第1节常数项级数的概念和性质

若 c 0 为常数, 则 u n 与 cu n
n 1
n 1
n1
n1
有相同的敛散性, 且 cun c un .


证

n
u n 的部分和为 S n u k，
n 1
k 1

n
n
cu n 的部分和为 Sn cuk c uk cSn,
1
3 2
S2k
1k 2
?
由数学归纳法, 得
S 2k
1
k， 2
k = 0, 1, 2,
而
kl im1
k 2


故
lim
n
Sn
不存在,
即调和级数发散.
n 1
2. 级数的敛散性定义

无穷级数 u n 的前 n 项之和：
n 1
n
Sn uk u1u2 un, k1
称为级数的部分和.

若 lni mSn S 存在, 则称级数 u n n 1

S 称为级数的和： un S .
n 1
收敛.
若
lim
n
Sn
不存在 ( 包括为 ) ,ຫໍສະໝຸດ 则称级数 u n 发散.
n 1

例2 讨论等比级数 ar n1 的敛散性.
n 1
解 等比级数的部分和为：
n
Sn ark1
k1
a arn1 r 1 r
a (1 r n ) 1 r
当公比 | r | < 1 时, nl im Snnl im a(1 1 rrn)1 a r ,
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) S1n S2n
故 n l iS m n n l i(S m 1 n S 2 n ) n l iS 1 m n n l iS m 2 n S 1 S 2
综上所述,
当公比 | r | < 1 时, 等比级数收敛；
当公比 | r | 1 时, 等比级数发散.
例3

讨论级数
1
的敛散性.
n1(2n1)(2n1)
解 (2n1 )12 (n1 )1 2 2n 1 12n 1 1
S n 1 2 1 1 3 1 2 1 3 1 5 1 2 1 5 7 1 1 2 2 n 1 1 2 n 1 1
n1
n1

则级(数 unvn)也收 , 且 敛
n1



(unvn)S1S2 un vn.
n1
n1
n1

证
(un vn) 的部分和为：
n1
n
Sn (uk vk) ( u 1 v 1 ) ( u 2 v 2 ) ( u n v n ) k1
n l im S nn l im S n 1
SS0
证明调和级数是发散的:
例5
1111 1 .
n1n 2 3 n
证 调和级数的部分和有：
S1
11， 0 2
S2
S21
1 1， 2
若
1 2

1 a

1 c

1 b
,
则称 b 为 a 与 c 的
此时等比级数收敛, 其和为： S a 。 1 r
当公比 | r | > 1 时, nl im Snnl im a(1 1 rrn).
当公比 r =1时, n l iS m nn l in m a .
当公比 r = 1时, Sn=
a, n为奇数 0, n为偶数 , 故nl im Sn不存. 在

1 2
1
1 2n1
1 1 1 13 35 57
而 nl im Snnl im 1 212n1112

故
1
1
n1(2n1)(2n1) 2
即该级数收敛, 其和为 S 1 . 2
二.无穷级数的基本性质
1. 性质 1
n 1
k1
k1
故 n l iS m n n l ic m n S c n l iS m n


即
u n 与 cu n 同时收敛或同时发散,
n 1
n 1


且有 cun cun.
n1
n1
2. 性质 2


若un与vn收,敛 其和S 分 1和 S别 2, 为
调和中项 .
S4S22
11 21 31 4
1
1 2


1 2

1
2 2
，
S8
S23
11111111
2345678
11 21 31 41 51 67 18 1
1121212
两个发散的级数之和是收敛的还是
发散的？
不一定
3. 性质 3
在一个级数的前面加上或者去掉 有限项后, 所得到的新的级数与原级 数的敛散性相同.
但对收敛级数来说, 它的和将改变.

证 设级数 u n 的部分和为 Sn , 去掉级数的前 n 1 面 m 项后得到的级数 u k 的部分和为 Sk : k m 1
大 学 数 学（一）
—— 一元微积分学
第1节 常数项级数的概念和性质
第七章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质 一. 无穷级数的概念 二. 级数收敛的必要条件 三. 无穷级数的基本性质
一.无穷级数的概念
1.无穷级数的定义
设有数列 {un}: u1 , u2 , …, un , … 则称表达式
不一定
如果加括号后的级数仍发散, 原级 数是否也发散？
原级数也发散
5. 性质5 级数收敛的必要条件

定理
若级数 u n
n 1
收敛,
则必有 nl imun 0.

证
设 un S,
n1
则nl im SnS.
n l iu m n n l i(S m n S n 1 )

即 级数 (un vn) 收敛, 且
n1


(u nvn) u n vnS 1S2
n 1
n 1 n 1
例4
因为等比级数
1 n12n

与
1
n13n
收敛 ,
所以级数
1 n12n
31n
也收.敛
一个收敛级数与一个发散级数的和是 收敛的还是发散的？ 是发散的
数项级. 数
例1 下列各式均为常数项级数
n 12 1n1 21 4 2 1n ;

n12n;
n1

( 1 )n 1 1 1 1 1 ( 1 )n 1 ;
n 1

co ns c1 oc so 2 sco n s.

unu1u2 un
n1
为一个无穷级数, 简称为级数.
称 un 为级数的一般项或通项.

若级数 un的每一 un均 项为常 , 数
n1
则称该级数为数常 . 数项级
若级数的每一项 一均 个为 变同 量的

函数 : un un(x),则称级数 un(x) 为函
n1
S k u m 1 u m 2 u m k
( u 1 u 2 u m ) u m 1 u m 2 u m k
(u1u2 um )
Smk Sm
由于 Sm 当 m 固定时为一常数, 所以
kl im Sk kl im Sm kSm
故 级数

u n 与级数

uk
有相同的敛.散性
n 1
k m 1
4. 性质 4
对收敛的级数加括号后所得到的新 级数仍然收敛, 且其和不变.
在级数运算中, 不能随意加上或去掉括 号, 因为这样做可能改变级数的敛散性.
收敛的级数去掉括号后所成的级数 仍收敛吗？
不一定
发散的级数加括号后所成的级数 是否仍发散？