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2013年高考数学常用必备公式(精简版)

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2013年高考必用数学公式大全

2013年高考必用数学公式大全

2012年高考必备数学公式1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔= .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系互 为 为 互 否 否 逆 逆15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂 (1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<.38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d=||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b yc ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA CBb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B yC ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB = =.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式dd =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、...个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广。

2013年高考数学公式大集合

2013年高考数学公式大集合

2013年高考数学公式大集合数学是高考的主课目，数学在高考上所占的位置就不言而喻了。

要学好高考，记好公式是必不可少的，卓越教育小编整理了相关资料，以供参考：乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式b2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根b2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtan B)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB )ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2 sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)c os(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B) /2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+ 1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1) =n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n +1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+ n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n +1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n( n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体V=pi*r2h。

2013届高三数学知识点及公式整理

2013届高三数学知识点及公式整理

第1讲 集合1．集合的有关概念：（1）集合：某些指定对象的全体．（2）集合中元素三大特征：①元素的互异性；②元素的无序性；③元素的确定性．（3）集合的分类：①有限集；②无限集．（4）集合的表示：①列举法；②描述法；③图象法；④韦恩图法．2．元素与集合、集合与集合之间的关系（1）元素与集合：∈或∉．（2）集合与集合之间的关系①、包含关系Ⅰ、子集：如果B x A x ∈⇒∈，则A 是B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇ 性质：，A ⊆Φ．子集个数：如果一个集合中含有n 个元素，那么它的子集个数为n 2个；真子集个数为n 2一1个；非空真子集个数为n 2一2个．Ⅱ、全集：如果集合S 含有所研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示．②、相等关系： 对于两个集合A 、B ，如果B A ⊆，且A B ⊆，那么就说集合A 和集合B 相等，记作B A =．③、真子集关系：对于两个集合A 、B ，如果B A ⊆，且B A ≠就集合A 是集合B 的真子集．④、运算关系Ⅰ、交集： =B A {}B x A x x ∈∈且,；Ⅱ、并集{}B x A x x B A ∈∈=或, Ⅲ、补集{}A x S x x A C S ∉∈=且,3．集合与集合之间的逻辑关系（1）交集的运算性质①,A B B A =,A A A = φφ= A ，②A B A ⊆ ，B B A ⊆ ，③B A A B A ⊆⇔= ．（2）并集的运算性质①A B B A =，A A A = ，Φ=Φ A ； ②A B A ⊇ ，B B A ⊇ ； ③A B A B A ⊆⇔= ．（3）补集的运算性质：A A C C U U =)(，U A C A U = ，φ=A C A U（4）分配律，结合律：C B A C B A )()(=，)()(C B A C B A =； )()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =．（5）反演律（摩根法则）B C A C B A C U U U =)(，B C A C B A C U U U =)(．（6）传递性：若集合B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆（7）并集、交集中元素个数公式：()()()()B A B A B A card card card card -+=第2讲 常用逻辑用语1．命题的概念：（1）定义：可以判断真假的语句叫做命题；用语言、符号或式子表达的而且能够判断其真假的语句叫做命题．关于数学内容的命题叫做数学命题．（2）构成：一个命题是由题设（条件）和结论两部分构成的．（3）真假命题：命题从正确与否来分，可分为真命题与假命题．2．命题与数学中的定义、公理、公式、定理和关系数学中定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的：（1）命题有真假之分，而定理都是真的；（2）命题一定有逆命题，而定理不一定有逆定理．3．逻辑联结词“或”、“且”、“非”“或”、“且”、“非”的含义在集合中分别相当于“并集”、“交集”、“补集”．4．简单命题与复合命题：（1）简单命题：不含逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）的命题叫做简单命题．（2）复合命题：由简单命题与逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）构成的命题叫做复合命题5．真值表6．命题的四种形式及相互关系（1）命题的四种形式原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若p ⌝则q ⌝；逆否命题：若q ⌝则． 注意：一个命题，一定要准确找出其条件和结论．交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．否定命题的条件和结论，所得的命题是原命题的否命题．否命题不是对原命题的否定（如命题p 的否定是非p ，只是对否定命题的结论．）．交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是原命题的逆否命题．（2）四种命题的关系注意：①两个命题是条件与结论换位的，称为互逆命题；两个命题是条件与结论换质的，称为互否命题；两个命题是条件与结论既换位又换质的，称为互为否逆命题．②原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．③注意区分“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念．命题的否定p 的否定是非p ，记作p ⌝，一般只是否定命题p 的结论；否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否定它的结论．④一个命题的真假与其它三个命题的真假关系：（ⅰ）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（ⅱ）原命题为真，它的否命题不一定为真；（ⅲ）原命题为真，它的逆否命题一定为真；（ⅳ）逆命题为真；否命题一定为真．7．充分条件与必要条件如果A 成立，那么B 成立，即A ⇒B ，这时就说条件A 是B 成立的充分条件，B 叫做A 的必要条件．如果A 既是B 的充分条件，又是B 的必要条件，即A ⇒B ，且B ⇒A ，可记作A ⇔B ，那么A 叫做B 成立的充分而且必要条件，简称充要条件．8．充分条件与必要条件的判断充分条件、必要条件、充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题中条件与结论之间关系的．（1）从逻辑推理观点看，对于命题“若p 则q ”：若p ⇒q ，且q ≠>p ，则p 是q 的充分而不必要条件；若q ⇒p ，且p ≠>q ，则p 是q 的必要而不充分条件；若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件；若p ≠>q ，且q ≠>p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．注意：①充要条件的同义语：“等价于”、“当且仅当”、“必需且只需”、 “……反过来也好”等；②数学中的每一个数学概念都是用充要条件来定义的，反过来，每个数学概念都可以看成充要条件，当作判断依据或概念所具有的性质．（2）从集合观点看，建立命题p 、q 相应的集合．p ：)(|{x p x A =成立}，q ： )(|{x q x B =成立}，那么：若B A ⊆，则p 是q 的充分条件；若B A ⊂（⊂表示真子集），则p 是q 的充分而不必要条件；若A B ⊆，则p 是q 的必要条件；若A B ⊂，则p 是q 的必要而不充分条件；若B A =，则p 是q 充要条件；若B A ⊄，且A B ⊄（⊄表示不是子集），则p 是q 的既不充分也不必要条件．（3）判断充要条件的方法：①定义法；②逆否法；③集合法．逆否法：若B A ⌝⇒⌝，则A 是B 的必要条件，B 是A 的充分条件；若B A ⌝⇒⌝，且B ⌝A ≠〉⌝，则A 是B 的必要非充分条件；若B A ⌝⇔⌝，则A 与B 互为充要条件；若B A ≠〉⌝⌝且B ⌝A ≠〉⌝，则A 既不是B 的充分条件，也不是B 的必要条件．（3）一些常用下面叙述的词语及它的否定词语：9．全称量词与存在量词：（1）定义：（2）常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“都”、“任给”、“所有的”等．（3）常见的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”．（4）全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题.第3讲 函数的概念与解析式1．函数的定义：设A 、B 是非空数集，如果按照某个对应关系f ，使对于集合A 中的 （每一个元素x ），在集合B 中都有 （惟一元素y ）和它对应，那么就称f ：B A →为从A 到B 的一个 （函数），记作 ．（))((A x x f y ∈=）2．对于函数))((A x x f y ∈=，其中叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 （函数的定义域）；与x 的值相对应的y 值叫做 （函数值），函数值的集合}|)({A x x f ∈叫做函数的 （值域）．3．函数的三要素： 、 、 ．（定义域；对应法则；值域）．4．函数的三种表示： 、 、 ．（列表法、解析法和图象法；分段函数）．5．在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫 （分段函数）．6．分段函数的定义域是各段定义域的 （并集），其值域是各段值域的 （并集）．7．映射的概念：设A 、B 是两个非空数集，如果按照某个对应关系f ，使对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有 （惟一的确定元素）与之对应，那么，这样单值对应叫做从A 到B 的 （映射）记作 （f ：B A →）．8．由映射的定义可以看出，映射是 （对应）概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合A 、B 必须是 （非空数集）．注意：（1）函数的解析式=对应法则+定义域；（2）不管用什么方法求解析式一定要注意的它的取值范围；（3）研究函数必须具有“定义域意识”即不论研究什么函数，首先要研究其定义域（解题亦如此）第4讲 函数的值域与最值1．函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域，都应考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可直接由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域．（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里是一次式时用代数换元，当根式里是二项式时，用三角换元．（3）反函数法：利用函数)(x f 与其反函数)(1x f -的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形为)0()(≠++=a bax d cx x f 的函数值域可采用此法求得． （4）配方法：对于二次函数或与二次函数有关的函数的值域可考虑用配方法．（5）不等式法求值域：利用基本不等式),0(,(2+∞∈≥+b a ab b a 可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”，有时需用到平方等技巧．（6）判别式法：把)(x f y =变形为关于x 的方程，利用“0≥∆”求值域．其题型特征是解析式中含有根式或分式．其中是分式时分母恒不为零．（7）利用函数的单调性求值域：当能够确定函数在其定义域（或某个定义域的子集上）的单调性时可采用单调性法求值域．（8）数形结合法求函数值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域．第5讲 函数的奇偶性与周期性1、奇偶性的定义：对于函数)(x f ：（1）如果对于函数定义域内任意一个x 都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数；（2）如果对于函数定义域内任意一个x 都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数．2、判断函数奇偶性的步骤：（1）确定函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则可下结论为非奇非偶函数；如果定义域关于原点对称；（2）看)()(x f x f -=或)()(x f x f =-是否成立而定．注：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(x f 具有奇偶性的必要不充分条件；（2）)()(x f x f -=-或)()(x f x f =-是定义域上的恒等式；（3）奇偶性的定义是判断函数奇偶性的主要依据；（4）判断函数奇偶性的等价形式：)()(x f x f -=-、)(2)()(x f x f x f =--、)(2)()(x f x f x f -=--、1)()(-=-x f x f （0)(≠x f ）；)()(x f x f =- 0)()(=--⇔x f x f 、)(2)()(x f x f x f =-+、1)()(=-x f x f （0)(≠x f ）． 3、奇偶函数的图象性质：奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反之亦真；偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦真．4、如果)(x f 是偶函数，那么|)(|)(x f x f =|)|(x f -=，反之亦真．第6讲 函数的单调性1．单调性的定义：一般地，对于给定区间上的函数：（1）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值21,x x ，当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ，那么，就说)(x f 在这个区间上是增函数；（2）如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值21x x 、，当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，那么，就说)(x f 在这个区间上是减函数．2．单调区间：如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数（或减函数），就说)(x f 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间就叫做)(x f 的单调区间．3．单调函数定义的两种等价形式：设21,x x []b a ,∈，那么（1）2121)()(x x x f x f -->0⇔)(x f 在[]b a ,上是增函数； 2121)()(x x x f x f --<0⇔)(x f 在[]b a ,上是减函数； （2）)]()()[(2121x f x f x x -->0⇔)(x f 在[]b a ,上是增函数；)]()()[(2121x f x f x x --<0⇔)(x f 在[]b a ,上是减函数．注：（1）的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点))(,(11x f x 和))(,(22x f x 连线的斜率都大于（或小于）零．4．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法；（2）导数法；（3）两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数和一个减（增）函数的差仍为增（减）函数；（4）奇函数在对称的区间上有相同的单调性，偶函数在对称的区间上有相反的单调性；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（6）复合函数的单调性：如果函数)(x f 和)(x g 的单调性相同，那么函数)]([x g f 是单调增函数；如果函数)(x f 和)(x g 的单调性相反．第7讲 函数的图象1．作图的步骤：（1）求给出函数的定义域；（2）将给出函数（或方程）化为标准型式；（3）作图（要特别注意标出特殊的点与线，如与坐标轴的交点、顶点、端点等；界线、对称轴、渐近线等．）（4）结论．2．图象变换：（1）平移变换： 函数)0)((≠+=a a x f y 的图象可以由)(x f y =的图象向左a (＞)0或向右a (＜)0平移||a 个单位而得到；函数b x f y +=)(的图象可以由)(x f y =的图象向上b (＞)0或向下b (＜)0平移||b 个单位而得到．（2）伸缩变换： ①函数A x Af y )((=＞0，且)0≠A 的图象可由)(x f y =的图象上各点的纵坐标伸长)1(>A 或缩短)10(<<A 到原来的A 倍，横坐标不变而得到； ②)0)((>=a ax f y 的图象可由)(x f y =的图象上各点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍，纵坐标不变而得到． （3）对称变换：①)(x f y -=的图象与)(x f y =的图象关于x 轴对称；②)(x f y -=的图象与)(x f y =的图象关于y 轴对称；③)(x f y --=的图象与)(x f y =的图象关于原点对称；④)(1x f y -=的图象与)(x f y =的图象关于直线x y =对称；⑤|)(|x f y =的图象可将)(x f y =的图象在x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方，其余部分不变而得到；⑥|)(|x f y =的图象可将)0)((≥=x x f y 部分作出，再利用偶函数图象关于y 轴对称，便得其在y 轴左侧的图象．（4）关于函数图象的对称性，常见的结论：①)(x f y =的图象关于原点对称)()(x f x f -=-⇔；②)(x f y =的图象关于y 轴对称)()(x f x f =-⇔；③)(x f y =的图象关于直线x y =对称)()(1x f x f =⇔-；例如：x y a =与log a y x =； ④)(x f y =的图象关于直线m x = )()2(x f x m f =-⇔；⑤)(x f y =的图象关于点),(n m 对称n x f x m f 2)()2(=+-⇔；⑥)(x f y =的图象关于直线2b a x +=对称)()(x b f x a f -=+⇔． （5）关于函数图象的对称性，“演绎法”转化为“坐标法”的常见的结论：（6）几种容易错的知识点：1）注意区分两种相似形式的函数：①若函数)(x f 对任意的R x ∈，都有)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称； ②若由函数)(x f 经过变换得到的两个函数)(x a f y +=和)(x b f y -=，则所得的两个函数的图象关于直线2a b x -=对称． 2）①函数|)(|x f y =是偶函数，它的图象是把)(x f y =在y 轴右侧部分的图象保持不变，并以y 轴为对称轴将其翻转0180，得到|)(|x f y =在y 轴左侧部分的图象；②函数|)(|x f y =的图象是将)(x f y =的位于x 轴下方部分的图象翻折到x 轴上方；3）若函数)(x f y =的图象关于直线m x =和n x =对称，则)(x f 是以||2n m -为周期的周期函数．第8讲 指数与对数1．N b N a a b log =⇔=（0>a 且1≠a ，下同）2．指数性质及运算法则：n m a a ⋅= ；n m a a ÷= ；n m a )(= ；m ab )(= ． （m n a +，m n a -，mn a ，m m a b ）3．对数性质及运算法则：1log a = ；a a log = ；M a a log = ；)(log N M a ∙= ；NM a log = ；n a M log = ；M n a log = ； b a log =（换底公式）．（0，1，M ，log log a a m n +，log log a a m n -，log a n M ，log a M n ，log (0,1,0,0)log c c b c c a b a>≠>>） 第9讲 指数与对数函数1． 指数函数：指数函数的图象和性质：注意：①应根据图象记忆和应用性质；②性质（4）即函数值的分布情况，可表述为以下的等价形式：若01>-x a ）（，则1>x a ；若0)1(<-x a ，则10<<x a ．利用1-a 与x 同号或异号，借助指数函数的增减性极易证明．2．对数函数的图象特征和性质：3．指、对数函数的性质比较（1）x a y =恒过定点)1,0(，x y a log =恒过定点)0,1(；（2）当1>a 时，x a y =与均为增函数，10<<a 时，均为减函数．（3）x a y =与xay )1(=的函数图象关于y 轴对称； x y a log =与x y a1log =的函数图象关于x 轴对称．（4）对于对数函数值的正负情况有下列关系：),(0)1)(1(0log +∈>--⇔>=R b a b a b y a ；),(0)1)(1(0log +∈>--⇔>=R b a b a b y a ．对于该结论要熟记．4．指、对数函数的图象比较（1）对于指数函数x a y =：当1>a 时，底数越大，图象越贴近y 轴，当10<<a 时，底数越小，图象越贴近y 轴．对于对数函数x y a log =：当1>a 时，底数越大，图象越贴近x 轴，当10<<a 时，底数越小，图象越贴近x 轴．（2）指数函数与对数函数的关系：二者互为反函数，因此图象关于直线x y =对称，它们在各自的定义域内增减性是一致的，即底数1>a 都是增函数，10<<a 时都是减函数．第10讲 幂函数1．幂函数的定义：一般地，形如=y （a x ）的函数称为幂函数，其中α为常数．2．画幂函数图象的方法：（1）列表、描点、连线法，（2）先画出第一象限的图形，再利用幂函数的性质作用其余的图象．3．幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的图象的研究用描点法画出图象．4．幂函数x y =，2x y =，3x y =，1-=x y ，21x y =的性质5.幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1>α 时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．（4）α为偶数时，则=y a x 为偶函数；若α为偶数时，则=y ax 为偶函数．第11讲二次函数1．二次函数解析式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；（2）顶点式：设抛物线的顶点坐标为),(n m ，则它的方程为：n m x a y +-=2)()0(≠a ； （3）两点式：设抛物线与x 轴的交点坐标为)0,(1x ，)0,(2x ，则它的方程为：)0)()((21≠--=a x x x x a y2．一元二次函数在给定区间上的值域（最值）： 3．一元二次方程的实根分布：0)0(2=≠++a c bx ax（1）二次方程0)(=x f 的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔0)(<r af ．（2）二次方程0)(=x f 的两根都大于r ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>-≥-=∆0)(2042r f a r a bac b（3）二次方程0)(=x f 在区间),(q p 内有两根⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<≥-=∆0)(0)(2042p f a q f a q ab p ac b（4）二次方程0)(=x f 在区间),(q p 内只有一根⇔0)()(<⋅q f p f ，或0)(=p f 、另一根在),(q p 内，或0)(=q f 、另一根在),(q p 内．（5）二次方程0)(=x f 的两根中一根小于p ，另一根大于p 且小于q )(q p <⇔⎩⎨⎧>⋅<⋅0)(0)(q f a p f a ． 第12讲函数与方程1．函数零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把 （方程y 的实数根）叫做函数)(x f y =的零点． 2．函数零点与方程根的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与 （x 轴）有交点⇔函数)(x f y =有 ．（零点）3．函数零点的判断：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 （0)()(<b f a f ，其中b a <）．那么，函数)(x f y =在区间 （],[b a ）内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根． 4．二分法：对于在区间],[b a 上连续不断，且 （0)()(<b f a f ）的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的 （零点）所在区间 （一分为二），使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 5．用二分法来求函数)(x f 零点近似值的步骤：（1）确定区间],[b a ，验证 ；（0)()(<b f a f ，给定精确度ε） （2）求区间),(b a 的中点值1x （3）计算 ；（)(1x f ）①若 ，（0)(1=x f ）则1x 就是函数零点；②若 ，（0)()(1<x f a f ）则令1x b =，（此时零点),(10x a x ∈③若 ，（0)()(1<x f b f ）则令1x a =，（此时零点),(10b x x ∈）；（4）判断是否达到精确度ε,即若ε<-||b a ，则得到零点近似值a （或b ），否则重复 （2）~（4）． 注（1）：函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点； 若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．注（2）：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．第13讲 函数模型及其应用1．常用的函数模型有： （一次函数），二次函数， （指数函数）， （对数函数）， （幂函数）， （三角函数）等．2．指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间），（∞+0上，尽管函数)1(>=a a y x ，)1(log >=a x y a 和)0(>=n x y n 都是增函数，但是它们的 （增长速度）不同，而且不在同一个“档次上”．随着x 的增大，)1(>=a a y x 增长速度 （越来越快），会越过并且远远大于)0(>=n x y n 的 ；（增长速度）而)1(log a >a x 的增长速度会 ，（越来越慢）因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，有 ．（x n a x x <<a log ）．3．函数模型的应用实例的基本题型：（1）给定函数模型解决实际问题；（2）建立 （确定性）的函数模型解决实际问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题． 4．解应用题的基本步骤：审题、设量、建模、解模、还原．第14讲 导数概概念及导数的运算1．平均变化率：一般地，函数)(x f 在区间],[21x x 上的平均变化率为 ．（1212)()(x x x f x f --）2．函数)(x f 在0x x =的导数：设函数)(x f 在区间),(b a 上有定义， ),(0b a x ∈，当x ∆无限趋近于0时，=∆∆x y （xx f x x f ∆-∆+)()(）无限趋近于一个常数A ，则称)(x f 在点0x x =处可导，并称该常数为函数)(x f 在0x x =处的 （导数），记作 ．（0|x x y ='或)(0x f '） 3．导数的几何意义导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的 （切线的斜率）． 4．导函数（导数）：若函数)(x f 在区间),(b a 内任一都可导，则)(x f 在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为 （导数），记作 ．)(x f ' 5．基本初等函数的导数（0,1a a >≠）（1）0='C （C 为常数）； （2）=')(n x )(*∈Q n ；（1-n nx ）（3）=')(sin x ；（x c o s） （4）=')(cos x ；（x sin -） （5）=')(x a ；（a a xln ） （6）=')(x e ；（xe ） （7）=')(log x a ；（a x ln 1） （8）=')(ln x ；（x1） 6．两个函数的四则运算的导数：若)(x u 、)(x v 的导数都存在，则：（1）='±)(v u ；（v u '±'） （2）='⋅)(v u ；（v u v u '⋅+⋅'） （3）=')(v u；)0(2≠'⋅-⋅'v vv u v u （4）=')(mu ；（m 为常数）u m '⋅ 7．复合函数的导数（理科使用）设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x处可导，且)()()]([x u f x f θθ'⋅'='，即x u x u y y '⋅'='．第15讲 导数应用1．函数的的单调性函数)(x f 在某个区间),(b a 内：若()0f x '≤，则)(x f 为 ；（减函数） 若0)(>'x f ，则)(x f 为 ；（增函数） 若0)(='x f ，则)(x f 为 ．（常数函数）2．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值 （越大），那么函数在这个范围内变化 （越快），这时函数的图象就越“ ”（陡峭）． 3．（1）函数极值的概念函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它附近其它点的函数值都小，0)(='a f ；而且在点a x =的左侧 （0)(<'x f ），右侧 （0)(>'x f ），则点a 叫做函数)(x f y =的 （极小值点），)(a f 叫做函数)(x f y =的 （极小值）．函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它附近其它点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点b x =的左侧 （0)(>'x f ），右侧 （0)(<'x f ），则点b 叫做函数)(x f y =的 （极大值点），)(b f 叫做函数)(x f y =的 （极大值）． 极小值点，极大值点统称为 （极值点），极大值和极小值统称为 （极值） （2）求函数极值的步骤： ①求导数)(x f '； ②求方程0)(='x f 的根；③检查)(x f '在方程根左、右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值．注：（1）因为函数的极值)(0x f 是与点0x 附近各点处的函数值比较而来的，所以： ① 函数)(x f 在0x 及其附近要有定义，从而极大（小）值只能在区间内的某点处取得，不能在区间的端点处取得；② 函数的极大值未必比极小值大，函数的极小值未必比极大值小； ③ 一个函数可以有多个数值不同的极大（小）值．（2）0)(='x f 只是可导函数)(x f 在0x 处取得极值的必要条件，而不是充分条件．如函数3)(x x f =，在原点0=x 点处的导数是0，但原点0=x 的函数值0)0(=f 不是函数3)(x x f =的极值．（3）如果函数)(x f 在0x 处取得极值)(0x f ，则0)(0='x f 或)(0x f '不存在，如函数||)(x x f =，0)0(=f 是此函数的一个极小值，但)(0x f '不存在．4．函数的最大值和最小值在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导的函数)(x f 必有最大值与最小值．其求法为： ①求函数在),(b a 内极值；②将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．第16讲 三角函数的概念1．角的概念的推广：（1）角：角可以看成平面内 （一条射线）绕着端点从一个位置 （旋转）到另一个位置所成的 （图形）．旋转开始时的射线叫做角的 （始边），旋转终止时的射线叫做角的 （终边），旋转过的平面部分叫做角的 （内部），射线的端点叫做角 的 （顶点）． （2）角的分类： 角分为 、 、 ．（按角的旋转方向）（正角、负角、零角．） （3）在直角坐标系内讨论角①象限角：使角α的顶点与原点重合，始边 （与x 轴正半轴重合），终边落在第几象限，则称α为 （第几象限角）；．②象限界角：若角的终边 （落在坐标轴上时），就说这个角不属于任何限角，它叫做 （象限界角）． ③与角α终边相同的角的集合为 ．},360|{0Z k k S ∈+⋅==αββ．（4）弧度制①1弧度的角： （长度等于半径的弧所对的圆心角）叫做１弧度的角． ②规定：正角的弧度数是 （正数）；负数的弧度数是 （负数）；零角的弧度数是 （零）．角α弧度数的绝对值=||α （lr），l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长，r 是圆的半径．③用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小 ，（无关）仅与 ．（角的大小有关）④弧度与角度的换算：=0360 弧度，=0180 弧度， １弧度≈0)180(π，（057.30）= （81570'）⑤弧长公式： ，（r l ||α=）扇形面积公式：=扇形S ．（2||2121r lr α=） 2．任意角的三角函数定义（1）任意角的三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离是r r (>0)，那么α的四个三角函数定义为：=αsin ，（ry）=αcos ，（r x ）=αtan ，（xy ）它们都是以角为 ，（自变量）以比值为 （函数值）的函数．（2）三角函数在各个象限内的符号口诀是 一全正，二正弦，三正切，四余弦 3．三角函数线：设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P ，过P 作垂直x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的 ，（正射影）由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ．)sin ,(cos αα，即P ，（)s i n ,(c o s αα）其中=αcos ，（OM ）=αsin ，（MP ）单位圆与x 轴正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T （T '），则=αtan ．（AT ）我们把有向线段OM 、MP 、AT （或T A '）叫做α的 、 、 ．（余弦线、正弦线、正切线）．第17讲 同角三角函数基本关系式与诱导公式1．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系： ；1cos sin 22=+x x（2）商的关系： ；),2(cos sin tan Z k k ∈+≠=ππαααα （3）倒数关系： ．),2(1cot tan Z k k ∈≠=⋅πααα 2．诱导公式：R ∈α注：记忆口诀：（1）函数名不变，符号看象限；（2）函数名改变，符号看象限． 3．α角的终边与απ+角的终边关于 对称，（原点）α角的终边与α-角的终边关于 对称．（x 轴）4．注：同角三角函数关系的具体应用及应用时应注意的问题 （1）同角三角函数的关系式的基本用途 ①已知一个角的某一个三角函数值，求该角的其他三角函数值，有时用三角函数定义更方便； ②化简同角的三角函数式； ③证明同角的三角恒等式． （2）注意问题①已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，注意公式的合理选择； ②运用平方关系时，要合理地进行分类，不能漏掉任一情况． 5．对诱导公式的几点说明 （1）公式的记忆记忆口决“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说Z k k ∈±,2απ的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时原函数值的符号．” （2）公式的作用①将求任意的三角函数值问题，转化为求锐角的三角函数值问题．要认真体会这若干组公式时的化归思想，并在学习过程中能自觉地使用．②从另一个角度讲，这若干组公式还起着“变名、变角、变号”的作用，这在三角函数式的化简、求值、证明中经常用到．第18讲 三角函数的图象与性质。

高考公式大全数学

高考公式大全数学

以下是高考数学常用的一些公式大全：
二次方程：
二次方程的根公式：对于 ax^2 + bx + c = 0，根的公式为x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / (2a)。

三角函数：
正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中 a、b、c 分别为三角形的边长，A、B、C 分别为对应的角度。

余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，其中 c 为三角形的边长，A、B、C 分别为对应的角度。

正切的定义：tanθ = sinθ/cosθ。

几何图形：
三角形面积公式：S = 1/2 * 底 * 高。

矩形面积公式：S = 长 * 宽。

圆的面积公式：S = πr^2，其中 r 为半径。

概率统计：
排列公式：A(n, k) = n! / (n - k)!，表示从 n 个元素中选取 k 个元素进行排列的方法数。

组合公式：C(n, k) = n! / (k!(n - k)!)，表示从 n 个元素中选取 k 个元素进行组合的方法数。

这些只是高考数学中常用的一部分公式，具体的公式使用和应用还需根据题目的要求进行灵活运用。

建议学生在备考过程中充分掌握这些公式，并通过大量的练习题加深对公式的理解和应
用能力。

高考数学必背公式整理

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高考数学必背公式整理一、平面几何公式1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 02. 两点间的距离公式：AB = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]3. 点到直线的距离公式：d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)4. 两直线夹角的余弦公式：cosθ = (A₁A₂ + B₁B₂) / (√(A₁² + B₁²) √(A₂² + B₂²))5. 两直线平行的条件：A₁ / A₂ = B₁ / B₂ ≠ C₁ / C₂6. 两直线垂直的条件：A₁A₂ + B₁B₂ = 07. 两直线交点的坐标：x = (B₁C₂ - B₂C₁) / (A₁B₂ - A₂B₁)，y = (A₂C₁ - A₁C₂) / (A₁B₂ - A₂B₁)二、立体几何公式1. 体积公式：长方体的体积 V = lwh，正方体的体积V = a³，圆柱的体积V = πr²h，圆锥的体积V = (1/3)πr²h，球体的体积 V = (4/3)πr³2. 表面积公式：长方体的表面积 S = 2lw + 2lh + 2wh，正方体的表面积 S = 6a²，圆柱的表面积S = 2πrh + 2πr²，圆锥的表面积S = πrl + πr²，球体的表面积S = 4πr²三、三角函数公式1. 余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC2. 正弦定理：a / sinA = b / sinB = c / sinC3. 三角恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，1 + tan²θ = sec²θ，1 + cot²θ = csc²θ四、导数公式1. 基本导数：(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹，(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec²x，(cotx)' = -csc²x，(lnx)' = 1/x，(ex)' = ex2. 乘法法则：(uv)' = u'v + uv'3. 除法法则：(u/v)' = (u'v - uv') / v²4. 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)五、积分公式1. 基本积分：∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹) / (n⁺¹)，∫sinxdx = -cosx，∫cosxdx = sinx，∫sec²xdx = tanx，∫csc²xdx = -cotx，∫1/xdx = ln|x|，∫exdx = ex2. 乘法法则：∫uvdx = ∫u'vdx + ∫uv'dx3. 替换法则：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du六、概率统计公式1. 排列公式：Aₙₙ = n! / (n - m)!2. 组合公式：Cₙₙ = n! / (m!(n - m)!)3. 二项式定理：(a + b)ⁿ = Cⁿ₀aⁿb⁰ + Cⁿ₁aⁿ⁻¹b¹ + ... + Cⁿₙa⁰bⁿ4. 期望公式：E(X) = Σ(xP(x))5. 方差公式：Var(X) = Σ(x²P(x)) - [E(X)]²以上是高考数学中常用的必背公式。

高考数学必背公式整理

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高考数学必背公式整理高考数学必背公式整理高考数学中，公式的掌握是非常重要的，因为它们不仅可以帮助我们快速解题，还可以帮助我们理解和应用数学知识。

下面是一份高考数学必背公式整理，包括代数、几何和概率三个方面的公式。

一、代数公式1. 二项式展开公式：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)(a-b) = a^2 - b^22. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)3. 一次二次因式分解：ax^2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为二次方程的根4. 关于指数和对数的常用公式：log(a*b) = loga + logblog(a/b) = loga - logblog(a^n) = nlogaa^x * a^y = a^(x+y)a^x / a^y = a^(x-y)a^-x = 1/a^xloga a^x = x二、几何公式1. 三角函数相关公式：sin^2θ + cos^2θ = 11 + tan^2θ = sec^2θ1 + cot^2θ = csc^2θ2. 三角函数和角度的关系：sin(-θ) = -sinθcos(-θ) = cosθtan(-θ) = -tanθsin(π/2-θ) = cosθcos(π/2-θ) = sinθtan(π/2-θ) = cotθ3. 直角三角形中的三角函数：sinθ = 对边/斜边cosθ = 邻边/斜边tanθ = 对边/邻边4. 圆相关公式：圆的周长：C = 2πr圆的面积：A = πr^2圆的弧长：L = 2πr * (θ/360°)扇形面积：A = 1/2 r^2 θ三、概率公式1. 基本概率公式：P(A) = n(A)/n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A的样本空间，n(S)表示样本空间的元素个数2. 条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B已经发生的情况下事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率3. 乘法公式：P(A∩B) = P(A) * P(B|A)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A已经发生的情况下事件B发生的概率4. 加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)，其中P(A∪B)表示事件A和事件B至少有一个发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率以上是一些高考数学必背公式的整理。

2013年高考文科数学公式大总结

2013年高考文科数学公式大总结

2013高考数学公式大全（最全面，最详细）抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。

（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6) 八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tan A^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))an9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*t anA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sin A^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))0A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+ 210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)²万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^21*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）³2正方形的周长=边长³4长方形的面积=长³宽正方形的面积=边长³边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底³高梯形的面积=（上底+下底）³高÷2直径=半径³2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率³直径=圆周率³半径³2圆的面积=圆周率³半径³半径长方体的表面积=（长³宽+长³高＋宽³高）³2长方体的体积 =长³宽³高正方体的表面积=棱长³棱长³6正方体的体积=棱长³棱长³棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长³高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积³高圆锥的体积=底面积³高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积³高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）³180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a³b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l³h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

2013高考数学必考知识点

2013高考数学必考知识点

2013高考数学必考知识点2013高考数学必考知识点在众多的重点题型里，有50分以上的分值都分布在以下几个内容里，且这些内容应该是不论高、中、低端考生都不能也不容易做错的。

其主要内容有：平面向量、三角函数、立体几何。

(1)关于“平面向量”向量的内容多而杂，但可归为6个方面12个知识点。

即：向量的计算——加、减、乘(数乘、点乘);向量的应用——向量的特征(模、辐角)、平行、三垂直。

每个方面都有向量行式和坐标行式两种，因此共有12个知识点。

平面向量本是高等数学的一个基础内容，就历年出题的难度来看，难度并不大，因此提醒毕业生们：做此类题时，一定要把向量语言翻译成普通语言去解决。

之前讲的6个方面、12个知识点，即是一种最根本的翻译方法。

(2)关于“立体几何”在考试时遇到立体几何，考生们一定要马上想到“三垂线定理”。

三垂线正逆定理实际上是共面异面垂直的互相转化，“三垂线定理的应用，最能体现立体几何的学科特点。

”对此类题的归纳是：“大半证明，小半算，证明要用三垂线。

”以往很多考生遇到立体几何题就开始埋头苦算，即使算对，得分也并不高。

“数学打分是按步骤来的。

很多考生忽视证明，违背了出题者的意图。

此类题得分的关键是证明和推导，跳跃了证明的步骤，当然会被扣分。

”(3)关于“三角函数”谈到三角函数，下面是一道必考题。

例题：已知函数①当a=1时，求f(x)的单调递减区间。

②当a 三角函数出现2次方，难度系数加大了。

想化难为简，考生们则要选择“降幂升角”公式：把该方程式化为一次式方程。

然后再用划为同角同幂去研究，最后再画图示意，问题迎刃而解。

最后冲刺不要多做题最后几个月的复习，是研究细致、夯实基础的精细型复习。

建议大家，在最后一两个月的时间里，除了完成老师布置的试卷外，别再做更多更难更怪的题了。

“每周做3套回归型训练加2套综合模拟高考训练完全够了，一定要给自己减压!”现在做回归型即基础为主的训练题，主要是让大家找到自信，因为这些题以测试基础的解题思路、技巧为主，做完下来考生心理容易放松。

2013高考数学常用常考的公式定理记忆口诀

2013高考数学常用常考的公式定理记忆口诀

一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非１的正数，１两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

二、《三角函数》三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；三、《不等式》解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与０比大小，作商和１争高下。

2013高考必备!高中数学公式大全总结

2013高考必备!高中数学公式大全总结

【2013高考复习必备系列】高中数学常用公式及常用结论打印版1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m in m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m i n()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A Bd =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有 22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n nn n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)m n C =mn nC - ; (2) mn C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r n C 0=n 2; （5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……。

2013年高考数学常用公式和结论(更新版)

2013年高考数学常用公式和结论(更新版)

2013年高考数学常用公式和结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空真子集有22n -个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12)()()((0)x x f x a x a x -≠-=；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式） 4 真值表： 同真且真，同假或假 (且：有假必假；或：有真必真；非：真假相反) 56 .）充要条件： (1) p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2） p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；（4） p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数的单调性:增函数： (1) 文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2） 数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。

D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。

2013年高考文科数学必要知识点及备式归纳

2013年高考文科数学必要知识点及备式归纳

2013年高考文科数学必要知识点及公式归纳一、函数、导数1、函数的单调性(1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是 ；⇔ ； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是 . ⇔ ；(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若 ，则)(x f 为增函数；若 ，则)(x f 为减函数.2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有 ，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有 ，则)(x f 是奇函数。

奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称。

3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在点 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是: .4、几种常见函数的导数①'C = ；②=')(n x ； =')1(x； =')(x ； =')(x ； =')(2x ； =')(3x ；③=')(sin x ；④=')(cos x ；⑤=')(x a ；⑥=')(x e ； ⑦=')(log x a ；⑧=')(ln x ；5、导数的运算法则（1）='±)(v u ； （2）='⋅)(v u ；（3）=')(vu ； （4）（2）='])([x kf ；6、会用导数求单调区间、极值、最值若函数()y f x =在0x 处有极值：则 ；7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是 值；(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是 值． 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量8、同角三角函数的基本关系式（1）平方关系： ；（1）商数关系： ；9、正弦、余弦的诱导公式： ； απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；αππ±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

高考数学必备核心公式

高考数学必备核心公式

高考数学必备核心公式等差数列（1）通项公式：1(1)naa n d =+-(其中首项是1a ，公差是d )（2）前n 项和公式：11()(1)22n nn a a n n Sna d +-==+ （3）等差中项：若A 是a b 与的等差中项，则=2a b A +等比数列（1）通项公式：11n n a a q -=（其中首项是1,a q 公比是）（2）前n 项和公式：111 (q=1)=(1) (1)11n n n na S a a q a q q q q ⎧⎪--⎨=≠⎪--⎩（3）等比中项：若G 是a b 与的等比中项，则G ba G=，即2(G ab G ==或中项有两个）同角三角函数的基本关系式22sin sin cos 1 tan =cos ααααα+= 诱导公式公式一：sin(2)sin ()k k Z απα+⋅=∈cos(2)cos ()k k Z απα+⋅=∈ tan(2)tan ()k k Z απα+⋅=∈公式二：sin()sin cos(+)=cos tan(+)=tan πααπααπαα+=-- 公式三：sin()sin cos()=cos tan()=tan αααααα-=---- 公式四：sin()sin cos()=cos tan()=tan πααπααπαα-=----公式五：sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两角和与差的正弦、余弦和正切():sin()sin cos +cos sin S αβαβαβαβ++=():sin()sin cos cos sin S αβαβαβαβ--=- ():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ++=－ ():cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=-()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ+++=-()tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ---=+辅助角公式sin cos a x b x x x ⎫+=⎪⎭cos cos sin )x x ϕϕ⋅+⋅sin()tan b x a ϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭其中二倍角公式（1）2:sin 22sin cos S αααα=22222:cos 2cos sin 12sin 2cos 1C αααααα=-=-=-222tan :tan 21tan T a ααα=- （2）降次公式：21cos 211sin cos 2222ααα-==-+ 21cos 211cos cos 2222ααα+==+解三角形（1）三角形面积公式：S △ABC ＝111sin sin B=sin 222ab C ac bc A = （2）正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== 用角表示边：2sin b=2Rsin B c=2RsinC a R A =（3）余弦定理：2222222cos b =a +c 2cos a b c bc A ac B =+-- 2222cos c a b ab C =+-求角：222222222cos cosB= cosC=222b c a a c b a b c A bc ac ab+-+-+-=导数（1）基本初等函数的导数公式 ①C′＝0（C 为常数） ②1()'(*)a a x ax a Q -=∈ ③(sin )'cos x x =④(cos )'sin x x =- ⑤1(ln )'x x=⑥1(log )'(01)ln a x a a x a=>≠且 ⑦()'xxe e =⑧()'ln (0)xxa a a a =>（2）导数的运算法则①[]()()''()'()f x g x f x g x ±=±②[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+③2()'()()()'()'[()0]()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦三角函数多面体和旋转体的面积、体积公式设h 为高，h′为斜高，c 为底面的周长，l 为母线长，r 为圆柱、圆锥的底面半径，R 为球的距离公式（1）点到直线的距离：点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =（2）两平行线间的距离：两条平行线1200Ax By C Ax By C ++=++=与间的距离d =向量的长度公式、夹角公式（1）向量的长度：设(,)a x y =，则22222||,||;a x y a x y =+=+若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则(AB x =（2）两个向量的夹角：设,a b 都是非零向量，1122(,),(,)a x y b x y ==，夹角为θ，则21cos ||||a b a b x θ⋅==+椭圆的几何性质椭圆方程22221(0),x y a b a b +=>>其中222,a b c =+离心率1c e a=<双曲线的几何性质双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>，其中222c a b =+，离心率1c e a=>，渐近线方程为0()x y b y x a b a±==±即 抛物线的几何性质抛物线方程22(0)y px p =>，离心率e ＝1，焦点02P F ⎛⎫⎪⎝⎭，，准线方程为2p x =-弦长公式12|l x x =-=[其中12,x x 为直线与圆（或圆锥曲线）相交所得两交点的横坐标]。

2013高考数学总复习讲义1：三角公式

2013高考数学总复习讲义1：三角公式

高三数学总复习讲义——三角函数公式知识清单：（一）基本关系公式组二 (k Z ∈)sin(2)sin ,cos(2)cos tan(2)tan ,cot(2)cot k x x k x x k x x k x xππππ+=+=+=+=公式组三sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x x x x x xx x-=--=--=-=-公式组四 公式组五xx x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππxx x x x x xx c o t )2c o t (t a n )2t a n (c o s )2c o s (s i n )2s i n (-=--=-=--=-ππππ公式组六sin()sin tan()tan cos()cos cot()cot x xx xx x x xππππ-=-=--=--=-(二)两角和与差公式公式组一βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-公式组二:αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan1tan 22tan -=2c o s 12s i n αα-±=2cos 12cosαα+±=,1cos sin 1cos tan21cos 1cos sin ααααααα--=±==++公式组三1cos()sin 2παα-=,1cos()sin 2παα+=-1sin()cos 2παα-= 1s i n ()c o s2παα+=,1tan()cot 2παα-=,1tan()cot 2παα+=-常用数据: 30456090、、、的三角函数值62sin 15cos 754-==,42615cos 75sin+==3275cot 15tan -==,3215cot 75tan +==注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路，从而清晰地“看出”它们之间的联系，它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+221cos 1cos cos ,sin2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式.⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。

2013届高考数学全套核心知识点总结

2013届高考数学全套核心知识点总结

高考数学全套知识点总结（通用版）——至臻高考 姜老师1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

{}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。

∅ 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

{}{}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ⊂（答：，，）-⎧⎨⎩⎫⎬⎭10133. 注意下列性质：{}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ⊆⇔== （3）德摩根定律：()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数x ax x aM M M a --<∈∉50352的取值范围。

()（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522∈--<∉--≥⇒∈⎡⎣⎢⎫⎭⎪M a a M a aa5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和()()∨∧“非”().⌝若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假⌝p p6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。

）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()()例：函数的定义域是y x x x =--432lg()()()（答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？[]如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0义域是_。

高考数学必考必背公式全集

高考数学必考必背公式全集

一、对数运算公式。

log log m n a a n b b m =log log log a a a M M N N-=1. log 10a = 2. log 1a a = 3. log log log a a a M N MN += 4. 5.log log n a a M n M =6. 7. log a M a M =8. 9. 10. 二、 三角函数运算公式。

1. 同角关系:2. 诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

3. 两角和差公式:sin()sin cos sin cos αβαβαα±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m 二倍角公式:sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-4. 辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a ，其中，2||,tan ,0πϕϕ<=>a b a 5. 降幂公式（二倍角余弦变形）:6.角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：,cos ,sin rxr y ==ααx y=αtan 三、 三角函数图像与性质。

四、 解三角形公式。

1. 正弦定理2. 余弦定理3. 三角形面积公式 A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===4．.三角形的四个“心”； 重心：三角形三条中线交点.sin tan cos ααα=22sin cos 1αα+=21cos 2cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=log log log a b a N N b=1log log b a a b =1log log a a Mn=2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-22tan tan 21tan ααα=-外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.六、向量公式。

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2013年高考数学常用必备公式及结论1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空真子集有22n -个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式） (3) 零点式12)()()((0)x x f x a x a x -≠-=；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）（4）切线式：20)()(),0()(f x a x kx d a x ++≠=-。

（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假 (且：有假必假；或：有真必真；非：真假相反) 56 .）充要条件： (1) p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2） p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3) p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；（4） p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。

7 函数的单调性:增函数： (1) 文字描述是：y 随x 的增大而增大。

（2） 数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x <成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是增函数。

D 则就是f （x ）的递增区间。

减函数：(1)、文字描述是：y 随x 的增大而减小。

（2）、数学符号表述是：设f （x ）在x ∈D 上有定义，若对任意的1212,,x x D x x ∈<且，都有12()()f x f x >成立，则就叫f （x ）在x ∈D 上是减函数。

D 则就是f （x ）的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。

(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.8 函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数： 定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则()f x 就是奇函数。

性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R 上的奇函数，有f （0）=0 . 偶函数：定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则f （x ）就是偶函数。

性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数；(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 9 函数的周期性：定义： 对函数f （x ），若存在T ≠0，使得f （x+T ）=f （x ），则就叫f （x ）是周期函数，其中，T 是f （x ）的一个周期。

周期函数几种常见的表述形式：(1) ()()f x T f x +=-，此时周期为2T ； （2） ()()f x m f x n +=+，此时周期为2m n - ； (3) 1()()f x m f x +=-，此时周期为2m 。

10 常见函数的图像：11 函数的对称性：对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+)(x f 的对称轴是2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2b a x -=对称。

12 分数指数幂与根式的性质：(1)mn a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. （2）1m nmnaa-==（0,,a m n N *>∈，且1n>）.（3）na =.（4）当n a =；当n 为偶数时,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.指数性质： (1) 1p pa a-=； （2）01a =（0a ≠）； (3)()m n m n a a =(4)(0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈ ； (5)mn a = ；指数函数：(1) (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数；（2）(01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。

注：指数函数图象都恒过点（0，1） 对数性质：(1)、 log log log ()a a a M N M N += ；（2）、 log log log a a a M M N N-= ；(3)、 log log m a a b m b =⋅ ；(4)、 log log mn a a n b bm=⋅ ； (5)、。

log 10a =(6)、 log 1a a = ； (7)、 logaba b =对数函数：(1) log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数；（2）log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数；注对数函数图象都恒过点（1，0） (3) log 0,(0,1),(1,)a x a x a x >⇔∈∈+∞或(4) log 0(0,1)(1,)a x a x <⇔∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则14 对数的换底公式 :log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).对数恒等式：log aNa N=(0a >,且1a ≠, 0N >). 推论 log log mn a a n b bm=(0a >,且1a ≠, 0N >).15对数的四则运算法则:若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log aa a M M N N=-;(3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)mn a a n N N n m R m=∈。

16 平均增长率的问题（负增长时0p <）：如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.17 等差数列：通项公式： （1） 1(1)n a a n d =+- ，其中1a 为首项，d 为公差，n 为项数，n a 为末项。

（2）推广： ()n k a a n k d =+-（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）。

前n 项和： （1）1()2n n n a a S +=；其中1a 为首项，n 为项数，n a 为末项。

（2）1(1)2n n n S na d-=+（3）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）。

（4）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）。

常用性质：（1）若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差。

（2）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列。

（3）{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。

（4）,,0p q p q a q a p a +===则 ； （5） 1+2+3+…+n=2)1(+n n等比数列：通项公式：（1）1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈ ，其中1a 为首项，n 为项数，q 为公比。

（2）推广：n k n k a a q -=⋅（3）1(2)n n n a S S n -=-≥ （注：该公式对任意数列都适用）前n 项和：（1）1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用）（2）12n n S a a a =+++ （注：该公式对任意数列都适用）（3）11(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅ ；注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等比。

（2）、若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列。

18分期付款(按揭贷款) ：每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).19三角不等式：（1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.20 同角三角函数的基本关系式 ：22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 22 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ= ).23 二倍角公式及降幂公式sin 2sin cos ααα=22tan 1tan αα=+.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+.22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2ααααα-==+ 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==24 三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期2||T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Zππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0)的周期||T πω=.三角函数的图像：25 正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为A B C ∆外接圆的半径）.2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C⇔=26余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C=+-.27面积定理：（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B===.28三角形内角和定理 ：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.29 实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a;(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa+λb .30 a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a||b |cos θ。

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