广东省华南师范大学附属中学2021届高三综合测试(三)数学答案
2021年11月华南师范大学附属中学2022届高三毕业班上学期第三次月考检测数学试题
绝密★启用前华南师范大学附属中学2022届高三毕业班上学期第三次月考检测数学试题2021年11月本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(i 1)2i z -⋅=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．i 1-B ．1i +C ．12i - D. 1i -2．已知集合2{|1}M x R x =∈=，{|1}N x R ax =∈=，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0} D. {1,1,0}-3．下列有关命题的说法错误的是（ ）A ．若“p q ∨”为假命题，则p 与q 均为假命题B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件C ．若0:p x R ∃∈，200x ≥，则:p x R ⌝∀∈，20x < D. “1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” 4．在△ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB =，若CA a =，CB b =，则CD =（ ）A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b + D. 4355a b + 5．设}{n a 是公差为正数的等差数列，若15321=++a a a ，80321=a a a ，则131211a a a ++的值为（ ）A ．120B ．105C ．90 D. 756. 若关于x 的不等式240-->x x a 在区间(1,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,5)-∞B ．(5,)+∞C ．(4,)-+∞ D. (,4)-∞-7. 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)+f x 为偶函数，且(1)1=f ，则(8)(9)+=f f （ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．18. 设函数2()6e 32x f x x ax a =⋅-+(e 为自然对数的底数），当x R ∈时, ()0f x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．eB ．2eC ．4eD ．6e二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若011<<b a ，则下列结论正确的是（ ） A ．ab b a <+ B ．||||b a >。
广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷(理科)
（1）求证：平面 PAB⊥平面 ABC；
（2）求二面角 B-PA-C 的余弦值．
20. 已知双曲线 C1 的焦点在 x 轴上，焦距为 4，且 C1 的渐近线方程为
．
（1）求双曲线 C1 的方程；
（2）若直线
与椭圆
及双曲线 C1 都有两个不同的交点
，且 l 与 C1 的两个交点 A 和 B 满足 ．
（其中 O 为原点），求 k2 的取值范围
D. f（x）的图象关于点
对称
9. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 的直线与抛物线在 x 轴上 方的部分相交于点 A，AK⊥l，垂足为 K，则△AKF 的面积是（）
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A. 4
B.
C.
D. 8
10. 在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAB⊥平面 ABC，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，△PAB
）5 展开式中常数项为（-1）225-2 =80，得解．
【解答】 解：令 x=1 得（1+a）（2-1）5=2， 解得 a=1， 则（2x- ）5 展开式的通项为 Tr+1= （2x）5-r（- ）r=（-1）r25-r x5-2r，
则（1+ ）（2x- ）5 展开式中常数项为（-1）225-2 =80. 故选 D．
A.
B.
C.
D.
5. 已知
A.
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（）
B.
C.
D.
6. 记正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若
，则使
的最小
的整数 n 是（ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
广东省华南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(1)
一、单选题1. 某几何体三视图如图所示，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．2. 如图，圆锥顶点为，底面圆心为，过轴的截面，为中点，，，则从点经圆锥侧面到点的最短距离为A．B．C．D．3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的为（ ）A．B．C．D．4.复数的虚部为（ ）A．B ．2C．D．5.已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）.A．B．C．D．6.函数的大致图象为A．B．C．D．7.随机变量的分布列如下：-101若，则的值是（ ）A．B．C．D．广东省华南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(1)广东省华南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(1)二、多选题三、填空题8. 习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为 （其中是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为（参考数据：）（ ）A ．9B ．11C ．13D ．159. 下列结论正确的是（ ）A ．已知样本数据的方差为2，则数据的方差为4B．已知概率，则C ．样本数据6，8，8，7，9，10，8的第75百分位数为8.5D ．已知（为有理数），则10. 如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A ．的最小值为B．的最小值为C ．三棱锥的体积不变D ．以点为球心，为半径的球面与面的交线长11. 下列选项中正确的是（ ）A．若向量，为单位向量，，则向量与向量的夹角为60°B．设向量，，若，共线，则C ．若，，则在方向上的投影向量的坐标为D．若平面向量，满足，则的最大值是512. 如图(a )，边长为2的正方形 AP ₁P ₂P ₃中，B ，C 分别是P ₁P ₂，P ₂P ₃的中点，AP ₂交BC 于D ，现沿AB ，AC 及BC 把这个正方形折成一个四面体，如图(b )，使P ₁，P ₂，P ₃三点重合，重合后的点记为P ，则有（）A ．平面PAD ⊥平面PBCB ．四面体 P -ABC的体积为C ．点P 到平面ABC 的距离为D ．四面体 P -ABC 的外接球的体积为13. 已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项积为T n ，若S n +2T n ＝1，则数列中最接近2019的是第____项．四、解答题14. 函数的所有零点之和为________.15. 若等比数列的首项为，公比为2，则的前项和________．16. 在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，若，.（1）用表示，；（2）求取最大值时的值.17.在锐角中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，且满足.(1)求角B 的大小；(2)若，求的取值范围.18. 已知函数，．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数在上不单调，求实数a 的取值范围．19. 某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类(不参加体育锻炼)，乙类(参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时)，丙类(参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时)，调查结果如下表：甲类乙类丙类男性居民3123女性居民633(1)根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关?男性居民女性居民总计不参加体育锻炼参加体育锻炼总计(2)从抽出的女性居民中再随机抽取2人进一步了解情况，求所抽取的2人中乙类，丙类各有1人的概率．附：20.某家电专卖店试销三种新型空调，销售情况如下表所示：第一周第二周第三周第四周型数量（台）111015型数量（台）14913型数量（台）61112(1)从前三周随机选一周，若型空调销售量比型空调多，求型空调销售量比型空调多的概率；(2)为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中型空调台数的分布列和数学期望；(3)直接写出一组的值，使得表中每行数据的方差相等．21. 在中，角、、所对的边分别为、、，．（1）若，求角；（2）若，当角最大时，求的面积．。
华南师大附中高三综合测试(三)(理数参考答案)
数学（理科）参考答案一、ADCC ABBD3．由题意知，一元二次方程 x 2 + mx + 1 = 0有两不等实根，可得Δ > 0，即m 2－4 > 0，解得m > 2或m < －2.4．几何体为锥体，且底面积为 S = 12 ×2×2 = 2，高 h = 1 ⇒ V = 235．直线 x + y = 0与圆 x 2 + (y －a ) 2 = 1相切 ⇔ d =| a |2= 1 ⇔ a = ±2 6．由y = x 及y = x －2可得，x = 4，所以由y = x 及y = x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为 ⎠⎛ 0 4(x －x + 2) dx = (23 x 32 －12 x 2 + 2x ) |04 = 163. 7．由仓库的存量知，五号仓库向左边相邻仓库运输的费用为 40×10×0.5，而一号，二号仓库加起来向右边相邻仓库运输的费用为 30×10×0.5，故想运费最少，必定要把货物运到五号仓库，故得 (10×40 + 20×30)×0.5 = 500 元8．由面积的增长由慢到快，再由快到慢得，曲线的切线方向由平转向陡，再由陡转向平，故选 D 二、9.12510. －1 11. 3 12. －8 13. (－∞,0) 14. 1或 5 11．∵12 = 4x + 3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎨⎧4x = 3y4x + 3y = 12 即⎩⎨⎧x = 32 y = 2时xy 取得最大值312．作出可行域如图，在顶点 (－3,5) 达到最小值 13．∵ f’(x ) = 5ax 4 + 1x ，x ∈(0,+∞)，∴由题意知5ax 4 +1x= 0 在 (0,+∞) 上有解. 即 a = －15x5 在 (0,+∞) 上有解.∵ x ∈(0,+∞)，∴－15x 5 ∈(－∞,0).∴a ∈(－∞,0).14．a n = p 为奇常数 ⇒ a n +1 = 3p + 5 为偶数 ⇒ a n +2 = a n +12 k = 3p + 52 k 为奇数，故 3p + 52 k= p ⇒ p =52 k －3 ，由p 为正整数得 k = 2 或 k = 3 ⇒ p = 5 或 p = 1三、15．解：(1) 证明：由题设 a n +1 = 4a n －3n + 1， 得 a n +1－(n + 1) = 4 (a n －n ) 又 a 1－1 = 1∴ 数列 {a n －n } 是首项为 1，且公比为 4的等比数列.(2) 由 (1) 可知 a n －n = 4 n －1∴ a n = 4 n －1 + n(∴ S n = 1－4 n 1－4 + n (n + 1)2 = 4 n －13 + n (n + 1)216．解：(1) 因为函数 f (x ) 的最小正周期为π，且 ω > 0 ∴2πω= π ⇒ ω = 2∴ f (x ) = 3 sin (2x + φ)∵ 函数 f (x ) 的图象经过点 (2π3 ,0)∴ 3 sin (2×2π3 + φ) = 0得4π3 + φ = k π，k ∈Z ，即φ = k π－ 4π3，k ∈Z . 由 －π2 < φ < 0 ⇒ φ = －π3 ∴ f (x ) = 3 sin (2x －π3)(2) 依题意有g (x ) = 3sin [2×(x 2 + 5π12 )－π3 ] = 3sin (x + π2 ) =3 cos x由g (α) = 3cos α = 1，得cos α = 13由g (β) = 3 cos β = 324 ，得cos β = 24∵ α，β∈(0,π) ∴ sin α =223 ，sin β = 144∴ g (α－β) = 3cos (α－β) = 3 (cos α cos β + sin α sin β) = 3× (13 ×24 + 223 ×144 ) = 2 + 47417．解：(1) 取CE 中点M ，连结FM 、BM ， ∵ F 为CD 的中点 ∴ FM ∥ 12 DE又 AB ∥ 12DE∴ AB ∥ FM∴ ABMF 为平行四边形， ∴ AF ∥BM又 ∵ AF ⊄ 平面BCE ，BP ⊂ 平面BCE ， ∴ AF ∥平面BCE(2) AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD ∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACDABCD EFGM∴ DE ⊥AF又 AF ⊥CD ，CD ∩DE = D ∴ AF ⊥平面CDE 又BP ∥AF∴ BP ⊥平面CDE 又∵ BP ⊂平面BCE∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) ∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形过C 作 CG ⊥AD 于G ，连结EG ，则G 为AD 中点. ∵ AB ⊥平面ACD ，CG ⊂ 平面ACD ∴ AB ⊥CG∵ CG ⊥AD ，CG ∩AD = G ∴ CG ⊥平面ADEB ∴ CG ⊥EG∴ ∠CEG 为直线CE 与面ADEB 所成的角.在 Rt △EDG 中，EG = DG 2 + EG 2 = 1 2 + 2 2 = 5 在 Rt △CDG 中，CG =CD 2－DG 2 = 2 2－1 2 = 3在 Rt △CEG 中，tan ∠CEG = CG GE = 35 = 155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155. 解法二：AD = AC = 2，且 F 是 CD 的中点 ⇒ AF ⊥CD∵ AF = 3 ⇒ CD = 2 ∴ △ACD 为正三角形∵ AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ∴ DE ⊥平面ACD如图，以AF 延长线为 x 轴，FD 为 y 轴，过F 垂直于平面ACD 的垂线为 z 轴建立空间直角坐标系， 则各顶点坐标为F (0,0,0)、C (0,－1,0)、D (0,1,0)、A (－ 3 ,0,0)、B (－ 3 ,0,1)、E (0,1,2) (1) CB → = (－ 3 ,1,1)，CE →= (0,2,2) 设平面BCE 的一个法向量为 m 1 = (x 1,y 1,z 1)则 m 1⊥CB → ，m 1⊥CE → ⇒ m 1·CB → = 0，m 1·CE →= 0 ⇒ － 3 x 1 + y 1 + z1 = 0，2y 1 + 2z 1 = 0 ⇒ x 1 = 0 ⇒ m 1 = (0,y 1,z 1) F A →= (－ 3 ,0,0) ∴F A → ·m 2 = 0又 AF ⊄ 平面BCEC(2) 显然，平面CDE 的一个法向量为 m 2 = (1,0,0) ⇒ m 1·m 2 = 0∴ 平面BCE ⊥平面CDE(3) AB → = (0,0,1)，AD → = ( 3 ,1,0)，CE →= (0,2,2) 设平面ABED 的法向量为 n = (x ,y ,z )则 n ⊥AB → ，n ⊥AD → ⇒ n ·AB → = 0，n ·AD →= 0 ⇒ z = 0， 3 x + y = 0取 x = 1 ⇒ y = － 3 ⇒ n = (1,－ 3 ,0) 设直线CE 与面ADEB 所成的角为 θ 则 sin θ = | n ·CE →|| n |·|CE →| = 232×22 = 64⇒ tan θ =155即直线CE 与面ADEB 所成的角的正切值为155.18．解：(1) 由题意：当0 < x ≤50时，v (x ) = 30当50 < x ≤200时，由于 v (x ) = 40－k250－x再由已知可知，当x = 200时，v (200) = 0 代入解得k = 2000∴ v (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30，0 < x ≤5040－2000250－x ，50 < x ≤200 (2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x250－x= 40 {300－[(250－x ) + 12500250－x]} ≤40 [300－2(250－x )·12500250－x]= 40×(300－100 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056取等号当且仅当 250－x = 12500250－x即 x = 250－50 5 ≈138时，f (x ) 取最大值 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.解二：(2) 依题意并由(1)可得 f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ，0 < x ≤5040x －2000x 250－x ，50 < x ≤200 当0≤x ≤50时，f (x ) = 30x ，当x = 50时取最大值1500当50 < x ≤200时，f (x ) = 40x －2000x 250－x = 40 (x + 50 + 12500x －250)∴ f ' (x ) = 40 [1－12500(x －250) 2 ] = 0 ⇒ x = 250－50 5f (x )max = f (250－50 5 ) = 4000 (3－ 5 )≈4000×(3－2.236) = 3056 > 1500综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时. 答：当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时.19．解：(1) 设椭圆C 的方程为 x 2a 2 + y 2b 2 = 1(a > b > 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ e = c a =12 1a 2 + 94b 2 = 1 a 2 = b 2 + c 2解得 a 2 = 4，b 2 = 3 ∴ 椭圆 C ：x 24 + y 23 = 1(2) (i ) 易得 F (1,0)① 若直线 l 斜率不存在，则 l ：x = 1，此时 M (1, 32 )，N (1,－32 )，∴ FM → ·FN →= －94② 若直线 l 斜率存在，设 l ：y = k (x －1)，M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)， 则由 ⎩⎪⎨⎪⎧ y =k (x －1) x 24 + y 23 = 1 消去 y 得：(4k 2 + 3) x 2－8k 2 x + 4k 2－12 = 0∴ x 1 + x 2 = 8k 24k 2 + 3 ，x 1 x 2 = 4k 2－124k 2 + 3又 y 1 = k (x 1－1)，y 2 = k (x 2－1)∴ FM → ·FN →= (x 1－1,y 1)·(x 2－1,y 2) = (x 1－1, k (x 1－1))·(x 2－1, k (x 2－1))= (1 + k 2) [x 1 x 2－(x 1 + x 2) + 1] = (1 + k 2) (4k 2－124k 2 + 3 －8k 24k 2 + 3 + 1) = －94－11 + k 2∵ k 2≥0 ∴ 0 <11 + k 2 ≤1 ∴ 3≤4－11 + k 2< 4 ∴ －3≤FM → ·FN →< －94综上，FM → ·FN →的取值范围为 [－3,－94](ii ) 线段MN 的中点为Q ，显然，MN 斜率存在，否则 T 在 x 轴上 由 (i ) 可得，x Q = x 1 + x 22 = 4k 24k 2 + 3 ，y Q = k (x Q －1) = －3k4k 2 + 3∴ 直线OT 的斜率 k ' =y Q x Q = －34k， ∴ 直线OT 的方程为：y = －34k x从而 T (4,－3k)此时TF 的斜率 k TF = －3k －04－1 = －1k∴ k TF ·k MN = －1k·k = －1∴ TF ⊥MN20．解：(1) a > 0时，f’(x ) = e x －a ，令 f’(x ) = 0，解得 x = ln a ∵ x < ln a 时，f’(x ) < 0，f (x ) 单调递减； x > ln a 时，f’(x ) > 0，f (x ) 单调递增。
广东华南师大附中高三综合测试(三)(数学理).doc
广东华南师大附中高三综合测试（三）（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时1。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ ）A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p 2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分 （圆内接正三角形）上的概率是（ ） A ．43 B. 433 C. π43 D. π4334．甲校有3600名学生。
乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在 这三校分别抽取学生（ ）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．30人，10人 D. 30人，50人，10人5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （ ）A. 1 B ．105 C ．90 D ．756. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等． 其中能推出α∥β的是（ ）A ．①B ，②C ．①和③D ．③和④7．设P 是双曲线19.222=⋅-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则||2⋅PF =（ ） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 8. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上 按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦 AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（ ）第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概 率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ． 10．dx x ⎰--2|)1|2(=1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ．3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项， 则判断框中应填的语句是 ．13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加 某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共 有 （用数字作答）21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 ⎩⎨⎧-=+=t y at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C（a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．三、解答题（共6大题，共80分） 16．（本题满分12分） 已知)cos ,(sin x x a -=，()x x b cos 3,cos =，函数()23+⋅=b a x f(1)求f(x)的最小正周期； (2)当20π≤≤x 时，求函数f(x)的值域．17.（本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3 分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51 (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷(理科)
高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，则（∁U M）∩N=（）A. {x|-3＜x＜-1}B. {x|-3＜x＜0}C. {x|-1≤x＜0}D. {x|-1＜x＜0}2.已知复数，若z为纯虚数，则|2a-i|=（）A. 5B.C. 2D.3.已知向量=（cos75°，sin75°），=（cos15°，sin15°），则|-|的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 34.有4个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A. B. C. D.5.已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A. B. C. D.6.记正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则使的最小的整数n是（）A. 4B. 5C. 6D. 77.记函数，将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，现有如下命题：p1：函数g（x）的最小正周期是2π；p2：函数g（x）在区间上单调递增；p3：函数g（x）在区间上的值域为[-1，2]．则下列命题是真命题的为（）A. （￢p2）∧p3B. p1∨（￢p3）C. p1∨p2D. p1∧p28.已知函数，则下列判断错误的是（）A. f（x）为偶函数B. f（x）的图象关于直线对称C. 关于x的方程f（x）=0.7有实数解D. f（x）的图象关于点对称9.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A. 4B.C.D. 810.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. 64πB. 48πC. 36πD. 27π11.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如右图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第2n-1行；则第61行中1的个数是（）A. 31B. 32C. 33D. 3412.已知函数f（x）=x2+x-a ln（x+1）有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（）A. （-∞，0]B. [0，+∞）C. （0，1）∪（1，+∞）D. （-∞，0]∪{1}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列{a n}中，，则a2019的值为______．14.若直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，则mn的取值范围是______．15.已知f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）=f（x）+x2，且当x∈（-∞，0]时，g（x）单调递增，则不等式f（x+1）-f（x-1）+4x＞0的解集为______．16.如图所示，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，一平行于平面A1BD的平面α与棱AB，AD，AA1分别交于点E，F，G，点P在线段A1C1上，且PG∥AC1，则三棱锥P-EFG的体积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c（a＜b＜c），，sin B sin C=cos（A-C）+cos B．（1）求cos C．（2）点D为BC延长线上一点，CD=3，，求△ABC的面积．18.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年12345678910旅游人数..（万人）300283321345372435486527622800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y=ae bx的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①y=50.8x+169.7②3040714607参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（v n，w n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．e5.46 1.435.54496.058341959.00表中．19.已知矩形ABCD，，沿对角线AC将△ACD折起至△ACP，使得二面角P-AC-B为60°，连结PB．（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；（2）求二面角B-PA-C的余弦值．20.已知双曲线C1的焦点在x轴上，焦距为4，且C1的渐近线方程为．（1）求双曲线C1的方程；（2）若直线与椭圆及双曲线C1都有两个不同的交点，且l与C1的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k2的取值范围．21.已知函数f（x）=2ln x-ax2，g（x）=（x+1）e x+3ax-4，a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有最大值且最大值是-1，求证：f（x）＜g（x）．22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（φ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，（1）求椭圆C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）若点P的极坐标为（1，），直线l与椭圆C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知a，b均为实数，且|3a+4b|=10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，指数函数的单调性，以及补集、交集的运算.可求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可.【解答】解：M={x|x＜-1}，N={x|-3＜x＜0}，∴∁U M={x|-1≤x＜0}，∴（∁U M）∩N={x|-1≤x＜0}．故选C.2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a，则答案可求．【解答】解：∵z=a+=a+=a-1+3i是纯虚数，∴a-1=0，即a=1．∴|2a-i|=|2-i|=．故选B．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量数量积坐标运算以及应用,主要利用平方关系和两角差的余弦公式进行求解,考查了如何利用向量的数量积运算求向量的模.由题意求出-的坐标,由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式,求出-的自身的数量积的值,即求出|-的模,【解答】解:由题意得,-=（cos75°-cos15°,sin75°-sin15°），∴∴|-|=1,故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是4×4种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有4种结果,根据古典概型概率公式得到结果,本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目.【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是4×4=16种结果,满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组,由于共有四个小组,则有4种结果,根据古典概型概率公式得到P=,故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得a=1，则（2x-）5展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-）r=（-1）r25-r x5-2r，则（1+）（2x-）5展开式中常数项为（-1）225-2=80，得解．【解答】解：令x=1得（1+a）（2-1）5=2，解得a=1，则（2x-）5展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-）r=（-1）r25-r x5-2r，则（1+）（2x-）5展开式中常数项为（-1）225-2=80.故选D．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题.由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求q，a1，进而可求a n，即可求解．【解答】解：∵，∴q≠1，∴，两式相除可得，，∵q＞0，解可得，q=，a1=3，∴a n=，∴2n-1＞30，∵24＜30＜25，∴满足条件的最小的整数n=6，故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合函数图象平移关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．根据函数图象变换关系先求出g（x）的解析式，结合函数周期性，单调性以及最值性质分别判断命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：将函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）的图象，即g（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），则g（x）的最小正周期T=，故p1错误，当x∈时，2x-∈（-，-），此时函数不单调，故p2错误，当x∈时，2x-∈[-，]，此时当2x-=-时，g（x）取得最小值g（x）=2sin（-）=-1，当2x-=时，g（x）取得最大值g（x）=2sin=2，即函数的值域为[-1，2]，故p3正确，故（￢p2）∧p3是真命题，其余为假命题，故选A．8.【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正弦公式对已知函数进行化简可得f（x）=2cos4x-1，然后结合余弦函数的性质进行判断即可本题主要考查了辅助角公式和诱导公式在三角函数式化简中的应用及余弦函数的性质的综合应用．【解答】解：∵，=2[]-1=2sin（4x+）-1=2cos4x-1∵f（-x）=2cos（-4x）-1=2cos4x-1=f（x），故f（x）为偶函数，A正确；根据余弦函数对称轴处取得最值可知，当x=-时，f（x）取得最大值，故B正确；∵-1≤cos4x≤1可知-3≤f（x）≤1，从而可知C正确；令4x=k可得x=，k∈z，令x==-可知整数k不存在，故D错误故选：D．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断△AKF为等边三角形是解题的关键．【解答】解：由抛物线的定义可得AF=AK，∵AF的斜率等于，∴AF的倾斜角等于60°，∵AK⊥l，∴∠FAK=60°，故△AKF为等边三角形．又焦点F（1，0），AF的方程为y-0=（x-1），设A（m，m-），m＞1，由AF=AK得=m+1，∴m=3，故等边三角形△AKF的边长AK=m+1=4，∴△AKF的面积是×4×4sin60°=4，故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题.由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．解：如图所示：在等边三角形ABC中，取AB中点F，设其中心为O，由AB=6，得CO=CF=，∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P-ABC的外接球球心，则外接球半径R=OC=，∴该三棱锥外接球的表面积为4π×．故选B．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．根据0-1三角数表求得第6次全行都是1的是第63行，然后你推第62行1的个数减半，第61行1的个数与第62行1的个数相同．【解答】解：由已知图中的数据第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…∵全行都为1的是第2n-1行，∵n=6时，26-1=63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1，故y=32.故选B．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数的零点个数的问题解法，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，考查化简运算能力，属于中档题.由题意可得f（0）=0，函数f（x）有且只有零点0，x2+x-a ln（x+1）=0，x≠0，x＞-1，可得a=，设g（x）=，求得导数，判断单调性和值域，即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=x2+x-a ln（x+1），可得f（0）=0-a ln1=0，由题意可得函数f（x）有且只有零点0，令x2+x-a ln（x+1）=0，x≠0，x＞-1，可得a=，设g（x）=，=，设h（x）=（2x+1）ln（x+1）-x，当x＞0时，=2ln（x+1）+＞0，可得h（x）在（0，+∞）递增，即有h（x）＞h（0）=0，可得＞0，即g（x）在（0，+∞）递增，由g（x）-1=，x＞0，设m（x）=x2+x-ln（x+1），=2x+1-=＞0，可得m（x）＞m（0）=0，即有g（x）＞1恒成立；当-1＜x＜0时，可得=2ln（x+1）+＜0，可得h（x）＞h（0）=0，＞0，即g（x）在（-1，0）递增，由g（x）＞0，又=2x+1-=＜0，可得m（x）＞m（0）=0，即有g（x）＜1恒成立．可得实数a的取值范围为a≤0或a=1．故答案选D.13.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．根据题意，将a n+1=a n+变形可得a n+1-a n==-，利用“累加法”得到答案.【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1=a n+，变形可得a n+1-a n==-，则a2019=（a2019-a2018）+（a2018-a2017）+……+（a2-a1）+a1=+（1-）+（-）+……+（-）=+1-=1.故答案为1.14.【答案】（-∞，1）【解析】【分析】本题考查了圆的性质、基本不等式、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于基础题．由题意可得圆心在直线设，即可得出m，n的关系式，经过分类讨论和利用基本不等式即可得出mn的取值范围．【解答】解：圆的方程x2+y2-4x-2y-4=0化为（x-2）2+（y-1）2=9，可得圆心C（2，1）．∵直线mx+2ny-4=0（m，n∈R，m≠n）始终平分圆x2+y2-4x-2y-4=0的周长，∴圆心C在直线上，∴2m+2n-4=0，化为m+n=2．则又,所以所以mn的取值范围是（-∞，1）．故答案为（-∞，1）．15.【答案】（-∞，0）【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．根据题意，原不等式变形可得f（x+1）+（x+1）2＞f（x-1）+（x-1）2，即g（x+1）＞g （x-1），分析可得g（x）为偶函数且在[0，+∞）上递减，据此可得g（x+1）＞g（x-1）⇒g（|x+1|）＞g（|x-1|）⇒|x+1|＜|x-1|⇒（x+1）2＜（x-1）2，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x+1）-f（x-1）+4x＞0⇒f（x+1）+2x＞f（x-1）-2x⇒f（x+1）+（x+1）2＞f（x-1）+（x-1）2，∴g（x+1）＞g（x-1），又∵g（x）=f（x）+x2，且f（x）为偶函数，∴g（-x）=f（-x）+（-x）2=f（x）+x2=g（x），即g（x）为偶函数，又∵当x∈（-∞，0]时，g（x）单调递增，则g（x）在[0，+∞）上递减，∴g（x+1）＞g（x-1）⇒g（|x+1|）＞g（|x-1|）⇒|x+1|＜|x-1|⇒（x+1）2＜（x-1）2，∴x＜0，即不等式的解集为（-∞，0）；故答案为：（-∞，0）．16.【答案】2【解析】【分析】利用正方体的特殊性得到PG与平面EFG垂直,设AG=x,建立体积关于x的函数,巧借不等式求得最大值,此题考查了三棱锥体积的求法和利用不等式求解最值等问题,难度适中.【解答】解:在正方体中,易知AC1⊥平面A1BD,∵平面EFG∥平面A1BD,PG∥AC1,∴PG⊥平面EFG,设AG=x，则EG=x，,又,∴,∴PG=（3-x）,∴V P-EFG===2×=2（当且仅当x=2时取等号）,故答案为2．17.【答案】解：（1）∵A+B+C=π，∴cos B=-cos（A+C），∴sin B sin C=cos（A-C）+cos B=cos（A-C）-cos（A+C）=2sin A sin C，∵C∈（0，π），∴sin C＞0，∴sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a．∵，代入b=2a，得：．由a＜b＜c,故而C是最大角，所以．（2）由余弦定理，AD2=AC2+CD2-2AC•CD cos∠ACD，，∴，∴b=2或1．∵b=2a，∴或．∴或．∴△ABC的面积为或．【解析】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin B=2sin A，由正弦定理得b=2a．结合，可求sin C的值，求得C的值，可求cos C的值．（2）由余弦定理解得b的值，解得a的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．18.【答案】解：（1）对y=ae bx取对数，得ln y=bx+ln a，设u=ln y，=ln a，先建立u关于x的线性回归方程．，，，∴模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，即，∴，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好，2021年时，x=13，预测旅游人数为（万人）．【解析】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．（1）对y=ae bx取对数，得ln y=bx+ln a，设u=ln y，=ln a，先建立u关于x的线性回归方程．求得的值，再求出，即可得到模型②的回归方程；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，得到，说明模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好.在（1）中的回归方程中，取x=13，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．19.【答案】解:（1）在矩形ABCD中,取AB中点O,连结DO,与AC交于点E,则AO=1,Rt△ACD与Rt△ODA中,,，∴Rt△ACD∽Rt△ODA,∴∠ADO=∠ACD,∴∠DAE+∠ADE=90°,即DO⊥AC,∵DC∥AO,∴,折起后,DE即为PE,则仍有PE⊥AC,EO⊥AC,则∠PEO即为二面角P-AC-B的平面角,即∠PEO=60°,连结PO,所以在△PEO中,,即∠POE=90°,即PO⊥OE,由前所证,AC⊥PE,AC⊥EO,PE∩EO=E,PE、EO平面PEO，∴AC⊥平面PEO,∵PO平面PEO，∴AC⊥PO,而AC∩EO=E,AC、EO⊂平面ABC,所以PO⊥平面ABC,又∵PO⊂平面PAB,∴平面PAB⊥平面ABC,解:（2）如图,在平面ABC内,过点O作AB的垂线为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系．由（1）得PO=1.，,，设平面PAC的法向量为,则由得,取z1=1,则,由题意知平面PAB的法向量为,设二面角B-PA-C的平面角为θ,因为θ为锐角,则,即二面角B-PA-C的余弦值为．【解析】（1）推导出Rt△ACD∽Rt△ODA,从而∠ADO=∠ACD,进而∠DAE+∠ADE=90°,DO⊥AC,折起后,DE即为PE,则仍有PE⊥AC,EO⊥AC,则∠PEO即为二面角P-AC-B的平面角,即∠PEO=60°,连结PO,推导出AC⊥平面PEO,AC⊥PO,从而PO⊥平面ABC,由此能证明平面PAB⊥平面ABC,（2）过点O作AB的垂线为x轴,OB为y轴,OP为z轴建立空间直角坐标系,求出平面PAC 的法向量和平面PAB的法向量,利用向量法能求出二面角B-PA-C的余弦值.20.【答案】解：（1）根据题意，C1的渐近线方程为，则设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2=3λ，b2=λ，∵曲线的焦距为4，则2c=4，即c=2，∴由a2+b2=c2⇒4λ=4⇒λ=1，故C1的方程为；（2）根据题意，将代入得，由直线l与椭圆C2有两个不同的交点得，即，……①将代入得，由直线l与双曲线C1有两个不同的交点A，B，则有，即且，……②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，则得x1x2+y1y2＜6，而∴，解此不等式得k2＞1，或，……③由①，②，③得，或，故k2的取值范围为．【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系，涉及双曲线的标准方程和几何性质的应用，关键是求出双曲线的标准方程,属于中档题.（1）根据题意，设双曲线C1的方程为（λ＞0），则a2=3λ，b2=λ，结合双曲线的焦距可得a2+b2=c2⇒4λ=4，解可得λ的值，代入双曲线的方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，由直线与椭圆的位置关系可得，①，联立直线与双曲线的方程，进而可得，②，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合根与系数的关系以及向量数量积的计算公式可以用k表示，可得＜6，③，求出①②③三个式子中k的取值范围，综合即可得答案．21.【答案】解：（1）函数f（x）=2ln x-ax2，=．（x∈（0，+∞））．a≤0时，＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．a＞0时，=，可得：函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x=时取得最大值，f（）=-ln a-1=-1，解得a=1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．∵x＞0，∴e x＞1．∴要想证明＜e x只要证明2ln x-x2-3x+4≤x+1，即证明2ln x-x2-4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）=2ln x-x2-4x+3，x∈（0，+∞）．=-2x-4==，可得x0=-1时，函数h（x）取得极大值即最大值，+2x0-1=0．h（x0）=2ln x0--4x0+3=2ln x0-2x0+2．令,则当时，,所以t(x)在（0，1）上递增，所以∴2ln x-x2-4x+3≤0，在x∈（0，+∞）恒成立．∴＜e x在x∈（0，+∞）恒成立．∴f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）恒成立．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）函数f（x）=2ln x-ax2，=．（x∈（0，+∞））．对a分类讨论，利用导数即可得出单调性．（2）由（1）可得：函数f（x）只有在a＞0时，函数f（x）在x=时取得最大值，f （）=-ln a-1=-1，解得a=1．f（x）＜g（x）⇔＜e x．由x＞0，可得e x＞1可知，要想证明＜e x，可以只要证明2ln x-x2-3x+4≤x+1，即证明2ln x-x2-4x+3≤0，x∈（0，+∞）．令h（x）=2ln x-x2-4x+3，x∈（0，+∞）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．22.【答案】解：（1）将椭圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得椭圆C的普通方程：，将代入得：2ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=6，化简得椭圆C的极坐标方程为2ρ2+ρ2sin2θ-6=0，将代入ρcosθ+ρsinθ=1可得直线l的方程为x+y-1=0，故直线l的参数方程为（t为参数）；（2）P的极坐标为（1，），在直线l上，设A、B对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程（t为参数），代入得，则：，，∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=.【解析】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．（1）直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用方程组，整理成一元二次方程根和系数的关系求出结果．23.【答案】解：（I）∵|3a+4b|=10，∴100=（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）=25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|-|x-2|≤4，∴或或解可得，x＜-3或-3∴实数x的取值范围（-∞，]【解析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立⇔|x+3|-|x-2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。
广东省华南师范大学附属中学2024届高三综合测试(三) 数学试题【含答案】
华南师范大学附属中学2024届高三综合测试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若()2i i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要3．一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，则删除的数为（）A ．25B ．30C ．35D ．404．等边ABC 的边长为3，若2AD DC = ，BF FD =，则AF = （）A ．2B ．2C ．2D ．25．某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位：mg /L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为：0e ktM M -=（其中0M ，k 是正常数）．已知经过1h ，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h6．将一副三角板排接成平而四边形ABCD （如图），1BC =，将其沿BD 折起，使得而ABD ⊥面BCD ．若三棱锥A -BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A ．2πB ．7π3C ．8π3D ．3π7．函数()2cos 0πy x x =<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A B C D 8．Ω为样本空间，随机事件A 、B 满足()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，则有（）A ．AB =ΩB ．()1P A B = C ．AB =∅D ．()1P A B =二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b10．已知函数e x y x =+的零点为1,ln x y x x =+的零点为2x ，则（）A ．120x x +>B ．120x x <C ．12e ln 0xx +=D ．12121x x x x -+>11．已知定圆22:(1)16M x y -+=，点A 是圆M 所在平面内一定点，点P 是圆M 上的动点，若线段PA 的中垂线交直线PM 于点Q ，则点Q 的轨迹可能为（）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12．如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第n 个图中阴影部分的面积为.13．已知322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为．14．设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t ≤≤≤≤≤，则x zy t+的最小值为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知函数()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+(0ω>)．(1)若2ω=，求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求ω的值．16．如图，边长为4的两个正三角形ABC ，BCD 所在平面互相垂直，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，点G 在棱AD 上，2AG GD =，直线AB 与平面EFG 相交于点H .(1)证明：//BD GH ；(2)求直线BD 与平面EFG 的距离.17．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为(01)p p <<.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X 为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为(0)a a >元.(1)①写出X 的分布列；②证明：()1E X p<；(2)某公司意向投资该产品.若0.25p =，且试验成功则获利5a 元，则该公司如何决策投资，并说明理由.18．已知函数()sin x f x ae x x -=+-.（1）若()f x 在()0,2π单调递减，求实数a 的取值范围；（2）证明：对任意整数a ，()f x 至多1个零点.19．已知抛物线Γ：()220x py p =>，过点()0,4的直线l 交C 于P ，Q 两点，当PQ 与x 轴平行时，OPQ △的面积为16，其中O 为坐标原点.(1)求Γ的方程；(2)已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y （123x x x <<）为抛物线Γ上任意三点，记ABC 面积为1S ，分别在点A 、B 、C 处作抛物线Γ的切线1l 、2l 、3l ，1l 与2l 的交点为D ，1l 与3l 的交点为E ，2l 与3l 的交点为F ，记DEF 面积为2S ，是否存在实数λ，使得12S S λ=？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.1．A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：因为()()()2i 12i 12i 2i 2i 25i i 5i 5z -+====+++-，所以复数z 在复平面内所对应的点的坐标为12,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A 2．B【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.3．B【分析】根据给定条件，利用中位数的定义求解即得.【详解】依题意，新数据组有6个数，其中位数是2535302+=，显然原数据组有7个数，因此删除的数是中位数30.故选：B 4．A【分析】取BC 中点O，建立直角坐标系，得到1,4AF ⎛=- ⎝⎭，再根据模长的坐标公式即可求解.【详解】如图，取BC 中点O ，建立直角坐标系，则33330,,,0,,0222A B C ⎛⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由2AD DC =，若(,)D x y ，则22333(,(1,3)3322AD AC ==⨯-=- ，所以33(,)(1,3)x y =得：32D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由BF FD = ，若(,)F m n ，则115353(,)()222244BF BD === ，所以353(,)(,24m n +=得：13,44F ⎛- ⎝⎭，所以153,44AF ⎛=- ⎝⎭ ，故2215319442AF ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A 5．A【分析】由题意可得()0.50.8t=，进而利用指数与对数的关系可得0.8log 0.5t =，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可【详解】由题意可知()00120%e kM M --=，所以e 0.8k -=，又因为()00150%e ktM M --=，所以()()e e 0.80.5ttkt k --===，所以0.81lglg 0.5lg 22log 0.54lg 0.82lg 2lg 5lg 5t -====-()lg 2lg 20.30103.1032lg 21lg 23lg 2130.30101---==≈---⨯-，比较接近3，故选：A 6．C【分析】利用面面垂直的性质和线面垂直的判定找到球心的位置即为AD 的中点，再利用球的表面积公式即可.【详解】由题意得BD =，3AB =，因为面ABD ⊥面BCD ，面ABD ⋂面BCD BD =，且AB BD ⊥，AB ⊂面ABD ，则AB ⊥面BCD ，因为CD ⊂面BCD ，所以AB CD ⊥，又因为CD BC ⊥，,BC AB ⊂面ABC ，且BC AB B =I ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以CD AC ⊥，取AD 中点为O ，则AO DO BO CO ===，则球心即为AD 中点，而23AD AB ==，则球的半径为3，则球O 的表面积为28π4π33⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选：C.7．A【分析】根据已知条件及同角三角函数的关系，再利用一元二次方法的解法及中点坐标公式，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】由()2cos 3tan 0,πx x x =∈，可得22cos 3sin x x =，即222sin 3sin x x -=，即22sin 3sin 20x x +-=,解得1sin 2x =或sin 2x =-（舍），因为()0,πx ∈，所以π5π,66x x ==.所以π5π,66A B ⎛⎛ ⎝⎝，所以线段AB 的中点C 的坐标为π,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以(11π2222OAB A B S OC y y =-=⨯-=.故选：A.8．B【分析】以正态分布为背景，举反例判断ACD ，利用概率和公式判断B.【详解】设()20,1X N ~，对于A ，若事件{}0A X =>，事件{}0B X =<，则()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，但A B ⋃≠Ω，选项A 错误；对于C ，若事件{}0A X =≥，事件{}0B X =≤，则()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，但AB ≠∅，选项C 错误；对于D ，若事件{}0A X =>，事件{}0B X =<，则()()12P A P B ==，()1P A B ⋃=，但()()()0P AB P A B P B ==，选项D 错误；对于B ，因为()1P A B ⋃=，所以()()()1P A P B P AB ++=，又()()12P A P B ==，所以()0P AB =，所以()()11P A B P AB ⋃=-=，B 正确；故选：B.9．ABC【分析】A.利用直线与平面的位置关系判断；B.利用平面与平面的位置关系判断；C.利用平面与平面的位置关系判断；D.利用线面垂直的性质定理判断.【详解】A.若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α或a α⊂，故错误；B.若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥β或α与β相交，故错误；C.若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α与β平行或相交，故错误；D.若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b ，故正确；故选：ABC 10．BC【分析】利用函数零点的意义，结合函数e x y =与ln y x =互为反函数，确定12,x x 的关系，再逐项分析判断得解.【详解】依题意，1111e 0e x xx x +=⇔=-，2222ln 0ln x x x x +=⇔=-，则12,x x 分别是直线y x =-与函数e x y =，ln y x =图象交点的横坐标，而函数e x y =与ln y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，又直线y x =-垂直于直线y x =，则点11(,e )xx 与点22(,ln )x x 关于直线y x =对称，则121e 0x x x ==->，于是120x x +=，120x x <，12e ln 0xx +=，BC 正确，A 错误；1212121(1)(1)0x x x x x x -+-=-+<，即12121x x x x -+<，D 错误.故选：BC11．ABD【分析】Q 是线段PA 的中垂线上的点，可得QA PQ =．对点A 的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．【详解】因为Q 是线段PA 的中垂线上的点，QA PQ =，若A 在圆M 内部，且不为圆心，则4MA <，4QM QA QM QP +=+=，所以Q 点轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆，故A 正确；若A 在圆M 外部，则4QA QM PQ QM PM -=-==，||4MA >，所以Q 点轨迹是以M ，A 为焦点的双曲线，故B 正确；若A 在圆M 上，则PA 的中垂线恒过圆心M ，即Q 的轨迹为点M ．若A 为圆M 的圆心，即A 与M 重合时，Q 为半径PM 的中点，所以Q 点轨迹是以M 为圆心，以2为半径的圆，故D 正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C 错误，故选：ABD 12133(4n -【分析】由题意先求出图1，2，3中阴影部分的面积，根据规律归纳出答案.【详解】图1中阴影部分的面积为21132322S =⨯=图2中阴影部分的面积为2133344S S =⨯=图3中阴影部分的面积为23233344S S ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭由此规律，可得图n 中阴影部分的面积为1334n n S -⎛⎫== ⎪⎝⎭133(4n -13．80【分析】根据题意，由各项系数之和可得n ，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.【详解】由题意，令1x =，则3243n =，解得5n =，则322nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式第1r +项()5315515522C 2C rr r r r rr T x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1550r -=，解得3r =，所以335C 210880⋅=⨯=.故答案为：8014．15##0.2【分析】令1100x t ==，，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得1100x z z y t y +≥+，结合基本不等式和1zy≥计算即可．【详解】因为1100x y z t ≤≤≤≤≤，所以1z y≥,所以111005x z z y t y +≥+≥≥=，当且仅当1100zy =即100yz =时等号成立，即x z y t +的最小值为15.故答案为：15.15．(1)12；(2)1．【分析】(1)直接代入2ω=及6x π=计算即可；(2)化简f (x )解析式，根据()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减可知该区间长度小于或等于f (x )的半个周期，再结合012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0ω>可得ω的值．【详解】（1）∵2ω=，∴211311cos sin 633322422f ππππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭．（2）()21cos sin 2f x x x x ωωω=-+1cos21sin 22226x x x ωπωω-⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭∵()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，∴2263T πππ≥-=，即2223T ππω=≥，∴302ω<≤．∵012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴sin 01266f πωππ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ,Z 66k k ω-+=∈即()16k k ω=-∈Z ，所以当0k =时，1ω=.此时()f x =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，732,,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故此时()f x 单调递减，符合题意.综上，1ω=.16．(1)证明见解析2【分析】（1）首先证明//BD 平面EFG ，再由线面平行的性质证明即可；（2）连接EA ,ED ，以点E 为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得.【详解】（1）因为E 、F 分别为BC 、CD 的中点，所以//EF BD ，又BD ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//BD 平面EFG ，又BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFG GH =，所以//BD GH .（2）由（1）知，//BD 平面EFG ，则点B 到平面EFG 的距离即为BD 与平面EFG 的距离，连接EA ,ED ，由,ABC BCD 均为正三角形，E 为BC 的中点，得,EA BC ED BC ⊥⊥，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,BCD BC AE =⊂平面ABC ，于是⊥AE 平面BCD ，又ED ⊂平面BCD ，则EA ED ⊥，以点E 为原点，直线,,EB ED EA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B，()F -，又(0,0,A，()0,D ，又2AG GD =，可得0,33G ⎛ ⎝⎭，所以()2,0,0EB =，()EF =-，0,33EG ⎛= ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面EFG 的一个法向量为(,,)n x y z =，则04323033EF n x EG n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，得)2n =- ，设点B 到平面EFG 的距离为d ，则||||EB n d n ⋅== ，所以BD 与平面EFG17．(1)①答案见解析；②证明见解析(2)应该投资，理由见解析【分析】（1）由题意，1,2,3,...,10X =，19()(1),1,2,,9,(10)(1)k P X k p p k P X p -==-===- ，列出分布列即可；列出()E X ，乘公比错位相减法求和0128(1)2(1)3(1)9(1)S p p p p =-+-+-++- ，分析可证明()1E X p<；（2）由（1）1()4E X p <=，分析即得解【详解】（1）①由题意，1,2,3,...,10X =故19()(1),1,2,,9,(10)(1)k P X k p p k P X p -==-===- 分布列如下：X 12345678910P p (1)p p -2(1)p p -3(1)p p -4(1)p p -5(1)p p -6(1)p p -7(1)p p -8(1)p p -9(1)p -②02918()(1)2(1)3(1)9(1)10(1)E X p p p p p p p p p =-+-+-++-+- ，记0128(1)2(1)3(1)9(1)S p p p p =-+-+-++- ，1239(1)(1)2(1)3(1)9(1)p S p p p p -=-+-+-++- ，作差可得，()()()()()()()90128991111119191p pS p p p p p p p --=-+-+-++---=-- ，则910991(1)1(1)1()10(1)(1)p p E X pS p p p p p ----=+-=+-=<，即证.（2）由（1）可知1()4E X p<=，则试验成本的期望小于4a ，又获利5a 大于成本的期望，则应该投资.18．（1）[0,)+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）把()f x 在()0,2π单调递减，转化为()cos 1x a e x ≥-在()0,2x π∈上恒成立，令()()()cos 1,0,2x g x e x x π=-∈，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可求解；（2）令()sin x x x ϕ=-，得到0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->，令函数()()()sin x x f x F x a e x x e-==+-，得到()F x 与()f x 零点一致，结合导数求得函数()F x 单调性与最值，以及零点的知识，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()sin x f x ae x x -=+-，可得'()cos 1x f x ae x -=-+-.因为()f x 在()0,2π单调递减，所以对()0,2x π∈，恒有'()0f x ≤成立，即()cos 1x a e x ≥-在()0,2x π∈上恒成立，令()()()cos 1,0,2x g x e x x π=-∈，则()(cos 1sin )14x x g x e x x e x π⎫⎛⎫'=--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎭，令'()0g x =，解得32x ππ=，则当30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0g x >，()g x 单调递增.又()()00,20g g π==，所以当()0,2x π∈时，()max 0g x <，所以0a ≥，即实数a 的取值范围是[0,)+∞.（2）令()sin x x x ϕ=-，则'()cos 10x x ϕ=-≤，所以()ϕx 单调递减，又因为()00ϕ=，所以0x ≥时，sin 0x x -≤；0x <时，sin 0x x ->.令()()()sin x x f x F x a e x x e-==+-，则()F x 与()f x 零点一致，当0x ≥时，()()()()sin cos 10x F x e x x x '=-+-≤，所以()F x 递减，()()0F x F a ≤=；当0x <时，有(sin )(1)x x a a e x x a e x <+-≤+-，令()(1)(0)x G x a e x x =+-<，因为'()0x G x xe =->，()G x 在(),0∞-递增，所以0()(0)(10)1G x G a e a <=+-=+.综上，当0a ≥时，()F x 在0x ≥有唯一零点，在0x <恒正不存在零点；当1a ≤-时，()10F x a <+≤，不存在零点.即对任意整数a ，函数()F x 至多1个零点，所以()f x 至多1个零点.【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.19．(1)24x y =；(2)存在，2【分析】（1）由题意可得4P Q y y ==，则p Q x x ==，再由OPQ △的面积为16，列方程可求出p ，从而可求得Γ的方程；（2）表示出直线AC 的方程，直线2x x =与AC l 的交点为T ，求出点T 的坐标，则表示出1S ，利用导数的几何意义求出1l 、2l 、3l 的方程，求出,,D E F 的坐标，表示出2S ，化简计算可得结论.【详解】（1）当PQ 与x 轴平行时，4P Q y y ==，因为P ，Q 两点均在抛物线C 上，所以p Q x x ==，即PQ =，因为OPQ △的面积为16，所以14162⨯=，解得2p =，则Γ的方程为24x y =；（2）直线AC 的斜率为：1313AC y y k x x -=-，则AC l ：()133111y y y y x x x x --=--，直线2x x =与AC l 的交点为T ，则点T 为()()13212113,y y x x x y x x ⎛⎫--+ ⎪-⎝⎭，所以()()132112131312ABC y y x x S y y x x x x --=+-⨯--△()()()()1321121312y y x x y y x x =--+--（∗）()()()32121313212y y x y y x y y x =-+-+-（∗∗）所以：222222321321112312444x x x x x x S x x x ---=⨯+⨯+⨯()()()22232113221318x x x x x x x x x =-+-+-由24x y =，得12y x '=，令1x x =，则1l 的斜率1112k x =，则有：()2111142x y x x x -=-，即1l ：21124x x y x =-，同理：2l ：22224x x y x =-，3l ：22224x x y x =-，1l 与2l 相交得：2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得：1212,24x x x x D +⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理可得：1313,24x x x x E +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2323,24x x x x F +⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理由（∗∗）可知231313232331121212212442442442x x x x x x x x x x x x x x x x x x S +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()21123232131331212424242x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-+=++()()()222222321132213116x x x x x x x x x =-+-+-所以122S S =，所以存在2λ=，使得122S S =【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义，考查抛物线中三角形的面积问题，第（2）问解题的关键是用三点坐标表示出这三点围成的三角形的面积，考查计算能力，属于较难题.。
华南师大附中月考三参考答案-定稿
(
(
)
)
(
)
∴ SA = 2,1, − 3 ， SB = 2,3, − 3 ， SC = −2,3, − 3 ，
设 n = ( x, y, z ) 是平面 SBC 的法向量，
n SB = 0,
则
n SC = 0,
(
2 x + 3 y − 3 z = 0,
即
−2 x + 3 y − 3 z = 0,
因为 f ( x0 ) =
令 g ( x) = −
1 2
1
1
x0 − ax0 + b ln x0 = x02 − ( x02 + b) + b ln x0 = − x02 − b + b ln x0 ，
2
2
2
1 2
x + b ln x − b ， x (0, b ) ，
2
则原命题转化为 g ( x) 0 在 (0, b ) 上恒成立；
（2）因为 B =
3
3
.
，所以由 cos ( A − C ) + cos B =
3
，可得 cos ( A − C ) = 1 ，
2
由 A ， C 为锐角，可得 A − C = 0 ，可得 A = C = B =
3
，因此 a = b = c ，
又 a + c = 4 ，所以 a = c = 2 ，即 a = b = c = 2
求导得 g '( x) = − x +
b b − x2
=
0 ，所以 y = g ( x) 在 (0, b ) 上单调增，
x
广东省广州市华南师大附中2021届高考数学综合测试试卷(三)(含答案解析)
广东省广州市华南师大附中2021届高考数学综合测试试卷(三)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知函数f(x)={cos(1−x 2),x <0−tan2x,x ≥0，则f[f(π8)]=( )A. −1B. 0C. 1D. 22.已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为，则( )．A.B. −1C. 2D. 13.已知等式，则的值分别为 A.B.C.D.4.数列{a n }的通项公式a n =√n +1−√n(n ∈N ∗)，若前n 项的和S n =10，则项数n 为( )A. 10B. 11C. 120D. 1215.已知点是椭圆上的一点，是的左右焦点，若，则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.6.已知一个圆锥内接于球O(圆锥的底面圆周及顶点均在球面上)，若球的半径R =5，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为( )A. 128πB. 32πC.128π3D.32π37.设，且，则A.B. 10C. 20D. 1008.若直线2x −y +c =0按向量a⃗ =(1,−1)平移后与圆x 2+y 2=5相切，则c 的值为( ) A. 8或−2 B. 6或−4 C. 4或−6 D. 2或−8二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.已知函数f(x)=sin(2x −3π2)(x ∈R)，下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)是偶函数C. 函数f(x)的图象关于点(π4,0)中心对称 D. 函数f(x)在[0,π2]上是增函数10. 已知各项均为正数且单调递减的等比数列{a n }满足a 3，32a 4，2a 5成等差数列，其前n 项和为S n ，且S 5=31，则( )A. a n =(12)n−5B. a n =2n+3C. S n =32−12n−5 D. S n =2n+4−1611. 已知a ，b ∈R ∗且a +b =1，那么下列不等式中，恒成立的有( )A. ab ≤14B. ab +1ab ≥174C. √a +√b ≤√2D. 1a +12b ≥2√212. 下列命题正确的是( )A. “x ≤1”是“|x|≤1”的既不充分又不必要条件B. “a >b >0”是“lna >lnb ”的充要条件C. 命题“∃x 0∈(0,+∞)，lnx 0=x 0−1”的否定是“∀x ∈(0,+∞)，lnx ≠x −1”D. 函数f(x)=e x +x −2存在唯一零点x 0，且x 0∈(0,1)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设双曲线x 2a 2−y 29=1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y =0，则正数a 的值为______ ．14. 若实数x,y 满足{x −y +1≥02x +y −2≥0x −1≤0，则z =54x+3y 的最小值为___． 15. 在中，角、、所对的边分别是，，，若，，，则的值为 ．16. 设函数ℎt (x)=3tx −2t 32，若有且仅有一个正实数x 0，使得ℎ4(x 0)≥ℎt (x 0)对任意的正实数t 成立，则x 0= ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 6=14，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的前三项． (Ⅰ)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(Ⅱ)设c n =a n −b n ，求数列{c n }的前n 项和．18. 已知函数f(x)=sin2x −2sin 2x(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及f(x)取最大值时x的集合并求函数f(x)的单调增区间．19.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1，PQ分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：PQ⊥平面A1BC；(2)求二面角Q−A1C−B的余弦值．20.如图，设抛物线的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且，线段AB的中点到y轴的距离为3．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线与圆切于点P，与抛物线C切于点Q，求的面积．21. 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]频数6a24b(Ⅰ)求a，b，c的值；(Ⅱ)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)；(Ⅲ)某评估机构以指标M(M=E(ξ)，其中D(ξ)表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效．若D(ξ)M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在(Ⅱ)的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？22. 已知函数g(x)=2alnx+x2−2x，a∈R．(1)若函数g(x)在定义域上为单调增函数，求a的取值范围；(2)设A，B是函数g(x)图象上的不同的两点，P(x0,y0)为线段AB的中点．(i)当a=0时，g(x)在点Q(x0,g(x0))处的切线与直线AB是否平行？说明理由；(ii)当a≠0时，是否存在这样的A，B，使得g(x)在点Q(x0,g(x0))处的切线与直线AB平行？说明理由．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵f(π8)=−tan(2×π8)=−tanπ4=−1，则f(−1)=cos[1−(−1)2]=cos0=1，故选：C根据分段函数的表达式代入进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式利用代入法进行求解是解决本题的关键．2.答案：D解析：试题分析：由题意可知，因为，所以B(0,1)，因为，由的几何意义，以及的最小值为2，可得在方向上的投影为，所以此时P，B重合．这说明曲线C：在点B(0,1)处的切线与垂直，∴，所以，所以a=1考点：本题考查指数函数的图像与性质；平面向量数量积的运算点评：解决本题的关键是熟练掌握两个向量的数量积的定义以及几何意义3.答案：D解析：试题分析：根据题意，由于等式，则，的值分别为可知答案为D。
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广东省华南师范大学附属中学2021届高三数学月考试题（三）理（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号等填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答第Ⅱ卷时，用黑色钢笔或签字笔将答案写在答卷上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知复数14z i =-，24z i =+，则12z z i等于（ ） A. 15i B. 15i -C. 17iD. 17i -【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法和除法运算法则可求得结果. 【详解】()()12441717i i z z i i i i-+===- 故选：D【点睛】本题考查复数的乘法和除法混合运算，属于基础题. 2.设集合A ={5，ba，a -b }，B ={b ，a +b ，-1}，若A ∩B ={2，-1}，则A ∪B =（ ） A. {}2,3B. {1,-2，5}C. {2,3，5}D. {1,-2，3，5}【答案】D【解析】 【分析】根据A∩B＝{2，－1}，得21b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩或12ba ab ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，求得a b 、代入集合B 中检验，即可求得结果. 【详解】A∩B＝{2，－1}，{}5,2,1A ∴=-，21b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩或12b a a b ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩（1）当12a b ==，时，{}2,3,1B =-满足题意，{}1,2,3,5A B ⋃=- （2）当11a b ==-，时，{}1,0,1B =--不满足集合元素的特征，舍去 综上{}1,2,3,5A B ⋃=- 故选D.【点睛】本题考查集合中元素的特征，根据题意由其中一个集合条件解出未知数，代入另一个集合检验是常用的解题思路，考查了分类讨论思想，属于基础题.3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：因为直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b l ⊥，若αβ⊥，根据面面垂直的性质定理，,b α⊥一定有b a ⊥；反之，当b a ⊥，若a l 时，αβ⊥不一定成立，所以“a b ⊥”是“αβ⊥”的必要不充分条件，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、面面垂直的判定与性质. 4.若110a b<<，则下列四个不等式恒成立的是（ ）A. ||||a b >B. a b <C. 33a b <D.a b ab +<【答案】D 【解析】 【分析】由不等式可得0b a <<，依次验证各个选项可得结果. 【详解】110a b<< 0b a ∴<< a b ∴<，a b <，33b a <，可知,,A B C 错误；0ab >，0a b +< a b ab ∴+<，D 正确.故选：D【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.5.过抛物线22y x =的焦点作一条直线与抛物线交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于1，则这样的直线（ ） A. 有且仅有零条 B. 有且仅有一条C. 有且仅有两条D. 有且仅有四条 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB 与抛物线的通径长相等可确定这样的直线有且仅有一条. 【详解】由抛物线方程知其通径长为：22p =由抛物线焦点弦公式可知：12112AB x x p =++=+=，与通径长相等∴这样的直线有且仅有一条故选：B【点睛】本题考查抛物线中焦点弦的相关问题，涉及到抛物线焦点弦长的求解，需明确焦点弦中最短的为通径.6.如图，在三棱锥O ABC -中，1OA OB OC ===，90AOB ︒∠=，OC ⊥平面AOB ，D 为AB 中点，则OD 与平面OBC 所成的角为（ ）A.4π B.3π C.2π D.34π 【答案】A 【解析】 【分析】取OB 中点E ，由线面垂直性质可得DE OC ⊥，由三角形中位线性质可得DE OB ⊥，从而根据线面垂直判定定理证得DE ⊥平面OBC ，由线面角定义可知DOE ∠为所求角；利用等腰三角形性质可求得结果.【详解】取OB 中点E ，连接DEOC ⊥平面OAB ，DF ⊂平面OAB DE OC ∴⊥,D E 分别为,AB OB 中点 //DE OA ∴，又AOB 90∠= DE OB ∴⊥,OB OC ⊂平面OBC ，OB OC O = DE ∴⊥平面OBCDOE ∴∠即为OD 与平面OBC 所成角OA OB =，D 为AB 中点 1452DOE AOB ∴∠=∠=，即4π OD ∴与平面OBC 所成角为4π故选：A【点睛】本题考查直线与平面所成角的求解问题，关键是能够结合线面垂直性质与判定定理、三角形中位线的性质，在图形中找到垂直关系，从而确定直线与平面所成角. 7.函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.8.若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A. [-1，+∞] B. （-1，+∞）C. （-∞，-1]D. （-∞，-1）【答案】C 【解析】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．9.已知,αβ为锐角，11sin(2),cos 53αββ+==，则sin()αβ+的值为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】 根据cos cos3πβ<可得到32ππβ<<，从而确定23232ππαβ<+<，由同角三角函数可求解出sin β和()cos 2αβ+，利用两角和差正弦公式可求得结果.【详解】11cos cos 323πβ=<=且β锐角 32ππβ∴<<sin β∴=又02πα<<23232ππαβ∴<+<，又()1sin 25αβ+= ()cos 25αβ∴+=-()()()()sin sin 2sin 2cos cos 2sin αβαββαββαββ∴+=+-=+-+⎡⎤⎣⎦111535315⎛⎫+=⨯--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ 故选：D【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式求解三角函数值的问题，关键是能将所求角利用已知角配凑出来，进而利用公式进行求解；易错点是在求解同角三角函数值时，未将角的范围确定准确，造成三角函数值的符号求解错误.10.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 1sin 2B C =，22(3)cos a b C CA CB -=⋅，则角C =（ ）A.6π B.3π C.2π或6π D.3π或2π 【答案】D 【解析】分析：由正弦定理得12b c =，即2c b =，又由22(3)cos a b C CA CB -=⋅，得22(3)cos cos a b C ab C -=，所以cos 0C =或223a b ab -=，分类讨论即可求解C 角的大小.详解：因为sin 1sin 2B C =，由正弦定理得12b c =，即2c b =， 由22(3)cos a b C CA CB -=⋅，得22(3)cos cos a b C ab C -=， 所以cos 0C =或223a b ab -=， 当cos 0C =时，2C π=；当223a b ab -=时，由余弦定理得222222222222(2)31cos 22(3)2(3)2a b c a b b a b C ab a b a b +-+--====--，所以3C π=， 综上所述：2C π=或3C π=.点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.11.如图所示，已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，3,2,60EA EB AD AEB ︒===∠=，则多面体E ABCD -的外接球的表面积为（ ）A.163πB. 8πC. 16πD. 64π【答案】C 【解析】 【分析】取AB 中点F ，由等腰三角形三线合一和面面垂直的性质可确定EF ⊥平面ABCD ，取,AC BD 交点G ，可知球心O 与G 的连线OG ⊥平面ABCD ；作//OM FG ，假设OG MF x ==，分别在Rt EOM ∆和Rt OGB ∆中利用勾股定理可构造关于x 和球的半径R的方程组，解方程组求得R ，代入球的表面积公式即可求得结果.【详解】取AB 中点F ，连接EF ；连接,AC BD ，交于点G ，连接FG ； 设O 为E ABCD -外接球球心，连接OG ，过O 作//OM FG ，交EF 于点M四边形ABCD 为矩形 G ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心 由球的性质可知：OG ⊥平面ABCDEA EB =，F AB 中点 EF AB ∴⊥平面EAB ⊥平面ABCD ，平面EAB ⋂平面ABCD AB = EF ∴⊥平面ABCD//OG EF ∴，又//OM FG ∴四边形OMFG 为平行四边形 112OM FG AD ∴===，OG MF = 60AEB ∠=，EA EB = EAB ∴∆为等边三角形 3AB ∴=又933942EF =-=，11139422BG BD ==+= 设OG MF x ==，E ABCD -外接球半径为R则222222331132x R x R ⎧⎫⎪-+=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：24R = ∴多面体E ABCD -的外接球的表面积2416S R ππ==故选：C【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够根据垂直关系以及球的性质确定球心的位置，通过直角三角形勾股定理来构造出关于球的半径的方程，解方程求得球的半径，进而求得结果.12.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2021项的和为（ ） A. 20192020-B. 20202019-C. 20202021-D. 20212020-【答案】C 【解析】 【分析】先根据和项与通项关系得11n n a a --=，再根据等差数列定义与通项公式、求和公式得,n n a S ，代入化简n c ，最后利用分组求和法求结果. 【详解】因为()2*2,0n n n nS a a n Na=+∈>，所以当1n =时，21112a a a =+，解得11a =，当2n ≥时，()()2211122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+，所以 ()()1110n n n n a a a a --+--=， 因0n a >，所以11n n a a --=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为1，首项为1， 所以()()111,2n n n n a n n S +=+-==， 所以()()()2121111112(1)1nn n n n n a n c s n n n n ++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++⎝⎭， 则数列{}n c 的前2021项的和11111111202011223342020202120212021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C【点睛】本题考查根据和项求通项、等差数列定义、等差数列通项公式与求和公式以及分组求和法，考查基本分析求解能力，属中档题.第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，满分20分）13.己知函数23()21x x a f x ⋅+=-在定义域内为奇函数，则实数a=_______．【答案】3 【解析】 【分析】由题得f(-x)+f(x)=0,由此化简求出a 的值.【详解】由题得f(-x)+f(x)=0,所以323232320,0,121212112xxx x xx x x a a a a --+⋅+⋅+⋅++=∴+=---- 322332230,0122121x x x x x x x a a a a +⋅⋅+--⋅+⋅+∴+=∴=---，32230,2(3)(3)0,x x x a a a a ∴--⋅+⋅+=∴---= (21)(3)0,3x a a ∴--=∴=.故答案为3【点睛】本题主要考查奇偶性的性质和指数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918S =-，1352S =-，等比数列{}n b 中，55b a =，77b a =，则15b 的值为___________.【答案】64-. 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，利用1a 和d 表示出913,S S ，解方程组可求得1a 和d ，由等差数列通项公式求得57,a a ，即57,b b ，进而求得等比数列的2q ，根据等比数列通项公式可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 公差为d则91113119899361821312131378522S a d a d S a d a d ⨯⎧=+=+=-⎪⎪⎨⨯⎪=+=+=-⎪⎩，解得：121a d =⎧⎨=-⎩5514242b a a d ∴==+=-=-，77164b a a d ==+=-设等比数列{}n b 公比为q ，则2752b q b == 841574264b b q ∴==-⨯=- 故答案为：64-【点睛】本题考查等差和等比数列的综合应用问题，涉及到等差数列和等比数列的通项公式、等差数列前n 项和公式的应用，属于基础公式的应用问题.15.已知过点()2,2P 的直线与圆()2215x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =__________．【答案】2 【解析】设切线为0x ay m ++=，因为过()2,2P ，故22m a =--，所以切线为220x ay a +--=，又圆心到它的距离为d r ===2a =，故填2．16.若关于x 的方程2||2x kx x =+恰有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(1,)+∞. 【解析】 【分析】将所给方程有四个不同的实根转化为函数1y k =的图象和函数()()()2,02,0x x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩的图象有3个交点，通过数形结合的方式来确定1k的范围，进而求得结果. 【详解】关于x 的方程22x kx x =+有四个不同的实根，且0x =是此方程的一个根∴关于x 的方程12k x x =+有3个不同的非零的实数解∴方程()()2,012,0x x x x x x k ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩有3个不同的非零的实数解，即函数1y k =的图象和函数()()()2,02,0x x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩的图象有3个交点画出函数()g x 图象，如图所示：∴当101k <<，即1k >时，函数1y k =和函数()()()2,02,0x x x g x x x x ⎧+>⎪=⎨-+<⎪⎩有3个交点即当()1,k ∈+∞时，方程22x kx x =+恰有四个不同的实根故答案为：()1,+∞【点睛】本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为两函数的交点个数的问题，通过数形结合的方式，结合函数图象可确定参数的取值范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.若向量()3sin ,sin a x x ωω=，()cos ,sin b x x ωω=，其中0>ω，记函数()12f x a b =⋅-，若函数()f x 216π+. （I ）求()f x 的表达式；（II ）设ABC ∆三内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，若3a b +=，3c =，()1f C =，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；3【解析】 【分析】（I ）利用平面向量数量积运算、二倍角和辅助角公式将函数化为()sin 26f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭，根据两相邻极值点之间距离可构造方程求得函数的最小正周期，由此可求得ω，进而得到函数解析式；（II ）根据C 的范围和()1f C =可求得3C π=，利用余弦定理可构造方程求得ab ，代入三角形面积公式即可求得结果. 【详解】（I ）()211cos sin sin 2cos 2sin 22226f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭()f x 相邻两个极值点之间距离为2，即2=T π∴=，即22ππω=，解得：1ω= ()sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（II ）由()1f C =得：sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 0C π<< 112666C πππ∴-<-< 262C ππ∴-=，解得：3C π=3a b +=，c =2222cos3c a b ab π=+-()233a b ab +-=∴，即：2ab =ABC ∆∴的面积1sin 22S ab C ==【点睛】本题考查三角函数和解三角形的综合应用问题，涉及到平面向量数量积运算、利用二倍角和辅助角公式化简三角函数、正弦型函数周期性的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，AP BP ⊥，AC BC ⊥，60PAB ∠=，45ABC ∠=，D 是AB 中点，,E F 分别为,PD PC 的中点.（Ⅰ）求二面角B PA C --的余弦值；（Ⅱ）在棱PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面AEF ？若存在，求PMPB的值；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ）217；（Ⅱ）存在，23.【解析】 【分析】（Ⅰ）取AD 中点O ，连接PO ，根据直角三角形性质和等腰三角形三线合一可证得PO AB ⊥，由面面垂直性质知PO ⊥平面ABC ；作//OG CD ，由等腰三角形三线合一和平行关系可知OG AB ⊥，从而可得到,,PO OG AB 两两互相垂直，可建立起空间直角坐标系；利用二面角的向量求法可求得结果；（Ⅱ）设PM PB λ=，可表示出M 坐标；根据线面垂直的判定定理可证得PD ⊥平面AEF ，进而得到平面AEF 的法向量PD ，若线面平行关系成立，则0CM PD ⋅=，由此构造方程可求得λ，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）在PAB ∆中，取AD 中点O ，连接POAP BP ⊥，D 为AB 中点 PD AD ∴=又60PAB ∠= PAD ∴∆为等边三角形 PO AB ∴⊥ 在平面ABC 中，过O 作CD 的平行线，交AC 于GAC BC ⊥，45ABC ∠= AC BC ∴=，又D 为AB 中点 CD AB ∴⊥又//OG CD OG AB ∴⊥平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PO ⊂平面PABPO ∴⊥平面ABC ，又OG ⊂平面ABC PO OG ∴⊥,,OG OB OP 两两垂直，如图可建立空间直角坐标系O xyz -设4AB a =，则()0,,0A a -，()0,3,0B a ，()2,,0C a a ，()3P a ，()0,,0D a ，30,,22a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,,22a F a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭则()2,2,0AC a a =，()0,,3PA a a =-- 设平面PAC 的法向量(),,n x y z =则00n AC n PA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，则3y =3x ()3,3,1n ∴=-又平面PAB 的一个法向量为()2,0,0DC a =2321cos ,72n DC a n DC an DC⋅∴===⨯⋅二面角B PA C --为锐二面角 ∴二面角B PA C --的余弦值为217（Ⅱ）设M 是棱PB 上一点，则存在[]0,1λ∈使得：PM PB λ=∴点()()0,331M a a λλ-，则()()()2,3131CM a a a λλ=---由（Ⅰ）知：CD ⊥平面PAB CD PD ∴⊥ //EF CD EF PD ∴⊥又PAD ∆为等边三角形，E 为PD 中点 AE PD ∴⊥,EF AE ⊂平面AEF ，EF AE E = PD ∴⊥平面AEF∴平面AEF 的一个法向量为()0,,3PD a a =-CM ⊄平面AEF //CM ∴平面AEF 当且仅当0CM PD ⋅=时成立即()()()()()()222,31,310,,331310a a a a a a a λλλλ---⋅-=---=解得：23λ=∴在棱PB 上存在点M ，使得//CM 平面AEF ，此时23PM PB λ== 【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用问题，涉及到二面角的求解、存在性问题的求解；求解存在性问题的关键是能够通过共线向量将未知数减少为一个，进而根据线面平行关系可确定所证向量与平面法向量垂直，由此构造方程求得结果.19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025db -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀，某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望：（Ⅱ）现选出一名同学参加另一项测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1，2，3，4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1234,,,a a a a （其中1234,,,a a a a 为1，2，3，4的一个排列），记12341234Y a a a a =-+-+-+-，可用Y 描述两次排序的偏离程度，求2Y ≤的概率.【答案】（Ⅰ）分布列见解析，1.6；（Ⅱ）16.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图可得到听力等级分别为(]0,5和(]5,10的人数，根据超几何分布的概率公式可分别求得X 所有可能的取值对应的概率，从而得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（Ⅱ）首先确定所有排列总数，利用列举法列出Y 0=和2Y =的所有可能的情况，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】（Ⅰ）听力等级为(]0,5的有0.0165504⨯⨯=人；为(]5,10的有0.0245506⨯⨯=人 则X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4()46410151021014C P X C ====；()1346410808121021C C P X C ====；()224641*********C C P X C ====，()3146410244321035C C P X C ====；()4441014210C P X C ===X ∴的分布列为：()341471********* 1.621210E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅱ）序号1234,,,a a a a 的排列总数为4424A =种当Y 0=时，11a =，22a =，33a =，44a = 当123412342Y a a a a =-+-+-+-=时，1234,,,a a a a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =或11a =，23a =，32a =，44a =或12a =，21a =，33a =，44a =()412246P Y ∴≤== 【点睛】本题考查超几何分布的分布列与数学期望的求解、古典概型概率问题的求解，涉及到频率分布直方图的应用等知识；求解分布列问题的关键是能够结合频率分布直方图确定随机变量所有可能的取值，进而计算得到每个取值所对应的的概率，属于常考题型.20.已知椭圆2222C :1(0)y x a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F 过点1F 与y 轴垂直的直线交椭C 于,M N 两点，2MNF ∆C 的离心率为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知O 为坐标原点，直线y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆交于,A B 两个不同的点，若存在m 使得34OA OB OP +=，求m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214y x +=；（Ⅱ）()()2,11,2--⋃. 【解析】 【分析】（Ⅰ）令y c =可求得MN ，进而表示出2MNF ∆的面积，与离心率和椭圆,,a b c 关系一起可构成方程组求得22,a b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由向量线性运算可知3AP PB =，从而得到,A B 横坐标之间关系为123x x =-；将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用123x x =-，即()21212340x x x x ++=可求得22241m k m -=-，根据联立后的二次方程>0∆可构造出关于m 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距2c当y c =时，2122b MN x x a=-=2MNF ∴∆的面积为212122b cMN F F c MN a⨯⨯===又c e a ==222a b c =+，解得：21b =，24a = ∴椭圆C 的标准方程为：2214y x +=（Ⅱ）由34OA OB OP +=得：1344OP OA OB =+ 3AP PB ∴= 设()11,A x y ，()22,B x y 由22440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得：()2224240k x mkx m +++-= 则()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>12224x km x k -∴+=+，212244m x x k -=+由3AP PB =得：123x x =- ()21212340x x x x ∴++=()()2222224412044m k m k k-∴+=++ 222240m k m k ∴+--=显然21m =不成立 22241m k m -∴=-2240k m -+> 2224401m m m -∴-+>-，即()222401m m m ->- 解得：21m -<<-或12m <<m ∴的取值范围为()()2,11,2--⋃【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到平面向量在椭圆中的应用；解题关键是能够根据平面向量的线性运算得到比例关系，从而得到横坐标之间的关系，利用韦达定理和判别式来构造方程和不等式求得结果.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21xg x x e ax =-+，a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()22f ,处的切线方程； （2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （3）证明()()f x g x ≤.【答案】（1）65y x =-（2）0,（3）见解析【解析】 试题分析： （1）求出导数'()f x ，计算'(2)f 得切线斜率，由点斜式写出直线方程，整理成一般式即可；（2）函数()g x 有两个零点，首先用导数来研究函数的性质：单调性、极值，然后由零点存在定理进行判断，求出'()(2)xg x x e a =+，按a 分类讨论，0a =时，()(1)xg x x e =-只有一个零点；0a >时，20x e a +>，这样易判断'()g x 的正负，从而得()g x 的单调区间和极值，由零点存在定理可判断符合题意；在0a <时，'()0g x =有两个解10x =和2ln(2)x a =-，又要按12,x x 的大小分类研究'()g x 的正负得()g x 的单调性，从而确定零点个数，最后综合可得；（3）证明函数不等式()()f x g x ≤，可证()()0f x g x -≤，设()()()h x f x g x =-，利用导数)'(h x 求出()h x 的最大值，只要最大值小于等于0，即证． 试题解析：（1）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a +'==，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-. 即65y x =-.（2）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2xg x x e a '=+.①当0a =时，函数()()1xg x x e =-只有一个零点；②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增. 又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x ex x ->-，所以()21g x ax x >+- 取01142a x a--+=，显然00x <且()00g x > 所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a =+='，得0x =，或()2x ln a =-. )i 当12a <-，则()20ln a ->. 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.)ii 当12a =-，则()20ln a -=，()g x 在(),-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.若12a >-，则()20ln a -≤. 当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到当0x <，0a <时，()()210x g x x e ax =-+<，()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是()0,+∞.（3）证明：()()()()111xg x f x x e ln x x -=-----. 设()()()111xh x x e ln x x =-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x ≥即可. 因为();111x x x h x xe x e x x ⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭，取311x e -=+，则()()1310x h x x e e =-<'，且()20h '>.又因为()()()21101x h x x e x =++-'>'，所以函数()h x '在()1,+∞上单增.所以()0h x '=有唯一的实根()01,2x ∈，且0011x e x =-. 当01x x <<时，()0t h x <；当0x x >时，()0h x '>.所以函数()h x 的最小值为()0h x .所以()()()()0000000111110xh x h x x e ln x x x x ≥=-----=+--=. 所以()()f x g x ≤.点睛：利用导数证明不等式的技巧：（1）树立服务意识．利用给定函数的某些性质岧函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式．（2）强化变形技巧．对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明．例如采用两边取对数（指数），移项通分等等，要注意变形的方向，因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边出现需要的函数关系式．（3）巧妙构造函数，．根据不等式的结构特征构造函数，利用函数的最值进行解决，在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验．（4）证明操作过程：①构造函数()x ϕ，转化为证明()0x ϕ>或()0x ϕ<；②利用导数求函数()x ϕ的单调区间；③利用定义域内()x ϕ与0的大小关系，证明不等式．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，常数0r >），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=.（1）若曲线1C 与2C 有公共点，求r 的取值范围；（2）若1r =，过曲线1C 上任意一点P 作曲线2C 的切线，切点为Q ，求PQ 的最大值. 【答案】（1）35r ≤≤（2）26【解析】【分析】（1）根据三角函数同角三角函数关系消元得曲线1C 的普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，最后根据两圆位置关系列不等式，解得r 的取值范围；（2）先根据切线长公式得2PQ ，再根据三角函数有界性得最大值.【详解】解：（1）曲线1C 的普通方程为222(0)x y r r +=>，曲线2C 的普通方程为()2241x y +-=若1C 与2C 有公共点，则()()22100401r r -≤-+-≤+，所以35r ≤≤. （2）设()cos ,sin P αα，由22222221PQ PC C Q PC =-=- ， 得()222cos sin 41PQ αα=+-- 168sin 18824α=-≤+=.当且仅当sin 1α=-时取最大值，故PQ 的最大值为26.【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及两圆位置关系、切线长公式等，考查基本分析求解能力，属基本题.23.已知函数()|1|||f x x x a =+-+．（1）若0a =，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若方程()f x x =有三个不同的解，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）10a -<<.【详解】（1）0a =时，1,1,()1{21,10,1,0.x f x x x x x x -<-=+-=+-≤<≥∴当1x <-时，()10f x =-<不合题意；当10x -≤<时，()210f x x =+≥，解得102x -≤<； 当0x ≥时，()1f x =0>符合题意．综上，()0f x ≥的解集为1[,)2-+∞． （2）设()1u x x x =+-，()y u x =的图象和y x =的图象如图，易知()y u x =的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y x =的图象始终有3个交点，从而10a -<<．。
广东省华南师大附中高三综合测试(三)(数学理).doc
广东华南师大附中-高三综合测试（三）（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时1。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答 题卡的密封线内．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分） 1．若1sin ,:≤∈∀x R x p ，则（ ）A ．1sin ,:>∈∃⌝x R x p B. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p C. 1sin ,:≥∈∃⌝x R x p D. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x p 2．“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，在半径为R 的圆内随机撤一粒芝麻，它落在阴影部分 （圆内接正三角形）上的概率是（ ） A ．43 B. 433 C. π43 D. π4334．甲校有3600名学生。
乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，则应在 这三校分别抽取学生（ ）A ．30人，30人，30人B ．30人，45人，15人C ．30人，10人 D. 30人，50人，10人5．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若80,15321321==++a a a a a a ，则=++131211a a a （ ）A. 1 B ．105 C ．90 D ．756. 已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等． 其中能推出α∥β的是（ ）A ．①B ，②C ．①和③D ．③和④7．设P 是双曲线19.222=⋅-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=O ，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若3||1=PF ，则||2⋅PF =（ ） A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 98. 如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上 按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦 AP 的长为d ，则函数d=f(l)的图像大致是（ ）第二部分非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概 率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为 ． 10．dx x ⎰--2|)1|2(=1l. 若(ax-1)5的展开式中x 3的系数是80，则实数a 的值是 ．3. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a n+l =a n +n ，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项， 则判断框中应填的语句是 ．13．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加 某项志愿者活动，要求每人参加一天旦每天至多安排一 人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有 （用数字作答）21. 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第 一题的得分)14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线 ⎩⎨⎧-=+=t y at x C 22:1（t 为参数），曲线⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2:2y x C（a 为参数）．若曲线C l 、C 2有公共点，则实数a 的取值范围．15．（几何证明选讲）如图，已知△ABC 内接于圆O ，点D 在OC的延长线上，AD 是⊙0的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD 的长为 ．三、解答题（共6大题，共80分） 16．（本题满分12分） 已知)cos ,(sin x x a -=，()x x cos 3,cos =，函数()23+⋅=x f(1)求f(x)的最小正周期； (2)当20π≤≤x 时，求函数f(x)的值域．17.（本题满分12分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51 (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
华南师大附中2021届高三综合测试(三)数学答案
13. y 2 x 2
14. 3 2
15. 或 5 66
16. (, 2] { e} e
数学试卷 第 1 页 （共 8 页）
16. 当 a 0 时，不等式为 2x 0 ，不恒成立；
当 a 0 时， aex 1 0 ，令 f (x) aex 2x ， f '(x) aex 2 ，
号
~
B(800, 0.788)
，
P(
k)
Ck 800
公0.7众88k
(1 0.788)800k
．
由
P P
k k
P P
k k
1 , 1 ,
数学试卷 第 6 页 （共 8 页）
即
CC88kk0000
0.788k 0.788k
(1 (1
0.788)800k 0.788)800k
C k 1 800
a
e
当 a 0 时，函数 g(x) aex 1是增函数，在唯一零点 x ln 1 ， a
f (x) aex 2x ， f '(x) aex 2 0 ，即 f (x) 增函数， f (0) a 0 ，但当 x
时， f (x) ，所以 f (x) 有唯一零点 x0 ，要使不等式 f (x)g(x) 0 恒成立，只有
D
C
H
A
E B
在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中
∴AA1 / /CC1且 AA1 CC1 ，即四边形 A1C1CA 为平行四边形，
故 AC / / A1C1 且 AC A1C1
∴A1C1 / /BH 且 A1C1 BH ，即四边形 A1C1BH 为平行四边形，
∴ BA1 / /HC1
广东省广州市华南师大附中高考数学三模试卷(文科)
高考数学三模试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2x＜33}，则集合A∩B的子集个数为（）A. 8B. 7C. 6D. 42.在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（）．A. B. C. D.3.向量，，满足++=，⊥，||=1，||=2，则||等于（）A. 1B.C. 2D.4.袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A. B. C. D.5.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割均为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，则=（）A. 8B. 4C. 2D. 16.执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是（）A. n≥5B. n≥6C. n≥7D. n≥87.如图，三棱锥A-BCD中，AB=CD=a，截面MNPQ与AB、CD都平行，则截面MNPQ的周长是（）A. 4aB. 2aC.D. 周长与截面的位置有关8.已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[-，]上的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积是（）A. B. C. D.10.如图ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体，S-ABCD是高为1的正四棱锥，若点S，A1，B1，C1，D1在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.11.已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n=，若数列{}的前n项和为5，则n=（）A. 119B. 121C. 120D. 122212.设函数f（x）=e x-e-x，g（x）=lg（mx2-x+），若对任意x1∈（-∞，0]，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2），则实数m的最小值为（）A. -B. -1C. -D. 0二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在△ABC中，若tan A=2tan B，a2-b2=c，则c=______．14.设不等式组，表示的平面区域为．若直线上存在区域上的点，则实数的取值范围是______________．15.已知双曲线E的实轴长为2且其渐近线与抛物线y=x2+1相切，则双曲线E的标准方程为______．16.已知函数，若y =f(cos x) 在x∈[0,π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且-=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（-1）n}的前2n项和．18.如图，已知三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，E为PB中点，D为AB的中点，且△ABE为正三角形．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）请作出点B在平面DEC上的射影H，并说明理由．若，求三棱锥P-ABC的体积．19.交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用基准保费统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，且保费与上一年车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和费率浮动比率表浮动因素浮动比率A上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮B上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮C上三个以及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮D上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故E上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮F上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了70辆车龄已满三年该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A B C D E F数量10 13 7 20 14 6求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率；某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损6000元，一辆非事故车盈利10000元，且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致，完成下列问题：若该销售商店内有7辆车龄已满三年该品牌二手车，某顾客欲在店内随机挑选2辆，求这2辆车恰好有一辆为事故车的概率；若该销售商一次性购进70辆车龄已满三年该品牌二手车，求一辆车盈利的平均值结果用分数表示．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）（c＞0），过点E（，0）的直线与椭圆相交于点A，B两点，且AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|（Ⅰ）求椭圆的离心率（Ⅱ）直线AB的斜率．21.设函数f（x）=e x-ln x-1，其中e是自然对数的底数（1）求证：函数f（x）存在极小值；（2）若∃x∈[，+∞），使得不等式-ln x-≤0成立，求实数m的取值范围．22.已知常数a是实数，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ=a sinθ．（1）写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|AB|的最小值．23.已知f（x）=|ax-2|-|x+2|．（1）在a=2时，解不等式f（x）≤1；（2）若关于x的不等式-4≤f（x）≤4对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A={0，2，4，6}，B={x∈N|2x＜33}={0，1，2，3，4，5}，则A∩B={0，2，4}，∴A∩B的子集个数为23=8．故选：A．化简集合B，根据交集的运算写出A∩B，即可求出它的子集个数．本题考查了两个集合的交运算和指数不等式的解法以及运算求解能力．2.【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．【解答】解：z==，∴，则复数z=的共轭复数的虚部为．故选：D．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查平面向量的性质和运算律，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．由++=，可知向量，，组成一个三角形，由⊥，知构成以||、||为直角边的直角三角形，由此能求出||．【解答】解：∵++=，∴向量，，组成一个三角形，∵⊥，∴构成以||，||为直角边的直角三角形，∵||=1，||=2，∴=||2+||2=5，∴||=．故选：D．4.【答案】C【解析】解：袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选：C．现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件的个数，由此能求出所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率．本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．5.【答案】C【解析】解：∵m=2sin18°，若m2+n=4，∴n=4-m2=4-4sin218°=4（1-sin218°）=4cos218°，∴===2．故选：C．由已知利用同角三角函数基本关系式可求n=4cos218°，利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第1次执行循环体后，a=，n=2，不满足退出循环的条件；第2次执行循环体后，a=-1，n=3，不满足退出循环的条件；第3次执行循环体后，a=2，n=4，不满足退出循环的条件；第4次执行循环体后，a=，n=5，不满足退出循环的条件；第5次执行循环体后，a=-1，n=6，不满足退出循环的条件；第6次执行循环体后，a=2，n=7，不满足退出循环的条件；……第3k次执行循环体后，a=2，n=3k+1，不满足退出循环的条件；第3k+1次执行循环体后，a=，n=3k+2，不满足退出循环的条件；第3k+2次执行循环体后，a=-1，n=3k+3，不满足退出循环的条件；……若输出的a=2，则最后满足条件的n值应为3的倍数多1，故选：C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，平行线分线段成比例定理，属于中档题．设=k，根据截面MNPQ与AB、CD都平行，可得==，==，进而可得截面MNPQ的周长．【解答】解：设=k，∵截面MNPQ与AB平行，平面ABC∩平面MNPQ=MN，AB在平面ABC内，∴AB∥MN，同理，PQ∥AB，MQ∥CD，NP∥CD，∴==，==,∵AB=CD=a，∴MN=PQ=，MQ=NP=，∴截面MNPQ的周长为MN+PQ+MQ+NP=2（+）=2a.故选：B．8.【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1-x）=f（1+x），∴f（1-x）=f（1+x）=-f（x-1），f（0）=0，则f（x+2）=-f（x），则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，∵f（1）=2，∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=-2，f（4）=f（0）=0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0-2+0=0，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故选：C．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=sin（πx+）和函数g（x）=cos（πx+）在区间[-，]上的图象交于A，B，C三点，令sin（πx+）=cos（πx+），x∈[-，]，解得x=-1，0，1，可得A（-1，-）、B（0，）、C（1，-），则△ABC的面积为S=•[-（-）]•[1-（-1）]=．故选：C．由题意结合正弦函数、余弦函数的图象，求得A、B、C三点的坐标，即可求得△ABC的面积．本题主要考查了正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．10.【答案】D【解析】【分析】底面正方形的外接圆的半径为，由勾股定理可得R2=（）2+（2-R）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．【解答】解：设球的半径为R，则∵底面正方形的外接圆的半径为，∴由勾股定理可得R2=（）2+（2-R）2，∴R=，∴球的表面积为4πR2=π．故选：D．11.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n=，∴=4，∴，∴，∵a1=2，∴=2，=2，=4=2，…由此猜想a n=．∵a1=2，a n+1-a n=，数列{}的前n项和为5，∴=，∴，解得n+1=121，∴n=120．故选：C．由已知推导出a n=.，由此能求出n．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式、累加法的合理运用．12.【答案】A【解析】解：∵f（x）=e x-e-x在（-∞，0]为增函数，∴f（x）≤f（0）=0，∵∃x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴g（x）=lg（mx2-x+）的值域包含（-∞，0]，当m=0时，g（x）=lg（-x+），显然成立；当m≠0时，要使g（x）=lg（mx2-x+）的值域包含（-∞，0]，则mx2-x+的最大值大于等于1，∴，解得-≤m＜0，综上，-≤m≤0，∴实数m的最小值-故选：A．由题意求出f（x）的值域，再把对任意x1∈（-∞，0]，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于m的不等式组求解．本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．13.【答案】1【解析】解：∵tan A=2tan B，可得：，利用正弦定理可得：a cos B=2b cos A，∴由余弦定理可得：a×=2b×，整理可得：a2-b2=c2，又∵a2-b2=c，∴c=c2，解得：c=1．故答案为：1．由tan A=2tan B，可得，利用正弦定理可得：a cos B=2b cos A，由余弦定理化简整理可得：a2-b2=c2，结合a2-b2=c，即可解得c的值．本题主要考查了同角三角函数关系式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于基本知识的考查．14.【答案】[，3]【解析】【分析】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．【解答】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴k OA==3，k OB=．∴a∈[，3]，故答案为：[，3]．15.【答案】x2-=1或y2-4x2=1【解析】解：当双曲线的焦点在x轴上，可设-=1（a，b＞0），由题意可得2a=2即a=1，渐近线方程为y=±x，由其渐近线与抛物线y=x2+1相切，可得x2±x+1=0，可得△=-4=0，解得b=2，可得双曲线的方程为x2-=1；当双曲线的焦点在y轴上，可设-=1（m，n＞0），由题意可得2m=2即m=1，渐近线方程为y=±x，由其渐近线与抛物线y=x2+1相切，可得x2±x+1=0，可得△=-4=0，解得n=可得双曲线的方程为y2-4x2=1，则双曲线的方程为x2-=1或y2-4x2=1，故答案为：x2-=1或y2-4x2=1．分别考虑双曲线的焦点在x，y轴上，求得渐近线方程和抛物线方程联立，运用判别式为0，解方程可得双曲线方程．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】a≤-【解析】【分析】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，属于中档题.求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x-1）e x-ax2，可得f′（x）=x（e x-2a），令x（e x-2a）=0可得，x=0或e x=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=-1＜0，若y=f（cos x）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[-1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f（0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a，与a＞0矛盾；综上：a≤-.故答案为：a≤-．17.【答案】解：（1）设{a n}的公比为q，则-=，即1-=，解得q=2或q=-1．若q=-1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n-1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n-1+log22n）=n-．∴b n+1-b n=1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（-1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（-b12+b22）+（-b32+b42）+…+（-b2n-12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n-1+b2n===2n2．【解析】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出b n，使用分项求和法和平方差公式计算．18.【答案】证明：（1）如图，∵△ABE是正三角形，且D为AB的中点，∴DE⊥AB，∵E为PB的中点，∴PA∥DE，∴PA⊥AB，∵PA⊥AC，AB、AC为平面ABC内两条相交直线，∴PA⊥平面ABC，∵BC在平面ABC内，∴BC⊥PA，又∵PC⊥BC，PA、PC为平面PAC内两条相交直线，∴BC⊥平面PAC；解：（2）如图，过点B作BH⊥CD于H，由（1）知DE⊥平面ABC，BH在平面ABC内，∴BH⊥DE，又∵BH⊥CD，DE、CD为平面DEC内两条相交直线，∴BH⊥平面DEC，∴H为点B在平面DEC上的射影，在Rt△ABC中，设AC=x，则AB=，CD=，S△BCD===，由，得，解得x=4，∴AB=5，PB=10，PA=5，∴三棱锥P-ABC的体积V==10．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，是中档题．（1）推导出DE⊥AB，PA⊥AB，从而PA⊥平面ABC，进而BC⊥PA，再由PC⊥BC，能证明BC⊥平面PAC；（2）过点B作BH⊥CD于H，推导出H为点B在平面DEC上的射影，求出AB=5，PB=10，PA=5，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．19.【答案】.解：（1）一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率为：．（2）①由已知可得，7辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有两辆事故车，记为A1，A2，5辆非事故车，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，从7辆车中任选两辆共有21种情况，其中恰好有一辆为事故车共有10种情况，所以其概率为p=．②由已知可得，70辆（车龄已满三年），该品牌二手车中，有20辆事故车，50辆非事故车，所以一辆车盈利的平均值为：元．【解析】（1）利用统计表能求出一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率．（2）①由已知可得，7辆（车龄已满三年）该品牌二手车中，有两辆事故车，记为A1，A2，5辆非事故车，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，从7辆车中任选两辆，利用列举法能求出恰好有一辆为事故车的概率．②由已知可得，70辆（车龄已满三年），该品牌二手车中，有20辆事故车，50辆非事故车，由此能求出一辆车盈利的平均值．本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|，得，从而a2=3c2，故离心率．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b2=a2-c2=2c2，所以椭圆的方程可以写为2x2+3y2=6c2设直线AB的方程为即y=k（x-3c）由已知设A（x1，y1），B（x2，y2），则它们的坐标满足方程组消去y整理，得（2+3k2）x2-18k2cx+27k2c2-6c2=0依题意，△＞0，而x1+x2=，x1x2=，由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2联立三式，解得，，将结果代入韦达定理中解得【解析】（Ⅰ）由AF1∥F2B，|F1A|=2|F2B|，得，从而a2=3c2，故可求离心率；（Ⅱ）先设直线AB的方程为即y=k（x-3c），再与椭圆的方程2x2+3y2=6c2联立，又由题设知，点B为线段AE的中点，从而可求直线的斜率．本题主要考查椭圆的离心率及直线的斜率，关键是找出几何量的关系，涉及直线与曲线的位置关系，通常是联立方程，借助于根与系数的关系求解，应注意判别式的验证．21.【答案】证明：（1）∵f（x）=e x-ln x-1，∴（x＞0），∴＞0，∴函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，…（2分）∵f=-2＜0，f′（1）=e-1＞0，且函数f′（x）图象在（0，+∞）上不间断，∴∃x0∈（），使得f′（x0）=0，…（3分）结合函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，有：x（0，x0）（x0，+∞）f′（x）-+（没体现单调区间扣1分）…（5分）解：（2）∃x∈[，+∞），使得不等式-ln x-≤0成立，等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥e x-x lnx成立（*）…（6分）令h（x）=e x-x lnx，x∈[，+∞），则h′（x）=e x-ln x-1=f（x），∴结合（1）得：[h′（x）]min=，…（8分）其中，满足f′（x0）=0，即=0，∴，x0=-ln x0，∴[h′（x）]min=-ln x0-1=＞2-1=1＞0，…（10分）∴x∈[），h′（x）＞0，∴h（x）在[）内单调递增，…（11分）∴[h（x）]min=h（）=-=+，结合（*）有，即实数m的取值范围为[，+∞）．…（12分）【解析】（1）求出（x＞0），从而＞0，进而函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，由此利用导数性质能证明函数f（x）存在极小值．（2）∃x∈[，+∞），使得不等式-ln x-≤0成立，等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥e x-x lnx 成立，令h（x）=e x-x lnx，x∈[，+∞），则h′（x）=e x-ln x-1=f（x），由此利用导性质能求出实数m的取值范围．本题考查函数存在最小值的证明，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．22.【答案】解：（1）曲线C1的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标法方程为：y2-8x-16=0．曲线C2的极坐标方程为cosθ=a sinθ．转换为极坐标方程为：ρcosθ=aρsinθ．转换为直角坐标方程为：x-ay=0．（2）设A（ay1，y1）B（ay2，y2），由于，得到：y2-8ay-16=0，所以：y1+y2=8a，y1y2=-16，所以：：|AB|=．=，当a=0时，|AB|=8，所以|AB|的最小值为8．【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）在a=2时，|2x-2|-|x+2|≤1．在x≥1时，（2x-2）-（x+2）≤1，∴1≤x≤5；在x≤-2时，-（2x-2）+（x+2）≤1，x≥3，∴x无解；在-2≤x≤1时，-（2x-2）-（x+2）≤1，，∴．综上可知：不等式f（x）≤1的解集为．（2）∵||x+2|-|ax-2||≤4恒成立，而||x+2|-|ax-2||≤|（1+a）x|，或||x+2|-|ax-2||≤|（1-a）x+4|，故只需|（1+a）x|≤4恒成立，或|（1-a）x+4|≤4恒成立，∴a=-1或a=1．∴a的取值为1或-1【解析】（1）在a=2时，|2x-2|-|x+2|≤1．通过x≥1时，x≤-2时，-2≤x≤1时，转化求解即可．（2）||x+2|-|ax-2||≤4恒成立，转化为|（1+a）x|≤4恒成立，或|（1-a）x+4|≤4恒成立，然后求解即可．本题考查不等式恒成立，考查转化思想以及计算能力．。
广东省华南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知i 为虚数单位，复数z 满足z （1－i ）＝4－3i ，则|z |＝（ ）A．B．C．D．2. 设函数，若函数存在两个极值点，，且极小值点大于极大值点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．3. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为（ ）A．B．C．D．4. 设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达.若点的横坐标为，则点的纵坐标（ ）A．B．C．D．5.已知函数，，给出下列3个命题：：若，则的最大值为16.：不等式的解集为集合的真子集.：当时，若，恒成立，则.那么，这3个命题中所有的真命题是A．B．、C．、D．、、6.在平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆O 交于点，若，则（ ）A．B．C．D．7. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．8. 现有一个橡皮泥制作的圆柱，其底面半径、高均为2，将它重新制作成一个体积与高不变的圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ）A．B．C．D．9. 在平面直角坐标系中，如图放置的边长为2的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是A ．函数在，上有两个零点B ．函数是偶函数C ．函数在，上单调递增D ．对任意的，都有广东省华南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(2)广东省华南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(2)三、填空题四、解答题10.已知函数满足，其图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则（ ）A．B．函数的图象关于对称C ．可以等于5D ．的最小值为211.已知，则下列选项正确的是（ ）A．B．C．D．12.设，则下列说法正确的有（ ）A．的最小正周期为B ．在上单调递增C．的图象关于轴对称D．的图象关于对称13. 若三个点，，中恰有两个点在双曲线：上，则双曲线的离心率为______.14.将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为，则该几何体的全面积为____________.15. 已知向量，．若，则______．16. 已知椭圆：过点记椭圆的左顶点为M，右焦点为(1)若椭圆C的离心率，求的范围；(2)已知，过点作直线与椭圆分别交于，两点（异于左右顶点）连接，，试判定与是否可能垂直，请说明理由；(3)已知，设直线的方程为，它与相交于，.若直线与的另一个交点为.证明：.17. 某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一半的元件正常工作，则该系统能稳定工作．(1)若该系统安装了3个元件，且，求它稳定工作的概率；(2)试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定．18. 已知.(1)求在处的切线方程；(2)证明 ：.19. 已知函数．(1)求的值;(2)求的最小正周期和单调递增区间．20. 已知动点P 到定点的距离和它到定直线的距离的比值为．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若过点F 的直线与点P 的轨迹W 相交于M ，N 两点（M ，N 均在y 轴右侧），点、，设A ，B ，M ，N 四点构成的四边形的面积为S ，求S 的取值范围．21. 如图，正方形的边长为4，，分别为，的中点.将正方形沿着线段折起，使.设为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.。
广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2022届高三三模数学试题(解析版)
【答案】C
【解析】
【分析】设圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，球O的半径为 ，由题可得 ，进而可得 ，然后利用圆柱的体积公式即得.
【详解】设圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，球O的半径为 ，
由题可知 ，解得 ，
则 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
5. ，则函数 的大致图象为（）
A. B.
C. D.
2022届高三综合测试
数学
本试卷共5页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】用不等式的性质推导和取值验证相结合可解.
【详解】取 ，则 ， ，故AC不正确；
因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 ，故D正确.
故选：BD
10.已知 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（）
A.7B.8C.9D.10
Hale Waihona Puke 【答案】ABC【解析】3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
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k
g x0
1 x0
，公切线
l 的方程为：
y
y0
1 x0
x
x0
，将原点坐标 (0, 0) 代入，得
y0
1，解得
x0
e ，公切线
l
的方程为：
y
1 e
x
设公切线 l
:
y
1 e
x
与函数
设平面 D1BB1 的法向量为 n (x, y, z) ，
故
n
D1B1
2y
0
，令 x 2 ，则 z 1,故 n (2, 0, 1)
n D1B 3x y 2 3z 0
设平面 CBB1 的法向量为 m (x, y, z) ，
z D1
故
n
CB1
2
y
2
3z 0
，
n CB 3x y 0
即每个学生生物统考成绩不低于 71 分的事件概率约为 0.788 ，
~
B(800, 0.788)
，
P(
k)
Ck 800
0.788k
(1 0.788)800k
．
由
P P
k k
P P
k k
1 , 1 ,
数学试卷 第 6 页 （共 8 页） 公众号“高中僧试卷”，每天都有最新模拟卷
即
CC88kk0000
x0
ln
1 a
，∴ 1
2 ln
1 a
0
，
a
e，
综上 a 的取值范围是 (, 2] { e} ． e
四、 解答题
17.(10 分)（1）设等差数列an 的公差为 d ，则 an a 1 n
d1
，Sn
na1
n 1 n
2
d
，
由题意，得
a1 2d 3a1 3
3, 2d 2
15
，解得
ad1
7 2
华南师大附中 2021 届高三综合测试（三）
数学答案
一、 单选题
1. B 2. B 3. C 4. D 5. A 6. B
二、 多选题
7. B 8. B
9. AD
10. ACD
11. ACD
12. ABC
12. 对于 A. 在边 AE 上点 F，在 AD 上取一点 N，使得 FN / /ED ，在 ED 上取一点 H，
2
62
6
3
即函数
g
x
sin
2x
6
的单调递增区间为
6
k
,
3
k
,
k
Z
，
又
x
0,
2
，所以函数
g
x
sin
2
x
6
在
0,
3
上单调递增，在
x
3
,
2
上单
数学试卷 第 3 页 （共 8 页）
公众号“高中僧试卷”，每天都有最新模拟卷
调递减；
因为
g
0
1 2
，
g
3
1，
g
6
1 2
75.8 6
0.85
，
~ N (0,1) ， P( 1.04) 0.85 ， P 1.04 0.85 ，
m 75.8 1.04 ， m 69.56 ，取 m 70 ．即该划线分大约为 70 分。 6
②由①讨论及参考数据得
PY ≥ 71 P6 75.8≥ 71 P ≥ 0.8 P ≤ 0.8 0.788 ，
k
g x0
1 x0
，公切线
l 的方程为：
y
y0
1 x0
x
x0
，将原点坐标 (0, 0) 代入，得
y0
1，解得
x0
e ，公切线
l
的方程为：
y
1 e
x，
将它与 f (x) a ln x 联立，整理得 a 1 x2 ln x ．
f
(x)
a
ln x
x
的切点为
x1,
y1
，则
x1 e 1 e
a f'
ln x1
x1
x1
1
a x12
ln
x1
x12 e
x12
e
a ln x1 1 a ln
x1
所以
a
ln
x1
1 2
，代入可得
x1
e ， a 1 ln 2
2
2
解法 2：设公切线 l 与函数 g(x) ln x 的切点为 x0 , y0 ，则公切线 l 的斜率
最小值为
4
，则 T
2 4
2
2 2
，解得
2 ，则
f
(x)
sin
4x
3
；
若选条件②，则
f
12
sin
6
3
0
，则
6
3
k , k
Z
，
因此
2
6k,
k
Z
，又
0
3 ，所以
2
，则
f
(x)
sin
4x
3
；
若选条件③，对任意的 x R ， f (x)
f
24
；
则有 k , k Z ，解得 2 12k , k Z ， 12 3 2
0)
C50C53 C130
10 120
1 ， P(X 12
1)
C51C52 C130
50 120
5 12
，
P( X
2)
C52C51 C130
50 120
5 12
， P(X
3)
C53C50 C130
10 120
1 12
，
随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
1
5
5
1
P
12
12
12
12
，
∴
g
x
在
0,
2
的值域为
1 2
,1
.
19.(12 分)
（1）连接 A1C1, AC, A1B, BH ，由于 E 为 BC 中点，且 HC / / AB ，
∴CH CE 1 AB EB
A1
∴CH AB
D1
C1
B1
故四边形 CBHA为平行四边形,
∴ AC / /BH 且 AC BH 又在菱形 ABCD 中， BD AC ， ∴BD BH
A1 B1
令 y 3 ，则 x 1, z 1，故 m (1, 3,1)
∵二面角 D1 BB1 C 为锐角，
A
y D
B
C E
C1
H
x
故所求二面角的余弦值是| cos m, n || m n | 3 . | m || n | 5
20. （12 分） （1）由题意知： F(1, 0) 且圆 O 的半径为 r 1 ，圆心 O(0,0) ，即有 F 在圆 O 外，
2
2
2
24
不正确；
对于 D.在翻折过程中，取平面 AED⊥平面 BCDE，四棱锥 A BCDE 体积
f
1 3
SBCDE
3 3， 0，1 ， f 1 32 ，可得
3 时，函数 3
f 取得最大值 f
3 3
1
1 3
23 9
，因此
D
正确.
综上所述，不成立的为 ABC.故选：ABC.
对于
B，
0,1 2
，在翻折过程中，点
A
在底面
BCDE
的射影
不可能在交线 BC 上，因此不满足平面 ABC 平面 BCDE ，因此
B 不正确.
对于 C. 1 ，当二面角 A DE B 为直二面角时，取 ED 的中
2
点 M，如图所示：可得 AM 平面 BCDE ，则
AB AM 2 BM 2 ( 3 )2 1 (1)2 21 1 cos120 10 10 ，因此 C
a
e
当 a 0 时，函数 g(x) aex 1是增函数，在唯一零点 x ln 1 ， a
f (x) aex 2x ， f '(x) aex 2 0 ，即 f (x) 增函数， f (0) a 0 ，但当 x
时， f (x) ，所以 f (x) 有唯一零点 x0 ，要使不等式 f (x)g(x) 0 恒成立，只有
，
an 的通项公式 an 7 2(n 1) 2n 9 ， n N* .
（2）设等比数列bn 的公比为
q
，由（1）得
S4
7 4
43 2
2
16
，
b3
S4
16 ，
q2
b3 b1
16 4
4 ，
q
2 或 2 ，
当 q
2 时，Tn
b1
1 qn 1 q
4 1 2n
1 2
4 2n2 ，
当q
数学期望 E(X ) 0 1 1 5 2 5 3 1 3 ． 12 12 12 12 2
（2）①设该划线分为 m ，由Y ~ N (75.8,36) 得 75.8, 6 ，
令 Y Y 75.8 ，则 Y 6 75.8 ，
6
由题意，
P
Y
≥
m
0.85
，即
P
6
75.8
≥
Байду номын сангаас