高2009级二诊模拟(理科)试题.

成都七中高2009级二诊模拟数学（理科）试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥2}，P ＝{x |x ＞1}，那么“x ∈M ∪P ”是“x ∈M ∩P ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2. 已知11mni i=-+，其中m 、n 是实数，是虚数单位，则mn i +=.12A i + .12B i - .2C i - .2D i +3．等差数列{}n a 中，18153120a a a ++=，则9102a a -的值为 .20.22.24.A B C D -4．给出下列四个命题：①若直线l ⊥平面α，l ∥平面β，则α⊥β；②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角相等或互为补角；④过空间任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面。

其中正确的命题的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5.将函数12)(1-=+x x f 的反函数的图象的图象按向量)1,1(平移后得到)(x g 的图象，则)(x g 表达式为2222.()log (2).()log .()log 2.()log 2A g x x B g x x C g x x D g x x =+==+=-；6.若yx y x y x 21,14,0,0+=+>>则且的最小值为A ．9B ．28C ．249+D ．247．某种实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有 A ．24种 B ．48种 C ．96种 D ．144种8． 如图，设A 、B 、C 、D 为球O 上四点，若A B 、A C 、AD 两两互相垂直，且6A B A C ==，2A D =，则A 、D 两点间的球面距离为 2....323A B C D ππππ9．若(1+5x )n 的展开式中各项系数之和为a n ，(x 2＋1)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则∞→n lim nn nn b a b a 432+-的值是A ．31 B ．41 C ．1 D ．－21 10.定义运算a ⊕b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，则函数f(x)=1⊕2x 的图象是.11.圆心角23AOB π∠=的扇形AOB,半径r=2,C 为弧AB 的中点，12OD OB =-,则CD AB ⋅=A ．2-B ．3-C ．3D ．212．已知函数f (x )＝xln (ax )＋e x －1（(1)a >在点(1，0)处切线经过椭圆4x 2＋my 2＝4m 的右焦点，则椭圆的离心率为 A ．34 B ．22C ．55D ．12二.填空题(每小题4分，共16分) 13.在2,5,7,3ABC A AB BC ABC π∆∠===∆中，若则的面积＝ ；14.已知P 是直线3480x y ++=上的动点,PA PB 是圆222210x y x y +--+=的两条切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形P A C B 面积的最小值时，弦AB = ; 15. 已知()3,3A ，O 为原点，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-⎪⎪-+⎨⎪⎪⎩≤≥≥，则O A O P O A ⋅的最大值是 ___，此时点P 的坐标是 _____. 16.下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2}. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y所有正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）xy o1 xyo1xy o1xy o1ABCD成都七中高2009级二诊模拟数学（理科）试题答题卷二．填空题答案：13、 14、 15、 16、三.解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且x ∈[0，2π]； （错误！未找到引用源。

）求b a ·及b a +； （错误！未找到引用源。

）若f (x )＝xb a b a sin 3·+-，求f (x )的最大值与最小值．18．（本小题满分12分）某高校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：血型 A B AB O 人数2010515（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A 型的概率； （Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；（Ⅲ）现有一位血型为A 型的病人需要输血，要从血型为A,O 的学生中随机选出2人准备献血，记选出A 型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且PA =2，E 点满足PD PE 31=．（错误！未找到引用源。

）求证：PA ⊥平面ABCD ； （错误！未找到引用源。

）求二面角E －AC －D 的大小；（错误！未找到引用源。

）在线段BC 上是否存在点F 使得PF ∥面EAC ？若存在，确定F 的位置；若不存在，请说明理由。

20．（本题满分12分）已知动点A 、B 分别在x 轴、y 轴上，且满足|AB|=2，点P 在线段AB 上，且 ).(是不为零的常数t PB t AP =设点P 的轨迹方程为C 。

（1）求点P 的轨迹方程C ；（2）若t=2，点M 、N 是C 上关于原点对称的两个动点（M 、N 不在坐标轴上），点Q坐标为),3,23(求△QMN 的面积S 的最大值。

DP E C A B21．已知数列{a n }满足：11=a ，*)(22111N n na a n n n ∈+=++． ⑴求数列{a n }的通项公式； ⑵证明：1211≤≤-n n a ； ⑶设n n a n n n T 422+-=，且221)1ln(n n n T T k ++=，证明：n nn k T T <+22．22.()ln f x x =已知：，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．（Ⅰ）求直线l 的方程及m 的值；（Ⅱ）若()(1)()h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求函数()h x 的最大值； （Ⅲ）当0b a <<时，求证：()(2)2b af a b f a a-+-<．参考答案一． 选择题：1. 答案：B{}{}1,2,,M P x x M P x x M P M P M P M P M P M P =>=≥∴⇒⇒∴/ 解：是的必要非充分的条件。

2.答案：D12211112222mm m m m ni i ni m n i n m ni i⎧=⎪=⎧⎪=-⇒+=-⇒⇒⎨⎨=-+⎩⎪=-⎪⎩∴+=- 解： 3.答案：C1815889108883120,512024,22(2)(2)24.a a a a a a a a d a d a ++=∴=⇒=-=--+== 解：4.答案：B解：①若直线l ⊥平面，l ∥平面β，则过l 的平面γ∩β=m,m ∥l,m ⊥α,所以α⊥β正确； ②反例底面为菱形时各侧面都是正方形的棱柱不是正棱柱，所以②不正确；③如图所示的两个半平面满足一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，但这两个二面角的平面角不一定相等或互为补角；所以③不正确；④过空间任意一点一定作两条相交直线分别平行于两条异面直线，则这两条相交直线所确定的平面与两条异面直线都平行，所以④正确。

5.答案：B解：因为12)(1-=+x x f 的反函数12()log (11,(1)f x x x -=+->-）的图象的图象按向量)1,1(平移后得到)(x g 的图象，则)(x g 表达式为222()1log (11)1log 1,()log .g x x x g x x -=+--=-∴=6.答案：C解：y x y x y x 21,14,0,0+=+>>则且()12244()18942x y x y x y y x =++=+++≥+7.答案：C213243296A C A =解：8.答案：C解：因为A B 、A C 、AD 两两互相垂直，且6A B A C ==，2A D =， 22)664162,2,,3R R AD AOD π∴=++===∴∠=（，所以A 、D 两点间的球面距离为23π9.答案：A26226,2343642212()162334()6lim lim lim n nnnn n n n n nn n n nnn n a b a b a b →∞→∞→∞--⋅==∴=+⋅+⋅-⋅==+⋅ 解：10. 答案：A解：当x ＜0时,2x ＜1, f(x) =2x ； x ＞0时,2x ＞1, f(x) =1． 11.答案：B 如图,,,55,,,cos 666523,1,cos 3.6CD OD OC CD AB OD AB OC AB OC AB ABO AB OD CD AB AB OD AB OD CD AB AB OD ππππ=-∴⋅=⋅-⋅⊥∠=∴<>=∴⋅===∴⋅==- 又12.答案：C[][][][]00010010001110000000()ln()1,(,),ln()1()10ln()1(1),ln()ln()1(1)04,0)4155.5x x x x x f x ax e P x y y y ax e x x y ax e x ax e ax e x i x m m m e -----'=++-=++-∴-=++--+=++-∴-=-∴-==∴=解:设切点切线方程为，点（，）在切线上，，又椭圆的焦点（在切线上，，二.填空题： 13. 答案：431514.答案423解：过圆心C （1，1）作直线3480x y ++= 的垂线，垂足为P,这时四边形P A C B 面积的最小值为22，四边形P A C B 中42,3,3AB CP CP AB ⊥=∴=max (,)(3,3)3315.9323(1,3)3(1,3)OA OP x y x yOA P B P P ⋅+==+=设P(x,y),则Z=当点与点重合时，即时，Z ，16.答案：①④44sin cos cos 21x x x π-=-∴ 最小正周期为，（）正确.终边在y 轴上的角的集合是,(2).2k πααπ⎧⎫=+∴⎨⎬⎩⎭不正确函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象只有一个交点，因此（3）不正确.3sin 2()3sin 2,(4)63y x x ππ⎡⎤=-+=∴⎢⎥⎣⎦ 正确.()sin()0,2y x ππ=-∴ 在上为增函数，（5）不正确. 二． 解答题：17．（本小题满分12分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x b -=，且x ∈[0，2π]； （I ）求b a ·及b a +； （II ）若f (x )＝x b a b a sin 3·+-，求f (x )的最大值与最小值．17．解：⑴b a ·＝)2sin (23sin 2cos 23cos x x xx -+＝2sin 23sin 2cos 23cos x x x x -＝)223cos(x x +＝x 2cos 3分2ba +＝b a b a ·222++＝1＋1＋2cos 2x ＝2＋2cos 2x ＝4cos 2x ∵x ∈[0，2π] ∴cosx ≥0 ∴b a +＝2cosx6分⑵ f (x )＝cos 2x －3·2cosx ·sinx ＝cos 2x －3sin 2xPBACy x＝2cos (2x ＋3π) 8分∵0≤x ≤2π ∴34323π≤π+≤πx ∴21)32cos(1≤π+≤-x ∴1)(2≤≤-x f ∴2)(min-=x f ，当x ＝3π时取得该最小值 1)(max=x f ，当x ＝0时取得该最大值 12分18． 解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A 型”为事件A ，那么22025038()245C P A C ==， 即这2人血型都为A 型的概率是38245． ┅┅┅┅4分 （Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B ，那么222220105152503502()12257CC C C P B C +++===， 所以这2人血型相同的概率是27． ┅┅┅┅8分 （Ⅲ）随机变量可能取的值为0，1，2．且2152353(0)17C PC ξ===， 11201523560(1)119CC P C ξ===，22023538(2)119C P C ξ===．所以的分布列是0 12P31760119 38119的数学期望为E =0×317+1×60119+2×38119=13681197=．┅┅┅┅12分19．解：⑴证明：在正方形ABCD 中，AB ⊥BC又∵PB ⊥BC ∴BC ⊥面PAB ∴BC ⊥PA 同理CD ⊥PA ∴PA ⊥面ABCD 4分 ⑵在AD 上取一点O 使AO =31AD ，连接E ，O ， 则EO ∥PA ，∴EO ⊥面ABCD 过点O 做OH ⊥AC 交AC 于H 点，连接EH ，则EH ⊥AC ， 从而∠EHO 为二面角E －AC －D 的平面角6分在△PAD 中，EO ＝32AP ＝34在△AHO 中∠HAO ＝45°，H O SFEPDCBA∴HO ＝AOsin 45°=3232·22=，∴tan ∠EHO ＝22=HOEO， ∴二面角E －AC －D 等于arctan 228分⑶当F 为BC 中点时，PF ∥面EAC ，理由如下： ∵AD ∥2FC ，∴21==AD FC SD FS ，又由已知有21=ED PE ，∴PF ∥ES ∵PF ⊄面EAC ，EC ⊂面EAC ∴PF ∥面EAC ，即当F 为BC 中点时，PF ∥面EAC 12分20．解（1）设),(),,0(),0,(y x P b B a A分为轨迹方程点即由题意知则分即41)1(4)1(4:4)1()1(42||,0,1)1()(2),(),(,22222222222 =+++∴=+++=+∴=>⎪⎩⎪⎨⎧⋅+=+=⎩⎨⎧-=-=-∴--=-=t t y t x C P y tt x t b a AB t y t t b xt a y b t y tx a x y b x t y a x PB t AP （2）t=2时，11694922=+y x C 为 …………5分 11212121121211121212121111112121111194998|323||323|2217|323|)0(,.2),,(),,(y x y x S x y y x x y y x S y x x y h MN Q x x x y y MN y x MN y x N y x M QMN QMN-+=-=+-⋅+⋅=∴+-=≠=+=--=∆∆ 分分距离为到点的方程为设直线则则设分的最大值为等号成立时即当且仅当分而又1222,21,4323114949432321694919444991169491111121111212111221212121 QMN QMN S y x y x y x y x y x y x y x S y x y x ∆∆∴-==≤-∴-=⋅⋅-≥+=-=∴=+∴=+21．解：⑴由11221+++=n n n na a ，得n a a n nn n +=++2211 令n n n a b 2=，有n b b nn =-+1 ∴)()(...)(121121----+-++-+=n n n n n b b b b b b b b ＝)]1(...321[1-+++++n b ＝)1(211-+n nb 又b 1＝2a 1＝2，)1(212-+=n n b n 3分∴2)1(212+-=n n a nn∴*)()21(·)4(12N n n n a n n∈+-=+ 4分⑵证法1：(数学归纳法)1°，当n ＝1时，a 1＝1，满足不等式1121111≤=≤-a 5分2°，假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时结论成立 即1211≤≤-k k a ，那么k k k k k k k k k k a a 2122221·2122111111>+-+≥+=+++++ 即121)1(1->++k k a 7分又122·22212211111=<+≤+=++++k kk k k k k k a a 由1°，2°可知，n ∈N *，都有1211≤≤-n n a 成立 9分⑵证法2：由⑴知：12)21(·)4(++-=n nn n a (可参照给分) ∵02≥-n n ，*N n ∈，∴1121)21(·4-+=≥n n n a ∵1224++-=n n n n a ∵21111111*********...1)11(2+++++-+++++++>++++++=+=n n n n n n n n n n n n C C C C C C C∴22221++>+n n n ∴122231224222<++--=+++-<n n n n n n n a n当n ＝1时，11==a a n ，综上1211≤≤-n n a⑵证法3：8224)4(24)1()1(22221+-++=+-++-+=+n n n n n n n n a a nn 0822415)21(8224122221<+----=+--+-=-+n n n n n n n a a nn ∴{a n }为递减数列当n ＝1时，a n 取最大值 ∴a n ≤1由⑴中知22)1(212≥+-=n n a nn121-≥n n a综上可知1211≤≤-n n a⑶nn n n n n n n n T )21(·)21(·)4(42122=+-+-=+ 欲证：nn n k T T <+22即证n n n T T k +<221 11分即ln(1＋T n )－T n ＜0，构造函数f (x )＝ln(1＋x )－x∵xxx x f +-=-+=1111)(当x ＞0时，f ' (x )＜0 ∴函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内递减∴f (x )在[0，＋∞)内的最大值为f (0)＝0 ∴当x ≥0时，ln(1＋x )－x ≤0又∵T n ＞0，∴ln(1＋T n )－T n ＜0 ∴不等式nn n k T T <+22成立 14分22.解：（Ⅰ）依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）；（Ⅱ）因为()(1)()ln(1)2h x f x g x x x '=+-=+-+（1x >-），所以1()111xh x x x -'=-=++．当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<． 因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． 因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； （Ⅲ）当0b a <<时，102b aa--<<．由（Ⅱ）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．因此，有()(2)lnln 1222a b b a b af a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．。