高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理学案新

二圆内接四边形的性质与判定定理
[学习目标]
1.理解圆内接四边形的两条性质定理，并能应用定理解决相关的几何问题.
2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.
[知识链接]
1.判断下列各命题是否正确.
(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；
(2)矩形有唯一的外接圆；
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆.
提示(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等.
[预习导引]
1.性质定理1
证明两个角互补
2.性质定理
证明两个角相等3.
证明四点共圆
4.
证明四点共圆
要点一圆内接四边形的性质
例1 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，在AB 上截取PA ＝AC ，以PC 为直径的圆分别交
AB ，BC ，AC 于D ，E ，F .求证：PA PB ＝DA DP
. 证明 连接DF ，PF .
∵PC 是直径，∴PF ⊥AC .
∵BC ⊥AC ，∴PF ∥BC ，
∴PA PB ＝FA FC
. ∵四边形PCFD 内接于⊙O ，
∴∠ADF ＝∠ACP ，
∵AP ＝AC ，∴∠APC ＝∠ACP .
∴∠ADF ＝∠APC .∴DF ∥PC ，
∴DA DP ＝FA FC ，∴PA PB ＝DA DP
. 规律方法 1.在本题的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等.
2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系.
跟踪演练1 如图所示，⊙O 1和⊙O 2交于A ，B 两点，经过A 点的直线分别交两圆于C ，D ，
经过B 点的直线分别交两圆于E ，F .
求证：CE ∥DF .
证明 连接AB ，∵四边形ABEC 内接于⊙O 1，
∴∠ABF ＝∠C ，∵四边形ABFD 内接于⊙O 2，
∴∠ABE ＝∠D .又∠ABE ＋∠ABF ＝180°，
∴∠C ＋∠D ＝180°.故可得CE ∥DF .
要点二 圆内接四边形的判定
例2 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC 于P .
求证：E ，D ，P ，F 四点共圆.
解 连接PF ，
∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，
∴PF ＝12AC .
∵FC ＝12AC ，∴PF ＝FC ，
∴∠FPC ＝∠C .
∵E ，F ，D 分别为AB ，AC ，BC 的中点，
∴EF ∥CD ，ED ∥FC ，
∴四边形EDCF 为平行四边形，∴∠FED ＝∠C ，
∴∠FPC ＝∠FED ，∴E ，D ，P ，F 四点共圆.
规律方法 1.本题证明的关键是如何使用点E 、D 、F 是中点这一条件.
2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.
跟踪演练2 如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，
BE 相交于点P ，求证：四点P ，D ，C ，E 共圆；
证明 在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知△ABD ≌△BCE ，
∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝π.
∴四点P ，D ，C ，E 共圆.
要点三 圆内接四边形性质与判定的综合运用
例3 如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC ︵上的点(不与点A ，C 重合)，
延长BD 至E .
(1)求证：AD 的延长线DF 平分∠CDE ；
(2)若∠BAC ＝30°，△ABC 中BC 边上的高为2＋ 3.求△ABC 外接圆的面积.
(1)证明 如图，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，
∴∠CDF ＝∠ABC .又AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，且∠ADB ＝∠ACB ，∴∠ADB ＝∠CDF .
又由对顶角相等得∠EDF ＝∠ADB ，
故∠EDF＝∠CDF，
即AD的延长线DF平分∠CDE.
(2)解设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC，连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB ＝75°，∴∠OCH＝60°，
设圆半径为r，则r＋
3
2
r＝2＋3，得r＝2，外接圆的面积为4π.
规律方法 1.在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强.
2.此类问题考查知识较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，最终得到某些结论的成立.
跟踪演练3 如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和点B的圆与AD，BC分别
交于点E，F，连接EF.求证：E，F，C，D四点共圆.
证明由题意知四边形ABFE是圆内接四边形，
∴∠A＋∠BFE＝180°.又在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，∴∠BFE＝∠D，
∴E，F，C，D四点共圆.
1.对圆内接四边形的理解
(1)圆内接四边形是圆内接多边形的一种特殊情况，它们的关系可以用集合形式表示：{圆内接四边形}⊆{圆内接多边形}.
(2)掌握一些常见的结论，例如，正多边形一定存在外接圆；三角形一定存在外接圆，并且三角形的外接圆的圆心(即外心)是三条边的垂直平分线的交点；圆内接梯形一定是等腰梯形等.
2.判断四点共圆的基本方法
(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆；
(2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；
(4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆.
1.下列说法正确的个数有( )
①平行四边形内接于圆；②梯形内接于圆；③菱形内接于圆；④矩形内接于圆；⑤正方形内接于圆.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析根据圆内接四边形的判定定理知，④⑤正确.
答案 B
2.四边形ABCD内接于圆O，∠A＝25°，则∠C等于( )
A.25°
B.75°
C.115°
D.155°
解析∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠A＋∠C＝180°.又∠A＝25°，∴∠C＝180°－∠A＝155°. 答案 D
3.如图，点A，B，C，D在同一个圆上，直线AB，DC相交于点P，直线AD，BC相交于点Q，
如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________.
解析∵∠A＝50°，∠P＝30°，∴∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.又∠QCD＝∠A＝50°，∴∠Q
＝180°－80°－50°＝50°.
答案50°
4.如图所示，以锐角△ABC的三边为边向外作三个等边三角形ABD，BCE，CAG.求证：△ABD，
△BCE，△CAG的外接圆⊙O1，⊙O2，⊙O3交于一点.
证明设⊙O1，⊙O3交于点F，连接AF，BF，CF，∵A，F，B，D四点共圆，
∴∠AFB＋∠D＝180°.
∵△ABD为等边三角形，
∴∠D＝60°.
∴∠AFB＝120°.
同理，∠AFC＝120°，又∠AFB＋∠AFC＋∠BFC＝360°，
∴∠BFC＝120°.∵∠BFC＋∠E＝180°，∴B，E，C，F四点共圆，
即⊙O1，⊙O2，⊙O3交于一点.
一、基础达标
1.如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于
( )
A.120°
B.136°
C.144°
D.150°
解析 ∵∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，∴∠ECD ＝72°，∴∠BOD ＝2∠A ＝2∠ECD ＝144°.
答案 C
2.在圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是( )
A.4∶2∶3∶1
B.4∶3∶1∶2
C.4∶1∶3∶2
D.以上都不对
解析 四边形ABCD 内接于圆，故∠A ＋∠C ＝∠B ＋∠D ，所以只有B 适合.
答案 B
3.如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，BA 的延长线和CD 的延长线交于点P ，AC 和BD
相交于点E ，则图中共有相似三角形( )
A.5对
B.4对
C.3对
D.2对
解析 由圆内接四边形的性质和圆周角定理可以判定：△ABE ∽△DCE ，△ADE ∽△BCE ，△PAC ∽△PDB ，△PAD ∽△PCB 共4对.
答案 B
4.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝110°，那么∠BCD 的度数为________.
解析 ∵∠A ＝12∠BOD ＝12
×110°＝55°，∴∠BCD ＝180°－55°＝125°. 答案 125°
5.如图，两圆相交于点A ，B ，过点A 的直线交两圆于点C ，D ，过点B 的直线交两圆于点
E ，
F ，连接CE ，DF ，若∠C ＝115°，则∠D ＝________.
解析 如图，连接AB ，
∵∠C ＝115°，∴∠ABE ＝65°，
∴∠D ＝∠ABE ＝65°.
答案 65°
6.如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .
(1)求证：BE ＝2AD ；
(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长.
(1)证明 连接DE ，
∵ACED 是圆的内接四边形，
∴∠BDE ＝∠BCA .
又∠DBE ＝∠CBA ，
∴△BDE ∽△BCA ，
即有BE BA ＝DE CA
，而AB ＝2AC ，∴BE ＝2DE . 又CD 是∠ACB 的平分线，
∴AD ＝DE ，从而BE ＝2AD .
(2)解 由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )， ∴(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，
即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12
或t ＝－2(舍去)， 即AD ＝12
. 二、能力提升
7.如图，AB 是⊙O 的弦，过A ，O 两点的圆交BA 的延长线于C ，交⊙O 于D ，若CD ＝5 cm ，则
CB 等于( )
A.25 cm
B.15 cm
C.5 cm
D.52 cm 解析 连接OA ，OB ，OD ，∵OA ＝OB ＝OD ，
∴∠OAB ＝∠OBA ，
∠ODB ＝∠OBD .
∵C ，D ，O ，A 四点共圆，
∴∠OAB ＝∠CDO ，
∠CDO ＝∠OBA ，
∴∠CDO ＋∠ODB ＝∠OBA ＋∠OBD ，
即∠CDB ＝∠CBD ，
∴CD ＝CB ，∵CD ＝5 cm ，
∴CB ＝5 cm.
答案 C
8.(2014·陕西高考)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________.
解析 ∵∠A ＝∠A ，∠AEF ＝∠ACB ，∴△AEF ∽△ACB ，∴AC AE ＝BC EF ，∴2＝BC EF ，∴EF ＝3.
答案 3
9.如图，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，AC ＝a ，则四边形ABCD 的面积为________.
解析 如图，连接BD ，易知∠BAD ＝∠ABD ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ACD ＝60°.
设∠CAD ＝θ，AB ＝AD ＝b ，
则∠BAC ＝60°－θ，
S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD
＝12ab sin(60°－θ)＋12ab sin θ
＝12ab sin(60°＋θ)＝12ab sin ∠ABC ，
在△ABC 中，由正弦定理可知
a
sin ∠ABC ＝b sin ∠ACB ＝b
sin 60°，
∴b sin ∠ABC ＝a sin 60°.
∴S 四边形ABCD ＝12·a ·a ·sin 60°＝34a 2
.
答案 3
4a 2
10.四边形ABCD 是圆内接四边形，过点C 作DB 的平行线交AB 的延长线于E 点.求证：BE ·AD ＝BC ·CD .
证明 如图，连接AC .
∵四边形ABCD 为圆内接四边形，
∴∠ADC ＝∠EBC .
又BD ∥EC ，
∴∠CEB ＝∠DBA ，且∠ACD ＝∠DBA ，
∴∠CEB ＝∠ACD .∴△ADC ∽△CBE .∴AD DC ＝BC
BE ，即BE ·AD ＝BC ·CD .
11.如图，⊙O 中AB ︵的中点 为P ，弦PC ，PD 分别交AB 于E ，F 两点.
(1)若∠PFB ＝2∠PCD ，求∠PCD 的大小；
(2)若EC 的垂直平分线与FD 的垂直平分线交于点G ，证明OG ⊥CD .
解 (1)连接PB ，BC ，则∠BFD ＝∠PBA ＋∠BPD ，∠PCD ＝∠PCB ＋∠BCD .
因为AP ︵＝BP ︵，所以∠PBA ＝∠PCB ，又∠BPD ＝∠BCD .
所以∠BFD ＝∠PCD .又∠PFB ＋∠BFD ＝180°，∠PFB ＝2∠PCD ，
所以3∠PCD ＝180°，
因此∠PCD ＝60°.
(2)证明 因为∠PCD ＝∠BFD ，所以∠EFD ＋∠PCD ＝180°，由此知C ，D ，F ，E 四点共圆，其圆心既在CE 的垂直平分线上，又在DF 的垂直平分线上，故G 就是过C ，D ，F ，E 四点的圆的圆心.所以G 在CD 的垂直平分线上.又O 也在CD 的垂直平分线上，因此OG ⊥CD .
三、探究与创新
12.如图，在正方体ABCD 中，E ，G 分别在边DA ，DC 上(不与端点重合)，且DE ＝DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .
(1)证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；
(2)若AB ＝1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
(1)证明 因为DF ⊥EC ，则∠EFD ＝∠DFC ＝90°，易得∠DEF ＝∠CDF ，所以△DEF ∽△CDF ，则有∠GDF ＝∠DEF ＝∠FCB ，DF CF ＝DE CD ＝DG CB
，所以△DGF ∽△CBF ，由此可得∠DGF ＝∠CBF ，因此∠CGF ＋∠CBF ＝180°，所以B ，C ，G ，F 四点共圆.
(2)解 由B ，C ，G ，F 四点共圆，CG ⊥CB 知FG ⊥FB ，连接GB ，由G 为Rt△DFC 斜边CD 的
中点，知GF ＝GC ，故Rt△BCG ≌Rt△BFG ，因此，四边形BCGF 的面积S 是△GCB 的面积S △GCB
的2倍，即S ＝2S △GCB ＝2×12×12×1＝12
. 精美句子
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4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根
基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。