江苏常州2019高三上年末调研测试--数学

江苏常州2019高三上年末调研测试--数学
数 学Ⅰ
参考公式： 样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差
2
2
11()n i i s x x n ==-∑，其中x =1
1n
i
i x n =∑、
【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分、请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．、 1
．设集合{A =
，{}B a =，假设B A ⊆，那么实数a 的值为 、
2．复数1i z =-+〔为虚数单位〕，计算：z z z z
⋅-= 、 3．双曲线2
2
22
1(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线通过点(1,2)，那么该双曲线的离心率的值为 、
4．依照右图所示的算法，可知输出的结果为 、
5．某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品、某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，那么此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 、 6．函数
(1)()cos
cos
22
x x f x -=p p 的最小正周期为 、 7．函数22()log (4)f x x =-的值域为 、
8．点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数上，假设曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，那么32a b d ++= 、 9．向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，那么向量a ，b 的夹角的大小为 、
〔1〕假设一个平面通过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂
0102321Pr int n S n While S S S n n End While n
++ ≤ ←←0
←←4(第题)
直；
〔2〕假设一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
〔3〕假设两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；
〔4〕假设两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，所有真命题的序号为、 11.函数f (x )＝32
,
2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨
⎪-<<⎩
≥，假设关于x 的方程f (x )＝kx 有两个
不同的实根，那么实数k 的取值范围是、 12.数列{}n
a 满足
143a =，()*
11226n n a n N a +-=∈+，那么11n i i
a =∑=、 13.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，那么PM PN ⋅的最大值为、
14.实数,x y 同时满足54
27
6x
y
--+=，2741
log log 6
y x -≥，2741y x -≤，那么x y
+的取值范围是、
【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、〔本小题总分值14分〕,αβ均为锐角，且3sin 5α=
，1tan()3
αβ-=-
、 〔1〕求sin()αβ-的值； 〔2〕求cos β的值、
16、〔本小题总分值14分〕如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面
ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB
，2AB ==，3CD =，直线
PA 与底面ABCD
所成角为60°，点M 、N 分别是PA ，PB 的中点、 〔1〕求证：MN ∥平面PCD ；
〔2〕求证：四边形MNCD 是直角梯形； 〔3〕求证：DN ⊥平面PCB 、
17、〔本小题总分值14分〕第八届中国花博会将于2018年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，
BC a =，CD b =、a ，b
为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中
划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区〔点E ，F 分别在线段AB ，
AD 上〕，且该直角三角形AEF 的周长为〔2l b >〕，如图、设AE x =，△
AEF 的面积为S 、
〔1〕求S 关于x 的函数关系式；
〔2〕试确定点E 的位置，使得直角三角形地
块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值、
18、〔本小题总分值16
别是椭圆E :2
2
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=.
〔1〕求椭圆E 的离心率；
〔2〕点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点〔异于点A 、B 〕，连接1MF 并延长交椭圆
E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，
设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由.
19、〔本小题总分值16分〕数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =、
〔1〕假设1243,a b a b ==、求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
〔2〕假设112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值、 20、〔本小题总分值16分〕函数()ln f x x x a x =--. 〔1〕假设a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; 〔2〕求函数()f x 的单调区间；
〔3〕假设()0f x >恒成立，求a 的取值范围、
数学Ⅱ〔附加题〕
注意事项：
考生在答题前请认真阅读本考前须知及各题答题要求
1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用、本试卷第21题有A 、B 、C 、D4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题、假设考生选做了3题或4题，那么按选做题中的前2题计分、第22、23题为必答题、每题10分，共40分、考试时间30分钟、考试结束后，请将答题卡交回.
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置、
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效、作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔、请注意字体工整，笔迹清晰、
4.如需作图，须用2B 铅笔绘、写清晰，线条、符号等须加黑、加粗、
5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损、一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔、
21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每题10分，共计20分、请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、
A 、选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ， 过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D 、连结CF 交
AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅.
B 、选修4—2：矩阵与变换 矩阵⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=d c A 33，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向
量为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=232α矩阵A 的逆矩阵、
C 、选修4—4：坐标系与参数方程 曲线1C 的极坐标方程为
cos 1
3πρθ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，曲线2C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭，判断两曲线的位置关系、
D 、选修4—5：不等式选讲
设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+、
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分、请在答题卡．．．指定区域．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 22、(本小题总分值10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个基本上白球的概率为512
、现甲、乙两人从袋中轮流摸球，
甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止、用X 表示取球终止时取球的总次数、
〔1〕求袋中原有白球的个数；
〔2〕求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X 、
23、(本小题总分值10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. 〔1〕求1234,,,a a a a ；
〔2〕写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.
参考答案
数学Ⅰ 【一】填空题 1、02、i -
4.115、
815
6、2
7、(,2]-∞
8、7
9、p
10、()1、()3、()411、10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
12、2324n
n ⋅--13
、4+14、56⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
【二】解答题
15、解：〔1〕∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ
22
αβ-<-<
、
又∵1
tan()03αβ-=-<，∴π0
2
αβ-<-<、…………………………4分
∴
sin()αβ-=、………………………………6分
〔2〕由〔1
〕可得，cos()αβ-=
∵α为锐角，3sin 5α=，∴4
cos 5
α=
、 (10)
分
∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+-…………12分
=4
3(55+⨯
、…………………………14分
16、证明：〔1〕因为点M ，N 分别是PA ，PB 的中点，因此MN ∥
AB ………………2分
因为CD ∥AB ，因此MN ∥CD 、
又CD ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，因此MN ∥平面PCD .……4分 〔2〕因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，因此CD ⊥AD ， 又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
因此CD ⊥PD ，又AD PD D =，因此CD ⊥平面PAD 、……………6分 因为MD ⊂平面PAD ，因此CD ⊥MD ，
因此四边形MNCD 是直角梯形………………………………8分 〔3〕因为PD ⊥底面ABCD ，因此∠PAD 确实是直线PA 与底面ABCD 所成的角，从而∠PAD =60………………………9分
在Rt △PDA
中，AD =
，PD =
，PA =
，MD =
在直角梯形
MNCD 中，
1
MN =
，
ND =，3CD =
，
CN ==，
从而222DN CN CD +=，因此DN ⊥CN 、…………………………11分 在Rt △PDB 中，PD =DB
，N 是PB 的中点，那么DN ⊥PB 、……13分 又因为PB CN N =，因此DN ⊥平面PCB 、…………………14分 17、解：〔1〕设AF y =，
那么x y l ++=，整理，得222()
l lx y l x -=
-、………
3分
2(2)4(12)
l l x S lx x xy --==
，](0,x b ∈、…………………………………4分
〔2〕
()(
)]22'
22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫
-+=⋅=-⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
∴
当
b ≤时，'
0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()
max 24bl b l S b l -=-；
当
b >
时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'
0S >，S
递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎭
上，'0S <，S
递减，故当
x =
时，2max S =. 18、解：〔1〕2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，
故椭圆E 的离心率为23
.
〔2〕存在满足条件的常数λ，
4
7
=-
l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，
2c ∴=，从而3a =
，b =，左焦点()12,0F -，椭圆
E 的方程为2
2
195
x y +=.
设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，那么直线MD 的方程为
11
11
x x y y -=+，代入椭圆方程
22
195
x y +=，整理得，
211211
51
40x x y y y y --+-=.()1113115
y x y y x -+=-，13145y y x ∴=
-.从而1
3159
5
x x x -=-，故点
111
1594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪
--⎝⎭.同理，点222
2594,55x y Q x x ⎛⎫
- ⎪
--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，
12
1222
y y x x ∴=
++，
从
而
()
1221122x y x y y y -=-.从
而
()()()()12
122112123412121234121212445755
75959444
55
y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x -
-+-----=====
--------.故
2
1407
k k -
=，从而存在满足条件的常数λ，
47
=-l . 19、解：〔1〕由题得225,3a b ==，因此123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，因此21n a n =+，从而349b a ==，因此
13n n b -=、……………………3分
〔2〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 那么15a d =-，
13b q
=
，35a d
=+，33b q =.
因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，因此2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=、
设11
33a b m a b n
+=⎧⎨
+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，
那么3
553d m
q d q n ⎧
-+=⎪⎨
⎪++=⎩
，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.
解得
d =
〔舍去负根〕. 35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最
大值.
*,m n N ∈，64mn =，
∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.
从而最大的
d =
因此，最大的
3a =
………16分
20、解：〔1〕假设a =1,那么()1ln f x x x x =--、 当[1,]x e ∈时,2()ln f x x x x =--,
2'121
()210
x x f x x x x
--=--=>， 因此()f x 在[1,]e 上单调增,2max
()()1f x f e e e ∴==--……………2分
〔2〕由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞、 〔ⅰ〕当0a ≤时，那么2()ln f x x ax x =--，2'
121()2x ax f x x a x x
--=--=
， 令
'()0f x =，得
00
x =>〔负根舍去〕， 且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >， 因此
()f x 在上单调减，在)
+∞上单调增.……4分
〔ⅱ〕当0a >时， ①当x a ≥时，
2'
121()2x ax f x x a x x
--=--=
,
令
'()0f x =，得1x =x a
=<舍〕，
a
≤，即1a ≥,那么'()0f x ≥，因此()f x 在(,)a +∞上单调增； 假设
a
>，即01a <<,那么当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当
1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，因此()f x 在区间
上是单调减，在
)
+∞上单调增.……………………6分 ②当0x a <<时,
2'
121()2x ax f x x a x x
-+-=-+-=
,
令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，
假设
280a ∆=-≤，即0a <≤,那么'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减； 假设
280a ∆=->，即a >那么由
'()0f x =得
3x =，4x =
且340x x a <<<，
当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞时，
'()0f x >，因此()f x 在区间
上是单调减，在
上单调增；在)
+∞上单调减………………………………………8分 综上所述，当
1a <时,()f x 单调递减区间是，()f x 单调递
增区间
是
)
+∞；
当
1a ≤≤时,()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是
(,)a +∞；
当
a >,()f x 单调递减区间是)和)
a ，
()f x 单调的递增区间是和(,)a +∞.………………
10分
〔3〕函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞、 由()0f x >，得
ln x x a x
->
、*
〔ⅰ〕当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0
x
x
<，不等式*恒成立，因此R a ∈；
〔ⅱ〕当1x =时，10a -≥，ln 0
x
x
=，因此1a ≠………………12分
〔ⅲ〕当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x
a x x <-
恒成立或
ln x
a x x
>+
恒
成立、 令
ln ()x h x x x =-，那么22
1ln ()x x
h x x -+'=
、
因为1x >，因此()0h x '>，从而()1h x >、 因为ln x a x x
<-
恒成立等价于min (())a h x <，因此1a ≤、 令
ln ()x
g x x x
=+
，那么
22
1ln ()x x
g x x +-'=
、
再令2()1ln e x x x =+-，那么
1()20e x x x
'=-
>在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在
(1,)x ∈+∞上无最大值、
综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞…………………………16分
数学Ⅱ〔附加题〕 21.【选做题】
A 、选修4—1：几何证明选讲 证明：连结OF 、
因为DF 切⊙O 于F ，因此∠OFD =90°、 因此∠OFC +∠CFD =90°、 因为OC =OF ，因此∠OCF =∠OFC 、
因为CO ⊥AB 于O ，因此∠OCF +∠CEO =90°、 因此∠CFD =∠CEO =∠DEF ，因此DF =DE 、 因为DF 是⊙O 的切线,因此DF 2
=DB ·DA 、 因此DE 2
=DB ·DA 、 B 、选修4—2：矩阵与变换
解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦
⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦
⎤⎢⎣⎡11，
即6=+d c ；
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-23＝⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-23，
即223-=-d c ，
解得⎩⎨
⎧==,
4,2d c 即A ＝⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32
.
C 、选修4—4：坐标系与参数方程 解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：
1:20C x ++=，
222:220C x y x y +--=
即()()222:112C x y -+-=，
圆心到直线的距离
d >，
∴曲线12C C 与相离、 D 、选修4—5：不等式选讲
证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-
=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +、 【必做题】
22、解：〔1〕设袋中原有个白球，那么从9个球中任取2个球基本上白球的概率为229
n C C
，
由题意知2
29n C C
=512
，即(1)
529812
2
n n -=⨯，化简得2
300n
n --=、
解得6n =或5n =-〔舍去〕 故袋中原有白球的个数为6.
〔2〕由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93
P X ===； 361(2)984
P X ⨯===⨯；
3261(3)98714P X ⨯⨯==
=⨯⨯；32161(4)987684
P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯. 因此取球次数X 的概率分布列为：
所求数学期望为E 〔X 〕=123
+214
+3114
+4184
=10.
7
23、解：〔1〕12342,4,8,15a a a a ====； 〔2〕
3
1(56)
6
n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，
设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即
3
1(56)
6
k a k k =++， 那么当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，因此可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线能够把第1k +个平面划最多分成2
1
[(1)(1)2)]
2
k k +-++个部
分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区
域
的
总
数
增
加
了
21
[(1)(1)2)]2
k k +-++个，
232
1111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]
262
k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++3
1[(1)5(1)6)]6
k k =++++，
即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，3
1(56)
6
n a n n =++.。