指数函数、对数函数、幂函数增长比较

4 24
y=log2x
对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似
值)比较
借
自变量x
函数值
y=2x
y=x100(x>0) y=log2x
助
···
···
···
···
计
1
2
1
0
1.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0
算
10
指数函数、对数函数、幂 函数增长比较
一粒米的故事
从前，有一个国王特别喜爱一项称为“国际象棋”的游 戏，于是他决定奖赏国际象棋的发明者，满足他的一个心愿.
“陛下，我深感荣幸，我的愿望是你赏我几粒米.”发明者 说. “只是几粒米？”国王回答说. “是的，只要在棋盘的第 一格放上一粒米，在第二格放上两粒米，在第三个加倍放上 四粒米…以此类推，每一格均是前一格的两倍，直到放慢棋 盘为止，这就是我的愿望.” 国王很高兴. “如此廉价便可以 换的如此好的游戏，我的祖辈们一定是恩泽于我了."国王想. 于是国王大声地说“好！把棋盘拿出来让我的臣子们一起见 证我们的协议” ……
1 024
10100 3.321 928 1
器
100
1.27×1030
10200 6.643 856 2
300
2.04×1090 5.15×10247 8.228 818 7
完
500
3.27×10150 7.89×10269 8.965 784 3
成 右
700
5.26×10210 3.23×10284 9.451 211 1
性 过点（1，0），即当x=1时，y=0
质 x(0,1) y0
x(1,) y 0
x(0,1) y0
x(1,) y0
在（0，+∞）上是 在（0，+∞）上是
增 函数
减 函数
指数函数
当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并且对于x ＞0，当a越大时，其函数值的增长就越快。
y 3x y 2x
对数函数
∵x＝12时，y＝x2＝14， ∴只要 x＝12时，y＝logm12≥14＝logmm14 . ∴12≤m14 ，即116≤m. 又 0<m<1，∴116≤m<1. 故所求 m 的取值范围是116，1. [方法总结] 本题主要考查了数形结合和问题转化的思 想方法．
再见
(-1,-1)
当a>0时，图象随x增大而上升
-2
当a<0时，图象随x增大而下降
-3
-4
2.指数函数 y a x 的图像与性质
a>1
图
像
2
0<a<1
2
定义域：R
值域：（0，+∞）
性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
过点（0，1）
当 x>0 时 y>1
质
当 x<0 时 0<y<1
是 R 上的增函数
当 x>0 时 0<y<1 当 x<0 时 y>1
对数函数ylog22xx增长最慢幂函数yyx22和指数函数y2xx快慢则交替进行在02幂函数比指数函数增长快在4指数函数比幂函数增长快自变量x函数值y2xyx100x0ylog2x12101007004420097338200972580010071010102410100332192811001271030102006643856230020410905151024782288187500327101507891026989657843700526102103231028494512111900845102702661029598137812996670102996701029999610001071030110300996578431100136103311381030410103287812001721036182810307102288187借助计算器完成右表对函数yy2xxyyxx100xx0yylog22xx的函数值取近似值比较x的变化化区间函数值的变化量y2xyx100x0ylog2x11010231010013321928110100127103010200332192811003002041090515102471584962530050032710150789102690736965650070052610210323102840485426870090084510270266102950362570190010001071030110300015200311000110013610331138103040137503511001200172103618281030701255309利用上表完成右表利用上表完成右表对函数yy2xxyyxx100xx0yylog22xx的函数值取近似值比较11随着xx的值越大yylog22xx的函数值增长的越来越慢yy2xx和yyxx100的函数值增长的越来越快yylog22xx增长比yy2xx和yyxx100要慢的多
上
(300,500)
3.27×10150 7.89×10269 0.736 965 6
表
(500,700)
5.26×10210 3.23×10284 0.485 426 8
完 (700,900) 8.45×10270 2.66×10295 0.362 570 1
成 右
(900,1000)
1.07×10301
思考：国王真的能够满足围棋发明者的愿望吗？
1.幂函数：
如果一个函数，底数是自变量x,指数是常数 ，
即 y x
这样的函数称为幂函数.
幂函 数的 图像
-6
(-2,4)
4 y=x3 (2,4) y=x2
3
y=x
1
y=x2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
y=x0
-4
-2
2
4
6
-1 在第一象限内，
当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，并且对 于x＞1，当a越小时，其函数值的增长就越快。
y
y=log2x
y=log3x y=log5x
O (1,0)
x
幂函数
当x＞0，n＞1时，幂函数y=xn是增函数，并且对 于x＞1，当n越大时，其函数值的增长就越快。
y=x2 y y=x4
6 5 4 3 2 1
令第x天,回报为y元 • 投资8天以上选方案三
方案一: y=40
方案二: y=10x(x∈N+)
方案三: y=2x-1·0.4(x∈N+)
例2、0.32，log20.3，20.3这三个数之间 大小关系是( D ) A. 0.32＜20.3＜log20.3; B. 0.32＜log20.3＜20.3; C. log20.3＜20.3＜0.32; D. log20.3＜0.32＜20.3;
2、对函数y=2x和y=x100而言 在x比较小时，会存在y=x100比y=2x的增长快
的情况。
当x比较大时，y=2x比y=x100增长得更快。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
在区间(0,＋∞)上,当a＞1,n＞0时,当x足够大时, 随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过 并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速
10300
0.152 003 1
表 (1000,1100) 1.36×10331 1.38×10304 0.137 503 5
(1100,1200) 1.72×10361 8.28×10307 0.125 530 9
对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似
值)比较
1、随着x的值越大，y=log2x的函数值增长的越 来越慢，y=2x和y=x100的函数值增长的 越来越快 y=log2x增长比y=2x和y=x100要慢的多。
是 R 上的减函数
3.对数函数 y=logax (a>0，且 a≠1)
a>1
0<a<1
图 象
3 2.5
2 1.5
11
0.5
-1
0
- 0.5
-1
- 1.5
-2
- 2.5
11
2
3
4
5
6
7
8
3 2.5
2 1.5
11
0.5
-1
0
- 0.5
-1
- 1.5
-2
- 2.5
11
2
3
4
5
6
7
8
（0,+∞）定义域：
(,) 值域：
900
8.45×10270 2.66×10295 9.813 781 2
996
6.70×10299 6.70×10299
9.96
表
1 000
1.07×10301
10300
9.965 784 3
1 100 1.36×10331 1.38×10304 10.1032878
1 200 1.72×10361 8.28×10307 10.2288187
···
···
···
···
x 的变
函数值的变化量
化区间 (1,10)
y=2x
1023
y=x100(x>0) y=log2x
10100－1 3.321 928 1
利 用
(10,100) (100,300)
1.27×1030
10200 3.321 928 1
2.04×1090 5.15×10247 1.584 962 5
[例 4] 若不等式 x2－logmx<0 在0，12内恒成立，求实数 m 的取值范围．
[分析] 由 x2－logmx<0 得 x2<logmx，把不等式的两边分 别看做两个函数，利用数形结合的方法，通过图像进行转化．
[解析] 由 x2－logmx<0 得 x2<logmx. 在同一坐标系中作 y＝x2 和 y＝logmx 的图像， 要使 x2<logmx 在0，12内恒成立， 只需 y＝logmx 在0，12内的图像在 y＝x2 的上方，于是 0<m<1，如图所示．
度则越来越慢.
因此,总会存在一个x0，. 使得当x＞x0时，一定有ax＞xn＞logax
指数函数值长非常快,因而常称这种现象为 “指数爆炸”
现在回答下：国王能满足他吗？
[正解] 显然是指数函数 f(x)＝2x－1(x∈{1,2,3，…，64}) 的模型，本题实际上是求 64 个函数值的和，我们不妨求 f(64) ＝263≈9.22×1018.假定每 1000 颗麦子重 40 克，f(64)≈3500 亿吨．显然国王不能满足发明者的要求．
例1、 假设你有一笔资金用于投资，现有三种 投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天 多回报10元；
方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报 比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
分析
• 投资7天以下选方案一 • 投资7－8天以下选方案二
-3 -2 -1 O 1 2 3 x
思考？
对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增 长快慢有何差别呢?
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=x2 y=2x
16
对数函数 y=log2x增长最慢 幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交 替进行 在(0,2)，幂函数比指数函数增长快 在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快