新课标版数学必修二(A版)单元卷3高考调研精讲精练

第三章测试卷
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．若直线l 的斜率为－3，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
答案 C
解析 设倾斜角为α，则tanα＝－3，又∵0°≤α<180°，∴α＝120°.
2．如图所示，已知M(1，0)，N(－1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段MN 相交，则b 的取值范围是( )
A ．[－2，2]
B ．[－1，1]
C ．[－12，12]
D ．[0，2]
答案 A
3．若三点A(2，2)，B(a ，0)，C(0，b)(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b ＝( )
A.12 B ．2 C ．－12
D ．－2 答案 A
解析 直线BC 的方程为x a ＋y b ＝1，又A 在直线BC 上，∴2a ＋2b ＝1，∴1a ＋1b ＝1
2.
4．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A ．(－16，1
2)
B ．(12，－16)
C ．(12，16)
D ．(16，－12)
答案 B
解析 由已知得a ＝1－2b ，代入直线ax ＋3y ＋b ＝0，
得(1－2b)x ＋3y ＋b ＝0，即b(1－2x)＋3y ＋x ＝0，
解⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＝0，3y ＋x ＝0，得⎩
⎨⎧x ＝1
2
，y ＝－16
.
所以此直线必过定点(12，－16)．
5．两条直线x －2y ＋3＝0和2x －y ＋3＝0关于直线x －ay ＝0对称，则实数a ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2
答案 B
解析 由已知得两直线的交点在x －ay ＝0上，又⎩
⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x －y ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，
y ＝1，代入得a ＝－
1.
6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0
答案 A
解析 设P(2，y 0)，因为P 点在直线x －y ＋1＝0上，所以y 0＝3，故P(2，3)，又因为|PA|＝|PB|，所以两直线斜率互为相反数，故k PB ＝－1，由点斜式方程，得直线PB 方程为y －3＝－1(x －2)，即x ＋y －5＝0.
7．△ABC 的顶点为A(7，－1)，B(－1，5)，C(2，1)，则AB 边上中线长是( ) A ．6 B.113 C ．413 D. 2
答案 D
8．点P 为y 轴上一点，且点P 到直线3x －4y ＋3＝0的距离等于1，则点P 的坐标为( ) A ．(0，1
2
)
B ．(0，2)
C ．(0，－1
2)或(0，2)
D ．(0，1
2)或(0，－2)
答案 C
解析 依题意，设P(0，y 0)，则d ＝
|－4y 0＋3|32＋（－4）
2
＝1，即|4y 0－3|＝5，解得y 0＝－1
2或2，
所以点P 的坐标为(0，－1
2
)或(0，2)．故选C.
9．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13 B ．－1
3
C ．－32
D.23
答案 B
解析 依题意，设点P(a ，1)，Q(7，b)，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋72＝1，
1＋b 2＝－1，解得a ＝－5，b
＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5
＝－1
3.选B.
10．等腰直角三角形△ABC 的直角顶点为C(3，3)，若点A 的坐标为(0，4)，则点B 的坐标可能是( ) A ．(2，0)或(4，6) B ．(2，0)或(6，4) C ．(4，6) D ．(0，2) 答案 A
解析 设B(x ，y)，则根据题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧k AC ·k BC ＝－1，
|BC|＝|AC|，
即⎩⎪⎨⎪⎧3－43－0·
y －3
x －3＝－1，（x －3）2
＋（y －3）2
＝
（0－3）2＋（4－3）2.
整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，
所以B(2，0)或B(4，6)．
11．两直线l 1：ax ＋by ＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若直线l 1，l 2同时平行于直线l ：x ＋2y ＋3＝0，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3
2，b ＝－3
B ．a ＝2
3，b ＝－3
C ．a ＝3
2，b ＝3
D ．a ＝2
3
，b ＝3
答案 C
解析 将直线的方程都化为斜截式l 1：y ＝－a b x ，l 2：y ＝(1－a)x －b ，l ：y ＝－12x －3
2
.
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a b ＝－1
2
，1－a ＝－12，b ≠32，
∴a ＝3
2
，b ＝3.
12．一束光线从点M(5，3)射出，与x 轴正方向成α角，遇x 轴后反射，若tanα＝3，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －18 B ．y ＝－3x －12 C ．y ＝3x ＋12 D ．y ＝－3x ＋18
答案 A
解析 由光学原理知，反射光线与入射光线的倾斜角互补，由题意知反射光线与x 轴正方向成α角且tanα＝3，则反射光线所在直线的斜率为3，且反射光线经过点M(5，3)关于x 轴的对称点M′(5，－3)，则反射光线所在直线的点斜式方程为y －(－3)＝3(x －5)，即y ＝3x －18.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．把直线3x －y ＋2＋3＝0绕点(－1，2)旋转30°，所得到的直线方程是________． 答案 x ＋1＝0或x －3y ＋23＋1＝0
解析 直线3x －y ＋2＋3＝0的倾斜角为60°，且过点(－1，2)， 当直线逆时针旋转30°时，倾斜角为90°，直线方程为x ＋1＝0； 当直线顺时针旋转30°时，倾斜角为30°，斜率为
33，直线方程为y －2＝3
3(x ＋1)，即x －3y ＋1＋23＝0.综上，所求直线方程为x ＋1＝0或x －3y ＋23＋1＝0. 14．直线x 3＋y
4＝t 被两坐标轴截得的线段长度为1，则t ＝________．
答案 ±1
5
解析 直线与x ，y 轴的交点分别为(3t ，0)和(0，4t)，所以线段长为（3t ）2＋（4t ）2＝1，
解得t ＝±1
5
.
15．已知实数x ，y 满足5x ＋12y ＝60，则x 2＋y 2的最小值等于________． 答案
6013
解析 ∵
x 2＋y 2表示直线上任一点到原点的距离，
∴由几何意义知
x 2＋y 2的最小值即为原点到直线
5x ＋12y ＝60的距离，d ＝
6025＋144
＝6013
. 16．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．
答案 －1
2
解析 因为y ＝|x －a|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a －1，x ≥a ，
－x ＋a －1，x<a ，
所以该函数的大致图象如图所示．又直线y
＝2a 与函数y ＝|x －a|－1的图象只有一个交点，则2a ＝－1，即a ＝－1
2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)根据下列条件求出直线l 的方程． (1)在x 轴上的截距为－2，在y 轴上的截距为－3； (2)经过A(－5，2)，且横、纵截距相等． 答案 (1)3x ＋2y ＋6＝0； (2)x ＋y ＋3＝0或2x ＋5y ＝0.
18．(12分)已知直线l 平行于直线3x ＋4y －7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l 的方程． 解析 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0.
当y ＝0时，x ＝－m 3.当x ＝0时，y ＝－m
4.
∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴1
2·⎪⎪⎪⎪－m 3·⎪⎪⎪
⎪－m 4＝24.∴m ＝±24. ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.
19．(12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0. (1)若l 1与l 2交于点P(m ，－1)，求m ，n 的值； (2)若l 1∥l 2，试确定m ，n 需要满足的条件；
(3)若l 1⊥l 2，试确定m ，n 需要满足的条件． 解析 (1)将点P(m ，－1)分别代入两条直线方程得 m 2－8＋n ＝0和2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7. (2)由l 1∥l 2，得m 2－8×2＝0⇒m ＝±4.
又两直线不能重合，所以8×(－1)－nm ≠0，对应得n ≠∓2， 所以当m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.
(3)当m ＝0时，直线l 1：y ＝－n 8和l 2：x ＝1
2，此时l 1⊥l 2；当m ≠0时，此时两直线的斜率之
积等于1
4
，显然l 1与l 2不垂直，所以当m ＝0，n ∈R 时直线l 1和l 2垂直．
20．(12分)在△ABC 中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且边AC 的中点M 在y 轴上，边BC 的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．
解析 (1)设C(x 0，y 0)，则AC 中点M(5＋x 02，y 0－2
2)，
BC 中点N(7＋x 02，y 0＋3
2
)．
∵M 在y 轴上，∴5＋x 0
2＝0，∴x 0＝－5.
∵N 在x 轴上，∴y 0＋3
2＝0，∴y 0＝－3.
即C(－5，－3)．
(2)∵M(0，－5
2
)，N(1，0)．
∴由截距式得，直线MN 的方程为x 1＋y
－52
＝1，即5x －2y －5＝0.
21．(12分)已知正方形的中心为直线x －y ＋1＝0和2x ＋y ＋2＝0的交点，正方形一边所在直线方程为x ＋3y －2＝0，求其他三边所在直线方程．
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1，
y ＝0，
∴正方形中心的坐标为(－1，0)．
设正方形相邻两边方程为x ＋3y ＋m ＝0或3x －y ＋n ＝0.
∵正方形中心到各边距离相等，∴|－1＋m|10＝|－1－2|12＋32
＝310，|－3＋n|10＝3
10.
∴m ＝4或m ＝－2，n ＝6或n ＝0.
∴其余三边方程为x ＋3y ＋4＝0，3x －y ＝0，3x －y ＋6＝0.
22．(12分)已知△ABC 的顶点A 在坐标原点，AB 边上的高所在直线方程为3x －y －9＝0，AC 边上的中线所在直线方程为x ＋2y －4＝0，求点B 与点C 的坐标．
解析 过点A(0，0)且与3x －y －9＝0垂直的直线方程为y ＝－1
3x ，它为直线AB 的方程．
直线AB 与x ＋2y －4＝0的交点即为B 点． ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x ，x ＋2y －4＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，
y ＝－4，即B(12，－4)．
设点C(x 0，y 0)，点C 在直线3x －y －9＝0上，AC 中点在直线x ＋2y －4＝0上，AC 中点为
(x 02，y 02)，于是⎩⎪⎨⎪⎧3x 0－y 0－9＝0，x 02＋2·y 02－4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝26
7，y 0＝157.
故点C 的坐标为(267，15
7)．。