反证法课件
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反证法(课件)
复习 1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法 2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 已知条件 分析法
结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
探究2：深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；-（2）从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯 定命题的结论成立;
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
提升训练
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
Байду номын сангаас
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
综合法 已知条件 分析法
结论
结论 由因导果 已知条件 执果索因
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程
探究2：深度挖掘——了解反证法
反证法的证题步骤： （1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立；-（2）从这个假设出发，经过推理论证， 得出矛盾； （3）从矛盾判定假设不正确，从而肯 定命题的结论成立;
王戎回答说:“假如李子不苦的话，早被 路人摘光了，而这树上却结满了李子，所 以李子一定是苦的。”小伙伴摘取一个尝 了一下,果然是苦李.
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
与已知a b 0矛盾 与已知a b 0矛盾 （2）若 a = b a = b，
所以假设错误，故原命题
a b
成立
注：当结论的反面不止一种情况时，该怎么办？
提升训练
探究3：生活中有运用反证法思想的例子吗?
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
王戎是怎么知 道李子是苦的呢? 他运用了怎样的
推理方法?
Байду номын сангаас
例2：在同一平面内，两条直线a,b都和直线c 垂直，求证：a与b平行
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
反证法 课件
用反证法证明唯一性命题
求证方程 2x＝3 有且只有一个根.
[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证 明方程2x＝3的根是唯一的：
假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)， 则2b1＝3,2b2＝3，
两式相除得2b1－b2＝1. 若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾． 若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾． ∴b1－b2＝0，则b1＝b2. ∴假设不成立，从而原命题得证．
－32＜a＜12， ⇒a＞13或a＜－1，
－2＜a＜0.
⇒－32＜a＜－1，
这与已知a≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程
有实数解．
母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x2＋4ax－4a＋3＝ 0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，如何求实 数a的取值范围？
反设词
至少有一个
一个也没有
至多有一个
至少有两个
至少有n个
至多有n－1个
已知 a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x ＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0 中至少有一个方程有实数解.
[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小
于0，即：
4aa－21－24－－4a42＜a＋0，3＜0， 2a2＋4×2a＜0，
数a的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，则
4aa－21－24－－4a42≥a＋0，3≥0， 2a2＋4×2a≥0，
即43aa22＋ ＋42aa－ －31≥ ≤00， ， a2＋2a≥0，
4.6反证法【课件一】
例3
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于 或等于60°。 已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设 △ABC中没有一个内角小于或等于60°， ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60° 则 。 ∴ ∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° ， 即 ∠A+∠B+∠C>180° 。 这与 三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立． ∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°. ．
点拨：至少的反面是没有！
10
四、回顾与 归纳
假 得 设 出 结 矛 论 推理论证 盾 的 ︵ 反 已 面 知 正 确
反设
归谬
基 本 命 假题 事 实 得出结论 设 成 不立 ︑ 成 定 立 理 ︐ 等 原 ︶
结论
.
11
直接证法 证明真命题 的方法 间接证法 反证法
12
五、巩固新知
1、试说出下列命题的反面： （1）a是实数。 a不是实数 （2)a大于2。 a小于或等于２ a大于或等于２ （3）a小于2。 （4）至少有2个 没有两个 （5）最多有一个 不止一个 （6）两条直线平行。 两直线相交 2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步 是 假设a=b 。 3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角， 那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步 假设这个三角形是等腰三角形 。
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为： 发现知识：
(1)先假设结论的反面是正确的;(2)然后通过逻辑推理，得出 与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；(3)从而 说明假设不成立，进而得出原结论正确。像这样的证明方法叫 5 做反证法。
反证法 课件(人教版)
2.反证法可以适用的两种情形 (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结 论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从 反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.
用反证法证明否定性命题 【技法点拨】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命 题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具 体，适合使用反证法
【归纳】 (1)用反证法证题时，若原命题的反面不唯一时怎么 办？(2)宜用反证法证明的题型有哪些？ 提示：(1)用反证法证明命题时，若原命题的反面不唯一，这 时要把每一种情况一一否定，不能遗漏. (2)宜用反证法证明的题型有： ①易导出与已知矛盾的命题； ②“否定性”命题；
③“唯一性”命题； ④“必然性”命题； ⑤“至多”“至少”类的命题； ⑥涉及“无限”结论的命题等.
用反证法证明唯一性命题 【技法点拨】
用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性 和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存 在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用 反证法证其唯一性比较简单明了.
【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解) 1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反 证应分为________和___________________. 2.求证方程2x=3有且只有一个根.
【解析】1.两条直线的交点个数包括：没有交点，有且只有一 个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为 无交点和不只有一个交点. 答案：无交点 不只有一个交点
2.因为2x=3，所以x=log23.这说明方程有一个根.下面用反证 法证明方程2x=3的根是唯一的. 假设方程2x=3有两个根x1,x2(x1≠x2)， 则 2x1 3, 2两x2 式3,相除，得 =1.2x1x2 若x1-x2＞0，则2x1x＞2 1,这与 2x=1x12 矛盾； 若x1-x2＜0，则2x1x＜2 1,这也与 2=x11x2矛盾， 因此只能x1-x2=0，这与x1≠x2矛盾. 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2x=3只有一个根.
2.2.2-反证法-课件
∴ {cn}不是等比数列 .
栏目 导引
第二章
推理与证明
【名师点评】
(1)当结论为否定形式的命题时 ,通过反设 ,
转化为肯定性命题 .可作为条件应用进行推理 ,因此对此类 问题用反证法很方便 . (2)用反证法证明问题的一般步骤: ①假设命题的结论不成立 ,即假设结论的反面成立 ; ②从这个假设出发 ,经过推理论证 ,得出矛盾; ③从矛盾判定假设不正确 ,从而肯定命题的结论正确 .
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第二章
推理与证明
知能演练轻松闯关
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第二章
推理与证明
本部分内容讲解结束
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第二章
http://www.99dyw.co/ 九九电影网 / 九九电影网 www.youhuijuan.co 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014 天堂网2014
例1 设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列 ,cn＝an＋bn,
证明:数列 {cn}不是等比数列 .
【证明】 假设 {cn}是等比数列 , 则当 n≥ 2 时 ,(an＋ bn)2＝ (an－1＋bn－ 1)· (an＋1＋bn＋ 1). 2 ∴ a2 ＋ 2 a b ＋ b n n n n ＝ an－ 1an＋ 1＋ an－ 1bn＋1＋bn－ 1an＋ 1＋bn－1bn＋ 1. 设 {an},{bn}的公比分别为 p,q(p≠ q).
反证法(课件)
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义： 在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
例题1:求证在同一平面内,如果一条直线和两条平
用反证法证明(填空):在三角形的内角中, 至少有一个角大于或等于60 ° A
证明：假设所求的结论不成立，即 ＜ ∠A__ 60 ° ,∠ B__60 ° ,∠ C __60 ° ＜ ＜ 则∠A+∠ B+∠ C＜180 ° 三角形的三个内角之和等于180 ° 这与______________________相矛盾 假设 所以______不成立， 所求证的结论成立
a
b
p
准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的， 下面是一些常见的关键词的否定形式.
原词语
等于
否定词
不等于 不是 不都是 不大于 不小于
原词语 任意的
至少有一个
否定词
某个
是 都是 大于 小于
一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n个 至多有（n-1)个 至多有n个 至少有（n+1)个 对任何x 不成立 存在某个x,成立
行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. P l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, 假设 l3∥l2 那么_________. 推理 l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直线与已 这与“____________________________ 矛盾 知直线平行 _____________”矛盾.
反证法 课件
与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个 正数，故应选C.
作为条件使用
()
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④
B．①②③
C．①③④
D．②③
[答案] C
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用， 故应选C.
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论
的否定是
()
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
公或式 定义 已矛被证明了的盾结论
，
与
公认的简单事实矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
[证明] 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立．当 b< －2 时，其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
∴ff((－1)＝1)＝1＋1－b＋b＋c>c－<1212
⇒b>－12与 b<－2 矛盾．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
[少点评存] 在1.反一证个法是x利，用原使命|题f(的x)否|≥命题12不成成立立则．原命题一定成立来进行证明的，在使用反证
法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全 的．
2．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
3．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
作为条件使用
()
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④
B．①②③
C．①③④
D．②③
[答案] C
[解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用， 故应选C.
2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论
的否定是
()
A．两个内角是直角
B．有三个内角是直角
公或式 定义 已矛被证明了的盾结论
，
与
公认的简单事实矛盾．
[例 2] 设 f(x)＝x2＋bx＋c，x∈[－1,1]，证明：b<－2 时，在其定义域范围内至少存在一个 x，使|f(x)|≥12成立．
[证明] 假设不存在 x∈[－1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥12. 则对于 x∈[－1,1]上任意 x，都有－12<f(x)<12成立．当 b< －2 时，其对称轴 x＝－b2>1， f(x)在 x∈[－1,1]上是单调递减函数，
∴ff((－1)＝1)＝1＋1－b＋b＋c>c－<1212
⇒b>－12与 b<－2 矛盾．
假设不成立，因此当 b<－2 时在其定义域范围内至
[少点评存] 在1.反一证个法是x利，用原使命|题f(的x)否|≥命题12不成成立立则．原命题一定成立来进行证明的，在使用反证
法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全 的．
2．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．
3．常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：
2.2.2-反证法课件
第8页，共17页。
典例剖析
例1：已知直线a,b和平面 ，如果 a ,b ,
且 a // b ，求证：a // .
证明：假设直线a与平面 有公共点P，
则 P ，b 即点P是直线a与b的公共点
与 a //矛b 盾。
所以结论正确，即：
a //
bP
注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，
D、没有一个内角是直角
2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正确的反 设为（ ）
A.a、b、cD都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
第12页，共17页。
3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说
A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎. 由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
第5页，共17页。
理论：
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法称为间接证明
第6页，共17页。
1.反证法定义：
一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下,结论 不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾。 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证 明方法叫做反证法。
注：反证法是最常见的间接证法。
第7页，共17页。
牛刀小试
用反证法证明(填空):在三角形的内角中,
至少有一个角大于或等于60 °
第16页，共17页。
知识结构
合情推理
《初二数学反证法》课件
相较于需要一步一步证明的直接证明法，反证法 是一种更加简便的证明方法。鼠，其中有一只叫
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
完美的舞蹈
2
做“加一地鼠”，可以将它向右移动一 格。假设不可能找到一种稳定的方案，
600名女孩参加了一场舞蹈比赛，假
使得最后每只地鼠都获得编号10，那
设每个女孩都在同一个时刻起舞，那
著名数学家
著名数学家ToruMatsui通过反证法，成功研究射 线切割问题。
反证法总结
1 应用范围和限制
反证法不仅可以用于数 学证明，还可以用于其 他领域。但是，必须注 意限制其使用范围。
2 实际生活中的应用
反证法的思路不仅能够 解决数学问题，还可以 用于解决生活中的种种 疑惑。
3 知识点小结
反证法是一种常用的数 学证明方法，通过假设 不成立，来证明某个命 题是真的。
初二数学反证法
本课程将介绍初二数学中的反证法概念及其应用。从实际生活中的例子出发， 帮助学生了解和掌握反证法的思路和方法。
什么是反证法？
反证法是数学证明方法之一，通过采用“假定不成立”的思路，来证明某命题为真。
基本思路
如同推翻一排多米诺骨牌的第一个骨牌，通过推 翻一个假设来证明某个命题为真。
与直接证明法的比较
么“加一地鼠”的编号应该小于等于9。
么总有一个时刻，女孩们完美的呈现
舞蹈步骤。
反证法优缺点
优点
证明思路简单易懂，适用于较为复杂的问题。
缺点
可能需要耗费较长时间，需要较强的反应能力和想象力。
反证法实战
果蝇实验
通过反证法，科学家Bernard de Jouvenel和 Georgeand Marie-Louise Teissier在实验中证明 了基因对先天特征的影响。
反证法PPT课件
矛盾
得出假设命题不 成立是错误的
2020年10月2日
即所求证的 命题正确
9
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的推理方法? 2020年10月2日
2
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设 命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种 证明方法叫做反证法.
2020年10月2日
3
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天下在 外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
小芳全家没外出旅游.
他是如何推断该命题的正确性的?
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一
至两个例子. 2020年10月2日
4
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
2020年10月2日
1
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王 戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树 上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王 戎站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样
反证法(证明) ppt课件
若存在，求出其值，若不存在，请说明理由。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
练习
求证：在任何三个整数中，必有这样的 两个数，他们的和是2的倍数
如果把9个苹果放在4个盒子里那么至少 有1个盒子中放了3个或者3个0 对于直线l : y kx 1 ，是否存在这样的
实数 k ，使得l 与双曲线 C : 3x2 y2 1
的交点A，B关于直线 y ax（a 是常数）对称？
例3 抛物线上任取四点4所组成的不可能是平行四边形。
练习
有一个4×4的方格表.先从中涂黑3个方格，然后再 将那些至少与两个已涂黑的方格相邻的方格也涂黑. 求证：无论最初涂黑哪3个方格，都不可能按这样的 规则涂黑所有的方格.
存在无限性命题与反证法
问题涉及存在多个符合某条件时，也使用反证法
反证法
反证法定义 方法的步骤 反证法的分类
反证法
反证法：通过证明命题的否定命题不真 实，从而肯定原命题成立的论证方式
包括归谬法和穷举法
反证法证题步骤
1、假设原命题不成立 2、从否定结论出发，逐层推理，得出与
公理、订立或者题设条件自相矛盾的结 论 3、根据排中律，肯定原命题成立
存在至多或者至少型命题
例8
若x, y, z 为实数，令 a x2 2y ，
2
b y2 2z , c z2 2x
3
6
求证：a,b, c 至少有一个不大于0。
例题
例8 把43人分成7各小组，总有一个小组 至少有7人
例9 把11个参加活动的名额分配给6个班， 每班至少分配1人，求证：不管怎么分， 至少有3个班的名额相等
否定性命题与反证法
否定型命题：结论中含有“不可 能……”“不是……”“不存在……”“不等于……” 等词句。这类命题通常用反证法证明。
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数学—公理化思想
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
若 a < b，则a < b, 与已知a > b矛盾,
故假设不成立，结论 a > b成立。
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是 只有一 个
不等于
小于或 大于或 等于（≤）等于（≥） 不是
任意的 所有的
没有或 不都是 至少有 两个 至多 有n个 任意两 个
至多有 至少有一 一个 个
至少有 否定 两个
一个也证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷
多个” ---类命题；
（4）结论为
“唯一”类命题；
例2 求证： 2 是无理数。
证：假设 2是有理数，
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
2 2
∴ m = 2n ∴ m = 2n ∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
假设不成立，故
2
2
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
归谬——从假设出发，经过一系列正确的 推理，得出矛盾； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立。
归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；
（2）与假设矛盾
（3）与已有公理、定理、定义矛盾； （4）与客观事实矛盾。
例1
证明：如果a>b>0，那么
a> b
证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
反证法证明命题的一般步骤如下: 1.假设结论的反面成立; 反设
2.由这个假设 出发 , 经过正确的推理 , 归谬 ．． 导出矛盾; 推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3. 由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定 结论 命题的结论正确 .
运用好反证法的另一个关键是正确对结论进行否定
2
是无理数。
提升训练
方法小结：
1．反证法 假设原命题 不成立 ( 即在原命题的条件下，结 论不成立 ) ，经过正确的推理，最后得出矛盾， 因 此 说 明 假设错误，从而证明了 原命题成立 ，这种 证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 在反证法中，经过正确的推理后“得出矛盾”， 所得矛盾主要是指与 已知条件矛盾，与 数学公理 、 公式 、 定义、 定理 或 已被证明了的结论 矛 盾 ， 与 公认的简单事实 矛盾．
2.2.2直接证明与间接证明 -反证法
直接证明 分析法(逆推法)
综合法(顺推法)
反证法是一种常用的间接证明的方法。 经过正确 一般地，假设原命题不成立， 因此说明假设错 的推理，最后得出矛盾。 这样的证明 误，从而证明了原命题成立， 方法叫做反证法（归谬法）。 其步骤： 反设——假设命题的结论不成立；
原结论词 反设词
大于（>） 小于（<） 都是
不大于（≤）不小于（≥）不都是
都不是
至少有一个是
至少n个
至多n-1个
至多n个
至少n+1个
原结论词 反设词
有无穷多个 只有有限多个
存在唯一的 不存在或至少存在两 个
对任意p，使…恒成立 至少有一个p，使…不成立
推理 合情推理 （归纳、类比） 证明 直接证明 （分析法、综合法） 间接证明 （反证法） 演绎推理 （三段论）