人教新课标版数学高二-人教数学选修2-2练习 复数的几何意义

选修2-2 第三章 3.1 3.1.2
一、选择题
1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →
对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3
[答案] C
[解析] 由OZ →
＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →
对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C.
2．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，则下列各式正确的是( ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2| D ．|z 1|<|z 2|
[答案] D
[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A ，B. 又|z 1|＝52＋32，|z 2|＝52＋42，
∴|z 1|<|z 2|. 故选D.
3．在复平面内，O 为原点，向量OA →
对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →
对应复数为( )
A ．－2－i
B ．2＋i
C ．1＋2i
D ．－1＋2i
[答案] B
[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →
对应复数为2＋i.故应选B.
4．在复平面内，复数6＋5i 、－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
[答案] C
[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，AB 中点C (x ，y )，则x ＝6－22＝2，y ＝5＋3
2＝4，
∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.
5．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α
2
B ．－2cos α
2
C ．2sin α
2
D ．－2sin α
2
[答案] B
[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝
2＋2cos α＝
4cos 2α2
，
∵π＜α＜2π，∴π2＜α
2＜π，
∴cos α
2＜0，
∴
4cos 2α2＝－2cos α2
.
6．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
[答案] C
[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C. 二、填空题
7．(2013·湖北文，11)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.
[答案] －2＋3i
[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.
8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．
[答案] 5
[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)
－2－1
.解得a ＝5.
9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________. [答案] 12
[解析] 由条件知⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋2m －3≠0
m 2
－9＝0，
∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题
10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；
(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．
[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋41
4，
z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．
一、选择题
11．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．4 C ．－1和4 D ．－1和6
[答案] C
[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C.
[点评] 复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )对应点在虚轴上和z 为纯虚数应加以区别．虚轴上包括原点，切勿错误的以为虚轴不包括原点．
12．下列命题中，假命题是( ) A ．复数的模是非负实数
B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|
[答案] D
[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝
a 2＋
b 2≥0总成立．∴A 正确；
②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0
b ＝0
⇔|z |＝0，故B 正确；
③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，
如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 13．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[答案] B
[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.
14．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5) D ．(1，3)
[答案] C
[解析] 由已知，得|z |＝a 2＋1.
由0<a <2，得0<a 2<4， ∴1<a 2＋1<5. ∴|z |＝a 2＋1∈(1，5)．
故选C. 二、填空题
15．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →
(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是________________．
[答案] 5
[解析] 由复数的几何意义可知，
O C →＝xOA →＋yOB →，
即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，
⎩⎪⎨
⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝4. ∴x ＋y ＝5.
16．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________． [答案] 12
[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝1
2.
三、解答题
17．(2014·山东鱼台一中高二期中)已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R )． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；
(3)若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． [解析] (1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3或m ＝1.
(2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0.
解得m ＝0.
(3)∵z 所对应的点在第四象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m (m －1)>0，
m 2＋2m －3<0.
解得－3<m <0.
*18.已知复数z 1＝1＋cos θ＋isin θ，z 2＝1－sin θ＋icos θ，且两数的模的平方和不小于2，求θ的取值范围．
[解析] 由已知得，
|z 1|2＝(1＋cos θ)2＋sin 2θ＝2＋2cos θ，
|z 2|2＝(1－sin θ)2＋cos 2θ＝2－2sin θ. |z 1|2＋|z 2|2≥2，
即2＋2cos θ＋2－2sin θ≥2， cos θ－sin θ≥－1， cos(θ＋π4)≥－2
2
，
所以2k π－π≤θ≤2kπ＋π
2
，k ∈Z .
所以θ的取值范围是[2kπ－π，2kπ＋π
2
]，k ∈Z .。