2012年高考数学(文科)试卷重庆卷(含答案)最完美最高清word版

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)本试卷满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“若p 则q ”的逆命题是( ) A ．若q 则p B ．若p 则q C ．若q 则p D ．若p 则q2．不等式102x x -<+的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)3．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 4． (1－3x )5的展开式中x 3的系数为( )A ．－270B ．－90C ．90D ．270 5．sin47sin17cos30cos17︒-︒︒=︒( )A ．32-B ．12-C ．12D ．326．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝ ( )A ．5B ．10C ．25D ．107．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c8．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf′(x )的图象可能是( )9．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是( )A ．(0，2) B ．(0，3)C ．(1，2)D ．(1，3) 10．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x －2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))＞0}，N ＝{x ∈R |g (x )＜2}，则M ∩N 为…( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共 25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝__________. 12．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝__________.13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，1cos 4C ＝，则sin B ＝__________.14．设P 为直线3by x a=与双曲线22221xya b -=(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝__________.15．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为__________(用数字作答)．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值．17．已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值．18．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求乙获胜的概率；(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．19 (文)设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在π6x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为π2 .(1)求f(x)的解析式；(2)求函数426cos sin1()π()6x xg xf x--=+的值域．20．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求异面直线CC1和AB的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－B1的平面角的余弦值．21．如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．1． A 根据逆命题的定义，命题“若p 则q ”的逆命题为“若q 则p ”，故选A 项． 2． C 不等式102x x -<+可化为(x －1)(x ＋2)＜0，解不等式得其解集为(－2,1)，故选C 项．3． D 由已知条件可知直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心，所以AB 为圆x 2＋y 2＝1的直径，|AB |＝2，故选D 项．4． A (1－3x )5的展开式的通项为T r ＋1＝5C r(－3)r x r ，令r ＝3，则x 3的系数为35C (－3)3＝－270，故选A 项． 5． C因为sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°，所以原式s i n 30c o s 17s i n 17c o s 30s i n 17c o s 301=s i n 30c o s 172︒︒+︒︒-︒︒=︒=︒，故选C 项． 6． B 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝x －2＝0，解得x ＝2，a ＝(2,1)，a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10，故选B 项． 7．B a ＝log 23＋2log 3＝2log 33，b ＝log 29－2log 3＝2log 33，因此a ＝b ，而2l o g 33＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B 项． 8． C 由题意可得f ′(－2)＝0，而且当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时xf ′(x )＞0；当x ∈(－2，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时若x ∈(－2,0)，xf ′(x )＜0，若x ∈(0，＋∞)，xf ′(x )＞0，所以函数y ＝xf ′(x )的图象可能是C 项．9．A 四面体如图1所示，设AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝1，2AD =，BC ＝a ，则a ＞0.当A ，B ，C ，D 四点共面时，2BC =(如图2所示)．而此时A ，B ，C ，D 四点不能构成四面体，所以2BC <，故选A 项．图1图210． D 函数f (x )＝(x －3)(x －1)，令f (x )＞0得x ＞3或x ＜1，不等式f (g (x ))＞0可化为g (x )＞3或g (x )＜1，即3x－2＞3或3x －2＜1，分别求解得x ＞log 35或x ＜1，即M ＝{x ∈R |x ＞log 35或x ＜1}，N ＝{x ∈R |3x －2＜2}＝{x ∈R |x ＜log 34}，所以M ∩N ＝{x ∈R |x ＜1}，故选D 项．11．答案：15解析：由等比数列前n 项和公式1(1)1nn a q S q-=-得，44121512S -==-.12．答案：4解析：f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a .因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝x 2＋(4－a )x －4a ＝x 2＋(a －4)x －4a ，a －4＝4－a ，a ＝4.13．答案：154解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，故c ＝2，而sin C ＝154，∵b ＝c ，故sin B ＝sin C ＝154.14．答案：324解析：因为F 1为左焦点，PF 1垂直于x 轴，所以P 点坐标为(－c ，3bc a-)．又因为P 点为直线与双曲线的交点，所以22222291b cca a b-=，即2819e =，所以324e =.15．答案：15解析：基本事件总数为66A 720=，事件“相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课”所包含的基本事件分两类，一类是相邻两节文化课之间恰好间隔1节艺术课有33332A A 72=，一类是相邻两节文化课之间间隔1节或2节艺术课有32223322A C A A 72=，由古典概型概率公式得15P =.16．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知 11228,2412.a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)可得S n ＝1()(22)22n n a a n n ++=＝n (n ＋1)． 因a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以2k a ＝a 1S k ＋2.从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0.解得k ＝6或k ＝－1(舍去)．因此k ＝6.17．(文)解：(1)因f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b ， 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有(2)0,(2)16,f f c '=⎧⎨=-⎩即120,8216,a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩化简得120,48,a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ； f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,2)上为减函数；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.18．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“乙获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()111122112233()()()P C P A B P A B A B P A B A B A B ++＝＝111122112233()()()()()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B P A P B ++ ＝223321212113()()()()32323227⨯++=.(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D ，则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知()112211223()()P D P A B A B P A B A B A +＝＝112211223()()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B P A ⋅+ ＝2222212114()()()()()3232327⋅＋＝.19．解：(1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2π=πω，解得ω＝2.因f (x )在π=6x 处取得最大值2，所以A ＝2. 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又由－π＜φ≤π得π=6ϕ.故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)426cos sin 1()=π2sin (2)2x x g x x --+426cos cos 2=2cos2x x x+-222(2cos 1)(3cos 2)=2(2cos 1)x x x -+-＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)．因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2x ≠12，故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．20．解：(1)如图所示，因AC =BC ，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ．又直三棱柱中，CC 1⊥面ABC ，故CC 1⊥CD ，所以异面直线CC 1和AB 的距离为225CD BC BD =-=.(2)解法一：由CD ⊥AB ，CD ⊥BB 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，从而CD ⊥DA 1，CD ⊥DB 1，故∠A 1DB 1为所求的二面角A 1－CD －B 1的平面角．因A 1D 是A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1，∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A ．因此1111=A A AB A DA A ，得2111==8A A A D A B ⋅. 从而2211==23A D AA AD +，B 1D ＝A 1D ＝23，所以在△A 1DB 1中，由余弦定理得222111111111cos ==23A D DB A B A D B A D D B +-∠⋅⋅.(2)解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，由(1)知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz.设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0,h )，B 1(2,0,h )，C (0,5,0)，从而1AB ＝(4,0,h )，1A C＝(2,5,－h )．由1AB ⊥1A C 得1AB ·1A C＝0，即8－h 2＝0，因此=22h .故1D A ＝(－2,0,22)，1D B＝(2,0,22)，D C ＝(0,5,0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥D C ，m ⊥1D A ，即1115=0,222=0,y x z ⎧⎪⎨-+⎪⎩取z 1＝1，得m ＝(2,0,1)．设平面B 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥D C ，n ⊥1D B ，即2225=0,222=0,y x z ⎧⎪⎨+⎪⎩取z 2＝－1，得n ＝(2，0，－1)．所以cos 〈m ，n 〉＝211==||||32121⋅-⋅+⋅+m n m n .所以二面角A 1－CD －B 1的平面角的余弦值为13.21．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为2222=1x ya b+(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c ,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|=|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得2c b =，结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率255c e a==.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故12A B B S ∆＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝2c ·b ＝b 2.由题设条件124AB B S ∆＝得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20，因此所求椭圆的标准方程为22=1204xy+.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此12245m y y m +=+，122165y y m -⋅=+.又2B P ＝(x 1－2，y 1)，2B Q＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q ＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝222216(1)16+1655m mm m -+-++＝2216645m m --+.由PB 2⊥QB 2，知2B P ·2B Q＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为9y 2－8y －16＝0， 故144109y +=，244109y -=，128||=109y y -，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16109.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积16109S =.综上所述，△PB 2Q 的面积为16109.。