高中数学 专题24 解三角形中的最值、范围问题

专题24 解三角形中的最值、范围问题

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解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.

1、正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行

例如：（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-=

（2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式）

（3）22sin sin sin bc B C a A

= 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-

变式：()()2

221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值

4、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<

其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.

5、解三角形中处理不等关系的几种方法

（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为

求函数的值域（最值）

（2）利用均值不等式求得最值

【经典例题】

例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.

例2.【2018届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在

中，角A,B,C 所对的边分别为，则实数a 的取值范围是____________.

例3.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____． 例4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．

例5.【2018届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.

(1)求角的大小；

(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.

例6.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且

. （Ⅰ）求角；

（II ）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.

例7.【2018届四川省资阳市高三4月（三诊）】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a b A B +- ()sin sin c C B =-．

（1）求A ．

（2）若4a =，求22b c +的取值范围．

例8．【2018届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos ,cos 44x x m ⎛

⎫= ⎪⎝⎭， sin ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝

⎭，设函数()f x m n =⋅．

（1）求函数()f x 的单调增区间；

（2）设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，且a ， b ， c 成等比数列，求()f B 的取值范围．

例9.【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC ∆中， ,,A B C 对边为,,a b c ，

()()()222sin 3cos b a c B C ac A C --+=+

（1）求A 的大小； （2）求代数式

b c a +的取值范围. 例10.【2018届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量

()()2,cos ,,cos m b c B n a A =-=-，且//m n .

（1）求角A 的值；

（2）已知ABC ∆的外接圆半径为233

，求ABC ∆周长的取值范围. 【精选精练】

1.【2018届东莞市高三第二次考试】在

中，若，则的取值范围为( ) A. B. C. D.

2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在

中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )

A. B. C. D.

3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD 中， 2AB =， 1BC CD DA ===，设ABD ∆、BCD ∆的面积分别为1S 、2S ，则当2212S S +取最大值时， BD =__________．

4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.

5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设

的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．

6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为