【精品】2015学年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学试卷和解析(文科)

）
A．直线 l 上的所有点都是 “ 点 ”
B．直线 l 上仅有有限个点是 “ 点”
C．直线 l 上的所有点都不是 “ 点”
D．直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是 “ 点”
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请把答案填在题中横线
上.
11．（ 4 分）经过点 A（3， 0），且与直线 2x+y﹣5=0 平行的直线方程是
将 M 、F 的坐标代入，得（ 4﹣g）2+（4﹣h）2=（ 1+g）2，（1﹣g）2+（ 0﹣ h） 2= （ 1+g）2， 即 h2﹣8h+1=10g①， h2=4g②，②代入①， 得 3h2+16h﹣ 2=0，
解得 h1=
，h2=﹣
，（经检验无增根）
代入②得 g1=
，g2=
，
所以满足条件的圆有两个：
②∠ PFQ＞ ； ③ | MF| =| MQ| ④ | MN| ＜| MQ|+| NP| ； ⑤以线段 MF 为直径的圆必与 y 轴相切． 【解答】 解：抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F（ ，0），准线为： x=﹣ ， 对于①，设直线 MN：y=k（x﹣ ）， 联立抛物线方程，消去 x，得， ky2﹣2py﹣p2k=0， 则有 y1+y2= ， y1y2=﹣ p2，
∴ | PF2| =6﹣| PF1| =2．
在△ F1PF2 中， cos∠ F1PF2=
=﹣ ，
∴∠ F1PF2=120°． 故答案为： 120°
15．（4 分）已知过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线交抛物线于 M（x1，y1）、 N（x2，y2）两个不同的点，直线 OM、ON（O 为坐标原点）分别与准线 l 相交于 P、Q 两点，下列结论正确的是 ①③⑤ （请填上正确结论的序号） ． ① PN∥QM；
的大小为
．
15．（4 分）已知过抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点 F 的直线交抛物线于 M（x1，y1）、
N（x2，y2）两个不同的点，直线 OM、ON（O 为坐标原点）分别与准线 l 相交于
P、Q 两点，下列结论正确的是
（请填上正确结论的序号） ．
① PN∥QM；
②∠ PFQ＞ ；
③ | MF| =| MQ| ④ | MN| ＜| MQ|+| NP| ； ⑤以线段 MF 为直径的圆必与 y 轴相切．
7．（4 分）若点 P（2，0）到双曲线
曲线的离心率为（
）
的一条渐近线的距离为 ，则双
A． B． C． D． 【解答】 解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为 α
所以
? a=b，
因此
，
故选： A．
8．（ 4 分）若抛物线 y2=4x 的焦点是 F，准线是 l，点 M（4，4）是抛物线上一点，
则经过点 F、 M 且与 l 相切的圆共有（
故选： A．
6．（ 4 分）过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2+y2﹣4y=0 所截得的弦长为 （ ） A．2 B．2 C． D．
【解答】 解：根据题意：直线方程为： y= x， ∵圆 x2+y2﹣4y=0， ∴圆心为：（ 0， 2），半径为： 2， 圆心到直线的距离为： d=1， ∴弦长为 2 =2 ， 故选： A．
13．（ 4 分）圆心在直线 x=2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（ 0，﹣ 4），B（0，﹣2）， 则圆 C 的方程为 （x﹣2）2+（y+3） 2=5 ． 【解答】 解：根据垂径定理可得 AB 的垂直平分线 y=﹣3 过圆心， 而圆心过 x=2，则圆心坐标为（ 2，﹣ 3），
圆的半径 r=| AC| =
2．（4 分）对任意实数 θ，则方程 x2+y2sin θ =所4 表示的曲线不可能是（
）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
3．（4 分）抛物线 y=﹣ 的准线方程为（
）
A．x=
B．y= C． x= D．y=
4．（4 分）过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线
）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个 【解答】解：抛物线 y2=4x 的焦参数 p=2，所以 F（1，0），直线 l：x=﹣ 1，即 x+1=0，
设经过点 M （4，4）、F（1， 0），且与直线 l 相切的圆的圆心为 Q（ g， h）， 则半径为 Q 到， l 的距离，即 1+g，所以圆的方程为（ x﹣ g）2+（ y﹣ h） 2=（1+g） 2，
sin θ∈[ ﹣ 1， 0）时，方程表示双曲线； sin θ∈（ 0， 1），方程表示椭圆． 即方程 x2+y2sin θ =不4 表示抛物线
故选： C．
3．（4 分）抛物线 y=﹣ 的准线方程为（
）
A．x=
B．y= C． x= D．y=
【解答】 解：抛物线方程 y=﹣ ，可化为 x2=﹣ 6y，
三、解答题：本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.解答应写出必要的文字 说明、演算过程及步骤 . 16．（ 10 分）求满足下列条件的双曲线的标准方程： （ 1）渐近线方程为 2x±3y=0，顶点在 y 轴上，且焦距为 2 ；
（ 2）与双曲线 ﹣ =1 有公共焦点，且过点（ 3 ，2）．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1．（4 分）若 A（1，3，﹣2）、B（﹣ 2，3，2），则 A、B 两点间的距离为（
）
A． B．5 C．25 D．
【解答】 解：∵ A（ 1， 3，﹣ 2）、B（﹣ 2， 3∴抛物线的准线方程为 y= ．
故选： B．
4．（4 分）过原点的直线与圆 x2+y2+4x+3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线
的方程是（
）
A．y=
B．y=﹣
C．
D．
【解答】 解：如图，圆方程为（ x+2） 2+y2=12， 圆心为 A（﹣ 2，0），半径为 1，
．
故选： C．
的方程是（
）
A．y=
B．y=﹣
C．
D．
5．（4 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆 C：x2+y2
﹣ 2x﹣15=0 的半径，则椭圆的标准方程是（
）
A． + =1 B． + =1
C． +y2=1D． + =1
6．（ 4 分）过原点且倾斜角为 60°的直线被圆 x2+y2﹣4y=0 所截得的弦长为 （ ） A．2 B．2 C． D．
（ x﹣
）2+（ y﹣
） 2=（
（ x﹣
）2+（ y+
）2=（
） 2， ）2．
故选： C．
9．（4 分）若椭圆上存在点 P，使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2：1，则此椭
圆离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：设 P 点的横坐标为 x ∵ | PF1| =2| PF2| 所以 P 在椭圆上（ x≤a） 由焦半径公式有 2a﹣2ex=a+ex 得到 3ex=a， x= a
7．（4 分）若点 P（2，0）到双曲线
的一条渐近线的距离为 ，则双
曲线的离心率为（
）
A． B． C． D． 8．（ 4 分）若抛物线 y2=4x 的焦点是 F，准线是 l，点 M（4，4）是抛物线上一点，
则经过点 F、 M 且与 l 相切的圆共有（
）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．4 个
x2﹣（ 4m﹣ 1 ）x+2m2﹣1=0 ∵△ =8m2﹣8m+5＞0 恒成立， ∴方程恒有实数解， ∴故选 A．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请把答案填在题中横线 上. 11．（ 4 分）经过点 A（ 3， 0），且与直线 2x+y﹣ 5=0 平行的直线方程是 2x+y﹣ 6=0 ． 【解答】 解：由平行关系可设所求直线的方程为 2x+y+c=0， ∵直线经过 A（3，0），∴ 2×3+0+c=0 解得 c=﹣ 6，∴所求直线方程为 2x+y﹣6=0 故答案为： 2x+y﹣ 6=0
9．（4 分）若椭圆上存在点 P，使得点 P 到两个焦点的距离之比为 2：1，则此椭
圆离心率的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．（ 4 分）点 P 在直线 l：y=x﹣1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A，B
两点，且 | PA| =| AB| ，则称点 P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（
17．（10 分）已知圆 M 过 C（ 1，﹣1），D（﹣ 1，1）两点，且圆心 M 在 x+y﹣ 2=0 上． （Ⅰ）求圆 M 的方程； （Ⅱ）设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点， PA，PB是圆 M 的两条切线， A，B 为切 点，求四边形 PAMB面积的最小值． 18．（ 10 分）已知抛物线 C： y2=2px （p＞0）过点 A（1，﹣ 2）． （ 1）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （ 2）是否存在与直线 OA（O 为坐标原点）垂直的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且点 A 到 l 的距离等于 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在， 说明理由． 19．（10 分）已知椭圆 C 的一个焦点为 F（﹣ 2，0），且长轴长与短轴长的比是 2：
．
12．（ 4 分）已知点 P（ 3，2）与点 Q（ 1， 4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程
为
．
13．（ 4 分）圆心在直线 x=2 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A（ 0，﹣ 4），B（0，﹣2），
则圆 C 的方程为
．
14．（ 4 分）椭圆
的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若 | PF1| =4，∠ F1PF2
∴根据空间两点间的距离公式，
可得 | AB| =
=5．
故选： B．
2．（4 分）对任意实数 θ，则方程 x2+y2sin θ =所4 表示的曲线不可能是（
）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
【解答】 解：由题意， sin θ∈[ ﹣1，1]
∴ sin θ=时1 ，方程表示圆； sin θ=时0 ，方程表示两条直线；
=，
则圆的标准方程为： （ x﹣ 2） 2+（y+3）2=5． 故答案为：（ x﹣2）2+（ y+3）2=5
14．（ 4 分）椭圆
的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若 | PF1| =4，∠ F1PF2
的大小为 120° ．
【解答】 解：∵ | PF1|+| PF2| =2a=6， | PF1| =4，
5．（4 分）已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ，它的长轴长等于圆 C：x2+y2
﹣ 2x﹣15=0 的半径，则椭圆的标准方程是（
）
A． + =1 B． + =1
C． +y2=1D． + =1
【解答】 解：∵ x2+y2﹣ 2x﹣15=0， ∴（ x﹣ 1） 2+y2=16， ∴ r=4=2a， ∴ a=2， ∵ e= ，∴ c=1，∴ b2=3．
． （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）设点 M（ m，0）在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点，记 | | 的最
小值为 f（m）若关于实数 m 的方程 f（m）﹣ 2t=0 有解，请求实数 t 的取值范围．
2014-2015 学年四川省绵阳市南山中学高二 （上） 期中数 学试卷（文科）
因为 x≤a，即 a≤ a
∴ e≥
∴ e 的范围为
故选： D．
10．（ 4 分）点 P 在直线 l：y=x﹣1 上，若存在过 P 的直线交抛物线 y=x2 于 A，B
两点，且 | PA| =| AB| ，则称点 P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是（
）
A．直线 l 上的所有点都是 “ 点 ”
B．直线 l 上仅有有限个点是 “ 点”
2014-2015 学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷 （文科）
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的 .
1．（4 分）若 A（1，3，﹣2）、B（﹣ 2，3，2），则 A、B 两点间的距离为（
）
A． B．5 C．25 D．
12．（ 4 分）已知点 P（ 3，2）与点 Q（ 1， 4）关于直线 l 对称，则直线 l 的方程
为 x﹣ y+1=0 ．
【解答】 解：点 P（ 3， 2）与点 Q（1，4）关于直线 l 对称，
所以 PQ 的中点坐标为：（2，3）， PQ的斜率为：
，
所以对称轴的斜率为： 1， 所以对称轴方程为： y﹣3=x﹣2， 即： x﹣ y+1=0． 故答案为： x﹣ y+1=0．
C．直线 l 上的所有点都不是 “ 点”
D．直线 l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是 “ 点” 【解答】 解：设 A（ m，n），P（x， x﹣ 1）则， B（2m﹣x，2n﹣ x+1） ∵ A， B 在 y=x2 上 ∴ n=m2， 2n﹣x+1=（2m﹣x）2 消去 n，整理得关于 x 的方程