2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷
（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3} 2．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则|z|＝（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知α为锐角，，则＝（）
A．B．3C．D．﹣3
4．（5分）设命题p：∀x＜1，x2＜1，命题q：∃x0＞0，，则下列命题中是真命题的是（）
A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）5．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．5B．4C．6D．0
6．（5分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方
形，若直角三角形中较小的锐角．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）
A．B．C．D．
7．（5分）图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）
A．6B．10C．91D．92
8．（5分）已知等比数列{a n}，且a4+a8＝﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．6B．4C．8D．﹣9
9．（5分）设曲线f（x）＝（m∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y＝x2g（x）的部分图象可以为（）
A．B．
C．D．
10．（5分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱柱的外接球的表
面积为（）
A．4πB．12πC．D．
12．（5分）已知函数，若存在实数m使得不等式f（m）≤2n2﹣n成立，求实数n的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，1），u＝+2，v＝2﹣，且u∥v，则实数x 的值是．
14．（5分）若f（x）＝，则f[]＝．
15．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y＝3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P引圆（x﹣）2+（y+）2＝的切线，则此切线段的长度为．
16．（5分）已知F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异
于左、右顶点），过点P作∠F1PF2的角平分线交x轴于点M，若2|PM|2＝|PF1|•|PF2|，则椭圆的离心率为．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；
（2）若b sin（π﹣A）＝a cos B，且，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，P A⊥底面ABCD，ED∥P A，且P A＝2ED＝2．
（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；
（2）若∠ABC＝60°，求三棱锥P﹣ACE的体积．
19．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．
（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．
附：相关系数公式r＝，参考数据≈0.55，≈
0.95．
20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l：y＝kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x2+y2＝1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝2alnx+1（a∈R）
（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的极值；
（2）当a＝e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．
选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+4＝0．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和参数方程；
（Ⅱ）设l与曲线C交于A，B两点，求线段|AB|的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣a|（a∈R）．
（I）当a＝1时，解不等式f（x）＞3；
（II）不等式f（x）≥1在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，
B＝{x|x2﹣3x≥0}＝{x|x≤0或x≥3}，
则A∩B＝{﹣1，0，3}．
故选：D．
2．【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，得z＝，
∴|z|＝．
故选：C．
3．【解答】解：∵α为锐角，，
∴sinα＝＝，tan＝2，
∴＝＝＝．
故选：A．
4．【解答】解：当x＝﹣2时，满足x＜1，但x2＜1不成立，即命题p是假命题，当x0＝2时，满足x0＞0，此时，成立，即命题q是真命题，
则（￢p）∧q是真命题，其余为假命题，
故选：B．
5．【解答】解：实数x，y满足约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z＝2x+y过点A时，
目标函数取得最大值
由，解得A（1，2），则z＝2x+y的最大值为4．
故选：B．
6．【解答】解：由图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，
而阴影区域的边长为﹣1，面积为＝4﹣2；
所以，飞镖落在阴影区域的概率为：
P＝＝．
故选：A．
7．【解答】解：程序框图的意思是：
输出学生考试成绩的中，90及90分以上的人数，
从茎叶图中不难发现
一共有10，
∴n＝10．
故选：B．
8．【解答】解：由题意知：a6（a2+2a6+a10）＝a6a2+2a6a6+a10a6，
∵a4+a8＝﹣2，
∴a6a2+2a6a6+a10a6＝（a4+a8）2＝4．
故选：B．
9．【解答】解：由f（x）＝（m∈R），得f′（x）＝﹣（m∈R）．∴y＝x2g（x）＝．
该函数为奇函数，且当x→0+时，y＜0．
故选：D．
10．【解答】解：将函数＝sin（2x+）的图象向左平移φ
（φ＞0）个单位，
所得图象对应的函数y＝sin（2x+2φ+）恰为奇函数，∴2φ+＝kπ，k∈Z，则φ的最小值为，
故选：B．
11．【解答】解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2，如图：
其中SA＝4，AH＝××＝2，SH＝＝2，
设其外接球的球心为0，半径为R，则：OS＝OA＝R，
∴R+＝2⇒R＝，
∴外接球的表面积S＝4π×＝．
故选：D．
12．【解答】解：由，求导，f′（x）＝e x+f（0）x ﹣1，
当x＝1时，f′（1）＝f′（1）+f（0）﹣1，则f（0）＝1，
f（0）＝＝1，则f′（1）＝e，
f（x）＝e x+x2﹣x，则f′（x）＝e x+x﹣1，
令f′（x）＝0，解得：x＝0，
当f′（x）＞0，解得：x＞0，当f′（x）＜0，解得：x＜0，
∴当x＝0时，取极小值，极小值为f（0）＝1，
∴f（x）的最小值为1，
由f（m）≤2n2﹣n，则2n2﹣n≥f（x）min＝1，
则2n2﹣n﹣1≥0，解得：n≥1或n≤﹣，
实数n的取值范围（﹣∞，﹣∪[1，+∞），
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．【解答】解：∵＝（1，2），＝（x，1），
则＝+2＝（1，2）+2（x，1）＝（1+2x，4），
＝2﹣＝2（1，2）﹣（x，1）＝（2﹣x，3），
∵，
∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）＝0，解得：x＝．
故答案为：．
14．【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（log26）＝＝6，
∴f[]＝f（）＝1﹣（）2＝．
15．【解答】解：利用基本不等式及x+2y＝3得：2x+4y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝4y＝2，
即当x＝、y＝时，取等号，∴P（，）．
根据两点间的距离公式求出P到圆心的距离为＝，且圆的半径的平方为，
然后根据勾股定理得到此切线段的长度为＝，
故答案为：．
16．【解答】解：在三角形PF1F2中，由平分线定理，可得
＝，即有＝，
由椭圆的定义可得，
＝，即＝，
又在△PF1M和△PF2M中，
由余弦定理可得，
cos∠F1MP＝，
cos∠F2MP＝，
由cos∠F1MP+cos∠F2MP＝0，结合＝，
即为PM2（PF1+PF2）＝PF2•PF12+PF1•PF22﹣（PF1•F2M2+PF2•F1M2），结合2PM2＝PF1•PF2，
化简可得PM2•（PF1+PF2）＝PF1•F2M2+PF2•F1M2，
结合PF1+PF2＝2a，PF1•F2M＝PF2•F1M，2PM2＝PF1•PF2，
即有2a•PM2＝PF2•F1M•2c，
即＝，
可得＝，即c＝a，
可得e＝．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2＝2ab cos C，
可得：2ac sin B＝2ab cos C．
由正弦定理：2sin C sin B＝2sin B cos C
∵0＜B＜π，sin B≠0，
∴2sin C＝2cos C，
即tan C＝，
∵0＜C＜π，
∴C＝．
（2）由b sin（π﹣A）＝a cos B，
∴sin B sin A＝sin A cos B，
∵0＜A＜π，sin A≠0，
∴sin B＝cos B，
∴，
根据正弦定理，可得，
解得c＝1，
∴
．
18．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．
∵O，F分别为AC，PC的中点，
∴OF∥P A，且OF＝，
∵DE∥P A，且，
∴OF∥DE，且OF＝DE．
∴四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF．
P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD．
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．
∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．
∵BD∥EF，∴EF⊥平面P AC．
∵EF⊂平面PCE，∴平面P AC⊥平面PCE．
（2）解法1：∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，得AC＝2．
又∵P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴P A⊥AC．
∴．
∵EF⊥面P AC，∴EF是三棱锥E﹣P AC的高．
∵，
∴＝．
解法2：∵底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ACD为等边三角形．
取AD的中点M，连CM，则CM⊥AD，且．
∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CM，又P A∩AD＝A，
∴CM⊥平面P ADE，则CM是三棱锥C﹣P AE的高．
∵．
∴三棱锥P﹣ACE的体积＝．
19．【解答】解：（1）由已知数据可得，．…（1分）因为，…（2分）
＝20…（3分）．…（4分）
所以相关系数．…（5分）
因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…（6分）
（2）记商家周总利润为y元，由条件可得在过去50周里：
当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，
周总利润Y＝1×3000﹣2×1000＝1000元．…（8分）
当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，
周总利润Y＝2×3000﹣1×1000＝5000元．…（9分）
当X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，
周总利润Y＝3×3000＝9000元．…（10分）
所以过去50周周总利润的平均值元，
所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．…（12分）
20．【解答】解：（Ⅰ）依题意，e＝＝＝，则a2＝4b2，
由椭圆过点（1，）．代入椭圆方程：，
解得：a2＝4，b2＝1，
∴椭圆的标准方程：；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
由x1+x2＝﹣，x1x2＝，
由k OP+k OQ＝+＝＝＝2，
2（k﹣1）x1x2+m（x1+x2）＝0，
∴2（k﹣1）×+m×（﹣）＝0，
整理得：m2+k＝1，
由△＝16（4k2﹣m2+1）＝16（4k2+k），
，解得：k＜﹣，或0＜k≤1，
直线与圆x2+y2＝1相切，则＝1，
联立解得k＝0（舍去），k＝﹣1，
∴m2＝2，即m＝±，
∴直线l的方程y＝x±．
21．【解答】解：（1）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣2alnx，x＞0，
h′（x）＝，
当a≤0，h′（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，
当a＞0时，h′（x）＞0，即x2﹣a＞0，解得：a＞或x＜﹣，（舍去）
h′（x）＜0，即x2﹣a＜0，解得：0＜x＜，
∴h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，
∴h（x）的极小值为h（）＝a﹣2aln＝a﹣alna，无极大值；
（2）当a＝e时，h（）＝h（）＝e﹣elne＝0，此时h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，∴f（x）﹣g（x）≥0，当且仅当x＝时，取等号；
f′（x）＝2x，f′（）＝2，g′（x）＝，g′（）＝2，
∴f′（）＝g′（），
且在x＝处f（）＝g（）＝e+1，
即x＝时，y＝f（x）与y＝g（x）有公切线，切线方程y＝2x+1﹣e，
此时g（x）＝2x+1﹣e＝f（x），满足g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，
解得：k＝2，m＝1﹣e，
实数k，m的值分别为2，1﹣e．
选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+4＝0，所以曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0，
即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，
所以曲线C的参数方程为（φ为参数）．
（Ⅱ）把代入代入（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，
并整理得t2﹣2（cosα+2sinα）t﹣4＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
所以t1+t2＝2（cosα+2sinα），t1t2＝﹣4，
所以|AB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|
＝＝
＝＝，
设，，
∴，
∵﹣1≤sin（2α﹣φ）≤1，∴16≤10sin（2α﹣φ）+26≤3，∴4≤|AB|≤6，
∴|AB|的取值范围为[4，6]．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣1|，
①当x≤1时，f（x）＝2﹣x+2（1﹣x）＝﹣3x+4，
由f（x）＞3，得﹣3x+4＞3，解得x＜，
∴x＜；
②1＜x≤2时，f（x）＝2﹣x+2（x﹣1）＝x，
由f（x）＞3，得x＞3，
∴此时不等式无解；
③当x＞2时，f（x）＝x﹣2+2（x﹣1）＝3x﹣4，
由f（x）＞3，得3x﹣4＞3，解得x＞，
∴x＞；
综上，不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）．
（Ⅱ）f（x）≥1即|x﹣2|+2|x﹣a|≥1，
当|x﹣2|≥1，即x≤1或x≥3时，显然|x﹣2|+2|x﹣a|≥1对任意实数a恒成立；∴丨x﹣2丨+2丨x﹣a丨≥1 对任意实数x恒成立，
只须丨x﹣2丨+2丨x﹣a丨≥1 对x∈（1，3）恒成立．
（1）若x∈（1，2]时，得2|x﹣a|≥x﹣1，
即a≥，或a≤，x∈（1，2]恒成立，则a≥，或a≤1；
（2）若当x∈（2，3）时，得2|x﹣a|≥3﹣x，
即a≥，或a≤对x∈（2，3）恒成立，则a≥3，或a≤；
对（1）（2）中a的范围取交集，得a≤1或a≥3．。