a a a a a +++=,2282=36a a -,则10S 的值为 .10.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示,则(1)(2)(2018)f f f +++的值为 .11.已知正实数,m n 满足+3m n =,则22+1++1m n m n 的最小值为 .12.已知圆22:(2)2C x y -+=,直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ,过l 上一点P 作圆C 的切线,切点为T ,若2PA PT =,则实数k 的取值范围是 . 13.如图,在梯形ABCD 中,//AB DC ,且AB=4,AD=2,4,2,3AB AD BAD π==∠=,E 为BC 的中点,若9AE DB ⋅=,则对角线AC 的长为 .14.若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区......域内作答....,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤.S ←0For I From 1 To 9 S ←S + I End For Print S(第4题)AD BCE(第13题)已知在ABC △中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 33A C ==.(1)求tan B ;(2)若227a b +=,求c 的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中.(1)若AD ⊥平面PAB ,PB PD ⊥,求证:平面PBD ⊥平面PAD ; (2)若AD ∥BC ,2AD BC =,E 为PA 的中点,求证:BE ∥平面PCD .17.(本小题满分14分)如图(1)是一个仿古的首饰盒,其横截面是由一个半径为r 分米的半圆,及矩形ABCD组成,其中AD 长为a 分米,如图(2).为了美观,要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为y 百元.(1)写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)当r 为何值时,该首饰盒的制作费用最低?如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ,,上顶点为(0,1)B ,且椭圆的离心率为32.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点,直线12A B A P ,交于点Q ,直线BP 与x 轴交于点R ,记直线2A Q RQ ,的斜率分别为12k k ,.求证:212k k -为定值.19.(本小题满分16分)已知无穷数列{}n a 满足12n n a a ++=,n S 为其前n 项和. (1)若12a =-,求4S ;(2)若10a >,且123,,a a a 成等比数列,求1a 的值;(3)数列{}n a 是否能为等差数列?若能,求出满足条件的1a ;若不能,说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R . (1)若1a =,解关于x 的方程()0f x =; (2)求函数()f x 在[]1,e 上的最大值;(3)若存在m ,对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,试确定a 的所有可能值.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题........,并在相应的答题区域.........内作答...,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A .[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,四边形ABCD 内接于圆O ,弧AB 与弧AD 长度相等,过A 点的切线交CB 的延长线于E 点.求证:2AB BE CD =⋅.B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-,其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,求矩阵A 的逆矩阵.C .[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=,已知3(1,)2P π,Q 为圆C 上一点,求线段PQ 长度的最小值.D .[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)已知x ,y ,z 均为正数.求证: 111x y z yz zx xy x y z++++≥.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)已知某校有歌唱和舞蹈两个兴趣小组,其中歌唱组有4名男生,1名女生,舞蹈组有2名男生,2名女生,学校计划从两兴趣小组中各选2名同学参加演出. (1)求选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数;(2)记X 为选出的4名同学中女生的人数,求X 的分布列和数学期望. 23.(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足11a =,当2n ≥时,21111n n n a a a --=+-.(1)用数学归纳法证明:1tan 2n n a +π=; (2)求证:122C (1)2C (1)C (1)C (1)0kk nn n n n n nn n n a a k a n a -+-++-++-≤.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I 参考答案一、填空题1.4 2. 5 3. 1200 4. 45 5.236. 1- 7. (1,2)- 8. 1 9.55210.2+2 11.答案:312.答案:3737[,]77-13.答案:23 14.答案:(,2)-∞- 二、解答题15.(1)在ABC △中,由1cos 3A =,得22122sin 1cos 1()33A A =-=-=.……………………………………………2分所以sin sin C A <,所以C A <,所以C 为锐角,于是2263cos 1sin 1()33C C =-=-=,…………………………………………4分 所以sin tan 22cos A A A ==,sin tan 2cos CC C==,……………………………………6分所以tan tan 222tan tan()21tan tan 1222A CB AC A C ++=-+=-=-=--⨯. ………………8分 (2)由,sin sin a bA B =可得22sin 233sin 363a Ab B ===, ……………………………10分 又227a b +=,解得23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩, …………………………………………………12分所以22232cos 74333c a b ab C =+-=-⨯=, 所以3c =.……………………………………………………………………………14分(另解:又因为tan tan B C =,角B C ,为ABC △的内角,所以3c b ==.) 16.(1)因为AD ⊥平面PAB ,PB ⊂平面PAB ,所以AD PB ⊥, 又因为PB PD ⊥, 且ADPD D =,AD PD ⊂,平面PAD ,所以PB ⊥平面PAD , 又因为PB ⊂平面PBD ,PEABCDF(第16题图)所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 (2)取PD 的中点F ,连结EF ,因为E F ,分别是PA ,PD 的中点,所以//EF AD ,且=2AD EF ,又因为四边形ABCD 为直角梯形且//AD BC ,2AD BC =,所以//EF BC 且EF BC =,所以四边形EFCB 是平行四边形,所以//BE CF , 又CF ⊂平面PCD ,BE ⊄平面PCD ,所以//BE 平面PCD . …………………………………………………………14分 17.(1)由题意可知:232144(2)282r r ar r ar =π+=π+,所以332242284r r a r r -π-π==. ……………………………………2分 又因为2r a r ≤≤,得332284r ≤≤+π+π. …………………………………4分 所以2224(22)42(4)12810y r a r ar r r r ar r r =+++π⨯+π=++π,=2222128104r r r r r -π⨯++π=26(87)r r++π, 定义域为3322[,]84+π+π.……………………………………………………………6分 (2)令26()(87)f r r r =++π,所以26()(1614)f r r r'=-++π, …………………8分令()0f r '=,即26(1614)r r=+π,解之得:3387r =+π,当3387r >+π时()0f r '>,函数()y f r =为增函数; 当3387r <+π时()0f r '<,函数()y f r =为减函数. …………………12分 又因为332284r ≤≤+π+π,所以函数()y f r =在3322[,]84+π+π上为增函数, 所以当328r =+π时,首饰盒制作费用最低. 答:当328r =+π时,该首饰盒的制作费用最低. …………………………………14分 18.(1)因为椭圆的上顶点为(0,1)B ,离心率为32, 所以1,3,2b c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………………2分又222a b c =+,得224,1a b ==,所以椭圆的标准方程是2214x y +=;…………………………………………………4分 (2)根据题意,可得直线1:12xA B y =+,直线21:2)A Q y k x =-(,由112(2)x y y k x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩,解得11112(21)4(,)2121k k Q k k +-- . ……………………………………6分 由122(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩得22214(2)4x k x +-=,化简得2222111(41)161640k x k x k +-+-=, 因为2A (2,0),所以2121164241P k x k -=+,所以21212(41)41P k x k -=+,将21212(41)41P k x k -=+代入直线方程得:121441P k y k -=+,所以21122112(41)4(,)4141k k P k k --++. ……………………………………………10分 又因为(0,1)B ,所以1211211214141212(41)2(21)41BP k k k k k k k --++==----+, 所以直线1121:12(21)k BP y x k +=-+-,令0y =得,112(21)(0)21k R k -+,.………………12分 于是1112111140211=2(21)2(21)242121RQ k k k k k k k k k -- ==++---+,所以1211112=2()242k k k k -+-=,为定值.…………………………………………16分19.(1)由12a =-及12n n a a ++=得,20a =,所以32a =,40a =,所以41234=0S a a a a +++=;…………………………………………………………2分 (2)因为10a >,所以2112||2a a a =-=-,3212||2|2|a a a =-=--,①当102a <…时,3112(2)a a a =--=,所以2211(2)a a =-,得1=1a ;②当12a >时,3112(2)4a a a =--=-,所以2111(4)(2)a a a -=-,得1=22a -(舍)或1=22a +;综合①②可知,1=1a 或1=22a +;…………………………………………………6分 (3)假设数列{}n a 是等差数列,则有212||a a =-,312|2|||a a =--,且2132a a a =+得1112|2|||2||a a a -+-=(*) ……………………………………8分 ①当12a >时,由(*)得10a =,与12a >矛盾;②当102a <…时,由(*)得11a =,从而1()n a n *=∈N ,此时数列{}n a 为等差数列; ③当10a ?时,可得公差2d =,因此存在2m …, 使得12(1)2m a a m =+->,这与12||0m m m m d a a a a +=-=--<矛盾.综合①②③可知,当且仅当11a =时,数列{}n a 为等差数列. ……………………16分20.(1)当1a =时,()ln 1f x x x =-+,显然(1)0f =,所以1x =是方程()0f x =的一个根.………………………………2分又因为11()1xf x x x-'=-=,且当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<, 所以()f x 在(0,1)上单调递增,在(1,)+∞上单调递减,从而max ()(1)0f x f ==,所以1x =是方程()0f x =的唯一根. ………………………………………………4分(2)因为11()(0)ax f x a x x x-'=-=>, ①当0a …时,恒有()0f x '>,所以()f x 在[1e],上单调递增, 所以max ()(e)1+e f x f a a ==-;②当0a >时,当10x a <<时,()0f x '>,当1x a>时,()0f x '<,所以()f x 在1(0,)a 上单调递增,在1(,)a+∞上单调递减,若1e a …,即10e a <…,max ()(e)1+e f x f a a ==-; 若11e a <<<,即11e a <<,max 11()()ln 11ln f x f a a a a a ==-+=--;若101a<…,即1a …,max ()(1)0f x f ==. 综上所述,()f x 在[1e],上的最大值为 max 11e,,e 1()1ln ,1,e 1, 1.a a a f x a a a a ⎧+-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩≤≥ ………10分 (3)因为对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,所以22(1)ln (1)x x ax a x --<-+<- , (i )设2()(1)ln g x x x ax a =--+-,则11()2(1)22g x x a x a x x'=--+=-+-,显然()g x '在(1,)+∞单调递增, 所以()(1)=1g x g a ''-…, ①当1a …时,恒有g (1)0'…,所以()0g x '>在(1,)+∞恒成立, 所以()g x 在(1,)+∞单调递增,所以()>(1)=0g x g >,所以1a …符合题意; ②当01a <<时,有122(1)g (1)0,()20a g a a a-''<=-=>, 所以11(1,)x a∃∈,使得1()0g x '=,从而当11x x <<时,g ()0x '<,即()g x 在1(1,)x 上单调递减,所以()<(1)=0g x g >,不符合题意; ③当0a …时,2221()=0x x g x a x --'+<在13(1,)2+恒成立,所以()g x 在13(1,)2+单调递减,所以()<(1)=0g x g >,不符合题意. 综上,()0g x >恒成立时,1a ….……………………………………………………13分 (ii )设2()(1)ln h x x x ax a =-+-+,则1()22h x x a x'=+--, ()h x '在(1,)+∞单调递增(建议阅卷忽略,讲评要求证), 所以()(1)=1h x h a ''-…,①当1a >时,有1(1)0,()20h h a a a''<=+->,所以2(1,)x a ∃∈ ,使得2()0h x '=,从而当21x x <<时,()0h x '<,即()h x 在2(1,)x 上单调递减,所以()<(1)=0h x h >,不符合题意; ②当1a …时,有(1)0h '…,所以()(1)0h x h ''>>?在(1,)+∞恒成立, 所以()h x 在(1,)+∞单调递增,所以()>(1)=0h x h >恒成立, 所以1a …符合题意.综合(i )、(ii )可知,=1a . …………………………………………………………16分徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学Ⅱ参考答案21.A .连结AC .…………………………………………………1分因为EA 切圆O 于A , 所以∠EAB =∠ACB . …………3分因为弧AB 与弧AD 长度相等,所以∠ACD =∠ACB ,AB =AD .于是∠EAB =∠ACD . …………………………………5分 又四边形ABCD 内接于圆O ,所以∠ABE =∠D . 所以ABE ∆∽CDA ∆.于是AB BECD DA=,即AB DA BE CD ⋅=⋅.………………9分所以2AB BE CD =⋅.…………………………………10分B .由λ⋅=⋅A αα得:1112222a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,122,44,a b +=-⎧∴⎨-=-⎩3,20,a b ⎧=-⎪∴⎨⎪=⎩ ………5分 设1x y s t -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,则1310120102x y s t -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⋅==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎣⎦A A , 31,220,30,221,x s s y t t ⎧-=⎪⎪-=⎪∴⎨⎪-=⎪⎪-=⎩1,0,3,41,2x s y t =⎧⎪=⎪⎪∴⎨=-⎪⎪=-⎪⎩1314102-⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A . ……………………………………10分C .以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,圆C 的直角坐标方程为224410x y x y +---=,即22(2)(2)9x y -+-=,A EBCD O· (第21-A 题)所以圆心C 的坐标为(2,2)C ,………………………………………………………4分 点P 的直角坐标为(0,1)P -, ………………………………………………………6分 所以线段PQ 长度的最小值为3133PC -=-. ………………………………10分D .因为x ,y ,z 无为正数.所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥, …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥,≥, ………………………………………………7分 当且仅当x =y =z 时,以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得111x y z yz zx xy x y z++++≥. ……10分 22.(1)由题意知,所有的选派方法共有2254=60C C ⋅种,其中有3名女生的选派方法共有112412=4C C C ⋅⋅种,所以选出的4名同学中至多有2名女生的选派方法数为60-4=56种. …………3分 (2)X 的可能取值为0,1,2,3. ……………………………………………………5分2242225461(0)6010C C P X C C ====,2122114124222254+4+247(1)6015C C C C C C P X C C ====, 1111224122422254+16+611(2)6030C C C C C C P X C C ====,112412225441(3)6015C C C P X C C ====,8分 所以X 的分布列为所以171117()0123101530155E X =⨯+⨯+⨯+⨯= . …………………………………10分 23.(1)将11a =代入212111a a a =+-得221a =-,当1n =时,1tan14a π==成立. 假设当n k =(*k ∈N ,1k ≥)时成立,即1tan2k k a +π=, 则当1n k =+时,2111kk ka a a ++-=2111tan 12tan 2k k ++π+-=π1211cos 2tan 2sin 2k k k +++π-π==π, 这就说明,当1n k =+时结论也成立.综上所述,1tan2n n a +π=. ……………………………………………………5分 (2)因为11A C C !k kk n nn k k n k --==,所以111C (1)(1)C (1)k k k k n n n n n k a a n a ----=--, 因此122C (1)2C (1)C (1)C (1)k k nn n n n n n n n n a a k a n a -+-++-++-1(1)n n n a na -=-. X 012 3P110715 1130115由(1)知,1tan (0,1]2n n a +π=∈,所以1(1)0n n n a na --≤,得证.……………10分。

2018届江苏省徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟数学试题及答案 精品

2018届江苏省徐州、连云港、宿迁三市高三第三次模拟数学试题及答案 精品

徐州、连云港、宿迁三市2018届高三第三次模拟数学Ⅰ参考公式:棱柱的体积公式:错误!未找到引用源。

其中错误!未找到引用源。

是棱柱的底面积,错误!未找到引用源。

是高. 一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上......... 1.已知复数错误!未找到引用源。

是虚数单位),则错误!未找到引用源。

的模为 ▲ .2.已知集合错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。

▲ .3.如图是某市2018年11月份30天的空气污染指数的频率分布直注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分。

本试卷满分160分,考试时间为120分钟。

考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。

3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效。

4.如有作图需要,可用错误!未找到引用源。

铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

方图. 根据国家标准,污染指数在区间错误!未找到引用源。

内,空气质量为优;在区间错误!未找到引用源。

内,空气质量为良;在区间错误!未找到引用源。

内,空气质量为轻微污染;错误!未找到引用源。

由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有▲天.4.执行如图所示的算法流程图,则输出错误!未找到引用源。

的值是▲ .5.已知集合错误!未找到引用源。

若从错误!未找到引用源。

中各取一个数,则这两个数之和不小于4的概率为▲ .6.设等差数列错误!未找到引用源。

的前错误!未找到引用源。

项为错误!未找到引用源。

则错误!未找到引用源。

的值为▲ .7.设函数错误!未找到引用源。

,则错误!未找到引用源。

的值为▲ .8.已知双曲线错误!未找到引用源。

的离心率为2,它的一个焦点是抛物线错误!未找到引用源。

2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷

2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷

2018年江苏省徐州市高考数学一模试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.1. 已知集合A ={x|x 2−x =0},B ={−1, 0},则A ∪B =________. 【答案】 {−1, 0, 1} 【考点】 并集及其运算 【解析】化简集合A ,根据并集的定义写出A ∪B . 【解答】解:集合A ={x|x 2−x =0}={x|x =0或x =1}={0, 1}, B ={−1, 0},则A ∪B ={−1, 0, 1}. 故答案为:{−1, 0, 1}.2. 已知复数z =2+i 2−i(i 为虚数单位),则z 的模为________.【答案】 1【考点】 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解. 【解答】解:∵ z =2+i2−i =(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i , ∴ |z|=√(35)2+(45)2=1.故答案为:1.3. 函数y =√log 12x 的定义域是________.【答案】(0, 1] 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】令被开方数大于等于0,然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x 的范围,写出集合区间形式即为函数的定义域. 【解答】 解:log 12x ≥0, ∴ 0<x ≤1.∴ 函数的定义域为(0, 1].故答案为:(0, 1].4. 如图是一个算法的伪代码,运行后输出b的值为________.【答案】13【考点】循环结构的应用【解析】通过分析伪代码,按照代码进行执行,当I=8时即跳出循环.输出b的值即可.【解答】解:模拟程序的运行,可得,a=0,b=1,I=2,满足条件I≤6,执行循环体,a=0+1=1,b=1+1=2,I=2+2=4,满足条件I≤6,执行循环体,a=1+2=3,b=3+2=5,I=4+2=6,满足条件I≤6,执行循环体,a=3+5=8,b=8+5=13,I=6+2=8,不满足条件I≤6,退出循环,输出b的值为13.故答案为:13.5. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在[250, 400)内的学生共有________人.【答案】750【考点】频率分布直方图【解析】由样本的频率分布直方图求出a,从而成绩在[250, 400)内的频率为0.75,由此能求出成绩在[250, 400)内的学生人数.【解答】解:由样本的频率分布直方图得:(0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003)×50=1,解得a=0.006.∴成绩在[250, 400)内的频率为(0.004+0.006+0.005)×50=0.75,∴成绩在[250, 400)内的学生共有1000×0.75=750.故答案为:750.6. 在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为x−2y=0,则该双曲线的离心率为________.【答案】√52【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率【解析】根据题意,由双曲线的标准方程可得双曲线的渐近线方程为y=±bax,结合题意可得b a =12,即a=2b,由双曲线的几何性质可得c=√a2+b2=√5b,由双曲线的离心率公式计算可得答案.【解答】解:根据题意,双曲线x2a2−y2b2=1的焦点在x轴上,则其渐近线方程为y=±bax,若双曲线的一条渐近线方程为x−2y=0,即y=12x,则有ba =12,即a=2b,则c=√a2+b2=√5b,则该双曲线的离心率e=ca =√52.故答案为:√52.7. 连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为________.【答案】59【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=6×6=36,利用列举求出事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个,由此能求出事件“点数之积是3的倍数”的概率.【解答】解:连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体),观察向上的点数,基本事件总数n=6×6=36,事件“点数之积是3的倍数”包含的基本事件(a, b)有20个,分别为:(1, 3),(3, 1),(1, 6),(6, 1),(2, 3),(3, 2),(2, 6),(6, 2),(3, 3),(3, 4),(4, 3),(3, 5),(5, 3),(3, 6),(6, 3),(4, 6),(6, 4),(5, 6),(6, 5),(6, 6),∴事件“点数之积是3的倍数”的概率:p=2036=59.故答案为:59.8. 已知正四棱柱的底面边长是3cm,侧面的对角线长是3√5cm,则这个正四棱柱的体积为________cm3.【答案】54【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】由正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3√5cm,求出高ℎ=6cm,由此能求出这个正四棱柱的体积.【解答】解:设正四棱柱的高为ℎ,∵正四棱柱的底面边长为3cm,侧面的对角线长是3√5cm,∴√32+ℎ2=3√5,解得ℎ=6(cm),∴这个正四棱柱的体积V=Sℎ=3×3×6=54(cm3).故答案为:54.9. 若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,则实数ω的值为________.【答案】4【考点】y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义【解析】由题意,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标可知,函数f(x)相邻的对称轴x=π4和π2,又根据相邻对称轴是半个周期即可求解ω的值.【解答】解:由题意,函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,可知函数f(x)相邻的对称轴x=π6+π32=π4,另一条为x=π2,相邻对称轴是半个周期,即12T=π2−π4,可得:T=π2.∴ω=2ππ2=4.故答案为:4.10. 在平面直角坐标系xOy 中,曲线C:xy =√3上任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离的最小值为________. 【答案】 √3【考点】基本不等式在最值问题中的应用 点到直线的距离公式 【解析】设P(a,√3a),可得任意一点P 到直线l:x+√3y =0的距离d =|a+3a|2=|a|+3|a|2,利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】 解:设P(a,√3a ),则任意一点P 到直线l:x +√3y =0的距离: d =|a+3a|2=|a|+3|a|2≥2√32=√3,当且仅当|a|=√3时取等号.故答案为:√3.11. 已知等差数列{a n }满足a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10,a 82−a 22=36,则a 11的值为________. 【答案】 11【考点】等差数列的性质 等差数列的通项公式 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10,可得5a 5=10,可得:a 1+4d =2.由a 82−a 22=36,可得6d(a 8+a 2)=36,即2a 5⋅d =6,联立解出即可得出. 【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d , ∵ a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=10, ∴ 5a 5=10,可得:a 1+4d =2.∵ a 82−a 22=36, ∴ 6d(a 8+a 2)=36,即2a 5⋅d =6,∴ d =32, ∴ a 1=−4.则a 11=−4+10×32=11.故答案为:11.12. 在平面直角坐标系xOy 中,若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ,且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2:(x −2)2+(y −1)2=1上,则r 的取值范围是________.【答案】[√2−1, √2+1] 【考点】圆与圆的位置关系及其判定 关于点、直线对称的圆的方程 【解析】根据圆的对称性转化为两圆相交的等价条件进行求解即可. 【解答】解:若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)上存在点P ,且点P 关于直线x −y =0的对称点Q 在圆C 2:(x −2)2+(y −1)2=1上, 等价为若圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆 与圆C 2:(x −2)2+(y −1)2=1相交,则圆C 1:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)关于直线y =x 的对称圆为 圆C:y 2+(x −1)2=r 2(r >0),则圆心C(1, 0),半径r ,圆心C 2(2, 1),半径1, 则|CC 2|=√(2−1)2+1=√2,若两圆相交则满足r −1≤|CC 2|≤r +1, 即r −1≤√2≤r +1, 解得√2−1≤r ≤√2+1,即r 的取值范围是[√2−1, √2+1], 故答案为:[√2−1, √2+1].13. 已知函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1 函数g(x)=f(x)+f(−x),则不等式g(x)≤2的解集为________. 【答案】 [−2, 2] 【考点】一元二次不等式的解法分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】讨论当−1≤x ≤1时,当x <−1时,去绝对值,再分别讨论−1≤x ≤1,x <−1,x >1时,求得g(x)的解析式,解不等式求并集,即可得到所求解集. 【解答】解:函数f(x)={2−|x +1|,x ≤1(x −1)2,x >1, 当−1≤x ≤1时,f(x)=1−x ; 当x <−1时,f(x)=x +3; 当x >1时,f(x)=(x −1)2. ①当x >1,即−x <−1,可得g(x)=(x −1)2+3−x =x 2−3x +4, 由g(x)≤2,解得1<x ≤2;②当x <−1时,−x >1,则g(x)=x +3+(x +1)2=x 2+3x +4, 由g(x)≤2,解得−2≤x <−1; ③当−1≤x ≤1时,−1≤−x ≤1, 可得g(x)=1−x +1+x =2, 由g(x)≤2,解得−1≤x ≤1,综上可得,原不等式的解集为[−2, 2]. 故答案为:[−2, 2].14. 如图,在△ABC 中,已知AB =3,AC =2,∠BAC =120∘,D 为边BC 的中点.若CE ⊥AD ,垂足为E ,则EB →⋅EC →的值为________.【答案】−277【考点】 余弦定理平面向量数量积的运算 向量的三角形法则 【解析】 在△ABC 中,由余弦定理即可求出BC =√19,从而得出DC =√192,并求出cos∠ACB =2√19,这样在△ACD 中,由余弦定理即可求出AD 的值,从而求出cos∠ADC =√7×√19,这样在Rt △CDE 中即可求出DE 的值,而EB →∗EC →=ED →2−DB →2,从而可求出数量积EB →∗EC →的值.【解答】解:在△ABC 中,由余弦定理:BC 2=32+22−2×3×2×(−12)=19, ∴ BC =√19,BD =DC =√192,∴ cos∠ACB =2×2×√19=2√19.在△ACD 中: AD 2=22+(√192)2−2×2×√192×2√19=74,∴ AD =√72,∴ cos∠ADC =74+194−42×√72×√192=√7×√19,在Rt △DEC 中,DE =CD ⋅cos∠ADC =2√7, ∴ EB →⋅EC →=(ED →+DB →)⋅(ED →+DC →)=(ED →+DB →)⋅(ED →−DB →) =|ED →|2−|DB →|2 =(52√7)2−(√192)2=2528−194 =−277. 故答案为:−277.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cosA =35,tan(B −A)=13. (1)求tanB 的值;(2)若c =13,求△ABC 的面积. 【答案】解:(1)在△ABC 中,由cosA =35可知A 为锐角,所以sinA =45, 所以tanA =sinA cosA =43,所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3;(2)在三角形ABC 中,由tanB =3, 所以sinB =3√1010,cosB =√1010,由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050,由正弦定理bsinB =csinC ,得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15,所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78.【考点】两角和与差的正切公式 正弦定理同角三角函数间的基本关系 【解析】(1)根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出,(2)根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出. 【解答】解:(1)在△ABC 中,由cosA =35可知A 为锐角,所以sinA =45, 所以tanA =sinAcosA =43,所以tanB =tan[(B −A)+A]=tan(B−A)+tanA1−tan(B−A)tanA =13+431−13×43=3;(2)在三角形ABC 中,由tanB =3, 所以sinB =3√1010,cosB =√1010,由sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =13√1050,由正弦定理bsinB =csinC ,得b =csinB sinC=13×3√101013√1050=15,所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×15×13×45=78.如图,在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,∠ABC =90∘,AB =AA 1,M ,N 分别是AC ,B 1C 1的中点.求证:(1)MN // 平面ABB 1A 1;(2)AN ⊥A 1B . 【答案】证明:(1)如图,取AB 的中点P ,连结PM 、PB 1.因为M ,P 分别是AC ,AB 的中点, 所以PM // BC ,且PM =12BC .在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中, BC // B 1C 1,BC =B 1C 1, 又因为N 是B 1C 1的中点,所以PM // B 1N ,且PM =B 1N . 所以四边形PMNB 1是平行四边形, 所以MN // PB 1,又MN 平面ABB 1A 1,PB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以MN // 平面ABB 1A 1.(2)因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1为直三棱柱, 所以BB 1⊥平面A 1B 1C 1, 又因为BB 1⊂平面ABB 1A 1,所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1,又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,A1B1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B,如图,连结AB1,因为在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,所以AB1⊥A1B,又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂平面AB1N,所以A1B⊥平面AB1N,又AN⊂平面AB1N,所以AN⊥A1B.【考点】两条直线垂直的判定平面与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质直线与平面平行的判定棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】证明:(1)如图,取AB的中点P,连结PM、PB1.因为M,P分别是AC,AB的中点,BC.所以PM // BC,且PM=12在直三棱柱ABC−A1B1C1中,BC // B1C1,BC=B1C1,又因为N是B1C1的中点,所以PM // B1N,且PM=B1N.所以四边形PMNB1是平行四边形,所以MN // PB1,又MN平面ABB1A1,PB1⊂平面ABB1A1,所以MN // 平面ABB1A1.(2)因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱,所以BB1⊥平面A1B1C1,又因为BB1⊂平面ABB1A1,所以平面ABB1A1⊥平面A1B1C1,又因为平面ABB1A1∩平面A1B1C1=A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,A1B1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又因为A1B⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1B,即NB1⊥A1B,如图,连结AB1,因为在平行四边形ABB1A1中,AB=AA1,所以AB1⊥A1B,又因为NB1∩AB1=B1,且AB1,NB1⊂平面AB1N,所以A1B⊥平面AB1N,又AN⊂平面AB1N,所以AN⊥A1B.某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1,为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180∘而成,如图2,已知圆O的,圆锥的侧面积为Scm2.半径为10cm,设∠BAO=θ,0<θ<π2(1)求S关于θ的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.【答案】解:(1)根据题意,设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,在△AOE 中,AE =10cosθ,AB =2AE =20cosθ, 在△ABD 中,BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ,所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ,(0<θ<π2). (2)由(1)得:S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3,(0<x <1),则f′(x)=1−3x 2,令f′(x)=1−3x 2=0,可得x =√33,当x ∈(0, √33)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增,当x ∈(√33, 1)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减,所以f(x)在x =√33时取得极大值,也是最大值;所以当sinθ=√33,即cosθ=√63时,侧面积S 取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63;答:侧面积S 取得最大值时,等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm . 【考点】利用导数研究函数的最值 解三角形的实际应用同角三角函数间的基本关系 【解析】(1)根据题意,设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,分析可得AB =2AE =20cosθ,BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ,由圆锥的侧面积公式可得S 的表达式,即可得答案;(2)由(1)可得S 的表达式可得S =12400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ),设f(x)=x −x 3,(0<x <1),求导求出其在区间(0, 1)上的最大值,求出x 的值,即可得当sinθ=√33,即cosθ=√63时,侧面积S 取得最大值,计算即可得答案.【解答】解:(1)根据题意,设AO 交BC 于点D ,过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,在△AOE 中,AE =10cosθ,AB =2AE =20cosθ, 在△ABD 中,BD =AB ⋅sinθ=20sinθcosθ,所以S =12×2π×20sinθcosθ×20cosθ=400πsinθcos 2θ,(0<θ<π2). (2)由(1)得:S =400πsinθcos 2θ=400π(sinθ−sin 3θ) 设f(x)=x −x 3,(0<x <1),则f′(x)=1−3x 2,令f′(x)=1−3x 2=0,可得x =√33,当x ∈(0, √33)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0, √33)上单调递增,当x ∈(√33, 1)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(√33, 1)上单调递减,所以f(x)在x =√33时取得极大值,也是最大值;所以当sinθ=√33,即cosθ=√63时,侧面积S 取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB =20cosθ=20√63;答:侧面积S 取得最大值时,等腰三角形的腰AB 的长度为20√63cm .如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)的离心率为12,且过点(1, 32).F 为椭圆的右焦点,A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,连接AF ,BF 分别交椭圆于C ,D 两点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若AF =FC ,求BFFD 的值;(3)设直线AB ,CD 的斜率分别为k 1,k 2,是否存在实数m ,使得k 2=mk 1,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)由题意知e =ca =12,则a =2c ,b 2=a 2−c 2=3c 2, 将(1, 32)代入椭圆方程:14c 2+93c 2×4=1,解得:c =1, 则a =2,b =√3, ∴ 椭圆方程为:x 24+y 23=1;(2)若AF =FC ,根据椭圆的对称性可知,A(1, 32), ∵ A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,∴ B(−1, −32), ∵ F 为椭圆的右焦点,∴ F(1, 0), 此时直线BF 方程为3x −4y −3=0,由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1 ,整理得7x 2−6x −13=0,解得x =137(x =−1舍去),故BFFD =1−(−1)137−1=73.(3)设A(x 0, y 0),则B(−x 0, −y 0),直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1),代入椭圆方程x 24+y23=1,得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0,即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0,因为x =x 0是该方程的一个解,所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0,又C(x C , y C )在直线y =yx 0−1(x −1)上,所以y C =y 0x 0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0,同理,D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0),所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1,即存在m =53,使得k 2=53k 1.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题 椭圆的应用 椭圆的标准方程 【解析】(1)根据椭圆的离心率公式,将点代入椭圆方程,即可求得a 和b 的值,即可求得椭圆方程;(2)由AF =FC ,即可求得A 和B 点坐标,求得直线BF 的方程,代入椭圆方程,即可求得B 点坐标,即可求得答案;(3)设A 点坐标,求得直线AF 的方程,代入椭圆方程,即可求得C 点坐标,同理求得D 点坐标,根据直线的斜率公式,即可求得即存在m =53,使得k 2=53k 1. 【解答】解:(1)由题意知e =ca =12,则a =2c ,b 2=a 2−c 2=3c 2,将(1, 32)代入椭圆方程:14c 2+93c 2×4=1,解得:c =1, 则a =2,b =√3, ∴ 椭圆方程为:x 24+y 23=1;(2)若AF =FC ,根据椭圆的对称性可知,A(1, 32), ∵ A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点,∴ B(−1, −32), ∵ F 为椭圆的右焦点,∴ F(1, 0), 此时直线BF 方程为3x −4y −3=0,由{3x −4y −3=0x 24+y 23=1,整理得7x 2−6x −13=0,解得x =137(x =−1舍去),故BF FD =1−(−1)137−1=73. (3)设A(x 0, y 0),则B(−x 0, −y 0),直线AF 的方程为y =y 0x 0−1(x −1),代入椭圆方程x 24+y 23=1,得(15−6x 0)x 2−8y 02−15x 02+24x 0=0,即(15−6x 0)x 2−(24−6x 02)x −15x 02+24x 0=0,因为x =x 0是该方程的一个解,所以C 点的横坐标x C =8−5x5−2x 0,又C(x C , y C )在直线y =y 0x 0−1(x −1)上,所以y C =y 0x0−1(x C −1)=−3y 05−2x 0,同理,D 点坐标为(8+5x 05+2x 0, 3y5+2x 0),所以k 2=3y 05+2x 0−−3y 05−2x 08+5x 05+2x 0−8−5x 05−2x 0=5y 03x 0=53k 1,即存在m =53,使得k 2=53k 1.已知函数f(x)=x 2+ax +1,g(x)=lnx −a(a ∈R). (1)当a =1时,求函数ℎ(x)=f(x)−g(x) 的极值;(2)若存在与函数f(x),g(x) 的图象都相切的直线,求实数a 的取值范围. 【答案】解:(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞),当a =1时,ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2, 所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x,所以当0<x <12时,ℎ′(x)<0,当x >12时,ℎ′(x)>0, 所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减,在区间(12, +∞)单调递增, 所以当x =12时,函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2,无极大值;(2)设函数f(x)上点(x1, f(x1))与函数g(x)上点(x2, g(x2))处切线相同,则f′(x1)=g′(x2)=f(x1)−g(x2)x1−x2,所以2x1+a=1x2=x12+ax1+1−lnx2+ax1−x2,所以x1=12x2−a2,代入x1−x2x2=x12+ax1+1−lnx2+a得:1 4x22−a2x2+lnx2−a+a24−2=0(∗)设F(x)=14x −a2x+lnx−a+a24−2,则F′(x)=−12x3+a2x2+1x=2x2+ax−12x3,不妨设2x02+ax0−1=0(x0>0),则当0<x<x0时,F′(x)<0,当x>x0时,F′(x)>0,所以F(x)在区间(0, x0)上单调递减,在区间(x0, +∞)上单调递增,代入a=1−2x02x0=1x0−2x0,可得F(x)min=F(x0)=x02+2x0−1x+lnx0−2,设G(x)=x2+2x−1x+lnx−2,则G′(x)=2x+2+1x2+1x>0对x>0恒成立,所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增,又G(1)=0,所以当0<x<1时G(x)≤0,即当0<x1≤1时F(x1)≤0,又当x=e m+2时F(x)=14e2m+4−a2e m+2+lne m+2−a+a24−2=14(1e m+2−a)2≥0,因此当0<x1≤1时,函数F(x)必有零点;即当0<x1≤1时,必存在x2使得(∗)成立;即存在x1,x2,使得函数f(x)上点(x1, f(x1))与函数g(x)上点(x2, g(x2))处切线相同.又由y=1x −2x得y′=−1x−2<0,所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减,因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞),所以实数a的取值范围是[−1, +∞).【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】(1)求得ℎ(x)的定义域,以及导数,讨论单调区间,可得极值;(2)设函数f(x)上点(x1, f(x1))与函数g(x)上点(x2, f(x2))处切线相同,分别求得导数和切线的斜率,可得14x 22−a2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗)设F(x)=14x 2−a2x +lnx −a +a 24−2,求出导数和单调区间,最值,运用单调性,计算可得a 的范围.【解答】解:(1)函数ℎ(x)的定义域为(0, +∞),当a =1时,ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 2+x −lnx +2, 所以ℎ′(x)=2x +1−1x =(2x−1)(x+1)x,所以当0<x <12时,ℎ′(x)<0,当x >12时,ℎ′(x)>0, 所以函数ℎ(x)在区间(0, 12)单调递减,在区间(12, +∞)单调递增, 所以当x =12时,函数ℎ(x)取得极小值为114−ln2,无极大值;(2)设函数f(x)上点(x 1, f(x 1))与函数g(x)上点(x 2, g(x 2))处切线相同, 则f′(x 1)=g′(x 2)=f(x 1)−g(x 2)x 1−x 2,所以2x 1+a =1x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+ax 1−x 2,所以x 1=12x 2−a2,代入x 1−x 2x 2=x 12+ax 1+1−lnx 2+a 得:14x 22−a 2x 2+lnx 2−a +a 24−2=0(∗) 设F(x)=14x−a 2x+lnx −a +a 24−2, 则F′(x)=−12x 3+a2x 2+1x =2x 2+ax−12x 3,不妨设2x 02+ax 0−1=0(x 0>0),则当0<x <x 0时,F′(x)<0,当x >x 0时,F′(x)>0,所以F(x)在区间(0, x 0)上单调递减,在区间(x 0, +∞)上单调递增,代入a =1−2x 02x 0=1x 0−2x 0,可得F(x)min =F(x 0)=x 02+2x 0−1x 0+lnx 0−2, 设G(x)=x 2+2x −1x +lnx −2,则G′(x)=2x +2+1x 2+1x >0对x >0恒成立,所以G(x)在区间(0, +∞)上单调递增,又G(1)=0,所以当0<x <1时G(x)≤0,即当0<x 1≤1时F(x 1)≤0, 又当x =em+2时F(x)=14e 2m+4−a2e m+2+lne m+2−a +a 24−2=14(1e m+2−a)2≥0,因此当0<x 1≤1时,函数F(x)必有零点; 即当0<x 1≤1时,必存在x 2使得(∗)成立;即存在x 1,x 2,使得函数f(x)上点(x 1, f(x 1))与函数g(x)上点(x 2, g(x 2))处切线相同.又由y=1x −2x得y′=−1x2−2<0,所以y=1x−2x在(0, 1)单调递减,因此a=1−2x02x0=1x0−2x0∈[−1, +∞),所以实数a的取值范围是[−1, +∞).已知数列{a n},其前n项和为{S n},满足a1=2,S n=λna n+μa n−1,其中n≥2,n∈N∗,λ,μ∈R.(1)若λ=0,μ=4,b n=a n+1−2a n(n∈N∗),求证:数列{b n}是等比数列;(2)若数列{a n}是等比数列,求λ,μ的值;(3)若a2=3,且λ+μ=32,求证:数列{a n}是等差数列.【答案】(1)证明:若λ=0,μ=4,则当S n=4a n−1(n≥2),所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1),即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1),所以b n=2b n−1,又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2−2a1=2≠0,即b n≠0,所以b nb n−1=2,故数列{b n}是等比数列.(2)解:若{a n}是等比数列,设其公比为q(q≠0),当n=2时,S2=2λa2+μa1,即a1+a2=2λa2+μa1,得1+q=2λq+μ,①当n=3时,S3=3λa3+μa2,即a1+a2+a3=3λa3+μa2,得1+q+q2=3λq2+μq,②当n=4时,S4=4λa4+μa3,即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3,得1+q+q2+q3=4λq3+μq2,③②-①×q,得1=λq2,③-②×q,得1=λq3,解得q=1,λ=1.代入①式,得μ=0.此时S n=na n,(n≥2),所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列,则λ=1,μ=0.(3)证明:若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ,又λ+μ=32,解得λ=12,μ=1.由a1=2,a2=3,λ=12,μ=1,代入S n=λna n+μa n−1得a5=4,所以a1,a2,a3成等差数列,由S n=n2a n+a n−1,得S n+1=n+12a n+1+a n,两式相减得:a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1,即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0,所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0,相减得:na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0,所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0,所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1),因为a3−2a2+a1=0,所以a n+2−2a n+1+a n=0,即数列{a n}是等差数列.【考点】数列递推式等比关系的确定等差关系的确定【解析】(1)利用数列的递推关系,结合等比数列的定义进行证明即可.(2)根据等比数列的性质建立方程关系进行求解.(3)利用数列的递推关系,结合等差数列的定义进行证明.【解答】(1)证明:若λ=0,μ=4,则当S n=4a n−1(n≥2),所以a n+1=S n+1−S n=4(a n−a n−1),即a n+1−2a n=2(a n−2a n−1),所以b n=2b n−1,又由a1=2,a1+a2=4a1,得a2=3a1=6,a2−2a1=2≠0,即b n≠0,所以b nb n−1=2,故数列{b n}是等比数列.(2)解:若{a n}是等比数列,设其公比为q(q≠0),当n=2时,S2=2λa2+μa1,即a1+a2=2λa2+μa1,得1+q=2λq+μ,①当n=3时,S3=3λa3+μa2,即a1+a2+a3=3λa3+μa2,得1+q+q2=3λq2+μq,②当n=4时,S4=4λa4+μa3,即a1+a2+a3+a4=4λa4+μa3,得1+q+q2+q3=4λq3+μq2,③②-①×q,得1=λq2,③-②×q,得1=λq3,解得q=1,λ=1.代入①式,得μ=0.此时S n=na n,(n≥2),所以若{a n}是以a1=2公比为1的等比数列,则λ=1,μ=0.(3)证明:若a2=3,由a1+a2=2λa2+μa1,得5=6λ+2μ,又λ+μ=32,解得λ=12,μ=1.由a1=2,a2=3,λ=12,μ=1,代入S n=λna n+μa n−1得a5=4,所以a1,a2,a3成等差数列,由S n=n2a n+a n−1,得S n+1=n+12a n+1+a n,两式相减得:a n+1=n+12a n+1−n2a n+a n−a n−1,即(n−1)a n+1−(n−2)a n−2a n−1=0,所以na n+2−(n−1)a n+1−2a n=0,相减得:na n+2−2(n−1)a n+1+(n−2)a n−2a n+2a n−1=0,所以n(a n+2−2a n+1+a n)+2(a n+1−2a n+a n−1)=0,所以a n+2−2a n+1+a n=−2n (a n+1−2a n+a n−1)=22n(n−1)(a n−2a n−1+a n−2)=...=(−2)n−1n(n−1)⋯2(a3−2a2+a1),因为a3−2a2+a1=0,所以a n+2−2a n+1+a n=0,即数列{a n}是等差数列.【选做题】本题包括21,22,23,24四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1:几何证明选讲]如图,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:AB2=BE⋅BD−AE⋅AC.【答案】证明:如图所示,连接AD,BC.∵AB是圆O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90∘.∵EF⊥FB,∴∠EFB=90∘=∠ADB,∴ A ,D ,E ,F 四点共圆,∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF . 在△EFA 与△BCA 中,∠EAF =∠BAC ,∠EFA =∠BCA , ∴ △EFA ∼△BCA ,∴ AEAB =AFAC ,∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC .∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC . 【考点】与圆有关的比例线段 相似三角形的性质 相似三角形的判定 【解析】如图所示,连接AD ,BC .由AB 是圆O 的直径,可得∠ADB =∠ACB =90∘.由EF ⊥FB ,可得四点A 、D 、E 、F 共圆,利用切割线定理:BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF .由已知可得:△EFA ∽△BCA .可得AB ⋅AF =AE ⋅AC .即可证明. 【解答】证明:如图所示,连接AD ,BC .∵ AB 是圆O 的直径,∴ ∠ADB =∠ACB =90∘. ∵ EF ⊥FB ,∴ ∠EFB =90∘=∠ADB , ∴ A ,D ,E ,F 四点共圆,∴ BD ⋅BE =AB ⋅BF =AB ⋅(AB +AF)=AB 2+AB ⋅AF . 在△EFA 与△BCA 中,∠EAF =∠BAC ,∠EFA =∠BCA , ∴ △EFA ∼△BCA ,∴ AEAB =AFAC ,∴ AB ⋅AF =AE ⋅AC . ∴ AB 2=BE ⋅BD −AE ⋅AC . [选修4-2:矩阵及变换]已知矩阵A =[100−1],B =[4123],若矩阵M =BA ,求矩阵M 的逆矩阵M −1.【答案】解:M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3], 所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]. 【考点】逆变换与逆矩阵 【解析】根据矩阵的乘法,求得M ,根据二阶矩阵的逆矩阵的求法,即可求得矩阵M 的逆矩阵M −1. 【解答】解:M =BA =[4123][100−1]=[4−12−3], 所以矩阵M 的逆矩阵M −1=[310−11015−25]. [选修4-4:坐标系与参数方程]以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线l:{x =1+2ty =1−2t (t 为参数)与圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0的位置关系. 【答案】解:把直线方程l {x =1+2ty =1−2t (t 为参数),转化为普通方程为x +y =2.将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为:x 2+2x +y 2−2y =0, 即:(x +1)2+(y −1)2=2. 圆C 到直线l 的距离d =√2=√2, 所以直线l 与C 相切. 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线的参数方程 直线与圆的位置关系 【解析】首先把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化,再利用点到直线的距离公式求出直线和远的位置关系. 【解答】解:把直线方程l {x =1+2ty =1−2t (t 为参数),转化为普通方程为x +y =2.将圆C:ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=0转化为:x 2+2x +y 2−2y =0, 即:(x +1)2+(y −1)2=2. 圆C 到直线l 的距离d =2=√2, 所以直线l 与C 相切. [选修4-5:不等式选讲]已知a ,b ,c ,d 都是正实数,且a +b +c +d =1,求证:a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ≥15. 【答案】证明:∵ a ,b ,c ,d 都是正实数,且a +b +c +d =1; ∴ [(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a 21+a+b 21+b +c 21+c +d 21+d ) ≥(√1+a a√1+a√1+b b √1+b√1+c ⋅c √1+c+√1+d d √1+d)2=(a +b +c +d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立;又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5;∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15.【考点】不等式的证明【解析】由a,b,c,d都是正实数,并且a+b+c+d=1,根据柯西不等式即可得出[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥1,从而可得出a21+a+b21+b+c2 1+c +d21+d≥15.【解答】证明:∵a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1;∴[(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)](a21+a +b21+b+c21+c+d21+d)≥(√1+a√1+a √1+b√1+b√1+c⋅√1+c+√1+d√1+d)2=(a+b+c+d)2=1当且仅当(1+a)2a2=(1+b)2b2=(1+c)2c2=(1+d)2d2等号成立;又(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=4+a+b+c+d=5;∴a21+a +b21+b+c21+c+d21+d≥15.【必做题】第25题、第26题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在正三棱柱ABC−A1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F,G分别是AA1,AC和A1C1的中点.以{FA→, FB→, FG→}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系F−xyz.(1)求异面直线AC与BE所成角的余弦值;(2)求二面角F−BC1−C的余弦值.【答案】解:(1)因为AB=1,AA1=2,则F(0, 0, 0),A(12, 0, 0),C(−12, 0, 0),B(0, √32, 0),E(12, 0, 1),所以AC →=(−1, 0, 0),BE →=(12,−√32, 1),记直线AC 和BE 所成角为α, 则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24,所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24.(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z), 因为FB →=(0, √32, 0),FC 1→=(−12,0,2),则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0,取x =4,得m →=(4, 0, 1), 设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z),因为CB →=(12,√32, 0),CC 1→=(0, 0, 2),则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ,取x =√3,得n →=(√3,−1,0), ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117,根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角, 所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117. 【考点】用空间向量求平面间的夹角用空间向量求直线间的夹角、距离 【解析】(1)求出AC →=(−1, 0, 0),BE →=(12,−√32, 1),由此能求出直线AC 和BE 所成角的余弦值.(2)求出平面BFC 1的法向量和平面BCC 1的一个法向量,利用向量法能求出二面角F −BC 1−C 的余弦值. 【解答】解:(1)因为AB =1,AA 1=2, 则F(0, 0, 0),A(12, 0, 0),C(−12, 0, 0), B(0, √32, 0),E(12, 0, 1), 所以AC →=(−1, 0, 0),BE →=(12,−√32, 1),记直线AC 和BE 所成角为α, 则cosα=|cos <AC →,BE →>|=−1×12(12)+(−√32)=√24,所以直线AC 和BE 所成角的余弦值为√24.(2)设平面BFC 1的法向量为m →=(x, y, z), 因为FB →=(0, √32, 0),FC 1→=(−12,0,2),则{m →⋅FB →=√32y =0m →⋅FC 1→=−12x +2z =0 ,取x =4,得m →=(4, 0, 1), 设平面BCC 1的一个法向量为n →=(x, y, z), 因为CB →=(12,√32, 0),CC 1→=(0, 0, 2),则{n →⋅CB →=12x +√32y =0n →⋅CC 1→=2z =0 ,取x =√3,得n →=(√3,−1,0), ∴ cos <m →,n →>=√3√4⋅√17=2√5117,根据图形可知二面角F −BC 1−C 为锐二面角, 所以二面角F −BC 1−C 的余弦值为2√5117.在平面直角坐标系xOy 中,已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C:y 2=4x 于点P ,点F 为C 的焦点.圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ,PF ,x 轴都相切,设M 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程;(2)若直线l 1与曲线E 相切于点Q(s, t),过Q 且垂直于l 1的直线为l 2,直线l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B .当线段AB 的长度最小时,求s 的值. 【答案】解:(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ,所以F 的坐标为(1, 0), 设M(m, n),因为圆M 与x 轴、直线l 都相切,l 平行于x 轴, 所以圆M 的半径为|n|,点P(n 2, 2n),则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1,即2n(x −1)−y(n 2−1)=0, 所以2222=|n|,又m ,n ≠0,所以|2m −n 2−1|=n 2+1,即n 2−m +1=0, 所以E 的方程为y 2=x −1,(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t),A(0, y 1),B(0, y 2),由(1)知,点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,由y′=2√x−1,所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t , k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ,所以y 1=t 2−12t ,y 2=2t 3+3t ,所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ,t >0. 令f(t)=2t 3+52t +12t ,t >0, 则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2,由f′(t)>0得t >√−5+√7324,由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324,所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减,在(√−5+√7324单调递增,所以当t =√−5+√7324时,f(t)取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值,此时s =t 2+1=19+√7324.【考点】直线与抛物线结合的最值问题 利用导数研究函数的最值 轨迹方程 【解析】(1)根据题意可得PF 的方程2n(x −1)−y(n 2−1)=0,根据距离即可求出,(2)点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,根据导数的几何意义和斜率公式,求|AB|,并构造函数,利用导数求出函数的最值. 【解答】解:(1)因为抛物线C 的方程为y 2=4x ,所以F 的坐标为(1, 0), 设M(m, n),因为圆M 与x 轴、直线l 都相切,l 平行于x 轴, 所以圆M 的半径为|n|,点P(n 2, 2n),则直线PF 的方程为y2n =x−1n 2−1,即2n(x −1)−y(n 2−1)=0, 所以2222=|n|,又m ,n ≠0,所以|2m −n 2−1|=n 2+1,即n 2−m +1=0, 所以E 的方程为y 2=x −1,(y ≠0). (2)设Q(t 2+1, t),A(0, y 1),B(0, y 2),由(1)知,点Q 处的切线l 1的斜率存在,由对称性不妨设t >0,由y′=2√x−1,所以k AQ =t−y 1t 2+1=2√t 2+1−1=12t , k BQ =t−y2t 2+1=−2√t 2+1−1=−2t ,所以y 1=t 2−12t ,y 2=2t 3+3t ,所以AB =|2t 3+3t −t2+12t |=2t 3+52t +12t ,t >0. 令f(t)=2t 3+52t +12t ,t >0, 则f′(t)=6t 2+52−12t2=12t 4+5t 2−12t 2,由f′(t)>0得t >√−5+√7324,由f′(t)<0得0<t <√−5+√7324,所以f(t)在区间(0, √−5+√7324)单调递减,在(√−5+√7324单调递增,所以当t =√−5+√7324时,f(t)取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值,此时s=t2+1=19+√73.24。

江苏省徐州市铜山区2017-2018学年高三考前热身模拟数学试题 Word版含答案

江苏省徐州市铜山区2017-2018学年高三考前热身模拟数学试题 Word版含答案

2017-2018学年高三数学考前热身卷数学试题一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1. 已知集合{2 3}A =,,2{1 log }B a =,,若{3}A B =,则实数a 的值为 ▲ . 2.已知复数z =21-i-i 3,其中i 虚数单位,则z 的模为 ▲ . 3.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为 ▲ .4. 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5,则此组数据的标准差是 ▲ .5.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次,则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ .6. 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C :22221-=y x a b (00)>>a b ,的渐近线距离等于13,则双曲线C 的离心率为 ▲ .7.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则22a ba b ++的最大值为 ▲ . 8.在三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,三棱锥P ABC -的体积为2V ,则12VV = ▲ .9. 设等差数列{}n a 的公差为d (0≠d ),其前n 项和为n S .若22410a a =,122210S S =+,则d 的值为 ▲ .10.已知tan()1αβ+=,tan()2αβ-=,则sin 2cos2αβ的值为 ▲ .注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上.3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作答;一律无效.4.如有作图需要,可用2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.BA11.如图:梯形ABCD中,//AB CD,3=AB,1==DCAD若21=⋅,则⋅= ▲.12.如图所示,椭圆E的中心在坐标原点O,顶点分别是A1,A2,B1,B2,焦点分别是F1,F2,延长B2F2交A2B1于点P,若∠B2P A2是钝角,则椭圆E离心率e的取值范围是▲.13.已知实数a,b满足1a b+=,则()()3311a b++的最大值是▲.14.设函数()()21f x x a x a x x a=---++(0a<).若存在[]11x∈-,,使()0f x≤,则a的取值范围是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱CBAABC11-中,已知90=∠ACB,1CCBC=,FE,分别为1,AAAB的中点.(1)求证:直线EF∥平面11ABC;(2)求证:CBEF1⊥.16.(本小题满分14分)在ABC∆中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,2a=且()()sin sin2A B b+-= ()sinsinC B c-.(Ⅰ)求A;(Ⅱ)求ABC∆的周长的取值范围.如图,某商业中心O 有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道.某公园P 位于商业中心北偏东θ角(02πθ<<,tan θ=,且与商业中心O园P 修一条直路分别与两条街道交汇于A 、B 两处.⑴当AB 沿正北方向时,试求商业中心到A 、B 两处的距离和; ⑵若要使商业中心O 到A 、B 两处的距离和最短,请确定A 、B 的最佳位置.18.(本小题满分16分) 已知圆O :x 2 + y 2 = 4.(1) 求过点)1,2(-圆O 的切线方程.(2)已知两个定点A (a ,2),B (m ,1),其中a ∈R ,m > 0.P 为圆O 上任意一点,且PAPB = k (k 为常数)①求常数k 的值;②过点E (a ,t )作直线l 与圆C :x 2 + y 2 = m 交于M 、N 两点,若M 点恰好是线段NE 的中点,求实数t 的取值范围.A已经函数()()233xf x x x e =-+的定义域为[]2,t -,设()()2,f m f t n -==(1)试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数;(2)求证m n <; (3)若不等式()()72ln 1xf x x k x x e+->-(为k 正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95,ln8 2.08≈≈).20. (本小题满分16分)设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>,数列{}n b 定义如下:对于正整数m ,m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.(1)若11,23p q ==-,求3b ;(2)若2,1p q ==-,求数列{}m b 的前2m 项和公式;(3)是否存在p 和q ,使得32m b m =+()m N *∈?如果存在,求p 和q 的取值范围?如果不存在,请说明理由.2018届高三数学考前热身卷数学试题(附加)21.A.如图,AB为圆O的切线,A为切点,C为线段AB的中点,过C作圆O的割线CED(E在C,D之间),求证:∠CBE=∠BDE.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知a b∈R,,向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是二阶矩阵24ab⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A的属性特征值3的一个特征向量,求直线:230l x y--=在矩阵A对应的变换作用下得到的直线l'的方程.C.在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为2cos2sinr q q=+,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为1,x ty=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t为参数),求直线l被曲线C所截得的弦长.D .求函数y22.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断正确的概率为p ,判断错误的概率为q ,若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该明星答完n 题后总得分为n S ”.(1)当21==q p 时,记||3S =ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)当32,31==q p 时,求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率.23.如图,已知抛物线y x =2,点)41,21(-A ,)49,23(B ,抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x p .过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围;(2)求PQ PA ⋅|的最大值.2018届高三数学考前热身卷数学试题 答案一、填空题:本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.1. 已知集合{2 3}A =,,2{1 log }B a =,,若{3}A B =,则实数a 的值为 ▲. 1. 【答案】 82.已知复数z =21-i -i 3,其中i 虚数单位,则z 的模为 ▲ .2.【答案】 53.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为 ▲ . 【答案】424. 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5,则此组数据的标准差是 ▲ . 4. 【答案】225.有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次,则两次看不到的数字都大于2的概率为 ▲ . 5.【答案】146. 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C :22221-=y x a b(00)>>a b ,的渐近线距离等于13,则双曲线C 的离心率为 ▲ .6.【答案】3注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本试卷满分160分,考试时间为120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作答;BA7.若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,则22a ba b ++的最大值为 ▲ . 7. 【答案】57 8.在三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V , 三棱锥P ABC -的体积为2V ,则12V V = ▲ . 8.【答案】149. 设等差数列{}n a 的公差为d (0≠d ),其前n 项和为n S .若22410a a =,122210S S =+, 则d 的值为 ▲ .9.【答案】10-10.已知tan()1αβ+=,tan()2αβ-=,则sin 2cos2αβ的值为 ▲ .10.【答案】3-【解析】[][]sin ()()sin()cos()cos()sin()sin 2cos 2cos()cos()sin()sin()cos ()()αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ++-+-++-==+-++-+-- tan()tan()3αβαβαβαβ++-==-.11.如图:梯形ABCD 中,//AB CD ,3=AB ,1==DC AD ,若21=∙,则∙= ▲ .11. 【答案】3412.如图所示,椭圆E 的中心在坐标原点O ,顶点分别是A 1,A 2,B 1,B 2,焦点分别是F 1,F 2,延长B 2F 2 交A 2B 1于点P ,若∠B 2PA 2是钝角,则椭圆E 离心率e 的取值范围是 ▲ .12.【答案】1)方法一:直线A 2B 1:0bx ay ab +-=,直线B 2F 2:0bx cy bc --=,联立可得,2()(,)ac b a c P a c a c -++,222(,)ac ab PB a c a c =--++,2()()(,)a a c b a c PA a c a c--=-++,因为∠B 2PA 2是钝角,所以,220PA PB ⋅<,即2b ac <,又01e <<1e <<.方法二:因为∠B 2PA 2是钝角,所以,12220B A F B ⋅<,(,)(,)0a b c b ---<,2b ac <,又01e <<,所以,椭圆E 的离心率e的取值范围是1). 13.已知实数a , b 满足1a b +=,则()()3311a b ++的最大值是 ▲ . 13.【答案】4.14.设函数()()21f x x a x a x x a =---++(0a <).若存在[]011x ∈-,,使0()0f x ≤,则a 的取值范围是 ▲ . 14.【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤,222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩,≤,,≤≤ 当01x ≤≤时,2()221f x ax a a =-+++为递增函数,且2(0)(1)f a =+, 当10x -<≤时,22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =,若存在0[11]x ∈-,,使得0()0f x ≤,则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤,即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤,解得31a --≤≤.② 若10a -<<,22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩,≤,,≤,,≤≤当01x ≤≤时,2()221f x ax a a =-+++为递增函数,且2(0)(1)f a =+, 当1x a -<≤时,2()221f x ax a a =-++为递减函数,且2()(1)f a a =+, 当0a x <≤时,22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =,若存在[]011x ∈-,,使得0()0f x ≤, 则()0a f ≤,即2420a a ++≤,解得22a ---≤10a -<<,所以12a -<.综上可得,32a -≤,即a 的取值范围为[32]-.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱C B A ABC 11-中,已知90=∠ACB ,1CC BC =,F E ,分别为1,AA AB的中点.(1)求证:直线EF ∥平面11A BC ; (2)求证:C B EF 1⊥.15. 证明 (1)由题知,EF 是△AA 1B 的中位线, 所以EF ∥A 1B ……………2分由于EF ⊄平面BC 1A 1,A 1B ⊂平面BC 1A 1,所以EF ∥平面BC 1A 1. ……………6分(2)由题知,四边形BCC 1B 1是正方形,所以B 1C ⊥BC 1. ……8分 又∠A 1C 1B 1=∠ACB =90°,所以A 1C 1⊥C 1B 1.在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CC 1⊥平面A 1C 1B 1,A 1C 1⊂平面A 1C 1B 1,从而A 1C 1⊥CC 1, 又CC 1∩C 1B 1=C 1,CC 1,C 1B 1⊂平面BCC 1B 1,所以A 1C 1⊥平面BCC 1B 1 又B 1C ⊂平面BCC 1B 1,所以A 1C 1⊥B 1C . . ……………10分因为A 1C 1∩BC 1=C 1,A 1C 1,BC 1⊂平面BC 1A 1,所以B 1C ⊥平面BC 1A 1. ……………12分 又A 1B ⊂平面BC 1A 1,所以B 1C ⊥A 1B .又由于EF ∥A 1B ,所以EF ⊥B 1C . ……………14分16.(本小题满分14分)在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c , 2a =且()()sin sin 2A B b +-=()sin sinC B c -.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)求ABC ∆的周长的取值范围. 16.(Ⅱ)在ABC ∆中有正弦定理得sin sin sin3a b cB Cπ==,又2a =,所以b B =,23c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,故23sin 4sin 326b c B B B B B ππ⎫⎛⎫⎛⎫+=-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为203B π<<,故 5666B πππ<+<,所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭, (]2,4b c +∈, 故ABC ∆得周长的取值范围是(]4,6. 17. (本小题满分14分)如图,某商业中心O 有通往正东方向和北偏东30°方向的两条街道.某公园P 位于商业中心北偏东θ角(02πθ<<,tan θ=,且与商业中心O园P 修一条直路分别与两条街道交汇于A 、B 两处.⑴当AB 沿正北方向时,试求商业中心到A 、B 两处的距离和;⑵若要使商业中心O 到A 、B 两处的距离和最短,请确定A 、B 的最佳位置.17⑴以O 为原点,OA 所在直线为x 轴建立坐标系.设(,)P m n ,A∵02πθ<<,tan θ=cos θ=,sin θ=则9sin 2m OP θ=⋅=,cos n OP θ=⋅= ……4分 依题意,AB ⊥OA ,则OA =92,OB =2OA =9,商业中心到A 、B 两处的距离和为13.5km .⑵方法1:当AB 与x 轴不垂直时,设AB :9()2y k x =-,①令0y =,得92A x =;由题意,直线OB 的方程为y =,②解①②联立的方程组,得B x =,∴2B OB x ===∴92y OA OB =+=++,由0A x >,0B x >,得k >0k <.3)'y =+=,令'0y =,得k =,当k <'0y <,y 是减函数;当0k <<时,'0y >,y 是增函数,∴当k =时,y 有极小值为9km ;当k >'0y <,y 是减函数,结合⑴知13.5y >km .综上所述,商业中心到A 、B 两处的距离和最短为9km ,此时OA =6km ,OB =3km , 方法2:如图,过P 作PM //OA 交OB 于M ,PN //OB 交OA 于N ,设∠BAO =α,△OPN 中sin(90)sin(30)sin120PN ON OPθθ︒==--,得PN =1,ON =4=PM , △PNA 中∠NPA =120°-α∴sin sin(120)PN NA αα︒=-得sin(120)sin NA αα︒-= 同理在△PMB 中,sin sin(120)BM PM αα︒=-,得4sin sin(120)MB αα︒=-,s i n (120)4s i n1459s i n s i n (120)y O A O B αααα︒︒-=+=+++≥+=-,当且仅当sin(120)4sin sin sin(120)αααα︒︒-=-即sin(120)2sin αα︒-=即tan α=时取等号.方法3:若设点()B m ,则AB9292y x m -=-,得4(4,0)21A m +-, ∴4424211492121OA OB m m m m +=++=-+++≥--,当且仅当42121m m -=-即32m =时取等号.方法4:设(,0)A n ,AB92x n n -=-,得2142B x n =+-, 442441(4)5944B OA OB n x n n n n +=+=-+++=-++≥--, 当且仅当444n n -=-即6n =时取等号. 答:A 选地址离商业中心6km ,B 离商业中心3km 为最佳位置.18.(本小题满分16分) 已知圆O :x 2 + y 2 = 4.(1) 求过点)1,2(-圆O 的切线方程.(2)已知两个定点A (a ,2),B (m ,1),其中a ∈R ,m > 0.P 为圆O 上任意一点,且PAPB = k (k 为常数)①求常数k 的值;②过点E (a ,t )作直线l 与圆C :x 2 + y 2 = m 交于M 、N 两点,若M 点恰好是线段NE 的中点,求实数t 的取值范围.18.(1)2=x 和01043=--y x (2)①设点P (x ,y ),x 2 + y 2 = 4, PA =(x - a )2 + (y - 2)2,PB =(x - m )2 + (y - 1)2,因为PAPB = k ,所以(x –a )2 + (y –2)2 = k 2[(x –m )2 + (y –1)2],又x 2 + y 2 = 4,化简得2ax + 4y – a 2 – 8 = k 2(2mx + 2y – m 2 – 5),因为P 为圆O 上任意一点,所以⎩⎨⎧2a = 2mk24 = 2k 2a 2 + 8 = k 2(m 2+ 5), 又m > 0,k > 0,解得⎩⎪⎨⎪⎧k = 2a = 2m = 1,所以常数k =2.②法一:设M (x 0,y 0),M 是线段NE 的中点,N (2x 0 – 2,2y 0 – t ),又MN 在圆C 上,即关于x ,y 的方程组⎩⎨⎧x 02+ y 02= 1(2x 0 -2)2 + (2y 0 - t )2 = 1有解,化简得⎩⎨⎧x 02+ y 02= 18x 0 + 4t y 0- t 2 - 7 = 0有解,即直线n :8x + 4t y –t 2– 7 = 0与圆C :x 2 + y 2 = 1有交点, 则d o -n = |t 2 + 7|64 + 16t2 ≤1,化简得:t 4 – 2t 2– 15 ≤0,解得t ∈5,5].法二:设过E 的切线与圆C 交于切点F ,EF 2 = EM ·EN , 又M 是线段NE 的中点,所以EN = 2MN ,EM = MN ,所以EF 2 = 2MN 2, 又EF 2 = EO 2 – OF 2 = 22 + t 2 – 1 = t 2 + 3,所以MN ≤ 2,t 2 + 3 ≤ 8,所以t ∈[-5,5].19.(本小题满分16分)已经函数()()233xf x x x e =-+的定义域为[]2,t -,设()()2,f m f t n -==(1)试确定t 的取值范围,使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数; (2)求证m n <;(3)若不等式()()72ln 1xf x x k x x e+->-(为k 正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据ln7 1.95,ln8 2.08≈≈).19.(1)(]02-,(2)证:因为()f x 在()(),0,1,-∞+∞上递增,在()0,1上递减, 所以()f x 在1x =处取得权小值e 又()2132f e e -=<,所以()f x 在[)2,-+∞的最小值为()2f - 从而当2t >-时, ()()2f f t -<,即m n <(3)()()72ln 1xf x x k x x e+->-等价于()241ln 1x x k x x ++>-即14ln 0k x k x x+++-> 记()14ln k g x x k x x +=++-,则()()()221111x x k k k g x x x x +--+=--='等价于()6ln 10k k k +-+>,即()61ln 10k k+-+> 记()()61ln 1h x k k =+-+,则()26101h x x x =--<+' 所以()h x 在()0,+∞上单调递减, 又()()1362ln70,7ln80,7h h =->=-< 所以k 的最大值为6 20. (本小题满分16分)设数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+(,0)n N p *∈>,数列{}n b 定义如下:对于正整数m ,m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.(1)若11,23p q ==-,求3b ;(2)若2,1p q ==-,求数列{}m b 的前2m 项和公式;(3)是否存在p 和q ,使得32m b m =+()m N *∈?如果存在,求p 和q 的取值范围?如果不存在,请说明理由.20.(1)由题意,得1123n a n =-,解11323n -≥,则203n ≥,所以11323n -≥成立的所有n 中的最小整数为7,即37b =.(2)由题意,得21n a n =-,对于正整数由n a m ≥,得12m n +≥,根据m b 的定义可知,当21m k =-时,()m b k k N *=∈当2m k =时,1()m b k k N *=+∈ ∴1221321()m m b b b b b b -+++=+++242()m b b b ++++=2(123)[234(1)]2m m m m ++++++++++=+(3)假设存在p 和q 满足条件,由不等式pn q m +≥及0p >得m qn p-≥∵32()m b m m N *=+∈,根据m b 的定义可知,对于任意正整数的都有3132m qm m p-+<≤+即2(31)p q p m p q --≤-<--对任意的正整数m 都成立. 当310p ->(或310p -<)时,得22()31313131p q p q p q p qm m p p p p ++++-≥≥--≤≤-----或这与上述结论矛盾.当310p -=即13p =时,21033q q --≤<--,∴2133q -≤<- ∴所以存在p 和q ,使得满足条件的p ,q ,且p ,q 的取值范围分别是:121,[,]333p q =∈--.2018届高三数学考前热身卷数学试题(附加)21.A .如图,AB 为圆O 的切线,A 为切点,C 为线段AB 的中点,过C 作圆O 的割线CED (E 在C ,D 之间), 求证:∠CBE =∠BDE .B .[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知a b ∈R ,,向量11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α是二阶矩阵24a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的属性特征值3的一个特征向量, 求直线:230l x y --=在矩阵A 对应的变换作用下得到的直线l '的方程.B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分) 解:由题意,3=A αα,即2113411a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 所以2343a b +=⎧⎨+=⎩,,解得11a b ==-,,所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A . 设l 上一点()P x y ,在A 的作用下得到直线l '上一点()P x y ''',, 则1214x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即24x x y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩,, 所以1(2)1()6x x y y x y ⎧''=-⎪⎨⎪''=+⎩,,代入直线:230l x y --=,得75180x y ''--=, 即直线l '的方程为75180x y --=.C .在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin r q q =+,以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为1,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数),求直线l 被曲线C 所截得的弦长.21C 解:曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=,圆心为(1,1)…………………………………………………………3分0y -, ………………………………………5分所以圆心到直线的距离为12d =, ………………………………8分所以弦长== ………………………………………………………10分D.求函数y22.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断正确的概率为p ,判断错误的概率为q ,若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该明星答完n 题后总得分为n S ”.(1)当21==q p 时,记||3S =ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)当32,31==q p 时,求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率.7.(1)||3S =ξ 的取值为1,3,又21==q p ;故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ,41)21()21()3(33=+==ξP . 所以 ξ的分布列为:--------------------3分且ξE =1×43+3×41=23; --------------------5分(2)当S 8=2时,即答完8题后,回答正确的题数为5题,回答错误的题数是3题,又已知)4,3,2,1(0=≥i S i ,若第一题和第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第一题和第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对3题.此时的概率为33536587123088080()()()()33218733P C C ⨯=+⋅⋅==或. --------------------10分23.如图,已知抛物线y x =2,点)41,21(-A ,)49,23(B ,抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x p .过点B 作直线AP 的垂线,垂足为Q .(1)求直线AP 斜率的取值范围;(2)求PQ PA ∙|的最大值.23. 解:(1)设直线AP 的斜率为k , k=x 2-14x+12=x-12, 因为-12<x <32,所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1).(2)联立直线AP 与BQ 的方程⎩⎨⎧kx-y+12k+14=0,x+ky-94k-32=0,解得点Q 的横坐标是x Q =-k 2+4k+32(k 2+1). 因为|PA |=1+k 2(x+12)=1+k 2(k+1), |PQ |=1+k 2(x Q -x)=-(k-1)(k+1)2k 2+1, 所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)=-(k-1)(k+1)3, 因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f (k )在区间(-1,12)上单调递增,(12,1)上单调递减, 因此当k =12时,|PA|·|PQ|取得最大值2716.。

2018江苏高考数学模拟试题含答案

2018江苏高考数学模拟试题含答案

2018江苏高考数学模拟试题(含答案)本试卷共5页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(A)8(B)9(C)27(D)36(7)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x−y的最大值为(A)−1 (B)3 (C)7 (D)8(8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.6030秒跳绳(单位:次)63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(A)2号学生进入30秒跳绳决赛(B)5号学生进入30秒跳绳决赛(C)8号学生进入30秒跳绳决赛(D)9号学生进入30秒跳绳决赛2018江苏高考数学模拟试题第二部分(非选择题共110分)二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;②这三天售出的商品最少有_______种.2018江苏高考数学模拟试题三、解答题(共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)(15)(本小题13分)已知{an}是等差数列,{bn}是等差数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和.(16)(本小题13分)已知函数f(x)=2sin ωxcosωx+cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.(17)(本小题13分)某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:(I)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费. (18)(本小题14分)。

2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)含答案

2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷(word版)含答案

2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷参考公式:样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑,其中11n i i x x n ==∑;锥体的体积公式:1=3V Sh 锥体,其中S 为锥体的底面面积,h 是高.一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知i 是虚数单位,若3ii(,)ia b a b =∈++R ,则ab 的值为 ▲ .2. 某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,10.2,10.1则这组数据的方差为 ▲ .3. 右图是一个算法流程图,则输出的S 的值是 ▲ .4. 若集合{}1,0,1A =-,{}|cos(),B y y x x A ==π∈,则A B = ▲ .5. 方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈ ▲ . 6.在ABC △中,已知4cos 5A =,1tan()2A B -=-,则tan C 的值是 ▲ .7. 已知实数,x y 满足1,3,10,x y x y -⎧⎪⎨⎪-⎩+≥≤≤则222x y x -+的最小值是 ▲ .8. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若77S =,1575S =,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前20项和为 ▲ .9. 已知三棱锥P ABC -的所有棱长都相等,现沿PA ,PB ,PC 三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为,则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ .10.已知O 为ABC △的外心,若51213OA OB OC +-=0,则C ∠等于 ▲ .11. 已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字,则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是 ▲ . 12. 若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为 ▲ . 13.已知函数2,01,()12, 1.2x x x f x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≥若0a b >≥,且()()f a f b =,则()bf a 的取值范围是 ▲ .14. 已知曲线C :()(0)af x x a x=>+,直线l :y x =,在曲线C 上有一个动点P ,过点P 分别作直线l 和y 轴的垂线,垂足分别为,A B .再过点P 作曲线C 的切线,分别与直线l 和y 轴相交于点,M N ,O 是(第3题图)坐标原点.若ABP △的面积为12,则OMN △的面积为 ▲ . 二、解答题: 本大题共6小题, 15~17每小题14分,18~20每小题16分,共计90分.请在答题卡指定的......区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⑵由⑴AC BC ⊥,又因为CD 为圆O 的直径, 所以BD BC ⊥,因为,,AC BC BD 在同一平面内,所以AC BD ,…………………………………………9分 因为BD ⊄平面ACE ,AC ⊂平面ACE ,所以BD 平面ACE .………………………11分 因为BF CE ,同理可证BF 平面ACE , 因为BD BF B = ,,BD BF ⊂平面BDF , 所以平面BDF 平面ACE ,因为D F ⊂平面BDF ,所以DF 平面ACE . (14)16.已知ABC △的面积为S ,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,32AB AC S =.⑴求cos A 的值;⑵若,,a b c 成等差数列,求sin C 的值.17.已知一块半径为r 的残缺的半圆形材料ABC ,O 为半圆的圆心,12OC r =,残缺部分位于过点C 的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以BC 为斜边;如图乙,直角顶点E 在线段OC 上,且另一个顶点D 在AB 上.要使截出的直角三角形的面积最大,应该选择哪一种方案?请说明理由,并求出截得直角三角形面积的最大值.(第17题甲图) (第17题乙图)(第15题图)18.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =12,A A 分别是椭圆E 的左、右两个顶点,圆2A 的半径为a ,过点1A 作圆2A 的切线,切点为P ,在x 轴的上方交椭圆E 于点Q .⑴求直线OP 的方程;⑵求1PQ QA 的值;⑶设a 为常数.过点O 作两条互相垂直的直线,分别交椭圆E 于点,B C ,分别交圆2A 于点,M N ,记OBC △和OMN △的面积分别为1S ,2S ,求12S S ⋅的最大值.19.已知数列{}n a 满足:12(0)a a a =+≥,1n a +=*n ∈N . ⑴若0a =,求数列{}n a 的通项公式;⑵设1n n n b a a +=-,数列{}n b 的前n 项和为n S ,证明:1n S a <.(第18题图)20.已知函数2()ln f x x ax x =--,a ∈R .⑴若函数()y f x =在其定义域内是单调增函数,求a 的取值范围;⑵设函数()y f x =的图象被点(2,(2))P f 分成的两部分为12,c c (点P 除外),该函数图象在点P 处的切线为l ,且12,c c 分别完全位于直线l 的两侧,试求所有满足条件的a 的值.2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本大题包括A 、B 、C 、D 共4小题,请从这4题中选做2小题.每小题10分,共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .选修4-1:几何证明选讲如图,已知圆A ,圆B 都经过点C ,BC 是圆A 的切线,圆B 交AB 于点D ,连结CD 并延长交圆A 于点E ,连结AE .求证2DE DC AD DB ⋅=⋅.EA B C DB .选修4-2:矩阵与变换已知,a b ∈R ,若矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换把直线l :23x y -=变换为自身,求1-M .C .选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知直线2cos sin 0(0)a a ρθρθ=>++被圆4sin ρθ=截得的弦长为2,求a 的值.D .选修4-5:不等式选讲已知,,x y z ∈R ,且234x y z --=,求222x y z ++的最小值. 22.【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图,在正三棱柱111ABC A B C -中,已知16AA =,2AB =,,M N 分别是棱1BB ,1CC 上的点,且4BM =,2CN =. ⑴求异面直线AM 与11AC 所成角的余弦值;⑵求二面角1M AN A --的正弦值.23.【必做题】本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数021*********()C C C C (1)C (1)n n n r r n r n n n n n n n n f x x x x x x ------=-+-+-++- ,n *∈N . ⑴当2n ≥时,求函数()f x 的极大值和极小值;⑵是否存在等差数列{}n a ,使得01121C C C (2)nn n n n a a a nf ++++= 对一切n *∈N 都成立?并说明理由.(第22题图) A BC A 1B 1C 1 MN2018届徐州、宿迁两市高三第三次模拟考试数学试卷数学参考答案与评分标准一、填空题1.3-;2. 0.032;3. 58;4. {1,1}-;5.(1,5)-;6.112; 7.1;8.55; 9.9; 10.3π4; 11. 38; 12. 13.5[,3)4; 14. 4二、解答题分16.⑴由32AB AC S = ,得31cos sin 22bc A bc A =⨯,即4sin cos 3A A =.……………2分代入22sin cos 1A A =+,化简整理得,29cos 25A =.……………………………………4分由4sin cos 3A A =,知cos 0A >,所以3cos 5A =.………………………………………6分⑵由2b a c =+及正弦定理,得2sin sin sin B A C =+,即2sin()sin sin A C A C =++,………………………………………………………………8分 所以2sin cos 2cos sin sin sin A C A C A C =++.①由3cos 5A =及4sin cos 3A A =,得4sin 5A =,……………………………………………10分 代入①,整理得4sin cos 8CC -=.代入22sin cos 1C C =+,整理得265sin 8sin 480C C --=,……………………………12分解得12sin 13C =或4sin 5C =-.因为(0,)C ∈π,所以12sin 13C =.…………………………………………………………14分17.如图甲,设DBC α∠=,则3cos 2r BD α=,3sin 2rDC α=, ………………………………………………2分所以29sin 216BDC S r α=△………………………………………………………………………4分2916r ≤, 当且仅当π4α=时取等号, …………………………………………………6分 此时点D 到BC 的距离为34r ,可以保证点D 在半圆形材料ABC 内部,因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为2916r . …………………………………………………7分如图乙,设EOD θ∠=,则cos OE r θ=,sin DE r θ=,所以21(1cos )sin 2BDE S r θθ=+△,ππ[,]32θ∈ . …………………………………10分设21()(1cos )sin 2f r θθθ=+,则21()(1cos )(2cos 1)2f r θθθ'=+-,当ππ[,]32θ∈时,()0f θ'≤,所以π3θ=时,即点E 与点C 重合时,BDE △2. ………………………………………………………13分22916r >,2.…………14分 18.⑴连结2A P ,则21A P A P ⊥,且2A P a =, 又122A A a =,所以1260A A P ∠= .所以260POA ∠= ,所以直线OP的方程为y =.……………………………………3分 ⑵由⑴知,直线2A P的方程为)y x a =-,1A P的方程为)y x a +, 联立解得2P ax =. ………………………………………………………………………5分因为e =c a =2234c a =,2214b a =,故椭圆E 的方程为222241x y a a =+.由2222),41,y x a x y a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩+解得7Q a x =-,…………………………………………………………7分(第17题甲图)(第17题乙图)所以1()3274()7a a PQ a QA a --==---. ………………………………………………………………8分 ⑶不妨设OM 的方程为(0)y kx k =>,联立方程组2222,41,y kx x y aa =⎧⎪⎨=⎪⎩+解得B ,所以OB =10分用1k-代替上面的k,得OC =同理可得,OM,ON =.…………………………………………13分所以41214S S OB OC OM ON a ⋅=⋅⋅⋅⋅=14分15≤,当且仅当1k =时等号成立,所以12S S ⋅的最大值为45a .………………………………16分19.⑴若0a =时,12a =,1n a +=212n n a a +=,且0n a >. 两边取对数,得1lg22lg lg n n a a +=+,……………………………………………………2分 化为11lg lg2(lg lg2)2n n a a +=++, 因为1lg lg22lg2a =+,所以数列{lg lg2}n a +是以2lg 2为首项,12为公比的等比数列.……………………4分 所以11lg lg22()lg22n n a -=+,所以2212n n a --=.………………………………………6分⑵由1n a +=212n n a a a +=+,① 当2n ≥时,212n n a a a -=+,②①-②,得1112()()n n n n n n a a a a a a ++--=-+,…………………………………………8分 由已知0n a >,所以1n n a a +-与1n n a a --同号.…………………………………………10分因为2a =0a >,所以222212(2)(1)330a a a a a a -=-=>++++恒成立,所以210a a -<,所以10n n a a +-<.………………………………………………………12分 因为1n n n b a a +=-,所以1()n n n b a a +=--, 所以21321[()()()]n n n S a a a a a a +=----+++11111()n n a a a a a ++=--=-<.…………………………………………………………16分 20.⑴2121()21(0)ax x f x ax x x x-'=--=->+,………………………………………2分 只需要2210ax x +-≤,即22111112()24a x x x -=--≤,所以18a -≤.…………………………………………………………………………………4分⑵因为1()21f x ax x'=--.所以切线l 的方程为1(4)(2)ln 2422y a x a =---+--.令21()ln (4)(2)ln 2422g x x ax x a x a ⎡⎤=------+--⎢⎥⎣⎦,则(2)0g =.212(4)1112()242ax a x g x ax a x x---'=-+-=-.………………………………………6分 若0a =,则2()2xg x x-'=, 当(0,2)x ∈时,()0g x '>;当(2,)x ∈∞+时,()0g x '<,所以()(2)0g x g =≥,12,c c 在直线l 同侧,不合题意;…………………………………8分若0a ≠,12(2)()4()a x x a g x x-+'=-,若18a =-,2(1)2()0x g x x -'=≥,()g x 是单调增函数, 当(2,)x ∈∞+时,()(2)0g x g >=;当(0,2)x ∈时,()(2)0g x g <=,符合题意;…10分若18a <-,当1(,2)4x a∈-时,()0g x '<,()(2)0g x g >=, 当(2,)x ∈+∞时,()0g x '>,()(2)0g x g >=,不合题意; …………………………12分 若108a -<<,当1(2,)4x a∈-时,()0g x '<,()(2)0g x g <=, 当(0,2)x ∈时,()0g x '>,()(2)0g x g <=,不合题意; ……………………………14分 若0a >,当(0,2)x ∈时,()0g x '>,()(2)0g x g <=, 当(2.)x ∈+∞时,()0g x '<,()(2)0g x g <=,不合题意.故只有18a =-符合题意. ………………………………………………………………16分附加题21.A .由已知,AC BC ⊥,因为90ACD BCD ∠∠=︒+, AC AE =,BC BD =,所以ACD E ∠=∠,BCD BDC ∠=∠,因为ADE BDC ∠=∠,所以90E ADE ∠∠=︒+,所以AE AB ⊥.……………………………………………5分延长DB 交B 于点F ,连结FC ,则2DF DB =,90DCF ∠=︒, 所以ACD F ∠=∠,所以E F ∠=∠,所以Rt ADE △∽Rt CDF △, 所以AD DECD DF=,所以DE DC AD DF ⋅=⋅,因为2DF DB =, 所以2DE DC AD DB ⋅=⋅.…………………………………………………………………10分 B .对于直线l 上任意一点(),x y ,在矩阵M 对应的变换作用下变换成点(),x y '',则133a x x ay x b y bx y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦++, 因为23x y ''-=,所以2()(3)3x ay bx y --=++, ………………………………………4分所以22,231,b a --=⎧⎨-=-⎩解得1,4.a b =⎧⎨=-⎩所以1143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M , …………………………………………………………………………7分 所以13141--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M . ………………………………………………………………10分 FEA BC D (第21—A 题图)C .直线的极坐标方程化为直角坐标方程为20x y a =++, …………………………3分圆的极坐标方程化为直角坐标方程为224x y y =+,即22(2)4x y -=+ ,…………6分因为截得的弦长为2,所以圆心(0,2),=0a >,所以2a =. ………………………………………10分D .由柯西不等式,得2222222[(2)(3)][1(2)(3)]()x y z x y z ----++++++≤,即2222(23)14()x y z x y z --++≤, ……………………………………………………5分即2221614()x y z ++≤. 所以22287x y z ++≥,即222x y z ++的最小值为87. …………………………………10分 22.⑴以AC 的中点为原点O ,分别以,OA OB 所在直线为,x z 轴,建立空间直角坐标系O xyz -(如图). 则(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(1,0,0)C -,B ,1,6,0). 所以(AM =- ,11(2,0,0)AC =- .所以111111cos ,AM A C AM A C AM A C <>=== 所以异面直线AM 与11AC ⑵平面1ANA 的一个法向量为(0,0,1)=m . 设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =n ,因为(AM =- ,(2,2,0)AN =- ,由,,AM AN ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ n n 得40,220,x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩++令1x =,则(1,1,=n . 所以cos ,<>=== m n m n m n , 所以二面角1M AN A --. ……………………………………………10分 23.(1)101122()[C C C C (1)(1)C ]n n n n r r n r n nn n n n n f x x x x x x ----=-+-⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+- =1(1)n n xx --, 211()(1)(1)(1)n n n n f x n x x x n x ---'=--+⋅-=21(1)[(1)(1)]n n x x n x nx -----+,令()0f x '=得12310,,121n x x x n -===-, 因为2n ≥,所以123x x x <<.…………………………………………………2分当n 为偶数时()f x 的增减性如下表:x (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞()f x ' + 0 + 0 - 0 + ()f x 无极值 极大值 极小值 所以当121n x n -=-时,121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅--极大;当1x =时,0y =极小.………4分当n 为奇数时()f x 的增减性如下表:所以0x =时,0y =极大;当121n x n -=-时,121(1)()(21)n nn n n y n ---⋅-=-极小.…………6分(2)假设存在等差数列{}n a 使01211231C C C C 2n n n n n n n a a a a n -++++⋅⋅⋅+=⋅成立,由组合数的性质C C m n mn n -=,把等式变为0121111C C C C 2n n n n n n n n n a a a a n -+-+++⋅⋅⋅+=⋅,两式相加,因为{}n a 是等差数列,所以1123111n n n n a a a a a a a a +-++=+=+==+ , 故0111()(C C C )2n nn n n n a a n +++++=⋅ ,所以11n a a n ++=. …………………………………………………………………8分 再分别令12n n ==,,得121a a +=且132a a +=, 进一步可得满足题设的等差数列{}n a 的通项公式为1()n a n n *=-∈N .………10分x (,0)-∞ 0 1(0,)21n n -- 121n n -- 1(,1)21n n -- 1 (1,)+∞ ()f x ' + 0 - 0 + 0 +()f x 极大值 极小值 无极值。

2018年江苏省徐州市高考数学三模试卷

2018年江苏省徐州市高考数学三模试卷
以及点 , 是图象上的最低点, 是图象上的最高点,
可得 , ,
∴ .
再根据五点法作图可得 ,
解得 ,
∴ .
点 的横坐标为 ,求得 ,
根据 , ( , 均为锐角),可得 , ,
∴ ,∴ .
如图,某生态农庄内有一直角梯形区域 , , , 百米, 百米.该区域内原有道路 ,现新修一条直道 (宽度忽略不计),点 在道路 上(异于 , 两点), .
用 表示直道 的长度;
计划在 区域内种植观赏植物,在 区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平方百米 万元,种植经济作物的成本为每平方百米 万元,新建道路 的成本为每百米 万元,求以上三项费用总和的最小值.
【答案】
解: 过点 作 ,垂足为 ,
如图,
在 中,
∵ , , ,
∴ ,
在 中,
∵ , , ,
求函数 的解析式;
记 , ( , 均为锐角),求 的值.
【答案】
解: 根据函数 在一个周期内的图象,
以及点 , 是图象上的最低点, 是图象上的最高点,
可得 , ,
∴ .
再根据五点法作图可得 ,
解得 ,
∴ .
点 的横坐标为 ,
求得 ,
根据 , ( , 均为锐角),
可得 , ,
∴ ,
∴ .
【考点】
二倍角的正切公式
即 ,
解得 ,
即定义域为 .
故答案为: .
6.袋中有若干只红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色外完全相同.现从中随机摸出 只球,若摸出的球不是红球的概率为 ,不是黄球的概率为 ,则摸出的球为蓝球的概率为________.
【答案】
【考点】
对立事件的概率公式及运用

徐州市2018~2019学年度高三年级考前模拟检测数学试题与答案

徐州市2018~2019学年度高三年级考前模拟检测数学试题与答案

从而四边形 BEFG 为平行四边形, ………4 分
高三数学 第 1 页 共 6 页
于是 EF // BG ,
又因为 BG 面 ABB1A1 , EF 面 ABB1A1 , 所以 EF // 平面 ABB1A1 ;……………………7 分 (2)证明:在△ABC 中,因为 AB AC , E 为 BC 的中点,
所以 AE BC ,
又因为侧面 BCC1B1 底面 ABC ,侧面 BCC1B1 底面 ABC=BC ,且 AE 面 ABC , 所以 AE 平面 BCC1B1 , ………………………………………………………12 分 又 AE 面 AEF , 所以平面 AEF 平面 BCC1B1 . ……………………………………………………14 分

0

则实数 k 的值为 ▲ .
9.
已知函数
f
(x)

2 sin(2 x

) 6
,若实数
x1,
x2
满足
f (x1)
f (x2 ) 0 ,则
x1 x2
的最小值
为▲.
10.已知数列{an} 的前 n 项积为 Tn ,若对 n 2 , n N ,都有 Tn1 Tn1 2Tn2 成立,且
(2)若函数在区间1, 2 上存在极小值,求实数 a 的取值范围;
(3)如果 f (x) 0 的解集中只有一个整数,求实数 a 的取值范围.
(第 18 题)
20.(本小题满分 16 分) 在数列 {an} 中, a1 0 ,且对任意 k N , a2k1, a2k , a2k1 成等差数列,其公差为 dk . (1)若 d1=2 ,求 a2 , a3 的值; (2)若 dk =2k ,证明 a2k , a2k1, a2k+2 成等比数列( k N ); (3)若对任意 k N , a2k , a2k1, a2k+2 成等比数列,其公比为 qk .设 q1 1,证明数列 1 { } 是等差数列. qk 1

推荐-徐州市2018-2018学年度高三年级摸底考试数学试题 精品

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徐州市2018-2018学年度高三年级摸底考试数 学 试 题一、填空题:本大题10小题,每小题5分,共50分.请把答案直接填在答题卡的相应位置上. 1、 命题“2,12x R x x ∀∈+≥”的否定是 2、 方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 3、 若2,1iz i=-则||z = 4、 甲、乙两个学习小组各有10名同学,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示,则他们在这次测验中成绩较好的是 组。

甲 乙5 81 1 1136 47 1 94 7 45669 8664318 18 1 1 09 5、 若奇函数()sin f x x c =+的定义域为[,]a b ,则a+b+c=6、 若随机向一个边长为2的正三角形内丢一粒豆子,则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 7、 在三角形ABC 中,若sin :sin :sin A B C =,则该三角形的最大内角等于 8、 已知向量,a b 满足|1,||3,(3,1)a b a b ==+=,则||a b -= 9、 一个空间几何体的三视图及有关尺寸如右上图所示,则此几何体的侧面积为 10、某超市为了吸引顾客,采用“满一百送二十,连环送”的酬宾促销方式,即顾客在店内花钱满100元(可以是现金,也可以现金与奖励劵合计),就送20元,满200元就送40元奖励劵,满300元就送60元奖励劵….当是有一位顾客共花出现金7180元,如果按照酬宾促销方式,他最多能购买 元的商品。

二、选择题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的11、函数3()1f x x x =+-的零点所在的区间为A 、1(0,)2B 、1(,1)2C 、3(1,)2D 、3(,2)212、“a =1”是“直线y=ax+1和直线y= -ax -1垂直”的 A 、充分不必条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非充分条件113、若直线ax+by=1与圆x 2+y 2=1相离,则点(a,b)与此圆的位置关系是A 、在圆上B 、在圆外C 、在圆内D 、不能确定14、为了计算13599⨯⨯⨯⨯的值,请你把右边框图中空缺的部分补完整,正确的为 A 、①I I+1②S S ×I B 、①I I+2②S S ×I C 、①S S ×I ②I I+1 D 、①S S ×I ②I I+215、已知x,y 满足010112x y y x ⎧⎪≤≤⎪≤≤⎨⎪⎪-≥⎩,则z=1-2x+y 的最大值为A 、0B 、1C 、1.5D 、216、对于任意两个实数a,b 定义运算“*”如下:aa ba b b a b≤⎧*⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =*-*+的最大值为A 、25B 、16C 、9D 、4三、解答题:本大题共6小题,共80分。

2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品

2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品

x2
5. 已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ,则 z 2 x 4y 的最大值为 (
).
xy6
A.24
B
.20
C
.16
D
. 12
6.已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ,则向量 a 与 b 的夹角为(

A. 600
B
. 1200
C
.1350
D
.150 0
7.下列命题错误的是(
17. (本小题满分 14 分)
18. (本小题满分 14 分) 1
P
E
D C
O
A
B
19. (本小题满分 14 分)
20. (本小题满分 14 分)
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : (本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.) 1.D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算.
20.(本小题满分 14 分) 设 { an} 是等差数列, {bn} 是各项都为正数的等比数列, 且 a1 b1 1 ,a3 b5 21 ,
a5 b3 13
(Ⅰ)求 { an} , { bn} 的通项公式;
(Ⅱ)求数列
an bn
的前 n 项和 Sn .
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试

A.命题“若 m 0 ,则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为: “若方程
x2 x m 0 无实根,则 m 0 ”。
B.“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C.命题“若 xy 0 ,则 x, y 中至少有一个为零”的否定是: “若 xy 0,则 x, y 都 不为零”。 D.对于命题 p : x R ,使得 x2 x 1 0 ;则 p 是 : x R ,均有 x2 x 1≥ 0 。

江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试卷(含答案)

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徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测数学I一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置. 1.已知集合{1,2,3}A =,{2,3,4}B =,则集合A B U 中元素的个数为 ▲ .2.已知复数2(12i)z =-(i 为虚数单位),则z 的模为 ▲ .3.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人.若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为 ▲ .4.运行如图所示的伪代码,其结果为 ▲ . 5.从集合{0,1,2,3}A =中任意取出两个不同的元素, 则这两个元素之和为奇数的概率是 ▲ .6.若函数4()2x x af x x -=⋅为奇函数,则实数a 的值为 ▲ . 7.不等式2221xx --<的解集为 ▲ .8.若双曲线222142x y a a -=-a 的值为 ▲ .9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若13579+10a a a a a +++=,2282=36a a -,则10S 的值为 ▲ .10.函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示,则(1)(2)(2018)f f f +++L 的值为 ▲ .S←0 For I From 1 To 9S←S + I End For Print S (第4题)11.已知正实数,m n 满足+3m n =,则22+1++1m n m n 的最小值为 ▲ . 12.已知圆22:(2)2C x y -+=,直线:(2)l y k x =+与x 轴交于点A ,过l 上一点P 作圆C 的切线,切点为T ,若2PA PT =,则实数k 的取值范围是 ▲ . 13.如图,在梯形ABCD 中,//AB DC ,且4,2,3AB AD BAD π==∠=,E 为BC的中点,若9AE DB ⋅=u u u r u u u r ,则对角线AC 的长为 ▲ .14.若关于x 的不等式323+0x x ax b -+<对任意的实数[1,3]x ∈及任意的实数[2,4]b ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤. 15.(本小题满分14分)已知在ABC △中,角AB C ,,所对的边分别为,,a b c .若16cos ,sin 3A C ==. (1)求tan B ;(2)若227a b +=,求c 的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中.ADBCE(第13题)(1)若AD ⊥平面PAB ,PB PD ⊥,求证:平面PBD ⊥平面PAD ; (2)若AD ∥BC ,2AD BC =,E 为PA 的中点,求证:BE ∥平面PCD .17.(本小题满分14分)如图(1)是一个仿古的首饰盒,其横截面是由一个半径为r 分米的半圆,及矩形ABCD 组成,其中AD 长为a 分米,如图(2).为了美观,要求2r a r ≤≤.已知该首饰盒的长为4r 分米,容积为4立方分米(不计厚度),假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关,下半部分的制作费用为每平方分米1百元,上半部分制作费用为每平方分米2百元,设该首饰盒的制作费用为y 百元. 写出y 关于r 的函数表达式,并求该函数的定义域; 当r 为何值时,该首饰盒的制作费用最低?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为12A A ,,上顶点为(0,1)B ,且椭圆的离心率为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)若点P 是椭圆上位于第一象限的任一点,直线12A B A P ,交于点Q ,直线BP 与 x 轴交于点R ,记直线2A Q RQ ,的斜率分别为12k k ,.求证:212k k -为定值.19.(本小题满分16分) 已知无穷数列{}n a 满足12n na a ++=,n S 为其前n 项和.(1)若12a =-,求4S ;(2)若10a >,且123,,a a a 成等比数列,求1a 的值; (3)数列{}n a 是否能为等差数列?若能,求出满足条件的1a ;若不能,说明理由.20.(本小题满分16分)已知函数()ln ,f x x ax a a =-+∈R . (1)若1a =,解关于x 的方程()0f x =;(2)求函数()f x 在[]1,e 上的最大值;(3)若存在m ,对任意的(1,)x m ∈恒有2()(1)f x x <-,试确定a 的所有可能值.徐州市2017~2018学年度高三年级考前模拟检测 21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分) 如图,四边形ABCD 内接于圆O ,弧AB 与弧AD 长度相等,过A 点的切线交CB 的延长线于E 点. 求证:2AB BE CD =⋅.B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵12a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 的一个特征值为2λ=-,其对应的特征向量为12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,求矩阵A 的逆矩阵.C .[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在极坐标系中,圆C 的极坐标方程为242sin(+)104ρρθπ--=,已知3(1,)2P π,Q 为圆C 上一点,求线段PQ 长度的最小值.注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共2页,均为非选择题(第21题~第23题)。

江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题word含答案

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江苏省徐州市2018届高三考前模拟检测数学试题word含答案XXX年度高三年级数学I模拟检测注意事项:1.本试卷共20道填空题,满分160分,考试时间为120分钟。

请将试卷和答题卡一并交回。

2.考生在答题前,请务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写自己的姓名和准考证号。

3.请核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名和准考证号是否正确。

4.作答试题,必须在答题卡上指定的位置使用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,其他位置作答一律无效。

5.如需作图,请使用2B铅笔,线条、符号等必须加黑、加粗。

一、填空题:1.已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},则集合AB中元素的个数为6.2.已知复数z=(1-2i)2(i为虚数单位),则z的模为5.3.为了解某高中学生的身高情况,现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为100的样本,其中高一年级抽取24人,高二年级抽取26人。

若高三年级共有学生600人,则该校学生总人数为2000.4.运行如下伪代码,其结果为45.S←0For I From 1 To 9S←S+IEnd ForPrint S5.从集合A={0,1,2,3}中任意取出两个不同的元素,则这两个元素之和为奇数的概率是1/2.6.若函数f(x)=(4x-a)/(2x^2-a),则实数a的值为2.7.不等式2x^2-x-2<1的解集为(-∞,-1/2)∪(1,+∞)。

8.若双曲线2x^2/a^2-y^2/b^2=1的离心率为3,则实数a的值为2.9.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=2,an=3n,则S1的值为2.10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,则f(1)+f(2)+。

+f(2018)的值为0.11.已知正实数m,n满足m+n=3,则(m^2+1)/(n^2+1)+(n^2+1)/(m^2+1)的最小值为3.12.已知圆C:(x-2)^2+y^2=2,直线l:y=k(x+2)与x轴交于点A,过l上一点P作圆C的切线,切点为T,若PA=2PT,则实数k的取值范围是(-∞,-1/2)∪(1/2,+∞)。

铜山区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

铜山区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

铜山区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学一、选择题1. 我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举,这个伟大创举与我国古老的算法——“辗转相除法”实质一样,如图的程序框图源于“辗转相除法”.当输入a =6 102,b =2 016时,输出的a 为( )A .6B .9C .12D .182. 如果过点M (﹣2,0)的直线l与椭圆有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是( )A. B.C.D.3. 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ,点P 是C 上异于12,A A 的任意一点,且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2,那么直线2PA 斜率的取值范围是( )A .31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B .33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C .1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D .3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识,意在考查函数与方程思想和基本运算能力.4. 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是( ) A.B.C.D.5. 已知函数f (x )=x 4cosx+mx 2+x (m ∈R ),若导函数f ′(x )在区间[﹣2,2]上有最大值10,则导函数f ′(x )在区间[﹣2,2]上的最小值为( ) A .﹣12 B .﹣10 C .﹣8 D .﹣6班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________6. 在二项式(x 3﹣)n (n ∈N *)的展开式中,常数项为28,则n 的值为( ) A .12 B .8 C .6 D .47. 已知直线ax+by+c=0与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,且,则的值是( )A .B .C .D .08. 一个几何体的三个视图如下,每个小格表示一个单位, 则该几何体的侧面积为( )A.4πB.C. 5πD. 2π+【命题意图】本题考查空间几何体的三视图,几何体的侧面积等基础知识,意在考查学生空间想象能力和计算能力.9. 设k=1,2,3,4,5,则(x+2)5的展开式中x k 的系数不可能是( )A .10B .40C .50D .8010.函数f (x )=cos 2x ﹣cos 4x 的最大值和最小正周期分别为( )A .,πB .,C .,πD .,11.已知函数f (x )=,则的值为( )A .B .C .﹣2D .312.四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AB=2,E 是棱PA 的中点,则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是( )A .B .C .D .二、填空题13.若数列{}n a 满足212332n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,则数列{}n a 的通项公式为 .14.已知实数x ,y 满足约束条,则z=的最小值为 .15.函数f(x)=﹣2ax+2a+1的图象经过四个象限的充要条件是.16.设双曲线﹣=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.若∠F1MF2=90°,则△F1MF2的面积是.17.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若6a=4b=3c,则cosB=.18.球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为.三、解答题19.一个几何体的三视图如图所示,已知正(主)视图是底边长为1的平行四边形,侧(左)视图,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.(1)求该几何体的体积V;111](2)求该几何体的表面积S.20.设p:关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0};q:函数的定义域为R.若p∨q是真命题,p∧q是假命题,求实数a的取值范围.21.设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c且cosB=,b=2(Ⅰ)当A=30°时,求a的值;(Ⅱ)当△ABC的面积为3时,求a+c的值.22.已知椭圆C:=1(a>2)上一点P到它的两个焦点F1(左),F2(右)的距离的和是6.(1)求椭圆C的离心率的值;(2)若PF2⊥x轴,且p在y轴上的射影为点Q,求点Q的坐标.23.(本小题满分12分)如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,AA1⊥底面ABCD,M为A1A的中点,AB=BD=2,且△BMC1为等腰三角形.(1)求证:BD⊥MC1;(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积.24.(本小题满分12分)已知1()2ln ()f x x a x a R x=--∈. (Ⅰ)当3a =时,求()f x 的单调区间;(Ⅱ)设()()2ln g x f x x a x =-+,且()g x 有两个极值点,其中1[0,1]x ∈,求12()()g x g x -的最小值. 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识,意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力.25.圆锥底面半径为1cm ,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.26.已知函数f (x )=a x (a >0且a ≠1)的图象经过点(2,). (1)求a 的值;(2)比较f (2)与f (b 2+2)的大小;(3)求函数f (x )=a (x ≥0)的值域.铜山区高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学(参考答案)一、选择题1.【答案】【解析】选D.法一:6 102=2 016×3+54,2 016=54×37+18,54=18×3,18是54和18的最大公约数,∴输出的a=18,选D.法二:a=6 102,b=2 016,r=54,a=2 016,b=54,r=18,a=54,b=18,r=0.∴输出a=18,故选D.2.【答案】D【解析】解:设过点M(﹣2,0)的直线l的方程为y=k(x+2),联立,得(2k2+1)x2+8k2x+8k2﹣2=0,∵过点M(﹣2,0)的直线l与椭圆有公共点,∴△=64k4﹣4(2k2+1)(8k2﹣2)≥0,整理,得k2,解得﹣≤k≤.∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣,].故选:D.【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意根的判别式的合理运用.3.【答案】B4.【答案】A【解析】解:直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离,就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是:=.故选:A.5.【答案】C【解析】解:由已知得f′(x)=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1,令g(x)=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数,由f′(x)的最大值为10知:g(x)的最大值为9,最小值为﹣9,从而f′(x)的最小值为﹣9+1=﹣8.故选C.【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质.属于常规题,难度不大.6.【答案】B【解析】解:展开式通项公式为T r+1=•(﹣1)r•x3n﹣4r,则∵二项式(x3﹣)n(n∈N*)的展开式中,常数项为28,∴,∴n=8,r=6.故选:B.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.7.【答案】A【解析】解:取AB的中点C,连接OC,,则AC=,OA=1∴sin =sin∠AOC==所以:∠AOB=120°则•=1×1×cos120°=.故选A.8.【答案】B9.【答案】 C【解析】二项式定理.【专题】计算题.【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x k的系数,将k的值代入求出各种情况的系数.【解答】解:(x+2)5的展开式中x k的系数为C5k25﹣k当k﹣1时,C5k25﹣k=C5124=80,当k=2时,C5k25﹣k=C5223=80,当k=3时,C5k25﹣k=C5322=40,当k=4时,C5k25﹣k=C54×2=10,当k=5时,C5k25﹣k=C55=1,故展开式中x k的系数不可能是50故选项为C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数.10.【答案】B【解析】解:y=cos2x﹣cos4x=cos2x(1﹣cos2x)=cos2x•sin2x=sin22x=,故它的周期为=,最大值为=.故选:B.11.【答案】A【解析】解:∵函数f(x)=,∴f()==﹣2,=f(﹣2)=3﹣2=.故选:A.12.【答案】B【解析】解:以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),E(0,0,1),A(0,0,0),C(2,2,0),=(﹣2,0,1),=(2,2,0),设异面直线BE 与AC 所成角为θ, 则cos θ===.故选:B .二、填空题13.【答案】 6,12,2,n n a n n n n *=⎧⎪=+⎨≥∈⎪⎩N【解析】【解析】()()12312n a a a a n n =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11:6n a ==;()()()123112312:12 1n n n n a a a a a n n a a a a n n --≥⋅=++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅故22:n n n a n+≥= 14.【答案】.【解析】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由z==32x+y ,设t=2x+y , 则y=﹣2x+t , 平移直线y=﹣2x+t ,由图象可知当直线y=﹣2x+t 经过点B 时,直线y=﹣2x+t 的截距最小, 此时t 最小.由,解得,即B(﹣3,3),代入t=2x+y得t=2×(﹣3)+3=﹣3.∴t最小为﹣3,z有最小值为z==3﹣3=.故答案为:.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.15.【答案】﹣.【解析】解:∵f(x)=﹣2ax+2a+1,∴求导数,得f′(x)=a(x﹣1)(x+2).①a=0时,f(x)=1,不符合题意;②若a>0,则当x<﹣2或x>1时,f′(x)>0;当﹣2<x<1时,f′(x)<0,∴f(x)在(﹣2,1)是为减函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为增函数;③若a<0,则当x<﹣2或x>1时,f′(x)<0;当﹣2<x<1时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣2,1)是为增函数,在(﹣∞,﹣2)、(1,+∞)上为减函数因此,若函数的图象经过四个象限,必须有f(﹣2)f(1)<0,即()()<0,解之得﹣.故答案为:﹣【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值、函数的图象、充要条件的判断等知识,属于基础题.16.【答案】9.【解析】解:双曲线﹣=1的a=2,b=3,可得c2=a2+b2=13,又||MF|﹣|MF2||=2a=4,|F1F2|=2c=2,∠F1MF2=90°,1在△F1AF2中,由勾股定理得:|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2=(|MF1|﹣|MF2|)2+2|MF1||MF2|,即4c2=4a2+2|MF1||MF2|,可得|MF1||MF2|=2b2=18,即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9.故答案为:9.【点评】本题考查双曲线的简单性质,着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用,考查三角形的面积公式,考查转化思想与运算能力,属于中档题.17.【答案】.【解析】解:在△ABC中,∵6a=4b=3c∴b=,c=2a,由余弦定理可得cosB===.故答案为:.【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用,用a表示b,c是解决问题的关键,属于基础题.18.【答案】.【解析】解:由题意画出几何体的图形如图由于面SAB⊥面ABC,所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上,根据球体的对称性可知,当S在“最高点”,也就是说H为AB中点时,SH最大,棱锥S﹣ABC的体积最大.∵△ABC是边长为2的正三角形,所以球的半径r=OC=CH=.在RT△SHO中,OH=OC=OS∴∠HSO=30°,求得SH=OScos30°=1,∴体积V=Sh=××22×1=.故答案是.【点评】本题考查锥体体积计算,根据几何体的结构特征确定出S 位置是关键.考查空间想象能力、计算能力.三、解答题19.【答案】(1;(2)6+ 【解析】(2)由三视图可知,该平行六面体中1A D ⊥平面ABCD ,CD ⊥平面11BCC B , ∴12AA =,侧面11ABB A ,11CDD C 均为矩形,2(11112)6S =⨯++⨯=+.1考点:几何体的三视图;几何体的表面积与体积.【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算,其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则,还原出原几何体的形状是解答的关键. 20.【答案】【解析】解:∵关于x的不等式a x>1的解集是{x|x<0},∴0<a<1;故命题p为真时,0<a<1;∵函数的定义域为R,∴⇒a≥,由复合命题真值表知:若p∨q是真命题,p∧q是假命题,则命题p、q一真一假,当p真q假时,则⇒0<a<;当q真p假时,则⇒a≥1,综上实数a的取值范围是(0,)∪[1,+∞).21.【答案】【解析】解:(Ⅰ)∵cosB=,B∈(0,π),∴sinB==,由正弦定理可知:,∴a=.(Ⅱ)∵S△ABC===3,∴ac=.由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=(a+c)2﹣2ac﹣2ac×=4,∴(a+c)2=+4=28,故:a+c=2.22.【答案】【解析】解:(1)根据椭圆的定义得2a=6,a=3;∴c=;∴;即椭圆的离心率是;(2);∴x=带入椭圆方程得,y=;所以Q (0,).23.【答案】【解析】解:(1)证明:如图,连接AC ,设AC 与BD 的交点为E , ∵四边形ABCD 为菱形, ∴BD ⊥AC ,又AA 1⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴A 1A ⊥BD ; 又A 1A ∩AC =A ,∴BD ⊥平面A 1ACC 1, 又MC 1⊂平面A 1ACC 1,∴BD ⊥MC 1.(2)∵AB =BD =2,且四边形ABCD 是菱形, ∴AC =2AE =2AB 2-BE 2=23,又△BMC 1为等腰三角形,且M 为A 1A 的中点, ∴BM 是最短边,即C 1B =C 1M . 则有BC 2+C 1C 2=AC 2+A 1M 2,即4+C 1C 2=12+(C 1C 2)2,解得C 1C =463,所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V =S 菱形ABCD ×C 1C=12AC ×BD ×C 1C =12×23×2×463=8 2. 即四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为8 2. 24.【答案】【解析】(Ⅰ))(x f 的定义域),0(+∞,当3a =时,1()23ln f x x x x=--,2'2213231()2x x f x x x x -+=+-= 令'()0f x >得,102x <<或1x >;令'()0f x <得,112x <<,故()f x 的递增区间是1(0,)2和(1,)+∞;()f x 的递减区间是1(,1)2.(Ⅱ)由已知得x a xx x g ln 1)(+-=,定义域为),0(+∞,222111)(xax x x a x x g ++=++=',令0)(='x g 得012=++ax x ,其两根为21,x x , 且2121240010a x x a x x ⎧->⎪+=->⎨⎪⋅=>⎩,25.【答案】2cm . 【解析】试题分析:画出图形,设出棱长,根据三角形相似,列出比例关系,求出棱长即可.试题解析:过圆锥的顶点S 和正方体底面的一条对角线CD 作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF ,正方体对角面11CDD C ,如图所示.设正方体棱长为,则1CC x =,11C D =,作SO EF ⊥于O,则SO =1OE =,∵1ECC EOS ∆∆,∴11CC EC SO EO =121x =,∴2x =cm,即内接正方体棱长为2cm .考点:简单组合体的结构特征.26.【答案】【解析】解:(1)f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象经过点(2,),∴a2=,∴a=(2)∵f(x)=()x在R上单调递减,又2<b2+2,∴f(2)≥f(b2+2),(3)∵x≥0,x2﹣2x≥﹣1,∴≤()﹣1=3∴0<f(x)≤(0,3]。

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02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤(第4题)2018届铜山区高考模拟卷(三)一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题..卡相应位置上......) 1. 知集合{}|02A x x =<<,B ={2|x x 1<},则A ∩B = ▲ .2. 知复数z 满足i 1i z =+(i 为虚数单位),则复数z 在复平面内对应的点在第 ▲ 象限.3. 人甲在某周五天的时间内,每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数),则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ .4. 据右图所示的伪代码,可知输出的结果S 为 ▲ .5.将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点 的正方体玩具)先后抛掷2次,则向上的点数之差的绝对值...是2的概率为 ▲ . 6. 实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥,≤,≥,则32x y +的最大值为 ▲ .7. 直线+2y x =与双曲线22221-=y x a b的一条渐近线平行,则双曲线的离心率为 ▲ . 8. 已知平面α ,β,直线m ,n ,给出下列命题:① 若//m α,//,n m n β⊥,则βα⊥;② 若//αβ,//,//m n αβ,则//m n ; ③ 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥,则αβ⊥;④ 若βα⊥,,m n αβ⊥⊥,则m n ⊥. 其中是真命题的是 ▲ .(填写所有真命题的序号).9. 设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,3S ,9S ,6S 成等差数列,且252m a a a +=,则m = ▲ . 10. 等边ABC ∆边长为2,过边BC 上一点P 分别作,AB AC 的垂线,垂足分别为,N M ,则PM PN 的最小值为_________.11. 已知圆O :222x y r +=(0r >)及圆上的点(,0)A r -,过点A 的直线l 交y 轴于点0,1B (),交圆于另一点C ,若2AB BC =,则直线l 的斜率为 .12.设函数2,1()21,1x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩,则满足2(())(())f f a f a <的a 的取值范围为 ▲ .13.正数,,a b c 满足111a b c +=,若a b t c c b+>+恒成立,则实数t 最大值为__ ▲ ___ 14. 当0a >时,若∃x ∈R ,使得2342x xxa --≥成立,则实数a 的取值范围是 ▲ .1872212(第3题)二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知1a =,b =,π6B A -=. (1)求sin A 的值; (2)求c 的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,平面ABP ⊥平面BCP ,90APB ∠=︒,BP BC =,M 为CP 的中点.求证:(1)AP //平面BDM ; (2)BM ACP ⊥平面.17.(本小题满分14分)某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务,为了保证直升飞机的降落准确、安全,在门诊楼AB 和综合楼CD 的楼上安装导航标记,已知两楼的地面距离50AC m =,在,A C 之间取一导航标志观测点P ,当点P 在AC 中点时,测得两楼顶导航标记的张角045BPD ∠=,若045ACB ∠=.(1)求两导航标记距离地面的高度AB 、CD ;(2)要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大,点P 应在何处?ABCDPM(第16题)APBCD18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中,已知A B ,分别是椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的上、下顶点,点()102M ,为线段AO的中点,AB .(1)求椭圆的方程;(2)设(2)N t ,(0t ≠),直线NA ,NB 分别交椭圆于点P Q ,,直线NA ,NB ,PQ 的斜率分别为1k ,2k ,3k .① 求证:P M Q ,,三点共线;② 求证:132312k k k k k k +-为定值.19.(本小题满分16分)已知数列{}n a 的首项1a a =(0a >),其前n 项和为n S ,设1n n n b a a +=+(n *∈N ).数列{}n b 的前n 项和为n T ,满足2n T n =.(1)求证:数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)若对N n *∀∈,且2n ≥,不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥恒成立,求a 的取值范围.20.(本小题满分16分)已知函数()f x x a =-,()ln g x x b =-,,a b R ∈ (1)若0b =,()(0f x g x ≥)恒成立,求实数a 的值; (2)若0a =,(()()g x h x f x =),求证:函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点;(3)若0a =,12tb =+,若1122()(=()(f x g x f x g x )),12x x ≠,求证:12t x x e <.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定两题,并在相应的答题区域内作答.................. A .[选修41:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 为⊙O 的直径,D 为⊙O 上一点,过D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点C . 若DA = DC , 求证:AB = 2BC .B .[选修:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知,a b R ∈,向量为21α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值3-的一个特征向量. (1)求矩阵A 的另一个特征值; (2)求矩阵A 的逆矩阵1A -. C .[选修:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为415315x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为)4πρθ=-.求直线l 被曲线C 所截得的弦长.D .[选修:不等式选讲] (本小题满分10分)已知实数x ,y ,z 满足x + y + z = 2,求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答卷纸指定区域内........作答. 22.(本小题满分10分)某小组共10人,利用寒假参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别 为3,3,4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A ,求事件A 发生的概率; (2)设X 为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望.23.(本小题满分10分)在各项均不相同的数列1a ,2a ,3a ,…,n a *(n N ∈)中,任取k (k N ∈,且)k n ≤项变动位置,其余n k -项保持位置不动,得到不同的新数列,由此产生的不同新数列的个数记为()n P k . (1)求4444(0)(1)(2)(3)P P P P +++的值; (2)求5(5)P 的值;(3)设1()n n n k A kP n k ==-∑,求证:10(1)()nn n k A n P n k +==+-∑.2018届铜山区高考模拟卷(三)参考答案一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需写出解题过程,请把答案直接填写在答题..1. {}|01x x <<.2. 四3. 2254. 125. 29 8.③④9. 8 10. 38- 12. 1a < 13. 2 14. 1902a <≤或2a ≥二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)解析:(1)在△ABC 中,因为1a =,b =π6B A -=,由正弦定理得,1sin πsin 6A A =+ ………………… 2分于是ππsin cos cos sin 66A A A =+,即cos A A =, ………………… 4分又22sin cos 1A A +=,所以sin A . ………………… 6分(2)由(1)知,cos A =,则sin 22sin cos A A A =,213cos212sin 14A A =-=, …………… …… 10分在△ABC 中,因为πA B C ++=,π6B A -=,所以5π26C A =-.则()5πsin sin 26C A =-5π5πsin cos2cos sin 266A A =-113214=⨯+1114=. …………………12分由正弦定理得,sin sin a C c A == …………… …… 14分16.(本小题满分14分)(1)设AC 与BD 交于点O ,连结OM ,因为ABCD 是平行四边形,所以O 为AC 中点,………2分 因为M 为CP 的中点,所以AP ∥OM ,…………………4分 又AP ⊄平面BDM ,OM ⊂平面BDM ,所以AP ∥平面BDM .…………………………7分 (2)平面ABP ⊥平面BCP ,交线为BP , 因为90APB ∠=︒,故A P B P ⊥,因为AP ⊂平面ABP ,所以AP ⊥平面BCP ,……………9分 因为BM ⊂平面BCP ,所以AP ⊥BM . ……………11分 因为BP BC =,M 为CP 的中点,所以BM CP ⊥.……12分 因为APCP P =,AP CP ⊂,平面ACP ,所以BM ⊥平面ACP ,……………………………………………………………14分 17.(本小题满分14分)(1)因为点P 是AC 中点,50AC =,所以25AP PC ==, 在Rt ABC ∆中,50AC =,045ACB ∠=,可得50AB AC ==,ABCDPM(第16题)O在Rt APB ∆中,50tan 225AB APB AP ∠===, 在Rt CPD ∆中,tan 25CD CDDPC PC ∠==, 因为045BPD ∠=,所以0135APB DPC ∠+∠=,于是2tan tan 25tan()11tan tan 1225CDAPB DPC APB DPC CDAPB DPC +∠+∠∠+∠===--∠⋅∠-⋅, 解得75CD =.(2)设AP x =,则50PC x =-, 在Rt APB ∆中,50tan AB APB AP x ∠==, 在Rt CPD ∆中,75tan 50CD DPC PC x∠==-, 于是0tan =tan(180)tan()BPD APB DPC APB DPC ∠-∠-∠=-∠+∠ 25075tan tan 25(100)50=50751tan tan 505075150APB DPC x x x APB DPC x x x x+∠+∠+--=-=-∠⋅∠-+⨯-⋅-, 设100x t +=,则2225tan ()2502530tBPD f t t t ∠==-+⨯,225()2530+250f t t t ==⨯- 当且仅当22530=t t⨯不等式取等号,于是当t ()f t 取最大值,此时100x +=100x =,又因为2225025300t t -+⨯>恒成立,所以tan ()0BPD f t ∠=> 从而(0,)2BPD π∠∈,而正切函数在(0,)2π上为增函数,所以当()f t 取最大值时BPD ∠也最大,答:(1)两导航标记距离地面的高度AB 、CD 分别为50,75m m ;(2)当100AP m =时,在点P 处看两楼顶导航标记的张角BPD ∠最大.18. (本小题满分16分)(1)由题意知,124()2b b =-=,解得a ,1b =,所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)① 由(2)N t ,,(01)A ,,(01)B -,,则直线NA 的方程为11y x t =+,直线NB 的方程为31y x t=-.由221122y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩,得,222422.2t x t t y t ⎧=-⎪+⎨-⎪=+⎩,,故()2224222t t t t P --++,. 由223122y x t x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩,得,222121818.18t x t t y t ⎧=⎪+⎨-⎪=+⎩,,故()22212181818t t t t Q -++,. 所以直线PM 的斜率222221262482PMt t t k t t t ---+==-+, 直线QM 的斜率2222181261812818QMt t t k t t t ---+==+, 所以PM QM k k =,故P M Q ,,三点共线.② 由①知,11k t =,213k t =,2368t k t -=.所以21323122463182t k k k k k k t t t-+-=⨯-=-, 所以132312k k k k k k +-为定值12-.19.(本小题满分16分)解:(1)由2n T n =,得121n n n b T T n -=-=-(2n ≥),由于11b =符合上式,所以21n b n =-(n *∈N ), …… 2分 假设存在{}n b 的连续三项11,,k k k b b b -+ (,2k k *∈≥N )成等比数列,则211=k k k b b b -+,即()()()2212321k k k -=-+可得22441443k k k k -+=-- ,这不可能,所以假设不成立,从而数列{}n b 的任意连续三项不成等比数列. …… 5分(2)由(1)得, 121n n n a a b n ++==-. 所以1(1)()n n a n a n +--=--,即11(1)n n a na n +-=---, …… 7分所以数列{}(1)n a n --为等比数列,且公比为1-,因为10a a =>,所以1(1)(1)n n a a n -=⋅-+-(n *∈N ). …… 10分(3)不等式1(1)(1)2(1)n n a a n +---≥即为11()12(1)n n n n a a a a n ++-++-≥,由于121n n a a n ++=-,所以不等式即为10n n a a +≥. 当n 是奇数时,(1)n a a n =+-,1n a a n +=-+,所以[]21(1)()(1)0n n a a a n a n a a n n +=+-⋅-+=-++-≥, 即2(1)a a n n -+--≥对n *∀∈N ,且2n ≥恒成立,所以26a a -+-≥,解得23a -≤≤. …… 13分 当n 为偶数时,(1)n a a n =-+-,1n a a n +=+,由10n n a a +≥,得2(1)a a n n ----≥对n *∀∈N ,且2n ≥恒成立, 所以22a a ---≥,解得21a -≤≤,因为0a >,所以a 的取值范围是01a <≤. …… 16分20.(本小题满分16分)(1)若0b =, ()g()()ln 0f x x x a x =-≥恒成立,当ln 0x ≥时,即1x ≥时,0x a -≥恒成立,于是x a ≥,min a x ≤(),从而1a ≤; 当ln 0x <时,即01x <<时,0x a -≤恒成立,于是x a ≤,max a x ≥(),从而1a ≥;综上所述,1a =. (2)若0a =,(ln ()()g x x bh x f x x-==), 因为21ln ()b x h x x +-'=,令21ln ()0b xh x x+-'=>,解得1b x e +<,于是()h x 在1(0,)b e +上递增,在1(+)b e +∞,上递减, 从而在1b x e +=处取极大值,这样1max 11()()0b b h x h e e ++==>,又111()0b b h e e---=<,所以()h x 在1(0,)b e +上有唯一零点; 而在1(+)b e +∞,上,因为1ln ln 10b x b e b +->-=>,于是ln ()0x bh x x-=>, 从而()h x 在1(,)b e ++∞上没有零点,综上所述,函数()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点. (3)若0a =,()g()(ln )f x x x x b =-由1122()(=()(f x g x f x g x ))得1122(ln )(ln )x x b x x b -=-,即112212ln ln ()x x x x x x b -=-, 一方面1121212212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-,即11212122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-()() 另一方面1112122212ln ln ln ln ()x x x x x x x x x x b -+-=-,即11221122ln ln ()x x x x x x x b x -+=-()() 两式相加得1121212122ln ln ))ln 2()x x x x x x x x x b x -++=-()((+(), 因为12x x ≠,所以12112122ln ln 2ln x x xx x b x x x +=--+()要证明12t x x e <,只要证12ln x x t <,即证12ln ln x x t +<, 从而只要证1211222ln x x xb x x x --+()<t 又因为12tb =+,所以只要证121122ln x x x x x x -+()>2,即证12112221ln 1x x x x x x -+()>2不妨设12x x >,12x u x =,于是只要证当1u >时,1ln 1u u u -+>2 只要证1ln 1u u u >-(+)2(),即证1ln 2u u u ->-(+)2 记()1ln p u u u u =-(+)2, 则11()ln 2ln 1u p u u u u u'=+-=+-+, 记1()ln 1q u u u =+-,因为22111()0u q u u u u-'=-=>,所以()q u 在(1,)+∞上递增, 从而()(1)0q u q >=,即()0p u '>,于是()p u 在(1,)+∞上递增,()(1)2p u p >=-, 这样1ln 2u u u ->-(+)2得证,所以12t x x e <.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.A .证明:连接OD因为DC 为切线且点D 为切点,所以BDC BAD ∠=∠因为OA=OD所以OAD ODA ∠=∠又因为AD=DC所以BCD OAD ∠=∠故OAD BDC ≅所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B .解:(1)由条件得,2223111a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 226,213,a b -+=⎧∴⎨-+=-⎩,解得2,2.a b =-⎧⎨=⎩………2分 因为矩阵2221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 所以特征多项式为()2221f λλλ+-=-- ()2(2)146λλλλ=+--=+-, ………4分令()0f λ=,解得3,2λλ=-=.所以矩阵A 的另一个特征值为2. ………5分(2)因为22det()(2)122621A -==-⨯-⨯=-, ………7分 所以11211666322116633A -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. ………10分 C .解:把曲线C的极坐标方程)4πρθ=-化为直角坐标方程为: 22220x y x y +--=,即22(1)(1)2x y -+-=, ………2分∴曲线C 表示的是圆心(1,1)C………4分直线l 的参数方程415315x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)化为普通方程 为3410x y +-=, ………6分∴圆心C 到直线l 的距离为65, ………8分 直线l 被曲线C所截得的弦长为5=. ………10分 (说明:也可以用直线参数方程的几何意义去完成)D .证明:由柯西不等式可知22222221)1](23)z x y z +⋅≤++++ 所以2222()24231111123x y z x y z ++++≥=++ , 当且仅当1112,114,116===z y x 时取等号. ………10分 22.解:(1)由已知有1123432101()3C C C P A C +==,所以事件A 的发生的概率为13.…3分 (2)随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2. ………4分2223342104(0)15C C C P X C ++===;111133342107(1)15C C C C P X C +===; 11342104(2)15C C P X C === . ………6分 所以随机变量X 的分布列为………8分数学期望()1E X =. ………10分23.解:(1)21444444(0)(1)(2)(3)00214P P P P C C +++=+++=. ………2分(2)111543322(5)[(3)((2))]44P C P C P C =++=. ………4分(3)证明:()()k n n n k P n k C P n k --=-,11k k n n kC nC --=,∴11111()()(0)()(0)n n n k n n n n n n k n k k k A kP n k kP n k nP kC P n k nP ---====-=-+=-+∑∑∑11111111()(0)()(0)n n k k n n k n n n k n k k nCP n k nP n C P n k nP --------===-+=-+∑∑, 1(0)(0)0n n P P +==∴1n A +=1111(1)(1)(1)(0)nk n n k n k n C P n k n P -+-+=++-++∑1(1)11(1)((1))(1)(0)n k n n k n k n C P n k n P ---+==+--++∑10(1)()(0)n k n n k n k n C P n k nP --==+-+∑(1)()n n k n P n k ==+-∑. ………10分。

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