2020湖南省永州市中考数学试卷
2020年湖南省永州市中考数学试卷(含答案解析)
2020年湖南省永州市中考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.−2020的相反数为()A. −12020B. 2020 C. −2020 D. 120202.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A. 注意安全B. 水深危险C. 必须戴安全帽D. 注意通风3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是()A. 6.353×105人B. 63.53×105人C. 6.353×106人D. 0.6353×107人4.下列计算正确的是()A. a2b+2ab2=3a3b3B. a6÷a3=a2C. a6⋅a3=a9D. (a3)2=a55.已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是()A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是()A. SASB. AASC. SSSD. ASA7.如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA=PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在△ABC中，EF//BC，AEEB =23，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是()A. 913B. 25C. 35D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A. 4B. 2C. √3D. 2√310. 已知点P(x 0,y 0)和直线y =kx +b ，求点P 到直线y =kx +b 的距离d 可用公式d =|kx 0−y 0+b|√1+k 2计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为y =−2x +6，P 是直线l 上的动点，Q 是⊙C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A. 3√55B. 3√55−1 C. 6√55−1 D. 2二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 函数y =1x−3中自变量x 的取值范围是______． 12. 方程组{x +y =42x −y =2的解是______ ．13. 若关于x 的一元二次方程x 2−4x −m =0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．14. 永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩(百分制)，整理样本数据，得到下表： 成绩 90≤x ≤100 80≤x <90 70≤x <8060≤x <70x <60人数25155 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有______人．15. 已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是______平方分米．16. 已知直线a//b ，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1=25°，则∠2=______．17. 如图，正比例函数y =−x 与反比例函数y =−6x 的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△ABD 的面积为______．18. ∠AOB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB =60°，在∠AOB 内有一点P(4,3)，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则△PMN 周长的最小值是______．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算：20200+√83sin30°−(12)−1．20. 先化简，再求值：(1a+1−a+2a 2−1⋅a 2−2a+1a 2+4a+4)⋅(a +2)，其中a =2．21. 今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90<S ≤100，B ：请结合图中所给信息，解答下列问题：(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中m=______，n=______，B等级所占扇形的圆心角度数为______．(3)该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生(用A1，A2表示)，两名女生(用B1，B2表示)，请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据：√3≈1.73，√5≈2.24，√7≈2.65)(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．(1)求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？(2)该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．(1)求证：CE是⊙O的切线．(2)已知BD=3√5，CD=5，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB=4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．(1)求抛物线所表示的二次函数表达式．(2)过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．)是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关②已知Q(1,−32于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．(2)当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．(3)设平移的距离为xcm(0<x≤6+6√2)，两张纸条重叠部分的面积为scm2.求s 与x的函数关系式，并求s的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−2020的相反数为：2020．故选：B．直接利用相反数的定义进而分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3.【答案】C【解析】解：635.3万=6353000=6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．本题考查了科学记数法−表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4.【答案】C【解析】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3=a3≠a2，故选项B错误；a6⋅a3=a9，故选项C正确；(a3)2=a6≠a5.故选项D错误．故选：C．本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5.【答案】A【解析】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，=5，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1+2+6+8+85×[(1−5)2+(2−5)2+(6−5)2+2×(8−5)2]=8.8，方差为15故选：A．将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6.【答案】A【解析】解：∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB(SAS)，故选：A．根据全等三角形的判定方法即可解决问题．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA=PB，所以①正确；∵OA=OB，PA=PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO=30°时，OP=2OA，此时PM=OM，则可对④进行判断．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE=2125S△ABC是解题的关键.由EF//BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF=425S△ABC，结合S四边形BCFE=21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵EF//BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEFS△ABC =(AEAB)2=(AEAE+EB)2=425，∴S△AEF=425S△ABC．∵S四边形BCFE =S△ABC−S△AEF=21，即2125S△ABC=21，∴S△ABC=25．故选：B．9.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC=2，∴AD=1，AB=AD=2，∴BD=√3，∵左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为2√3．故选：D．过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10.【答案】B【解析】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C(1,1)到直线l的距离d=√1+(−2)2=3√55，.∵⊙Q的半径为1，∴PQ=3√55−1，故选：B．求出点C(1,1)到直线y=−2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．11.【答案】x≠3【解析】解：根据题意得，x −3≠0，解得x ≠3．故答案为：x ≠3．根据分母不等于0列式进行计算即可求解．本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12.【答案】{x =2y =2【解析】解：{x +y =4①2x −y =2②， ①+②得：3x =6，即x =2，把x =2代入①得：y =2，则方程组的解为{x =2y =2， 故答案为：{x =2y =2方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13.【答案】m >−4【解析】解：由已知得：△=b 2−4ac =(−4)2−4×1×(−m)=16+4m >0，解得：m >−4．故答案为：m >−4．由方程有两个不相等的实数根可知，b 2−4ac >0，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式(或不等式组)是关键．14.【答案】480【解析】解：600×25+1550=480(人)，即该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生有480人，故答案为：480．根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分(含80分)以上的学生人数．本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15.【答案】π4【解析】解：圆锥的侧面积=12×π2×1=π4平方分米．故答案为π4．圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16.【答案】35°【解析】解：过点B作EF//a．∵a//b，∴EF//a//b．∴∠1=∠ABF，∠2=∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC=60°．∵∠ABF+∠CBF=60°，∴∠2=60°−25=35°．故答案为：35°．过点B作EF//a.利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17.【答案】6【解析】解：正比例函数y=−x与反比例函数y=−6x的图象交点坐标A(−√6,√6)，C(√6,−√6)，∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB=AB=OD=CD=√6，∴S△ABD=12BD⋅AB=12×2√6×√6=6，故答案为：6．根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB=AB=OD= CD=√6，再根据三角形的面积公式求出答案．本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18.【答案】5√3【解析】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P(4,3)，∴OP′=OP=OP″=√42+32=5，且∠POA=∠P′OA，∠POB=∠P″OB，∵∠AOB=∠AOP+∠BOP=60°，∴∠P′OP″=120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q=P″Q，∠OP′Q=∠OP″Q=30°，∴OQ=52，P′Q=P″Q=5√32，∴P′P″=2P′Q=2×5√32=5√3，则△PMN周长的最小值是5√3．故答案为：5√3．分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′=OP″=OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．此题考查了轴对称−最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．19.【答案】解：原式=1+2×12−2=1+1−2=0．【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：原式=[1a+1−a+2(a+1)(a−1)⋅(a−1)2(a+2)2]⋅(a+2)=[1a+1−a−1(a+1)(a+2)]⋅(a+2)=a+2a+1−a−1a+1=3a+1，当a=2时，原式=32+1=1．【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21.【答案】15 5 252【解析】解：(1)∵被调查的总人数为4÷10%=40(人)，∴C等级人数为40−(4+28+2)=6(人)，补全图形如下：(2)m%=640×100%=15%，即m=15，n%=240×100%=5%，即n=5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%=252°，故答案为：15，5，252°；(3)画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为812=23．(1)先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；(2)根据(1)种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；(3)分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22.【答案】解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB=∠ADC=90°，由题意得：AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，∴BD=12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；(2)由(1)得：BD=30，AD=30√3，∵BC=3×30=90，∴DC=BC−BD=90−30=60，在Rt△ADC中，AC=√AD2+DC2=√(30√3)2+602=30√7≈79.50(海里)；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【解析】(1)作AD⊥BC于D，由题意得AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，则BD= 12AB=30，AD=√3BD=30√3≈51.9>50，即可得出结论；(2)由(1)得BD=30，AD=30√3，求出DC=BC−BD=90−30=60，由勾股定理求出AC即可．本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23.【答案】解：(1)设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，依题意有1600 x =9600x+10，解得x=2，经检验，x=2是原方程的解，x+10=2+10=12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；(2)设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12(2000−y)≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【解析】(1)可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是(x+10)元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；(2)可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24.【答案】证明：(1)如图，连接OC，OE，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵E为BD的中点，∴BE=CE=DE，∴∠ECB=∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD=90°，∴∠OBC+EBC=90°，∴∠OCB+∠ECB=90°，∴∠OCE=90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；(2)∵∠D=∠D，∠BCD=∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴BDAD =CDBD，∴BD2=AD⋅CD，∴(3√5)2=5AD，∴AD=9，∵E为BD的中点，AO=BO，∴OE=12AD=92，∴O，E两点之间的距离为92．【解析】(1)由等腰三角形的性质可得∠OBC=∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB=90°，由直角三角形的性质可得BE=CE=DE，可得∠ECB=∠EBC，由切线的性质可得∠ABD=90°，可证OC⊥CE，可得结论；(2)通过证明△BCD∽△ABD，可得BDAD =CDBD，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB=4，∴OA =OB =OC =2， ∴A(−2,0)，B(2,0)，C(0,−2)， ∴{4a +2b +c =04a −2b +c =0c =−2，解得，{a =12b =0c =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；(2)①设直线l 的解析式为y =kx ，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{y =12x 2−2y =kx，可得12x 2−kx −2=0， ∴x 1+x 2=2k ，x 1⋅x 2=−4， ∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4k 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴S △CMN =12OC ⋅|x 1−x 2|=2√k 2+4， ∴当k =0时2√k 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4． ②假设抛物线上存在点P(m,12m 2−2)，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， ∴OP =OQ ，即√12+(32)2=√m 2+(12m 2−2)2， 解得，m 1=√3，m 2=−√3，m 3=1，m 4=−1， ∵m 3=1，m 4=−1不合题意，舍去， 当m 1=√3时，点P(√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1+√32,−1)， ∴1+√32k =−1，∴k =1−√3，∴直线l 的表达式为：y =(1−√3)x ， 当m 2=−√3时，点P(−√3,−12)， 线段PQ 的中点为(1−√32,−1)， ∴1−√32k =−1，∴k =1+√3，∴直线l的解析式为y=(1+√3)x．综上，直线l的解析式为y=(1−√3)x或y=(1+√3)x．【解析】(1)先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)①设直线l的解析式为y=kx，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立方程组求得|x1−x2|，再由三角形的面积公式求得结果；m2−2)，使得点P与点Q关于直线l对称，由OP=OQ列②假设抛物线上存在点P(m,12出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第(2)①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第(2)②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26.【答案】解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，(2)分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC=∠DFC=90°，∵两纸条等宽，∴BE=DF=6，∵∠BCE=∠DCF=45°，∴BC=CD=6√2，∵两纸条都是矩形，∴AB//CD，BC//AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC=DC，∴四边形ABCD是菱形；(3)①当0<x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，x2，∴s=12∵0<x≤6，∴当x=6时，s取最大值为s=18cm2；②当6<x≤6√2时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为(x−6)cm，∴s=12(x+x−6)×6=6x−18，当x=6√2时，s取最大值为(36√2−18)cm2；③当6√2<x<6+6√2时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形=s菱形−s三角形=6√2×6−12(6+6√2−x)2=−12[x−(6+6√2)]2+36√2，此时，36√2−18<S五边形<36√2；④当x=6+6√2时，重叠部分为菱形，如图所求，∴S菱形=36√2cm2，综上，s与x函数关系为：s=12x2(0<x≤6)，或s=6x−18(6<x≤6√2)，或s=−12[x−(6+6√2)]2+36√2(6√2<x<6+6√2)，或s=36√2(x=6+6√2).故s的最大值为36√2cm2．【解析】(1)通过操作画出图形便可得出结果；(2)由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD 于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB=CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；(3)分四种情况：0<x≤6；6<x≤6√2；6√2<x<6+6√2；x=6+6√2.分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第(3)题的解题关键是分情况讨论．。
2020年湖南省永州市中考数学试题
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9 6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．。
2020年湖南省永州市中考数学试卷 (解析版)
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C3D．2310．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ．13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 成绩 90100x 8090x < 7080x < 6070x <60x <人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人． 15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)scm．求s与x的函xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2数关系式，并求s的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上） 1．（4分）2020-的相反数为( ) A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．12020解：2020-的相反数为：2020． 故选：B ．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风解：根据轴对称图形的定义可知： 选项A 、B 、C 中的图形是轴对称图形， 选项D 不是轴对称图形． 故选：D ．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( ) A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人． 故选：C ．4．（4分）下列计算正确的是( ) A ．223323a b ab a b += B ．632a a a ÷= C ．639a a a =D ．325()a a =解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减； 6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误； 639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( ) A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8， 所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=，方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=，故选：A ．6．（4分）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．7．（4分）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法： ①PA PB =； ②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆； ④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．4解：PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，PA PB∴=，所以①正确；OA OB=，PA PB=，OP∴垂直平分AB，所以②正确；PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，OA PA∴⊥，OB PB⊥，90OAP OBP∴∠=∠=︒，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；只有当30APO∠=︒时，2OP OA=，此时PM OM=，M∴是不一定为AOP∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A ．913B．25C．35D．63解：//EF BC，AEF ABC∴∆∆∽，∴224()()25AEFABCS AE AES AB AE EB∆∆===+，425AEF ABCS S∆∆∴=．21ABC AEFBCFES S S∆∆=-=四边形，即212125ABCS∆=，25ABCS∆∴=．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A．4B．2C．3D．23解：如图，过点B作BD AC⊥于点D，此正三棱柱底面ABC∆的边AB在右侧面的投影为BD，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==， 3BD ∴=，左视图矩形的宽为2， ∴左视图的面积为23．故选：D ．10．（4分）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k-+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2解：过点C 作CP ⊥直线l ，交圆C 于Q 点，此时PQ 的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C 到直线l 的距离2351(2)d ==+-． Q 的半径为1， 351PQ ∴=-， 故选：B ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 3x ≠ ． 解：根据题意得，30x -≠， 解得3x ≠． 故答案为：3x ≠．12．（4分）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 22x y =⎧⎨=⎩ ．解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x =，即2x =， 把2x =代入①得：2y =， 则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩13．（4分）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人． 解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4平方分米．解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米． 故答案为4π．16．（4分）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠． ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．17．（4分）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C ，6)-， AB x ⊥轴，CD x ⊥轴，6OB AB OD CD ∴====，11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯⨯=， 故答案为：6．18．（4分）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+=，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''，60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''=532253P P P Q ∴'''='==， 则PMN ∆周长的最小值是3． 故答案为：53三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：01312020830()2-+︒-．解：原式11222=+⨯-112=+- 0=．20．（8分）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时， 原式3121==+． 21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒； （3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 22．（10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由． （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 作AD BC ⊥于D ，如图： 则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒， 1302BD AB ∴==，330351.950AD BD ==≈>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD = 33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC =+=+=≈（海里）； 答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元． （1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有 1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解， 1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元； （2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有 212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC =， OBC OCB ∴∠=∠，AB 是直径， 90ACB ∴∠=︒，E 为BD 的中点， BE CE DE ∴==， ECB EBC ∴∠=∠，BD 与O 相切于点B ， 90ABD ∴∠=︒， 90OBC EBC ∴∠+=︒， 90OCB ECB ∴∠+∠=︒， 90OCE ∴∠=︒OC CE ∴⊥，又OC 为半径，CE ∴是O 的切线；（2）D D ∠=∠，BCD ABD ∠=∠，BCD ABD ∴∆∆∽， ∴BD CD AD BD =， 2BD AD CD ∴=，2(35)5AD ∴=，9AD ∴=，E 为BD 的中点，AO BO =，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 25．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m2m =，31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，∴1=-，∴1k =-，∴直线l 的表达式为：(13)y x =-， 当23m =-时，点(3P -，1)2-， 线段PQ 的中点为13(2-，1)-， ∴1312k -=-， ∴13k =+，∴直线l 的解析式为(13)y x =+．综上，直线l 的解析式为(13)y x =-或(13)y x =+．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x <+，两张纸条重叠部分的面积为2scm ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE CD⊥于点F，如图，⊥于点E，DF CB∴∠=∠=︒，BEC DFC90两纸条等宽，BE DF∴==，6BCE DCF∠=∠=︒，45∴==，62BC CD两纸条都是矩形，//∴，//BC AD，AB CD∴四边形ABCD是平行四边形，又BC DC=，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当06x <时，重叠部分为三角形，如图所求，212s x ∴=， 06x <，∴当6x =时，s 取最大值为218s cm =；②当662x <时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm ，上底为(6)x cm -，1(6)66182s x x x ∴=+-⨯=-， 当62x =时，s 取最大值为2(36218)cm -；③当62662x <<+时，重叠部分为五边形，如图所求，(2211626(62)[62]222s s s x x ∴=-=-+-=--++五边形三角形菱形，此时，36218362S -<<五边形； ④当662x =+时，重叠部分为菱形，如图所求，∴2362S cm =菱形， 综上，s 与x 函数关系为：21(06)2s x x =<，或618(662)s x x =-<，或21[(662)]362(6262)2s x x =--++<<+，或362(62)s x ==+． 故s 的最大值为2362cm ．。
【解析版】2020年湖南省永州市中考数学试卷
【解析版】2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A ．B ．25C ．35D ．63【解答】解：∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴＝（）2＝（）2＝，∴S △AEF ＝S △ABC ．∵S 四边形BCFE ＝S △ABC ﹣S △AEF ＝21，即S △ABC ＝21，∴S △ABC ＝25．故选：B ．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A ．4B ．2C ．D ．2【解答】解：如图，过点B 作BD ⊥AC 于点D ，此正三棱柱底面△ABC 的边AB 在右侧面的投影为BD ，∵AC ＝2，∴AD ＝1，AB ＝AD ＝2，∴BD ＝，∵左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为2．故选：D ．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．（4分）方程组的解是．【解答】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．【解答】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．【解答】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，＝BD•AB＝×2×＝6，∴S△ABD故答案为：6．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【解答】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【解答】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m 3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s ＝（x+x ﹣6）×6＝6x ﹣18，当x ＝6时，s 取最大值为（36﹣18）cm 2；③当6＜x ＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s 五边形＝s 菱形﹣s 三角形＝＝，此时，36；④当x ＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s 与x 函数关系为：s ＝（0＜x≤6），或s ＝6x ﹣18（6＜x≤6），或s ＝（6＜x ＜6+6），或s ＝36（x ＝6+6）．故s的最大值为36．。
2020年湖南省永州市中考数学试卷
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为( )A ．12020-B ．2020C ．2020-D ．120202．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是( )A ． 注意安全B ．水深危险C ．必须戴安全帽D ．注意通风3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )A ．223323a b ab a b +=B ．632a a a ÷=C ．639a a a =D ．325()a a =5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是96．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，线段OP 交O于点M．给出下列四种说法：①PA PB=；②OP AB⊥；③四边形OAPB有外接圆；④M是AOP∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3D．48．（4分）（2020•永州）如图，在ABC∆中，//EF BC，23AEEB=，四边形BCFE的面积为21，则ABC∆的面积是()A．913B．25C．35D．639．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是()A ．4B ．2C ．3D ．2310．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351-C 651-D ．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内） 11．（4分）（2020•永州）函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 12．（4分）（2020•永州）方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 ． 13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90100x 8090x < 7080x < 6070x < 60x < 人数 25 15 5 4 1根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 人．15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= ．17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 ．18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 ．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-． 20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ．（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）（2020•永州）如图，ABC∆内接于O，AB是O的直径，BD与O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是O的切线．（2）已知35BD=，5CD=，求O，E两点之间的距离．25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角ABC∆的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且4AB=，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求CMN∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q-是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2020•永州）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45︒的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为(0662)xcm x<+，两张纸条重叠部分的面积为2scm．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）（2020•永州）2020-的相反数为()A．12020-B．2020C．2020-D．12020【考点】14：相反数【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：2020-的相反数为：2020．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）（2020•永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是()A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【考点】3P：轴对称图形【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）（2020•永州）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是( )A ．56.35310⨯人B ．563.5310⨯人C ．66.35310⨯人D ．70.635310⨯人【考点】1I ：科学记数法-表示较大的数【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为10n a ⨯，n 为整数位数减1．【解答】解：635.3万66353000 6.35310==⨯．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人．故选：C ．【点评】本题考查了科学记数法-表示较大的数，科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，4．（4分）（2020•永州）下列计算正确的是( )A ．223323a b ab a b +=B ．632a a a ÷=C ．639a a a =D ．325()a a =【考点】48：同底数幂的除法；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减；6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误；639a a a =，故选项C 正确；3265()a a a =≠．故选项D 错误．故选：C ．【点评】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）（2020•永州）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是( )A ．众数是8B ．平均数是6C ．中位数是8D ．方差是9【考点】7W ：方差；5W ：众数；4W ：中位数；1W ：算术平均数【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=， 方差为22221[(15)(25)(65)2(85)]8.85⨯-+-+-+⨯-=， 故选：A ．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）（2020•永州）如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB ∆≅∆的方法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．ASA【考点】KB ：全等三角形的判定【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：AB DC =，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS ∴∆≅∆，故选：A ．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）（2020•永州）如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M ．给出下列四种说法：①PA PB =；②OP AB ⊥；③四边形OAPB 有外接圆；④M 是AOP ∆外接圆的圆心．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】MC ：切线的性质；MA ：三角形的外接圆与外心【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，则可对④进行判断．【解答】解：PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，PA PB ∴=，所以①正确；OA OB =，PA PB =，OP ∴垂直平分AB ，所以②正确；PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，OA PA ∴⊥，OB PB ⊥， 90OAP OBP ∴∠=∠=︒，∴点A 、B 在以OP 为直径的圆上， ∴四边形OAPB 有外接圆，所以③正确；只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =，M ∴是不一定为AOP ∆外接圆的圆心，所以④错误．故选：C ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理． 8．（4分）（2020•永州）如图，在ABC ∆中，//EF BC ，23AE EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC ∆的面积是( )A ．913B ．25C ．35D ．63【考点】9S ：相似三角形的判定与性质【分析】由//EF BC 可得出AEF ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可得出425AEF ABC S S ∆∆=，结合21BCFE S =四边形即可得出关于ABC S ∆的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：//EF BC ， AEF ABC ∴∆∆∽，∴224()()25AEF ABC S AE AE S AB AE EB ∆∆===+， 425AEF ABC S S ∆∆∴=． 21ABC AEF BCFE S S S ∆∆=-=四边形，即212125ABC S ∆=， 25ABC S ∆∴=．故选：B ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出2125ABC BCFE S S ∆=四边形是解题的关键． 9．（4分）（2020•永州）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是( )A ．4B ．2C 3D ．23【考点】1U ：简单几何体的三视图；3U ：由三视图判断几何体【分析】过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案． 【解答】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC ∆的边AB 在右侧面的投影为BD ，2AC =，1AD ∴=，2AB AD ==，3BD ∴=，左视图矩形的宽为2，∴左视图的面积为23．故选：D ．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线； ③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法． 10．（4分）（2020•永州）已知点0(P x ，0)y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式002||1kx y b d k -+=+计算．根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为(1,1)，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是( )A 35B 351- C 651- D ．2【考点】8F：一次函数图象上点的坐标特征；5F：一次函数的性质【分析】求出点(1,1)C到直线26y x=-+的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点(1,1)C到直线l的距离d==．Q的半径为1，1PQ∴=-，故选：B．【点评】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）（2020•永州）函数13yx=-中，自变量x的取值范围是3x≠．【考点】4E：函数自变量的取值范围【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，30x-≠，解得3x≠．故答案为：3x≠．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）（2020•永州）方程组422x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是22xy=⎧⎨=⎩．【考点】98：解二元一次方程组【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：422x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：36x=，即2x=，把2x=代入①得：2y=，则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，故答案为：22x y =⎧⎨=⎩【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）（2020•永州）若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 4m >- ． 【考点】AA ：根的判别式【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，240b ac ->，代入数据可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】解：由已知得：△224(4)41()1640b ac m m =-=--⨯⨯-=+>， 解得：4m >-． 故答案为：4m >-．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）（2020•永州）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表： 90100x 8090x < 7080x < 6070x <251554根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有 480 人．【考点】5V ：用样本估计总体；7V ：频数（率)分布表【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：251560048050+⨯=（人)， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 故答案为：480．【点评】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）（2020•永州）已知圆锥的底面周长是2π分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是4π平方分米． 【考点】MP ：圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积=底面周长⨯母线长2÷． 【解答】解：圆锥的侧面积11224ππ=⨯⨯=平方分米．故答案为4π． 【点评】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型． 16．（4分）（2020•永州）已知直线//a b ，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠= 35︒ ．【考点】JA ：平行线的性质【分析】过点B 作//EF a ．利用平行线的性质，把1∠、2∠集中在ABC ∠上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点B 作//EF a ． //a b ， ////EF a b ∴．1ABF ∴∠=∠，2FBC ∠=∠．ABC ∆是含30︒角的直角三角形， 60ABC ∴∠=︒． 60ABF CBF ∠+∠=︒， 2602535∴∠=︒-=︒．故答案为：35︒．【点评】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键． 17．（4分）（2020•永州）如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD ∆的面积为 6 ．【考点】8G ：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出6OB AB OD CD ===，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x =-的图象交点坐标(6A -，6)，(6C 6)，AB x ⊥轴，CD x ⊥轴， 6OB AB OD CD ∴===11266622ABD S BD AB ∆∴==⨯=， 故答案为：6．【点评】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）（2020•永州）AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点(4,3)P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN ∆周长的最小值是 53 ．【考点】PA ：轴对称-最短路线问题；5D ：坐标与图形性质【分析】分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长，连接OP '，OP ''，OP ，利用垂直平分线定理得到OP OP OP '=''=，由P 坐标确定出OP 的长，在三角形OP P '''中求出P P '''的长，即为三角形PMN 周长的最小值．【解答】解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P ''，连接P P '''，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN ∆周长最小，最小值为P P '''的长， 连接OP '，OP ''，OP ，OA 、OB 分别为PP '，PP ''的垂直平分线，(4,3)P ，22435OP OP OP ∴'==''=+，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠''， 60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒， 120P OP ∴∠'''=︒，过O 作OQ P P ⊥'''，可得P Q P Q '=''，30OP Q OP Q ∠'=∠''=︒， 52OQ ∴=，53P Q P Q '=''532253P P P Q ∴'''='== 则PMN ∆周长的最小值是3 故答案为：53【点评】此题考查了轴对称-最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）（2020•永州）计算：013120208()2-︒-．【考点】5T ：特殊角的三角函数值；6F ：负整数指数幂；6E ：零指数幂；2C ：实数的运算【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式11222=+⨯-112=+-0=．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）（2020•永州）先化简，再求值：2221221()(2)1144a a a a a a a a +-+-++-++，其中2a =．【考点】6D ：分式的化简求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得． 【解答】解：原式2212(1)[](2)1(1)(1)(2)a a a a a a a +-=-+++-+11[](2)1(1)(2)a a a a a -=-++++ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时，原式3121==+． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21．（8分）（2020•永州）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，:90100A S <，:8090B S <，:7080C S <，:70D S ．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m = 15 ，n = ，B 等级所占扇形的圆心角度数为 ． （3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【考点】VC ：条形统计图；VB ：扇形统计图；6X ：列表法与树状图法【分析】（1）先由A 等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C 等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C 、D 人数，利用百分比概念求解可得m 、n 的值，用360︒乘以B 等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）被调查的总人数为410%40÷=（人)， C ∴等级人数为40(4282)6-++=（人)，补全图形如下：（2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =； B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒，故答案为：15，5，252︒；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=． 【点评】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．22．（10分）（2020•永州）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60︒方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．3 1.73≈5 2.247 2.65)≈（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．【考点】TB ：解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）作AD BC ⊥于D ，由题意得60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，则1302BD AB ==，330351.950AD BD ==≈>，即可得出结论； （2）由（1）得30BD =，303AD =903060DC BC BD =-=-=，由勾股定理求出AC 即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD BC ⊥于D ，如图：则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，1302BD AB ∴==，330351.950AD BD =>， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，303AD =33090BC =⨯=，903060DC BC BD ∴=-=-=，在Rt ADC ∆中，2222(303)6030779.50AC AD DC ++（海里）；答：A ，C 之间的距离约为79.50海里．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）（2020•永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和95N 口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，95N 口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比95N 口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和95N 口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【考点】9C ：一元一次不等式的应用；7B ：分式方程的应用【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y 只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元，则95N 口罩的单价是(10)x +元，依题意有1600960010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解，1021012x +=+=．故一次性医用外科口罩的单价是2元，95N 口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有212(2000)10000y y +-，解得1400y ．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）（2020•永州）如图，ABC ∆内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线．（2）已知35BD =，5CD =，求O ，E 两点之间的距离．【考点】5M ：圆周角定理；ME ：切线的判定与性质；MA ：三角形的外接圆与外心；9S ：相似三角形的判定与性质【分析】（1）由等腰三角形的性质可得OBC OCB ∠=∠，由圆周角定理可得90ACB ∠=︒，由直角三角形的性质可得BE CE DE ==，可得ECB EBC ∠=∠，由切线的性质可得90ABD ∠=︒，可证OC CE ⊥，可得结论；（2）通过证明BCD ABD ∆∆∽，可得BD CD AD BD=，可求AD 的长，由三角形中位线定理可求解． 【解答】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC=，OBC OCB∴∠=∠，AB是直径，90ACB∴∠=︒，E为BD的中点，BE CE DE∴==，ECB EBC∴∠=∠，BD与O相切于点B，90ABD∴∠=︒，90OBC EBC∴∠+=︒，90OCB ECB∴∠+∠=︒，90OCE∴∠=︒OC CE∴⊥，又OC为半径，CE∴是O的切线；（2）D D∠=∠，BCD ABD∠=∠，BCD ABD∴∆∆∽，∴BD CDAD BD=，2BD AD CD∴=，2(35)5AD∴=，9AD∴=，E为BD的中点，AO BO=，1922OE AD ∴==， O ∴，E 两点之间的距离为92． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD 的长是本题的关键．25．（12分）（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC ∆的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示．①求CMN ∆面积的最小值．②已知3(1,)2Q -是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【考点】HF ：二次函数综合题【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA 、OB 、OC ，进而得A 、B 、C 三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，联立方程组求得12||x x -，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，由OP OQ =列出方程求得m 的值，再根据题意舍去不合题意的m 值，再求得PQ 的中点坐标，便可求得直线l 的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，在等腰Rt ABC ∆中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ∴===，(2,0)A ∴-，(2,0)B ，(0,2)C -，∴4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-； （2）①设直线l 的解析式为y kx =，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 由2122y x y kx⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k ∴+=，124x x =-，∴222121212()()4416x x x x x x k -=+-=+，∴12||x x -=∴121||2CMN S OC x x ∆=-=， ∴当0k =时取最小值为4．CMN ∴∆面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点21(,2)2P m m -，使得点P 与点Q 关于直线l 对称， OP OQ ∴==解得，1m =2m =31m =，41m =-，31m =，41m =-不合题意，舍去，当1m =1)2P -， 线段PQ的中点为1)-，。
2020年湖南省永州市中考数学试卷和答案解析
2020年湖南省永州市中考数学试卷和答案解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．解析：直接利用相反数的定义进而分析得出答案．参考答案：解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．点拨：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风解析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．参考答案：解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．点拨：本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人解析：绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n 为整数位数减1．参考答案：解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．点拨：本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5解析：根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．参考答案：解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．点拨：本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9解析：将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．参考答案：解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．点拨：本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA解析：根据全等三角形的判定方法即可解决问题．参考答案：解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．点拨：本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4解析：利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．参考答案：解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．点拨：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．63解析：由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．参考答案：解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．2解析：过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB 在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD 的长，结合左视图矩形的宽可得答案．参考答案：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．点拨：本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2解析：求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ 的最小值．参考答案：解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ 的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．点拨：本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．解析：根据分母不等于0列式进行计算即可求解．参考答案：解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．点拨：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（4分）方程组的解是．解析：方程组利用加减消元法求出解即可．参考答案：解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：点拨：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．解析：由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．参考答案：解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．点拨：本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤80≤x＜70≤x＜60≤x＜x＜60100908070人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．解析：根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．参考答案：解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．点拨：本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．解析：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．参考答案：解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．点拨：本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．解析：过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．参考答案：解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．点拨：本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为6．解析：根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．参考答案：解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．点拨：本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．解析：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．参考答案：解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．点拨：此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．解析：直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．参考答案：解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．点拨：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．参考答案：解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．点拨：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．解析：（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．参考答案：解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．点拨：本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．解析：（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．参考答案：解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．点拨：本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？解析：（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．参考答案：解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．点拨：本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．解析：（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．参考答案：证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．点拨：本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．解析：（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．参考答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．点拨：本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，轴对称的性质，第（2）①题关键是求得M、N两点的横坐标之差，第（2）②小题关键是根据轴对称性质列出m的方程，以及求得PQ的中点坐标．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．解析：（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，参考答案：解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x ≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．点拨：本题主要考查了菱形的性质与判定，平移的性质，操作探究题，求出函数的解析式，一次函数和二次函数的性质，第（3）题的解题关键是分情况讨论．。
2020年湖南永州中考数学试卷(解析版)
2020年湖南永州中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）A. B. C. D.1.的相反数为（ ）．A.注意安全B.水深危险C.必须戴安全帽D.注意通风2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）．A.人B.人C.人D.人3.永州市现有户籍人口约万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（ ）．4.下列计算正确的是（ ）．A.B.C.D.5.已知一组数据，，，，，对这组数据描述正确的是（ ）．A.众数是B.平均数是C.中位数是D.方差是6.如图，已知，．能直接判断≌ 的方法是（ ）．A.B.C.D.7.如图，已知，是⊙的两条切线，，为切点，线段交⊙于点．给出下列四种说法：①；②；③四边形有外接圆；④是外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（ ）．A.B.C.D.8.如图，在中，，，四边形的面积为，则的面积是（）．A.B.C.D.9.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）．正三棱柱主视图俯视图A.B.C.D.10.已知点和直线，求点到直线的距离可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙的圆心的坐标为，半径为，直线的表达式为，是直线上的动点，是⊙上的动点，则的最小值是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11.函数中自变量的取值范围是 ．12.方程组的解是 ．13.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩人数根据抽样调查结果，估计该校七年级名学生中，分（含分）以上的学生有 人．15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为分米，则圆锥的侧面积是 平方分米．16.已知直线，用一块含角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则．17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ．xyO18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，、分别是，边上的动点，连接，，，则周长的最小值是 ．xyO三、解答题（本大题共8小题，共78分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中．（1）（2）（3）21.今年月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动、赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为，，，四个等级，：，：，：，：．并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：等级人数请把条形统计图补充完整．扇形统计图中 ， ，等级所占扇形的圆心角度数为 ．该校准备从上述获得等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到名男生和名女生的概率．22.一艘渔船从位于海岛北偏东方向，距海岛海里的处出发，以每小时海里的速度沿正南方向航行，已知在海岛周围海里水域内有暗礁．（参考数据：，，）北（1）（2）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．渔船航行小时后到达处，求，之间的距离．（1）（2）23.某药店在今年月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费元，口罩花费元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比口罩的单价少元．求该药店购进的一次性医用外科口罩和口罩的单价各是多少元？该药店计划再次购进两种口罩共只，预算购进的总费用不超过万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？（1）（2）24.如图，内接于⊙，是⊙的直径，与⊙相切于点．交的延长线于点，为的中点，连接．求证：是⊙的切线．已知，，求，两点之间的距离．25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在轴上，另两个顶点，在轴上，且，抛物线经过、，三点，如图所示．（1）12（2）图求抛物线所表示的二次函数表达式．过原点任作直线交抛物线于，两点，如图所示．图求面积的最小值．已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点，使得点与点关于直线对称，若存在，求出点的坐标及直线的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．（1）（2）26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成的角，将该纸条从右往左平移．写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．当重叠部分的形状为如图所示的四边形时，求证：四边形是菱形．【答案】解析:的相反数为：．故选．解析:现有户籍人口数万人，用科学记数法表示为．故选：．解析:将数据按大小顺序排列为：，，，，．选项：出现次数最多，故众数是，故正确；选项：，∴平均数是，故错误；选项：中位数是，故错误；（3）设平移的距离为（），两张纸条重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求的最大值．B1.D2.C3.C4.A5.选项：．∴方差是，故错误．故选．解析:∵，，，∴≌．故选．解析:∵、是⊙的切线，∴，，且，在和中，，，，∴≌，∴．故①正确；∵≌，∴，且，∴．故②正确；∵，，A 6.C 7.∴，∴四边形有外接圆．故③正确；无法证明点是外接圆的圆心．故④错误．综上所述正确的为①②③．故选．解析:∵，∴，∵，∴，∴，∵，设，则，则，解得，∴．故选．解析:如图，过点作于点，∵，∴，，∴，B 8.四边形四边形D 9.∴左视图面积为．故选．解析:如图，过点作直线，直线与⊙交于点，与直线交于点，此时，的值最小．∵直线解析式为：，点坐标为，∴点到直线的距离即，又∵⊙的半径即，∴．故选．解析:根据题意得，，解得．解析:解方程组：，①②，得，∴，将代入①，得，B 10.11.12.①②∴，∴原方程组的解为．故答案为：．13.解析:由已知得：，解得：．14.解析:由题意得：（人）．故答案为：．15.解析:圆锥的侧面是扇形，圆锥的侧面积，故答案为：．16.解析:过点作直线的平行线，∵，∴，∴，，∵为直角三角形且，∴，∴．17.解析:联立解析式，得，解得或，∴点坐标为，点坐标为．又∵轴，轴，∴点坐标为，点坐标为，∴，，∴的面积．故答案为：．18.解析:分别作点关于，的对称点，，连接交于点，交于点，连接，，，yxO则，，，∴，，则的周长最小值为的长度，过点作于点，∵点坐标为，∵，，，∴，∴，又∵，∴，在中，，在等腰三角形中，为边上的高线，∴，∴，即周长最小值为．故答案为：．解析:．解析:，当时，原式．．19.，．20.（1）画图见解析．（2）; ;21.（1）（2）（3）（1）解析:由题可知：占，占有人，∴总人数：人，∴：人，故条形统计图如图所示：等级人数由（）可知：总人数为人，，∴，，∴，：．故答案为：，，．树状图：开始一共有种，一男一女有种，∴（男，女），故抽到男女的概率为．解析:过点作于点，（3），画图见解析．（1）没有触礁的危险．（2）海里．22.（2）（1）（2）北∴，由题意可得，∴在中，∴渔船在航行过程中没有触礁的危险．在中，，∵，∴，在中，，即，之间的距离为海里．解析:设一次性医用外科口罩单价为元，则口罩的单价为元，由题意可知，，解方程得：．经检验是原方程的解，当时，．答：一次性医用外科口罩和口罩的单价分别是元，元．设购进一次性医用外科口罩只根据题意得，解不等式得：．答：药店购进一次性医用外科口罩至少只．（1）一次性医用外科口罩和口罩的单价分别是元，元．（2）至少只．23.（1）（2）解析:连接，∵，∴．∵是⊙的直径，∴，则，∵是斜边上的中线，∴．∴．∵与⊙相切，∴，即．∴，即．∴，∴是⊙的切线．∵，，∴．∴，即．∴，∵是的中位线，∴．（1）证明见解析．（2）．24.（1）．1（2）．25.（1）12（2）解析:设抛物线的解析式为，在等腰中，垂直平分且，∴，∴，，，，解得：，∴抛物线的解析式为．设直线的解析式为，，，由，可得，∴，，∴，∴，∴，∴当时取最小值，∴的最小值是．2存在，当时，点，直线的表达式为：，当时，点，直线的表达式为：．（1）假设抛物线上存在点，使得点与点关于直线对称，∴，即，解得，，，，∵，不合题意，舍去，当时，点，线段的中点为，∴，，∴直线的表达式为：．当时，点，线段的中点为，∴，，∴直线的表达式为：．解析:①如图，图重叠部分是等腰直角三角形；②如图，（1）等腰直角三角形；梯形；菱形；五边形．（2）证明见解析．（3）；的最大值为．26.（2）图重叠部分是梯形；③如图，图重叠部分是菱形；④如图，图重叠部分是五边形．分别过点，作于点，于点，如图，图∴，∵两张纸条等宽，∴．（3）在和中，，∴，∵两张纸条都是矩形，∴，，∴四边形是平行四边形，又，∴四边形是菱形．①当时，重叠部分为三角形，如图所示，图∴，．最大值为．②当时，重叠部分为梯形，如图所示，图梯形的下底为，上底为，∴，当时，取最大值，③当时，重叠部分为五边形，如图，图，此时 ．④当时，重叠部分为菱形，如图，五边形菱形三角形五边形图∴．菱形∴，的最大值为．。
2020年湖南省永州市中考数学试卷(含详细解析)
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
23．某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
18． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，且 ，在 内有一点 ，M，N分别是 边上的动点，连接 ，则 周长的最小值是_________．
评卷人
得分
三、解答题
19．计算： ．
20．先化简，再求值： ，其中 ．
21．今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A： ，B： ，C： ，D： ，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（3）设平移的距离为 ，两张纸条重叠部分的面积为 ．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义求解．
【详解】
的反数为－（-2020）=2020．
故选B．
【点睛】
考查了相反数，解题关键是正确理解相反数的定义．
2．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形的概念求解．
12．方程组 的解是_________．
13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
2020年湖南省永州市中考数学试卷及答案解析
C、 ，故该项正确；
D、 ，故该项错误；
故选：C.
【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则是解题的关键.
5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（）
A.众数是8B.中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（）
A. B.25C.35D.63
【答案】B
【解析】
【分析】
在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，难度不大，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．
6.如图，已知 ．能直接判断 的方法是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理解答.
【详解】在△ABC和△DCB中，
,
∴ (SAS),
故选：A.
【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11.在函数 中，自变量 的取值范围是________．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】
根据分式有意义 条件，即可求解．
【详解】∵在函数 中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
2020年湖南省永州市中考数学试题(解析版)
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是96．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d ＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60成绩90≤x≤100人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．2020年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．【分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①P A＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP ＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答】解：∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴P A＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，P A＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC 的面积是（）A．B．25C．35D．63【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．△ABC【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．2【分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1C．﹣1D．2【分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y＝中，自变量x的取值范围是x≠3．【分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．（4分）方程组的解是．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60100人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人．【分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝35°．【分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A 作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为6．【分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是5．【分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝15，n＝5，B等级所占扇形的圆心角度数为252．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD ＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m 3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x 的函数关系式，并求s的最大值．【分析】（1）通过操作画出图形便可得出结果；（2）由两线条的边沿是平行线，得四边形ABCD是平行四边形，分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，由两纸条的宽度相等，通过解直角三角形得，CB＝CD，进而根据菱形的定义得四边形ABCD是菱形；（3）分四种情况：0＜x≤6；6＜x≤6；6＜x＜6+6；x＝6+6．分别求得函数解析式，并根据函数性质求得各段函数的最大值，最后再得最终的最大值，【解答】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．。
2020年湖南省永州市中考数学试卷及答案解析
11.在函数 中，自变量 的取值范围是________．
【答案】x≠3
【解析】
【分析】
根据分式有意义 条件，即可求解．
【详解】∵在函数 中，x-3≠0，
∴x≠3．
故答案是：x≠3．
【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．
该几何体的左视图为长方形，
该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，
∵底面等边三角形的高= ，∴它的左视图的面积是 ，Fra bibliotek故选：D.
【点睛】此题考查简单几何体的三视图，能根据几何体会画几何体的三视图，能依据三视图判断几何体的长、宽、高的数量，掌握简单几何体的三视图是解题的关键.
10.已知点 和直线 ，求点P到直线 的距离d可用公式 计算．根据以上材料解决下面问题：如图， 的圆心C的坐标为 ，半径为1，直线l的表达式为 ，P是直线l上的动点，Q是 上的动点，则 的最小值是（）
永州市2020年初中学业水平考试
数学（试题卷）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1. 的相反数为（）
A. B.2020C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义求解．
【详解】 的相反数为－（-2020）=2020．
【解析】
【分析】
根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．
【详解】令 ,解得 ,
∴A( ),C( )．
∴B( ) D( )．
则BD= ,AB= ,
2020年湖南省永州市中考数学试题及参考答案(word解析版)
永州市2020年初中学业水平考试数学（试题卷）（满分150分，考试时量120分钟）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是96．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．639．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．210．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2（第8题图）（第9题图）（第10题图）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．方程组的解是．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．（第16题图）（第17题图）（第18题图）三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案与解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项）1．﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020 C．﹣2020 D．【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义进而分析得出答案．【解答过程】解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2．永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风【知识考点】轴对称图形．【思路分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，即可进行判断．【解答过程】解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．【总结归纳】本题考查了轴对称图形，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】绝对值大于10的数用科学记数法表示一般形式为a×10n，n为整数位数减1．【解答过程】解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．【总结归纳】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，4．下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【思路分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法法则、幂的乘方法则，直接计算得结论．【解答过程】解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了同底数幂的乘除法法则、合并同类项法则及幂的乘方法则．熟练掌握整式的相关法则，是解决本题的关键．5．已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8 B．平均数是6 C．中位数是8 D．方差是9【知识考点】算术平均数；中位数；众数；方差．【思路分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．【解答过程】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．【总结归纳】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．6．如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【知识考点】全等三角形的判定．【思路分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．【解答过程】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】利用切线长定理对①进行判断；利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断；利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，则可对④进行判断．【解答过程】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．8．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25 C．35 D．63【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键．9．如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4 B．2 C．D．2【知识考点】简单几何体的三视图．【思路分析】过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，利用等边三角形的性质和勾股定理求出BD的长，结合左视图矩形的宽可得答案．【解答过程】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，由物体的三视图想象几何体的形状是有一定难度的，可以从以下途径进行分析：①根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高；②从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线；③熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助；④利用由三视图画几何体与有几何体画三视图的互逆过程，反复练习，不断总结方法．10．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．﹣1 C．﹣1 D．2【知识考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【思路分析】求出点C（1，1）到直线y＝﹣2x+6的距离d即可求得PQ的最小值．【解答过程】解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．【总结归纳】本题考查的是一次函数的应用、点到直线的距离公式．直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．函数y＝中，自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据分母不等于0列式进行计算即可求解．【解答过程】解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．【总结归纳】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．方程组的解是．【知识考点】解二元一次方程组．【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答过程】解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：【总结归纳】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答过程】解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【总结归纳】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14．永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤100 80≤x＜90 70≤x＜80 60≤x＜70 x＜60人数25 15 5 4 1 根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布表．【思路分析】根据频数分布表中的数据，可以估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生人数．【解答过程】解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．【总结归纳】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，由样本数据可以估计总体．15．已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．【知识考点】圆锥的计算．【思路分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答过程】解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．【总结归纳】本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．16．已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点B作EF∥a．利用平行线的性质，把∠1、∠2集中在∠ABC上，利用角的和差求值即可．【解答过程】解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质及角的和差关系．掌握平行线的性质是解决本题的关键．17．如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出OB＝AB＝OD ＝CD＝，再根据三角形的面积公式求出答案．【解答过程】解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是得到答案的前提．18．∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．【知识考点】坐标与图形性质；轴对称﹣最短路线问题．【思路分析】分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，利用垂直平分线定理得到OP′＝OP″＝OP，由P坐标确定出OP的长，在三角形OP′P″中求出P′P″的长，即为三角形PMN周长的最小值．【解答过程】解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．【总结归纳】此题考查了轴对称﹣最短线路问题，坐标与图形性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解本题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．【知识考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【思路分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答过程】解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．【总结归纳】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．【知识考点】分式的化简求值．【思路分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答过程】解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．【总结归纳】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．【知识考点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．【思路分析】（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）种补全图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；（3）分别用树状图方法表示出所有等可能结果，从中找到恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，利用概率公式计算可得．【解答过程】解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．【总结归纳】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．【知识考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【思路分析】（1）作AD⊥BC于D，由题意得AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，则BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，即可得出结论；（2）由（1）得BD＝30，AD＝30，求出DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，由勾股定理求出AC即可．【解答过程】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．【总结归纳】本题考查的是解直角三角形的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？【知识考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【思路分析】（1）可设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，根据等量关系：两种口罩的只数相同，列出方程即可求解；（2）可设购进一次性医用外科口罩y只，根据购进的总费用不超过1万元，列出不等式即可求解．【解答过程】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程和不等式是解题的关键．24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．【知识考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠OBC＝∠OCB，由圆周角定理可得∠ACB＝90°，由直角三角形的性质可得BE＝CE＝DE，可得∠ECB＝∠EBC，由切线的性质可得∠ABD＝90°，可证OC⊥CE，可得结论；（2）通过证明△BCD∽△ABD，可得，可求AD的长，由三角形中位线定理可求解．【解答过程】证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．【总结归纳】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AD的长是本题的关键．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质求得OA、OB、OC，进而得A、B、C三点的坐标，再用待定系数法求得抛物线的解析式；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组求得|x1﹣x2|，再由三角形的面积公式求得结果；②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，由OP＝OQ列出方程求得m的值，再根据题意舍去不合题意的m值，再求得PQ的中点坐标，便可求得直线l的解析式．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，。
2020年湖南省永州市中考数学试题和答案
2020年湖南省永州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．（4分）﹣2020的相反数为（）A．﹣B．2020C．﹣2020D．2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险C．必须戴安全帽D．注意通风3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A．6.353×105人B．63.53×105人C．6.353×106人D．0.6353×107人4．（4分）下列计算正确的是（）A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a55．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9 6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC ≌△DCB的方法是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 7．（4分）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）A．B．25C．35D．639．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A．4B．2C．D．210．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A ．B ．﹣1C ．﹣1D．2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．（4分）函数y ＝中，自变量x 的取值范围是．12．（4分）方程组的解是．13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x 轴于点D，则△ABD的面积为．18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB ＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a ＝2．21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈2.24，≈2.65）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O 相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26．（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD时，求证：四边形ABCD是菱形．（3）设平移的距离为xcm（0＜x≤6+6），两张纸条重叠部分的面积为scm2．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1．参考答案：解：﹣2020的相反数为：2020．故选：B．2．参考答案：解：根据轴对称图形的定义可知：选项A、B、C中的图形是轴对称图形，选项D不是轴对称图形．故选：D．3．参考答案：解：635.3万＝6353000＝6.353×106．则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为6.353×106人．故选：C．4．参考答案：解：A选项的两个加数不是同类项，不能加减；a6÷a3＝a3≠a2，故选项B错误；a6•a3＝a9，故选项C正确；（a3）2＝a6≠a5．故选项D错误．故选：C．5．参考答案：解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为＝5，方差为×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（6﹣5）2+2×（8﹣5）2]＝8.8，故选：A．6．参考答案：解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．7．参考答案：解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴PA＝PB，所以①正确；∵OA＝OB，PA＝PB，∴OP垂直平分AB，所以②正确；∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴点A、B在以OP为直径的圆上，∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确；∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误．故选：C．8．参考答案：解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AEF＝S△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．9．参考答案：解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，此正三棱柱底面△ABC的边AB在右侧面的投影为BD，∵AC＝2，∴AD＝1，AB＝AD＝2，∴BD＝，∵左视图矩形的长为2，∴左视图的面积为2．故选：D．10．参考答案：解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，．∵⊙Q的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）11．参考答案：解：根据题意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案为：x≠3．12．参考答案：解：，①+②得：3x＝6，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝2，则方程组的解为，故答案为：13．参考答案：解：由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．14．参考答案：解：600×＝480（人），即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人，故答案为：480．15．参考答案：解：圆锥的侧面积＝××1＝平方分米．故答案为．16．参考答案：解：过点B作EF∥a．∵a∥b，∴EF∥a∥b．∴∠1＝∠ABF，∠2＝∠FBC．∵△ABC是含30°角的直角三角形，∴∠ABC＝60°．∵∠ABF+∠CBF＝60°，∴∠2＝60°﹣25＝35°．故答案为：35°．17．参考答案：解：正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交点坐标A（﹣，），C（，﹣），∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴OB＝AB＝OD＝CD＝，∴S△ABD＝BD•AB＝×2×＝6，故答案为：6．18．参考答案：解：分别作P关于射线OA、射线OB的对称点P′与点P″，连接P′P″，与OA、OB分别交于M、N两点，此时△PMN周长最小，最小值为P′P″的长，连接OP′，OP″，OP，∵OA、OB分别为PP′，PP″的垂直平分线，P（4，3），∴OP′＝OP＝OP″＝＝5，且∠POA＝∠P′OA，∠POB＝∠P″OB，∵∠AOB＝∠AOP+∠BOP＝60°，∴∠P′OP″＝120°，过O作OQ⊥P′P″，可得P′Q＝P″Q，∠OP′Q＝∠OP″Q＝30°，∴OQ＝，P′Q＝P″Q＝，∴P′P″＝2P′Q＝2×＝5，则△PMN周长的最小值是5．故答案为：5．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．参考答案：解：原式＝1+2×﹣2＝1+1﹣2＝0．20．参考答案：解：原式＝[﹣•]•（a+2）＝[﹣]•（a+2）＝﹣＝，当a＝2时，原式＝＝1．21．参考答案：解：（1）∵被调查的总人数为4÷10%＝40（人），∴C等级人数为40﹣（4+28+2）＝6（人），补全图形如下：（2）m%＝×100%＝15%，即m＝15，n%＝×100%＝5%，即n＝5；B等级所占扇形的圆心角度数为360°×70%＝252°，故答案为：15，5，252°；（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为＝．22．参考答案：解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：作AD⊥BC于D，如图：则∠ADB＝∠ADC＝90°，由题意得：AB＝60，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AB＝30，AD＝BD＝30≈51.9＞50，∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：BD＝30，AD＝30，∵BC＝3×30＝90，∴DC＝BC﹣BD＝90﹣30＝60，在Rt△ADC中，AC＝＝＝30≈79.50（海里）；答：A，C之间的距离约为79.50海里．23．参考答案：解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有＝，解得x＝2，经检验，x＝2是原方程的解，x+10＝2+10＝12．故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000﹣y）≤10000，解得y≥1400．故至少购进一次性医用外科口罩1400只．24．参考答案：证明：（1）如图，连接OC，OE，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E为BD的中点，∴BE＝CE＝DE，∴∠ECB＝∠EBC，∵BD与⊙O相切于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠OBC+EBC＝90°，∴∠OCB+∠ECB＝90°，∴∠OCE＝90°∴OC⊥CE，又∵OC为半径，∴CE是⊙O的切线；（2）∵∠D＝∠D，∠BCD＝∠ABD，∴△BCD∽△ABD，∴，∴BD2＝AD•CD，∴（3）2＝5AD，∴AD＝9，∵E为BD的中点，AO＝BO，∴OE＝AD＝，∴O，E两点之间的距离为．25．参考答案：解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），在等腰Rt△ABC中，OC垂直平分AB，且AB＝4，∴OA＝OB＝OC＝2，∴A（﹣2，0），B（2，0），C（0，﹣2），∴，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣2；（2）①设直线l的解析式为y＝kx，M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得，∴x1+x2＝2k，x1•x2＝﹣4，∴，∴，∴，∴当k＝0时2取最小值为4．∴△CMN面积的最小值为4．②假设抛物线上存在点P（m，﹣2），使得点P与点Q关于直线l对称，∴OP＝OQ，即，解得，，，m3＝1，m4＝﹣1，∵m3＝1，m4＝﹣1不合题意，舍去，当时，点P（），线段PQ的中点为（），∴，∴，∴直线l的表达式为：y＝（1﹣）x，当时，点P（﹣，﹣），线段PQ的中点为（，﹣1），∴，∴，∴直线l的解析式为y＝（1+）x．综上，直线l的解析式为y＝（1﹣）x或y＝（1+）x．26．参考答案：解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形．如下图所示，（2）分别过B，D作BE⊥CD于点E，DF⊥CB于点F，如图，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∵两纸条等宽，∴BE＝DF＝6，∵∠BCE＝∠DCF＝45°，∴BC＝CD＝6，∵两纸条都是矩形，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形，又BC＝DC，∴四边形ABCD是菱形；（3）①当0＜x≤6时，重叠部分为三角形，如图所求，∴s＝，∵0＜x≤6，∴当x＝6时，s取最大值为s＝18cm2；②当6＜x≤6时，重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为xcm，上底为（x﹣6）cm，∴s＝（x+x﹣6）×6＝6x﹣18，当x＝6时，s取最大值为（36﹣18）cm2；③当6＜x＜6+6时，重叠部分为五边形，如图所求，∴s五边形＝s菱形﹣s三角形＝＝，此时，36；④当x＝6+6时，重叠部分为菱形，如图所求，∴，综上，s与x函数关系为：s＝（0＜x≤6），或s＝6x﹣18（6＜x ≤6），或s＝（6＜x＜6+6），或s＝36（x＝6+6）．故s的最大值为36．。
湖南省永州市2020年中考数学试卷
湖南省永州市2020年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.-2020的相反数为（）A. B. 2020 C. -2020 D.2.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A. B. C. D.3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）A. 人B. 人C. 人D.4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.5.已知一组数据1，2，8，6，8对这组数据描述正确的是（）A. 众数是8B. 平均数是6C. 中位数是8D. 方差是96.如图，已知．能直接判断的方法是（）A. B. C. D.7.如图，已知是的两条切线，A，B为切点，线段交于点M．给出下列四种说法：① ；② ；③四边形有外接圆；④M是外接圆的圆心，其中正确说法的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（）A. B. 25 C. 35 D. 639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）A. 4B. 2C.D.10.已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：如图，的圆心C的坐标为，半径为1，直线l的表达式为，P是直线l上的动点，Q是上的动点，则的最小值是（）A. B. C. D. 2二、填空题（共8题；共9分）11.在函数中，自变量x的取值范围是________．12.方程组的解是________．13.若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________．14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人．15.已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米．16.已知直线，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若，则________．17.如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，则的面积为________．18.在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是________．三、解答题（共8题；共76分）19.计算：．20.先化简，再求值：，其中．21.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：，并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整．（2）扇形统计图中________，________，B等级所占扇形的圆心角度数为________．（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用，表示），两名女生（用，表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．22.一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．23.某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.如图，内接于是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．（1）求证：是的切线．（2）已知，求O，E两点之间的距离．25.在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求面积的最小值．②已知是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．26.某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形时，求证：四边形是菱形．（3）设平移的距离为，两张纸条重叠部分的面积为．求s与x的函数关系式，并求s的最大值．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】-2020的相反数为－（-2020）=2020．故答案为：B．【分析】直接利用相反数的定义求解．2.【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，故本选项不合题意；C、是轴对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故答案为：D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．3.【解析】【解答】635.3万= ，故答案为：C.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.4.【解析】【解答】A、与不是同类项，不能合并，故该项不符合题意；B、，故该项不符合题意；C 、，故该项符合题意；D、，故该项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据整式的加法计算法则，同底数幂乘法计算法则，同底数幂除法计算法则，幂的乘方计算法则依次判断即可.5.【解析】【解答】将数据由小到大重新排列为：1，2，6，8，8，∴中位数为6，众数为8，平均数为，方差为：=8.8，正确的描述为：A，故答案为：A .【分析】求出该组数据的平均数、众数、中位数及方差，再依次判断即可.6.【解析】【解答】在△ABC和△DCB中，,∴(SAS),故答案为：A.【分析】根据三角形全等的判定定理解答.7.【解析】【解答】解：如图，是的两条切线，故①符合题意，故②符合题意，是的两条切线，取的中点Q，连接，则所以：以Q为圆心，为半径作圆，则共圆，故③符合题意，M 是外接圆的圆心，与题干提供的条件不符，故④不符合题意，综上：正确的说法是个，故答案为：C．【分析】由切线长定理判断①，结合等腰三角形的性质判断②，利用切线的性质与直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，判断③，利用反证法判断④．8.【解析】【解答】解：∵∴∴∵∴∴∴∵∴∴故答案为：B．【分析】在中，，即可判断，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．9.【解析】【解答】由三视图可知：底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，该几何体的左视图为长方形，该长方形的长为该几何体的高2，宽为底面等边三角形的高，∵底面等边三角形的高= ，∴它的左视图的面积是，故答案为：D.【分析】根据三视图确定底面等边三角形的边长为2，该几何体的高为2，再确定该几何体的三视图利用面积公式计算即可.10.【解析】【解答】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，如图，∵点C到直线l的距离，半径为1，∴的最小值是，故答案为：B.【分析】过点C作直线l的垂线，交于点Q，交直线l于点P，此时PQ的值最小，利用公式计算即可.二、填空题11.【解析】【解答】∵在函数中，x-3≠0，∴x≠3．故答案是：x≠3．【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．12.【解析】【解答】由①+②得：3x=6，解得x=2，把x=2代入①中得，y=2，所以方程组的解为．故答案为：．【分析】直接利用加减消元法求解．13.【解析】【解答】解：由已知得：△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，解得：m＞﹣4．故答案为：m＞﹣4．【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等式（或不等式组）是关键．14.【解析】【解答】（人）故答案为：480.【分析】用七年级的学生总数乘以样本中80分以上的比例即可得到答案.15.【解析】【解答】根据圆锥的侧面展开图是扇形可知，扇形的弧长等于圆锥底面周长为分米，扇形的半径等于母线长为1分米，根据得，平方分米．故答案为．【分析】根据圆锥的侧面展开图就是扇形，求圆锥的侧面积就是求扇形的面积，圆锥的底面周长就是扇形弧长，母线长就是扇形的半径，根据扇形面积公式，即可求解．16.【解析】【解答】解：如图，标注字母，延长交a于C，由题意得：故答案为：【分析】如图，标注字母，延长交a于C，利用平行线的性质证明，三角形的外角的性质证明，从而可得答案．17.【解析】【解答】令,解得,∴A( ),C( )．∴B( ),D( )．则BD= ,AB= ,∴S△ABD= ．故答案为:6．【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．18.【解析】【解答】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．由可得直线OA的表达式为y=2x，设(x,y)，由与直线OA垂直及中点坐标在直线OA上可得方程组：解得：则(0，5)，由两点距离公式可得：即周长的最小值．故答案为．【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接，分别与OA和OB交于点M和N，此时，的长即为周长的最小值．三、解答题19.【解析】【分析】依次计算零指数幂，化简立方根乘以特殊的三角函数值，最后一项利用负指数幂，最后相加减即可得出答案．20.【解析】【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可．21.【解析】【解答】解：（2），，B等级所占扇形的圆心角度数为，故答案为：，，252°；【分析】(1)先求出总人数，减去A、B、D等级的人数即可补充统计图；(2)利用每个等级是人数除以总数再乘以100%求出m与n，根据百分比乘以360°求出B等级所占圆心角的度数；(3)列树状图解答.22.【解析】【分析】（1）过A点作于点D，在中求出AD与50海里比较即可得到答案；（2）在中求出BD得到CD，再根据勾股定理求出AC.23.【解析】【分析】（1）设一次性医用口罩单价为x元，则N95口罩的单价为元，列分式方程求解即可；（2）设购进一次性医用口罩y只，根据题意列不等式求解即可．24.【解析】【分析】（1）连接，先推出，然后根据是斜边上的中线，得出，从而可得，根据与相切，得到，可得，即，即可证明是的切线；（2）连接OE，先证明，可得，可求出AD，根据是的中位线，即可求出OE．25.【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据等腰直角三角形的性质得到三点的坐标，代入解析式即可得到答案；（2）①设直线l的解析式为，交点，，联立一次函数与二次函数的解析式，利用一元二次方程根与系数的关系得到，利用面积与的函数，得到面积的最小值；②假设抛物线上存在点，使得点P与点Q关于直线l对称，利用对称得：列方程求解再求点P的坐标及直线l的一次函数表达式即可．26.【解析】【分析】（1）根据平移过程中，重叠部分四边形的形状判定即可；（2）分别过点B、D作于点E、于点F，再根据纸条的特点证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可证明；（3）分、、和x= 四种情况分别求出s与x的函数关系式，然后再求最大值即可．。
2020年湖南省永州中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年湖南省永州市初中学业水平考试数 学温馨提示：1.本试卷包括试题卷和答题卡，学生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.3.本试题卷共6页，如有缺页，请声明.4.本试题卷共三道大题，26个小题。
满分150分，考试时长120分钟.一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）1. 2 020-的相反数为（ ）A .12 020-B .2 020C . 2 020-D .12 0202.永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育.下列安全图标不是轴对称的是（ ）A .注意安全B .水深危险C .必须戴安全帽D .注意通风3.永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（ ）A .56.35310⨯B .563.5310⨯人C .66.35310⨯人D .70.6 35310⨯人 4.下列计算正确的是（ ）A .223323a b ab a b +=B .632a a a ÷=C .639a a a ⋅=D .()235aa =5.已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（ ）A .众数是8B .平均数是6C .中位数是8D .方差是96.如图，已知AB DC =，ABC DCB ∠=∠，能直接判断ABC DCB △≌△的方法是（ ） A .SASB .AASC .SSSD .ASA第6题图第7题图7.如图，已知PA ，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，线段OP 交O 于点M .给出下列四种说法： ①PA PB =②OP AB ⊥③四边形OAPB 有外接圆④M 是AOP △外接圆的圆心 其中正确说法的个数是（ ）A .1B .2C .3D .48.如图，在ABC △中，EF BC ∥，23AE EB =，四边形BCFE 的面积为21，则ABC △的面积是（ ）A .913B .25C .35D .639.如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（ ）正三棱柱 主视图 俯视图 A .4B .2C .3D .23-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________10.已知点()00,P x y 和直线y kx b =+，求点P 到直线y kx b =+的距离d 可用公式0021kx y b d k-+=+计算.根据以上材料解决下面问题：如图，C 的圆心C 的坐标为()1,1，半径为1，直线l 的表达式为26y x =-+，P 是直线l 上的动点，Q 是C 上的动点，则PQ 的最小值是（ ）A .355B .3515-C .6515-D .2二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡的答案栏内）11.函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是________. 12.方程组422x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是________.13.若关于x 的一元二次方程240x x m --=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________.14.永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试.从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩 90100x ≤≤ 8090x ≤＜ 7080x ≤＜ 6070x ≤＜60x ＜人数2515541根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有________人.15.已知圆锥的底面周长是π2分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是________平方分米.16.已知直线a b ∥，用一块含30︒角的直角三角板按图中所示的方式放置，若125∠=︒，则2∠=________.第16题图第17题图第18题图17.如图，正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交于A ，C 两点，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则ABD △的面积为________.18.AOB ∠在平面直角坐标系中的位置如图所示，且60AOB ∠=︒，在AOB ∠内有一点()4,3P ，M ，N 分别是OA ，OB 边上的动点，连接PM ，PN ，MN ，则PMN△周长的最小值是________.三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.（本小题满分8分）计算：13120208sin 302-⎛⎫+- ⎪⎝⎭︒.20.（本小题满分8分）先化简，再求值：()222122121144a a a a a a a a ⎛⎫+-+⋅⋅+ ⎪+-++⎝⎭，其中2a =. 21.（本小题满分8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动.赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A ：90100S ＜≤，B ：8090S ＜≤，C ：7080S ＜≤，D ：70S ≤.并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整.（2）扇形统计图中m =________，n =________，B 等级所占扇形的圆心角度数为________.（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率. 22.（本小题满分10分）一艘渔船从位于A 海岛北偏东60°方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行.已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁.（参考数据：3 1.73≈，5 2.24≈，7 2.65≈）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由. （2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离.23.（本小题满分10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同.其中购进一次性医用外科口罩花费1 600元，N95口罩花费9 600元.已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元.（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？ （2）该药店计划再次购进两种口罩共2 000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？24.（本小题满分10分）如图，ABC △内接于O ，AB 是O 的直径，BD 与O 相切于点B ，BD 交AC 的延长线于点D ，E 为BD 的中点，连接CE .（1）求证：CE 是O 的切线；（2）已知35BD =，5CD =，求O ，E 两点之间的距离.25.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角ABC △的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且4AB =，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示.（1）求抛物线所表示的二次函数表达式；（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示.①求CMN △面积的最小值.②已知31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由.图1图226.（12分）某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6 cm ，长足够的矩形纸条.探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积.如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移.（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状.（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形.（3）设平移的距离为()cm 0662x x +＜≤，两张纸条重叠部分的面积为2 cm s .求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________2020年湖南省永州市初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】B【解析】解： 2 020-的相反数为：2020. 故选：B . 2.【答案】D【解析】解：根据轴对称图形的定义可知： 选项A 、B 、C 中的图形是轴对称图形， 选项D 不是轴对称图形. 故选：D . 3.【答案】C【解析】解：6635.3 6 353 000 6.35310==⨯万. 则“现有户籍人口数”用科学记数法表示为66.35310⨯人. 故选：C . 4.【答案】C【解析】解：A 选项的两个加数不是同类项，不能加减；6332a a a a ÷=≠，故选项B 错误；639a a a ⋅=，故选项C 正确；()2365a a a =≠.故选项D 错误.故选：C . 5.【答案】A【解析】解：将这组数据重新排列为1，2，6，8，8，所以这组数据的众数为8，中位数为6，平均数为1268855++++=，方差为()()()()222211525652858.85⎡⎤⨯-+-+-+⨯-=⎣⎦，故选：A .6.【答案】A【解析】解： AB DC =∵，ABC DCB ∠=∠，BC CB =，()ABC DCB SAS △≌△∴，故选：A . 7.【答案】C【解析】解：PA ∵，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，PA PB =∴，所以①正确；OA OB =∵，PA PB =，OP ∴垂直平分AB ，所以②正确；PA ∵，PB 是O 的两条切线，A ，B 为切点，OA PA ⊥∴，OB PB ⊥， 90OAP OBP ∠=∠=︒∴，∴点A 、B 在以OP 为直径的圆上，∴四边形OAPB 有外接圆，所以③正确；∵只有当30APO ∠=︒时，2OP OA =，此时PM OM =， M ∴不一定为AOP △外接圆的圆心，所以④错误.故选：C .8.【答案】B【解析】解：EF BC ∵∥，AEF ABC △∽△∴，22425AEF ABC S AE AE S AB AE EB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭△△∴， 425AEF ABC S S =△∴.21ABC AEF S S S =-=△△四边形∵，即212125ABC S =△， 25ABC S =△∴.故选：B . 9.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，此正三棱柱底面ABC △的边AB 在右侧面的投影为BD ，2AC =∵，1AD =∴，2AB AD ==，BD =∴∵左视图矩形的宽为2， ∴左视图的面积为故选：D . 10.【答案】B【解析】解：过点C 作CP ⊥直线l ，交圆C 于Q 点，此时PQ 的值最小， 根据点到直线的距离公式可知：点()1,1C 到直线l 的距离5d ==. Q ∵的半径为1， 1PQ =∴， 故选：B . 二、11.【答案】3x ≠【解析】解：根据题意得，30x -≠， 解得3x ≠.12.【答案】22x y =⎧⎨=⎩【解析】解：422x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，+①②得：36x =，即2x =，把2x =代入①得：2y =，则方程组的解为22x y =⎧⎨=⎩，13.【答案】4m -＞ 【解析】解：由已知得：()()2244411640b ac m m =-=--⨯⨯-=+＞，解得：4m -＞. 14.【答案】480 【解析】解：251560048050+⨯=（人）， 即该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有480人， 15.【答案】π4【解析】解：圆锥的侧面积1ππ1224=⨯⨯=平方分米. 16.【答案】35°【解析】解：过点B 作EF a ∥.a b ∵∥， EF a b ∴∥∥.1ABF ∠=∠∴，2FBC ∠=∠.ABC ∵△是含30°角的直角三角形，60ABC ∠=︒∴.60ABF CBF ∠+∠=︒∵， 2602535∠=︒-=︒∴.17.【答案】6【解析】解：正比例函数y x =-与反比例函数6y x=-的图象交点坐标(A，C，AB x ⊥∵轴，CD x ⊥轴，OB AB OD CD ====∴ABD 11S 622BD AB =⋅=⨯=△∴，18.【答案】【解析】解：分别作P 关于射线OA 、射线OB 的对称点P '与点P "，连接P P '"，与OA 、OB 分别交于M 、N 两点，此时PMN △周长最小，最小值为P P '"的长， 连接OP '，OP "，OP ，OA ∵、OB 分别为PP '，PP "的垂直平分线，()43P ,，'"5OP OP OP ==∴，且POA P OA ∠=∠'，POB P OB ∠=∠"，60AOB AOP BOP ∠=∠+∠=︒∵， 120P OP ∠'"=︒∴，过O 作OQ P P ⊥'"，可得P Q P Q '="，30OP Q OP Q ∠'=∠"=︒，52OQ =∴，P Q P Q '="=，22P P P Q '"='==∴，则PMN △周长的最小值是三、19.【答案】解：原式112211202=+⨯-=+-=. 20.【答案】解：原式()()()()()2211221112a a a a a a a ⎡⎤-+=⋅⋅+⎢⎥++-+⎢⎥⎣⎦()()()112112a a a a a ⎡⎤-=-⋅+⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦ 2111a a a a +-=-++ 31a =+， 当2a =时， 原式3121==+. 21.【答案】解：（1）∵被调查的总人数为410%40÷=（人）， ∴C 等级人数为()4042826-++=（人）， 补全图形如下：（2）155 252°（3）画树状图如下：共有12种可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生的有8种结果，∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为82123=. 【解析】（1）具体解答过程参照答案. （2）6%100%15%40m =⨯=，即15m =， 2%100%5%40n =⨯=，即5n =；B 等级所占扇形的圆心角度数为36070%252︒⨯=︒， （3）具体解答过程参照答案.22.【答案】解：（1）这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下： 作AD BC ⊥于D ，如图： 则90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意得：60AB =，906030BAD ∠=︒-︒=︒，1302BD AB ==∴，51.950AD =≈＞， ∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）由（1）得：30BD =，AD =33090BC =⨯=∵，903060DC BC BD =-=-=∴，在Rt ADC △中，79.50AC ≈（海里）； 答：A ，C 之间的距离约为79.50海里.23.【答案】解：（1）设一次性医用外科口罩的单价是x 元， 则N95口罩的单价是()10x +元，依题意有1 6009 60010x x =+， 解得2x =，经检验，2x =是原方程的解，1021012x +=+=.故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元； （2）设购进一次性医用外科口罩y 只，依题意有()2122 00010 000y y +-≤，解得 1 400y ≥.故至少购进一次性医用外科口罩1 400只. 24.【答案】证明：（1）如图，连接OC ，OE ，OB OC =∵，OBC OCB ∠=∠∴，AB ∵是直径，90ACB ∠=︒∴，E ∵为BD 的中点，BE CE DE ==∴， ECB EBC ∠=∠∴，BD ∵与O 相切于点B ，90ABD ∠=︒∴， 90OBC EBC ∠+=︒∴， 90OCB ECB ∠+∠=︒∴， 90OCE ∠=︒∴ OC CE ⊥∴，又OC ∵为半径，CE ∴是O 的切线；（2）D D ∠=∠∵，BCD ABD ∠=∠，BCD ABD △∽△∴，BD CDAD BD=∴， 2BD AD CD =⋅∴，(25AD =∴，9AD =∴，E ∵为BD 的中点，AO BO =，1922OE AD ==∴，O ∴，E 两点之间的距离为92.25.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠， 在等腰Rt ABC △中，OC 垂直平分AB ，且4AB =，2OA OB OC ===∴，()2,0A -∴，()2,0B ，()0,2C -，4204202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩∴， 解得，1202a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，∴抛物线的解析式为2122y x =-；（2）①设直线l 的解析式为y kx =，()11,M x y ，()22,N x y ，由2122y x y kx ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，可得21202x kx --=， 122x x k +=∴，124x x ⋅=-，()()2221212124416x x x x x x k -=+-=+∴，12x x -=∴，1212CMN S OC x x =⋅-=△∴，∴当0k =时4.CMN ∴△面积的最小值为4.②假设抛物线上存在点21,22P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，OP OQ =∴=解得，1m =，2m =31m =，41m =-，31m =∵，41m =-不合题意，舍去，当1m =12P ⎫-⎪⎭，线段PQ的中点为1⎫-⎪⎪⎝⎭，1=-，1k =∴∴直线l的表达式为：(1 x y =，当2m =12P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，线段PQ的中点为1⎫-⎪⎪⎝⎭，1=-，1k =+∴∴直线l的解析式为(1y x =.综上，直线l的解析式为(1y x =或(1y x =+.26.【答案】解：（1）在平移过程中，重叠部分的形状分别为：三角形，梯形，菱形，五边形.如下图所示，（2）分别过B ，D 作BE CD ⊥于点E ，DF CB ⊥于点F ，如图，90BEC DFC ∠=∠=︒∴，∵两纸条等宽，6BE DF ==∴， 45BCE DCF ∠=∠=︒∵， BC CD ==∴∵两纸条都是矩形，AB CD ∴∥，BC AD ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，又BC DC =，∴四边形ABCD 是菱形；（3）①当06x ＜≤时，重叠部分为三角形，如图所求，212s x =∴，06x ∵＜≤，∴当6x =时，s 取最大值为218 cm s =；②当6x ＜≤重叠部分为梯形，如图所求，梯形的下底为 cm x ，上底为()6 cm x -，()1666182s x x x =+-⨯=-∴， 当x =时，s 取最大值为218) cm ；③当6x +＜()(221166622S S S xx ⎡⎤=-=-+=--++⎣⎦五边形三角形菱形∴，此时，18S 五边形＜＜；④当6x =+2S =菱形∴，综上，s 与x 函数关系为：()21062s x x =＜≤，或(6186s x x =-＜≤，或(21662s x x ⎡⎤=--+++⎣⎦＜，或6s x ==+.故s 的最大值为2.。
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2020年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项填涂到答题卡上）
1．（4分）﹣2020的相反数为（）
A．﹣B．2020C．﹣2020D．
2．（4分）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．注意安全B．水深危险
C．必须戴安全帽D．注意通风
3．（4分）永州市现有户籍人口约635.3万人，则“现有户籍人口数”用科学记数法表示正确的是（）
A．6.353×105人B．63.53×105人
C．6.353×106人D．0.6353×107人
4．（4分）下列计算正确的是（）
A．a2b+2ab2＝3a3b3B．a6÷a3＝a2
C．a6•a3＝a9D．（a3）2＝a5
5．（4分）已知一组数据1，2，8，6，8，对这组数据描述正确的是（）
A．众数是8B．平均数是6C．中位数是8D．方差是9
6．（4分）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
7．（4分）如图，已知P A，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①P A＝PB；
②OP⊥AB；
③四边形OAPB有外接圆；
④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
8．（4分）如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（）
A．B．25C．35D．63
9．（4分）如图，这是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图、俯视图，则它的左视图的面积是（）
A．4B．2C ．D．2
10．（4分）已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式d ＝计算．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）
A ．
B ．﹣1
C ．﹣1D．2
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11．（4分）函数y ＝中，自变量x的取值范围是．
12．（4分）方程组的解是．
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．
14．（4分）永州市教育部门为了了解全市中小学安全教育情况，对某校进行了“防溺水”安全知识的测试．从七年级随机抽取了50名学生的测试成绩（百分制），整理样本数据，得到下表：成绩90≤x≤
80≤x＜9070≤x＜8060≤x＜70x＜60
100
人数2515541
根据抽样调查结果，估计该校七年级600名学生中，80分（含80分）以上的学生有人．
15．（4分）已知圆锥的底面周长是分米，母线长为1分米，则圆锥的侧面积是平方分米．
16．（4分）已知直线a∥b，用一块含30°角的直角三角板按图中所示的方式放置，若∠1＝25°，则∠2＝．
17．（4分）如图，正比例函数y＝﹣x与反比例函数y＝﹣的图象交于A，C两点，过点A作AB⊥x轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，则△ABD的面积为．
18．（4分）∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB＝60°，在∠AOB内有一点P（4，3），M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN周长的最小值是．
三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：20200+sin30°﹣（）﹣1．
20．（8分）先化简，再求值：（﹣•）•（a+2），其中a＝2．
21．（8分）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：90＜S≤100，B：80＜S≤90，C：70＜S≤80，D：S≤70．并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
（1）请把条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中m＝，n＝，B等级所占扇形的圆心角度数为．
（3）该校准备从上述获得A等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用A1，A2表示），两名女生（用B1，B2表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（10分）一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：≈1.73，≈
2.24，≈2.65）
（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
（2）渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
23．（10分）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，BD与⊙O相切于点B，BD交AC的延长线于点D，E为BD的中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）已知BD＝3，CD＝5，求O，E两点之间的距离．
25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，﹣）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．。