算法设计与分析课程报告

算法设计与分析课程报告
第一章算法问题求解基础
1、算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。

2、算法的特性
①有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束；
②确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义；
③输入：一个算法有0个或多个输入，以刻画运算对象的初始情况，所谓0个输入是指算法本身定除了初始条件；
④输出：一个算法有一个或多个输出，以反映对输入数据加工后的结果。

没有输出的算法是毫无意义的；
⑤可行性：算法原则上能够精确地运行，而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成
3、算法与程序的关系：
区别：程序可以不一定满足可终止性。

但算法必须在有限时间内结束；
程序可以没有输出,而算法则必须有输出；
算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。

联系：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；
程序可以不满足算法的有限性性质。

4、算法描述方式：自然语言，流程图，伪代码，高级语言。

第二章算法分析基础
1、算法复杂性分析：
算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资源（时间，空间）的多少。

算法复杂性度量：
期望反映算法本身性能，与环境无关。

理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响）。

一般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单位的开销作为标准。

算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。

即C=F(N, I, A)。

第五章分治法
1、递归算法：直接或间接地调用自身的算法。

用函数自身给出定义的函数称为递归函数。

注：边界条件与递归方程是递归函数的二个要素。

实例：①阶乘函数；
②Fibonacci数列；
③Ackerman函数；
④排列问题；
⑤整数划分问题；
⑥Hanoi塔问题
优缺点：①优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

②缺点：递归算法的运行效率低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。

2、分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

（将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解）
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
①该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
②该问题可以分为若干个规模更小的相同问题，即该问题具有最有子结构性质；
③利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
④该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

第六章贪心法
1、贪心算法的思想：
采用逐步构造最优解的方法。

每个阶段，都作出一个看上去最有的决定。

决策一旦做出，就不可再更改。

其特点如下：
①不能保证最后求得的解是最佳的，即：多半是近似解（少数问题除外）；
②策略容易发现（少数问题除外）；
③策略多样，结果也多样；
④算法实现过程中，通常用到辅助算法：排序；
(1)活动问题安排描述：
活动安排问题是要在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合，是可以用贪心算法有效求解的很好例子。

该问题要求高效地安排一系列争用某一公共资源的活动。

贪心算法提供了一个简单、漂亮的方法使得尽可能多的活动多的活动能兼容地使用公共资源。

贪心算法的证明多使用反证法。

贪心算法的两个重要性质：
①贪心选择性：所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到；即：在当前状态下做出局部最优，然后解这个选择时候产生的子问题。

从全局看来，运用贪心策略解决的问题在程序的运行中无回溯过程；
②最优子结构性质：当一个问题的最优解包含着其它的子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。

该性质是可用动态规划或贪心算法求解的一个关键特性。

贪心算法和动态算法的差异：两者虽然都要求具有最优子结构性质，但是能用动态规划算法求解的问题不一定能用贪心算法来求解。

0-1背包问题描述：给定n种物品和一个背包。

物品i的重量是Wi，其价值是Vi,背包的容量是C。

问:应如何选择装入背包中的物品的总价值最大？
注：在选择装入背包的物品时，对每种物品i中只有两种选择，即装入背包或不装入背包。

不能将物品i装入部分的物品i。

背包问题描述：与0-1背包问题相似，所不同的是在选择物品装入背包时，可以选择物品的一部分，而不一定要全部装入背包。

分析：两个问题相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能。

(2)背包问题的贪心算法描述：
首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。

若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多的装入背包。

依此策略一直到背包装满为止。

第七章动态规划法
1、动态规划算法总体思想：
与分治法类似，其基本思想也是将待求解的问题分解成若干个子问题。

但是，经分解得到的子问题往往不是相互独立的。

不同的的数目常常只有多项式量级。

在分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。

如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

2、基本要素：①最优子结构性质；②重叠子问题性质：递归算法求解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次
3、基本步骤：①找出最优解的性质；
②递归的定义最优值；
③以自底向上的方式计算出最优值；
④根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

4、范例（能够解决的问题）：①矩阵连乘问题；
②最长公共子程序；
③背包问题；
④最优二叉搜索树。

第八章回溯法
1、回溯法的基本思想：
2、回溯法的使用条件：
3、回溯法适用于搜索问题和优化问题。

4、回溯法的设计要素：
5、针对问题定义解空间：
问题解向量
解向量分量取值集合
构造解空间树
6、两类典型的解空间树：
子集树：当所给的问题是从n个元素的集合S中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。

子集树通常有2n个叶结点
排列树：当所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。

排列树通常有n!个叶结点。

判断问题是否满足多米诺性质。

搜索解空间树，确定剪枝函数。

确定存储搜索路径的数据结构。

第九章分支限界法
1、分支限界法的基本思想：
分支界限法类似与回溯法，也是在问题解空间中搜索问题解的一种算法。

2、分支界限法与回溯法思想对比：
求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下
的最优解。

搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。

活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。

在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。

这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。

3、常见的两种分支界限法：
队列式(FIFO)分支限界法：按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。

优先队列式分支限界法：按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。

4、最大堆：最大效益优先
最小堆：最小耗费优先
第十章NP完全问题
1、P类和NP完全问题
2、Cook定理和证明
3、一些经典的NP完全问题
第十三章密码算法
加密方法
总结：
算法设计与分析主要包括三部分：算法和算法分析、算法设计策略、求解困难问题。

其中比较重要的是算法设计策略。

在这一部分中，我学习了分治法、贪心法、动态规划法、回溯法和分支限界法。

但对于0/1背包问题的掌握仍不太熟练，需要多加练习。

PS：感谢老师这一学期的教导，我学到了许多。