中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练含详细答案(1)

一、直角三角形的边角关系

1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60︒︒,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）

35. 【解析】

【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC=

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3，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，

在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ︒=6012

=120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，

则'60A E AC ==， '30

CE AA ==3

在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3

∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235

答：从无人机'A 上看目标D 235

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

2．如图，海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．

（1）求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；

（2）若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D 处成功拦截．（结果保留根号）

（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）

【答案】（1）观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617D 处成功拦截.

【解析】

【分析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB ＝90°，再解Rt △ABC ，利用正弦函数定义得出AC 即可；

（2）过点C 作CM ⊥AB 于点M ，易知，D 、C 、M 在一条直线上．解Rt △AMC ，求出CM 、AM ．解Rt △AMD 中，求出DM 、AD ，得出CD ．设缉私艇的速度为x 海里/小时，根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程，解方程即可．

【详解】

（1）在ABC △中，180180375390ACB B BAC ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=.

在Rt ABC V 中，sin AC B AB =，所以3sin 3725155

AC AB ︒=⋅=⨯=（海里）. 答：观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.

（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为M ，由题意易知，D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中，4sin 15125

CM AC CAM =⋅∠=⨯=，

3cos 1595AM AC CAM =⋅∠=⨯=. 在Rt ADM △中，tan MD DAM AM

∠=， 所以tan 7636MD AM ︒=⋅=.

所以222293691724AD AM MD CD MD MC =+=+==-=，.

设缉私艇的速度为v 海里/小时，则有

2491716v

=，解得617v =. 经检验，617v =是原方程的解. 答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D 处成功拦截.

【点睛】

此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连接DE ，OE ．

（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；

（2）求证：BC 2＝2CD•OE ；

（3）若314cos ,53

BAD BE ∠==，求OE 的长．

【答案】（1）DE 为⊙O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =

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． 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，BD ，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB 为直角，可得出△BCD 为直角三角形，E 为斜边BC 的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE ，从而得∠C=∠CDE ，再由OA=OD ，得∠A=∠ADO ，由Rt △ABC 中两锐角互

余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；

（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；

（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．

试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：

连接OD，BD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，

∴CE=DE=BE=BC，

∴∠C=∠CDE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠ABC=90°，

∴∠C+∠A=90°，

∴∠ADO+∠CDE=90°，

∴∠ODE=90°，

∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，

∴DE为⊙O的切线；

（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，

∴OE是△ABC的中位线，

∴AC=2OE，

∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即BC2=AC•CD．

∴BC2=2CD•OE；

（3）解：∵cos∠BAD=，

∴sin∠BAC=，