高中数学 第三章导数的概念 3.1.2 瞬时变化率—导数学案 苏教版选修1-1

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
学 习 资 料 专 题
3.1.2 瞬时变化率—导数
学习目标：1.理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点) 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．曲线上一点处的切线
设曲线C 上的一点P ，Q 是曲线C 上的另一点，则直线PQ 称为曲线C 的割线；随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线
PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 称为曲线在点P 处的切线．
2．瞬时速度
运动物体的位移S (t )对于时间t 的导数，即v (t )＝S ′(t )． 3．瞬时加速度
运动物体的速度v (t )对于时间t 的导数，即a (t )＝v ′(t )． 4．导数
设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值
Δy Δx ＝
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A
为函数f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．
5．导函数
若函数y ＝f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．
6．函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 值的正、负无关．( ) (2)在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( ) (3)在导数的定义中，Δy
Δx
＞0.( )
【解析】 (1)√.Δx 是自变量的增量，可正可负，函数f (x )在x ＝x 0处的导数与它的正负无关．
(2)×.Δy 可以为0，如常数函数． (3)×.Δy
Δx 也可能是负数或0.
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
2．函数f (x )＝x 2
在点(1,1)处切线的斜率是________． 【解析】 k ＝＋Δx 2
－1
Δx
＝2＋Δx ，当Δx →0时，k →2，故所求的切线的斜率是
2.
【答案】 2
3．一辆汽车运动的速度为v (t )＝t 2
－2，则汽车在t ＝3秒时加速度为__________． 【解析】 a ＝Δv
Δt
＝
＋Δt
2－2－－
Δt
＝6＋Δt ，
当Δt →0时，a →6，故汽车的加速度为6. 【答案】 6
[合 作 探 究·攻 重 难]
(1)t ＝2时的瞬时速度(时
间单位：s ，位移单位：m)．
(2)设一辆汽车在公路上做加速直线运动，其在t s 时的速度为v (t )＝t 2
＋1，求汽车在
t ＝1 s 时的加速度.
【导学号：95902184】
[思路探究] (1)设时间变化量Δt →求位移增量Δs →求平均速度
Δs Δt →令Δt →0→结论.
(2)设时间变化量Δt →求速度增量Δv →求平均加速度Δv
Δt →令Δt →0→结论
【自主解答】 (1)设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，
则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2
，Δs Δt ＝8＋2Δt ，
当Δt →0时，Δs
Δt →8，所以这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.
(2)设这辆车在t ＝1附近的时间变化量为Δt ，
则速度的增量Δv ＝[(1＋Δt )2＋1]－(12＋1)＝(Δt )2
＋2Δt ，Δv Δt ＝Δt ＋2，当Δt →0
时，Δv
Δt
→2，
所以汽车在t ＝1 s 时的加速度为2. [规律方法]
(1)求瞬时速度的步骤：
①求位移增量Δs ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； ②求平均速率v －＝Δs
Δt
；
③求瞬时速度：当Δt 趋近于0时，Δs
Δt 趋近于v .
(2)求瞬时加速度的步骤： ①求平均加速度Δv
Δt ；
②令Δt →0，求瞬时加速度. [跟踪训练]
1．若一物体的运动方程为S ＝7t 2
＋8，则其在t ＝__________时的瞬时速度为1. 【解析】 因为Δs
Δt
＝
t 0＋Δt
2
＋8－t 20＋
Δt
＝7Δt ＋14t 0，
所以当Δt →0时，Δs Δt 趋近于14t 0，即14t 0＝1，t 0＝1
14.
【答案】 114
求函数y ＝x ＋1
x
在x ＝1处的导数.
【导学号：95902185】
[思路探究] 方法一：先求Δy ，再求出Δy
Δx ，令Δx →0，可求f ′(1)，先求出f ′(x )，
再求出f ′(x )在x ＝1处的值．
方法二：先求出Δy
Δx ，当Δx 无限趋于0时，即可求出f ′(x )在x ＝1处的值．
【自主解答】 方法一：∵Δy ＝(1＋Δx )＋
11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋11＋Δx
＝
Δx －Δx ＋＋11＋Δx
＝
Δx 2
1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy
Δx
→0，∴f ′(1)
＝0.
方法二：Δy Δx ＝
f
x ＋Δx －f x
Δx
＝x ＋Δx ＋
1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋1x Δx
＝1－
1
x ＋Δx x
，
当Δx 无限趋于0时，1－
1x ＋Δx x 无限趋近于1－1
x
2，
即f ′(x )＝1－1
x
2，故f ′(1)＝0.
函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为1－1
1
2＝0.
[规律方法] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx ；
(3)求当Δx →0时，Δy
Δx 的值，即f ′(x 0).
[跟踪训练]
2．根据导数的定义求下列函数的导数： (1)求y ＝x 2
在x ＝1处的导数；
(2)求y ＝x 2
＋1x ＋5在点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，192处的导数．
【解】 (1)∵Δy ＝(1＋Δx )2
－12
＝2Δx ＋(Δx )2
，∴Δy Δx ＝
2Δx ＋Δx
2
Δx
＝2＋Δx ，
当Δx 无限趋近于0时，Δy
Δx ＝2＋Δx 无限趋近于2，所以f ′(1)＝2.
(2)∵Δy ＝(2＋Δx )2＋12＋Δx ＋5－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2
－
Δx
＋Δx
，
∴
Δy Δx ＝4＋Δx －1
4＋2Δx
， ∴当Δx →0时，Δy Δx →4－14＝154，故f ′(2)＝15
4
.
[探究问题] 1．平均变化率
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
的几何意义是什么？
【提示】 平均变化率
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
的几何意义是过点P (x 0，f (x 0))和Q (x 0
＋Δx ，f (x 0＋Δx ))割线的斜率．
2．在探究1中，若让Δx →0，割线PQ 是如何变化的？
【提示】 当点Q 沿着曲线无限接近点P ，即Δx →0时，割线PQ 有一个极限位置PT ，我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线．
3．根据探究2的答案，导数的几何意义是什么？
【提示】 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝f ′(x 0)
．
4．我们在初中学过圆的切线，圆是一种特殊曲线，圆的切线与圆只有一个公共点，其他曲线和它的切线也只有一个公共点吗？
【提示】 曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．
求双曲线y ＝1x 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，12的切线方程. 【导学号：95902186】
[思路探究] 由导数的几何意义先求出斜率，再求方程.
【自主解答】
Δy Δx
＝f ＋Δx －f
Δx
＝12＋Δx －1
2Δx
＝－
1
＋Δx
，
当Δx →0时，Δy Δx →－14，即k ＝f ′(2)＝－1
4.
所以由直线方程的点斜式知切线方程为：
y －1
2＝－14(x －2)，即y ＝－14
x ＋1.
[规律方法]
1．求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程．即点P 的坐标既适合曲线方程，又适合切线方程，若点P 处的切线斜率为f ′(x 0)，则点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；如果曲线y ＝f (x )在点P 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可由切线定义确定切线方程为x ＝x 0.
2．若切点未知，此时需设出切点坐标，再根据导数的定义列关于切点横坐标的方程，最后求出切点坐标或切线的方程，这种情况下求出的切线方程往往不止一条．
[跟踪训练]
3．已知直线y ＝3x ＋a 和曲线y ＝x 3
相切，求实数a 的值． 【解】 设切点为M (x 0，y 0)，则Δy Δx ＝
x 0＋Δx
3
－x 3
Δx
＝3x 20＋3x 0(Δx )＋(Δx )2
，
当Δx 无限趋近于0时，3x 2
0＋3x 0(Δx )＋(Δx )2
无限趋近于3x 2
0. 由题意得，3x 2
0＝3，解得x 0＝1或x 0＝－1. 所以切点坐标为(1,1)或(－1，－1)． 将点(1,1)代入直线y ＝3x ＋a ，可得a ＝－2； 将点(－1，－1)代入直线y ＝3x ＋a ，可得a ＝2. 综上可知，a ＝－2或a ＝2.
[构建·体系
]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2
(a ，b 为常数)，则f ′(x 0)＝________.
【解析】 ∵f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝
a Δx ＋
b Δx
2
Δx ＝a ＋b ·Δx ，当Δx →0时，
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
→a ，∴f ′(x 0)＝a .
【答案】 a
2．已知曲线y ＝13x 3＋4
3
，则以点P (2,4)为切点的切线方程是________.
【导学号：95902187】
【解析】 ∵Δy Δx
＝
13
x ＋Δx
3
－x 3
]
Δx
＝x 2＋13
(Δx 2
)＋Δx ·x ，
当Δx →0时，Δy Δx →x 2，所以f ′(x )＝x 2
，∴k ＝f ′(2)＝4，
∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即y ＝4x －4.
【答案】 y ＝4x －4
3．设函数f (x )＝ax 3
＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 【解析】 Δy Δx ＝
f
－1＋Δx －f －
Δx
＝
a －1＋Δx
3
＋2－a －3
－2
Δx
＝3a
－3a Δx ＋a (Δx )2
当Δx →0时，Δy
Δx →3a ，所以f ′(－1)＝3a ＝3，即a ＝1.
【答案】 1
4.如图3­1­3所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝x ＋5，则f (3)－f ′(3)＝__________.
图3­1­3
【解析】 由导数的几何意义知f ′(3)＝－1，又f (3)＝－3＋5＝2， ∴f (3)－f ′(3)＝2－(－1)＝3. 【答案】 3
5．以初速度v 0 (v 0＞0)做竖直上抛运动的物体，t 时刻的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2
，求
物体在时刻t 0时的瞬时速度.
【导学号：95902188】
【解】 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2
，
∴
Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，当Δt →0时，Δs
Δt
→v 0－gt 0， ∴物体在时刻t 0时的瞬时速度为v 0－gt 0.。