河南省中原名校(豫南九校)高三上学期第四次质量考评(

河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评
（期中）数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集2{3,1,21}U a a =-+,集合{1,3}A = ，{0}U A C =,则a 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2- D ．1-
2. i 是虚数单位,复数
242(1)412i
i i i
+---=-（ ） A ．0 B ．2 C ．4i - D ．4i
3. 若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．(1,0)- C ．(,0)[1,)-∞+∞ D ．()(,1)0,-∞-+∞
4. 如果33log log 4m n +≥，那么m n +的最小值为（ ） A ．4 B
．．18
5. 一个几何体的三视图如图所示：其中，正（主）视图中ABC ∆的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．
3
2
C. 2 D ．4 6. 连接双曲线22221x y a b -=和22
221y x b a
-=（其中,0a b >）的四个顶点的四边形面积为1S ，连接
四个焦点的四边形的面积为2S ，则21
S
S 的最小值为（ ）
A
．
．3
7. 已知定义在R 上的函数()f x ，其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
①()()()f b f a f c >>；
②函数()f x 在x c =处取得极小值，在x e =处取得极大值；
③函数()f x 在x c =处取得极大值，在x e =处取得极小值； ④函数()f x 的最小值为()f d
.
A ．③
B ．①② C.③④ D ．④ 8. 若将函数sin(3)()2
2
y x π
π
ϕϕ=+-<<
的图象向右平移
4π个单位后得到的图象关于点(,0)3
π对称，则ϕ=（ ） A ．4
π
-
B ．
4π C. 3π D ．3
π
- 9. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N
为抛物线上的一点，且满足NF =
，则点F 到MN 的距离为（ ） A ．
1
2
B ．
．2 10. 在ABC ∆
中，222a c b +=+
cos A C +的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C.3 D ．4
11. 已知2
214
a b +=，则cos 2sin a b θθ+的最大值为（ ）
A ．1 B
． 12. 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 为增函数，且1
()(())1f x f f x x
⋅+=，则(1)f 等于（ ）
A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若x ，y 满足约束条件10,
0,40,
x x y x y -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≤⎩
则y x 的最大值为 ．
14.如图，长方体1111ABCD A B C D -的三个面的对角线1AD ，1A B ，AC 的长分别是1，2，3，
则该长方体的外接球的表面积为 ．
15.已知直线l 的方程为20x y -+=，抛物线为22y x =，若点P 是抛物线上任一点，则点P 到直线l 的最短距离是 ． 16.已知数列{}n a 满足11a =，1
22n n n
n a a a +=
+.记2n
n n C a =，则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++= ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海中一小岛C
的周围8)n mile 内有暗礁，海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75︒，航行8nmile 后，于B 处测得小岛C 在北偏东60︒（如图所示）
.
（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.
（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在B 处改变航向为东偏南α（0α>）方向航行，求α的最小值.
附：tan 752︒=18.已知两个不共线的向量,a b 满足(1,3)a =，(cos ,sin )b θθ=，R θ∈. （1）若2a b -与7a b -垂直，求a b +的值；
（2）当[0,]2π
θ∈时，若存在两个不同的θ使得3a b ma +=成立，求正数m 的取值范围.
19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，
12AC AA ==，AD CD =M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.
（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；
（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1
3
，求线段1A E 的长.
20.设椭圆22
21(3
x y a a +=的右焦点为F ，
右顶点为A .已知1OA OF -=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程及离心率e 的值；
（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围.
21. 设函数()()f x mx n =+ln x .若曲线()y f x =在点(,())P e f e 处的切线方程为2y x e =-（e 为自然对数的底数）.
（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于x 的不等式2()(1)f x x λ≤-恒成立，求实数λ的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为12cos 12sin x y α
α=+⎧⎨=+⎩
，（α为参数）.
（1）将两曲线化成普通坐标方程；
（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程. 23.选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式32x x a -+-<. （1）当3a =时，解不等式；
（2）如果不等式的解集为空集，求实数a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:BAADB 6-10:BAABA 11、12：CB 二、填空题
13.3 14.7π 15. 4
16. 2n n ⋅ 三、解答题
17.解：（1）如图1，过点作直线AB 的垂线，交直线AB 于点D . 由已知得15A ∠=︒，30CBD ∠=︒，15ACB ∠=︒， ∴8AB BC nmile ==.
∴在Rt BCD ∆中，sin CD AB CBD =⋅∠=1
842
nmile nmile ⨯=.
又48<-，∴海轮由触礁的危险.
（2）如图2，延长CD 至E ，使8)CE nmile =，故12)DE nmile =.
由（1）得tan30CD
BD =
=︒
.
∴tan 2DE DBE BD ∠=
==-
∵tan 752︒=tan152
︒=
=即tan tan15DBE ∠=︒，∴15DBE ∠=︒. 故海轮应按东偏南15°的方向航行.
18.解：（1）由条件知2a =，1b =，又2a b -与7a b -垂直， 所以(2)(7)81570a b a b a b -⋅-=-⋅+=，所以1a b ⋅=. 所以2
2
2a b a +=+2
4217a b b ⋅+=++
=，故a b +（2）由3a b ma +=，得2
2
3a b ma +=， 即2
2
2
2233a a b
b m a +⋅+=，
即24
34b m +⋅+=，2
7)4m θθ++=， 所以2)476
m π
θ+=-.
由[0,]2
π
θ∈得2
[,]663πππθ+∈，又θ要有两解，结合三角函数图象可得，
2647m ≤-≤2
134
m ≤≤0m >m ≤≤
19.解：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)C ，(1,2,0)D -，1(0,0,2)A ，1(0,1,2)B ，1(2,0,2)C ，1(1,2,2)D -.又因为M ，N 分别为1B C 和1D D
的中点，所以1
1,12
M （，）
，122N -（，，）.
（1）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，MN 5
(0,,0)2
=-，由此可
得0MN n ⋅=.
又因为直线MN ⊄ABCD ，所以//MN 平面ABCD . （2）1(1,2,2)AD =-，(2,0,0)AC =，设1111(,,)n x
y z =为平面1ACD 的一个法向量，则1110,
0,
n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
即1111
220,
20.x y z x -+=⎧⎨=⎩
不妨设11z =，可得1(0,1,1)n =.
设2222(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量， 则212
0,0.n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
又1(0,1,2)AB =，所以222
20,20,y z x +=⎧⎨=⎩
不妨设21z =，可得2(0,2,1)n =-.
因此有121212
cos ,n n n n n n ⋅<>=
=-
于是123sin
,n n <>=
， 所以，二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ， 从而(1,2,1)NE λ=-+.
又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知，得
cos
,NE n NE n NE n
⋅<>=13
==
， 整理得2430λλ+-
=，解得2λ=-±又因为[0,1]
λ∈，所以2λ=. 所以，线段1A E 的长为2λ=.
20.解：（1）设(,0)F c ，∵1a c -=，∴1a c =+，2212a c c =++ 又222a b c =+，∴312c =+，1c =，∴2a =， 所以21c =，因此24a =.
所以，椭圆的方程为22143x y +=.12
c e a ==.
（2）解：设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则直线l 的方程为(2)y k x =-，设(,)B B B x y ，
由方程组22
143
(2)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=-⎩
，消去y ，得2222(43)1616120k x k x k +-+-=， 解得2x =，或228643k x k -=+，由题意得228643B k x k -=+，从而21243B k
y k -=+.
由（1）知，(1,0)F ，设(0,)H H y ，有(1,)H FH y =-，2229412(,)4343
k k
BF k k -=++.
由BF HF ⊥，得0BF FH ⋅=，所以222124904343H ky k k k -+=++，解得2
9412H k y k -=
.因此直线MH 的方程为2
19412k y x k k
-=-+.
设(,)M M M x y ，由方程组2(2)19412y k x k y x k k =-⎧
⎪⎨-=-+
⎪⎩
，消去y ，解得2220912(1)M k x k +=+，在MAO ∆中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即2
2
22(2)M M M M
x y x y
-+≤+，化简得1M x ≥，即22209
112(1)
k k +≥+，
解得k ≤
，或k ≥. 所以，直线l
的斜率的取值范围为6
(,[,)-∞+∞. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. ()ln mx n
f x m x x
+'=+
. 依题意得()f e e =，()2f e '=，即0,2,me n me n
m e +=⎧⎪
+⎨+=⎪⎩
所以1,0m n ==.
所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.
当1(0,)x e ∈时，()0f x '<；当1
(,)x e
∈+∞时，()0f x '>.
所以函数()f x 的单调递减区间是1
(0,)e
，单调递增区间是1(,)e +∞.
（2）设函数2()ln (1)H x x x x λ=+-，故对任意[1,)x ∈+∞，不等式()0(1)H x H ≤=恒成立. 又()ln 12H x x x λ'=+-，当()ln 120H x x x λ'=+-≤，即ln 1
2x x
λ+≤恒成立时， 函数()H x 单调递减，设ln 1
()x r x x
+=
，则2ln ()0x r x x -'=≤，
所以max ()(1)1r x r ==，即1
122
λλ≤⇔≥
，符合题意；
当0λ≤时，()ln 120H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增. 于是，不等式()(1)0H x H ≥=对任意[1,)x ∈+∞恒成立，不符合题意； 当1
02
λ<<时，设()()ln 12q x H x x x λ'==+-， 则1
()20q x x
λ'=-=112x λ⇒=>； 当1(1,
)2x λ∈时，1
()20q x x
λ'=->，此时()()ln 12q x H x x x λ'==+-单调递增， 所以()ln 12H x x x λ'=+-(1)120H λ'>=->， 故当1
(1,
)2x λ
∈时，函数()H x 单调递增. 于是当1
(1,
)2x λ
∈时，()0H x >成立，不符合题意； 综上所述，实数λ的取值范围为：1
[,)2
+∞.
22.解：（1）由题知，曲线1C ：1ρ=的直角坐标方程为：221x y +=①， 圆心为(0,0)，半径为1；
曲线2C ：12cos 12sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数）的直角坐标方程为22(1)(1)4x y -+-=②，
（2）由①-②得，2210x y ++=，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.
圆心(0,0)到直线2210x y ++=的距离
4
d =
=，
故两曲线的公共弦长为=. 23.解：（1）原不等式233x x -+-<.
当2x <时，原不等式化为523x -<，解得1x >，∴12x << 当23x ≤≤时，原不等式化为13<，∴23x ≤≤.
当3x >时，原不等式化为253x -<，解得4x <，∴34x <<. 综上，原不等式解集为}{
14x x <<.
（2）解法一：作出23y x x =-+-与y a =的图象. 若使23x x a -+-<解集为空集，
只须23y x x =-+-的图象在y a =的图象的上方，或y a =与1y =重合，
∴1a ≤，所以a 的范围为(,1]-∞
.
解法二：23y x x =-+-25(3)1(23)52(2)x x x x x -≥⎧⎪
=≤≤⎨⎪-<⎩
，
当3x ≥时，1y ≥， 当23x ≤<时，1y =， 当2x <时，1y >，
综上1y ≥，原问题等价于min [23]a x x ≤-+-，∴1a ≤.
解法三：∵23231x x x x -+-≥--+=，当且仅当(2)(3)0x x --≤时，上式取等号，∴1a ≤.。