山东省北镇中学等比数列练习题(有答案) 百度文库

一、等比数列选择题
1．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31
4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4
C ．12-
D ．12
±
2．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2
6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且
77b a =，则3810b b b =（ )
A ．1
B ．8
C ．4
D ．2 3．若1，a ，4成等比数列，则a =（ ）
A ．1
B ．2±
C ．2
D ．2-
4．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312
a ，22a 成等差数列，则
91078a a a a +=+（ ） A
1 B
1
C
．3- D
．3+5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ）
A ．-3+(n +1)×2n
B ．3+(n +1)×2n
C ．1+(n +1)×2n
D ．1+(n -1)×2n
6．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个
单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1
122f - B ．第三个单音的频率为1
42f - C ．第五个单音的频率为162f
D ．第八个单音的频率为1
122f
7．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11
0,,22
n n a a S >=<，则等比数列{}n a 的公比的取值范围是（ ） A ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．20,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
8．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
9．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =
B ．723
S =
C ．7623
S =
D ．7127
3
S =
10．已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且()2
1234123a a a a a a a +++=++，若11a >，则（ ）
A ．13a a <，24a a <
B ．13a a >，24a a <
C ．13a a <，24a a >
D ．13a a >，24a a >
11．等比数列{}n a 中各项均为正数，n S 是其前n 项和，且满足312283S a a =+，
416a =，则6S ＝（ ）
A ．32
B ．63
C ．123
D ．126
12．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则
5678a a a a +++=（ ）
A ．80
B ．20
C ．32
D ．
255
3
13．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于
9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 14．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）
A ．4
B ．－4
C ．±4
D ．不确定
15．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22
212n a a a ++
+=（ ）
A ．()2
21n -
B ．
()1213
n
- C ．41n -
D ．
()1413
n
- 16．正项等比数列{}n a 的公比是1
3
，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14
B ．13
C ．12
D ．11
17．在等比数列{}n a 中，首项11,2a =11
,,232
n q a ==则项数n 为（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
18．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092
B ．2047
C ．2046
D ．1023
19．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16
B ．16-
C ．20
D ．16或16-
20．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方
法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有
大吕
=大吕
=
太簇．据此，可得
正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）
A
．n -
B
．n -C
． D
． 二、多选题21．题目文件丢失！
22．设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ，都有
()()()f x y f x f y +=，若112
a =
，()()*
n a f n n N =∈，数列{}n a 的前n 项和n S 组成数列{}n S ，则有（ ） A ．数列{}n S 递增，且1n S < B ．数列{}n S 递减，最小值为
12
C ．数列{}n S 递增，最小值为
12
D ．数列{}n S 递减，最大值为1
23．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列
B ．2n
n a =
C ．数列{}2n
a 的前n 项和为2122
3
n +-
D ．数列11n n b b +⎧⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，则
1n T <
24．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）
A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件
B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件
C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态
D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列
25．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．1
13()2
n n a -=⋅-
B ．36n
n S a =+
C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a
3a =，则19p s +的最小值为83
D ．若1n n t S m S ≤-
≤恒成立，则m t -的最小值为116
26．已知数列是{}n a
是正项等比数列，且37
23
a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2
B ．4
C ．85
D ．
83
27．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C ．此人第二天走的路程占全程的
14
D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
28．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*
n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项
和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
29．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路
B ．此人第三天走的路程站全程的
18
C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D ．此人后三天共走了42里路
30．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：
111213212223231
32
3331312
n n n n n n n
n
a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．3m =
B ．7
67173a =⨯
C ．1
(31)3
j ij a i -=-⨯
D ．()1
(31)314
n S n n =
+- 31．已知数列{}n a 满足11a =，()*123n
n n
a a n N a +=
∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
为等比数列
B ．{}n a 的通项公式为1123
n n a +=-
C ．{}n a 为递增数列
D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和2
234n n T n +=--
32．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
33．已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设n n b c a =，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
34．已知等比数列{a n }的公比2
3
q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0 B ．a 9＞a 10
C ．b 10＞0
D ．b 9＞b 10
35．在递增的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1a 4＝32，a 2+a 3＝12，则下列
说法正确的是（ ） A ．q ＝1
B ．数列{S n +2}是等比数列
C．S8＝510 D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等比数列选择题
1．C
【分析】
利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；
【详解】
()2
111
4
22
11
111
1
222
1
112
16
44
a a q a q
q
q
q
a q a q
⎧⎧
=-=--
⎪⎪
⎪⎪
⇒⇒=⇒=-
⎨⎨
⎪⎪
=⋅=
⎪
⎪⎩
⎩
，
故选：C.
2．B
【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，求出72
a=，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】
因为各项不为0的等差数列{}n a满足2
678
a a a
-+=，
所以2
77
20
a a
-=，解得
7
2
a=或
7
a=（舍）；
又数列{}n b是等比数列，且772
b a
==，
所以3
381037117
8
b b b b b b b
===.
故选：B.
3．B
【分析】
根据等比中项性质可得24
a=，直接求解即可.
【详解】
由等比中项性质可得：
2144
a=⨯=，
所以2
a=±，
故选：B
4．D
【分析】
根据1a，3
1
2
a，
2
2a成等差数列可得
312
1
22
2
a a a
⨯=+，转化为关于
1
a和q的方程，求出
q 的值，将
910
78
a a a a ++化简即可求解.
【详解】
因为{}n a 是正项等比数列且1a ，31
2
a ，22a 成等差数列， 所以
3121
222
a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，
解得：1q =+
1q =
(
22
2
2910787878
13a a a q a q q a a a a ++====+++，
故选：D 5．D 【分析】
利用已知条件列出方程组求解即可得1,a q ，求出数列{a n }的通项公式，再利用错位相减法求和即可. 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，
所以由题设得()
()
3
136
1617
11631a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪
⎨-⎪
=
=⎪-⎩
， 两式相除得1+q 3=9，解得q =2， 进而可得a 1=1， 所以a n =a 1q n -1=2n -1， 所以na n =n ×2n -1.
设数列{na n }的前n 项和为T n ， 则T n =1×20+2×21+3×22+…+n ×2n -1， 2T n =1×21+2×22+3×23+…+n ×2n ，
两式作差得-T n =1+2+22
+…+2n -1
-n ×2n
=
1212
n
---n ×2n =-1+(1-n )×2n ， 故T n =1+(n -1)×2n . 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题. 6．B 【分析】
根据题意得该单音构成公比为
四、五、八项即可得答案.
【详解】
解：根据题意得该单音构成公比为因为第六个单音的频率为f，
1
4
1
4
2
2
f
f
-
==.
6
6
1
1
2
2
f
f
-
==.
所以第五个单音的频率为112
2f
=.
所以第八个单音的频率为
1
2
6
2
f f
=
故选：B.
7．A
【分析】
设等比数列{}n a的公比为q，依题意可得1
q≠．即可得到不等式1
1
2
n
q-
⨯>，
1
(1)
22
1
n
q
q
-
<
-
，即可求出参数q的取值范围；
【详解】
解：设等比数列{}n a的公比为q，依题意可得1
q≠．
1
1
0,
2
n
a a
>=，2
n
S<，
∴1
1
2
n
q-
⨯>，
1
(1)
22
1
n
q
q
-
<
-
，
10
q
∴>>．
144q
∴-，解得
3
4
q．
综上可得：{}n a的公比的取值范围是：
3
0,
4
⎛⎤
⎥
⎝⎦
．
故选：A．
【点睛】
等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
8．C
【分析】
根据等比数列的通项公式将531
34
a a a
=+化为用基本量
1
,a q来表示，解出q，然后再由前
4项和为30求出1a ，再根据通项公式即可求出3a ． 【详解】
设正数的等比数列{}n a 的公比为()0q q >，
因为53134a a a =+，所以4211134a q a q a =+，则42
340q q --=，
解得24q =或2
1q =-（舍），所以2q
，
又等比数列{}n a 的前4项和为30，
所以23
111130a a q a q a q +++=，解得12a =， ∴2
318a a q ==．
故选：C . 9．D 【分析】
利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】
n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，
∴21410(1)
11(1)51q a q q
a q q ⎧
⎪>⎪
⎪-⎪=⎨
-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，
771
(12)
1273123
S -∴==
-．
故选：D ． 10．B 【分析】
由12340a a a a +++≥可得出1q ≥-，进而得出1q >-，再由11a >得出0q <，即可根据q 的范围判断大小. 【详解】
设等比数列的公比为q ， 则(
)()()23
2
123411
1+++1+1+0a a a a a q q q
a q q +++==≥，可得1q ≥-，
当1q =-时，12340a a a a +++=，()2
1230a a a ++≠，1q ∴>-，
()2
1234123a a a a a a a +++=++，即()2
23211+++1++q q q a q q =，
()
23
12
21+++11++q q q a q q ∴=
>，整理得432++2+0q q q q <，显然0q <，
()1,0q ∴∈-，()20,1q ∈，
()213110a a a q ∴-=->，即13a a >，
()()32241110a a a q q a q q ∴-=-=-<，即24a a <.
故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查等比数列的性质，解题的关键是通过已知条件判断出()1,0q ∈-，从而可判断大小. 11．D 【分析】
根据等比数列的通项公式建立方程，求得数列的公比和首项，代入等比数列的求和公式可得选项. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.∵312283S a a =+， ∴123122()83a a a a a ++=+，即321260a a a --=. ∴2
260q q --=，∴2q 或3
2
q =-（舍去），
∵416a =，∴4
132a a q
=
=， ∴6616(1)2(12)
126112
a q S q --=
==--， 故选：D. 12．A 【分析】
由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】
根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，
121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q
则()()4
56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.
故选：A 13．C 【分析】
依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前n 项和，列出不等式解之可得．
【详解】
第一次操作去掉的区间长度为13；第二次操作去掉两个长度为19
的区间，长度和为2
9；第
三次操作去掉四个长度为
127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉12n -个长度为1
3
n 的区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -⎛⎫=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
， 由题意，90
2131n
⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg
1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6. 故选：C . 【点睛】
本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前n 项和等知识及估算能力，属于中档题. 14．A 【分析】
根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2
x q =，即可求得x 的值. 【详解】
由题意知：216x =，且若令公比为q 时有2
0x q =>，
∴4x =， 故选：A 15．D 【分析】
由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}
2
n a 也为等比数列，确定该数列的
首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.
【详解】
已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；
当2n ≥时，(
)(
)1
1122
2n
n n n n n a S S a a ---=-=---=.
由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n n
a ，所以，022a -=，解得1a =，
()1
2
n n a n N -*
∴=∈，则()
2
21
1
24
n n n
a --==，21
21444
n n n n a a +-∴==，且211a =，
所以，数列{}
2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，2221
2
1441
143
n n n
a a a --+++==
-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：
（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或1
1n n a a q -=进行
求解；
（2）前n 项和法：根据11,1
,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩进行求解；
（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；
（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（5）累乘法：当数列{}n a 中有()1
n
n a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；
（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且
1k ≠，0k ≠）.
一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1
b
m k =
-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；
②取倒数法：这种方法适用于()1
12,n n n ka a n n N ma p
*--=
≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b
-=+的式子；
⑦1n
n n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式
的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 16．B 【分析】
根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】
解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2
31a =.
所以31a =，2
11a q ∴=，因为1
3
q =
，所以19a =. 因此()3131131a q S q
-==-.
故选：B 17．C 【分析】
根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】
由题意可得等比数列通项5
1
11122n n n a a q -⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则5n = 故选：C 18．A 【分析】
根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】
因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12
,2n
n a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，
即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212
-=-.
故选：A. 19．A 【分析】
根据等比数列的通项公式得出6
18a q =，10
132a q
=且10a >
，再由
819a a q ==.
【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，则6
18a q =，10
132a q
=且10a >
则81916a q a ====
故选：A 20．C 【分析】
根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】
因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项
和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为
11n n a a q -=
，所以q =
所以11
1
111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪
⎛== ⎭
⎝
⎝
1111
n k k n n n
a a
----==⋅ 故选：C.
二、多选题 21．无
22．AC 【分析】
计算()f n 的值，得出数列{}n a 的通项公式，从而可得数列{}n S 的通项公式，根据其通项公式进行判断即可 【详解】 解：因为112a =
，所以1
(1)2
f =， 所以2
21
(2)(1)4
a f f ===
， 31
(3)(1)(2)8
a f f f ===，
……
所以1
()2
n n a n N +=∈，
所以11(1)
122111212
n n n S -==-<-， 所以数列{}n S 递增，当1n =时，n S 有最小值1112
S a ==， 故选：AC 【点睛】
关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列
{}n a 的通项公式，进而可得数列{}n S 的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档
题 23．BD
根据22n n
S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1
,2
n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】
当1n =时，12a =，
当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，
所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2n
n a =，2
4n
n a =，数列{}2n
a
的前n 项和为()14144414
3
n n n S +--'=
=
-， 则22log log 2n
n n b a n ===，
所以()11111
11
n n b b n n n n +==-⋅⋅++，
所以 1111111
(11123411)
n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】
方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()
11122
n n n a a n n S na d +-=
=+②等比数列的前n 项和公式()
11,1
1,11n
n na q S a q q q
=⎧⎪=-⎨≠⎪
-⎩；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
【分析】
设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则
()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.
【详解】
设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则
()121n n a S +=+，且12a =，
由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，
所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，
所以1
23n n a -=⨯，
在第3分钟内，该计算机新感染了31
32318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；
经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313
a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文
件，故选项B 正确；
10分钟后，计算机感染病毒的总数为
()
1010512102131
11310132
a a a ⨯-+++
+=+
=>⨯-，
所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得
n a .
25．ABD 【分析】
根据等差中项列式求出1
2
q =-
，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；
3a =求出15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1
p s =⎧⎨=⎩，可知19p s +的最小值为
114
，C 不正确；利用1n
n y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】
设等比数列{}n a 的公比为q ，
由13a =，21344a a a -=+得2
43343q q -⨯=+⨯，解得1
2
q =-
，所以11
3()2
n n a -=⋅-，
1
3(1())
1221()121()2
n n n S --⎛⎫==-- ⎪⎝⎭--；
1111361()66()63()63222n n n n n S a -⎛
⎫=--=--=+⋅-=+ ⎪⎝
⎭；所以A ，B 正确；
3a =，则23p s a a a ⋅=，1122111()p s p s a a a q a q a q --⋅==，
所以11
4p s q
q
q --=，所以6p s +=，
则15p s =⎧⎨=⎩或24p s =⎧⎨=⎩或42p s =⎧⎨=⎩或5
1p s =⎧⎨=⎩
，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，
122,2121()2122,2n
n n n
n S n ⎧⎛⎫
+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛
⎫=--=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫
⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩
为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3
[,2)2
n S ∈，
又1n n y S S =-
关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138
(,]23
n
n S S -∈，当n 为偶数时，153
[,)62n n S S -
∈，所以83
m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】
本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 26．ABD 【分析】
根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到所求． 【详解】
解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，
∴2
37375232326
2a a a a a +=， 因为50a >，
所以上式可化为52a
，当且仅当3a =
，7a = 故选：ABD ． 【点睛】
本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 27．BD 【分析】
根据题意，得到此人每天所走路程构成以1
2
为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为1
2
q =
，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】
由题意，此人每天所走路程构成以1
2
为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为1
2
q =
，前n 项和为n S ， 则16611163
237813212
a S a ⎛
⎫- ⎪
⎝⎭===-，解得1192a =，
所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；
此人第二天走的路程为21378
9694.54
a a q =⋅=≠
=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为
6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正
确； 故选：BD. 【点睛】
本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 28．CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈，
所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13
22122
⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122
S =+
=，而 111
22S =，故错误；
C. 当1n =时， 213122
S =+=，而 3113
2222-+=，成立，当2n ≥时，
211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以
11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n
-=+++++++，令()1111
...1232f n n n n n
=+++++++，因为
()11111
1()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，
所以()()1
12
f n f ≥=，故正确；
故选：CD 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题. 29．ACD 【分析】
若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q =
的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.
【详解】
解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为1
2
q =
的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)
2=
378112
a S -
=-，解得1
192a =，
对于A ，由于21
192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 31481
19248,
43788
a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程
多六里，所以C 正确； 对于D ，由于45611
11924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭
，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】
此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 30．ACD 【分析】
根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】
由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，
可得22
13112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，
解得3m =或1
2
m =-
（舍去），所以选项A 是正确的； 又由666
6761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；
又由1
111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a m
a i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选
项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++
++++++++++
11121(13)(13)(13)131313
n n n n a a a ---=++
+
---1(231)(31)22n
n n +-=-⋅ 1
(31)(31)4
n n n =
+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】
本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 31．ABD 【分析】
由()*123n n n
a a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案.
【详解】 因为112323n n
n n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确.
由{}n a 的通项公式为1123
n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确. 因为1231n n a +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-+
+-=+++- 22(12)2312
234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确， 故选：ABD
【点睛】
本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题.
32．ABC
【分析】
由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.
【详解】
∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，
∴31118a a q +=，21112a q a q +=， ∴12a =，2q 或12q =
（舍去）故A 正确， ()
12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；
∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；
而lg lg 2lg 2n n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．
故选：ABC .
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 33．AB
【分析】
由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．
【详解】
由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，12n n b -=，
n n b c a ==2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列，
其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1）
＝（21+22+…+2n ）﹣n ()21212n
n -=-=-2n +1﹣2﹣n ．
当n ＝9时，T n ＝1013＜2019；
当n ＝10时，T n ＝2036＞2019．
∴n 的取值可以是8，9．
故选：AB
【点睛】
本题考查了分组求和，考查了等差等比数列的通项公式、求和公式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
34．AD
【分析】
设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．
【详解】
数列{a n }是公比q 为23
-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012
()3a a =-，
∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确；
∵a 1正负不确定，故B 错误；
∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误；
由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23
-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或10
0a <
故 90b <或100b <，且b 1＝12 可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0，
即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确．
故选：AD
【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
35．BC
【分析】
先根据题干条件判断并计算得到q 和a 1的值，可得到等比数列{a n }的通项公式和前n 项和公式，对选项进行逐个判断即可得到正确选项．
【详解】
由题意，根据等比中项的性质，可得
a 2a 3＝a 1a 4＝32＞0，a 2+a 3＝12＞0，
故a 2＞0，a 3＞0．
根据根与系数的关系，可知
a 2，a 3是一元二次方程x 2﹣12x +32＝0的两个根．
解得a 2＝4，a 3＝8，或a 2＝8，a 3＝4．
故必有公比q ＞0，
∴a 12a q
=＞0． ∵等比数列{a n }是递增数列，∴q ＞1．
∴a 2＝4，a 3＝8满足题意．
∴q ＝2，a 12a q
==2．故选项A 不正确． a n ＝a 1•q n ﹣1＝2n ．
∵S n ()21212n
-==-2n +1﹣2．
∴S n +2＝2n +1＝4•2n ﹣1．
∴数列{S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B 正确．
S 8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C 正确．
∵lga n ＝lg 2n ＝n ．
∴数列{lga n }是公差为1的等差数列．故选项D 不正确．
故选：BC
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式、求和公式和性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.。