江苏省盐城市建湖二中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年江苏省盐城市建湖二中高一（下）期中数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
1．直线y=2x﹣5在y轴上的截距是______．
2．已知A（3，2），B（2，3），则线段AB的长度为______．
3．已知圆心坐标为（﹣1，1），半径是2的圆的标准方程：______．
4．若直线ax+3y﹣2=0过点A（2，4），则a=______．
5．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=______．
6．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是______．
7．已知直线l1：ax+4y+1=0与直线l2：（4﹣a）x﹣y+a=0，若l1⊥l2，则实数a=______．8．已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=______．
9．已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0，圆C2：x2+y2﹣4y﹣5=0，两圆的位置关系______．10．两条平行线4x+3y+1=0与8x+6y﹣9=0的距离是______．
11．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列为真的序号是______ （1）若m∥l，m∥α，则l∥α；
（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；
（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β
12．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值为______．
13．直线y=x+m与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是______．
14．设圆O：x2+y2=，直线l：x+3y﹣8=0，点A∈l，圆O上存在点B且∠OAB=30°（O 为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围______．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=cos2﹣sin cos﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若，求sin2α的值．
16．正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．
17．已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：
（1）AB边上的高所在直线的方程；
（2）AC边上的中线所在直线的方程；
（3）△ABC外接圆方程．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
19．已知：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（m+1）x+（2m+1）y﹣7m﹣4=0．
求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；
（2）求证：不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；
（3）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．
20．已知圆M（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）过点T（﹣3，﹣3），圆M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C，设P点为T点关于x+y+2=0的对称点．
（1）求圆C方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若△PEF是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP 和AB是否平行，并说明理由．
2015-2016学年江苏省盐城市建湖二中高一（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上
1．直线y=2x﹣5在y轴上的截距是﹣5．
【考点】直线的斜截式方程．
【分析】令x=0，求出y的值即可．
【解答】解：∵令x=0，则y=﹣5，
∴直线y=2x﹣5在y轴上的截距是﹣5．
故答案为：﹣5．
2．已知A（3，2），B（2，3），则线段AB的长度为．
【考点】两点间距离公式的应用．
【分析】根据平面内两点间的距离公式，直接计算即可．
【解答】解：∵A（3，2），B（2，3），
∴线段AB的长度为|AB|==．
故答案为：．
3．已知圆心坐标为（﹣1，1），半径是2的圆的标准方程：（x+1）2+（y﹣1）2=12．【考点】圆的标准方程．
【分析】直接由圆心坐标和半径代入圆的标准方程得答案．
【解答】解：∵圆心坐标为（﹣1，1），半径是2，
∴圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣1）2=12．
故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=12．
4．若直线ax+3y﹣2=0过点A（2，4），则a=﹣5．
【考点】直线的一般式方程．
【分析】直接将A代入直线方程，从而求出a的值即可．
【解答】解：将A（2，4）代入直线ax+3y﹣2=0，
得：2a+12﹣2=0，解得：a=﹣5，
故答案为：﹣5．
5．设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．
【分析】通过向量的垂直，其数量积为0，建立关于x的等式，得出x求出向量，推出，然后求出模．
【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且，
所以x﹣2=0，所以=（2，1），
所以=（3，﹣1），
则==，
故答案为：．
6．已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是48．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由已知正四棱锥的底面边长是6，高为，可以求出棱锥的侧高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．
【解答】解：∵正四棱锥的底面边长是6，高为，
正四棱锥的侧高为=4
∴正四棱锥的侧面积是4××6×4=48
故答案为：48
7．已知直线l1：ax+4y+1=0与直线l2：（4﹣a）x﹣y+a=0，若l1⊥l2，则实数a=2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】求出两条直线的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出a的值．
【解答】解：∵直线l1：ax+4y+1=0，与直线l2：（4﹣a）x﹣y+a=0，
∴k1=﹣，k2=4﹣a
因为两条直线的斜率都存在，且l1⊥l2，
∴k1•k2=﹣1，
即（4﹣a）•（﹣）=﹣1，
解得a=2．
故答案为：2．
8．已知α为第二象限角，sinα+cosα=，则cos2α=﹣．
【考点】二倍角的余弦．
【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα的值，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α．
【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，
∴sin2α=﹣，①
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，
∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=，②
∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=﹣×=﹣．
故答案为：﹣．
9．已知圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0，圆C2：x2+y2﹣4y﹣5=0，两圆的位置关系相交．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之差，可得两个圆关系．
【解答】解：由于圆C1：x2+y2﹣6x﹣7=0，即（x﹣3）2+y2=16，表示以C1（3，0）为圆心，半径等于4的圆．
圆C2：x2+y2﹣4y﹣5=0，即x2+（y﹣2）2=9，表示以C2（0，2）为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于=，∵，4﹣3＜＜4+3，故两个圆相交．
故答案为：相交．
10．两条平行线4x+3y+1=0与8x+6y﹣9=0的距离是．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得结果．
【解答】解：直线4x+3y+1=0可化为8x+6y+2=0，
所以平行线8x+6y+2=0与8x+6y﹣9=0的距离是
d==，
即平行线4x+3y+1=0与8x+6y﹣9=0的距离是．
故答案为：．
11．设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列为真的序号是（3）（1）若m∥l，m∥α，则l∥α；
（2）若m⊥α，l⊥m，则l∥α；
（3）若α∥β，l⊥α，m∥β，则l⊥m；
（4）若m⊂α，m∥β，l⊂β，l∥α，则α∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据条件举出反例或给出证明逐项判断各真假．
【解答】解：对于（1），当l⊂α时，结论显然不成立；故（1）为假．
对于（2），当l⊂α时，结论显然不成立；故（2）为假．
对于（3），∵α∥β，l⊥α，∴l⊥β，
∵m∥β，∴存在直线m′⊂β，使得m∥m′，
∴l⊥m′，∴l⊥m．故（3）正确．
对于（4），若α∩β=b，m∥b∥l，显然符合条件，但结论不成立，故（4）为假．
故答案为：（3）．
12．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，且|φ|＜的部分图象如图所示，则f（π）的值
为﹣．
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解析：由图可知，∴ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）．
∵，∴．再根据，
∴，∴，∴，
故答案为：﹣．
13．直线y=x+m与曲线有两个交点，则实数m的取值范围是．【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分，把斜率是1的直线平行移动，即可求得结论．
【解答】解：表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．
作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右移动，
可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，
直线与曲线相切时的m值为2，直线与曲线有两个交点时的m值为1，
则
故答案为：
14．设圆O：x2+y2=，直线l：x+3y﹣8=0，点A∈l，圆O上存在点B且∠OAB=30°（O
为坐标原点），则点A的纵坐标的取值范围[]．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】依题意∠OAB=30°，则A与B连线与圆相切时∠OAB最大，设出A的坐标，求出|OA|的距离，即可求出A的纵坐标的取值范围．
【解答】解：过点A作圆的切线AB，B为切点，设点A（8﹣3m，m），
由题意得，A与B连线与圆相切时∠OAB最大，∴sin∠OAB==≥，
解得：≤m≤，
故答案为：[]．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=cos2﹣sin cos﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若，求sin2α的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．
【分析】（Ⅰ）将化为f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函数的二倍角公式与诱导公式可求得sin2α的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sin cos﹣
=（1+cosx）﹣sinx﹣
=cos（x+）．
∴函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[﹣，]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=，
∴cos（α+）=，
∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+）
=1﹣2
=1﹣
=．
16．正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，且AE⊥平面CDE．（1）求证：AB∥平面CDE；
（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；
（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE．【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，
又AB⊄平面CDE，
CD⊂平面CDE，
所以AB∥平面CDE．
（2）因为AE⊥平面CDE，
且CD⊂平面CDE，
所以AE⊥CD，
又正方形ABCD中，CD⊥AD
且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，
所以CD⊥平面ADE，
又CD⊂平面ABCD，
所以平面ABCD⊥平面ADE．（14分
17．已知△ABC的顶点A（3，2），B（1，0），C（﹣1，4），求：
（1）AB边上的高所在直线的方程；
（2）AC边上的中线所在直线的方程；
（3）△ABC外接圆方程．
【考点】圆的标准方程；待定系数法求直线方程．
【分析】（1）求出AB边上的高的斜率为﹣1，可得AB边上的高所在直线的方程；
（2）求出AC的中点坐标，即可求AC边上的中线所在直线的方程；
（3）利用待定系数法求△ABC外接圆方程．
【解答】解：（1）k AB==1，
∴AB边上的高的斜率为﹣1，
∴AB边上的高所在直线的方程为y﹣4=﹣（x+1），即x+y﹣3=0；
（2）AC的中点坐标为（1，3），∴AC边上的中线所在直线的方程为x=1；
（3）△ABC外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．则
∴D=﹣，E=﹣，F=，
∴△ABC外接圆方程为x2+y2﹣x﹣y+=0．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）联立得：，
解得：，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
19．已知：圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（m+1）x+（2m+1）y﹣7m﹣4=0．
求：（1）求直线l恒过定点P的坐标；
（2）求证：不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；
（3）求直线l被圆M截得的弦长最小时的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）把已知直线方程变形，得到m（x+2y﹣7）+x+y﹣4=0，联立求
得定点P的坐标；
（2）把P的坐标代入圆的方程，可得P在圆内部，则直线l与圆恒有两个交点；
（3）由题意可知，当直线l⊥CP时，直线l被圆M截得的弦长最小，由此求得弦长最小时的直线方程．
【解答】解：（1）由直线l：（m+1）x+（2m+1）y﹣7m﹣4=0，
得m（x+2y﹣7）+x+y﹣4=0，
联立，
解得，
∴直线l恒过定点P的坐标为（1，3）；
证明：（2）∵（1﹣1）2+（3﹣2）2=1＜25，
∴点P在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25内，
故不论m取何值，直线l与圆恒有两个交点；
解：（3）当直线l⊥CP时，直线l被圆M截得的弦长最小，
∵P（1，3），C（1，2），
∴直线CP的斜率不存在，
则k l=0，直线l的方程为y=3．
20．已知圆M（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）过点T（﹣3，﹣3），圆M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C，设P点为T点关于x+y+2=0的对称点．
（1）求圆C方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB分别与x轴的交点分别为E，F，若△PEF是以P为顶点的等腰三角形，O为坐标原点，试判断直线OP 和AB是否平行，并说明理由．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）由圆M的方程求出圆心坐标，再求出M关于直线x+y+2=0对称点C的坐标，结合圆M过T求出半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）求出P的坐标，设Q（x0，y0），可得=，设D
（），则的最小值为圆x2+y2=2上的点与D的距离的最小值的平方减，
则的最小值可求；
（3）点P（1，1）在圆C上，由题意可知，直线PA，PB的斜率都存在且互为相反数，分别设出PA，PB的方程，联立直线方程和冤案的方程求出A，B的坐标，进一步求出直线
AB的斜率，可得=1，又k OP=1，得OP∥AB．
【解答】解：（1）圆M（x+2）2+（y+2）2=r2的圆心坐标为M（﹣2，﹣2），
设M关于直线x+y+2=0对称的圆为圆C（a，b），则，
解得：a=b=0，又圆M过点T（﹣3，﹣3），
∴r2=2，
则圆C的方程为x2+y2=2；
（2）设P（x，y），则，解得，
∴P（1，1），
设Q（x0，y0），
则=（x0﹣1，y0﹣1）•（x0+2，y0+2）=（x0﹣1）（x0+2）+（y0﹣1）（y0+2）
==，
设D（），则的最小值为圆x2+y2=2上的点与D的距离的最小值的平方
减．
∵，
∴的最小值为；
（3）∵点P（1，1）在圆C上，由题意可知，直线PA，PB的斜率都存在且互为相反数，设PA：y﹣1=k（x﹣1），即y=kx﹣k+1，则PB：y=﹣kx+k+1，
由，得（1+k2）x2+（2k﹣2k2）x+k2﹣2k﹣1=0．
∵x=1满足方程，
∴，同理，
∴=，又k OP=1，
∴OP∥AB．
2016年9月19日。