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三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
三角形全等的判定(ASA、AAS)
（简写为“角角
∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言 A
D
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D ∠B= ∠E BC= EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
跟踪练习： 已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
∠D＝∠C
D
∵ B∠C2=＝C∠B1（公共边 ）
∠BC2=＝∠1CB
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（ ASAA）S
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
∠AAB==∠DDE
∵ ∠BABACB=C=∠BEDD=FEE∠F
∠ABBACC=C==∠BDED=FE∠F
分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC
∴∠B＝∠D＝90°
在△ABC和△ADC中
A
∠1＝∠2
12
∠B＝∠D
AC＝AC
∴△ABC≌△ADC（AAS） B
D
∴AB＝AD
C
练习2. 已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，
BF=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证：
AB=DE,AC=DF
AB＝AB
∴△ABD≌△ABC（AAS） 1
∴AD＝AC
A 2B
C
变式1：已知如图，
∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC
求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
D
∠1＝∠2 AB＝AB ∠ABD＝∠ABC
∴△ABC≌△DEF（ASA） 边”或“AAS”）
几何语言 A
D
B
CE
F
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D ∠B= ∠E BC= EF
∴△ABC≌△DEF（AAS）
跟踪练习： 已知如图， ∠1＝∠2， ∠C＝∠D 求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
∠1＝∠2
∠D＝∠C
D
∵ B∠C2=＝C∠B1（公共边 ）
∠BC2=＝∠1CB
B1
D
4
O 2C
∴△ABC≌△DCB（ ASAA）S
2、请在下列空格中填上适当的 条件，使△ABC≌△DEF。
在△ABC和△DEF中
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
∠AAB==∠DDE
∵ ∠BABACB=C=∠BEDD=FEE∠F
∠ABBACC=C==∠BDED=FE∠F
分别为B、D，∠1=∠2，求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC
∴∠B＝∠D＝90°
在△ABC和△ADC中
A
∠1＝∠2
12
∠B＝∠D
AC＝AC
∴△ABC≌△ADC（AAS） B
D
∴AB＝AD
C
练习2. 已知如图，点B,F,C,E在一条直线上，
BF=CE,AB∥DE,AC∥DF.求证：
AB=DE,AC=DF
AB＝AB
∴△ABD≌△ABC（AAS） 1
∴AD＝AC
A 2B
C
变式1：已知如图，
∠1＝∠2，∠ABD＝∠ABC
求证：AD＝AC.
证明：在△ABD和△ABC中
D
∠1＝∠2 AB＝AB ∠ABD＝∠ABC
全等三角形的判定(ASA)
在解题过程中，灵活运用角角边(aas)判定定理可以简化复杂图形的证明过程，提 高解题效率。
04 边角边(sas)判定定理
定理内容
两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则 这两个三角形全等。
用数学符号表示为：如果$Delta ABC cong Delta DEF$， 且$AB = DE, BC = EF, angle B = angle E$，则$angle A = angle D$。
三角形全等在几何证明中的应用
证明线段相等
通过构造两个全等的三角形 ，利用全等三角形的对应边 相等，证明两条线段相等。
证明角度相等
利用全等三角形的对应 角相等，证明两个角度
相等。
证明垂直关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应角为 直角，证明两条线段垂直。
证明平行关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应边平
第六步，根据第三步和第五步的 结论，可得 $AC = A'C'$。
第七步，由全等三角形的判定条 件，有 $triangle ABC cong triangle A'B'C'$。
定理应用
01
在几何证明中，角边角(asa)判定 定理常用于证明两个三角形全等 ，从而可以进一步推导出其他几 何性质和结论。
定理证明
其次，根据已知条件$AB = AB$和$AC = AC$，利用 SSS判定定理可得$triangle ABC cong triangle ACD$。
首先，由已知条件可知，$angle A = angle A$和 $angle B = angle B$，所以$angle C = angle C$ （三角形的内角和性质）。
04 边角边(sas)判定定理
定理内容
两个三角形中，如果两边和它们之间的夹角分别相等，则 这两个三角形全等。
用数学符号表示为：如果$Delta ABC cong Delta DEF$， 且$AB = DE, BC = EF, angle B = angle E$，则$angle A = angle D$。
三角形全等在几何证明中的应用
证明线段相等
通过构造两个全等的三角形 ，利用全等三角形的对应边 相等，证明两条线段相等。
证明角度相等
利用全等三角形的对应 角相等，证明两个角度
相等。
证明垂直关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应角为 直角，证明两条线段垂直。
证明平行关系
通过证明两个三角形全等， 利用全等三角形的对应边平
第六步，根据第三步和第五步的 结论，可得 $AC = A'C'$。
第七步，由全等三角形的判定条 件，有 $triangle ABC cong triangle A'B'C'$。
定理应用
01
在几何证明中，角边角(asa)判定 定理常用于证明两个三角形全等 ，从而可以进一步推导出其他几 何性质和结论。
定理证明
其次，根据已知条件$AB = AB$和$AC = AC$，利用 SSS判定定理可得$triangle ABC cong triangle ACD$。
首先，由已知条件可知，$angle A = angle A$和 $angle B = angle B$，所以$angle C = angle C$ （三角形的内角和性质）。
人教版数学八年级上册第三课时 三角形全等的判定(ASA、AAS)课件
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是
(A)
A．∠A＝∠D
B．AC＝DF
C．AB＝ED
D．BF＝EC
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
8
3 ． 【 山 东 临 沂 中 考 】 如 图 ， D 是 AB 上 一 点 ， DF 交 AC 于 点 E ， DE ＝ FE ，
DE＝EF，
第十二章 全等三角形
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7．【贵州铜仁中考】如图，AB＝AC，AB⊥AC， AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.
求证：BD＝CE.
数学·八年级 (上)·配人教
12
证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE＋∠CAE＝90°，∠BAE＋∠BAD＝
∠BAD＝∠CAE，
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
4
知识点2 三角形全等的判定方法(AAS) 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 “AAS”)． 如图，在△ABC和△DEF中， ∠B＝∠E， ∠C＝∠F， AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(AAS)．
第十二章 全等三角形
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数学·八年级 (上)·配人教
6
基础过关
1．如图，AB∥CD，AD∥BC，E、F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有
(ASA、AAS)ppt课件
C D
F
A 12 E 3 4 D源自E 2、如图，已知∠1=∠2 ∠3=∠4 求证：BD=CD B
C
1. 已知:点E是正方形ABCD的边CD上一点， 点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF， A D 求证：DE=BF
E F B A C
2. 如图，CD⊥AB于D， BE⊥AC与E，BE、CD交于 O，且AO平分∠BAC，求证： D OB=OC B
公理3（全等三角形判定3）
有两个角和它们夹边对应相等的两个 三角形全等 (简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∠A= ∠D AB=DE ∠B = ∠E ∴ △ABC≌△DEF（ASA）
B A
C D
E
F
探究2 有两个角和其中一个角的对边对应相等
的两个三角形是否全等？ 如图： 在△ABC和△DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E ，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？
A
C
E
B
探究1
如果两个三角形具备两角一边对应相等， 有几种可能情况？ 1、两角夹边对应相等。 2、有两个角和其中一个角的对边对应相等
操作： 画△ABC,使∠A＝30°，∠B＝ 45°，AB＝5cm与同学的三角形叠合在
一起，看是否能够完全重合。
C F
A
B
D
E
三角形全等判定方法3： 在三角形中，如果有两个角及 它们的夹边对应相等，那么这两个 三角形全等（简记为ASA）。
练习一
在AOB 和DOC中，
∠AOB = ∠DOC (对顶角) ∠A = ∠D (已证)
AB =DC (已知) ∴ AOB ≌ DOC（AAS）
∴ OA =OD.
三角形全等的判定(ASA、AAS)
A
B
考考你
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则 △ABC ≌△DEF的理由是：
角边角（ASA）
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS）
C
F
A
B
D
E
练一练
根据题目条件，判别下面的两个三 角形是否全等，并说明理由.
你也试一试:
如图：△ABC是等腰三角形， AD、BE分别是∠A、∠B的角平 分线，△ABD和△BAE全等吗？ 试说明理由.
若改为：AD、BE分别是两腰上 的中线，△ 的高，△ ABD ABD 和△ 和△ BAE BAE 全等吗？ 全等吗？ 试说明理由.
你能吗?
B A
AB=DE可以吗？
×
C
F
1、如图∠ACB=∠DFE， BC=EF，那么应补充一个条 件 ------------------------- ，才 能使△ABC≌△DEF （写出 一个即可）。
AB ∥DE （ASA） ∠B=∠E
D
或∠A=∠D （AAS）
E
于 O，BO=DO,AO=CO,直线EF过点O且 分别交AB、CD于点E、F, 求证：OE=OF.
A E
B
O D
F
C
拓展： 如图，在△ABC和△DBC中， ∠ACB=∠DBC=90° ,E是BC的中点，EF⊥AB, 垂足为F,且AB=DE. (1)求证：BD=BC; (2)若BD=8cm，求AC的长.
§11.2 三角形全等 的判定(ASA、AAS)
安居育才中学初二备课组
两角及夹边对应相等的两个三角形全等(ASA).
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
三角形全等判定AAS,ASA学习课件
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– 第二级
• 第三级
– 第四级 » 第五级
1
2013-8-13
1
问题思考
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可 能的情况呢？ 答：角边角（ASA） 角角边（AAS）
A
A
B
C
B
C
探究活动
先任意画出一个△ABC，再画一个△A＇B ＇C ＇ ， 使A＇B ＇=AB， ∠A＇=∠A， ∠B＇=∠B (即使两角和 它们的夹边对应相等)。把画好的△A ＇B ＇C ＇ 剪下， 放到△ABC上，它们全等吗？
∴△AOC ≌△BOD (ASA)
D A
典例剖析
例1：已知点D在AB上，点E在AC上，BE 和CD相交于 点O，AB =AC，∠B =∠C。求证：(1)AD =AE; (2)BD =CE。 A 证明 ：在△ADC 和△AEB中
∠A =∠A（公共角） D AC =AB（已知） ∠C=∠B（已知） B ∴△ACD ≌△ABE（ASA） ∴AD =AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB =AC（已知）∴BD =CE
A A'
用数学符号表示: 在△ABE 和△A＇CD中, ∠A =∠A＇ （已知 ） AB =A＇ C（已知 ） ∠B=∠C（已知 ）
E B D C
∴ △ABE≌△A＇C D（ASA）
探究活动
结论2： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
B
如图所示，应填什么就有 △AOC ≌ △BOD: ∠A =∠B（已知） C AO =BO , O 1 2 ∠1=∠2 （已知）
C
A
B
探究活动
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1
2013-8-13
1
问题思考
如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可 能的情况呢？ 答：角边角（ASA） 角角边（AAS）
A
A
B
C
B
C
探究活动
先任意画出一个△ABC，再画一个△A＇B ＇C ＇ ， 使A＇B ＇=AB， ∠A＇=∠A， ∠B＇=∠B (即使两角和 它们的夹边对应相等)。把画好的△A ＇B ＇C ＇ 剪下， 放到△ABC上，它们全等吗？
∴△AOC ≌△BOD (ASA)
D A
典例剖析
例1：已知点D在AB上，点E在AC上，BE 和CD相交于 点O，AB =AC，∠B =∠C。求证：(1)AD =AE; (2)BD =CE。 A 证明 ：在△ADC 和△AEB中
∠A =∠A（公共角） D AC =AB（已知） ∠C=∠B（已知） B ∴△ACD ≌△ABE（ASA） ∴AD =AE（全等三角形的对应边相等） 又∵AB =AC（已知）∴BD =CE
A A'
用数学符号表示: 在△ABE 和△A＇CD中, ∠A =∠A＇ （已知 ） AB =A＇ C（已知 ） ∠B=∠C（已知 ）
E B D C
∴ △ABE≌△A＇C D（ASA）
探究活动
结论2： 两角和它们的夹边对应相等的两个三角 形全等 (可以简写成“角边角”或“ASA”）。
B
如图所示，应填什么就有 △AOC ≌ △BOD: ∠A =∠B（已知） C AO =BO , O 1 2 ∠1=∠2 （已知）
C
A
B
探究活动
全等三角形的判定(ASA)教学课件
在ΔABC和ΔDEF中
A D B E
B
BC
EF
E
∴ ΔABC ≌ ΔDEF (AAS)
C D
F
例3：已知，如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC， ∠B=∠C，求证：AD=AE
证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A（公共角） AC=AB （已知） ∠C= ∠B（已知）
∴ △ACD≌ △ABE（ASA）
∴ AD=AE
A
D
E
B
C
1、已知：如图，∠1= ∠2， ∠3 = ∠4。
求证： AC=AD。
D
A
1 2
3
B4
C
应用练习
1、如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，
求证：AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）
A
∴ ∠B=∠D=900
在⊿ABC和⊿ADC中 ∠1=∠2
12
B
D
∠B=∠D
C
E C
B
∴ AB=AD
能力提高练习
• 如图：已知△ABC≌△A1B1C1，AD、A1D1分别是∠BAC和 ∠B1 A1 C1的角平分线。求证：AD= A1D1
证明：∵ △ABC≌△A1B1C1
A
∴AB=A1B1，∠B=∠B1，
∠BAC=∠B1A1C1
（全等三角形的性质）
又∵ AD、A1D1分别是∠BAC和∠B1 A1 C1的角 B
AB=AD
证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC（已知）
A
∴ ∠B=∠D=900 在⊿ABC和⊿ADC中
12
B
D
∠1=∠2
C
∠B=∠D
AC=AC（公共边）
三角形全等的判定三AAS、ASA(课件)
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠A-∠B，
同理∠F=180°-∠D-∠E ， 又∵∠A=∠D，∠B=∠E ， ∴∠C=∠F ， 在△ABC和△DEF中，
B E
BC
EF
C F
∴△ABC≌△DEF (ASA).
★“角角边”判定方法
◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言：
5.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂
线BF上两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直
线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？
解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF，
∴ ∠ABC=∠EDC=90° ， 在△ABC和△EDC中，
ABC EDC
1.如图，使△ABC≌△A′B′C′的条件是( B )
A.AB=A′B′，BC= B′C′ ，∠A=∠ A′
B.AB= A′B′ ，AC= A′C′ ，∠A=∠ A′
C.AB= A′B′ ，AC= A′C′ ，∠B=∠B′
D.AB= A′B′ ，BC= B′C′ ，∠C=∠ C′
2.如图，要使△ABC≌△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，则不能使之全
【分析】证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
A A
AC
AB
C B
∴ △ACD≌△ABE (ASA) ，
∴ AD=AE.
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.求证AB=AD.
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠C=180°-∠A-∠B，
同理∠F=180°-∠D-∠E ， 又∵∠A=∠D，∠B=∠E ， ∴∠C=∠F ， 在△ABC和△DEF中，
B E
BC
EF
C F
∴△ABC≌△DEF (ASA).
★“角角边”判定方法
◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言：
5.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂
线BF上两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直
线上，这时测得DE的长就是AB的长.为什么？
解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF，
∴ ∠ABC=∠EDC=90° ， 在△ABC和△EDC中，
ABC EDC
1.如图，使△ABC≌△A′B′C′的条件是( B )
A.AB=A′B′，BC= B′C′ ，∠A=∠ A′
B.AB= A′B′ ，AC= A′C′ ，∠A=∠ A′
C.AB= A′B′ ，AC= A′C′ ，∠B=∠B′
D.AB= A′B′ ，BC= B′C′ ，∠C=∠ C′
2.如图，要使△ABC≌△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，则不能使之全
【分析】证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
证明：在△ACD和△ABE中，
A A
AC
AB
C B
∴ △ACD≌△ABE (ASA) ，
∴ AD=AE.
如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.求证AB=AD.
证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
全等三角形的判定(共25张PPT)
全等三角形的判定方法共有五种，分别是SAS、ASA、AAS、SSS和HL。其中，SAS方法指的是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。通过具体的尺规作图和探究活动，可以验证SAS方法的有效性。同时，需要明确的是，只有两边和这两边所夹的角相等，才能判定两个三角形全等，即SSA条件并不能作为三角形全等的判定依据。除了SAS方法外，ASA方法是指两角及它们的夹边分别相等的两个三角形全等；AAS方法则是指两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等；SSS方法是指三边分别相等的两个三角形全等；而HL方法则是针对直角三角形，指斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。这五种方法都是基于三用价值。通过学习和掌握这些方法，可以更加深入地理解三角形的性质和几何学的基本原理，提高解决几何问题的能力。