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2017_2018学年高中数学第三章概率章末复习课学案北师大版必修3(含答案)

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2017-2018版高中数学 第三章 概率 1.1 频率与概率学案 北师大版必修3

2017-2018版高中数学 第三章 概率 1.1 频率与概率学案 北师大版必修3

1．1 频率与概率学习目标 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.3.初步能够利用概率知识解释现实生活中的实际问题．知识点一随机事件思考抛掷一粒骰子，下列事件，在发生与否上有什么特点？(1)向上一面的点数小于7；(2)向上一面的点数为7；(3)向上一面的点数为6.梳理事件的概念及分类知识点二频数与频率思考抛掷一枚硬币10次，正面向上出现了3次，则在这10次试验中，正面向上的频数与频率分别是多少？梳理(1)频率是一个变化的量，但在大量重复试验时，它又具有“稳定性”，在____________附近摆动．(2)随着试验次数的增加，摆动的幅度具有____________的趋势．(3)有时候试验也可能出现频率偏离“常数”________的情形，但是随着试验次数的增大，频率偏离“常数”的可能性会________．知识点三概率思考一枚质地均匀的硬币，抛掷10次，100次，1 000次，正面向上的频率与0.5相比，有什么变化？梳理在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的________会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．P(A)的范围是____________．类型一必然事件、不可能事件和随机事件的判定例1 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)铁球浮在水中；(4)某电话总机在60秒内接到至少15次传呼；(5)同性电荷，相互排斥．反思与感悟要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．跟踪训练1 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x∈R，则x2＋1≥1；(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12.类型二列举试验结果例2 某人做试验，从一个装有标号为1,2,3,4的小球的盒子中，无放回地取两个小球，每次取一个，先取的小球的标号为x，后取的小球的标号为y，这样构成有序实数对(x，y)．(1)写出这个试验的所有结果；(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件．反思与感悟在写出试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．跟踪训练2 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．类型三用频率估计概率例3 李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率．(结果保留到小数点后三位)(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．反思与感悟随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．跟踪训练3 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( ) A．必然事件B．随机事件C．不可能事件D．无法确定2．下列说法正确的是( )A．任一事件的概率总在(0,1)内B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率一定为1D．以上均不对3．给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①④4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为( )A．48 B．52C．0.48 D．0.525．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为( )A．160 B．1 600 C．784 D．7 8401．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．3.写出试验结果时，要按顺序，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．答案精析问题导学知识点一思考(1)必然发生；(2)必然不发生；(3)可能发生也可能不发生．梳理不会会可能发生也可能不发生知识点二思考频数为3，频率为3 10 .梳理(1)一个“常数”(2)越来越小(3)较大减小知识点三思考随着抛掷的次数增加，正面向上的次数与总次数之比会逐渐接近0.5.梳理频率稳定性0≤P(A)≤1题型探究例1 解由实数运算性质知(1)恒成立是必然事件；(5)由物理知识知同性电荷相斥是必然事件，(1)(5)是必然事件．铁球会沉入水中，(3)是不可能事件．由于(2)(4)中的事件有可能发生，也有可能不发生，所以(2)(4)是随机事件．跟踪训练1 解由题意知：(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．例2 解(1)当x＝1时，y＝2,3,4；当x＝2时，y＝1,3,4；当x＝3时，y＝1,2,4；当x ＝4时，y＝1,2,3.因此，这个试验的所有结果是(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A，则A＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)}．跟踪训练2 解(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．例3 解总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：(1)将“90分以上”记为事件A ，则P (A )＝43645≈0.067；(2)将“60分～69分”记为事件B ， 则P (B )＝90645≈0.140；(3)将“60分以上”记为事件C ， 则P (C )＝645－8－62645≈0.891.跟踪训练3 解 (1)表中依次填入的数据为0.80,0.95,0.88，0.92，0.89，0.91. (2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89. 当堂训练1．B 2.C 3.B 4.D 5.D本文档仅供文库使用。

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教师用书 第3章

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教师用书 第3章

§1随机事件的概率1.1 频率与概率1.2 生活中的概率1．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，并据此估计某一事件发生的概率，进而理解概率的含义．(重点)2．对生活中的一些问题能从概率的角度作出合理的解释．(难点)3．经历试验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力．教材整理概率阅读教材P119～P126，完成下列问题．1．随机事件的概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)．我们有0≤P(A)≤1.2．频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，因此，我们常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．3．生活中的概率概率和日常生活有着密切的联系，对生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的判断与决策．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)没有空气和水，人类可以生存下去是不可能事件．( )(2)三角形的两边之和大于第三边是随机事件．( )(3)在标准大气压下，水在1 ℃结冰是不可能事件，它的概率为0.( )(4)任意事件A发生的概率P(A)总满足0＜P(A)＜1.( )【解析】(1)√.由不可能事件的概念可知．(2)×.三角形两边之和大于第三边是必然事件．(3)√.标准大气压下，水在1 ℃不会结冰．(4)×.0≤P(A)≤1.【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×【导学号：63580033】①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少15个电话；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥手电筒的电池没电，灯泡发亮．【精彩点拨】用随机事件的定义进行判断．【自主解答】根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义可知，①是必然事件，②④是随机事件，③⑤⑥是不可能事件．要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.1．给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是2∶1；②下周一某地的最高气温和最低气温相差10 ℃；③同时掷两枚骰子，向上一面的点数之和不小于2；④射击1次，命中靶心； ⑤当x 为实数时，x 2＋4x ＋4<0.其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________． 【解析】 ①②④可能发生也可能不发生是随机事件，③是必然事件，⑤是不可能事件． 【答案】 ③ ⑤ ①②④掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？【精彩点拨】 解答本题应利用概率的意义作答．【自主解答】 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的，这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点，所以掷一颗骰子得到6点的概率是16，并不意味着把它掷6次能得到1次6点．1．概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A 的本质属性，随机事件A 发生的概率是大量重复试验中事件A 发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件A 在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．2．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12.这种理解正确吗？【解】 不正确．掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面朝上”“反面朝上”的可能性都为12.连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面和反面的可能性还是12，不会大于12.用0,1，…，9这10个数字中的任意5个表示“正面朝上”，其余5个表示“反面朝上”，每产生一个随机数就完成一次模拟．例如，可用0,1,2,3,4表示“正面朝上”，用5,6,7,8,9表示“反面朝上”．具体过程如下：(1)制作一个如下形式的表格，在随机数表中随机选择一个开始点，完成100次模拟，并将结果记录在下表中．(2)(3)汇总全班同学的结果，给出出现“正面朝上”的频率．探究1 根据上面的模拟结果，你对出现“正面朝上”的频率有怎样的认识？【提示】出现“正面朝上”的频率是一个变化的量，但是当试验次数比较大时，出现“正面朝上”的频率在0.5附近摆动，这与历史上大量抛掷硬币的试验结果是一致的．探究2 在实际问题中，随机事件A发生的概率往往是未知的(如在一定条件下射击命中目标的概率)，你如何得到事件A发生的概率？【提示】通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率．表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：表一(1))；(2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？【精彩点拨】 (1)随机抽取的某批篮球产品的质量检查中“篮球是优等品”是随机事件；(2)计算随机事件“篮球是优等品”的频率f ＝m n；(3)利用表中随机事件“篮球是优等品”的频率去估算概率．【自主解答】 (1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86,0.89，0.91，0.91,0.89,0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P 甲>P 乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．概率的确定方法：理论依据：频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率.计算频率：频率＝频数试验次数.得出概率：从频率估计出概率.3．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，统计结果如下：贫困地区：(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．【解】(1)贫困地区：0.550.问题：有四个阄，其中两个分别代表两件奖品，四个人按顺序依次抓阄来决定这两件奖品的归属．为了搞清楚是不是先抓的人中奖率一定大，有人设计了一个模拟试验如下：口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，白球代表奖品，每4人一组，按顺序依次从中摸出1球并记录结果，每组重复试验20次．下表是汇总了8组学生的数据得到的结果．【提示】先抓的人中奖率并不最大，先抓后抓摸到白球的频率是基本相同的．探究4 你认为第一个人、第二个人、第三个人、第四个人摸到奖品的概率相等吗？你认为摸奖的次序对中奖率有影响吗？【提示】从试验中的数据可以认为这四个人摸到奖品的概率是相等的．没有影响，也就是说中奖率的大小与抓阄的先后没有关系．下列说法正确的是( )A ．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B ．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C ．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D ．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1 【精彩点拨】 本题主要考查概率的意义，概率从数量上客观地反映了随机事件发生的可能性的大小．【自主解答】 对于A ，一对夫妇生一个孩子，是做一次试验，生男孩、女孩的概率都是12.生两个孩子相当于做两次试验，每一次试验生男孩、女孩的概率都是12.因此第二个孩子的性别可能是男，也可能是女，故A 错误．对于B ，一次摸奖活动中，摸一次奖相当于做一次随机试验．摸5张票相当于做5次随机试验．可能中奖也可能不中，故B 错误．10张奖票无论谁先摸中奖的概率相同，故C 错误． 【答案】 D1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大，概率越小，事件A 发生的可能性就越小，但不能决定其一定发生或不发生．2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律性在数量上的反映．概率是客观存在的，它与试验次数，以及哪一个具体的试验都没有关系，运用概率知识，可以帮助我们澄清日常生活中人们对一些现象的错误认识．4．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( ) A ．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈 B ．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈 C ．说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90% D ．以上说法都不对【解析】 概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大，故选C.【答案】 C1．下列事件中，是随机事件的是( ) A ．长度为3,4,5的三条线段可以构成一个三角形 B ．长度为2,3,4的三条线段可以构成一个直角三角形 C ．方程x 2＋2x ＋3＝0有两个不相等的实根 D ．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在定义域上为增函数【解析】 A 为必然事件，B 、C 为不可能事件，a >1时发生，0<a <1时不发生．D 为随机事件．【答案】 D2．下列说法正确的是( ) A ．任一事件的概率总在(0,1)内 B ．不可能事件的概率不一定为0 C ．必然事件的概率一定为1 D ．以上均不对【解析】 任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1. 【答案】 C3．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上．设反面朝上为事件A ，则事件A 出现的频数为________，事件A 出现的频率为________．【解析】 100次试验中，48次正面朝上，则52次反面 朝上．又频率＝频数试验次数＝52100＝0.52.【答案】 52 0.52 4．给出下列三个结论：①小王任意买1张电影票，座号是3的倍数的可能性比座号是5的倍数的可能性大； ②高一(1)班有女生22人，男生23人，从中任找1人，则找出的女生可能性大于找出男生的可能性；③掷1枚质地均匀的硬币，正面朝上的可能性与反面朝上的可能性相同． 其中正确结论的序号为________． 【解析】 根据概率的意义可知①③正确． 【答案】 ①③5．某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?【解】不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不治愈．。

2017_2018版高中数学第三章概率章末温习课学案北师大版必修3

2017_2018版高中数学第三章概率章末温习课学案北师大版必修3
跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2张，每次掏出1张，计算掏出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2张，每次掏出1张，计算掏出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．
类型三 古典概型与几何概型
例3 某产品的三个质量指标别离为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评判该产品的品级．假设S≤4，那么该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
4．几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．
类型一 频率与概率
例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a
50
100
200
300
400
500
次品件数b
3
4
5
5
8
9
次品频率
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(1)本实验是不是等可能的？
(2)本实验的大体事件有多少个？
(3)事件A是什么，它包括多少个大体事件？
只有回答好这三个方面的问题，解题才可不能犯错．
3．几何概型的实验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何气宇(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关．求实验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何气宇，然后代入公式即可求解．
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．

2017_2018版高中数学第三章概率2.3互斥事件学案北师大版必修3

2017_2018版高中数学第三章概率2.3互斥事件学案北师大版必修3

2．3 互斥事件[学习目标] 1.理解互斥事件、对立事件的定义，会判断所给事件的类型.2.掌握互斥事件的概率加法公式并会应用.3.正确理解互斥、对立事件的关系，并能正确区分判断．知识点一集合间的基本关系知识点二集合的基本运算给定事件A，B，我们规定A＋B为一个事件，事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看两个事件是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生．若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是．知识点四概率的几个基本性质1．概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率为1.(3)不可能事件的概率为0.2．互斥事件的概率加法公式当事件A与事件B互斥时，A＋B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，从而A ＋B的频率f n(A＋B)＝f n(A)＋f n(B)，则概率的加法公式为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．3．对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)．题型一互斥事件、对立事件的概念例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思与感悟 1.要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的和事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是( )A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球答案 D解析根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．题型二和事件的概念例2 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3. 同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4＋C5＋C6.同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6，F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5. 反思与感悟 事件间运算方法：(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn 图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 跟踪训练2 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B ＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C ＝{3个球中至少有一个红球}，事件D ＝{3个球中既有红球又有白球}．则： (1)事件D 与事件A 、B 是什么样的运算关系？ (2)事件C 与事件A 的交事件是什么事件？解 (1)对于事件D ，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D ＝A ＋B . (2)对于事件C ，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C ∩A ＝A .题型三 对立事件、互斥事件的概率例3 同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率．解 方法一 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：所以P (A )＝2036＝59.方法二 设“至少有一个5点或6点”为事件A ，“至少有一个5点或6点”的对立事件是“既没有5点又没有6点”，记为A .如上表，“既没有5点又没有6点”的结果共有16个， 则“既没有5点又没有6点”的概率为P (A )＝1636＝49. 所以“至少有一个5点或6点”的概率为P (A )＝1－P A )＝1－49＝59.反思与感悟 1.互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．2．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．3．当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．跟踪训练 3 某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率．解设“低于7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率例4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率．分析事件A，B，C，D为互斥事件，A＋B与C＋D为对立事件，A＋B＋C与D为对立事件，因此可用两种方法求解．解方法一(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件，所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.方法二(1)“取出1个球为红球或黑球”的对立事件为“取出1个球为白球或绿球”，即A＋B 的对立事件为C ＋D ，所以P (A ＋B )＝1－P (C ＋D )＝1－P (C )－P (D )＝1－16－112＝34，即“取出1个球为红球或黑球”的概率为34.(2)“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A ＋B ＋C 的对立事件为D ，所以P (A ＋B ＋C )＝1－P (D )＝1－112＝1112，即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为1112.解后反思 求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率，即P (A )＝1－P (B )(B 是A 的对立事件)．1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥，则有P (A )＝1－P (B )．其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A ＋B ＝A 时，P (A ＋B )＝P (A )，∴④错；只有事件A 与B 为对立事件时，才有P (A )＝1－P (B )，∴⑤错．2．对同一事件来说，若事件A 是必然事件，事件B 是不可能事件，则事件A 与事件B 的关系是( ) A ．互斥不对立 B ．对立不互斥 C ．互斥且对立 D ．不互斥、不对立 答案 C解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A 与事件B 的关系是互斥且对立．3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝D D ．A ∪C ＝B ∪D 答案 D解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A ∪C ＝D ＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，B ∪D 为必然事件，所以A ∪C ≠B ∪D .4．从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是34，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( )A.35B.25 C.14 D.18答案 C解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.5．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________． 答案 0.2解析 设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ＋C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系．互斥未必对立，对立一定互斥．2．互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3．求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的和事件； (2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．一、选择题1．已知P (A )＝0.1，P (B )＝0.2，则P (A ＋B )等于( ) A ．0.3 B ．0.2 C ．0.1 D ．不确定答案 D解析 由于不能确定A 与B 是否互斥，所以P (A ∪B )的值不能确定． 2．若A 、B 是互斥事件，则( )A．P(A＋B)<1 B．P(A＋B)＝1C．P(A＋B)>1 D．P(A＋B)≤1答案 D解析∵A、B是互斥事件，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B是对立事件时，P(A＋B)＝1)．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中丙级为次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对该产品抽查一件抽到正品的概率为( )A．0.09 B．0.97C．0.99 D．0.96答案 C解析因为抽到次品的概率为0.01，所以抽到正品的概率是1－0.01＝0.99.4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．“至少有1个白球”和“都是红球”B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球”C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D．“至多有1个白球”和“都是红球”答案 C解析该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件且不是对立事件．5．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( )A．① B．②④C．③ D．①③答案 C解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C.6．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率加法公式，故②不正确；概率加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确．比如在掷骰子试验中，设事件A ＝{正面为奇数}，B ＝{正面为1,2,3}，则P (A )＋P (B )＝1.而A ，B 不互斥，故④不正确． 7．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为16.事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B (B 表示事件B 的对立事件)发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 C解析 由题意知，B 表示“大于或等于5的点数出现”，事件A 与事件B 互斥，由概率的加法计算公式可得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝26＋26＝46＝23.二、填空题8．若A ，B 为互斥事件，P (A )＝0.4，P (A ＋B )＝0.7，则P (B )＝________. 答案 0.3解析 因为A ，B 为互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )．所以P (B )＝P (A ＋B )－P (A )＝0.7－0.4＝0.3.9．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为920，则参加联欢会的教师共有________人．答案 120解析 可设参加联欢会的教师共有n 人，由于从这些教师中选一人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－920＝1120.再由题意，知1120n －920n ＝12，解得n ＝120.10．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为________．答案 0.45解析 由图可知，抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.11．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为49，则5点或6点至少出现一个的概率是________． 答案 59解析 记“既不出现5点也不出现6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“5点或6点至少出现一个”的事件为B .因为A ∩B ＝∅，A ＋B 为必然事件，所以A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.故5点或6点至少出现一个的概率为59.三、解答题12．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是13，取到黑球或黄球的概率是512，取到黄球或绿球的概率是512.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少．解 从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 显然是两两互斥的． 由题意，得⎩⎨⎧P A ＝13， P B ＋C ＝512， P C ＋D ＝512， P A ＋B ＋C ＋D ＝1，即⎩⎨⎧P B ＋P C ＝512， P C ＋P D ＝512， 13＋P B ＋P C ＋P D ＝1，解得⎩⎨⎧P B ＝14， P C ＝16， P D ＝14，故取到黑球的概率是14，取到黄球的概率是16，取到绿球的概率是14.13．黄种人群中各种血型的人所占的比例如下表所示．互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一个人，其血型为A，B，AB，O的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知得P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.由于B，O型血可以输给B型血的人，因此“可以输血给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得：P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，因此“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，所以P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.[学习目标] 1.初步体会模拟方法在概率方面的应用.2.理解几何概型的定义及其特点，会用公式计算简单的几何概型问题.3.了解古典概型与几何概型的区别与联系．知识点一 几何概型的含义1．几何概型的定义向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 思考 几何概型与古典概型有何区别？ 答 几何概型与古典概型的异同点P (A )＝构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.思考 计算几何概型的概率时，首先考虑的应该是什么？ 答 首先考虑取点的区域，即要计算的区域的几何度量．题型一 与长度有关的几何概型例1 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率有多大？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝13.反思与感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 跟踪训练1 平面上画了一组彼此平行且相距2a 的平行线．把一枚半径r ＜a 的硬币任意投掷在平行线之间，求硬币不与任一条平行线相碰的概率．解 设“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A .如图，在两条相邻平行线间画出与平行线间距为r 的两条平行虚线，则当硬币中心落在两条虚线间时，与平行线不相碰． 故P (A )＝虚线间距离平行线间距离＝2a －2r 2a ＝a －ra.题型二 与面积有关的几何概型例2 如图，射箭比赛的箭靶中有五个涂有不同颜色的圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm ，运动员在一定距离外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为多少？ 解 记“射中黄心”为事件B .因为中靶点随机地落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×1222cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫14×π×12.22cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14×π×12.2214×π×1222＝0.01.反思与感悟 解此类几何概型问题的关键：(1)根据题意确定是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．跟踪训练2 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)． 所以P (A )＝184600＝2375≈0.31.即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31. 题型三 与体积有关的几何概型例3 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于h2的概率．解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于h2.设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为S4.由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为13Sh ，区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为13Sh －13·S 4·h 2＝13Sh ·78.所以点M 到底面的距离小于h 2的概率P ＝78.反思与感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.跟踪训练3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率． 解 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.题型四 与角度有关的几何概型例4 如图，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．解 以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 于是，记事件B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}． 因为∠xOT ＝60°，所以P (B )＝60°360°＝16.反思与感悟 当涉及射线的运动，扇形中有关落点区域问题时，常以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．跟踪训练4 如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M .求AM ＜AC 的概率．解 因为CM 是∠ACB 内部的任意一条射线，而总的基本事件是∠ACB 的大小，即为90°， 所以作AC ′＝AC ，且∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.如图，当CM 在∠ACC ′内部的任意一个位置时，皆有AM ＜AC ′＝AC ，即P (AM ＜AC )＝67.5°90°＝34.转化与化归思想例5 把长度为a 的木棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率．分析 将长度为a 的木棒任意折成三段，要能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”这个条件，进而求解即可．解 设将长度为a 的木棒任意折成三段的长分别为x ，y ，a －x －y ，则(x ，y )满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤a ，0≤y ≤a ，0≤x ＋y ≤a ，它所构成的区域为图中的△AOB .设事件M ＝{能构成一个三角形}，则当(x ，y )满足下列条件时，事件M 发生．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a －x －y ，x ＋a －x －y ＞y ，y ＋a －x －y ＞x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞a 2，y ＜a2，x ＜a 2，它所构成的区域为图中的阴影部分， 故P (M )＝S 阴影S △AOB ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2212×a 2＝14.故满足条件的概率为14.解后反思 解决本题的关键是将之转化为与面积有关的几何概型问题．一般地，有一个变量可以转化为与长度有关的几何概型，有两个变量可以转化为与面积有关的几何概型，有三个变量可以转化为与体积有关的几何概型.1．在区间[0,3]上任取一个数，则此数不大于2的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.79答案 C解析 此数不大于2的概率P ＝区间[0，2]的长度区间[0，3]的长度＝23.2．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.12答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.3．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影区域的面积是( )A.13B.23C.43 D ．无法计算答案 C解析 在正方形中随机撒一粒豆子，其结果有无限个，属于几何概型．设“落在阴影区域内”为事件A ，则事件A 构成的区域是阴影部分．设阴影区域的面积为S ，全部结果构成的区域面积是正方形的面积，则有P (A )＝S 22＝S 4＝13，解得S ＝43.4．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.112 B.38 C.116 D.56答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，据几何概型概率计算公式，得看到黄灯的概率为P ＝580＝116.5．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________． 答案31 000解析由几何概型知，P＝31 000.1.几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)＝构成事件A的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.。

2017-2018学年高中数学 第三章 概率本章整合课件 北师大版必修3

2017-2018学年高中数学 第三章 概率本章整合课件 北师大版必修3

专题一 专题二 专题三 专题四
应用某热水瓶胆生产厂生产的10个产品中,有8个一级品,2个二 级品,一级品和二级品在外观上没有区别.从这10个产品中任意抽 检2个,计算:
(1)2个都是一级品的概率; (2)至少有一个二级品的概率. 提示:在本题(2)中含有“至少”一词,首先要考虑利用互斥事件或 对立事件去处理,其中包括恰有一个二级品或恰有两个二级品两种 情况.
专题一 专题二 专题三 专题四
应用1某公司需要面向社会招收3个女秘书,现有5个条件很类似 的女孩报名应征,公司把她们分别编为1号、2号、3号、4号、5号. 如果5个人被录用的机会相等,问:
(1)3号、4号女孩均被录用的概率是多少? (2)3号、4号女孩只有一个被录用的概率是多少? (3)3号、4号女孩至少有一个被录用的概率是多少? 提示:求解古典概型问题的关键是找出所有基本事件和事件A所 包含的基本事件.
(181,173),(181,176),(181,178),(181,179),(179,173),(179,176),(179,178
),(178,173),(178,176),(176,173)共 10 个,
而事件 A 含有(181,176),(179,176),(178,176),(176,173)共 4 个基
车时间不超过10分钟的时间段为7:50至8:00和8:20至8:30,共20分钟,
故他等车时间不超过10分钟的概率
P=
20 40
=
1 2
,
故选B.
答案:B
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
7.(2015课标全国Ⅰ高考)若3个正整数可作为一个直角三角形三条
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

2017_2018版高中数学第三章概率1_2生活中的概率学案北师大版必修3

2017_2018版高中数学第三章概率1_2生活中的概率学案北师大版必修3

1.2 生活中的概率学习目标 1.深刻明白得概率的意义，会用概率知识说明现实生活中的实际问题.2.通过概率对实际问题的说明，体会数学与现实世界的联系．知识点一正确明白得概率的含义试探抛掷一枚质地均匀的硬币，显现正面的概率为0.5，是不是意味着持续抛2次，必然是一次正面朝上，一次是反面朝上？梳理随机性与规律性随机事件在一次实验中发生与否是________的，但随机性中含有规律性，熟悉了这种随机性中的规律性，就能够比较准确地预测随机事件发生的________．知识点二概率与公平性试探一副围棋子共181枚黑子，180枚白子．若是裁判闭目从中任取一枚，指定竞赛两边的一方猜黑白，猜对先行，不然让对方先行．这种规那么是不是公平？梳理游戏的公平性一样地，规那么公平的标准是参与各方机遇均等，即胜出的概率相等．知识点三概率与决策试探一个班主任听说自己班里有一个学生迟到了，但不知是谁，他第一猜是那位常常迟到的．他的这种猜想原理是什么？可不可能猜错？梳理概率和日常生活有着紧密的联系．关于生活中的随机事件，咱们能够利用概率知识作出合理的判定和决策．类型一概率的正确明白得例1 以下说法正确的选项是( )A．由生物学明白生男生女的概率约为0.5，一对夫妇前后生两个小孩，那么必然为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，那么摸5张票，必然有一张中奖C．10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸那么谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，不管谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1反思与感悟(1)概率是随机事件发生可能性大小的气宇，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复实验中事件A发生的频率的近似值．(2)随机事件A在一次实验中发生与否是随机的，并非是概率大就必然会发生，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次实验或某一个具体的事件．跟踪训练1 某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就必然能击中9次？类型二概率思想的实际应用例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．先随机地抽取一箱，再从掏出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪个箱子中掏出的？反思与感悟在一次实验中，概率大的事件比概率小的事件显现的可能性更大．跟踪训练2 若是掷一枚质地均匀的硬币，持续5次正面向上，有人以为下次显现反面向上的概率大于1 2，这种明白得正确吗？类型三游戏规那么的公平性例3 有四张卡片，别离写有2,3,7,8.规定任意不放回地抽取两张，积是2的倍数那么甲获胜，积是3的倍数那么乙获胜，若是积是6的倍数那么重来．那个游戏规那么公平吗？反思与感悟在各类游戏中，若是各方获胜概率相等，那么规那么确实是公平的．跟踪训练3 街头有人摆一种游戏，方式是抛掷两枚骰子，若是两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情形，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对两边公平吗？假设不公平，请说明哪方占廉价？1．“某彩票的中奖概率为11 000”意味着( ) A．买1 000张彩票就必然能中奖B．买1 000张彩票中一次奖C．买1 000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是11 0002．某学校有教职工400名，从当选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工被选的概率是110，其中正确的选项是( )A．10个教职工中，必有1人被选B．每位教职工被选的可能性是110C．数学教研组共有50人，该组被选教职工代表的人数必然是5D．以上说法都不正确3．以下说法正确的选项是( )A．设有一批产品，第二品率为0.05，那么从中任取200件，必有10件是次品；B．做100次抛硬币的实验，结果51次显现正面朝上，因此，显现正面朝上的概率是51100；C．随机事件发生的频率确实是那个随机事件发生的概率；D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，那么显现1点的频率是950.4．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区效劳活动，有人提议用如下方式选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．依照那个规那么，被选概率最大的是( )A．二班B．三班C．四班D．三个班机遇均等5．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，那么这100枚铜板更可能是下面哪一种情形( )A．这100枚铜板两面是一样的B．这100枚铜板两面是不一样的C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即便是可能率事件，也不能确信事件必然会发生，只是以为事件发生的可能性大．2．利用概率思想正确处置和说明实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.答案精析问题导学 知识点一试探 抛掷一枚硬币显现正面的概率为0.5，它是大量实验得出的一种规律性结果，对具体的几回实验来讲不必然能表现出这种规律性，在持续抛掷一枚硬币两次的实验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上，也可能一次正面朝上，一次反面朝上． 梳理 随机 可能性 知识点二试探 从361枚棋子中任取一枚，取到黑子的概率大，指定一方猜黑，猜对先行的概率大，因此那个规那么不公平． 知识点三试探 该班主任是把以往迟到的频率当概率，选择迟到概率最大的那位同窗．如此猜可能犯错，但猜对的可能性更大． 题型探讨例1 D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，因此A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或都不中奖，因此B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即不管谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，因此C 不正确，D 正确．]跟踪训练1 解 从概率的统计概念动身，击中靶心的概率是0.9并非意味着射击10次就必然能击中9次，只有进行大量射击实验时，击中靶心的次数约为910n ，其中n 为射击次数，而且当n 越大时，击中的次数就越接近910n .例2 解 甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地掏出一球，取得白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，取得白球的可能性是1100.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，固然能够以为是从概率大的箱子中掏出的．因此咱们作出统计推断：该白球是从甲箱中掏出的．跟踪训练2 解 这种明白得是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币作为一次实验，其结果是随机的，但通过大量的实验，其结果呈现出必然的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为12，持续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次实验来讲，仍然是随机的，其显现“正面向上”和“反面向上”的可能性仍是12，而可不能大于12.例3 解 任意抽取2张，可能的结果有6,14,16,21,24,56，且各结果显现的机遇均等．因此在一局中甲获胜的概率是36＝12，乙获胜的概率是16，不公平．跟踪训练3 解 两枚骰子点数之和如下表：其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情形的共12种，概率是1236＝13，两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情形共2436＝23.因此这种游戏不公平，白方比较占廉价． 当堂训练1．D 2.B 3.D 4.B 5.A。

高中数学第三章概率单元测试北师大版必修3【含答案】

高中数学第三章概率单元测试北师大版必修3【含答案】

高中数学第三章概率单元测试北师大版必修3(时间90分钟，满分100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列现象是随机事件的是( )A．天上无云下大雨B．同性电荷，相互排斥C．没有水分，种子发芽D．从分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到1号签2下列说法中正确的是( )A．事件的概率范围是(0,1) B．不可能事件的概率不一定为0C．必然事件的概率为1 D．随机事件的概率范围是[0,1]3抛掷一枚硬币3次，观察向上面情况，每次试验的基本事件总数是( )A．8 B．7 C．6 D．44下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定512件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，与1件次品2件正品的互斥而不对立的事件是( )A．3件正品 B．至少有一件正品C．至少有一件次品 D．3件是正品或2件次品1件正品6口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.77如图所示，甲、乙两人玩一种转盘游戏，转盘均分为8等份，规定当指针指向阴影部分时甲胜，否则乙胜，则甲获胜的概率是( )A.35B.34C.38D.588在一个袋子中装有分别标注着数字1、2、3、4、5、6的六个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机地一次取出两个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是( )A.215 B.15 C.415 D.139下图的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )A.235 B.2350C ．10D ．不能估计 10(2009福建高考卷，理8)已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器得出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11抛掷一枚骰子，向上的点数是奇数为事件A ，事件A 的对立事件是______． 12书架上有3本数学书，4本物理书，2本化学书，1本英语书，现从书架上随机拿一本书，则拿到数学书的概率为______．13(2009福建高考卷，文14)点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为__________．14(2009安徽高考卷，文13)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是__________．15从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162,148,154,165,168,172,175,162,171,170,150,151,152,160,163,175,164,179,149 ,172.根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm～170.5 cm之间的概率为________．(用分数表示)三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分9分)在等腰Rt△ABC中，在斜边AB上取一点M，求AM＜AC的概率．17(本小题满分10分)由经验得知，在书店购买天鸿书业编写的高中数学新课标必修3《同步测控优化设计》丛书时，等候付款的人数及概率如下表．求：(1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？(2)至多有1人排队的概率是多少？18(本小题满分10分)甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况．(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，否则，乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．19(本小题满分11分)(2009山东高考卷，文19)一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类型，用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7，9.3，9.0.8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．参考答案1答案：D2答案：C3解析：所有的基本事件是：(正、正、正)，(正、正、反)，(正、反、正)、(正、反、反)，(反、正、正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个．答案：A4解析：频率不是概率，所以A不正确；频率不是客观存在的，具有随机性，所以B不正确；概率是客观存在的，不受试验的限制，不是随机的，在试验前已经确定，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，所以D不正确，C正确．答案：C5解析：B、C不是互斥事件，D是对立事件，A是互斥而不对立的事件．答案：A6解析：摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.答案：C7解析：指针指向的结果有无限个，属于几何概型，设圆的面积是S，阴影部分的面积是58S ，全部结果构成的区域面积是S ，则指针指向阴影部分，即甲获胜的概率是58. 答案：D8解：用(x ，y)表示取出两球上标注的数字，则所有的基本事件是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15个．数字之和为5或6包含的基本事件有：(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，共有4个，则所求概率为415.答案：C9解析：利用几何概型的概率计算公式，得138300×(5×2)＝235.答案：A10解析：恰有两个随机数在1,2,3,4的组是：191 271 932 812 393 027 730，共有7组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率估计为720＝0.35.答案：A11答案：向上的点数是偶数 12答案：2513解析：劣弧AB 所对的圆心角小于13×360°＝120°，则劣弧AB 的长度小于1的概率为120°＋120°360°＝23.答案：2314解析：从这四条线段中任意取出三条的取法有：2、3、4或2、3、5或3、4、5或2、4、5，即共有4种．可构成三角形的有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，则取出的三条线段为边可以构成三角形的概率是34.答案：3415解析：样本中有8人身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间，所以估计该校高二年级任抽一名同学身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率为820＝25.答案：2516分析：在斜边AB 上取一点M 的结果是等可能的且有无限个，属于几何概型．解：如图，点M 随机地落在线段AB 上，其结果是等可能的，且有无限个，属于几何概型．设AM ＜AC 为事件N.点C′在AB 上，且AC′＝AC.全部试验结果构成的区域长度是AB ，事件N 构成的区域长度是AC′，则P(N)＝AC′AB＝AC AB ＝22，即AM ＜AC 的概率为22. 17分析：(1)通过总的概率和为1求解；(2)至多有1人排队是指没有人排队或恰有1人排队．解：(1)设5人及以上排队等候付款为事件A ， 由于所有概率的和为1，则P(A)＝1－(0.1＋0.16＋0.3＋0.3＋0.1)＝0.04，即5人及以上排队等候付款的概率是0.04.(2)设至多有1人排队为事件C ，没有人排队为事件D ，恰有1人排队为事件E ，则事件D 与E 互斥，C ＝D ＋E ，P(D)＝0.1，P(E)＝0.16，所以P(C)＝P(D)＋P(E)＝0.1＋0.16＝0.26，即至多有1人排队的概率是0.26.18分析：(1)共有12种；(2)乙抽到的牌只能是2,4,4；(3)甲抽到的牌比乙大有5种，概率相等才公平．解：(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示)为(2,3)、(2,4)、(2,4′)、(3,2)、(3,4)、(3,4′)、(4,2)、(4,3)、(4,4′)、(4,2′)、(4′，3)、(4′，4)共12种不同情况．(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′. 所以乙抽到的牌面数字大于3的牌只能是4,4′. 所以乙抽出的牌面数字比3大的概率为23.(3)由甲抽到的牌比乙大有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4′，2)、(4′，3) 共有5种．所以甲胜的概率P 1＝512.则乙获胜的概率为P 2＝1－512＝712，因为512≠712，所以此游戏不公平．19分析：(1)利用抽样比建立总体容量的方程，解得总体容量，利用表中所有数据的和等于总体容量求得z 的值；(2)利用抽样比计算出C 类中舒适型和标准型所抽取的数量，利用古典概型求出概率；(3)计算出平均数，利用古典概型求出概率．解：(1)设该厂本月生产轿车为n 辆， 由题意得，50n ＝10100＋300，解得n ＝2 000，则z ＝2 000－(100＋300)－150－450－600＝400. (2)设从中任取2辆至少有1辆舒适型轿车为事件A ，用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．则抽样比等于51 000＝1200，则抽取舒适型轿车的辆数等于1200×400＝2，分别记作S 1，S 2， 抽取标准型轿车的辆数等于1200×600＝3，分别记作B 1，B 2，B 3， 则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)，共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个．(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，所以P(A)＝710.(3)设从中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5为事件B ， 平均数为：x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9，则与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为 9．4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0共6个数， 又所有的数有8个，6 8＝0.75.则P(A)＝。

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教学案：第三章§3 模拟方法——概率的应用

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教学案：第三章§3 模拟方法——概率的应用

[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关． 2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答] 如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率． 练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________． 解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1， 故易知所求概率为1－－2－－＝23. 答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积 计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝0.12＝0.05.如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率． 解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝1333＝127.讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ， 则C 表示的范围是∠AOB ∈(π2，3π2)．则由几何概型概率的公式，得P (C )＝270°－90°360°＝12.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)． 解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为15，故红色所占角度为周角的15，即P 1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即P 2＝360°3＝120°，所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°， 即每个绿色扇形的圆心角为42°. 【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解] 在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝22. [错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解] 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.∴P (AM <AC )＝67.5°90°＝34.1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1 解析：选C 由几何概型公式得：P ＝2500＝0.004.2．(辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝10－212＝23. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32D.74解析：选D 由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB2＝716，即AD AB ＝74.4．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}， ∵∠xOT ＝60°， ∴P (B )＝60°360°＝16.答案：165．两根相距6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．解析：由题意P ＝26＝13.答案：136．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.一、选择题1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34解析：选A 区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P ＝13.2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算 解析：选B 由几何概型的公式知：S 阴影S 正方形＝23，又：S 正方形＝4，∴S 阴影＝83. 3．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )解析：选 A A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为r2－πr22r2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，A 游戏盘的中奖概率最大．4．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12B.23C.32D.14解析：选B 如图，当取点落在B 、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P ＝360°－120°360°＝23.5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( ) A.π4 B.π10 C.π20 D.π40解析：选A 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.二、填空题6．函数f (x )＝x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________． 解析：由f (x 0)≤0得x 0－2≤0，x 0≤2，又x 0∈[－5,5]，∴x 0∈[－5,2]．设使f (x 0)≤0为事件A ，则事件A 构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P (A )＝710.答案：7107．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．解析：如图所示，从点A 出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B C 上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧A B 或劣弧A C 上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC 是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是13.答案：138．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是________． 解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4×14×π×22＝16－4π，所以所求概率是16－4π16＝1－π4.答案：1－π4三、解答题9．在△ABC 内任取一点P ，求△ABP 与△ABC 的面积之比大于23的概率． 解：设P 点、C 点到AB 的距离分别为d P 、d C ，则S △ABP ＝12AB ·d P ，S △ABC ＝12AB ·d C ， 所以S △ABP S △ABC ＝d P d C ，要使d P d C >23， 只需使P 点落在某条与AB 平行的直线的上方，当然P 点应在△ABC 之内，而这条与AB 平行的直线EF 与AB 的距离要大于d C 的23. 由几何概率公式，得P ＝S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－232＝19. 10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．解：用x 轴、y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．若甲早到，当y －x ≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x ≤y . 如图，事件A “两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．故P (A )＝12×602－12×302602＝38.。

2017_2018版高中数学第三章概率疑难规律方式学案北师大版必修3

2017_2018版高中数学第三章概率疑难规律方式学案北师大版必修3
一、计算互斥事件和的概率
例1 由体会得知，某市某大型超市付款处排队等候付款的人数及其概率如下表：
排队人数
0
1
2
3
4
5人以上
概率
0.10
0.16
0.30
0.3
0.10
0.04
求：(1)最多2人排队的概率；
(2)至少2人排队的概率．
解 (1)记“没有人排队”为事件A，“1人排队”为事件B，“2人排队”为事件C，那么A，B，C彼此互斥．
注意2——计算大体事件的数量时，须做到不重不漏
2 概率加法公式应用点拨
概率的加法公式是计算概率的一个最大体的公式，依照它能够计算一些复杂事件的概率．概率的加法公式可推行为假设事件A1，A2，…，An彼此互斥(两两互斥)，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于各个事件发生的概率之和．用此公式时，同窗们第一要判定事件是不是互斥，若是事件不互斥，就不能用此公式．下面举例说明概率加法公式的应用．
2．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切的取得，因此咱们常常通过大量的重复实验，用随机事件发生的频率来估量概率．
例2 一个不透明的袋中装有大小质地相同的红、白两种颜色的小球，某学习小组做摸球实验，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸．实验的部份数据如下表：
摸球次数
30
60
90
120
①摸出3个白球，记为事件A；
②摸出2个白球，1个黑球，记为事件B；
③摸出1个白球，2个黑球，记为事件C；
④摸出3个黑球，记为事件D；
(2)事件A、B、C、D彼此互斥；
(3)“至少摸出1个白球”的事件为A、B、C的和事件，即“至少摸出1个白球”的对立事件是D.

高中数学 第三章 概率本章知识体系学案(含解析)北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案

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第三章概率本章知识体系专题一互斥事件与对立事件【例1】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路探究】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式．【解答】把3个选择题记为x1，x2，x3,2个判断题记为p1，p2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝3 10，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝9 10.【规律方法】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算．求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决．某服务电话，打进的电话响第1声时被接的概率是0.1；响第2声时被接的概率是0.2；响第3声时被接的概率是0.3；响第4声时被接的概率是0.35.(1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少？(2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第k 声时被接”为A k (k ∈N )，那么事件A k 彼此互斥，设“打进的电话在响5声之前被接”为事件A ，根据互斥事件概率加法公式，得P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＋P (A 4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2)事件“打进的电话响4声而不被接”是事件A “打进的电话在响5声之前被接”的对立事件，记为A －.根据对立事件的概率公式，得P (A －)＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05.专题二 古典概型【例2】 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？【思路探究】 可用枚举法找出所有的等可能基本事件．【解答】 (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)， (2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)． 因此，共有10个基本事件．(2)如下图所示上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A )，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P (A )＝310.【规律方法】 解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数n 与事件A 所含的基本事件数m ，因此要注意以下几个方面：①明确基本事件是什么；②试验是否是等可能性的试验；③基本事件总数是多少；④事件A 包含多少个基本事件．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外完全相同，已知蓝色球3个，若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是16.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率．解：(1)设红色球有x 个，依题意得x 24＝16，解得x ＝4，∴红色球有4个．(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A所有的基本事件有(红1，白1)，(红1，蓝2)，(红1，蓝3)，(白1，红1)，(白1，蓝2)，(白1，蓝3)，(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝2，蓝3)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共12个．事件A 包含的基本事件有(蓝2，红1)，(蓝2，白1)，(蓝3，红1)，(蓝3，白1)，(蓝3，蓝2)，共5个，所以P (A )＝512.专题三 几何概型【例3】 设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．【思路探究】 当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为1的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题．【解答】设A＝{硬币落下后与格线没有公共点}，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则等边三角形的边长为43－23＝23，由几何概率公式得：P(A )＝34(23)234(43)2＝14.【规律方法】几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性．求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题．常见的测度比有：长度之比、面积之比、体积之比等等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？解：设事件A“父亲离开家前能得到报纸”．在平面直角坐标系内，以x和y分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x ≤y ，而(x ，y )的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由右图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.专题四 概率与统计的综合问题【例4】 某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败． (1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率． 【思路探究】 (1)根据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成绩，利用平均数、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一组研发成功的概率．【解答】 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23； 方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1， 其平均数为x 乙＝915＝35； 方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625. 因为x甲>x乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共7个．故事件E发生的频率为715，将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝715.【规律方法】概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大．某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55)岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45) a 0.4第五组[45,50)300.3第六组[50,55)150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以高为0.35＝0.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，所以n ＝2000.2＝1 000.由上面可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65.第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为 1 000×0.15＝150，所以a ＝150×0.4＝60.(2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030＝21，所以采用分层抽样法抽取6人，[40,45)岁中有4人，[45,50)岁中有2人．设[40,45)岁中的4人为a ，b ，c ，d ，[45,50)岁中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的选法有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种；其中恰有1人年龄在[40,45)岁的有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种．所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率为815.专题五 数形结合思想【例5】 设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，试求方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率．【思路探究】 试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部．【解答】 基本事件总体的区域D 的度量为正方形面积， 即D 的度量为S 正方形＝62＝36，由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数，得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0， ∴p 2＋q 2≥1.∴当点(p ，q )落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域d 的度量为S 正方形－S 圆＝36－π，∴原方程的两根都是实数的概率为P ＝36－π36.【规律方法】 数形结合的思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用．在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数．在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比．三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？解：记三人为A 、B 、C ，则4次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为16，而又回到A 手中的事件个数为6个，根据古典概型概率公式得P ＝616＝38.。

2017-2018版高中数学 第三章 概率章末复习提升学案 北师大版必修3

2017-2018版高中数学 第三章 概率章末复习提升学案 北师大版必修3

第三章 概率1．本章涉及的概念比较多，要真正理解它们的实质，搞清它们的区别与联系．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，要进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别． 2．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与A 互为对立事件)求解．3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝mn求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏．4．对于几何概型事件概率的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．5．学习本章的过程中，要重视教材的基础作用，重视过程的学习，重视基本数学思想和数学方法的形成和发展，注意培养分析问题和解决问题的能力．题型一随机事件的概率1．有关事件的概念(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件．(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件．(3)确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件．(5)事件的表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．2．对于概率的定义应注意以下几点(1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件A的概率．(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．(4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小．(5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.例1 对一批U盘进行抽检，结果如下表：(1)(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？ 解 (1)由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91，当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定． (4)不一定．题型二 古典概型及其应用古典概型是一种最基本的概率模型，也是学习其他概率模型的基础，在高考题中，经常出现此种概率模型的题目．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数．这就是我们常说的穷举法．在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏．例2 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A ，B (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本包含三个地区的个体数量分别是 50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以这6件样品中来自A ，B ，C 三个地区的数量分别为1,3,2. (2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则从这6件样品中抽取的2件商品构成的所有基本事件为：{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件D “抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有： {B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}，共4个． 所以P (D )＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.跟踪训练2 甲、乙、丙3个盒中分别装有大小相等、形状相同的卡片若干张．甲盒中装有2张卡片，分别写有字母A 和B ；乙盒中装有3张卡片，分别写有字母C ，D 和E ；丙盒中装有2张卡片，分别写有字母H 和I .现要从3个盒中各随机取出1张卡片，求： (1)取出的3张卡片中恰好有1张、2张、3张写有元音字母的概率各是多少？ (2)取出的3张卡片上全是辅音字母的概率． 解 根据题意画出如图所示的树状图．由树状图可以得到，所有可能出现的基本事件有12个，它们出现的可能性相等．(1)只有1个元音字母的结果有5个， 所以P (1个元音字母)＝512；有2个元音字母的结果有4个， 所以P (2个元音字母)＝412＝13；有3个元音字母的结果有1个， 所以P (3个元音字母)＝112.(2)全是辅音字母的结果有2个， 所以P (3个辅音字母)＝212＝16.题型三 互斥事件与对立事件1．对互斥事件与对立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，则两事件是互斥的，此时A＋B的概率就可用概率加法公式来求，即为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；如果事件A∩B≠∅，则可考虑利用古典概型的定义来解决，不能直接利用概率加法公式．(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A＋B＝U，则两事件是对立的，此时A＋B就是必然事件，可由P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)．2．互斥事件概率的求法(1)若A1，A2，…，A n互斥，则P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．(2)利用这一公式求概率的步骤：①要确定这些事件彼此互斥；②先求出这些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：①是公式的使用条件，如不符合，是不能运用互斥事件的概率加法公式的．3．对立事件概率的求法P(Ω)＝P(A＋A)＝P(A)＋P(A)＝1，由公式可得P(A)＝1－P(A)(这里A是A的对立事件，Ω为必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解决概率问题的重要公式，它能把复杂的概率问题转化为较为简单的概率或转化为其对立事件的概率求解．例3 某人在如图所示的直角边长为4m的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X(单位：株)之间的关系如下表所示：(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量，(2)解(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46. (2)由(1)，知P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.跟踪训练3 向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.2，炸中第二个军火库的概率为0.12，炸中第三个军火库的概率为0.28，三个军火库中，只要炸中一个另两个也会发生爆炸，求军火库发生爆炸的概率．解 设A 、B 、C 分别表示炸弹炸中第一、第二及第三个军火库这三个事件，事件D 表示军火库爆炸，已知P (A )＝0.2，P (B )＝0.12，P (C )＝0.28.又因为只投掷了一枚炸弹，故不可能炸中两个及以上军火库，所以A 、B 、C 是互斥事件，且D ＝A ＋B ＋C ，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.2＋0.12＋0.28＝0.6，即军火库发生爆炸的概率为0.6. 题型四 几何概型及其应用若试验同时具有基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性两个特点，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．几何概型同古典概型一样，是概率中最具代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．例4 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4s 内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4s 为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s 的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78答案 C解析 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2s”，即|x －y |≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得P (A )＝42－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×242＝34.跟踪训练4 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为( ) A.413B.213C.113D.313 答案 C解析 设阴影小正方形边长为x ，则在直角三角形中有22＋(x ＋2)2＝(13)2，解得x ＝1或x ＝－5(舍)，∴阴影部分面积为1，∴飞镖落在阴影部分的概率为113.1.关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题： (1)试验结果是否有限且是等可能的； (2)试验的基本事件有多少个；(3)事件A 是什么，它包含多少个基本事件． 只有回答好了这三方面的问题，解题才不会出错．2．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．若事件A 1，A 2，A 3，…，A n 彼此互斥，则P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．3．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解．。

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教师用书 第3章

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教师用书 第3章

§3 模拟方法——概率的应用1．记住几何概型的概念和特点．(重点)2．掌握几何概型的计算方法和步骤，准确地把实际问题转化为几何概型问题．(重点、难点)3．了解模拟方法的基本思想，会利用这种思想解决某些具体问题，如求某些不规则图形的近似面积等．(难点)教材整理 模拟方法与几何概型 阅读教材P 150～P 152，完成下列问题． 1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1 G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式 (1)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个． ②每个基本事件出现的可能性相等． (2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：P (A )＝构成事件A 的区域长度 面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积.(3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A 所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n 和m .这是计算的难点；③利用概率公式P (A )＝m n计算．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从区间内任取一个整数，求取到1的概率概型是几何概型．( )(2)从区间内任取一个数，求取到大于等于1且小于等于5的数的概率模型是几何概型．( )(3)从一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内任取一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率模型是几何概型．( )(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等．( ) 【解析】 (1)×，古典概型．(2)√，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等． (3)√，符合几何概型的特征． (4)√，由几何概型的特点可知． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√(1)是等可能的，乘客候车时间不超过3 min 的概率是________．(2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．【精彩点拨】 本题中事件发生的概率只与长度有关，符合几何概型条件．【自主解答】 (1)法一 设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为5，记T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于3，记等车时间不超过3 min 为事件A ，事件A (候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT 2上，记D ＝T 1T 2＝5，d ＝TT 2＝3，所以P (A )＝d D ＝35.即候车时间不超过3 min 的概率为35.法二 容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A 为“候车时间不超过3 min”，以x 表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在(t －5，t ]内来到车站，故D ＝{x |t －5＜x ≤t }，欲使乘客候车时间不超过 3 min 必须满足t －3≤x ≤t ，所以d ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝d D ＝35.(2)如图所示，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，则△ABC 的周长为3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P ＝DE ＋FG ＋MN BC ＋CA ＋AB ＝3＋2＋112＝12.【答案】 (1)35 (2)12如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来计算其概率：P A ＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.1.如图3­3­1，A ，B 两盏路灯之间的距离是30 m ，由于光线较暗，想在其间再随意安装一盏路灯C ，求A 与C ，B 与C 之间的距离都不小于10 m 的概率．图3­3­1【解】 记E ：“A 与C ，B 与C 之间的距离都不小于10 m”．把AB 三等分，由于中间长度为30×13＝10 m ，所以P (E )＝1030＝13.持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．【精彩点拨】 本试验所有结果对应的几何区域为棱长是3的正方体，“安全飞行”对应的区域为棱长是1的正方体.【自主解答】 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 所占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积.2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．2．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，在正方体内随机取一点M ，求点M 落在三棱锥B ′－A ′BC 内的概率．【解】 记“点M 落在三棱锥B ′­A ′BC 内”为事件E .因为棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3，由正方体的性质可知V B ′­A ′BC ＝13S B ′BC ·A ′B ′＝16a 3.故P (E )＝V B ′－A ′BC V ＝16a3a 3＝16.探究1 几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？【提示】 几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．探究2 在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A)＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？【提示】 不正确．若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．向面积为S 的矩形ABCD 内任投一点P ，试求△PBC 的面积小于S4的概率.【导学号：63580041】【精彩点拨】 先利用图形找到P 点所在的区域，然后利用面积比求概率． 【自主解答】 如图所示，设△PBC 的边 BC 上的高为PF ，线段PF 所在的直线交AD 于点E ，当△PBC 的面积等于S 4时，即12BC ·PF ＝14BC ·EF ，所以PF ＝12EF ，过点P 作GH 平行于BC 交AB 于G ，交CD 于H ，所以满足S △PBC ＝S4的点P 的轨迹是线段GH .所以满足条件“△PBC 的面积小于S4”的点P 应落在矩形GBCH 内．设“△PBC 的面积小于S4”为事件A ，所以由几何概型的概率公式得P (A )＝S2S ＝12.所以△PBC 的面积小于S 4的概率是12.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P A ＝\f(构成事件A 的区域面积,试验的全部结果构成的区域面积)计算事件的概率即可.3．假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00.问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？【解】 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生需x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μn ＝1, 所以P (A )＝μA μn ＝78.1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1【解析】 由几何概型公式得：P ＝2500＝0.004.【答案】 C2．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )A.310B ．15 C.25D.45【解析】 ∵25＜S ＜49，∴5＜AP ＜7， ∴P (25＜S ＜49)＝7－510＝15.【答案】 B3．如图3­3­2所示，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任做一条射线OA ，射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．图3­3­2【解析】 记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}， ∵∠xOT ＝60°，∴P (B )＝60°360°＝16.【答案】 164．在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点M ，则|AM |＜1的概率为________． 【解析】 由|AM |＜1知，点M 在以A 为圆心，1为半径的四分之一圆内，故所求概率为14π22＝116π. 【答案】116π 5．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？【解】 记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min 时间段内按错键，P (A )＝2330＝145.。

2017_2018学年高中数学第3章概率章末小结与测评教学案北师大版必修3

2017_2018学年高中数学第3章概率章末小结与测评教学案北师大版必修3

第3章 概率1．频率与概率概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率．2．古典概型(1)古典概型的特点是：有限性和等可能性．(2)对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝m n求出概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏．3．互斥事件与对立事件(1)互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定事件彼此是否互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和，求较复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )(事件A 与A 互为对立事件)求解．4．几何概型(1)几何概型的特点是：无限性和等可能性．(2)对于几何概型试验的计算，关键是求得事件A 所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式求解．[典例1] (江西高考)如图，从A 1(1，0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0,0，1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O 共面的概率．[解] 从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种； y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种； z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.[借题发挥] 要正确理解P (A )＝m n中的基本事件，准确求出m 、n 的个数，求基本事件个数的常用方法有：列举法、列表法和树状图法．[对点训练]1.(北京高考)如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10， 所以平均数为：x ＝8＋8＋9＋104＝354；方差为：s 2＝14×⎝⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116.(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率为P(C)＝416＝14.[典例2] 黄种人群中各种血型的人所占比例如下：输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，则：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？[解] (1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知，得：P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B、O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′，根据互斥事件的加法公式，有P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输血给B型血的人”为事件A′＋C′，且P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.所以，任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36.[借题发挥] 准确理解互斥事件与对立事件的定义是正确应用公式的前提，如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，注意应用加法公式的前提条件是事件A与事件B互斥；若事件A与事件B是对立事件，则P(A)＝1－P(B)．[对点训练]2．据统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1.求该企业在一个月内共被消费者投诉不超过1次的概率．解：法一：设事件A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件B 表示“一个月内被投诉的次数为1”，又∵A 与B 是互斥事件，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：设事件A 为“一个月内被投诉不超过1次”，A －为“一个月内被投诉次数超过1次”，A 与A －为对立事件．∴P (A －)＝0.1，又∵P (A )＋P (A －)＝1，∴P (A )＝1－P (A －)＝0.9.[典例3] 在等腰Rt△ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长小于AC 的长的概率．[解] 在AB 上截取AC ′＝AC . 于是P (AM ＜AC )＝P (AM ＜AC ′)＝AC ′AB ＝AC AB ＝22. 所以AM 的长小于AC 的长的概率为22. [借题发挥] 若试验同时具有：①基本事件的无限性；②每个事件发生的等可能性两个特征，则此试验为几何概型．由于其结果的无限性，概率就不能应用P (A )＝mn求解，故需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．[对点训练]3．一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮．解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型． (1)P ＝红灯亮的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25；(2)P ＝黄灯亮的时间全部时间＝575＝115；(3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯亮或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35.(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ；②某地1月1日刮西北风；③当x 是实数时，x 2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件． 2．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定 解析：选C 由频率与概率关系知C 正确．3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310 B.112 C.4564 D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }． 4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是( )A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68解析：选C 其中质量小于4.85 g 包括质量小于4.8 g 和质量在[4.8,4.85)范围内两种情况，所以所求概率为0.32－0.3＝0.02.5．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13B.14C.16D.112解析：选D 由题意知(m ，n )的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)．共36种情况．而满足点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种情况，故所求概率为336＝112.6．(北京高考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析：选D 画草图易知区域D 是边长为2的正方形，到原点的距离大于2的点在以原点为圆心，以2为半径的圆的外部，所以所求事件的概率为P ＝2×2－14·π·222×2＝4－π4.7．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59解析：选A 直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限，即k ＜0，b ＞0，总的基本事件个数是3×3＝9；k ＜0，b ＞0包含的基本事件有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以直线不经过第三象限的概率是P＝29. 8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8 D ．1－π8解析：选B 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2÷2＝π4，取到的点到O 的距离大于1的概率为1－π4.9．下列概率模型：①从区间[－10,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从区间[－10,10]内任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率； ③从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到大于1且小于5的数的概率；④向一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内投一点P ，求点P 离正方形的中心不超过1 cm 的概率． 其中是几何概型的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ①是，因为区间[－10,10]内有无限多个数，对应数轴上无限多个点，且取到“1”这个数对应的点的概率为0；②是，因为区间[－10,10]和[－1,1]内都有无限多个数可取(无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的可能性相同(等可能性)；③不是，因为区间[－10,10]内的整数只有21个，不满足无限性；④是，因为在边长为4 cm 的正方形和半径为1 cm 的圆内均有无数多个点(无限性)，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到(等可能性)．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19B.29C.718D.49解析：选D 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a －b |≤1，由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则满足要求的事件可能的结果有：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16种，而依题意得基本事件的总数有36种．因此他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．如图，EFGH 是以O 为圆心、半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________.解析：圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH 的面积为(2)2＝2.又圆的面积为π，则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.答案：2π12．在区间[0,4]上任取一实数a ，使方程x 2＋2x ＋a ＝0有实根的概率是________． 解析：当4－4a ≥0即a ≤1时方程有实根，故所求的概率为P ＝14.答案：1413．(福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1>0”发生的概率为________．解析：因为0≤a ≤1，由3a －1>0得13<a ≤1，由几何概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：2314．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3,0.4,0.1，则该射击选手射击一次，击中大于或等于9环的概率是________，击中小于8环的概率是________．解析：设“击中10环”“击中9环”“击中8环”分别为事件A ，B ，C ，则P (A )＝0.3，P (B )＝0.4，P (C )＝0.1，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.7，P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.8， ∴P ＝1－0.8＝0.2. 答案：0.7 0.2三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)对某班一次测验成绩进行统计，如下表所示：(2)求该班成绩在[61,100]内的概率．解：记该班的测试成绩在[100～91)，[90～81)，[80～71)，[70～61)内依次为事件A ，B ，C ，D ，由题意知事件A ，B ，C ，D 是彼此互斥的．(1)该班成绩在[81,100]内的概率是P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.15＋0.25＝0.4.(2)该班成绩在[61,100]内的概率是P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.15＋0.25＋0.36＋0.17＝0.93.16．(12分)设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是4 3 cm ，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率．解：记A ＝{硬币落下后与格线没有公共点}，在每个最小等边三角形内再作小等边三角形使其三边与原等边三角形三边距离都为1，则新作小等边三角形的边长为2 3.∴P (A )＝34323432＝14. 17．(12分)为迎接2017全运会，某班开展了一次“体育知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩(满分为100分，分数均为整数)进行统计，制成如下的频率分布表：(1)求a，b，c(2)若得分在[90,100]之间的有机会进入决赛，已知其中男女比例为2∶3，如果一等奖只有两名，求获得一等奖的全部为女生的概率．解：(1)a＝50×0.1＝5，b＝2550＝0.5，c＝50－5－15－25＝5，d＝1－0.1－0.3－0.5＝0.1.(2)把得分在[90,100]之间的五名学生分别记为男1，男2，女1，女2，女3.事件“一等奖只有两名”包含的所有事件为(男1，男2)，(男1，女1)，(男1，女2)，(男1，女3)，(男2，女1)，(男2，女2)，(男2，女3)，(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共10个基本事件；事件“获得一等奖的全部为女生”包含(女1，女2)，(女1，女3)，(女2，女3)，共3个基本事件．所以，获得一等奖的全部为女生的概率为P＝310.18．(14分)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；②求这2个零件直径相等的概率．解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝610＝35.(2)①设一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝615＝25.模块综合检测(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个年级共有12个班，每个班学生的学号都从1到50，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下，这里运用的是( )A ．分层抽样法B ．抽签法C ．随机数表法D ．系统抽样法 答案：D2．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为( ) A ．5 B ．15 C ．2 D ．80解析：选A 由频数、频率的概念，设该组的频数为n ，则n ＝20×0.25＝5. 3.如图所示，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是( )A.12B.34C.38D.18解析：选C 此题是几何概型问题，P ＝阴影面积总面积＝38.4．已知x ，y 的取值如下表所示，如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ＝bx ＋2，则b 等于( )A ．－12 B.12 C ．－110 D.110解析：选B 由表格数据知x ＝3，y ＝5，又线性回归方程过(x ，y )，即过点(3,5)， ∴5＝3b ＋72.∴b ＝12.5．某县有30个乡，其中山区有6个，丘陵地区有12个，平原地区有12个，要从中抽取5个乡进行调查，则应在丘陵地区、平原地区和山区各抽取的乡的个数分别是( )A ．2,2,1B ．1,2,2C ．1,1,3D ．3,1,1解析：选A 由分层抽样的定义知，抽样比为530＝16，则丘陵地区，平原地区和山区抽取的个数分别为：2,2,1.6．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A．0.95 B．0.7 C．0.35 D．0.05解析：选D “抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.7．阅读下列程序：输入xIf x<0 Theny＝2*x+3ElseIf x>0 Theny＝-2*x+5Elsey=0End IfEnd If输出y.如果输入x=-2，则输出结果为( )A．0 B．－1 C．－2 D．9解析：选B 输入x＝－2，则－2<0成立，则y＝2×(－2)＋3＝－1，则输出－1.8.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000 位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是( )A ．25B ．30C ．50D ．75解析：选A 抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.9.(天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序， 则输出n 的值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选D 第1次，S ＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n ＝2，S ＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n ＝3，S ＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n ＝4，S ＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.10．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P (A )＝39＝13.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．某5人上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2＋y 2的值为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋10＋11＋95＝10，15x －2＋y －2＋－2＋－2＋－2]＝2，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝20，x 2＋y 2－x ＋y ＋192＝0.所以x 2＋y 2＝208. 答案：20812．(安徽高考)如图所示，算法框图的输出结果是________．解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1，令T ＝n n －2>105，解得n >15(n <－14舍去)，故n ＝16，k ＝15.答案：1513．若执行如图所示的框图，输入x 1＝1，x 2＝2，x 3＝3，x －＝2，则输出的数等于______．解析：算法的功能是求解三个数的方差，输出的是S ＝－2＋－2＋－23＝23. 答案：2314．(浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 解析：设此正方形为ABCD ，中心为O ，则任取两个点的取法有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，AO ，BO ，CO ，DO ，共10种；取出的两点间的距离为22的取法有OA ，OB ，OC ，OD ，共4种，故所求概率为410＝25.答案：25三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)在2013辽宁全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩： 甲：9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8； 乙：9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1；(1)用茎叶图表示甲、乙两个人的成绩；并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩；(2)分别计算两个样本的平均数x 和标准差s ，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定．解：(1)如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字.由图知，甲的中位数是9.05，乙的中位数是9.15，乙的成绩大致对称，可以看出乙发挥稳定性好，甲波动性大．(2)x 甲＝110×(9.4＋8.7＋7.5＋8.4＋10.1＋10.5＋10.7＋7.2＋7.8＋10.8)＝9.11，s 甲＝110－2＋－2＋…＋－2]＝1.3，x 乙＝110×(9.1＋8.7＋7.1＋9.8＋9.7＋8.5＋10.1＋9.2＋10.1＋9.1)＝9.14， s 乙＝110－2＋－2＋…＋－2]＝0.9，由s 甲＞s 乙，这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计乙运动员比较稳定．16．(12分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋面积x 的数据：(1)(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 解：(1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15＝109，(x i －x )2＝1 570，y ＝15＝23.2，(x i －x )(y i －y )＝308.设所求回归直线方程为y ＝bx ＋a ，则b ＝＝3081 570≈0.196 2， a ＝y －b x ≈23.2－109×0.1 962＝1.814 2.故回归直线方程为y ＝0.196 2x ＋1.814 2，回归直线在(1)中的散点图中． (3)据(2)知当x ＝150 m 2时，销售价格估计为：y ＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2≈31.2(万元)．17．(12分)下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次，例如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生共5人，设x 、y 分别表示英语成绩和数学成绩.(1)x ＝4 (2)x ＝2的概率是多少？a ＋b 的值是多少？ 解：(1)P (x ＝4)＝1＋5＋7＋150＝725；P (x ＝4，y ＝3)＝750；P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝710；(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3)＝1－550－710＝15，又P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，所以a ＋b ＝3.18．(14分)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解：(1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－(100＋300)－(150＋450)－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个，事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个， 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2，8.7，9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。

高中数学 第三章 概率习题课学案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案

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第三章概率学习目标 1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．知识点一频率与概率的关系随机事件A在________条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率＝______，随着试验次数的增加，频率呈现________性，即频率总是________于某个常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．知识点二互斥事件、对立事件1．若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．2．若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．3．若事件A，B互斥，则________(填“一定”“不一定”)对立；若事件A，B对立，则________(填“一定”“不一定”) 互斥．4．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝____________，若事件A，B对立，则P(A)＝________. 知识点三古典概型及其概率计算公式1．解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个；(2)每个基本事件出现的可能性是否________．2．利用古典概型求事件A的概率的步骤是：(1)用________把古典概型试验的基本事件一一列出来；(2)从中找出事件A包含的________________；(3)P(A)＝________________________________.类型一随机事件的频率与概率例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：抽取球数n 50100200500 1 000 2 000 优等品数m 4592194470954 1 902(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)反思与感悟 随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn总是接近于常数P (A )，称P (A )为事件A 的概率．跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格；(2)该油菜子发芽的概率约是多少？类型二互斥事件的概率例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不超过7环的概率．反思与感悟把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法．跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？类型三古典概型的概率例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．反思与感悟处理古典概型时注意：(1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意有无顺序要求．跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．类型四古典概型概率的综合应用例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．反思与感悟古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策等过程．跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x 1234 5f a 0.20.45 b c(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3C．0.6 D．0.92．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7； [39.5,43.5)，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.233．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.234．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为( )A.34 B.13 C.12D.235．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.231．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A 的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．2．计算事件A 的概率，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件数有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．答案精析知识梳理 知识点一相同 mn规律 接近 知识点二 1．≤ 2．＝3．不一定 一定 4．P (A )＋P (B ) 1－P (B ) 知识点三1．(1)有限 (2)相等2．(1)列举法 (2)基本事件及个数 (3)A 包含的基本事件的个数基本事件的总数题型探究例1 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.跟踪训练1 解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为0.900.例2 解 记“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，“射中8环”为事件C ，“射中7环”为事件D .则事件A 、B 、C 、D 两两互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16. (1)∵射中10环或9环为事件A ∪B ， ∴由概率加法公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52.(2)∵至少射中7环的事件为A ＋B ＋C ＋D ， ∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. (3)记“射中环数不超过7环”为事件E ， 则事件E 的对立事件为A ＋B ＋C . ∵P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，∴P (E )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.71＝0.29.跟踪训练2 解 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725.P (x ＝4，y ＝3)＝750.P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.当x ≥3时，有710×50＝35(人)，∴在x ≥3的基础上，y ＝3有8人． ∴在x ≥3的基础上P (y ＝3)＝835.(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3) ＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.例3 解 (1)甲校2名男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，2名女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．选出的2名教师性别相同的结果为(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25. 跟踪训练3 解 (1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2,1只次品记为b 1，则第一次取1只，放回后第二次取1只，基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，共9个．①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，共4个；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，共4个．(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为P ＝13. 例4 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ′＝915＝35. 跟踪训练4 解 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15. 等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1. 从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}，即基本事件的总数为10.设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．故所求的概率P (A )＝410＝0.4. 当堂训练1．A [依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.]2．B [由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.] 3．A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P ＝34.] 4．D [因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.] 5．C [摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P ＝36＝12.]。

2017-2018学年高中数学第三章概率章末综合测评北师大版必修3

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8 （三）概率（时间120分钟，满分150分）12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的y 1） , （X 2, y 2），…，（x n , y n ），其中两数的平方和小于1的数对共有 m 个，则用随机模拟的、选择题（本大题共a ,b 是实数，那么b + a = a + b ；②某地1月1日刮西北风；③是实数时， X 2> 0;④一个电影院某天的上座率超过50A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】 由题意可知①③是必然事件， ②④是随机事件.【答案】B[0,1]随机抽取2n 个数X 1,X 2,…,X n ,y 1, y 2,…,y n ,构成n 个数对(X 1,方法得到的圆周率 n 的近似值为 4n A. B m2n m4m C.— n2m D.—nT 11 1CB■ A【解析】 因为 X 1, X 2,'X n , y 1, y 2,…，y n 都在区间［0,1］内随机抽取，所以构成的n 个数对（X 1, y 1）,（X ,两数的平方和小于 1,则对应的数对在扇形 OA （内 （不包括扇形圆弧上的点所对应的数对4m故在扇形OA （内的数对有M .用随机模拟的方法可得 ~m ,即沽m 所以n 门 【答案】3•从含有 3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率3 A. B 101 453.12 C. 64 D. 8【解析】设集合为｛a , b , c ｝，则所有子集共8个，其中含有2个元素的为｛a , b ｝, {a , c }, {b , c ｝，所以概率为3.1.下列事件：①如果 2•从区间其中是随机事件的有（4.如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方【答案】8【解析】 易知小正方形的边长为 羽—1,故小正方形的面积为 S= ({3 — I)* 4 — 2寸3,大正方形的面积为 S = 2X 2= 4,故飞镖落在小正方形内的概率【答案】 A片上的数字之和为奇数的概率为( )A.- 2C.32字之和为奇数的有(1,2) , (2,3) , (1,4) , (3,4),所以概率为-.3【答案】 CS6 •在面积为S 的厶ABC 勺边AB 上任取一点 P ,则厶PBC 勺面积不小于-的概率是()3 2 A.3【解析】 如图，设点 M 为AB 的三等分点，要使△ PBC 的面积不小 于S ，则点P 只能在AM 上选取，由几何概型的概率公式得所求概率 崔M =形，若直角三角形中较小的锐角 镖落在小正方形内的概率是 (山舌现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞A.宁 C 斗B.D. 2+ .3 2 1 — ,.3 S = 4—2/3= 2-V3 P= S = 4 = 25. 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取 2张，则抽取的2张卡B. 【解析】 基本事件为(1,2) , (1,3) ,(1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 6 个，其中两数 B. 图1331【答案】 A7•设集合A = {1,2} , B = {1,2,3}，分别从集合 A 和B 中随机取一个数a 和b ,确定平 面上的一个点 P (a ，b )，记"点P (a ，b )落在直线x + y = n 上”为事件 G (2 < n w 5, n € N), 若事件G 的概率最大，则n 的所有可能值为()A. 3 B • 4 G • 2 和 5 D • 3 和 4【解析】 事件G 的总事件数为6.只要求出当n = 2,3,4,5时的基本事件个数即可.当n = 2时，落在直线 x + y = 2上的点为(1,1);当n = 3时，落在直线 x + y = 3上的点为(1,2)、(2,1); 当n = 4时，落在直线 x + y = 4上的点为(1,3)、(2,2); 当n = 5时，落在直线 x + y = 5上的点为(2,3) • 1显然当n = 3,4时，事件G 的概率最大，为3. 【答案】 D8. ABC ［为长方形，AB= 2, BG= 1, 0为AB 的中点，在长方形 ABGD 内随机取一点，取 到的点到O 的距离大于1的概率为()D.【解析】 长方形面积为2,以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部n n的部分(半圆)面积为2,因此取到的点到 o 的距离小于1的概率为—,取到2-卫的点到O 的距离大于1的概率为 一2— = 1 --4.【答案】 B9•设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程 概率为()2 A.3【答案】 A【解析】若方程有实根，则 a 2-8>0. a 的所有取值情况共 6种，满足a 2- 8>0的有44 2°，石种情况，故p= 6 = 3.B.1-7x 2+ ax + 2= 0有两个不相等的实数根的B.110.有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是（） A. 2 B.C.7D.—【解析】是2的倍数的数有60个，是3的倍数的数有40个，是6的倍数的数有20个，二P=60 + 40 —2012011•在区间[0,1]上随机取两个数x, y,记xyw12”的概率，则( )1A.P1<P2<2 B.1C.2<P2<P1 D.【答案】D1P2<2<P i1P i<2<P2【解析】如图，满足条件的p i为事件“x + y< 2'的概率，P2为事件x, y构成的点（x, y）在正方形OBC/内，其面积为1.事件“ x+ y<扌对应的图形为阴影△ ODE其面积为1x卜卜8故P = 8<2事件“ xy<寸”2 222882 2【答案】D12•如图2所示，在矩形ABCDK AB= 5, AD= 7.现在向该矩形内随机投一点P,贝APB > 90°的概率为（）图25A.36B._5_15.在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数 x ,然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数 y ,则x + y 是10的倍数的概率为 ________ .【导学号：63580044】【解析】 先后两次取卡片，形成的有序数对有(1,1) , (1,2) , (1,3),…，(1,10),…， (10,10)，共计100个.因为x + y 是10的倍数，这些数对应该是(1,9) , (2,8) , (3,7) , (4,6),(5,5) , (6,4) , (7,3) , (8,2) , (9,1) , (10,10)共 10 个，故 x + y 是 10 的倍数的概率为 P1 D.8 【解析】 由于是向该矩形内随机投一点 P,点P 落在矩形内的机会是均等的，故可以 认为矩形ABC 助区域Q .要使得/ APB>90°,需满足点P 落在以线段 AB 为直径的半圆内, 以线段AB 为直径的半圆可看作区域 A 记“点P 落在以线段 AB 为直径的半圆内”为事件 A , 于是求/ APB>90°的概率转化为求以线段 AB 为直径的半圆的面积与矩形 ABC 的面积的比, 1 ，■-5 訂 25 n 依题意，得卩-才 厂飞-，矩形ABCD 勺面积十35,故所求的概率为RA ) 25 n""8 5 n "56. 【答案】 B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上 13.某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是 0.98 , 二级品的概率是 0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是 【解析】 由题意知出现一级品的概率是 0.98 — 0.21 = 0.77，又由对立事件的概率公 式可得出现三级品的概率是 1 — 0.98 = 0.02.【答案】 0.77 0.02 14.如图3的矩形，长为5 m ,宽为2 m ，在矩形内随机地撒 300粒黄豆，数得落在阴 2 m. 影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为 图3 【解析】由题意得黑壬，S 心2?. 5300 5X2【答案】 23 "510 _ 1 100 = 10.1【答案】1016. 在区间［0,5］上随机地选择一个数 p,则方程x 2 + 2px + 3p — 2 = 0有两个负根的概率 为 ________ .2【解析】 T 方程x + 2px + 3p — 2 = 0有两个负根，△ = 4pj •［ $p-? 2ij,X 1 + X 2=— 2p <0,解得$<p wi 或 p >2.3X 1X 2= 3p — 2>0,【答案】33三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤) 17. (本小题满分10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准 备了两种不同的饮料共 5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料.公 司要求此员工从 5杯饮料中选出3杯A 饮料一一品尝后，若该员工3杯都选对，则评为优秀； 若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格•假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.(1) 求此人被评为优秀的概率； (2) 求此人被评为良好及以上的概率. 【解】 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3) ,(1,2,4) ,(1,2,5) ,(1,3,4) ,(1,3,5),(1,4,5) , (2,3,4) , (2,3,5) , (2,4,5) , (3,4,5)，共有 10 种，令 D 表示此人被评为优秀的 事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则1(1) P (D )=石3 7(2) P (E ) = 5, RF) = P (D + P (E )=亦.18 .(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6) 先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为 y .(1) 求事件“ x + y < 3”的概率； (2) 求事件x — y | = 2”的概率.故所求概率P =1-1 + I5—02 3.【解】设(x, y)表示一个基本事件，则掷两次骰子包括(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4),(1,5) , (1,6) , (2,1) , (2,2)，…，(6,5) , (6,6)，共 36 个基本事件.⑴ 用A 表示事件“ x + y w 3”，则A 的结果有(1,1) , (1,2) , (2,1)，共3个基本事件.3 1 二 RA = 36=乜.1即事件“ x + y w 3”的概率为12. (2)用B 表示事件“| x — y | = 2”，则 B 的结果有(1,3) , (2,4) , (3,5) , (4,6) , (6,4) , (5,3) , (4,2) , (3,1)共 8 个基本 事件.即事件“| x — y | = 2”的概率为|. 19.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1,2,3,4,5 的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.(1) 求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2) 求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率.【解】 设从甲、乙两个盒子中各取出 1个球，编号分别为 x , y ,用(x , y )表示抽取的结果，结果有以下 25 种：(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5), (2,1) , (2,2) , (2,3),(2.4) , (2,5) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5),(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5).(1) 取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种：(1,2) , (2,1) , (2,3) , (3,2),8(3.4) , (4,3) , (4,5) , (5,4)，故所求概率为P =，即取出的两个球上标号为相邻整数的25 概率为25.(2) 标号之和与标号之积都不小于 5的结果有以下17种：(1,5) , (2,3) ,(2,4) ,(2,5),(3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4),20. (本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为 a ,第二次出现ax + by = 3, 的点数记为b .试就方程组/ 解答下列各题：(5,5)，故所求概率为17 P=看故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是27.25区+ 2y= 2 (1)求方程组只有一组解的概率;(2)求方程组只有正数解(x 与y 都为正)的概率.【解】 ⑴ 当且仅当b ^f 时，方程组只有一组解；b =1的情况有三种:11 12.(2)因为方程组只有正数解，所以两直线的交点一定在第一象限，解方程组得 6 — 2b2a - b ，|y = 2a -i.当 b = 1 或 2 时，a = 2,3,4,5,6;当b = 4或5或6时，a = 1.21. (本小题满分12分)某中学调查了某班全部 45名同学参加书法社团和演讲社团的情 况，数据如下表：(单位：人)(1)(2) 在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A , A, A 3,a = 1, a= 2,b = 2或*b = 4或.6X 6= 36(种)，所以方程组只有一组解的概率为P = 1336Na — b > 0, 当6 — 2b >0, 2a — 3> 0, 2a — b < 0, 或 6—2b v 0,且 a >0, b > 0,.2a >b ,2a > 3, 即 b v 3,a > 0,b > 0,2a v b ,2a v 3, 或 b > 3,a > 0,b > 0,时，x >0, y > 0.所以方程组只有正数解的概率为 13P=気b = 6.=3,而抛掷两次的所有情况有A As, 3名女同学B, Ba,虫现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A被选中且B未被选中的概率.【解】(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有故至少参加上述一个社团的共有45—30= 15(人)，所以从该班级随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为15 1 P一一P 45(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A, B} , {A, B2} , {A, R} , {A, B} , {A, E b}, {A, B3}, {A, B}, {A, B2} , {A, R} , {A, B} , {A4, E b}, {A, E3}, {A, B } , {A, B} , {A s , R}，共1 5 个.根据题意，这些基本事件的出现是等可能的.事件“ A被选中且B未被选中”所包含的基本事件有：{A , R}, {A , B},共2个.因此A被选中且B未被选中的概率为P=十.22. (本小题满分12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A, B, C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A, B, C区中分别有18,27,18个工厂.(1) 求从A, B, C区中分别抽取的工厂个数；(2) 若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.7 1【解】(1)工厂总数为18+ 27+ 18 = 63,样本容量与总体中的个体数比为=；,所63 9以从A, B C三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A , A为在A区中抽得的2个工厂，B , B , B3为在B区中抽得的3个工厂，C, C2为在C区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2 个 ,全部可能的结果有(A , A), (A , B ),(A , Ba), (A1 , BO, (A , C) , (A , C2) , (A , B) , (A , B) , (A , BQ, (A , C ), (A , C2), (B , Ba), (B , BO, (B , C ) , (B , Q), (B , R) , (B, C ) , (B , C2) , ( B3 , C), (B3 , C2) , (C , C2),共有21 种.随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A区的结果(记为事件X)有(A , AO, (A , B ), (A, R) , (A , BO, (A , C) , (A i , G) , (A> , B) , (A , B>) , (A , BQ, (A , C ) , (A , G)共有11种，所以这2个工厂中至少有111个来自A区的概率为P(X)=刁.30人,。

2017-2018学年高中数学北师大版三教学案：第三章§2第2课时建立概率模型含答案

2017-2018学年高中数学北师大版三教学案：第三章§2第2课时建立概率模型含答案

第2课时建立概率模型[核心必知］建立不同的古典概型在建立概率模型时,把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的．我们只要求:每次试验有一个并且只有一个基本事件出现．只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的,就是一个古典概型．［问题思考]甲、乙、丙三人站队,求甲站在最左边的概率．1．若只考虑甲的站法，基本事件的总数是多少?甲站在最左边的概率是多少?提示：3种；P＝错误!。

2．若只考虑最左边位置的站法,基本事件总数是多少?甲站在最左边的概率是多少？提示：3种;P＝错误!。

3．若考虑所有人的站法,基本事件的总数是多少？甲站在最左边的概率是多少？提示：6种；P＝错误!。

讲一讲1。

从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．[尝试解答］每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，（a2，a1)，(a2，b1），(b1，a1）,（b1，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A表示“取出的两件中恰有一件次品"，这一事件，所以A ＝{(a1,b1），（a2,b1）,（b1，a1)，（b1,a2)｝．因为事件A由4个基本事件组成，所以P（A)＝错误!＝错误!.“有放回”与“不放回”问题的区别在于：对于某一试验,若采用“有放回”抽样,则同一个个体可能被重复抽取，而采用“不放回”抽样，则同一个个体不可能被重复抽取．练一练1．一个盒子里装有完全相同的十个小球,分别标上1,2，3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：（1)小球是不放回的；(2）小球是有放回的．求两个小球上的数字为相邻整数的概率．解：设事件A：两个小球上的数字为相邻整数．则事件A包括的基本事件有：(1，2),(2，3)，(3，4）,(4，5)，(5，6），（6,7)，(7,8），(8,9)，(9，10），(10，9）,(9,8),(8,7），(7,6),（6，5），(5,4）,（4,3)，（3,2），(2,1）共18个．(1)不放回取球时，总的基本事件数为90，故P(A）＝错误!＝错误!。

2017_2018版高中数学第三章概率2_3互斥事件学案北师大版必修3

2017_2018版高中数学第三章概率2_3互斥事件学案北师大版必修3
类型一 事件的关系与判定
例1 判定以下各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同窗去参加演讲竞赛，其中：
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”；
(3)“至少有1名男生”和“满是男生”；
(4)“至少有1名男生”和“满是女生”．
试探 一粒均匀的骰子抽一次，记事件A＝“向上的点数大于2”；B＝“向上的点数大于3”；
则P(A＋B)是不是等于P(A)＋P(B)?
梳理 互斥事件概率加法公式
(1)在一个随机实验中，若是随机事件A和事件B是互斥事件，那么有P(A＋B)＝________________；
(2)若是随机事件A1，A2，…，An中任意两个是互斥事件，那么有P(A1＋A2＋…＋An)＝________________________.
2.3 互斥事件
学习目标 1.通过实例了解互斥事件、事件A＋B及对立事件的概念和实际意义.2.能依照互斥事件和对立事件的概念分辨一些事件是不是互斥、对立.3.学会用互斥事件概率加法公式计算一些事件的概率．
知识点一 互斥事件
试探 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，“抽到红桃”与“抽到方块”可否同时发生？
知识点四 对立事件
试探 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，记A＝“抽到红色牌”；B＝“抽到黑色牌”，那么A，B的关系与知识点一试探中两事件关系有何异同？
梳理 在同一次实验中，________________且________________的两个事件叫作互为对立事件，事件A的对立事件记作____；对立事件概率公式P( )＝______.
理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生．
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第三章 概率
学习目标 1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率．
1．频率与概率
频率是概率的________，是随机的，随着试验的不同而________；概率是多数次的试验中________的稳定值，是一个________，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率． 2．求较复杂概率的常用方法
(1)将所求事件转化为彼此________的事件的和；
(2)先求其________事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解． 3．古典概型概率的计算
关键要分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，再利用公式P (A )＝m
n
求解．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏． 4．几何概型事件概率的计算
关键是求得事件A 所占________和____________的几何测度，然后代入公式求解．
类型一 频率与概率
例1 对一批U 盘进行抽检，结果如下表：
(1)计算表中次品的频率；
(2)从这批U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
反思与感悟概率是个常数．但除了几类概型，概率并不易知，故可用频率来估计．
跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？
(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？
类型二互斥事件与对立事件
例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．
(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手，这时，可以利用对立事件求解．
跟踪训练2 有4张面值相同的债券，其中有2张中奖债券．
(1)有放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率；
(2)无放回地从债券中任取2张，每次取出1张，计算取出的2张中至少有1张是中奖债券的概率．
类型三古典概型与几何概型
例3 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率．
反思与感悟 古典概型与几何概型的共同点是各基本事件等可能；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限．
跟踪训练3 如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边长为2，向大正方形内投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )
A.413
B.313
C.213
D.113
类型四 列举法与数形结合
例4 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A 发球算起，经4次传球又回到A 手中的概率是多少？
反思与感悟 事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助
树状图法直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达．
跟踪训练4 设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在某学校明年的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4 ℃时结冰．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )
A．对立事件B．互斥但不对立事件
C．不可能事件D．必然事件
3．下列试验属于古典概型的有( )
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )
A.1
3
B.
1
4
C.
1
2
D．无法确定。

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