【优教通,备课参考】2014年高中数学同步教案：第2章 圆锥曲线 双曲线第二课时(北师大版选修1-1)
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质(教学用书)教案 新人教A版选修2
2.3.2 双曲线的简单几何性质学习目标核心素养1．掌握双曲线的简单几何性质．(重点) 2．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(重点)3．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．(难点) 1．通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养．2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养．1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质X围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝ca>1渐近线y＝±ba x y＝±ab x思考：(1)渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示](1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e2＝c2a2＝1＋b2a2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝2．1．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．] 2．双曲线9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，那么m ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4D [方程9y 2－m 2x 2＝1(m ＞0)可化为y 219－x 21m 2＝1(m ＞0)，那么a ＝13，b ＝1m，取顶点⎝⎛⎭⎫0，13，一条渐近线为mx －3y ＝0，所以15＝⎪⎪⎪⎪－3×13m 2＋9，那么m 2＋9＝25．∵m ＞0，∴m ＝4．]3．假设双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，那么双曲线的焦点坐标是________．(－7，0)，(7，0)[由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．]4．离心率e ＝2，经过点M (3，－5)的双曲线的标准方程为________． y 216－x 216＝1[由ca ＝2，得c ＝2a ，∴c 2＝2a 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝b 2． 由点M (3，－5)在y ＝－x 的下方可知双曲线焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2a 2＝1，将点M (3，－5)代入得25a 2－9a2＝1，解得a 2＝16．所以双曲线的标准方程为y 216－x 216＝1．]根据双曲线方程研究几何性质[例1] (1)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，22)，过点(0，－2)的直线l 与双曲线C 的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为23，那么双曲线C 的实轴长为( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．(1)A [双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，那么点(0，－2)到渐近线bx －ay ＝0(或bx ＋ay ＝0)的距离d ＝|2a |a 2＋b2＝2a c ＝23，得c ＝3a ，即b ＝22a ．由双曲线C 过点(2，22)，可得2a 2－88a 2＝1，解得a ＝1，故双曲线C 的实轴长为2a ＝2．] (2)[解] 把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)， 化为标准方程x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m． 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)．所以渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x ．由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置，确定a ，b 的值.(3)由c 2＝a 2＋b 2求出c 值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.[跟进训练]1．(1)以下双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B ．x 24－y 2＝1C ．y 24－x 2＝1D ．y 2－x 24＝1 C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x ．应选C ．] (2)假设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，那么其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22xB [在双曲线中，离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x ．]利用几何性质求双曲线方程[例(1)双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P (6，2)；(2)双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)假设双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6．思路探究：(1)待定系数法求解．(2)由焦点在x 轴上，设出双曲线的方程后，列方程组求解．(3)由渐近线方程为2x ±3y ＝0设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，进而求出λ得解．[解] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∴4a 2－6b2＝1． 由题意得⎩⎨⎧a b ＝23，4a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝3.故所求双曲线方程为3y 24－x 23＝1．(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43． 由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4，∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1．(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3． 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1．故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1．1．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a ，b ，c ，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求解．2．常见双曲线方程的设法(1)渐近线为y ＝±n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0，m >0，n >0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0，A >0，B >0)．(2)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b2＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)离心率相等的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ>0)或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)，这是因为离心率不能确定焦点位置．[跟进训练]2．求满足以下条件的双曲线的标准方程：(1)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(2)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；(3)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．[解](1)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2．故所求双曲线的标准方程为x 26－y 28＝1．(2)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1．(3)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ．当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么b a ＝12．①∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1．②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，那么a b ＝12．③∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1．④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32．∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8．∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1．求双曲线的离心率[例3] (1)假设双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，那么此双曲线的离心率为( )A ．73B ．54 C ．43D ．53(2)A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，那么E 的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ． 2思路探究：(1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程． (1)D (2)D [(1)由题意知b a ＝43，那么e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53．(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，那么∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝2．应选D ．]求双曲线离心率的方法(1)假设可求得a ，c ，那么直接利用e ＝ca得解.(2)假设a ，b ，可直接利用e ＝得解.(3)假设得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋qac ＋ra 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，那么转化为关于e 的方程pe 2＋qe ＋r ＝0求解.[跟进训练]3．(1)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．假设|PQ |＝|OF |，那么C 的离心率为( )A ． 2B ． 3C ．2D ． 5[答案]A(2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ．假设点P 的横坐标为2a ，那么C 的离心率为________．2＋3[如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b 2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝ba ，得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝ca＝2＋3．]直线与双曲线的位置关系[1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？[提示]可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？[提示]四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线． [例4] 双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．(1)假设直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，某某数k 的取值X 围；(2)假设直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，某某数k 的值．思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ〞与“0〞的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解](1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0． ∵直线与双曲线有两个不同的交点，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1．∴假设l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值X 围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝(1＋k 2)(8－4k 2)(1－k 2)2．又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k 2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k 2(1－k 2)2＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62．∴实数k 的值为±62或0．直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式，在a ≠0的情况下考察方程的判别式.①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. ②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点.③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点.当a ＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点. (2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.[跟进训练]4．双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，在以下条件下，某某数k 的取值X 围． (1)直线l 与双曲线有两个公共点； (2)直线l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l 与双曲线没有公共点．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝4，y ＝k (x －1)，消去y 得，(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0．(*)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2>0，1－k 2≠0，即－233<k <233且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．③⎩⎪⎨⎪⎧4－3k 2<0，1－k 2≠0，即k <－233或k >233时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．综上所述，(1)当－233<k <－1或－1<k <1或1<k <233时，直线与双曲线有两个公共点；(2)当k ＝±1或k ＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k <－233或k >233时，直线与双曲线没有公共点．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)，再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形．1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x ．]2．双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，那么a ＝( )A ．2B ．62C ．52D ．1D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1．]3．假设一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，那么该双曲线的方程为________．y 236－x 212＝1[椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，那么双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36．即y 236－x 212＝1．]4．双曲线C 与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，且离心率为2．(1)求双曲线C 的标准方程； (2)求双曲线的渐近线方程．[解] (1)椭圆的焦点坐标为(4,0)，(－4,0)， 所以c ＝4．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为e ＝ca ＝2，所以a ＝2．所以b 2＝c 2－a 2＝12．所以双曲线C 的标准方程为x 24－y 212＝1．(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为x 24－y 212＝0，即y ＝±3x ．。
高中数学优秀教案第二册上.双曲线的第二定义
课 题:8．4双曲线的第二定义教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线,共轭双曲线等概念4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程授课类型：新授课课时安排:1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看,直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴:21A A 长为2a ， a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=,经过21,BB 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x ab y ±=（0=±by ax )，这两条直线就是双曲线的渐近线4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：(1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；(3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x kakb ，那么此双曲线方程就一定是:)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac a c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b ，c 中a ，b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为—1共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征:可设为)0(1222≠=-λλky x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上二、讲解新课：9． 双曲线的第二定义:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ac e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．10．准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：2>>≥ca a x焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=11 。
高中数学选修2-1《圆锥曲线》教案
4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.2双曲线的简单几何性质学案新人教A版选修
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标：1.掌握双曲线的简单几何性质．(重点)2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．双曲线的几何性质(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] (1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．(2)e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，ba是渐近线的斜率或其倒数．2．双曲线的中心和等轴双曲线 (1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． (2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2.[基础自测]1．思考辨析(1)双曲线虚轴的两个端点，不是双曲线的顶点． ( ) (2)等轴双曲线的渐近线是y ＝±x . ( )(3)双曲线的实轴长一定大于虚轴长．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)×2．双曲线x 216－y 2＝1的顶点坐标是( )A ．(4,0)，(0,1)B ．(－4,0)，(4,0)C ．(0,1)，(0，－1)D ．(－4,0)，(0，－1)B [由题意知，双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝4，因此双曲线的顶点坐标是(－4,0)，(4,0)．]3．若双曲线x 24－y 2m ＝1(m ＞0)的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________.【导学号：97792019】(－7，0)，(7，0) [由双曲线方程得出其渐近线方程为y ＝±m2x ，∴m ＝3，求得双曲线方程为x 24－y 23＝1，从而得到焦点坐标为(－7，0)，(7，0)．] [合 作 探 究·攻 重 难](1)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为a 2＋b 2＝1，双曲线C 2的方程为a 2－b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)求双曲线nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．[解] (1)椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a.由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x ，即x ±2y ＝0. [答案] A(2)把方程nx 2－my 2＝mn (m ＞0，n ＞0)，化为标准方程x 2m －y 2n＝1(m ＞0，n ＞0)，由此可知，实半轴长a ＝m ，虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ， 焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m.顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)． ∴渐近线的方程为y ＝±n mx ＝±mn m x .1．(1)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1C [A 、B 选项中双曲线的焦点在x 轴上，可排除；C 、D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，令y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ；令y 2－x 24＝0，得y ＝±12x .故选C.] (2)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x B [在双曲线中，离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .](1)已知双曲线a 2－b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)的双曲线方程为________________.【导学号：97792019】[思路探究] (1)△OAF 是边长为2的等边三角形⇒求c 和点A 的坐标⇒渐近线的斜率⇒求a ，b(2)方法一：分焦点在x 轴和y 轴上两种情况求解． 方法二：待定系数法求解．[解析] (1)不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1，故选D.(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以4a 2－9b2＝1.②联立①②，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ 因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以9a 2－4b2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. 故所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线的方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)．因为点A (2，－3)在双曲线上， 所以2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.832[答案] (1)D (2)y 28－x 232＝12．求满足下列条件的双曲线的标准方程； (1)以直线2x ±3y ＝0为渐近线，过点(1,2)；(2)与双曲线y 24－x 23＝1具有相同的渐近线，且过点M (3，－2)；(3)过点(2,0)，与双曲线y 264－x 216＝1离心率相等；[解] (1)由题意可设所求双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，将点(1,2)的坐标代入方程解得λ＝－32.因此所求双曲线的标准方程为y 2329－x 28＝1.(2)设所求双曲线方程为y 24－x 23＝λ(λ≠0)．由点M (3，－2)在双曲线上得44－93＝λ，得λ＝－2.68(3)当所求双曲线的焦点在x 轴上时，可设其方程为x 264－y 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1；当所求双曲线的焦点在y 轴上时，可设其方程为y 264－x 216＝λ(λ>0)，将点(2,0)的坐标代入方程得λ＝－14<0(舍去)．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(1)若双曲线 a 2－b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53(2)已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )【导学号：97792019】A. 5 B ．2 C. 3 D. 2[思路探究] (1)渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率． (2)由已知条件画图⇒点M 的坐标⇒代入双曲线方程．[解析] (1)由题意知b a ＝43，则e 2＝1＋b 2a 2＝259，所以e ＝53.(2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，不妨设点M 在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM ＝2a ，∠MBA ＝120°，作MH ⊥x 轴于H ，则∠MBH ＝60°，BH ＝a ，MH ＝3a ，所以M (2a ，3a )．将点M 的坐标代入双曲线方程x 2a 2－y 2b2＝1，得a ＝b ，所以e ＝ 2.故选D.[答案] (1)D (2)D3．(1)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 B [考虑双曲线的对称性，不妨设P 在右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，两式等号左右两边平方后相减，得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24.又已知|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，∴94ab ＝9b 2－4a 24，得b a ＝43(负值舍去)．∴该双曲线的离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.](2)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．2＋3 [如图，F 1，F 2为双曲线C 的左，右焦点，将点P 的横坐标2a 代入x 2a 2－y 2b2＝1中，得y 2＝3b 2，不妨令点P 的坐标为(2a ，－3b )， 此时kPF 2＝3b c －2a ＝b a， 得到c ＝(2＋3)a ，即双曲线C 的离心率e ＝c a＝2＋ 3.]1．直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示：可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点．2．过点(0,2)和双曲线x 216－y 29＝1只有一个公共点的直线有几条？提示：四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1，(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的关系⇒直线与双曲线的位置关系．[解] (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，消去y 并整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2，且k ≠±1.∴若l 与C 有两个不同交点，实数k 的取值范围为 (－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，对于(1)中的方程(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2k1－k2，x 1x 2＝－21－k2， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2 ＝＋k2－4k 2－k22.又∵点O (0,0)到直线y ＝kx －1的距离d ＝11＋k2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝128－4k2－k22＝2，即2k 4－3k 2＝0，解得k ＝0或k ＝±62. ∴实数k 的值为±62或0.4．已知双曲线x 24－y 2＝1，求过点A (3，－1)且被点A 平分的弦MN 所在直线的方程.【导学号：97792019】[解] 法一 由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y ＋1＝k (x －3)，即y ＝kx －3k －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3k －1，x 24－y 2＝1，消去y ，整理得(1－4k 2)x 2＋8k (3k ＋1)x －36k 2－24k －8＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝8k k ＋4k 2－1.∵A (3，－1)为MN 的中点， ∴x 1＋x 22＝3，即8kk ＋k －＝3，解得k ＝－34.当k ＝－34时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN 的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∵M ，N 均在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 21＝1，x 224－y 22＝1，两式相减，得x 22－x 214＝y 22－y 21，∴y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1.∵点A 平分弦MN ，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－2.∴k MN ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝－34.经验证，该直线MN 存在．∴所求直线MN 的方程为y ＋1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －5＝0.[当 堂 达 标·固 双 基]1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94xC [双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，因此渐近线方程为y ＝±32x .]2．已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2 B.62 C.52D ．1 D [由题意得e ＝a 2＋3a＝2，∴a 2＋3＝2a ，∴a 2＋3＝4a 2，∴a 2＝1，∴a ＝1.]3．若一双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36D ．3x 2－y 2＝36A [椭圆4x 2＋y 2＝64，即x 216＋y 264＝1，焦点为(0，±43)，离心率为32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ＝43，e ＝23，从而a ＝6，b 2＝12，故所求双曲线的方程为y 2－3x 2＝36.]4．直线y ＝mx ＋1与双曲线x 2－y 2＝1有公共点，则m 的取值范围是( )【导学号：97792019】A ．m ≥2或m ≤－ 2B ．－2≤m ≤2且m ≠0C ．m ∈RD ．－2≤m ≤ 2D [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1x 2－y 2＝1，得(1－m 2)x 2－2mx －2＝0，由题意知1－m 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≠0Δ＝4m 2＋－m2，解得－2≤m ≤ 2.]5．求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为π6的双曲线的方程．[解] 渐近线方程为y ＝±33x ，设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ.将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y 2－x 23＝1.。
高中数学双曲线优质教案
高中数学双曲线优质教案
年级：高中
课题：双曲线
教学目标：
1. 掌握双曲线的定义和性质；
2. 熟练掌握双曲线的标准方程和重要公式；
3. 能够运用双曲线的性质解决实际问题。
教学重点与难点：
重点：双曲线的定义和性质、标准方程、焦点、渐近线等重点知识点。
难点：双曲线的焦点和渐近线的理解与应用。
教学准备：
1. 教材《高中数学》；
2. 教学课件；
3. 黑板和彩色粉笔；
4. 相关练习题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示双曲线的图像或相关现实生活中的例子引入双曲线的概念，并引出双曲线的定义和性质。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解双曲线的定义、标准方程和性质；
2. 讲解双曲线的焦点、渐近线等重要知识点。
三、练习（20分钟）
根据教学内容设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识，同时引导学生掌握解题方法。
四、拓展（10分钟）
引导学生从现实生活中找出双曲线的应用场景，让学生探讨双曲线在现实中的应用，并引导学生深入了解双曲线的更多性质。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生进行巩固练习。
教学反思：
通过该课，学生应该掌握双曲线的基本概念、性质和计算方法，能够应用所学知识解决相关问题。
同时，老师应该关注学生对双曲线性质的理解深度和应用能力，及时进行个别辅导和指导。
双曲线及其标准方程教学设计(教案)
双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。
(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。
1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。
(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。
1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。
(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。
第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。
(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。
(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。
2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。
第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。
(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。
(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。
3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。
(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。
(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。
第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2双曲线教学案新人教A版选修1_1
高中数学第二章圆锥曲线与方程2-2双曲线教学案新人教A版选修1_1第1课时双曲线及其标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P45～P48的内容，回答下列问题．(1)观察教材P45－图2.2－1，思考下列问题：①在点M移动的过程中，的值发生变化吗？提示：不变.＝|FF2|．②动点M的轨迹是什么？提示：双曲线．(2)利用教材P46－图2.2－2所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？提示：设M(x，y)，F1(－c，0)，F2(c，0)，由＝2a，可得－＝1，令b2＝c2－a2，则双曲线标准方程为－＝1(a>0，b>0)．2．归纳总结，核心必记(1)双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的标准方程[问题思考](1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？提示：双曲线的一支．(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示：①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在．③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．(3)如何判断方程－＝1(a>0，b>0)和－＝1(a>0，b>0)所表示双曲线的焦点位置？提示：若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y 轴上．(4)方程＋＝1表示哪种曲线呢？提示：当m＝n>0时表示圆；当m>n>0或n>m>0时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线．(5)椭圆标准方程和双曲线标准方程中的a，b，c之间的关系有什么区别？提示：在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2．[课前反思](1)双曲线的定义是：；(2)双曲线的标准方程是：；(3)如何由双曲线方程确定焦点的位置？．[思考] 要求双曲线的标准方程，应确定哪些条件？名师指津：(1)确定焦点的位置；(2)确定a和b的值．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程(教学用书)教案 1数学教案
2.3 双曲线2.3.1双曲线及其标准方程把平面内与两个定点F1，F2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程1)A．双曲线B．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线D [由已知|PM |－|PN |＝2＝|MN |，所以点P 的轨迹是一条以N 为端点的射线NP ．] 2．双曲线y 23－x 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±2，0)B ．(0，±2)C ．(0，±2)D ．(±2,0)C [根据题意，双曲线的方程为y 23－x 2＝1，其焦点在y 轴上，且c ＝3＋1＝2；则其焦点坐标为(0，±2)．]3．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2C [双曲线x 2k －y 23＝1的焦点坐标为(±3＋k ，0)，椭圆的焦点坐标为(±9－k 2，0)，由椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，可得3＋k ＝9－k 2，因为k >0，所以解得k ＝2．]4．与双曲线x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程是________(只写出一个即可)．x 26－y 212＝1 [与x 28－y 210＝1具有相同焦点的双曲线方程为x 28＋k －y 210－k ＝1(－8＜k ＜10)．]双曲线的定义及应用【例1】 已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积． 思路探究：(1)直接利用定义求解． (2)在△F 1PF 2中利用余弦定理求|PF 1|·|PF 2|．[解] (1)设|MF 1|＝16，根据双曲线的定义知||MF 2|－16|＝6，即|MF 2|－16＝±6．解得|MF 2|＝10或|MF 2|＝22．(2)由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5．由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， ∴102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， ∴|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝163． PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2求得面积.(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积.[跟进训练]1．(1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4A [|F 1F 2|＝4，根据双曲线的定义知选A ．](2)已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．9 [由双曲线的方程可知a ＝2，设右焦点为F 1，则F 1(4,0)．|PF |－|PF 1|＝2a ＝4，即|PF |＝|PF 1|＋4，所以|PF |＋|P A |＝|PF 1|＋|P A |＋4≥|AF 1|＋4，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时取等号，此时|AF 1|＝(4－1)2＋42＝25＝5，所以|PF |＋|P A |≥|AF 1|＋4＝9，即|PF |＋|P A |的最小值为9．]求双曲线的标准方程【例(1)a ＝4，经过点A ⎝⎛⎭⎫1，－4103；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；(3)过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5且焦点在坐标轴上． 思路探究：(1)结合a 的值设出标准方程的两种形式，将点A 的坐标代入求解． (2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x 轴上，且c 2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求标准方程为x 216－y 2b 2＝1(b >0)，把点A 的坐标代入，得b 2＝－1615×1609<0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求标准方程为y 216－x 2b2＝1(b >0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9．故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1． (2)法一：∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∴c 2＝16＋4＝20，即a 2＋b 2＝20．① ∵双曲线经过点(32，2)，∴18a 2－4b2＝1．②由①②得a 2＝12，b 2＝8，∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．法二：设所求双曲线的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)．∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1．(3)设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1，AB <0． ∵点P ，Q 在双曲线上，∴⎩⎨⎧9A ＋22516B ＝1，2569A ＋25B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝－116，B ＝19.∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1．1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．[跟进训练]2．求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程．[解] 由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)， F 2(0,3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b2＝1． 又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1．与双曲线有关的轨迹问题[探究问题]1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？[提示] 一支．2．求以两定点F 1，F 2为焦点的双曲线方程时，应如何建系？[提示] 以直线F 1F 2和线段F 1F 2的垂直平分线分别为x 轴和y 轴建系．【例3】 如图所示，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．思路探究：[解] 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理，得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |， 即|AC |－|BC |＝|AB |2＝22<|AB |． 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x >a )，∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6． 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程.(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程. 提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴. ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. [跟进训练]3．如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1． 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4． 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|．∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914． ∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32． 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a ＞b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2．3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)的形式求解．1．已知双曲线的一个焦点F 1(0,5)，且过点(0,4)，则该双曲线的标准方程为 ( ) A ．x 29－y 216＝1B ．y 216－x 29＝1C ．x 29－y 225＝1D ．y 225－x 29＝1B [由已知得，c ＝5，a ＝4，所以b ＝3．所以双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1．]2．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A ．－3<k <－2B ．k <－3C ．k <－3或k >－2D ．k >－2A [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2，选择A ．]3．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________．16 [由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16．]4．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求双曲线方程．[解] 因为椭圆x 227＋y 236＝1的焦点为(0，－3)，(0,3)，A 点的坐标为(15，4)或(－15，4)，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5，所以所求的双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1．。
高二数学教案：第二章 圆锥曲线与方程 2.3~08《双曲线的简单几何性质》(人教A版选修2-1)
课题： 双曲线的简单几何性质课时：08 课型：新授课1.知识与技能目标(1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；(2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；(3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义． 2.过程与方法目标 （1）复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养． 3.情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新 新课讲授过程（1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （2）双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；②对称性：由以x -代，以y -代和x -代，且以y -代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；④渐近线：直线by x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ace =叫做双曲线的离心率（1e >）． （3）例题讲解与引申、扩展例3 求双曲线22916144y x -=的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程． 分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是ay x b=±． 扩展：求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．解法剖析：双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k -=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =-，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为22221169x y k k-+=，∵()23,3A -点在双曲线上，∴214k =，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x -=，离心率53e =．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠．例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路PA 或PB 送到呈矩形的足球场ABCD 中去铺垫，已知150AP m =，100BP m =，60BC m =，60APB ∠=o ．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则PA AM PB BM +=+，即50BM AM AP BP -=-=（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为()2213525,0606253750x y x y -=-≤≤-≤≤．理由略．例5 如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数ce a =()0c a >>，则点M 的轨迹方程是双曲线．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c =相应于的准线；另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-．课堂练习：P55 -第1、2、3课后作业：第61页练习4、5；第61页 习题2.3课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质2015高考题小试：1.（15北京理科）已知双曲线()22210x y a a-=>30y +=，则a =．2. 【2015高考北京，文12】已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．3. （15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=答案提示： 1．3【解析】双曲线()22210x y a a -=>的渐近线方程为1y x a=±303x y y x +=⇒=，0a >Q ,则133,a a-==2. 3【解析】由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =. 3. 【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A.。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线的定义和
双曲线的定义和标准方程教学背景分析本小节是双曲线的定义和标准方程，通过对椭圆的定义的类比联想，很容易想到研究到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹问题.要充分注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，正确理解概念，注重思维的严密性.双曲线定义的理解以及标准方程的形式，c b a ,,三个量的关系都可以与椭圆进行类比学习，从而理解两种曲线的联系与区别.双曲线的标准方程的推导可以在椭圆的标准方程的推导经验中类比完成.突破难点的关键是初步研究双曲线的对称性，建立恰当的直角坐标系，注重方程化简过程中的合理变形.对于“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的证明，有条件的还是需要的，使方程的推导更完备.教学过程设计一、复习回顾思考并回答下列问题 1、椭圆的定义是什么？2、椭圆定义中有哪些注意点？3、椭圆的标准方程是怎样的？ 二、讲授新课 1、概念引入 问题引入：如果把椭圆定义中的和改成差: 12||||2PF PF a -=或21||||2PF PF a -=,即:12||||||2PF PF a -=，其中0>a 动点的轨迹会发生什么变化呢？①若21212F F a MF MF ==-，则轨迹是线段21F F 的延长线；若21122F F a MF MF ==-，则轨迹是线段12F F 的延长线；②若21212MF MF a F F -=<，则无轨迹；③在1202||a F F <<条件下轨迹是存在的，我们把这时得到的轨迹叫做双曲线. [说明]通过对椭圆定义的类比，启发学生思考并发现a 2与21F F 的大小关系与动点的轨迹的变化规律.此时可设计探究实验：学生用笔、细绳等工具试验画出满足条件的轨迹图形（可以让学生在上课前做一些实验的设计准备），教师利用多媒体演示（并加以说明）.通过学生的动手操作，增加学生的感性认识，提高学生学习的参与度.2、概念形成 双曲线定义 定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫双曲线.这两个定点21,F F 叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离12||F F 叫做焦距. 双曲线定义中的注意点 在概念的理解中要注意：（1）是平面内到两定点的距离之差的绝对值是一个非零正常数，且这个常数小于21F F . （2）当12||||2PF PF a -=时，动点的轨迹是与2F 对应的双曲线的一支，21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支.3、双曲线的标准方程的推导可以仿照求椭圆的标准方程的做法，求双曲线的标准方程． 如图8-12建系，设c F F 221=，取过点21F F 、的直线为x 轴，线段21F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则)0,(F )0,(21c c F 、-，设M 是所求轨迹上的点.依已知条件有aMF MF 221±=-，221)(y c x MF ++=，222)(y c x MF +-=，22)(y c x ++∴a y c x 2)(22±=+--，移项得：22)(y c x ++22)(2y c x a +-+±=，平方得：222)()(y c x a cx a +-=-± （*） 再平方得：)()(22222222c a a y a x c a -=+-，即)()(22222222a c a y a x a c -=--，令)0(222>>-=b c a c b则222222b a y a x b =-，即12222=-by a x反之：设M 是12222=-b y a x 上的点，则)1(2222-=ax b y ， a a cx a cx x ac ax b b c cx x y c x MF +=++=+-++=++=222222222222122)(222)(y c x MF +-==a acx-，x a c a ≤<,Θ， ∴当ax ≥时，a acx MF +=1 ，a acx MF -=2，有a a acxa a cx MF MF 221=+-+=-； 当ax -≤时，a acxMF --=1，a acx MF +-=2，有a a acxa a cx MF MF 221-=-+--=- 综上：焦点在x 轴上双曲线的标准方程是12222=-by a x ①，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点)0,(F )0,(21c c F 、-.同样如果双曲线的焦点在y 轴上(图8－13)，那么，此时的双曲线的标准方程又是怎样的呢？焦点是F1(0，－c)、F2(0，c)时，a 、b 的意义同上，那上双么只要将方程①的x 、y 互换，就可以得到焦点在y 轴曲线的标准方程是12222=-bx a y ，其中)0(222>>+=a c b a c ，焦点),0(F ),0(21c c F 、-.思考：将方程推导过程中的方程（*）做变形可得()ca x a c y c x 222-=+-，即()acca x y c x =-+-222，且1>a c ，那么其中又蕴涵着怎样的几何意义呢？思考其几何意义可知，双曲线上的点满足到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线ca x 2=的距离之比是一个大于1的常数，这是双曲线的一个几何性质.反之，如果一个点),(y x P 满足()acca x y c x =-+-222，且1>a c ，即点P 到定点)0,(F 2c 的距离与到定直线c a x 2=的距离之比是一个大于1的常数，则点P 的轨迹是双曲线吗？这个问题留给课后思考.教学反思1、用类比联想的方法从椭圆的定义中提出新的问题，到两个定点的距离之差为正常数的点的轨迹是什么？再通过探究解答问题，并提出双曲线的定义，这样可以使学生正确理解双曲线的概念，并能在学习中主动加强知识间的联系.特别注意双曲线定义中“2120F F a <<”，“绝对值”的词汇的定性描述，当没有绝对值时，通常表示为双曲线的一支.在问题的探究过程中，可以设计学生的动手实验，增加学生的感性认识，培养学习的兴趣和主动参与的精神.2、由于前一节学生接触了椭圆的标准方程的推导，对建、设、列、化、证等步骤有所熟悉，则双曲线的标准方程的推导过程可以在教师的引导下由学生尝试完成.特别是证明“以方程的解为坐标的点都在双曲线上”的过程可以由师生共同完成，以培养思维、论证的严密性.3、本解课可以安排两节课时，第一节主要是理解双曲线的定义和正确推导双曲线的标准方程.可以完成例1、例3，课后作业完成1.第二节课主要是学习根据已知条件确定双曲线的标准方程，以及利用双曲线的方程解决简单几何问题.完成例2、例4和巩固练习.课后作业完成2.4、运用对比教学的方法，使学生区分椭圆与双曲线的概念、标准方程、图形、c b a ,,三个量的异同.。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线及其标准方程教案 1数学教案
2.3.1 双曲线及其标准方程项目内容课题2.3.1 双曲线及其标准方程（共 1 课时）修改与创新教学目标知识与技能：使学生理解并掌握双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程的推导及标准方程。
过程与方法：了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线模型的过程，感受双曲线定义在解决实际问题中的作用。
情感、态度与价值观：通过对双曲线的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发我们在研究问题时，抓住问题的本质。
教学重、难点重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．难点：双曲线的标准方程的推导．教学准备多媒体课件教学过程(一)复习提问1．椭圆的定义是什么？平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数；(3)常数2a ＞| F1F2||．2．椭圆的标准方程？(二)双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1．简单实验(边演示、边说明)如图，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．注意：常数要小于| F1F2||，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．2．设问问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？请学生回答，不能．强调“在平面内”．问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？请学生回答，不定：当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|．问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？请学生回答，不一定，也可以是|MF2|-|MF1|．正确表示为||MF2|-|MF1||．问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？请学生回答，应小于|F1F2|且大于零．当常数=|F1F2|时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数＞|F1F2|时，无轨迹．3．定义在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．(三)双曲线的标准方程现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．标准方程的推导：(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．(3)代数方程(4)化简方程(由学生演板)将这个方程移项，两边平方得：化简整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2．这就是双曲线的标准方程．两种标准方程的比较(引导学生归纳)：说明：(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．(四)例题讲解：1．求满足下列的双曲线的标准方程：焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？解：由定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．所以动点无轨迹．(五)课时小结1．定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．3．图形：4．焦点：F1(-c，0)、F2(c，0)；F1(0，-c)、F2(0，c)．5．a、b、c的关系：c2=a2+b2五、布置作业1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2)；3．已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m＜0＜m+n)，求其焦点坐标．板书设计2.3.1 双曲线及其标准方程1.双曲线的定义2. 双曲线的标准方程例（1）焦点在x轴上（2）焦点在y轴上教学反思1.为让学生更深刻地理解双曲线的定义，在给出定义后，让学生分析：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于| F1F2|)的点的轨迹是什么？大于| F1F2|)的点的轨迹是什么？2.标准方程的推导，在老师的指导下，让学生自己推导，以提高学生的运算能力。
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线的定义和标准方程(1)教案湘教版选修1-1
双曲线定义及其标准方程教学目标1．通过教学，使学生熟记双曲线定义及其标准方程，理解双曲线定义，双曲线标准方程探索推导过程．2．在与椭圆类比中获得双曲线知识，培养学生会合情猜测，进一步提高分析、归纳、推理能力．3．培养学生浓厚学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是科学态度．教学重点与难点双曲线定义和标准方程及其探索推导过程是本课重点．定义中“差绝对值〞，a与c 关系理解是难点．教学过程师：椭圆定义是什么？椭圆标准方程是什么？(学生口述椭圆两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆定义、标准方程和图象放出来．)师：椭圆两个定义虽然都是由轨迹问题引出来，但所采用方法是不同．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法根底上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定常数2a，|F1F2|=2c，它们之间变化对椭圆有什么影响？生：当a=c时，相应轨迹是线段F1F2．当a＜c时，轨迹不存在．这是因为a、c关系违背了三角形中边与边之间关系．师：如果把椭圆定义中“平面内与两个定点F1、F2距离和〞改写为“平面内与两个定点F1、F2距离差〞，那么点轨迹会怎样？它方程又是怎样呢？(师生共同做一个简单实验，请同学们把准备好实验用具拿出来，一起做实验．教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F1、F2距离之差为常数点轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明．)师：做法是：适中选取两定点F1、F2，将拉锁拉开一段，其中一边端点固定在F1处，在另一边上截取一段AF2(＜F1F2)，作为动点M到两定点F1和F2距离之差．而后把它固定在F2处．这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁逐渐翻开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支．如图2-36．师：通过这个实验，你们发现了什么？生：所画曲线不是椭圆，是两条一样曲线，只是位置不同．其原因都是应用“平面内与两个定点距离之差|MF1|-|MF2|(或|MF2|-|MF1|)是同一常数条件画图．师：所画出图象与椭圆完全不同，能说出属于哪一类曲线吗？生：属于双曲型曲线．师：很好！我们把这类曲线就叫做双曲线．我们思考以下几个问题：1．|MF1|和|MF2|哪个大？生：不一定．当点M在双曲线右支时，有|MF1|＞|MF2|，当点M在双曲线左支时，|MF1|＜|MF2|．师：2．点M与点F1、F2距离之差是否就应是|MF1|-|MF2|？生：未必是．也可以是|MF2|-|MF1|．师：如何表示这两种情况？生：假设要同时表示这两种情况，正确表示是应||MF1|-|MF2||．无论哪种情况总是成立．师：3．点M与点F1、F2距离之差绝对值与|F1F2|大小关系怎样？生：由三角形两边之差小于第三边可知，应是小于|F1F2|．否那么作不出图形．在上述讨论根底上，引导学生概括出双曲线定义，教师板书课题．(学生试表达，教师协助完成．)一、双曲线定义平面内与两个定点F1、F2距离差绝对值是常数2a(a＞0且小于|F1F2|)点轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线焦点，这两个焦点间距离叫做焦距，记作2c(c＞0)．通过学生自己动手画图，得到了双曲线定义，同时进一步让学生在实验中观察定义中两个常数间大小关系对于动点M轨迹影响．激发学生探求知识兴趣，调动学生求知渴望．师生共同归纳：师：由定义知||MF1|-|MF2||=2a，|F1F2|=2c，并设动点为M，请大家讨论以下几个问题：(1)当0＜a＜c时，动点M轨迹是什么？学生略思考一下，答复出是双曲线．(2)当a=c时，动点M轨迹是什么？分析假设a=c，也就是||MF1|-|MF2||=2a=2c，如图2-37所示：可以看出，动点M轨迹是分别以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧两条射线．(3)当a＞c＞0时，动点M轨迹是什么？由前面归纳动点M轨迹不存在．这是因为a、c关系违背了三角形中两边之差小于第三边性质．二、双曲线标准方程师：现在来研究双曲线方程．我们可以参照求椭圆方程方法来求双曲线方程．首先建立直角坐标系，即以两定点连线为x轴，两定点垂直平分线为y轴．然后，观察双曲线特征，猜测双曲线方程构造与椭圆方程构造是否有类似之处？(如图2-38)当点M移动到x轴上点A1、A2时，如何求点A1、A2坐标？生：点A1、A2是关于原点对称，所以|A1A2|=|F1F2|-|F1A1|-|F2A2|=|F1F2|-2|F2A2|=|F1A2|-|F2A2|=2a．所以点A1和A2坐标分别是(-a，0)和(a，0)．师：请同学们对照椭圆定义及其标准方程推导过程导出双曲线标准方程．生：1．建立直角坐标系．2．设双曲线上任意一点坐标为M(x、y)，|F1F2|=2c，并设F1(-c，0)，F2(c，0)．3．由两点间距离公式，得4．由双曲线定义，得|MF1|-|MF2|=±2a，即5．化简方程两边平方，得化简得：两边再平方，整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．(为使方程简化，更为对称和谐起见．)由2c-2a＞0，即c＞a，所以c2-a2＞0．设c2-a2=b2(b＞0)，代入上式，得b2x2-a2y2＝a2b2，也就是师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美特点，便于我们今后研究双曲线有关性质．这一简化方程称为双曲线标准方程．结合图形再一次理解方程中a＞b＞0条件是不可缺少．b选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有实际几何意义．具有c2=a2+b2与椭圆中a2=b2+c2不同之处．师：与椭圆方程一样，如果双曲线焦点在y轴上，这时双曲线标准方程形式又怎样呢？我们可以从所画图形上观察，比照来看一看互相间转化．(图2-39、图2-40)生：从图形对称来看，只要交换一下x轴、y轴名称，然后逆时针翻转90°使之y轴向上、下，x轴水平放置即可得到焦点在y轴上双曲线．师：从方程上来分析，只要将方程(1)x、y互换就可以得到它方程此方程也是双曲线标准方程．师：如何记忆这两个标准方程？生：双曲线方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正项相应坐标轴为实轴，焦点在该轴上，且分母为a2．负项相应坐标轴为虚轴，且分母为b2．师：用一句话概括“以正负定实虚〞．三、举例例1 两点F1(-4，0)和F2(4，0)，曲线上点到两个焦点距离之差为6，求曲线方程．解由焦点坐标可知c=4，2a=6，所以a=3，而b2=c2-a2=16-9=7．所以，所求双曲线方程为例2 求满足以下条件双曲线方程1．假设a=4，b=3，焦点在x轴上；解(1)因为a=4，b=3，并且焦点在x轴上，所以所求双曲线方程为(2)由题意设双曲线标准方程为：所以代入双曲线方程得所以b2=16，所以所求双曲线标准方程为例1和例2可由学生自行解答，黑板上板演，并对照检查对错．四、小结(师生共同参与完成)1．知识方面双曲线定义和双曲线标准方程；方程中3个常数a、b、c间关系：c2=a2+b2．理解“以正负定实虚〞意义，会确定实轴、虚轴、焦点所在位置，会求双曲线标准方程．2．在教学中体会到数学知识和谐美，几何图形对称美．五、作业：第XX页XX题．六、课后思考题2．结合图形演示，试讨论||MF1|-|MF2||=2a，在2a趋近于零过程中双曲线变化趋势．设计说明1．关于教学目标(1)由于双曲线定义及其标准方程是本章重点之一，因而作为本节课教学目标之一．(2)MM教育方式根本要求，其课堂教学要师生共同参与．每个环节都应给学生创设一种思维情境，一种动脑、动手、动口时机．运用教具演示，增强了数学教学直观性，有助于培养学生观察、比拟、分析、抽象、归纳及数学语言运用能力．对全面提高学生素质起着十分重要作用，待此制定了教学目标2和3．2．关于教学重点为实现教学目标，把充分展现双曲线定义及其标准方程探索、发现、推理思维过程和知识形成过程作为本节课重点．3．关于教学方法按照MM教育方式“学习、教学、研究同步协调原那么〞和“二主方针〞，在教学中充分发挥教师主导作用和学生主体作用．运用问题性，给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口时机，使学生在开放、民主、愉悦和谐教学气氛中获取新知识，提高能力，促进思维开展．因此，采用讨论式、启发式教学方法．4．关于教学过程(1)利用学生已清楚知识，转换条件提出问题，通过自己动手和联想，为类比地探索双曲线定义奠定根底，最后推出双曲线定义．(2)在双曲线标准方程推导过程中，提醒科学实验规律，巧妙地把学生从旧知识引向新知识，使知识过渡那么自然，学生学起来不感到困难．表达数学发现本质，培养学生合情推理能力、逻辑思维能力、科学思维方式、实事求是科学态度及勇于探索精神．(3)例题比拟简单，由学生自行解答，同时由学生板演，在解题过程中培养学生合理地思考问题，清楚地表达思想和有条不紊学习习惯．同时随时注意纠正学生在学习过程中偏差．(4)以学生为主，教师协助方式进展本节课小结，充分发挥学生主观能动性，提高学生分析、概括、综合、抽象能力，注意把学生本节课所学到新知识纳入学生已有知识体系中，使学生学习解析几何内容形成一个知识构造，对学生掌握解析几何学习是大有益处．。
【优教通,备课参考】2014年高中数学同步课件：第2章 算法初步 条件语句(北师大版必修3)
If d A 0 Then 语句 Else Print p Else Print 无实根” x1 “ pq End If x2 p q Print x1 , x2 End If
q SQR(d ) / 2a
p b / 2a
Then
输出“无实根”
A x语句 1 pq
假
d 0
3.阅读下面的程序，输出的结果是什么？ Input x 5 If x >= 0 Then y=1 Else y = -1 End If Print x, y x=5 y= - 20 If x <= 0 Then x=y-3 Else y=x+3 End If Print y
8,5 Input a，b If a>b Then x=a a=b b=x End If Print a,b
If 条件2 Then
语句B Else
语句C
End if End If
2.条件语句与算法框图中的选择结构相对应，语句形式较为 复杂，要借助框图写出程序. 3. 条件语句中蕴含着数学中分段函数的思想
作业：
课本P110: 习题2-3
假
n 2 5 x3
真
Else
y 5
c y 5 1.2(5 1.2(n x 3)
y 5
End If
C=7.4 C=5 输出 c y
Print y
例1：设计一个算法，根据输入x的值，计算y的值。
x 2 1, x 2.5 y 2 . x 1, x 2.5
输入x
输入 x
假 假 真
x 0
真
x0
y 1
y 1
y0
输出y
Input x If x x>0 0 Then y=1 Else If x=0 Then y=0 Else Elsey = -1 End y = If 1 End If Print y
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（4）等轴双曲线： ，其渐近
线方程：
（5）类比椭圆草图画法，思考双曲线草图的画法？
学法
通过教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和内化。
三、教学程序
教学环节
教学程序设计
设计意图
复习旧知设疑引路
1、复习
（1）双曲线的定义和标准方程？
（2）椭圆有哪些简单几何性质？
2、引入
类比椭圆的简单几何性质，猜想双曲线有哪些简单几何性质？
唤起旧知识的记忆，为后续类比探究做好知识准备。
板书设计
标准方程例1
范围几何图示区
对称性例2
顶点
渐近线
离心率
教学目标
知识与技能目标
理解双曲线的几何性质并会简单应用。
过程与方法目标
进一步理解坐标法和数形结合的思想。
情感态度与价值观目标
培养学生科学的思维方法和思维习惯。
教学重点难点
教学重点
双曲线的简单几何性质。
教学难点
双曲线的渐近线。
二、教法学法
教法
采用问题式教学，通过问题引导学生类比探究、交流归纳、总结提升，并充分利用多媒体辅助教学。
引导学生发现离心率对双曲线“张口”大小的影响，通过多媒体进一步增强学生的这种认识。
回顾总结，进一步加强认识，使知识系统化。
例题研究运用性质
例1、求双曲线 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近方程。
例2、求符合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)顶点在 轴上，两顶点间的距离是8，
(2)焦点在 轴上，焦距是16，
3、思维方法：类比推理
培养学生的抽象概括能力，使所学知识、方法在学生的认知结构中内化升华。
作业布置巩固提高
1、必做题
课本A组：3题、4题；B组：1题。
2、选做题
求与双曲线 有共同渐近线且实轴长为8的双曲线的标准方程。
作业是学生学习信息的反馈，必做题能巩固本节所学知识，发现和弥补教学中的不足；选做题能让学有余力的学生有进一步发挥的空间。
通过由方程求性质和性质求方程的例习题，来反馈学生对双曲线性质的掌握程度和简单应用的能力。
小结归纳拓展深化
引导学生自主总结：
1、知识技能：
（1）学习了双曲线的范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义；
（2）渐近线是双曲线特有的性质，必须引起我们的重视；
2、数学思想方法：
数与形的结合，用代数的方法解决几何问题。
（3）求出焦点在 轴的双曲线渐近线方பைடு நூலகம்并比较焦点位置不同的双曲线渐近线异同？
引导学生用类比的思维方法和数形结合的数学方法，先直观感知双曲线的范围、对称性和顶点，然后利用方程进行严格推理证明，这有助于进一步让学生理解坐标法，进一步认识数与形的辩证统一。
类比推理是抓住了椭圆与双曲线的相似之处，而对于不同之处自然会受到负面理解，为了理解双曲线的虚轴端点、虚轴与椭圆短轴端点（顶点）、短轴的不同，设置这两个问题引导学生理解，防止知识的负迁移。
设问激疑，为学生探究新知引路。
类比探究研究性质
以方程 为例研究双曲线的简单几何性质
1、范围： ，
提问：（1）看图可知其范围是什么？
（2）类比椭圆如何研究其范围？
2、对称性：对称轴为 轴，对称中心为坐标原点
提问：（1）看图可知其有怎样的对称性？
（2）类比椭圆如何研究其对称性？
3、顶点：双曲线与对称轴的交点顶点坐标
双曲线的实轴： ，长为 ,半实轴长
双曲线的虚轴: ，长为 ，半虚轴长
提问：与椭圆比较，为什么 不叫双曲线的顶点？椭圆的短轴与虚轴有什么不同？
4、渐近线：
提问（1）反比例函数 与正切函数 的图像都有什么共同的显著特点？你对双曲线的图像有什么发现？
《几何画板》验证
（2）渐近线方程如何求解？利用特征三角形；换“1”为“0”
双曲线的简单几何性质
一、教材分析
教材的地位和作用
本节课是在学习了“椭圆的几何性质和双曲线的定义、方程”后进行的，课程标准要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.与已学的椭圆和后续的抛物线比较，本节课的要求相对较低。
但是本节课渗透的思想方法是相当重要的。一方面，本节课是利用双曲线的方程研究其几何性质。这是解析几何研究的两个主要问题之一，通过本节课的学习有利于进一步深化坐标法和数形结合的思想；另一方面，通过类比椭圆学习双曲线的几何性质，有利于培养学生科学的思维方法。
5、离心率：
提问：（1）双曲线的离心率范围？
（2）椭圆的离心率刻画了椭圆图形的什么几何特性，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何特性？（适当点拨学生发现 ， 的联系）
《几何画板》演示
请总结两种标准方程的双曲线的几何性质，并填表
图形
标准方程
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
请比较双曲线与椭圆的几何性质的异同
问题（5）揭示了渐近线对画双曲线草图的重要作用。