平均变化率2优秀教学设计(推优)

平均变化率
一．教学内容分析：
内容解析：本节课是北师大版高中数学（选修2-2）第二章变化率及导数第一节变化快慢及变化率。

本节内容通过分析研究记忆问题、温度变化问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。

平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。

在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

学生认知困难有两个：1.学生首次研究非线性的量的变化过程，需要“局部”以直代曲的辩证思维2.从粗糙的，生活的语言上升到定量的用符号的数学语言表达较难。

二．目标和目标解析
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《变化率及导数》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：
1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。

2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念，了解平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；
重点平均变化率及应用
难点对平均变化率的抽象概括
三.教学过程设计
一．新课讲授
（一）问题提出
一、创设情境，课题引入
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢？
我校举行学生运动会，已知学生甲跑了100米用时13秒，学生乙跑了100米用了14秒，请问那个学生跑的更快？若学生乙跑了200米用了25秒，那个学生跑的更快？
引导学生借助寻找共同量“平均速度”比较大小
量化:
100200,1325，引出s
t
并表示解释含义
设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，直观感性认识变化率问题 为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

借助平均速度来量化变化问题为定义铺垫
,
,以面积s 为因变量A 、B 、C 拖至对设计意图：通过形直观感受变化快慢与图像之间关系，借助线性铺垫研究非线性图像，铺垫数形结合的思想
也可以让学生动手借助几何画板通过度量s 与h 的值验证自己的判断
二、 建构数学
问题：上述例题中我们借助形直观感受的量的变化快慢，下面研究如何量化形中所体现的图像变化特征？
学生活动：六人一组，每组配一笔记本分组研究，可自行设计方案，也可查看温馨提示借鉴研究方案
拖动ｘ１改变区间位置
ｙ２ ｙ１
ｘ２ ｘ１
= 1.07
ｘ２ = –17.58ｘ１ = –18.55ｙ２ = 4.45ｙ１
= 3.40
拖动ｘ１改变区间位置
ｙ２ ｙ１ｘ２ ｘ１
= 1.02
ｙ２ = 2.43ｙ１ = 1.44ｘ２
= –7.47ｘ１ = –8.45
拖动ｘ１改变区间位置
２ １ｘ２ ｘ１
= 1.40
ｙ２ = 4.44
１ = 3.07ｘ２ = 2.80１ = 1.82
研究方式：
第一步：三个图横向比较，取相同的区间长度x ，度量对应的因变量改变量
y ，作比值，拖动区间，观察比值变化情况
第二步：研究单个图像，取任意区间，作比值2121
()()f x f x y
x x x
，拖动区间看比值的变化
设计意图：借助几何画板的功能，利用线性的铺垫引导学生利用直线的斜率度量曲线的变化快慢，将难点分解突破，研究过程采用分层教学方式，充分调动学生积极性
定义：平均变化率概念:
问题6：你能给出平均变化率的概念吗？
【定义】 一般地，函数 在区间 [ x 1, x 2 ] 上的平均变化率为
【图形表示】
【平均变化率的意义】
视觉化
数形结合思想 平均变化率 曲线的陡峭程度
数量化
设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

思考：（1）x ∆,y ∆的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？ 设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

若设2
1x
x x , 21()
()f
f x f x (这里x 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+x 代替x2,同样21()
()f
y
f x f x )，则平均变化率为
y f x
x
211121
()()()()
f x f x f x x f x x x x
思考：观察函数f(x)的图象平均变化率2121()()f x f x y
x x x -∆=
-∆表示什么?（图略）
()f x 2121()()f x f x x x -=-函数值的增加量相应自变量的增加量
设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3．典例分析
例 1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，由此你能得到什么结论？
分析：本题练习使用平均变化率公式，并利用它的结果解释生活现象。

解：（略）
例 2
o
h
s
o s
h
将引例中曲线对应的函数解析式设为：22,y x y
x 求在区间1,21,1.2，的平均变化率
（组长安排每三人做一题）
设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤
越 (1) [ 1, 2 ] 3 来 (2) [ 1, 1.1 ] 2.1 越 (3) [ 1, 1.01 ] 2.01 小 (4) [ 1, 1.001 ] 2.001 趋
于
2
回顾：根据本题结果随区间的变化而具有规律性的变化，你对平均变化率有何更进一步认识？
——用平均变化率来量化一段曲线的陡峭程度是“不精确的”，但当所取的变化区间的长度逐渐变小趋近于0时，这种量化便由“不精确”向“精确”转化。

当区间的右端点不断接近1的时候，平均变化率不断接近数值2，那么2有何含义呢？
设计意图：建立趋近思想，拓展课外，铺垫下节内容
练习：1.如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积V =0.152t -⨯(单位：Cm 3)，试求第一个10 s 内体积V 的平均变化率.
（分析：本题是对平均变化率公式的直接应用，并用它的结果解释实际问题，体会平均变化率的意义）
2.
4．回顾总结
知识小结：（1）函数平均变化率的概念及几何意义是什么？
（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？
方法小结：特殊到一般 以直代曲 思想小结：数形结合
设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

5．布置作业 课后习题。