高二等差等比数列练习题及答案
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式，有，所以【考点】本小题主要考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算能力.点评：等差数列和等比数列是两种常考的数列，它们的基本运算要加以重视.2.已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4B．±4C．－2D．±2【答案】C【解析】.3.在等比数列中，且，则的值为（）A．16B．27C． 36D． 81【答案】B【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：设公比为q，因为，即，所以，q=3，从而=，=27，故选B。
4.在等比数列中，已知，则= （）A．8B．－8C．D． 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：因为，所以，，，故选A。
5.若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则。
【答案】【解析】主要考查等差、等比数列的概念及其通项公式。
解：因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以=。
6.已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式。
【答案】数列的通项公式为或。
【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。
解：设数列的首项为，公差为，则，则，由于成等比数列，所以，化简得所以解得或所以数列的通项公式为或。
7.在等比数列中,,则公比 .【答案】【解析】因为,解之得.8.在数列{an }中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为．【答案】【解析】当n=1时，,因为{an}是等比数列,所以.9.设椭圆C：与直线相交于P,Q两点，且（O为坐标原点）（1）求证：等于定值（2）若椭圆的离心率，求椭圆长轴长的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）证明：消去得设点，则，由，，即化简得，则即，故（Ⅱ）解：由化简得由得，即故椭圆的长轴长的取值范围是。
10.某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为()A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1【答案】D【解析】设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝(1＋q)12－1.本题选择D选项.11.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.试题解析：（1）∵，∴数列是公差为1的等差数列，∴.∴.（2）当时，；当时，.∴【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.12.设是公比为正数的等比数列，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）an＝2n（2）2n＋1＋n2－2.【解析】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，设出等比数列的首项与公比，借助等比数列通项公式列方程组，解方程组得出首项与公比，写出通项公式，根据首项与公差写出通项公式，利用分组求和法求出数列的和，一组利用等差数列前n项和公式求和，另一组采用等比数列前n项和公式求和，另外注意运算的准确性.试题解析：(1)设q为等比数列{an }的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an }的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝.【点睛】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，得出首项与公比（或公差），然后写出通项公式；有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，本题采用分组求和法求和，本题要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.13.等比数列中，若，，则（）A．64B．-64C．32D．-32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．14.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A．5B．6C．7D．12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．15.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.16.已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则•，‚，•-‚得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18.已知数列{a}满足．n（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】(1)分类讨论和两种情况可得数列{an}的通项公式为；(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{bn}的前n项和.试题解析：（1）当n＝1时，，，两式相减得，∴，当n＝1时也满足，∴．（2），∴Sn ＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2Sn＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，∴．19.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是________________.【答案】【解析】由题意知，第1列的数是首项为1，公比为2的等比数列，所以第10行的第一个数为。
高二数学等比数列试题答案及解析
高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。
【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。
5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。
(完整版)高二数学数列练习题(含答案)
高二《数列》专题1．与的关系： ，已知求，应分时 ；时，n S n a 11(1)(1)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨->⎪⎩n S n a 1=n 1a =2≥n = 两步，最后考虑是否满足后面的.n a 1a n a 2.等差等比数列等差数列等比数列定义（）1n n a a d --=2n ≥*1()n na q n N a +=∈通项，d n a a n )1(1-+=(),()n m a a n m d n m =+->，中项如果成等差数列，那么叫做与的等差中,,a A b A a b 项．。
2a bA +=等差中项的设法：如果成等比数列，那么叫做与,,a G b G a 的等比中项．b 等比中项的设法：，，aqa aq 前项n 和，)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=若*(,,,,)m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+，则2m p q =+若，则q p n m +=+2*2,,(,,,)m p q m p q a a a p q n m N =+=⋅∈若则有性质、、为等差数列n S 2n n S S -32n n S S -、、为等比数列n S 2n n S S -32n n S S -函数看数列12221()()22n n a dn a d An Bd d s n a n An Bn=+-=+=+-=+111(1)11nn n n n n a a q Aq q a as q A Aq q q q===-=-≠--判定方法（1）定义法：证明为一个常数；)(*1N n a a n n ∈-+（2）等差中项：证明，*11(2N n a a a n n n ∈+=+-)2≥n （3）通项公式:为常数)()(,n a kn b k b =+*N ∈n （1）定义法：证明为一个常数)(*1N n a a n n ∈+（2）中项：证明21nn a a -=*1(,2)n a n N n +⋅∈≥（3）通项公式：均是不为0(,nna cq c q =3.数列通项公式求法。
高二等差等比数列练习题及答案
等差、等比数列练习一、选择题1、等差数列a n中， S10120 ，那么 a1 a10（）A. 12B.24C.36D.482、已知等差数列a， a n2n19 ，那么这个数列的前n 项和 s n（）nA. 有最小值且是整数B.有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D.有最大值且是分数3、已知等差数列a n1a4a10080 ，那么 S100的公差 d， a22A ．80B ．120C ．135D ． 160．4、已知等差数列a n中， a2 a5a9a1260 ，那么 S13A． 390B． 195C． 180D． 1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（）A. 0B.90C.180D.3606、等差数列a n的前m项的和为30，前2m 项的和为 100，则它的前 3m项的和为 ()A. 130B.170C.210D.2607、在等差数列a n中， a2 6 ， a8 6 ，若数列a n的前 n 项和为 S n，则（）A.S4 S5B. S4 S5C. S6 S5D. S6 S58、一个等差数列前 3 项和为 34 ，后 3 项和为 146，所有项和为390，则这个数列的项数为（）A.13B.12C.11D.109、已知某数列前n 项之和 n3为，且前 n 个偶数项的和为 n 2 (4n3) ，则前 n 个奇数项的和为（）A ．3n 2 (n1) B． n2 (4n 3)C．3n 2D．1n3210 若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（）A． 6B．8 C．10D． 12二．填空题1、等差数列a中，若 a6a3a8，则s9.n2、等差数列a n中，若 S n3n22n，则公差 d.3、在小于100的正整数中，被 3 除余 2 的数的和是4、已知等差数列{ a n}的公差是正整数，且 a 3a712, a4 a6 4 ，则前10项的和S10=5、一个等差数列共有 10 项，其中奇数项的和为25，偶数项的和为15，则这个数列的第 6 2项是*6 、两个等差数列a n和 b n的前n项和分别为S n和T n，若 S n7n 3，则a8.T n n3b82、设等差数列a n的前 n 项和为 S n，已知 a3 12 ， S12>0，S13<0，①求公差 d 的取值范围；② S1 , S2 ,L , S12中哪一个值最大并说明原因.3、己知{ a n}为等差数列，a12, a2 3 ，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数组成一个新的等差数列，求：（ 1）原数列的第 12 项是新数列的第几项（ 2）新数列的第 29 项是原数列的第几项一、选择题1.(2009 年广东卷文 ) 已知等比数列 { a n } 的公比为正数，且 a 3 · a 9 =2 a 5 2 ， a 2 =1，则 a 1 = A.1B.2 C. 2222、若是1,a,b, c, 9 成等比数列，那么（）A 、 b 3, ac 9B 、 b3, ac 9 C 、 b3, ac 9 D 、 b 3, ac93、若数列 a n 的通项公式是 a n(1) n(3n 2), 则 a 1 a 2a10（ A ）15 （B ）12（C ）D）4. 设 { a n } 为等差数列，公差 d = -2 ， S n 为其前 n 项和 . 若 S 10 S 11 ，则 a 1 =（）5. （ 2008 四川）已知等比数列a n 中 a 2 1，则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 () A.,1 B.,0 U 1,C. 3,D.,1U3,6. （ 2008 福建 ) 设｛ a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7, a 5=16, 则数列｛ a n ｝前 7 项的和为 ( )7. （ 2007 重庆）在等比数列{ a n } 中， a 2 ＝8， a 5＝ 64，，则公比q 为（）A ． 2B． 3C． 4D． 88．若等比数列 { a n } 知足 a n a n+1=16n ，则公比为A ． 2B ． 4C ． 8D ． 169．数列 { a } 的前 n 项和为 S ，若 a =1， a n+1 =3 S （n ≥ 1），则 a =nn 1 n 6（A ）3 ×44（B ）3 ×44+1（C ）44（ D ）44+110.(2007 湖南 ) 在等比数列 { a n } （ n N*）中，若 a 1 1 ， a 41 ，则该数列的前 10 项8和为（ ）A ． 21 B． 21C． 21122210D ． 22421112. （ 2008 浙江）已知 a n a 2， a 51a 2 a 3a n a n 1 =是等比数列， 2，则 a 1a 24（ ）（ 14 n ）（ 12 n ）C. 32（1 4n） D.32（ 1 2 n）33二、填空题：三、 13.（ 2009 浙江理）设等比数列{ a n}的公比q 1S4．，前 n 项和为 S n，则2a414. （ 2009 全国卷Ⅱ文）设等比数列{ a n } 的前 n 项和为s n。
等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)(可编辑修改word版)
(b 1b n)nn + 1 ，则有2n3等差数列与等比数列的类比一、选择题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）{a } S S =n (a 1 + a n ) 1. 记等差数列 n 的前 n 项和为 n ，利用倒序求和的方法得 n 2 ；类似地，记等比数列{b n }的前 n 项积为T n ，且b n> 0(n ∈ N *)，类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成关于首项b 1，末项b n 与项数 n 的关系式 为 ( )1. Anb 1b nA. B. 2 C. nb 1b nnb 1b nD. 2 二、填空题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）2. 在公差为 d 的等差数列{a n }中有：a n = a m + (n - m )d (m 、n ∈ N + )，类比到公比为 q 的等比数列{b n }中有： ．2.b n = b m ⋅ q n - m (m ，n ∈ N * ){a} b = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + n a n{b }3. 数列 n 是正项等差数列，若 n 1 + 2 + 3 + … + n ，则数列 n 也 为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n }，若d n = 则数列{d n }也为等比数列．1(c c 2c 3…c n )1 + 2 + 3 + … + n 3. 1 2 3 n4. 等差数列{a n }中，有a 1 + a 2 + … + a 2n + 1 = (2n + 1)a n + 1，类比以上性质，在等比数列{b n }中，有等式 成立．4.b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1T5. 若等比数列{a n }的前 n 项之积为T n T 3n = ( T n ) ；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前 n 项之和为S n ，则有 ．5. S 3n = 3(S 2n - S n ){a}a 11 + a 12 + … + a 20 = a 1 + a 2 + …a 306. 已知在等差数列 n 中， 10 30 ，则在等比数列{b n }中，类似的结论为10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30q S nn7. 在等比数列{a n}中，若a9 = 1，则有a1⋅a2…a n = a1⋅a2…a17- n(n < 17，且n∈N* )成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7 = 0，则有．b1 + b2 + … + b n= b1 + b2 + … + b13- n(n < 13，且n∈ N* )8.设S n是公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和，则数列S6 - S3，S9 - S6，S12 - S9是等差数列，且其公差为9d.通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2 的等比数列{b n}的前n 项积，则数列T6T9T12T3，T6，T9 是等比数列，且其公比的值是．5129.若等差数列{a n}的公差为d，前nS n{ }项的和为，则数列为等差数列，d. {b}公差为2 类似地，若各项均为正数的等比数列n的公比为q，前n 项的积为T n，则数列{nT n}为等比数列，公比为．10. 设等差数列{a n}的前n 项和为S n m，n(m < n)，使得S m= S n，则S m + n= 0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n 项积为T n，若存在正整数m，n(m < n)，使得T m= T n，则T m + n=．10. 1答案和解析【解析】{a} S= n(a1 + a n)1. 解：在等差数列n的前n 项和为n 2 ，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n 项积T n= (b1b n)n，故选：A由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．n + 1n + 12. 解：在等差数列{a n }中，我们有a n = a m + (n ‒ m )d ，类比等差数列，等比数列中也是如此，b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．故答案为b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．因为等差数列{a n }中，a n = a m + (n ‒ m )d (m ，n ∈ N + )，即等差数列中任意给出第 m项a m ，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第 m 项 b m 和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．3. 解： ∵ 根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字 倍的和，除以下标的和，∴ 根据新的等比数列构造新的等比数列， c c 2c 3…c n乘积变化为乘方 1 2 3 n ，1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n原来的除法变为开方 1 2 3 n1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n故答案为： 1 2 3 n根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和， 除以下标的和，等比数列要类比出一个结论，只有乘积变化为乘方，除法变为开方， 写出结论．本题考查类比推理，两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的也具有这类特征，是一个有特殊到特殊的推理．4. 解：把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，∴ 在等比数列{b n }中有结论b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ).故答案为：b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ). 利用“类比推理”，把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5. 解：在等差数列中S 3n= S n + (S 2n ‒ S n ) + (S 3n ‒ S 2n ) = (a 1 + a 2 + … + a n ) ++ (S 2n ‒ S n ) + (a 2n + 1 + a 2n + … + a 3n )因为a 1 + a 3n = a 2 + a 3n ‒ 1 = … = a n + a 2n + 1 = a n + 1 + a 2n 所以S n + (S 3n ‒ S 2n ) = 2(S 2n ‒ S n )，所以S 3n = 3(S 2n ‒ S n ). 故答案为：S 3n = 3(S 2n ‒ S n ).本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．6. 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30． 故答案为：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30．在等差数列中，等差数列的性质m + n = p + q ，则a m + a n = a p + a q ，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m + n = p + q ，则b m b n = b p b q ．本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．7. 解：在等比数列中，若a 9 = 1，则a 18 ‒ n ⋅⋅⋅ a 9 ⋅⋅⋅ a n = 1即a 1 ⋅ a 2…a n = a 1 ⋅ a 2…a 17 ‒ n (n < 17，且n ∈ N ∗)成立，利用的是等比性质，若 m + n = 18，则a 18 ‒ n ⋅ a n = a 9 ⋅ a 9 = 1，∴ 在等差数列{b n }中，若b 7 = 0，利用等差数列的性质可知，若m + n = 14，b 14 ‒ n + b n = b 7 + b 7 = 0，∴ b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗ )故答案为：b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗).据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可．本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．T 6 T 9 T 12 T 3，T ， T 929 = 5128. 解：由题意，类比可得数列6是等比数列，且其公比的值是 ，故答案为 512．由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题目．{a } SS n= a + (n ‒ 1) ⋅ d 9. 解：因为在等差数列 n 中前 n 项的和为 n 的通项，且写成了n1 2． 所以在等比数列{b n }中应研究前 n 项的积为T n 的开 n 方的形式．类比可得nT n = b 1( q )n ‒ 1.其公比为 故答案为 q ．S nS nd{ n } n= a 1 + (n ‒ 1) ⋅ 2仔细分析数列 为等差数列，且通项为 的特点，类比可写出对应数 列{nT n }为等比数列的公比．本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识.在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．10. 解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”．类比推理可得：“已知正项数列{b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数 m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则T m + n = 1．故答案为 1．在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存q在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”.类比推理可得：“已知正项数列 {b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则 T m + n = 1．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．。
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
等差等比数列前N项和练习答案
等差数列前N 项和（第一课时） 一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.2．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝13，∴a 1＋da 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1.又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( )A ．168B ．156C ．152D ．286[答案] D[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000[答案] C[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴5d ＝15，∴d ＝3.6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12[答案] A [解析]S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1，故选A ． 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2＋n2[解析] ∵a n ＝－5n ＋2， ∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－5n －1)2＝－5n 2＋n 2.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d ＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题9．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ． [解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列前N 项和（第二课时） 一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18[答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( ) A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15 ∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1.∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎨⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．等比数列前N 项和综合练习1．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D 项． 2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝81[1－(23)5]1－23＝211. 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )A ．21B ．42C ．135D ．170 答案 D 解析5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎨⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4(1－125)1－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．等比数列{an }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1(1－1q n )1－1q ＝q 1－n ·1－q n1－q ＝q 1－n ·S .当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S .8．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2答案 A 解析9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A 解析10．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20， ∴a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.11．(2012·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.答案 －2解析 由S 3＝－2S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)，即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.12．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 1013．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2，得2q 2－q －3＝0，即q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 3n －1，或(－3)n －14解析答案24解析16．等比数列{a n}的公比q>0，已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________.答案 152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q >0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.17．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．答案 该数列的公比为2，项数为8解析18．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，则⎩⎨⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ①② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0. (q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0，因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.。
（完整版）高二等差、等比数列基础练习题及答案
（完整版）高二等差、等比数列基础练习题及答案等差、等比数列基础练习题及答案一、选择题1.数列{a n}满足a1=a2=1，，若数列{a n}的前n项和为S n，则S2013的值为（）A. 2013B. 671C. -671D.2.已知数列{a n}满足递推关系：a n+1=，a1=，则a2017=（）A. B. C. D.3.数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2n-1（n∈N+），则a2017的值为（）A. 2B. 3C. 2017D. 30334.已知正项数列{a n}满足，若a1=1，则a10=（）A. 27B. 28C. 26D. 295.若数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a7等于（）A. 2B.C. -1D. 20186.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 287.等差数列{a n}中，若a1，a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）A. 10B. 15C. 20D. 408.已知数列{a n}的前n项和，若它的第k项满足2＜a k＜5，则k=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若 a k=a1+a2+a3+…+a10，则k=（）A. 45B. 46C. 47D. 4810.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A. 66B. 55C. 44D. 33二、填空题1.已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n，则该数列的通项公式a n=______．2.正项数列{a n}中，满足a1=1，a2=，=（n∈N*），那么a n=______．3.若数列{a n}满足a1=-2，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，则a3=______；数列{a n}前10项的和S10=______．4.数列{a n}中，已知a1=1，若，则a n=______，若，则a n=______．5.已知数列{a n}满足a1=-1，a n+1=a n+，n∈N*，则通项公式a n= ______ ．6.数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），则a n= ______ ．7.等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，则数列{a n}前9项的和S9等于______．三、解答题1.已知数列{a n}的前n项和为S n，且=1（n∈N+）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设（n∈N+），求的值．2.数列{a n}是首项为23，第6项为3的等差数列，请回答下列各题：（Ⅰ）求此等差数列的公差d；（Ⅱ）设此等差数列的前n项和为S n，求S n的最大值；（Ⅲ）当S n是正数时，求n的最大值．3.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．4.已知数列{a n}具有性质：①a1为整数；②对于任意的正整数n，当a n为偶数时，；当a n为奇数时，．（1）若a1=64，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1，a2，a3成等差数列，求a1的值；（3）设（m≥3且m∈N），数列{a n}的前n项和为S n，求证：.等差、等比数列基础练习题答案【答案】(选择题解析在后面)1. D2. C3. A4. B5. A6. B7. B8. C9. B10. D12. 2n13. 14. -6；-110 15. 2n-1；2n-116. -17. 18. 8119. 解：（1）当n=1，a1=，当n＞1，S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，∴a n-a n-1=0，即a n=a n-1，数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，∴a n=．（2）S n=1-a n=1-（）n，∴b n=n，∴==-，∴=1-+-+…+-=1-=．20. 解：（Ⅰ）由a1=23，a6=3，所以等差数列的公差d=；（Ⅱ）=，因为n∈N*，所以当n=6时S n有最大值为78；（Ⅲ）由，解得0＜n＜．因为n∈N*，所以n的最大值为12．21. 解：（Ⅰ）列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n-2①．则：S n+1=2a n+1-2②，②-①得：a n+1=2a n，即：（常数），当n=1时，a1=S1=2a1-2，解得：a1=2，所以数列的通项公式为：，（Ⅱ）由于：，则：，=，=2n+1-2．-2-2- (2)=2n+2-4-2n．22. 解：（1）由，可得，，…，，，，a9=0，…，即{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0．…（2分）故数列{a n}的通项公式为．…（4分）（2）若a1=4k（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故a1=0；若a1=4k+1（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故a1=-3；…（7分）若a1=4k+2（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故a1=2；若a1=4k+3（k∈Z）时，，，由a1，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故a1=-1；∴a1的值为-3，-1，0，2．…（10分）（3）由（m≥3），可得，，，若，则a k是奇数，从而，可得当3≤n≤m+1时，成立．…（13分）又，a m+2=0，…故当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．…（15分）故对于给定的m，S n的最大值为a1+a2+...+a m=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）+...+（21-1）=（2m+2m-1+2m-2+ (21)-m-3=2m+1-m-5，故．…（18分）1. 解：∵数列{a n}满足a1=a2=1，，∴从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2a3n-2+a3n-1+a3n=cos=cos（2nπ-）=cos（-）=cos=-cos=-，∵2013÷3=671，即S2013正好是前671组的和，∴S2013=-×671=-．故选D．由数列{a n}满足a1=a2=1，，知从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=cos=-，能求出S2013．本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．2. 解：∵a n+1=，a1=，∴-=1．∴数列是等差数列，首项为2，公差为1．∴=2+2016=2018．则a2017=．故选：C．a n+1=，a1=，可得-=1．再利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3. 解：∵S n=2n-1（n∈N+），∴a2017=S2017-S2016=2×2017-1-2×2016+1=2由a2017=S2017-S2016，代值计算即可．本题考查了数列的递推公式，属于基础题．4. 解：∵，∴a n+12-2a n a n+1+a n2=9，∴（a n+1-a n）2=9，∴a n+1-a n=3，或a n+1-a n=-3，∵{a n}是正项数列，a1=1，∴a n+1-a n=3，即{a n}是以1为首项，以3为公差的等差数列，∴a10=1+9×3=28．故选B．由递推式化简即可得出{a n}是公差为3的等差数列，从而得出a10．本题考查了等差数列的判断，属于中档题．5. 解：数列{a n}满足：a1=2，a n+1=，则a2==，a3==-1 a4==2a5==，a6==-1．a7==2．故选：A．利用数列的递推关系式，逐步求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．6. 解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．7. 解：∵a1，a2013为方程x2-10x+16=0的两根∴a1+a2013=10由等差数列的性质知：a1+a2013=a2+a2012=2a1007∴a2+a1007+a2012=15故选：B由方程的韦达定理求得a1+a2013，再由等差数列的性质求解．本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定a1+a2013=10是关键．8. 解：已知数列{a n}的前n项和，n=1可得S1=a1=1-3=-2，∴a n=S n-S n-1=n2-3n-[（n-1）2-3（n-1）]=2n-4，n=1满足a n，∴a n=2n-4，∵它的第k项满足2＜a k＜5，即2＜2k-4＜5，解得3＜k＜4.5，因为n∈N，∴k=4，故选C；先利用公式a n=求出a n=，再由第k项满足4＜a k＜7，建立不等式，求出k的值．本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式a n=的合理运用，属于基础题．9. 解：∵a k=a1+a2+a3+…+a10，∴a1+（k-1）d=10a1+45d∵a1=0，公差d≠0，∴（k-1）d=45d∴k=46故选B由已知a k=a1+a2+a3+…+a10，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题10. 解：由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由S n=n2+n，得a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n．当n=1时上式成立，∴a n=2n．故答案为：2n．由数列的前n项和求得首项，再由a n=S n-S n-1（n≥2）求得a n，验证首项后得答案．本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题．13. 解：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，∴数列{a n}为等比数列，∵a1=1，a2=，∴q=，∴a n=，故答案为：由=（n∈N*），可得a2n+1=a n?a n+2，即可得到数列{a n}为等比数列，求出公比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题．14. 解：∵对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，∴取m=1，则a n+1-a n=a1=-2，∴数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，∴a n=-2-2（n-1）=-2n．∴a3=-6，∴数列{a n}前10项的和S10==-110．故答案分别为：-6；-110．对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n，取m=1，则an+1-a n=a1=-2，可得数列{a n}是等差数列，首项为-2，公差为-2，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15. 解：在数列{a n}中，由，可知数列是公差为2的等差数列，又a1=1，∴a n=1+2（n-1）=2n-1；由，可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1，∴．故答案为：2n-1；2n-1．由已知递推式a n-a n-1=2，可得数列是公差为2的等差数列，由，可知数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案．本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题．16. 解：由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得a n-a1=1-=，∵a1=-1，∴a n=-，故答案为-．由题意，a n+1-a n=-，利用叠加法可得结论．本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题．17. 解：数列{a n}满足a1=5，-=5（n∈N+），可知数列{}是等差数列，首项为，公差为：5．可得=+5（n-1），解得a n═．故答案为：．判断数列{}是等差数列，然后求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力．18. 解：等差数列{a n}中，a1+a4+a7=33，a3+a6+a9=21，∴3a4=33，3a6=21；∴a4=11，a6=7；数列{a n}前9项的和：．故答案为：81．根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可．本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目．19. （1）根据数列的递推公式可得数列{a n}为等比数列，公比为，首项为，即可求出通项公式，（2）根据对数的运算性质可得b n=n，再根据裂项求和即可求出答案本题考查了数列的递推公式和裂项求和，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．20. （1）直接利用等差数列的通项公式求公差；（2）写出等差数列的前n项和，利用二次函数的知识求最值；（3）由S n＞0，且n∈N*列不等式求解n的值．本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运算题．21. （Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用．22. （1）由，可得{a n}的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0，从而利用分段函数的形式写出数列{a n}的通项公式即可；（2）对a1进行分类讨论：若a1=4k（k∈Z）时；若a1=4k+1（k∈Z）时；若a1=4k+2（k∈Z）时；若a1=4k+3（k∈Z）时，结合等差数列的性质即可求出a1的值；（3）由（m≥3），可得a2，a3，a4．若，则a k是奇数，可得当3≤n≤m+1时，成立，又当n≤m时，a n＞0；当n≥m+1时，a n=0．故对于给定的m，S n的最大值为2m+1-m-5，即可证出结论．本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考查分析问题、解决问题的能力．。
高二数学等比数列习题
高二数学等比数列习题一、选择题（每小题6分，共42分）1.b2=ac,是a,b,c成等比数列的（）A.充分不必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因当b2=ac时，若a=b=c=0,则a,b,c不成等比数列；若a,b,c成等比，则，即b2=ac.2.一个公比q为正数的等比数列{an}，若a1+a2=20,a3+a4=80,则a5+a6等于（）A.120B.240C.320D.480【答案】C【解析】∵a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列（公比为q2）.∴a5+a6= =320.3.数列{an}的前n项和Sn=3n+a,要使{an}是等比数列，则a的值为（）A.0B.1C.-1 D.2【答案】C【解析】∵an=要使{an}成等比，则3+a=231-1=230=2,即a=-1.4.设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，对任意实数x,y∈R,都有f(x)f(y)=f(x+y),若a1= ,an=f(n)(n∈N*),则数列{an}前n项和Sn的取值范围是（）A.［，2)B.［，2］C.［，1)D.［，1］【答案】C【解析】因f(n+1)=f(1)f(n),则an+1=a1an= an，∴数列{an}是以为首项，公比为的等比数列.∴an=n.Sn= =1-n.∵n∈N*,∴ ≤Sn＜1.5.等比数列{an}的各项都是正数，且a2, a3,a1成等差数列，则的值是( )A. B.C. D. 或【答案】B【解析】∵a3=a2+a1,∴q2-q-1=0,q= ，或q= (舍).∴ .6.(2010北京宣武区模拟，4)在正项等比数列{an}中，a1、a99是方程x2-10x+16=0的两个根，则a40a50a60的值为( )A.32B.64C.±64D.256【答案】B【解析】因a1a99=16,故a502=16,a50=4,a40a50a60=a503=64.7.如果P是一个等比数列的前n项之积，S是这个等比数列的.前n项之和，S′是这个等比数列前n项的倒数和，用S、S′和n表示P，那么P等于( )A.（SS′B.C.nD.【答案】B【解析】设等比数列的首项为a1,公比q（q≠1）则P=a1a2an=a1n ,S=a1+a2++an= ,S′= ++ ,∴ =(a12qn-1 =a1n =P,当q=1时和成立.二、填空题（每小题5分，共15分）8.在等比数列中，S5=93，a2+a3+a4+a5+a6=186,则a8=___________________.【答案】384【解析】易知q≠1，由S5= =93及 =186.知a1=3,q=2,故a8=a1q7=3×27=384.9.(2010湖北八校模拟，13)在数列{an}中，Sn=a1+a2++an,a1=1,an+1=Sn(n≥1),则an=【答案】（）n-2【解析】∵an+1= Sn,∴an= Sn-1(n≥2).①-②得,an+1-an= an,∴ (n≥2).∵a2= S1= ×1= ,∴当n≥2时，an= （）n-2.10.给出下列五个命题，其中不正确的命题的序号是_______________.①若a,b,c成等比数列，则b= ②若a,b,c成等比数列，则ma,mb,mc(m为常数)也成等比数列③若{an}的通项an=c(b-1)bn-1(bc≠0且b≠1),则{an}是等比数列④若{an}的前n项和Sn=apn(a,p均为非零常数)，则{an}是等比数列⑤若{an}是等比数列，则an,a2n,a3n也是等比数列【答案】②④【解析】②中m=0,ma,mb,mc不成等比数列；④中a1=ap,a2=ap(p-1),a3=ap2(p-1), ,故②④不正确，①③⑤均可用定义法判断正确.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）11.等比数列{an}的公比为q，作数列{bn}使bn= ,(1)求证数列{bn}也是等比数列；（2）已知q＞1,a1= ,问n为何值时，数列{an}的前n项和Sn大于数列{bn}的前n项和Sn′.(1)证明：∵ =q,∴ 为常数，则{bn}是等比数列.(2)【解析】Sn=a1+a2++an= ,Sn′=b1+b2++bn= ,当Sn＞Sn′时，又q＞1,则q-1＞0,qn-1＞0,∴ ,即qn＞q7,∴n＞7,即n＞7(n∈N*)时，Sn＞Sn′.12.已知数列{an}:a1,a2,a3,an,构造一个新数列：a1,(a2-a1),(a3-a2),(an-an-1),此数列是首项为1，公比为的等比数列.(1)求数列{an}的通项；（2）求数列{an}的前n项和Sn.【解析】(1)由已知得an-an-1=n-1(n≥2),a=1,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(an-an-1)= ［1-n］.(2)Sn=a1+a2+a3++an= - ［ +2++n］= - ［1-n］= ×n.13.在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=20,设cn=11-log2a2n.(1)求数列{cn}的前n项和Sn.(2)是否存在n∈N*,使得成立？请说明理由.【解析】(1)由已知得∴an=a1qn-1=2n.∴cn=11-log2a2n=11-log222n=11-2n.Sn=c1+c2++cn= =-n2+10n.(2)假设存在n∈N*,使得即 .∴22n+3×2n-3＜0,解得 .∵ =1,而2n≥2,故不存在n∈N*满足 .14.(2010湖北黄冈中学模拟，22) 已知函数f(x)= ,x∈(0,+∞),数列{xn}满足xn+1=f(xn),(n=1,2,),且x1=1.(1)设an=|xn- |,证明：an+1＜an;(2)设（1）中的数列{an}的前n项和为Sn，证明：Sn＜ .证明：（1）an+1=|xn+1- |=|f(xn)- |= . ∵xn＞0,∴an+1＜( -1)|xn- |＜|xn- |=an,故an+1＜an.(2)由（1）的证明过程可知an+1＜( -1)|xn- |＜( -1)2|xn-1- |＜＜( -1)n|x1- |=( -1)n+1∴Sn=a1+a2++an＜|x1- |+( -1)2++( -1)n =( -1)+( -1)2++( -1)n= ［1-( -1)n］＜ .。
高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题(含答案解析)
高中数学《等差数列、等比数列》专题练习题（含答案解析）一、选择题1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d a 1＋4d24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C ．]2．设公比为q (q >0)的等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A ．－2B ．－1C ．12D ．23B [S 4－S 2＝a 3＋a 4＝3a 4－3a 2 ，即3a 2＋a 3－2a 4＝0，即3a 2＋a 2q －2a 2q 2＝0 ，即2q 2－q －3＝0，解得q ＝－1 (舍)或q ＝32，当q ＝32时，代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，解得a 1＝－1，故选B ．]3．(2018·莆田市3月质量检测)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2＝a 1＋2a 3，a 4＝1，则S 4＝( )A ．78B ．158C ．14D ．15D [由S 2＝a 1＋2a 3，得a 1＋a 2＝a 1＋2a 3，即a 2＝2a 3，又{a n }为等比数列，所以公比q ＝a 3a 2＝12，又a 4＝a 1q 3＝a 18＝1，所以a 1＝8.S 4＝a 11－q 41－q＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1161－12＝15.故选D ．]4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13C [∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0,a 1＋a 13＝2a 7<0，∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.]5．(2018·衡水模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m＋1＝21，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [在等比数列中，因为S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，所以a m ＝S m －S m －1＝－11－5＝－16，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝32.则公比q ＝a m ＋1a m＝32－16＝－2，因为S m ＝－11， 所以a 1[12m ]1＋2＝－11，①又a m ＋1＝a 1(－2)m ＝32，② 两式联立解得m ＝5，a 1＝－1.] 6．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1B [a na 2n ＝a 1n －1da 12n －1d ＝a 1－d ＋nda 1－d ＋2nd，若a 1＝d ，则a na 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1＝d ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.] 7．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为( )A ．9B ．27C ．54D ．72B [根据等比数列的基本性质有a 2a 10＝a 26＝6a 6，a 6＝6，所以b 4＋b 6＝a 6＝6，所以S 9＝9b 1＋b 92＝9b 4＋b 62＝27.]8．(2018·安阳模拟)正项等比数列{a n }中，a 2＝8,16a 24＝a 1a 5，则数列{a n }的前n 项积T n 中的最大值为( )A ．T 3B ．T 4C ．T 5D ．T 6A [设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则16a 24＝a 1a 5＝a 2a 4＝8a 4，a 4＝12，q 2＝a 4a 2＝116，又q ＞0，则q ＝14，a n ＝a 2q n －2＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －2＝27－2n ，则T n ＝a 1a 2…a n ＝25＋3＋…＋(7－2n )＝2n (6－n )，当n ＝3时，n (6－n )取得最大值9，此时T n 最大，即(T n )max ＝T 3，故选A ．]二、填空题9．已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为________．2 [根据等比中项有a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，化简得a 1＝－4d ，S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝a 1＋2d 2a 1＋7d ＝－2d －d＝2.] 10．已知数列{a n }满足a 1＝－40，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，则a n 取最小值时n 的值为________．10或11 [由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ＝2n (n ＋1)，两边同时除以n (n ＋1)，得a n ＋1n ＋1－a nn ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为－40、公差为2的等差数列，所以a nn ＝－40＋(n －1)×2＝2n －42，所以a n＝2n 2－42n ，对于二次函数f (x )＝2x 2－42x ，在x ＝－b2a＝－－424＝10.5时，f (x )取得最小值，因为n 取正整数，且10和11到10.5的距离相等，所以n 取10或11时，a n 取最小值．]11．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________． 16 [S 10＝10a 1＋a 102＝40⇒a 1＋a 10＝a 3＋a 8＝8，a 3·a 8≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋a 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝16， 当且仅当a 3＝a 8＝4时“＝”成立．]12．已知函数{a n }满足a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3，且a 1＝1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1的前20项和为________．780 [由a n ＋1＋1＝a n ＋12a n ＋3得2a n ＋3a n ＋1＝1a n ＋1＋1，即1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是以12为首项，2为公差的等差数列，则1a n ＋1＝2n －32，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是以1为首项，4为公差的等差数列，其前20项的和为20＋10×19×4＝780.]三、解答题13．(2018·德阳二诊)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1 . (1)求证：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n . [解] (1)∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2≠0，a n ＋1≠0.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＝2n －1， ∴2na n a n ＋1＝2n2n －12n ＋1－1＝12n －1－12n ＋1－1，∴T n ＝12－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1.14．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21. (2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)， 所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列， 因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n＋3＝(a1＋3)×2n－1，a n＝3(2n－1)(n∈N*)．。
高二数学数列试题答案及解析
高二数学数列试题答案及解析1.等比数列的前项和为，且成等差数列．若，则＝（）A．7B．8C．15D．16【答案】C【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，∴，∴．【考点】等差数列的性质、等比数列的前n项和．2.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为．【答案】【解析】一个骰子连续抛掷三次它落地时向上的点数情况共有种, 若落地时向上的点数依次成等差数列时情况有: 可能为连续的三个数组成的递增数列,还可能不连续的三个数组成的递增数列, ．同理可得以上两种情况的递减数列,另外还有可能是三个数相同的常数列,所以共有种情况,所以所求概率为．【考点】1排列组合；2概率．3.在等比数列中，对于任意都有，则．【答案】【解析】令，得；由等比数列的性质，得.【考点】1.赋值法；2.等比数列的性质.4.已知数列满足，则= （）A．B．C．D．【答案】【解析】∵，∴，∴，所以数列的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，又，故，所以．【考点】递推公式，等比数列，分组求和，等比数列的前项和5.已知为等比数列，，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为为等比数列，所以，或．设公比为，当时，，当时，综上可得．故D正确．【考点】1等比数列的通项公式；2等比数列的性质．6.已知数列中，函数．（1）若正项数列满足，试求出，，，由此归纳出通项，并加以证明；，且，求证：（2）若正项数列满足（n∈N*），数列的前项和为Tn．【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】本题主要考查数列的通项及前n项和等基础知识，考查学生的运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．第一问，通过对两边同时取倒数、变形可知数列是以1为首项、为公比的等比数列，进而计算可得结论；第二问，通过（n∈N*）变形可知，进而累乘得：，进而，通过裂项、放缩可知，并项相加即得结论．试题解析：（1）依题意，，，，由此归纳得出：；证明如下：∵，∴，∴，∴数列是以1为首项、为公比的等比数列，∴，∴；（2）∵（n∈N*），∴，∴，累乘得：，∴，即，∴，∵，∴．【考点】数列的求和；归纳推理．7.设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，数列的前项和为．求【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由可得，，而，则（Ⅱ）由及可得利用错位相减即可求出结果，即可求出结果．试题解析：（Ⅰ）由可得，而，则（Ⅱ）由及可得．．【考点】1．数列的递推公式；2．错位相减法求和．【方法点睛】本题主要考查了利用数列递推公式求出数列的通项公式，在解决此类问题时，一般利用来求数列的通项公式；在数列求和时如果通项公式可换成，其中数列分别是等差数列和等比数列，一般采用错位相减法进行求和．8.（本小题满分12分）已知正项数列的首项为，前项和为满足．（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）当时，由代入已知式分解因式可得，由此可证数列是等差数列，并求出数列的通项公式，再由即可求出数列数列的通项公式；（2）由，即用裂项相消法求出，又可得，解之即可．试题解析：（1）当时，，即，数列是首项为，公差为的等差数列，故，故，当时也成立，（6分）（2）, （8分）（10分）又，，解得或，即所求实数的取值范围为（12分）【考点】1．与关系；2．等差数列的定义与性质；3．裂项相消法求和；4．数列与不等式．【名师】本题主要考查数列中与关系、等差数列的定义与性质、裂项相消法求和以及数列与不等式的综合应用等知识．解题时首先利用与关系进行转化，得到数列前后项之间的关系，从而讲明数列是等差数列，进一步求出数列的退项公式；由于数列是等差数列，所以在求数列的前项和为时，可用裂项相消法求解．9.（本小题满分12分）等差数列的前n项和记为，已知，求n．【答案】【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．利用等差数列的通项公式将和展开，列出方程组，解出和d的值，即得到等差数列的通项公式，由，利用等差数列的前n项和得，解方程求得项数n的值．试题解析：由，得方程组，解得，所以．，得，解得或（舍去）．【考点】等差数列的通项公式及前n项和公式．10.数列1，，，，，，，，，……的前100项之和为（）A．10B．C．11D．【答案】A【解析】观察数列特点可知分母为1的有一项，分母为3的有三项，分母为5的有五项，以此类推分母为的有项，所以，即分母为19的分数写完后刚好100项，因此前100项求和时将分母相同的分组求和可得到和为10【考点】数列求和11.在等比数列{an }中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝（）A．80B．90C．95D．100【答案】B【解析】等比数列中【考点】等比数列性质12.（本题满分13分）设数列和满足：，（1）求数列和的通项公式；（2）当时，不等式恒成立，试求常数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知可得，又因为，所以为首项为，公比为的等比数列，从而可得的通项公式；由可得当时，两式相减得，，当时也满足，．记，又因为，所以，再将其左右两边同时乘以得，然后利用错位相减得，，可化简得即，，．试题解析：（1），为首项为，公比为的等比数列，又①令令②①-②得，，当时，满足此式。
数列考试题及答案
数列考试题及答案一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1=2，a_4=8，则a_7的值为（）。
A. 14B. 16C. 18D. 20答案：A解析：根据等差数列的性质，a_7 = a_4 + 3d，其中d为公差。
由a_1=2和a_4=8，可得d = (a_4 - a_1) / 3 = (8 - 2) / 3 = 2。
因此，a_7 = a_4 + 3d = 8 + 3*2 = 14。
2. 已知数列{a_n}是等比数列，且a_1=3，a_3=27，则a_5的值为（）。
A. 81B. 243C. 729D. 2187答案：C解析：根据等比数列的性质，a_5 = a_3 * q^2，其中q为公比。
由a_1=3和a_3=27，可得q = a_3 / a_1 = 27 / 3 = 9。
因此，a_5 = a_3 * q^2 = 27 * 9^2 = 729。
二、填空题3. 已知数列{a_n}的前n项和S_n = n^2 + 2n，求a_5的值。
答案：12解析：根据数列的前n项和公式，a_n = S_n - S_{n-1}。
因此，a_5 = S_5 - S_4 = (5^2 + 2*5) - (4^2 + 2*4) = 25 + 10 - 16 - 8 = 12。
4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2^n - 1，求前5项的和。
答案：31解析：根据通项公式，前5项分别为a_1 = 2^1 - 1 = 1，a_2 = 2^2 - 1 = 3，a_3 = 2^3 - 1 = 7，a_4 = 2^4 - 1 = 15，a_5 = 2^5 - 1 = 31。
因此，前5项的和为1 + 3 + 7 + 15 + 31 = 57。
三、解答题5. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_{n+1} = 2a_n + 1，求a_5的值。
答案：23a_5的值。
a_2 = 2a_1 + 1 = 2*1 + 1 = 3a_3 = 2a_2 + 1 = 2*3 + 1 = 7a_4 = 2a_3 + 1 = 2*7 + 1 = 15a_5 = 2a_4 + 1 = 2*15 + 1 = 316. 已知数列{a_n}的前n项和S_n = 3^n - 1，求a_4的值。
等差等比数列及其前n项和作业及答案
等差等比数列及其前n 项和作业及答案一、选择题：1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b≠2. 答案：B 2.(2009·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12＝2. 答案：C 3．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)－10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152<k <9，又∵k ∈N *，∴k ＝8. 答案：B 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于 ( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：由{a n }是等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．由2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案：B5.设数列{a n }是等差数列，且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 6解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5. 答案：C6.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，123，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5＋12或5－12解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0， ∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52，a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：A 7.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C.2 D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6a 5＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 答案：B 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 又∵S 6∶S 3＝1∶2，∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C 9.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2np (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”． 甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{a n }是等比数列则a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1a 2n＝q 2，则{a n }为“等方比数列”．当{a n }为“等方比数列”时，则a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，当n ≥1时a n ＋1a n ＝±p ，所以此数列{a n }并不一定是等比数列． 答案：B10.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：∵q 3＝a 5a 2＝18∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C. 答案：C11. 在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当S n 取得最小值时，n 等于A ．10B ．11C ．9或10D ．10或11解析：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×(9－1)d ＝12a 1＋12×12×(12－1)d ， 即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d . ∵a 1<0，∴d >0. ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－441d 8∴S n 有最小值，又n ∈N *， ∴n ＝10，或n ＝11时，S n 取最小值． 答案：D12.在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n n 最大时，n 的值等于 ( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，而a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ， b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n＜0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S n n 最大． 答案：C 二、填空题：13．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.解析：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52. 答案：52 14．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，所以a 4＝13. 答案：1315．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________. 解析：a 4＝a 1(12)3＝181，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1， ∴S 4a 4＝15. 答案：15 16．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝－3或q ＝2. ∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152三、解答题：17．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2－，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n 2－＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n＋1. 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋22， 故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 19．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n ＋1＞b n 成立．解：(1)∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝6n ＋(－1)n －1·λ·22n －1，要使得对任意n ∈N *都有b n ＋1＞b n 恒成立， ∴b n ＋1－b n ＝6n ＋1＋(－1)n ·λ·22n ＋1－6n －(－1)n －1·λ·22n －1＝5·6n －5λ·(－1)n －1·22n －1＞0恒成立， 即12λ·(－1)n －1＜(32)n . 当n 为奇数时， 即λ＜2·(32)n ，而(32)n 的最小值为32， ∴λ＜3. 当n 为偶数时，λ＞－2(32)n ， 而－2(32)n 的最大值为－92，∴λ＞－92.由上式可得－92＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2. 20．(2010·株州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，满足f (0)＝f (12)＝0，且f (x )的最小值是－18.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点(n ，S n )在函数f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过b n ＝S n n ＋c 构造一个新的数列{b n }，是否存在非零常数c ，使得{b n }为等差数列； (3)令c n ＝S n ＋n n，设数列{c n ·2c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为f (0)＝f (12)＝0，所以f (x )的对称轴为x ＝0＋122＝14，又因为f (x )的最小值是－18，由二次函数图象的对称性可设f (x )＝a (x －14)2－18. 又f (0)＝0，所以a ＝2，所以f (x )＝2(x －14)2－18＝2x 2－x . 因为点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3(n ＝1时也成立)，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)因为b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c c ＝－12(c ≠0)，即得b n ＝2n ，此时数列{b n }为等差数列，所以存在非零常数c ＝－12{b n }为等差数列． (3)c n ＝S n ＋n n ＝2n 2－n ＋n n＝2n ，则c n ·2c n ＝2n ×22n ＝n ×22n ＋1. 所以T n ＝1×23＋2×25＋…＋(n －1)22n －1＋n ×22n ＋1，4T n ＝1×25＋2×27＋…＋(n －1)22n ＋1＋n ×22n ＋3，两式相减得：－3T n ＝23＋25＋…＋22n ＋1－n ×22n ＋3＝23(1－4n )1－4n ·22n ＋3， T n ＝23(1－4n )9＋n ·22n ＋33＝(3n －1)22n ＋3＋89. 21．已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *)②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ， 在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n (n ∈N *)． 由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， 法一：迭代法得：b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．法二：可用累加法，即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， … b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)． (2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ， 设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增． 且f (4)＝1， ∴当k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0， ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．22.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝24，a 2＝5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)试问a 11是数列{b n }的第几项；(3)是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5， ∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.(2)依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023， 1023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．(3)依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ， a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1， 故数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010， 而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个， 即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010.。
等差与等比数列习题和答案
等差与等比数列1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 等于（ ）． （A ）2n （B ）2n ＋1 （C ）2n －1 （D ）2n －1【提示】排除法．由已知，各项均为奇数．所以（A ）、（D ）不正确．对于（B ），由于n ＝1时，21＋1＝3．所以（B ）也不正确．也可以直接归纳出2n －1． 【答案】（C ）．2．已知等差数列的公差为d ，它的前n 项和S n ＝－n 2，那么（ ）． （A ）a n ＝2 n －1，d ＝－2 （B ）a n ＝2 n －1，d ＝2 （C ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝－2 （D ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝2 【提示】由S n ＝－n 2 知，a 1＝S 1＝－1，a 2＝S 2－a 1＝－3，从而d ＝－2，且a n ＝a 1＋（n －1）d ＝－1＋（n －1）〃（－2）＝－2 n ＋1． 【答案】（C ）．3．在a 和b （a ≠b ）两数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为（ ）． （A ）na b - （B ）1+-n a b （C ）1+-n b a （D ）2+-n a b【提示】b ＝a ＋[（n ＋2）－1]d ． 【答案】（B ）．4．数列｛a n ｝中，a n ＝－2 n ＋100，当前n 项和S n 达到最大值时，n 等于（ ）．（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）49或50【提示】令a n ＝－2 n ＋100≥0，得n ≤50．即a 49 以前各项均为正数，a 50＝0，故S 49 或S 50 最大．【答案】（D ）．5．等比数列｛a n ｝的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若510S S ＝3231，则510a a 等于（ ）． （A ）－321 （B ）－21 （C ）321 （D ）21【提示】由已知可求得q ＝－21． 【答案】（A ）．6．等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（ ）． （A ）a 7 （B ）a 8 （C ）a 9 （D ）a 10【提示】由S 5＝S 11 得2 a 1＋15 d ＝0，又a 1＞0，所以d ＜0．而2 a n ＝2 a 1＋2（n －1）d ＝（2 n －17）d ＜0，所以2 n －17＞0即n ＞8.5． 【答案】（C ）．7．已知数列｛a n ｝中，a 3，a 10 是方程x 2－3 x －5＝0的两根，若｛a n ｝是等差数列，则a 5＋a 8＝___________________；若｛a n ｝是等比数列，则a 6〃a 7＝______________．【提示】a 3＋a 10＝3，a 3a 10＝－5．再利用已知与所求中的关系可求． 【答案】a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3；a 6〃a 7＝a 3〃a 10＝－5．8．在等比数列｛a n ｝中，若其中三项a 1、a 2、a 4 又成等差数列，则公比是_____________．【提示】由已知，得2（a 1q ）＝a 1＋a 1q 3 即q 3－2 q ＋1＝0． 【答案】1或251±-．9．等差数列｛a n ｝的公差d ＞0．已知S 6＝51，a 2〃a 5＝52．则S 7＝_______________．【提示】列出a 1 和d 的方程组，求a 1 和d ．进而求S 7 ．或由S 6＝2)(661a a +＝3（a 2＋a 5）＝51，得方程组⎩⎨⎧=⋅=+52175252a a a a ，求出a 2，a 5，进而求S 7 ． 【答案】70．10．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝___________．【提示】由已知推出a 1＝d （d ≠0），并代入所求式中，消去d 即可． 【答案】1613．11．已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=______时，S n 的值最小，S n 的最小值是__________。
(完整版)等差等比数列练习题含答案
一、选择题1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列，则此数列 ( ）（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列 (C ）存在且唯一 （D)不存在 2。
、在等差数列{}n a 中，41=a ，且1a ,5a ，13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为 （ )（A ）13+=n a n (B ）3+=n a n (C ）13+=n a n 或4=n a （D)3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项,则ycx a +的值为 （ ） (A ）21（B ）2- （C ）2 （D) 不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，那么2x ,2b ,2y 三个数（ ）（A ）成等差数列不成等比数列 (B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为 ( ）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C)12-=n n a(D ）n n a n -=26、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则 （ ）（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列 （C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）zy x 1,1,1成等比数列 7、数列{}n a 的前n 项和1-=nn a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有 （ ）①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A)4 (B ）3 （C ）2 (D ）18、数列1⋯,1617,815,413,21,前n 项和为（ ） （A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212112+--+n n n9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=n n B A n n ，则135135b b a a ++的值为 （ ) (A)97 （B)78 (C ）2019 （D ）8710、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}na 的前10项和为 ( ）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D)6011、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3,9，27，…3n, …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ )（A ）2)133(+n n (B ）53+n（C ）23103-+n n （D ）231031-++n n12、下列命题中是真命题的是( ）A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p ）B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列，那么此数列也是等比数列C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n abaD ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S nn +=)1,0,0(≠≠≠b b a ，则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a二、填空题13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ，成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=15、已知数列{}n a 满足n na S 411+=,则n a =16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列,46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。
等差、等比数列复习试题+答案解析
等差数列、等比数列1．(2014·二模)数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝________2. (2014·二模)在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________3.(2014·一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝________4. (2014·一模)记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝________5．(2014·卷)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则________A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >06．(2014·七中二模)正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为________7．(2014·卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.8．(2014·中学二模)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.9. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的取值围是________．10．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．11．(2014·一模)已知数列{a n}，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和．1．(2014·市七校联考)已知数阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a11 a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝2，则这9个数的和为________2．(2014·一模)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．3．(2014·一模)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝9，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明数列{a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项积为T n ，即T n ＝(a 1＋1)(a 2＋1)…(a n ＋1)，求lg T n ；(3)在(2)的条件下，记b n ＝lg T n lg a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n >4 026的n 的最小值．高考专题训练(九) 等差数列、等比数列A 级——基础巩固组一、选择题1．(2014·二模)数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析 设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＝a 1a 1＋2d ，a 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D 答案 D2．(2014·二模)在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析 ∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26.答案 B3．(2014·一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1 解析∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝52，①a 1q ＋a 1q 3＝54，②由①除以②可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入①得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1＝42n，∴S n ＝2×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n ， ∴S na n＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－12n 42n＝2n －1，选D.答案 D4．(2014·一模)记等比数列{a n }的前n 项积为Ⅱn ，若a 4·a 5＝2，则Ⅱ8＝( )A ．256B ．81C ．16D ．1解析 由题意可知a 4a 5＝a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝2， 则Ⅱ8＝a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8＝(a 4a 5)4＝24＝16. 答案 C5．(2014·卷)设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析 依题意得2a 1a n >2a 1a n ＋1，即(2a 1)a n ＋1－a n <1，从而2a 1d <1，所以a 1d <0，故选C.答案 C6．(2014·七中二模)正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋4n的最小值为( )A.256B.134C.73D.32解析 由a 3＝a 2＋2a 1，得q 2＝q ＋2，∴q ＝2(q ＝－1舍去)，由a m a n ＝16a 21得2m －12n －1＝16， ∵m ＋n －2＝4，m ＋n ＝6， 所以1m ＋4n ＝m ＋n 6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋4＋n m ＋4m n≥16⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋2 n m ·4m n ＝32. 答案 D 二、填空题7．(2014·卷)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.解析 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1.∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1.答案 18．(2014·中学二模)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8·a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.解析 ∵1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，而a 8a 9＝a 7a 10，∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝158－98＝－53. 答案 －539．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n的取值围是________．解析 因为{a n }是等比数列， 所以可设a n ＝a 1q n －1. 因为a 2＝2，a 5＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 4＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12.所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n 1－12＝8－8×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n. 因为0<⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n ≤12，所以4≤S n <8. 答案 [4,8) 三、解答题10．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解(1)由题设，a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1.两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1.由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．11．(2014·一模)已知数列{a n}，a1＝－5，a2＝－2，记A(n)＝a1＋a2＋…＋a n，B(n)＝a2＋a3＋…＋a n＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋a n＋2(n∈N*)，若对于任意n∈N*，A(n)，B(n)，C(n)成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{|a n|}的前n项和．解(1)根据题意A(n)，B(n)，C(n)成等差数列，∴A(n)＋C(n)＝2B(n)，整理得a n＋2－a n＋1＝a2－a1＝－2＋5＝3.∴数列{a n}是首项为－5，公差为3的等差数列，∴a n＝－5＋3(n－1)＝3n－8.(2)|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ≤2时，S n ＝n 5＋8－3n2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋n －21＋3n －82＝3n 22－132n ＋14；综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.B 级——能力提高组1．(2014·市七校联考)已知数阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a11 a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝2，则这9个数的和为( )A ．16B ．18C ．9D ．8解析已知数阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a11 a 12 a 13a21 a 22 a 23a31a 32a 33中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22＝2，由等差数列的性质得：a 11＋a 12＋a 13＋a 21＋a 22＋a 23＋a 31＋a 32＋a 33＝9a 22＝18.答案 B2．(2014·一模)已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________．解析 易得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13n ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫89，1∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1，43，而y ＝S n －1S n 在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤89，43上单调递增，所以y ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1772，712⊆[A ，B ]，因此B －A 的最小值为712－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1772＝5972. 答案 59723．(2014·一模)若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝9，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明数列{a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项积为T n ，即T n ＝(a 1＋1)(a 2＋1)…(a n ＋1)，求lg T n ；(3)在(2)的条件下，记b n ＝lg T n lg a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n >4 026的n 的最小值．解 (1)由题意得：a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，即a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，则{a n ＋1}是“平方递推数列”．对a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2两边取对数得lg(a n ＋1＋1)＝2lg(a n ＋1)，w 所以数列{lg(a n ＋1)}是以lg(a 1＋1)为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知lg(a n ＋1)＝lg(a 1＋1)·2n －1＝2n －1 lg T n ＝lg(a 1＋1)(a 2＋1)…(a n ＋1)＝lg(a 1＋1)＋lg(a 2＋1)＋…＋lg(a n ＋1)＝1·1－2n1－2＝2n －1 (3)b n ＝lg T n lg a n ＋1＝2n －12n －1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n －1 S n ＝2n －1－12n 1－12＝2n －2＋12n －1 又S n >4 026，即2n －2＋12n －1>4 026，n ＋12n >2 014 又0<12n <1，所以n min ＝2 014.。
高二数学数列练习题及答案
高二数学数列练习题及答案一、选择题1. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，其中n为正整数，则该数列的首项是：a) 1b) 2c) 3d) 42. 数列{an}的前4项依次是3，6，9，12，其通项公式为：a) an = 3nb) an = 3n + 1c) an = 3n - 1d) an = 2n + 13. 数列{an}的公差为2，首项为3，若a4 = 9，则数列的通项公式为：a) an = n + 2b) an = 2n + 1c) an = 3nd) an = 2n + 3二、填空题1. 数列{an}的首项为5，公差为3，若a7 = 23，则数列的通项公式为______。
2. 如果数列{an}满足an + 1 = an + 3，且a2 = 7，那么数列的首项为______。
3. 数列{an}满足公差为-2，首项为6，若a5 = -4，则数列的通项公式为______。
三、解答题1. 求等差数列{an}的前n项和公式。
解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d。
根据等差数列的性质，第n项an可以表示为an = a1 + (n - 1)d。
前n项和Sn可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
因此，等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + a1 + (n - 1)d) * n / 2。
2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，则数列的公差为多少？解析：设数列{an}的首项为a1，通项公比为r。
根据等比数列的性质，第n项an可以表示为an = a1 * r^(n - 1)。
因此，已知通项公式为an = 2^n，可得到a1 * r^(n - 1) = 2^n。
考虑到a1 = 2^0 = 1，将其代入上式，得到r^(n - 1) = 2^(n - 1)。
可得到r = 2，因此数列的公差为2。
四、答案选择题：1. c) 32. a) an = 3n3. b) an = 2n + 1填空题：1. an = 172. a1 = 43. an = 12 - 2n解答题：1. 等差数列的前n项和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
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等差 、 等比数列练习一、选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）A. 12B. 24C. 36D. 482、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差12d =，8010042=+++a a a ，那么=100SA ．80B ．120C ．135D ．160．4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（ ）A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（ ）A. 13B. 12C. 11D. 109、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = .2、等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是4、已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=5、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为252，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是*6、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若337++=n n T S n n ，则88a b = .2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大并说明理由.3、己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项 （2）新数列的第29项是原数列的第几项一、选择题1.(2009年广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A. 21B.22C. 2 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=-3、若数列}{n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n 则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-154.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ）5.（2008四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是()A.(],1-∞-B.()(),01,-∞+∞C.[)3,+∞D.(][),13,-∞-+∞6.（2008福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( )7.（2007重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．88．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8D ．169．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+110.(2007湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ）A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122- 12.（2008浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）（n --41） （n --21） C.332（n --41） D.332（n --21） 二、填空题： 三、13.（2009浙江理）设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a = ．14.（2009全国卷Ⅱ文）设等比数列{n a }的前n 项和为n s 。
若3614,1s s a ==，则4a =解析：本题考查等比数列的性质及求和运算，由3614,1s s a ==得q 3=3故a 4=a 1q 3=315.(2007全国I) 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．16.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为 ．18：①已知等比数列{}n a ，1231237,8a a a a a a ++==，则n a = ②已知数列{}n a 是等比数列，且210,30m m S S ==，则3m S =③在等比数列{}n a 中，公比2q =，前99项的和9956S =，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+=④在等比数列{}n a 中，若394,1a a ==，则6a = ；若3114,1a a ==，则7a =⑤在等比数列{}n a 中，()5615160,a a a a a a b +=≠+=，则2526a a +=参考答案一、 1-5 B A C B C 6-10 C B A B A 二、 1、0 2、6 3、1650 4、-10 5、3 6、6三．．2、①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<- ∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.3、解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d ，∴14d =，∴172(1)44n n b n +=+-⨯=1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又，∴43nn ab -=即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项．（1）当n=12时，4n －3=4×12－3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项；（2）由4n －3=29,得n=8，故新数列的第29项是原数列的第8项。
1 B 3—10ABDCABAB C13 15 14 3 15 1/3 16 13/16解：①212328a a a a == ∴22a = ∴1311335144a a a a a a +==⎧⎧⇒⎨⎨⋅==⎩⎩ 或 1341a a =⎧⎨=⎩当1231,2,4a a a ===时，12,2n n q a -==当1234,2,1a a a ===时，111,422n n q a -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭②()()2232370m m m m m m S S S S S S -=⋅-⇒=③设114797225898336999b a a a a b a a a a b a a a a =+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 则1223,b q b b q b ==，且12356b b b ++=∴()21156b q q =++= 即1568124b ==++ ∴23132b b q ==④2639a a a =⋅ 62a =± 27311a a a =⋅ 72a =（-2舍去） ∵当72a =-时，447340a a q q ==>⑤1015162526561516a a a a q a a a a ++==++ ∴()221516252656a a b a a a a a ++==+。