高中函数小题练习题及讲解

高中函数小题练习题及讲解
一、基础概念题
1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

2. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图象在第一象限的斜率是正还是负？
3. 函数\( y = \sqrt{x} \)的定义域是什么？
4. 函数\( y = |x-2| \)的值域是多少？
5. 函数\( y = \log_{10}x \)的反函数是什么？
二、函数性质题
1. 判断函数\( f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2 \)的单调性。

2. 求函数\( y = 3x^2 - 2x + 1 \)的极值点。

3. 函数\( y = \frac{1}{x} \)在\( x < 0 \)时的单调性如何？
4. 判断函数\( y = x^2 + 2x + 3 \)是否有最大值或最小值，并说明
理由。

5. 函数\( y = \log_{2}x \)的值域是什么？
三、函数图像题
1. 画出函数\( y = x^2 \)的图像，并标出顶点坐标。

2. 函数\( y = \sin(x) \)在\( [0, 2\pi] \)区间的图像有何特征？
3. 函数\( y = \cos(x) \)的图像与\( x \)轴的交点坐标是什么？
4. 函数\( y = \tan(x) \)的图像在哪些区间是单调的？
5. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图像在\( x > 0 \)时有哪些特点？
四、函数应用题
1. 某工厂生产的产品数量与成本之间的关系可以用函数\( C(x) = 100 + 50x \)表示，其中\( x \)是产品数量，求生产100件产品的成本。

2. 某公司的利润函数为\( P(x) = -3x^2 + 480x - 2000 \)，其中\( x \)是销售量，求该公司销售多少件产品时利润最大？
3. 某项投资的回报率与投资额之间的关系可以用函数\( R(x) =
0.05x - 0.0001x^2 \)表示，其中\( x \)是投资额，求投资额为多少时回报率最高？
4. 某城市的人口增长率可以用函数\( P(t) = 100(1.05)^t \)表示，其中\( t \)是年数，求10年后的人口数量。

5. 某产品的销售额与广告投入的关系可以用函数\( S(a) = -0.1a^2 + 20a + 100 \)表示，其中\( a \)是广告投入，求广告投入为多少时销售额最大？
五、函数综合题
1. 函数\( y = \sqrt{x} \)与\( y = \log_{10}x \)的交点坐标是什么？
2. 函数\( y = x^3 - 6x^2 + 9x \)的图像与\( x \)轴的交点坐标有哪些？
3. 函数\( y = \frac{1}{x} + x \)的图像在哪些区间单调递增？
4. 函数\( y = \sin(x) + \cos(x) \)的值域是什么？
5. 函数\( y = \log_{2}(x^2 - 4x + 3) \)的定义域是什么？
讲解
1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)中，将\( x = -1 \)代入，得到\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)。

2. 函数\( y = \frac{1}{x} \)在第一象限，即\( x > 0 \)，其斜率
\( y' = -\frac{1}{x^2} \)，因为\( x^2 > 0 \)，所以斜率是负的。