2015年中考数学试卷解析分类汇编专题37_操作探究

操作探究一、选择题1. （2015?浙江宁波，第12题4分） 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形. 若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形标号为【 】A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③ 【答案】A .【考点】多元方程组的应用（几何问题）.【分析】如答图，设原住房平面图长方形的周长为2l ，①的长和宽分别为,a b ，②③的边长分别为,c d .根据题意，得2a c d c b d a b c l =+⎧⎪=+⎨⎪++=⎩ ①②③，-①②，得2a c c b a b c -=-⇒+=，将2a b c +=代入③，得1422c l c l =⇒=（定值）， 将122c l =代入2a b c +=，得()122a b l a b l +=⇒+=（定值），而由已列方程组得不到d .∴分割后不用测量就能知道周长的图形标号为①②. 故选A .2. （2015?浙江省绍兴市，第10题，4分） 挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。

如图中，按照这一规则，第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，…，则第6次应拿走A. ②号棒B. ⑦号棒C. ⑧号棒D. ⑩号棒考点：规律型：图形的变化类．.分析：仔细观察图形，找到拿走后图形下面的游戏棒，从而确定正确的选项．解答：解：仔细观察图形发现：第1次应拿走⑨号棒，第2次应拿走⑤号棒，第3次应拿走⑥号棒，第4次应拿走②号棒，第5次应拿走⑧号棒，第6次应拿走⑩号棒，故选D．点评：本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形，锻炼了同学们的识图能力．二.填空题1. （2015?浙江杭州,第16题4分）如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD=_______________________________【答案】23+或423+.【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用.【分析】∵四边形纸片ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠C=30°.如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平行四边形：如答图1，剪痕BM、BN，过点N作NH⊥BM于点H，易证四边形BMDN是菱形，且∠MBN=∠C=30°.第16题CBAD设BN =DN =x ，则NH =12x . 根据题意，得1222x x x ⋅=⇒=，∴BN =DN =2， NH =1.易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt BCN ∆中，CN =3. ∴CD =23+.如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ， 易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°. 设BC =CE =x ，则BH =12x . 根据题意，得1222x x x ⋅=⇒=，∴BC =CE =2， BH =1. 在Rt BCH ∆中，CH =3，∴EH =23-. 易证BCD EHB ∆∆∽，∴CD BCHB EH=，即123CD =-. ∴)()()2234232323CD +==+-+.综上所述，CD =23+或423+.2. （2015?浙江省绍兴市，第13题，5分）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。

小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可。

如图1，衣架杆OA =OB =18cm ，若衣架收拢时，∠AOB =60°，如图2，则此时A ，B 两点之间的距离是 ▲ cm考点：等边三角形的判定与性质．. 专题：应用题．分析：根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行解答即可． 解答：解：∵OA =OB ，∠AOB =60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∴AB =OA =OB =18cm ， 故答案为：18点评：此题考查等边三角形问题，关键是根据有一个角是60°的等腰三角形的等边三角形进行分析．3. （2015?四川广安，第16题3分）如图，半径为r 的⊙O 分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆用相同速度匀速滚动一周，用时分别为t 1、t 2、t 3，则t 1、t 2、t 3的大小关系为 t 2＞t 3＞t 1 ．考点： 轨迹．.分析： 根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案． 解答： 解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为3.14， 等边三角型的边长为a ≈2， 等边三角形的周长为6； 正方形的边长为b ≈1.7， 正方形的周长为1.7×4=6.8； 圆的周长为3.14×2×1=6.28， ∵6.8＞6.28＞6， ∴t 2＞t 3＞t 1． 故答案为：t 2＞t 3＞t 1．点评： 本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键．4．（2015?广东梅州,第14题，3分）如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，若AB =4，BC =2，那么线段EF 的长为 ． 考点：翻折变换（折叠问题）．.分析：如图，AC 交EF 于点O ，由勾股定理先求出AC 的长度，根据折叠的性质可判断出RT △EOC ∽RT △ABC ，从而利用相似三角形的对应边成比例可求出OE ，再由EF =2OE 可得出EF 的长度 解答：解：如图所示，AC 交EF 于点O 由勾股定理知AC =2，又∵折叠矩形使C 与A 重合时有EF ⊥AC ， 则Rt △AOE ∽Rt △ABC ， ∴，第14题图EFCD∴OE =故EF =2OE =． 故答案为：．点评：此题考查了翻折变换、勾股定理及矩形的性质，难度一般，解答本题的关键是判断出RT △AOE ∽RT △ABC ，利用相似三角形的性质得出OE 的长．三.解答题1. （2015?浙江省台州市，第24题）定义：如图1，点M ，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点 （1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，若AM =2，MN =3求BN 的长；（2）如图2，在△ABC 中，FG 是中位线，点D ，E 是线段BC 的勾股分割点，且EC >DE ≥BD ，连接AD ，AE 分别交FG 于点M ，N ，求证：点M ，N 是线段FG 的勾股分割点（3）已知点C 是线段AB 上的一定点，其位置如图3所示，请在BC 上画一点D ，使C ，D 是线段AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）（4）如图4，已知点M ，N 是线段AB 的勾股分割点，MN >AM ≥BN ，△AMC ，△MND和△NBM 均是等边三角形，AE 分别交CM ，DM ，DN 于点F ，G ，H ，若H 是DN 的中点，试探究AMF S ∆，BEN S ∆和MNHG S 四边形的数量关系，并说明理由2. （2015辽宁大连，26，12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（2m ,m ），翻折矩形OABC ,使点A 与点C 重合，得到折痕DE .设点B 的对应点为F ,折痕DE 所在直线与y 轴相交于点G ，经过点C 、F 、D 的抛物线为c bx ax ++=2y 。

（1）求点D 的坐标（用含m 的式子表示）（2）若点G 的坐标为（0，－3），求该抛物线的解析式。

（3）在（2）的条件下，设线段CD 的中点为M ，在线段CD 上方的抛物线上是否存在点P ,使PM =21EA ?若存在，直接写出P 的坐标，若不存在，说明理由。

【答案】(1)（m 45，m ）;（2）2122565y 2++-=x x （3）存在，点P 坐标为（1.6,3.2）和（0.9,3.2）。

【解析】解：（1）设D 的坐标为：（d ,m )，根据题意得：CD =d ,OC =m （第26题图）因为CD ∥EA ,所以∠CDE =∠AED ,又因为∠AED =∠CED ，所以∠CDE =∠CED ， 所以CD =CE =EA =d ,OE =2m －d ,在Rt △COE 中，222CE OE OC =+,()2222d d m m =-+，解得：m 45d =。

所以D 的坐标为：（m 45，m ） (2)作DH 垂直于X 轴，由题意得：OG =3，OE =OA －EA =2m －m 45=m 43.EH =OH －OE =m 45－m 43=m 21,DH =m . △GOE ∽△DHE ,HD OG HE OE =,mm m 32143=。

所以m =2.所以此时D 点坐标为（25，2）,CD =25,CF =2，FD =BD =4－25=1.5 因为CD ×FI =CF ×FD ,FI =2×1.5÷2.5=1.2 CI =6.12.122222=-=-FI CF , 所以F 的坐标为（1.6，3.2）抛物线为c bx ax ++=2y 经过点C 、F 、D ，所以代入得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=2.36.16.125.225.622c b a c b a c 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==122565a 2b c 所以抛物线解析式为2122565y 2++-=x x 。

（3）存在，因为PM =21EA ，所以PM =21CD .以M 为圆心，MC 为半径化圆，交抛物线于点F 和点P .如下图：点P坐标为（1.6,3.2）和（0.9,3.2）。

3. （2015?浙江滨州,第24题14分）根据下列要求,解答相关问题.（1）请补全以下求不等式的解集的过程.①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数；并在下面的坐标系中(见图1)画出二次函数的图象（只画出图象即可）.②求得界点，标示所需：当y=0时，求得方程的解为；并用锯齿线标示出函数图象中y≥0的部分.③借助图象,写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为.（2）利用（1）中求不等式解集的步骤,求不等式的解集.①构造函数，画出图象：②求得界点，标示所需：③借助图像，写出解集：（3）参照以上两个求不等式解集的过程,借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集.【答案】（1）②；③.（2）②当y=4时，求得方程的解为；③借助图象,直接写出不等式的解集:.【解析】试题分析：（1）正确画出图像，借助图像可知与x轴的交点的横坐标的值就是y=0时的一元二次方程的解，然后借助图像找到x轴上方的部分的x的取值就是不等式的解集；②；③.（2）①构造二次函数，并画出图象.②当y=4时，求得方程的解为；③借助图象,直接写出不等式的解集:.（说明：以上三步中某一步出现错误，则以后的各步均不得分；若把不等式化为，构造函数进行求解亦可，具体评分参照上述标准）（3）①当时，解集为或（用“或”与“和”字连接均可）.②当时，解集为(或亦可) .③当时，解集为全体实数.考点：二次函数的图像与一元二次方程的解，与不等式的解集2. （2015?浙江杭州,第21题10分）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度（1）用记号(a，b，c)(a≤b≤c)表示一个满足条件的三角形，如(2，3，3)表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形（2）用直尺和圆规作出三边满足a<b<c的三角形(用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹) 单位长度【答案】解：（1）（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）.（2）由（1）可知，只有（2，3，4），即2,3,4a b c === 时满足a <b <c . 如答图的ABC ∆即为满足条件的三角形.【考点】三角形三边关系；列举法的应用；尺规作图.【分析】（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形. （2）首先判断满足条件的三角形只有一个：2,3,4a b c === ，再作图： ①作射线AB ，且取AB =4；②以点A 为圆心，3为半径画弧；以点B 为圆心，2为半径画弧，两弧交于点C ； ③连接AC 、BC .则ABC ∆即为满足条件的三角形.4. （2015?浙江衢州,第21题8分）如图1，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，然后将矩形展平，沿折叠，使顶点落在折痕上的点处，再将矩形沿折叠，此时顶点恰好落在上的点处，如图2.（1）求证：； （2）已知，求和的长.【答案】解：（1）证明：由折叠知：.∵由矩形知：，∴.（2）如答图，∵，∴∴.由折叠知：，∴.∵，∴.又∵，由（1）可得，，∴.∴.∴.【考点】折叠问题；矩形的性质；折叠对称的性质；等腰直角三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质．【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得（2）判断和都是等腰直角三角形，即可，由求得；由证明，得到，从而由求得.5，（2015岳阳第23题10分）已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD 的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段P A与PB的数量关系：P A=PB．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的P A与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：P A?PB=k?A B．考点：几何变换综合题．.分析：（1）根据三角形CBD是直角三角形，而且点P为线段CD的中点，应用直角三角形的性质，可得P A=PB，据此解答即可．（2）首先过C作CE⊥n于点E，连接PE，然后分别判断出PC=PE、∠PCA=∠PEB、AC=BE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△P AC∽△PBE，即可判断出P A=PB仍然成立．（3）首先延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，然后根据相似三角形判定的方法，判断出△AEF∽△BPF，即可判断出AF?BP=AE?BF，再个AF=2P A，AE=2k，BF=AB，可得2P A?PB=2k．AB，所以P A?PB=k?AB，据此解答即可．解答：解：（1）∵l⊥n，∴BC⊥BD，∴三角形CBD是直角三角形，又∵点P为线段CD的中点，∴P A=P B．（2）把直线l向上平移到如图②的位置，P A=PB仍然成立，理由如下：如图②，过C作CE⊥n于点E，连接PE，，∵三角形CED是直角三角形，点P为线段CD的中点，∴PD=PE，又∵点P为线段CD的中点，∴PC=PD，∴PC=PE；∵PD=PE，∴∠CDE=∠PEB，∵直线m∥n，∴∠CDE=∠PCA，∴∠PCA=∠PEB，又∵直线l⊥m，l⊥n，CE⊥m，CE⊥n，∴l∥CE，∴AC=BE，在△P AC和△PBE中，∴△P AC∽△PBE，∴P A=P B．（3）如图③，延长AP交直线n于点F，作AE⊥BD于点E，，∵直线m∥n，∴，∴AP=PF，∵∠APB=90°，∴BP⊥AF，又∵AP=PF，∴BF=AB；在△AEF和△BPF中，∴△AEF ∽△BPF ， ∴，∴AF ?BP =AE ?BF ，∵AF =2P A ，AE =2k ，BF =AB ， ∴2P A ?PB =2k ．AB ， ∴P A ?PB =k ?A B ． 故答案为：P A =P B ．点评： （1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力． （2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．（3）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．6．(2015?江苏南昌,第24题12分)我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF ,BE 是△ABC 的中线, AF ⊥BE , 垂足为P .像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”.设BCa ,ACb ,ABc .特例探索(1)如图1，当∠ABE =45°，c22时，a = ，b ；如图2，当∠ABE =30°，c4时， a = ，b ；45°30°图3图2图1EFBEFAPEF PAPA归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想,,a b c 222三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；拓展应用(3)如图4，在□ABCD 中，点E ,F ,G 分别是AD ,BC ,CD 的中点，BE ⊥EG , AD= ,AB =3. 求AF 的长.EA答案：解析：(1)如图1，连接EF ,则EF 是△ABC 的中位线， ∴EF =AB 12∵∠ABE =45°,AE ⊥EF ∴△ABP 是等腰直角三角形， ∵EF ∥AB ，∴△EFP 也是等腰直角三角形， ∴AP =BP =2 ，EP =FP=1, ∴AE =BF , ∴a b 25.如图2，连接EF ,则EF 是△ABC 的中位线. ∵∠ABE =30°,AE ⊥BF ,AB =4,∴AP =2, BP =, ∵EF //AB 12, ∴PE ,PF =1,∴AEBF ∴a213 , b 27.(2) a b c 2225如图3，连接EF ， 设AP =m ,BP =n .,则c AB m n 2222∵EF //AB 12, ∴PE =12BP =12n , PF =12AP =12m ,∴AE m n 22214 , BF n m 22214 ,∴b AC AE m n 2222244,图2B图3Aa BC BF n m 2222244∴()a b m n c 2222255(3)如上图，延长EG ,BC 交于点Q , 延长QD ,BA 交于点P ,延长QE ,BE 分别交PB ，PQ 于点M ,N ,连接EF . ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD //BC , AB //CD ,∵E ,G是分别是AD ,CD 的中点，∴△EDG ≌△QCG ≌△EAM , ∴CQ =DE , DG =AM =1.5，∴BM =4.5.∵CD CQ BPBQ ，∴BP3535，∴BP =9, ∴M 是BP 的中点； ∵AD //FQ , ∴四边形ADQF 是平行四边形，∴AF ∥PQ ,∵E ,F 分别是AD ，BC 的中点，∴AE //BF , ∴四边形ABFE 是平行四边形，∴OA =OF , 由AF ∥PQ 得：,OF BF QN BQ 51335 OA BAPN BP 3193, ∴OA OFPN QN , ∴PN =QN , ∴N 是PQ 的中点； ∴△BQP 是“中垂三角形”， ∴()PQ BQ BP 2222255359144,∴PQ 12, ∴AFPQ 143。