压轴题型四 二次函数综合型问题
中考数学 精讲篇 中考压轴题重难点突破七 二次函数与几何综合题 类型四
由勾股定理得 BC2＝22＋32＝13，CG2＝1＋(2－n)2，BG2＝4＋n2，
①若∠BCG＝90°，则 BC2＋CG2＝BG2，
即
13＋1＋(2－n)2＝4＋n2，解得
7 n＝2，此时点
G
的坐标为1，27.
②若∠CBG＝90°，则 CB2＋BG2＝CG2，
即 13＋4＋n2＝1＋(2－n)2，解得 n＝－3，此时点 G 的坐标为(1，－3)． ③若∠CGB＝90°，则 CG2＋BG2＝BC2，
即 1＋(2－n)2＋4＋n2＝13，解得 n＝1＋ 3或 n＝1－ 3， 此时点 G 的坐标为(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
7 综上所述，点 G 的坐标为1，2或(1，－3)或(1，1＋ 3)或(1，1－ 3)．
【思路点拨】 要使以 B，C，G，H 为顶点的四边形是矩形，只需△BCG 是直角三角形即 可，可分为①∠BCG＝90°；②∠CBG＝90°；③∠CGB＝90°三种情况， 分别利用勾股定理列方程即可求解．
类型四：二次函数与特殊四边形问题
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋2(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式；
解：由题意知抛物线经过 A(－1，0)，B(3，0)，
a－b＋2＝0，
a＝－23，
∴9a＋3b＋2＝0，解得b＝43.
等及勾股定理得：AQ2＝CQ2，
∴12＋q2＝(2－q)2，解得
3 q＝4.
由中点坐标公式得－1＋0＝0＋x，0＋2＝q＋y，
∴x＝－1，y＝54，即 I－1，45.
②若 AC 是菱形的边，由菱形性质得：QI∥AC，QI＝AC. ∵当点 A 向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 C. ∴点 I(或 Q)向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位得到点 Q(或 I)， 即 x＋1＝0，y＋2＝q 或 0＋1＝x，q＋2＝y， ∴x＝－1 或 x＝1.
与一次函数、反比例函数、二次函数有关问题的压轴题之五大题型(解析版)
与一次函数、反比例函数、二次函数有关问题的压轴题之五大题型目录【题型一 一次函数实际应用问题】【题型二 二次函数的实际应用问题】【题型三 一次函数与反比例函数综合问题】【题型四 二次函数的综合问题】【题型五 一次函数、反比例函数、二次函数综合问题】【题型一一次函数实际应用问题】1(2023·江苏南京·三模)A、B两地相距120km，甲车从A地驶往B地，乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，乙车比甲车晚出发mh．设甲车行驶的时间为x h ，甲、乙两车离A地的距离分别为y1km、y2 km，图中线段OP表示y1与x的函数关系．(1)甲车的速度为km/h；(2)若两车同时到达目的地，在图中画出y2与x的函数图像，并求甲车行驶几小时后与乙车相遇；(3)若甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，直接写出m的范围．【答案】(1)60(2)图象见解析，甲车出发后87h与乙车相遇；(3)14<m<35【分析】(1)根据路程除以时间即可得到甲车的速度；(2)求出乙车比甲车晚出发0.5h，即可画出图象，再求出y1=60x，y2=-80x+160，联立解析式解方程组即可得到答案；(3)求得y1=60x，y2=-80x+120+80m，联立解方程组可得y1=y2=6067+4 7m，根据甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，可列60<6067+4 7m<72，即可解得答案．【详解】(1)解：由图可得，甲车的速度为120÷2=60km/h，故答案为：60；(2)解：∵乙车从B地以80km/h的速度匀速驶往A地，两车同时到达目的地，∴乙车行驶时间为120÷80=1.5h ，∵m=2-1.5=0.5h ，∴乙车比甲车晚出发0.5h，画出y2与x的函数图象如下：图象CD即为y2与x的函数图象，由题意得y1=60x，设CD的函数表达式为y2=kx+b，将2，0，0.5,120代入y2=kx+b，得2k+b=00.5k+b=120 ，解得k=-80 b=160 ，∴y2=-80x+160，由-80x+160=60x，解得x=8 7，∴甲车出发后87h与乙车相遇，答：甲车出发后87h与乙车相遇；(3)解：根据题意得y1=60x，y2=120-80x-m=-80x+120+80m，由60x=-80x+120+80m得：x=67+47m，当x=67+47m时，y1=y2=6067+47m，∵甲、乙两车在距A地60km至72km之间的某处相遇，∴60<6067+4 7m<72，解得14<m<35，∴m的范围是14<m<35．【点睛】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式组，涉及待定系数法，解题的关键是数形结合的应用．【变式训练】1(2023·江苏南京·三模)甲、乙两车从A地驶往B地，甲车出发1小时后，乙车出发，乙车出发1.5小时追上甲．甲、乙两车离B地的距离y1，y2(单位：km)与甲出发的时间x(单位：h)的图像如图①所示．(1)乙车的速度为km/h；a=(2)求y1与x之间的函数表达式；(3)在图②中画出甲、乙两车之间的距离s(单位：km)与甲车出发的时间x(单位：h)之间的函数图像．【答案】(1)100；5(2)y1=-60x+300(3)见解析【分析】(1)用路程除以时间求出乙车的速度即可；根据乙车追上甲车时，乙车通过的距离，求出甲车的速度，然后用总路程除以甲车速度得出甲车到达B地所用时间，即可求出a的值；(2)用待定系数法求出y1与x之间的函数表达式即可；(3)分四段画出甲、乙两车之间的距离s与甲车出发的时间x之间的函数图像即可．【详解】(1)解：乙车的速度为3004-1=100km/h；乙车追上甲车时，乙车通过的距离为：100×1.5=150km，此时甲车通过的距离为150km，甲车的速度为：150 2.5=60km/h，则a=30060=5；故答案为：100；5．(2)解：设y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b k≠0，把0,300，5,0代入得：b=300 5k+b=0，解得：k=-60 b=300，∴y1与x之间的函数表达式为y1=-60x+300．(3)解：当0≤x<1时，两车之间的距离逐渐增大，当x=1时，两车之间的距离s=60；当1<x≤2.5时，两车之间的距离逐渐减小，当x=2.5时，两车之间的距离为s=0；当2.5<x≤4时，两车之间的距离逐渐增大，当x=4时，两车之间的距离为s=100-60×4-2.5= 60；当4<x≤5时，两车之间的距离逐渐减小，当x=5时，两车之间的距离为s=0；∴函数图象如图所示：【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据函数图像获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类．2(2023·江苏南京·二模)小明早晨从家里出发匀速步行去上学，中途没有停下来，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．已知小明在整个上学途中，他出发后t 分钟时，他所在的位置与家的距离为s 千米，且s 与t 之间的函数关系的图象如图中的折线段OA -AB 所示．(1)试求线段OA 所对应的函数关系式；(2)请解释图中线段AB 的实际意义；(3)请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过中，她所在位置与家的距离s (千米)与小明出发后的时间t (分钟)之间函数关系的图象．(注：请标注出必要的数据)【答案】(1)s =112t (0≤t ≤12)(2)小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟(3)见解析【分析】(1)待定系数求线段解析式即可求解；(2)根据题意，结合图象即可求解；(3)根据题意可得小明妈妈的速度是小明的2倍，进而补充函数关系图象，即可求解．【详解】(1)解：设线段OA 的解析式为y =kx ，将点12,1 代入，1=12k解得：k =112线段OA 对应的函数关系式为：s =112t (0≤t ≤12)；(2)图中线段AB 的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；(3)由图象可知，小明花20分钟到达学校，则小明的妈妈花20-10=10分钟到达学校，∴小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，又∵小明的妈妈在小明出发后10分钟出发，∴函数图象为经过点10,0，16,1的一段线段，如图所示，【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求直线解析式，从函数图象获取信息是解题的关键．3(2023·江苏南京·一模)如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为600m的队伍AB，排尾A处的传令兵从甲地和队伍AB沿同一直道同时出发．队伍AB以v1m/min的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以v2m/min的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B⋯⋯如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离y1(单位：m)与出发时间x(单位：min)之间的函数关系部分图象如图③所示．(1)v1=m/min，v2=m/min；(2)求线段MN所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)在图③中，画出排头B离甲地的距离y2(单位：m)与出发时间x之间的函数图象【答案】(1)75；125(2)y1=-125x+300012≤x≤15(3)见解析【分析】(1)由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可；(2)先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可；(3)y2(单位：m)与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点(点M和与点M类似的那个点)，由此画图即可．【详解】(1)解：12v2-v1=60015-12v2+v1=600，解得v1=75v2=125，故答案为：75；125；(2)解：125×12=1500，∴点M的坐标为12，1500，1500-125×3=1125，∴点N的坐标为15，1125，线段MN所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=kx+b，∴12k+b=1500 15k+b=1125 ，∴k=-125 b=3000 ，∴段MN所表示的y1与x之间的函数表达式为y1=-125x+300012≤x≤15；(3)解：y2与x之间的函数图象如图所示．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．4(2023·江苏南京·一模)如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市．如图②，线段OD和折线ABCD 分别表示小明和妈妈离家的距离y(m)与出发时间x(min)的关系．(1)小明步行的速度是m min，妈妈的单位距离超市m；(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；(3)当x=时，小明与妈妈相距400m．【答案】(1)100；800(2)y=200x-1400(7≤x≤14)(3)23或4或10【分析】(1)根据图示数据解答；(2)设解析式后，根据图示把(7,0),(14,1400)代入求出即可；(3)根据题意知，小明与妈妈相距400m 有三次，利用列方程分别求出即可．【详解】(1)解：由图可知：小明步行的速度是1400÷14=100m min ，妈妈的单位距离超市1400-600=800m ；故答案为：100；800．(2)解：设线段 CD 所表示的函数表达式为： y =kx +b (k ≠0)，把(7,0),(14,1400)代入 y =kx +b (k ≠0)得：7k +b =014k +b =1400解得：k =200,b =-1400，线段 CD 所表示的函数表达式为：y =200x -1400(7≤x ≤14)．(3)由图示知，小明妈妈从单位骑行回家拿东西共用时间是3min ，小明妈妈从单位骑行速度是：600÷3=200m min 当小明妈妈从单位骑行回家拿东西时，小明与妈妈相距400m ，由题意列方程为：100x +200x =600-400，解得：x =23；当小明妈妈回家拿东西并在家停留4min 时，小明与妈妈相距400m ，此时x =4；当小明妈妈回家拿东西后再以相同的速度骑行去超市时，由题意列方程为：100x -(200x -1400)=400，解得： x =10，综上所述：x =23或4或10时，小明与妈妈相距400m ．故答案为：23或4或10．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答．【题型二二次函数的实际应用问题】1(2023·江苏南京·二模)某水果店出售一种水果，每箱定价58元时，每周可卖出300箱．试销发现：每箱水果每降价1元，每周可多卖出25箱；每涨价1元，每周将少卖出10箱．已知每箱水果的进价为35元，每周每箱水果的平均损耗费为3元．(1)若不进行价格调整，这种水果的每周销售利润为多少元？(2)根据以上信息，你认为应当如何定价才能使这种水果的每周销售利润最多？【答案】(1)若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；(2)当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【分析】(1)根据已知列式计算即可；(2)分两种情况：若每箱水果降价x 元，这种水果的每周销售利润为y 元，可得：y =(58-35-3-x )(300+25x )=-25(x -4)2+6400，若每箱水果涨价x '元，这种水果的每周销售利润为y '元，有y '=(58-35-3+x ')(300-10x ')=-10(x '-5)2+6250，由二次函数性质可得答案．【详解】(1)解：∵58-35-3=20，20×300=6000(元)，∴若不进行价格调整，这种水果每周销售利润为6000元；(2)若每箱水果降价x元，这种水果的每周销售利润为y元，根据题意得：y=(58-35-3-x)(300+25x)=-25(x-4)2+6400，由二次函数性质可知，当x=4时，y的最大值为6400元；若每箱水果涨价x'元，这种水果的每周销售利润为y'元，根据题意得：y'=(58-35-3+x')(300-10x')=-10(x'-5)2+6250，由二次函数性质可知，当x'=5时，y'的最大值为6250元；综上所述，当每箱水果定价为54元时，这种水果的每周销售利润最大为6400元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，分情况列出函数关系式．【变式训练】1(22-23九年级上·天津和平·阶段练习)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售。
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于 点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平 移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向 下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交 于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再 向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)； 综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
2023北京中考数学重难题型专题04二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)练习版
2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题04二次函数的推理计算与证明综合问题（北京真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。
在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等 ）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．(可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系： 【典例剖析】典例精讲，方法2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=提炼，精准提分【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；①若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；①当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；①若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；①直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；①若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2-m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a的取值范围．217．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；①若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2①若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；①当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；①当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；①若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+ bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n<1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；①若y1=y2=0，求x1的值（用含a的式子表示）；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。
二次函数与几何综合压轴题题型归纳
2、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax2 +2ax c 的图像与 y 轴交于点 C0，3 ，与 x 轴交于 A、B 两点，点 B 的坐标为 3，0 。
11、几何分析法 特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，
利用几何分析法能给解题带来方便。
3
几何要求
几何分析
涉及公式
跟平行有关的 平移
图形
l1 ∥ l2
k1＝k2 、 k
y1 x1
y2 x2
跟直角有关的 图形
勾股定理逆定理 利用相似、全等、平 行、对顶角、互余、 互补等
★ 讨论直角三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 ACP 为直角三角形，
求出 P 坐标或者在抛物线上求点 P，使△ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形．
4
BO A x C D y
BO A x C D
★ 讨论等腰三角 连接 AC,在对称轴上找一点 P，使得 ACP 为等腰三角形，
求出 P 坐标 y
★ 讨论平行四边形 1、点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，
且以 B，A，F，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标
BO A x
C D
二 综合题型
例 1 (中考变式）如图，抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为 D。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
部编数学九年级上册专题22.4二次函数的综合(压轴题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题22.4 二次函数的综合【典例1】如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（1）求出A点坐标后，将点A、C代入y＝﹣x2+bx+c，即可求解；（2）连接OC，交对称x＝1于点Q，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，再求解即可；（3）分三种情况讨论：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM；③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM；再利用中点坐标公式和两点间距离公式求解即可．解：（1）∵四边形ABCD为正方形，C（4，﹣5），∴AD＝AB＝5，B（4，0），∴OA＝1，∴A（﹣1，0），将点A，C代入y＝﹣x2+bx+c，∴−16+4b+c=−5−1−b+c=0，解得b=2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）连接OC，交对称轴x＝1于点Q，∵PQ⊥y轴，∴AO∥PQ，∵AO＝PQ＝1，∴四边形AOQP是平行四边形，∴AP＝OQ，∴EQ+PQ+AP＝EQ+1+OQ若使EQ+PQ+AP值为最小，则EQ+OQ的值为最小，∵E，C关于对称轴x＝1对称，∴EQ＝CQ，∴EQ+OQ＝CQ+OQ，此时EQ+OQ的值最小，最小值为线段OC长，∵C（4，﹣5），∴OC∴EQ+PQ+AP，即EQ+PQ+AP+1；（3）存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形，理由如下：①以AE为菱形对角线，此时AM＝ME，∴−1−2=1+x−5=m+y4+m2=9+(m+5)2，解得x=−4y=−2m=−3，∴M（1，﹣3）；②以AM为菱形对角线，此时AE＝EM，∴−1+1=−2+xm=y−51+25=9+(m+5)2，解得x=y=m=−5+x=2y=m=∴M（1，﹣51，﹣5③以AN为菱形对角线，此时AE＝AM，∴−1+x=−2+1 y=m−51+25=4+m2，解得x=y=m或x=0y=m=∴M（11，综上所述：M点坐标为（1，﹣3），(1，(1，，(1，−5+，(1，．1．（2022•新化县模拟）如图，已知点A（﹣1，0）和点B（1，1），若抛物线y＝x2+c与线段AB有公共点，则c的取值范围是（ ）A．﹣1≤c≤0B．﹣1≤c≤12C．﹣1≤c≤916D．0≤c≤916【思路点拨】先通过待定系数法将AB所在直线解析式求出，然后通过数形结合方法，求出抛物线与直线相切及抛物线经过点A时c的值求解．【解题过程】解：设AB所在直线为y＝kx+b，将（﹣1，0），（1，1）代入y＝kx+b得k=12 b=12，∴y=12x+12，如图，当抛物线与线段AB相切时，令12x+12=x2+c，整理得x2−12x−12+c＝0，∴Δ＝（−12）2﹣4（−12+c）＝0，解得c=9 16，c减小，抛物线向下移动，当抛物线经过点A（﹣1，0）时，将（﹣1，0）代入y＝x2+c得0＝1+c，解得c＝﹣1，∴﹣1≤c≤916满足题意．故选：C．2．（2022•新河县一模）如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线x=32；②抛物线的最大值为98；③∠ACB＝90°；④OPA．①②④B．①②C．①②③D．①③④【思路点拨】用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，−12t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．【解题过程】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，∴a−b+c=016a+4b+c=0 c=2，解得a=−12 b=32c=2，∴y=−12x2+32x+2，∵y=−12x2+32x+2=−12（x−32）2+258，∴抛物线的对称轴为直线x=3 2，故①正确；当x=32时，抛物线有最大值258，故②不正确；∵B （﹣1，0），A （4，0），C （0，2），∴AB ＝5，AC ＝BC ∵AC 2＝AB 2+BC 2，∴△ABC 是直角三角形，∴∠ACB ＝90°，故③正确；设直线AC 的解析式为y ＝kx +m ，∴m =24k +m =0，解得k =−12m =2，∴y =−12x +2，设P （t ，−12t +2），∴OP∴当t =45时，OP 故④正确；故选：D ．3．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y ＝x ，它的相关函数为y =x(x ≥0)−x(x ＜0)．已知点M ，N 的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN ，若线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（ ）A ．﹣3≤n ≤﹣1或1＜n ≤54B ．﹣3＜n ＜﹣1或1＜n ≤54C ．﹣3＜n ≤﹣1或1≤n ≤54D ．﹣3≤n ≤﹣1或1≤n ≤54【思路点拨】首先确定出二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数与线段MN 恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n 的值，然后结合函数图象可确定出n 的取值范围．【解题过程】解：如图1所示：线段MN 与二次函数y ＝﹣x 2+4x +n 的相关函数的图象恰有1个公共点，∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x=−42×(−1)=2，∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1；∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），∴n＝1，如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（−12，1），∴14+2﹣n＝1，解得：n=54，∴1≤n≤54时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤5 4，故选：C．4．（2022•江阴市校级一模）如图，抛物线y＝ax2−103x+4与直线y=43x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（ ）A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAEC．∠ACB﹣∠ANM=12∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13【思路点拨】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=256，而MN=56，BN+MN＝5＝AB；（2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE＝∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC＝∠BAE错误；（3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB﹣∠ANM＝∠CAD =12∠ABC ；（4）S 四边形ACBM ＝S △ABC +S △ABM ，其最大值为94．【解题过程】解：将点A （2，0）代入抛物线y ＝ax 2−103x +4与直线y =43x +b解得：a =23，b =−83，设：M 点横坐标为m ，则M （m ，23m 2−103m +4）、N （m ，43m −83），其它点坐标为A （2，0）、B （5，4）、C （0，4），则AB ＝BC ＝5，则∠CAB ＝∠ACB ，∴△ABC 是等腰三角形．A 、当MN 过对称轴的直线时，此时点M 、N 的坐标分别为（52，−16）、（52，23），由勾股定理得：BN =256，而MN =56，BN +MN ＝5＝AB ，故本选项错误；B 、∵BC ∥x 轴（B 、C 两点y 坐标相同），∴∠BAE ＝∠CBA ，而△ABC 是等腰三角形不是等边三角形，∠CBA ≠∠BCA ，∴∠BAC ＝∠BAE 不成立，故本选项错误；C 、如上图，过点A 作AD ⊥BC 、BF ⊥AC ，∵△ABC 是等腰三角形，∴BF 是∠ABC 的平分线，易证：∠CAD ＝∠ABF =12∠ABC ，而∠ACB ﹣∠ANM ＝∠CAD =12∠ABC ，故本选项正确；D 、S 四边形ACBM ＝S △ABC +S △ABM ，S △ABC ＝10，S △ABM =12MN •（x B ﹣x A ）＝﹣m 2+7m ﹣10，其最大值为94，故S 四边形ACBM 的最大值为10+94=12.25，故本选项错误．故选：C ．5．（2022•高青县一模）已知点A （2，4），B （0，1），点M 在抛物线y =14x 2上运动，则AM +BM 的最小值为 5 ．【思路点拨】设点M （m ，14m 2），用含m 代数式表示BM =14m 2+1，可得点M 到点B 的距离与点M 到直线y ＝﹣1的距离相等，进而求解．【解题过程】解：设点M （m ，14m 2），则点M 到x 轴距离为14m 2，BM 14m 2+1，∴点M 到点B 的距离与点M 到直线y ＝﹣1的距离相等，∵点A 横坐标为x ＝2，∴点M 为直线x ＝2与抛物线交点，如图，设直线x ＝2与直线y ＝﹣1交点B '（2，﹣1），∴AB '为AM +BM 最小值，AB '＝4﹣（﹣1）＝5，故答案为：5．6．（2022•广西模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是 ．【思路点拨】分两种情况分别求得a的取值范围，再取两者的公共部分即可：当顶点C与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3；当顶点C与F点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y ＝a（x﹣3）2+2．【解题过程】解：∵顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，∴当顶点C与D点重合时，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+3，∴a(−2−1)2+3≤0 a(−1−1)2+3≥0，解得−34≤a≤−13；当顶点C与F点重合时，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y＝a（x﹣3）2+2，∴a(−2−3)2+2≤0 a(−1−3)2+2≥0，解得−18≤a≤−225；∵顶点可以在矩形内部，∴−34≤a≤−225．故答案为：−34≤a≤−225．7．（2022•包河区校级三模）函数y=2mx 2−4mx−3(x≥0)−2mx2−4mx−3(x＜0)，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．（1）当m=12时，图象G与x轴的交点坐标为 （3，0） ．（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为 3或﹣1 ．【思路点拨】（1）m=12，从而两个解析式是已知的，令y＝0，解方程即可；（2）分m＞0，m＜0两种情况，画出草图，令y＝m与二次函数联列得方程组，求解即可．【解题过程】解：（1）当x≥0时，对称轴为直线x=−−4m2×2m=1，当x＜0时，对称轴为直线x=−−4m2×(−2m)=−1，又当m=12时，函数y=x2−2x−3(x≥0)−x2−2x−3(x＜0)，当x≥0时，令x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x1＝3或x2＝﹣1（舍去），∴x≥0时，x＝3；当x＜0时，令﹣x2﹣2x﹣3＝0，∴x2+2x+3＝0，∵Δ＝9﹣12＜0，∴x＜0，无解，∴与x轴的交点坐标为（3，0）；（2）当m＞0时，图象大致如图1所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，∴当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3；∴当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣1（舍去），当m＜0时，图象大致如图2所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，当x＝﹣1时，y＝﹣2m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3（舍去），当x＝1时，y＝2m﹣4m﹣3＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣1，综上所述，m取值为3或﹣1．8．（2022•安顺模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c．与x轴交于A，B两点，与y轴交于C（0，3），直线y ＝﹣x﹣1经过点A且与抛物线交于另一点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若P是位于直线AD上方的抛物线上的一个动点，连接PA，PD，求△PAD的面积的最大值．【思路点拨】（1）根据y＝﹣x﹣1经过点A，可求出点A的坐标，将点A、C的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求出抛物线的解析；（2）联立抛物线和一次函数y＝﹣x﹣1的解析式列方程解出可得点D的坐标，过点P作PE∥y轴，交AD 于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），表示PE的长，根据三角形面积公式可得△APD的面积，配方后可得结论．【解题过程】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣1经过点A，∴令y＝0，则0＝﹣x﹣1，∴x＝﹣1，∴A（﹣1，0），将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：a−2+c=0c=3，解得：a=−1 c=3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）﹣x2+2x+3＝﹣x﹣1，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴D（4，﹣5），过点P作PE∥y轴，交AD于E，设P（t，﹣t2+2t+3），则E（t，﹣t﹣1），∴PE＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+3t+4，∴△PAD 的面积=12•PE •（4+1）=52（﹣t 2+3t +4）=−52（t −32）2+1258，当t =52时，△PAD 的面积最大，且最大值是1258．9．（2022•平桂区 一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）在第四象限内抛物线上存在一点M ，使S △MAB ＝S △CAB ，请求出点M 的坐标；（3）点N 在该抛物线上且到对称轴的距离为3个单位，点P 为点M ，N 之间（含点M 、N ）抛物线上的一个动点．求点P 纵坐标y P 的取值范围．【思路点拨】（1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可；（2）设点M 的纵坐标为t （t ＜0），根据S △MAB ＝S △CAB ，可得12AB •OC =12AB •（﹣t ），求出t 的值，即可得M 点坐标；（3）利用点N 到对称轴的距离为3个单位求出点N 的横坐标，即可得点N 的坐标，再结合M 、D 两点的坐标即可求解．【解题过程】解：（1）∵二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过A （﹣1，0）、C （0，﹣3），∴1−b +c =0c =−3，解得：b =−2c =−3，∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3，把y ＝x 2﹣2x ﹣3配方，得y ＝（x ﹣1）2﹣4∴顶点D 的坐标为（1，﹣4）；（2）设点M的纵坐标为t（t＜0），∵S△MAB＝S△CAB，∴12AB•OC=12AB•（﹣t），∵抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0）、B（3，0），∵点C（0，﹣3），∴AB＝4，OC＝3．∴﹣t＝3，得t＝﹣3．当t＝﹣3时，x2﹣2x﹣3＝﹣3，解得x1＝0，x＝2，∴点M的坐标为（2，﹣3）；（3）∵顶点D的坐标为（1，﹣4），∴抛物线的对称轴为x＝1，∵点N到对称轴的距离为3个单位，∴点N的横坐标为﹣2或4，∴点N纵坐标为42﹣2×4﹣3＝5．∴点N的坐标为（﹣2，5）或（4，5）．∵点M的坐标为（2，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4），当N在对称轴的右侧时，﹣3≤y P≤5；当N在对称轴的左侧时，﹣4≤y P≤5；10．（2022春•浦江县期末）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，9），与坐标轴交于B、C、D 三点，且B点的坐标为（﹣2，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、M，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）在（2）中的矩形周长最大时，连接BM，已知点P是x轴上一动点，过点P作PQ∥y轴，交直线BM 于点Q，是否存在这样的点P，使直线PQ把△BCM分成面积为1：2的两部分？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B代入即可；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），则矩形MNHG的周长＝﹣2（m﹣2）2+20，可求当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；（3）求出S△BCM＝24，设P（t，0），则Q（t，2t+4），分两种情况讨论：当S△BPQ＝8时，P（2，0）；当S△BPQ＝16时，P（2，0）．【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+9，将点B（﹣2，0）代入，∴9a+9＝0，∴a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）设M（m，﹣m2+2m+8），则N（2﹣m，﹣m2+2m+8），∴MN＝2m﹣2，MG＝﹣m2+2m+8，∴矩形MNHG的周长＝2（MN+MG）＝2（﹣m2+4m+6）＝﹣2（m﹣2）2+20，∴当m＝2时，矩形MNHG的周长有最大值20；（3）存在点P，使直线PQ把△BCM分成面积为1：2的两部分，理由如下：当m＝2时，M（2，8），设直线BM的解析式为y＝kx+b，∴−2k+b=0 2k+b=8，解得k=2 b=4，∴y＝2x+4，令y＝0，则﹣x2+2x+8＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴C（4，0），∴BC＝6，∴S△BCM=12×6×8＝24，设P（t，0），则Q（t，2t+4），当S△BPQ＝8时，12×（t+2）×（2t+4）＝8，解得t＝2或t＝﹣2（舍），∴P（2，0）；当S△BPQ＝16时，12×（t+2）×（2t+4）＝16，解得t＝2或t＝﹣6（舍），∴P（2，0）；综上所述，P点坐标为（2，0）或（2，0）．11．（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB 上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E 处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由点A的坐标可得出点E的坐标，由点A，E的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线AB的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再利用三角形的面积计算公式，结合S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE，即可求出△BCE的面积；（3）存在，由点A，B的坐标可得出OA＝OB，结合∠AOB＝90°可得出∠BAE＝45°，设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3），分点P在x轴上方及点P在x轴下方两种情况考虑：①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，则EM＝P1M，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点P1的坐标；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x 轴于点N，则EN＝P2N，进而可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将符合题意的m值代入点P的坐标中即可求出点P2的坐标．【解题过程】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），∴点E的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，得：9a+3b+3=0a−b+3=0，解得：a=−1b=2，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当x＝0时，y＝﹣1×（0）2+2×0+3＝3，∴点B的坐标为（0，3）．设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，得：3m+n=0n=3，解得：m=−1n=3，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，∴点C的坐标为（1，2）．∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE=12AE•OB−12AE•CD=12×4×3−12×4×2＝2，∴△BCE的面积为2．（3）存在，理由如下：∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），∴OA＝OB＝3．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠BAE＝45°.∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，∴点P1的坐标为（2，3）；②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，∴点P2的坐标为（4，﹣5）．综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．12．（2022•太原一模）综合与实践如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点D在直线AC 下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E．（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标．【思路点拨】（1）分别令x＝0，y＝0，求得点C、A的坐标，再运用待定系数法即可求得答案；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），可得DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，运用二次函数的性质即可求得线段DE的最大值；（3）设F（﹣1，n），根据两点间距离公式可得：AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，分三种情况：①当∠AFC＝90°时，②当∠CAF＝90°时，③当∠ACF＝90°时，分别建立方程求解即可．【解题过程】解：（1）在y＝x2+2x﹣8中，令x＝0，得y＝﹣8，∴C（0，﹣8），令y＝0，得x2+2x﹣8＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则−4k+b=0 b=−8，解得：k=−2 b=−8，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8；（2）设D（m，m2+2m﹣8），则E（m，﹣2m﹣8），∵点D在点E的下方，∴DE＝﹣2m﹣8﹣（m2+2m﹣8）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣2时，线段DE最大值为4；（3）∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，设F（﹣1，n），又A（﹣4，0），C（0，﹣8），∴AF2＝32+n2＝n2+9，AC2＝42+82＝80，CF2＝12+（n+8）2＝n2+16n+65，①当∠AFC＝90°时，∵AF2+CF2＝AC2，∴n2+9+n2+16n+65＝80，解得：n1＝﹣4n2＝﹣4+∴F（﹣1，﹣4﹣1，﹣4②当∠CAF＝90°时，∵AF2+AC2＝CF2，∴n2+9+80＝n2+16n+65，解得：n=3 2，∴F（﹣1，32）；③当∠ACF＝90°时，∵CF2+AC2＝AF2，∴n2+16n+65+80＝n2+9，解得：n=−17 2，∴F（﹣1，−172）；综上所述，点F的坐标为（﹣1，﹣4﹣1，﹣4+﹣1，32）或（﹣1，−172）．13．（2022•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y=−12有唯一的公共点A，与直线y=32交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧．（ⅰ）求P，Q两点的坐标；（ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点．【思路点拨】（1）过点A作AM⊥BC交于M，由等腰直角三角形的性质求出AM＝BM＝2，从而求出M（1，32），A（1，−12），B（﹣1，32），再用待定系数法求解析式即可；（2）（ⅰ）联立方程组y=2xy=12x2−x，即可求P、Q点的坐标；（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=2x+my=12x2−x，可得x1+x2＝6，y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，求出直线PM的解析式后，求直线PM与CD的交点为（3，6+3mx1），求出QN的解析式后，求直线QN与CD的交点为（3，6+3mx1），从而所求得证．【解题过程】（1）解：过点A作AM⊥BC交于M，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AM＝BM=32−（−12）＝2，∵CD⊥x轴，D（3，0），∴C（3，32），∴M（1，32），A（1，−12），B（﹣1，32），设y＝ax2+bx+c（a≠0），∴a+b+c=−12a−b+c=329a+3b+c=32，解得a=12 b=−1 c=0，∴y=12x2﹣x；（2）（ⅰ）解：联立方程组y=2xy=12x2−x，解得x=0y=0或x=6y=12，∵P在Q的左侧，∴P（0，0），Q（6，12）；（ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=2x+m y=12x2−x，整理得x2﹣6x﹣2m＝0，∴x1+x2＝6，∴y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，设直线PM的解析式为y＝k1x，∴2x1+m＝k1x1，∴k1＝2+mx1，∴y＝（2+mx1）x，∴直线PM与CD的交点为（3，6+3mx1），设QN的解析式为y＝k2x+b2，∴6k2+b2=12(6−x1)k2+b2=−2x1+m+12，解得k2=2−mx1b2=6mx1，∴y＝（2−mx1）x+6mx1，∴直线QN与CD的交点为（3，6+3mx1），∴直线PM，QN，CD交于一点．14．（2022春•兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c即可得到答案；（2）过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，则P的坐标是（m，m2+2m﹣3），利用待定系数法求AC的解析式，表示M的坐标，用m的代数式表示PM的长度，根据三角形面积公式即可得到答案；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，②如图3，四边形CBDE是菱形，根据两点的距离公式和菱形的边长相等列方程可解答．【解题过程】解：（1）将A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c得：9−3b+c=0 1+b+c=0，解得：b=2c=−3，∴y＝x2+2x﹣3；（2）如图1，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），设直线AC的解析式为：y＝kx+n，∴−3k+n=0 n=−3，∴k=−1 n=−3，∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵P点的横坐标为m，∴P的坐标是（m，m2+2m﹣3），则M的坐标是（m，﹣m﹣3），∴PM＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，∴﹣3＜m＜0，∴S=12•PM•OA=32（﹣m2﹣3m）=−32m2−92m（﹣3＜m＜0）；（3）分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t+1，﹣t），∵四边形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴（t﹣0）2+（﹣t﹣3+3）2＝12+32，∴t＝∵t＜0，∴t=∴E（+1②如图3，四边形CBDE是菱形，设D（t，﹣t﹣3），则E（t﹣1，﹣t﹣6），∵四边形CBDE是菱形，∴CE＝BC，∴（t﹣1﹣0）2+（﹣t﹣6+3）2＝12+32，∴t＝0（舍）或﹣2，∴E（﹣3，﹣4）；综上所述，点E的坐标为（1﹣3，﹣4）．15．（2022春•兴宁区期末）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，﹣2），点C（0，﹣5），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的表达式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向上平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）若E为线段AB上一点，且BE：EA＝3：1，P为直线AC上一点，在抛物线上是否存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），求出直线AC的解析式，由题意可知﹣4＜m﹣6＜﹣2，求出m的取值即可；（3）设P（t，t﹣5），Q（x，x2﹣2x﹣5），根据对角线分三种情况求解即可．【解题过程】解：（1）将点A（3，﹣2），点C（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c，∴9+3b+c=−2 c=−5，解得b=−2 c=−5，∴y＝x2﹣2x﹣5，∴M（1，﹣6）；（2）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣6+m，∴平移后的顶点坐标为（1，m﹣6），∴抛物线的顶点在x＝1的直线上，设直线CA的解析式为y＝kx+b，∴3k+b=−2 b=−5，∴k=1b=−5，∴y＝x﹣5，当x＝1时，y＝﹣4，∴﹣4＜m﹣6＜﹣2，解得2＜m＜4；（3）存在一点Q，使以B、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：当y＝﹣2时，x2﹣2x﹣5＝﹣2，解得x＝﹣1或x＝3，∴B（﹣1，﹣2），∴AB＝4，∵BE：EA＝3：1，∴AE＝1，∴E （2，﹣2），设P （t ，t ﹣5），Q （x ，x 2﹣2x ﹣5），①当BE 为平行四边形的对角线时，2−1=t +x −2−2=t−5+x 2−2x−5，解得t =x =或t =x =，∴Q ②当BP 为平行四边形的对角线时，−1+t =2+x −2+t−5=−2+x 2−2x−5，解得x =t =或x =y =∴Q ③当BQ 为平行四边形的对角线时，−1+x =2+t −2+x 2−2x−5=−2+t−5，此时无解；综上所述：Q16．（2022•肃州区模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，AB ＝4，交y 轴于点C ，对称轴是直线x ＝1．（1）求抛物线的关系式；（2）请在抛物线的对称轴上找一点P ，使△ACP 的周长最小，并求此时点P 的坐标．（3）动点M 从点O 出发，以每秒2个单位长度的速度向点B 运动（到点B 停止），过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，交线段BC 于点Q ．设运动时间为t （t ＞0）秒．△BOQ 能否为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【思路点拨】（1）根据x轴上的点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，求得点A、B的坐标，再代入抛物线解析式，解方程组即可得出答案；（2）点B与点A关于抛物线的对称轴对称，根据两点之间，线段最短可知，抛物线的对称轴与BC的交点就是△ACP的周长最小时点P的位置，先求出直线BC的解析式，再求出点P的坐标；（3）分OQ＝BQ或OB＝BQ或OQ＝OB三种情况，分别求解即可．【解题过程】解：（1）∵x轴上的点A、B关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：−9+3b+c=0−1−b+c=0，解得b=2 c=3，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，点A关于对称轴的对称点是点B，连接BC，交对称轴直线x＝1于点P．点P就是使△ACP 的周长最小的点．在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝mx+n，则：n=33m+n=0，解得：m=−1 n=3，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝2．∴P（1，2）．（3）如图2，∵动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动（到点B停止），运动时间为t（t＞0）秒，∴OM＝2t，且0＜t≤3 2，∴M（2t，0），∵MN⊥x轴，∴点Q的横坐标为2t，当x＝2t时，y＝﹣x+3＝﹣2t+3＝3﹣2t，∴Q（2t，3﹣2t），∴QM＝3﹣2t，BM＝3﹣2t，∴BM＝QM，∵△BOQ为等腰三角形，∴OQ＝BQ或OB＝BQ或OQ＝OB：①当OQ＝BQ时，∵QM⊥OB，∴OM＝BM，∴2t＝3﹣2t，解得：t=3 4；②当OB＝BQ时，在Rt△BMQ中，∵BM＝QM，∠BMQ＝9°，∴△BQM是等腰直角三角形，∴∠OBQ＝45°，BQ=，∴OB，即3=3﹣2t），解得：t=③当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t＝0，而t＞0，故不符合题意，综上述，当t=34秒或△BOQ为等腰三角形．17．（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−12，0），B（3，72）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）过点D 作DF ⊥CP 交CP 的延长线于点F ，过点F 作y 轴的平行线EF ，过点D 作DE ⊥EF 于点E ，过点C 作CG ⊥EF 于点G ，证明△DEF ≌△FGC （AAS ），由全等三角形的性质得出DE ＝FG ，EF ＝CG ，求出F 点的坐标，由待定系数法求出直线CF 的解析式，联立直线CF 和抛物线解析式即可得出点P 的坐标．【解题过程】解：（1）将点A （−12，0），B （3，72）代入到y ＝ax 2+bx +2中得：a−12b +2=0+3b +2=72，解得：a =−1b =72，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+72x +2；（2）设点P （m ，﹣m 2+72m +2），∵y ＝﹣x 2+72x +2，∴C （0，2），设直线BC 的解析式为y ＝kx +c ，∴3k +c =72c =2，解得k =12c =2，∴直线BC 的解析式为y =12x +2，∴D （m ，12m +2），∴PD ＝|﹣m 2+72m +2−12m ﹣2|＝|m 2﹣3m |，∵PD ⊥x 轴，OC ⊥x 轴，∴PD ∥CO ，∴当PD ＝CO 时，以P 、D 、O 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴|m 2﹣3m |＝2，解得m ＝1或2∴点P 的横坐标为1或2（3）①当Q 在BC 下方时，如图，过B 作BH ⊥CQ 于H ，过H 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，过B 作BN ⊥MH 于N ，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，72），=3−m−n=m，解得m=94n=54，∴H（94，54），设直线CH的解析式为y＝px+q，p+q=542，解得p=−13q=2，∴直线CH的解析式为y=−13x+2，联立直线CF与抛物线解析式得y=−x2+72x+2y=−13x+2，解得x=0y=2或x=236y=1318，∴Q（236，1318）；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q（12，72）．综上，存在，点Q的坐标为（236，1318）或（12，72）．18．（2022•武汉模拟）点P（﹣3，a）在抛物线y＝x2﹣6上，过点P的直线l1：y＝k1x+b1与抛物线交于另一点F．（1）直接写出a的值；（2）如图（1），当点F在第四象限时，若PF交x轴的负半轴于点S，交y轴的负半轴于点T，且PS+FT＝ST，求点F的坐标；（3）如图（2），过点P的另一条直线l2：y＝k2x+b2与抛物线交于另一点H，M，N分别为线段PF，PH 的中点，且k1+k2＝﹣4，求证：直线MN与经过原点的一条定直线平行．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）设F（m，m2﹣6），利用待定系数法可得到直线PF的解析式为y＝（m﹣3）x+3m﹣6，利用已知条件可求得点S的坐标，将点S的坐标代入直线PF的解析式y＝（m﹣3）x+3m﹣6，即可求得m的值，则结论可求；（3）利用待定系数法可得直线PF的解析式为y＝k1x+3k1+3，与抛物线解析式联立，则得点P，点F的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，利用一元二次方程的根与系数的关系和中点坐标的特征可得点M 的坐标，同理可求得点N坐标，利用待定系数法求得直线MN的解析式，利用直线平行的特征可得直线MN 与直线y＝2x平行，则结论可得．【解题过程】（1）解：∵点P（﹣3，a）在抛物线y＝x2﹣6上，∴a＝（﹣3）2﹣6，∴a＝3．（2）解：设F（m，m2﹣6），直线PF的解析式为y＝k1x+b1，∴−3k1+b1=3mk1+b1=m2−6，解得：k1=m−3b1=3m−6，∴直线PF的解析式为y＝（m﹣3）x+3m﹣6．∵PS+FT＝ST，∴PF＝2ST．∴x F﹣x P＝2（x T﹣x S），∴m+3＝2（0﹣x S），∴x S=−m3 2．∴S（−m32，0）．将S（−m32，0）代入PF的解析式得：（m﹣3）（−m32）+3m﹣6＝0，解得：m＝33∵当点F在第四象限，∴m2﹣6＜0．当m＝3+m2﹣6＝0，不合题意，舍去，当m＝3m2﹣6＝9﹣0，∴F（39﹣（3）证明：∵直线y＝k1x+b1经过点P（﹣3，3），∴﹣3k1+b1＝3，∴b1＝3k1+3，∴直线PF的解析式为y＝k1x+3k1+3，联立：y=x2−6y=k1x+3k1+3，∴x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0．∴点P，点F的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，∴x P+x F＝k1．∵M为线段PF的中点，∴x M=x P x F2=k12，∴M（k12，k212+3k1+3），∵直线y＝k2x+b2经过点P（﹣3，3），∴﹣3k2+b2＝3，∴b2＝3k2+3，∴直线PH的解析式为y＝k2x+3k2+3，联立：y=k2x+3k2+3 y=x2−6，∴x2﹣k2x﹣3k2﹣9＝0．∴点P，点H的横坐标是方程x2﹣k1x﹣3k1﹣9＝0的两根，∴x P+x H＝k2，∵N为线段PH的中点，∴x N=x P x H2=k22，∴N（k22，k222+3k2+3），设直线MN的解析式为y＝kx+n，k+n=k212+3k1+3k+n=k222+3k2+3，解得：k=k1+k2+6 n=3−k1k22，∴直线MN的解析式为y＝（k1+k2+6）x+3−k1k2 2．∵k1+k2＝﹣4，∴直线MN的解析式为y＝2x+3−k1k2 2，∴直线MN与直线y＝2x平行，∵直线y＝2x是一条经过原点的直线，∴直线MN与经过原点的一条定直线平行．19．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；（2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P 的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．【解题过程】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），∴1+b+c=0c=3，解得b=−4c=3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG=12 PG•AE=12×3×（﹣m2+5m﹣3）=−32（m2﹣5m+3）=−32（m−52）2+398，∵−32＜0，∴当m =52时，△OPE 面积最大，此时，P 点坐标为（52，−34）；（3）由y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，得抛物线l 的对称轴为直线x ＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L 向上平移h 个单位长度后顶点为F （2，﹣1+h ）．设直线x ＝2交OE 于点DM ，交AE 于点N ，则E （2，3），∵直线OE 的解析式为：y ＝x ，∴M （2，2），∵点F 在△OAE 内（包括△OAE 的边界），∴2≤﹣1+h ≤3，解得3≤h ≤4；（4）设P （m ，m 2﹣4m +3），分四种情况：①当P 在对称轴的左边，且在x 轴下方时，如图，过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交l 于N ，∴∠OMP ＝∠PNF ＝90°，∵△OPF 是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m=∴P②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1=m2∴P③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m=m2=P ④当P 在对称轴的右边，且在x 轴上方时，如图，同理得m 2﹣4m +3＝m ﹣2，解得：m =P综上所述，点P20．（2022•大方县二模）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，已知B点的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x =32，点D 是BC 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△BCD 的面积为74时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，是否存在点D ，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC 的2倍？若存在，请直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】。
专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练(原卷版)
挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练一．二次函数的图象1．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）A．B．C．D．二．二次函数的性质2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 3．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P （x p，y p）是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤﹣3，则m的取值范围是（ ）A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1 4．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）A．或4B．或﹣C．﹣或4D．﹣或45．（2022•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．三．二次函数图象与系数的关系6．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n （m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（ ）A．0＜m≤2B．﹣2≤m＜0C．m＞2D．m＜﹣2 7．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）A．a＞0B．a+b＝3C．抛物线经过点（﹣1，0）D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根8．（2022•广安）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（ ）A．1B．2C．3D．49．（2022•恩施州）已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4 10．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．11．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．12．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（ ）①abc＞0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．A．1个B．2个C．3个D．4个13．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个14．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④15．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3 16．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l 垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（ ）A．m＜﹣1或m＞0B．＜m＜C．0≤m＜D．﹣1＜m＜1 17．（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个四．二次函数图象上点的坐标特征18．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个19．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（ ）A．a＞0B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大C．点B的坐标为（4，0）D．4a+2b+c＞020．（2022•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc ＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有 个．21．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（ ）个．A．2B．3C．4D．5 22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．五．二次函数的最值23．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k ≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．B．2C．D．1 24．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k ≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）A．1B．C．2D．六．二次函数图象与几何变换25．（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．26．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．七．抛物线与x轴的交点27．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c ＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个28．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有 .（填序号，多选、少选、错选都不得分）29．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．八．二次函数综合题30．（2022•丹东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（5，0），与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①abc ＞0；②b+3a＜0；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b （k≠0）的图象经过点A，则点E（k，b）在第四象限；⑤点M是抛物线的顶点，若CM⊥AM，则a＝．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个31．（2022•自贡）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D 的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（ ）A．①③B．②③C．①④D．①③④。
备战2020年中考数学《二次函数与几何图形综合压轴题型》(含答案)
备战2020年中考数学《二次函数与几何图形综合题型》类型一 线段数量关系/最值问题1. (2019滨州)如图①，抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D .(1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点． ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为524时，求sin ∠P AD 的值．第1题图2. 如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，c )．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上的动点，设点P 的横坐标为n ，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C ，交x 轴于点M .①当点P 在线段AB 上运动时(点P 不与点A ，B 重合)，是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；②点P 在直线AB 上自由移动，当点C 、P 、M 中恰有一点是其他两点所连线段的中点时，请直接写出n 的值．第2题图类型二面积数量关系/最值问题1. (2019成华区一诊)如图，抛物线经过原点O，与x轴交于点A(－4，0)，且经过点B(4，8)．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线y＝kx＋4与抛物线两交点的横坐标分别为x1，x2(x1<x2)，当1x2－1x1＝22时，求k的值；(3)连接OB，点P为x轴下方抛物线上一动点，过点P作OB的平行线交直线AB于点C，连接OC、OP，当S△POC∶S△BOC＝1∶2时，求点P的坐标．第1题图2. (2019武侯区一诊)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx ＋3与抛物线交于点A (9，－6)，与y 轴交于点B ，抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D 是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD 的面积为812，求点D 的坐标；(3)在y 轴上是否存在一点P ，使∠APC ＝45°？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．类型三特殊三角形存在性问题1. (2019武侯区二诊)如图，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋4的顶点C在x轴正半轴上，直线y＝x＋2与抛物线交于A，B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若S△P AB＝2S△ABC，求点P的坐标；(3)将直线AB上下平移，平移后的直线y＝x＋t与抛物线交于A′、B′两点(A′在B′的左侧)，当以点A′、B′、(2)中第二象限的点P为顶点的三角形是直角三角形时，求t的值．类型四特殊四边形存在性问题1. (2019高新区二诊)如图，在同一直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2－2x－3与抛物线C2：y＝x2＋mx ＋n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧，交y轴于点D.(1)求A、B两点的坐标；(2)过抛物线C2：y＝x2＋mx＋n在第三象限上的一点P，作PF⊥x轴于点F，交AD于点E，若E关于PD的对称点E′恰好落在y轴上，求P点的坐标；(3)在抛物线C1上是否存在一点G，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以A、B、G、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出G、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．类型五相似三角形问题1.(2019金牛区一诊)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(－3，0)、B(1，0)，与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；(2)连接AD、CD，若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合)，当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合)，过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标．第1题图 备用图参考答案类型一 线段数量关系/最值问题1. 解：(1)抛物线y ＝－18x 2＋12x ＋4，令x ＝0，可得A 点的坐标为(0，4)，令y ＝0，可得B 点的坐标为(－4，0)，C 点的坐标为(8，0)． 易得直线AB 的函数解析式为y ＝x ＋4， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝45°.又∵直线AD 由直线AB 逆时针旋转90°而来， ∴∠BAD ＝90°，∴∠OAD ＝45°，△OAD 为等腰直角三角形，∴OD ＝OA ＝4，D (4，0)，易得直线AD 的函数解析式为y ＝－x ＋4；(2)①如解图①，过点P 作PE ⊥x 轴交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，第1题解图①易得△PEF 为等腰直角三角形， ∴PF ＝22PE ， ∴当PE 取得最大值时，PF 取得最大值， 设P (x ，－18x 2＋12x ＋4)，则E (x ，－x ＋4)，∴PE ＝－18x 2＋12x ＋4－(－x ＋4)＝－18x 2＋32x ＝－18(x －6)2＋92，∴当x ＝6时，PE 有最大值92，此时PF 有最大值924，∴当x ＝6时，－18x 2＋12x ＋4＝52，∴当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标为(6，52)，最大距离为924；②如解图②，连接AP ，过点P 作PE ⊥x 轴，交AD 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，当点P 到AD 的距离为524时，PF ＝524，则此时PE ＝2PF ＝52，将PE ＝52代入PE ＝－18(x －6)2＋92中，解得x 1＝10，x 2＝2，∴此时点P 的坐标为(10，－72)或(2，92)，当点P 的坐标为(2，92)时，AP ＝22＋（92－4）2＝172，∴sin ∠P AD ＝524172＝53434；当点P 的坐标为(10，－72)时，AP ＝102＋（－72－4）2＝252，∴sin ∠P AD ＝PF AP ＝524252＝210.综上，sin ∠P AD 的值是53434或210.第1题解图②2. 解：(1)∵B (4，c )在直线y ＝x ＋2上， ∴c ＝6，则B (4，6)，∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝5216a ＋4b ＋6＝6.， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－8，故抛物线的解析式为y ＝2x 2－8x ＋6； (2)①存在．设点P 的坐标为(n ，n ＋2)(12<n <4)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵－2<0，12<n <4，∴当n ＝94时，线段PC 的长取得最大值498.② n 的值为5±212或17±1298.【解法提示】设P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，易知抛物线与x 轴交点坐标为(1，0)，(3，0)，直线与x 轴交点坐标为(－2，0)．(Ⅰ)若M 点为PC 的中点，此时n <－2或1<n <3，则PM ＝CM ，即n ＋2＝－(2n 2－8n ＋6)，整理得2n 2－7n ＋8＝0，此方程没有实数解；(Ⅱ)若P 点为CM 的中点，此时，n >4或－2<n <12，则PM ＝PC ，CM ＝2PM ，即2n 2－8n ＋6＝2(n ＋2)，整理得n 2－5n ＋1＝0，解得n 1＝5＋212，n 2＝5－212，n 1，n 2均满足条件；(Ⅲ)若C 点为PM 的中点，此时12<n <1或3<n <4，则PC＝CM ，PM ＝2CM ，即n ＋2＝2(2n 2－8n ＋6)，整理得4n 2－17n ＋10＝0，解得n 1＝17＋1298，n 2＝17－1298，n 1，n 2均满足条件．综上所述，n 的值为5±212或17±1298.类型二 面积数量关系/最值问题1. 解：(1)∵抛物线经过原点O ， ∴设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ，把点A (－4，0)，B (4，8)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧16a －4b ＝016a ＋4b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝1，∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋x ；(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2＋xy ＝kx ＋4，消去y ，得14x 2＋(1－k )x －4＝0，∴x 1＋x 2＝4(k －1)，x 1x 2＝－16，∵1x 2－1x 1＝22， ∴（x 1＋x 2）2－4x 1x 2（x 1x 2）2＝12，即16（k －1）2＋64256＝12，解得k ＝3或k ＝－1， 经检验都符合题意， ∴k 的值为3或－1；(3)∵OB ∥PC ，S △POC ∶S △BOC ＝1∶2， ∴PC ∶OB ＝1∶2， ∵B (4，8)，∴OB ＝45，直线OB 的解析式为y ＝2x ， ∴PC ＝25，设点P 的坐标为(a ，14a 2＋a )(－4＜a ＜0)，直线PC 的解析式为y ＝2x ＋t ，把P (a ，14a 2＋a )代入y ＝2x ＋t ，整理得t ＝14a 2－a ，∴直线PC 的解析式为y ＝2x ＋14a 2－a ，易得直线AB 的解析式为y ＝x ＋4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝2x ＋14a 2－a ，解得x ＝4＋a －14a 2，∴PC ＝5(x C －x P )＝5×(4＋a －14a 2－a )＝25，解得a ＝22(舍去)或a ＝－22，将a ＝－22代入抛物线的解析式，得y ＝14×(－22)2－22＝2－22，∴点P 的坐标为(－22，2－22)． 2. 解：(1)把点A (9，－6)代入y ＝mx ＋3中， 得m ＝－1，∴直线的函数表达式为y ＝－x ＋3；∵抛物线的顶点C 的坐标是(4，－11)且过点A (9，－6)， 设抛物线的函数表达式为y ＝a (x －4)2－11， ∴a (9－4)2－11＝－6， 解得a ＝15，∴抛物线的函数表达式为y ＝15(x －4)2－11＝15x 2－85x －395； (2)设点D 的横坐标为n .∵抛物线对称轴为直线x ＝4，∴分两种情况讨论①当0＜n ＜4时，如解图①，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，则D (n ，15n 2－85n －395)，E (n ，－n ＋3)， ∴DE ＝－n ＋3－(15n 2－85n －395)＝－15n 2＋35n ＋545， ∴S △ABD ＝S △BDE ＋S △ADE ＝12DE ·(x E －x B )＋12DE ·(x A －x E ) ＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352(不合题意，舍去)，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)；第2题解图①②当n ＜0时，如解图②，过点D 作x 轴的垂线交直线AB 于点E ，S △ABD ＝S △ADE －S △BDE ＝12DE ·(x A －x E )－12DE ·(x B －x E )＝12DE ·(x A －x B )＝12(－15n 2＋35n ＋545)×9＝812， 解得n 1＝3－352，n 2＝3＋352(不合题意，舍去)． 当n ＝3－352时，y ＝15×(3－352)2－85×3－352－395＝35－152. ∴D (3－352，35－152)；第2题解图②(3)在y 轴上存在一点P ，使∠APC ＝45°，如解图③，分别过点C 、A 作y 轴、x 轴的平行线，两线交于点G ，则∠CGA ＝90°，∵A 、C 的坐标分别为(9，－6)，(4，－11)，∴点G 的坐标为(4，－6)．∴GA ＝GC ＝5.作以G 为圆心，GA 的长度为半径的圆，交y 轴于点P ，P ′，连接AP 、CP 、AP ′、P ′C ，此时∠APC ＝∠AP ′C ＝12∠CGA ＝45°， ∴GP ＝5.设点P 的坐标为(0，k )，过点G 作GH ⊥y 轴于点H ，则H (0，－6)．在Rt △PGH 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即(k ＋6)2＋42＝52，解得k 1＝－3，k 2＝－9，∴P (0，－3)，P ′(0，－9)．第2题解图③类型三 特殊三角形存在性问题1. 解：(1)∵抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，∴4ac －b 24a ＝16－（m ＋2）24＝0， 解得m ＝2或－6，∵顶点在x 轴正半轴上，∴－m ＋22>0.解得m <－2， ∴m ＝－6，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋4；(2)如解图①，过点C 作抛物线的对称轴，交直线AB 于点D ，由y ＝x 2－4x ＋4得抛物线的对称轴是直线x ＝2，则D (2，4)，DC ＝4.在点D 上方的抛物线的对称轴上取一点E ，使DE ＝2DC ，则E (2，12)．连接AE ，BE ，则S △ABE ＝2S △ABC .过点E (2，12)作直线AB 的平行线交抛物线于点P 1，P 2，此时满足S △P AB ＝S △ABE ＝2S △ABC .设直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋k ，∵点E (2，12)在直线P 1P 2上，∴2＋k ＝12，∴k ＝10.∴直线P 1P 2的函数表达式为y ＝x ＋10.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋10y ＝x 2－4x ＋4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝9或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6y 2＝16， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(－1，9)，(6，16)；第1题解图①(3)设A ′(x 1，y 1)，B ′(x 2，y 2)，显然，∠P A ′B ′≠90°.①如解图②，当∠A ′B ′P ＝90°时，过点B ′作直线MN ∥y 轴，A ′M ⊥MN 于点M ，PN ⊥MN 于点N ， ∵直线A ′B ′的解析式是y ＝x ＋t ，∴∠B ′A ′M ＝45°，∴△A ′B ′M 和△PB ′N 都是等腰直角三角形，∴PN ＝NB ′，∴x 2＋1＝9－y 2，即x 2＋y 2＝8，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝8y 2＝x 2＋t ， 解得⎩⎨⎧x 2＝4－12t y 2＝4＋12t ， 将点(4－12t ，4＋12t )代入抛物线的函数表达式，得4＋12t ＝(4－12t )2－4×(4－12t )＋4. 解得 t 1＝0，t 2＝10(此时点A ′与点P 重合，舍去)；第1题解图②如解图③，若∠A′PB′＝90°，过点P作EF∥y轴，A′E⊥EF于E，B′F⊥EF于点F，则△A′EP∽△PFB′，∴A′EPE＝PFB′F.∴x1＋19－y1＝y2－9x2＋1.∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝9(y1＋y2)－y1y2－81，令x2－4x＋4＝x＋t，即x2－5x＋4－t＝0，则x1＋x2＝5，x1x2＝4－t，y1＋y2＝(x1＋t)＋(x2＋t)＝x1＋x2＋2t＝5＋2t，y1y2＝(x1＋t)(x2＋t)＝x1x2＋t(x1＋x2)＋t2＝t2＋4t＋4，∴(4－t)＋5＋1＝9(5＋2t)－(t2＋4t＋4)－81，整理得t2－15t＋50＝0，解得t1＝5，t2＝10(此时A′与P重合，舍去)，综上，t的值为0或5.第1题解图③类型四 特殊四边形存在性问题1. 解：(1)∵C 1、C 2关于y 轴对称，∴C 1与C 2的交点一定在y 轴上，且C 1与C 2的形状，大小均相同，∴a ＝1，n ＝－3，∴C 1的对称轴为直线x ＝1，∴C 2的对称轴为直线x ＝－1，∴m ＝2，∴C 1的函数表达式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3＝0，在C 2的函数表达式y ＝x 2＋2x －3中，当y ＝0可得x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，∴A (－3，0)，B (1，0)；(2)根据题意可得点D 的坐标为(0，－3)，设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b .把(0，－3)和(－3，0)代入到y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3－3k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3k ＝－1， ∴直线AD 的表达式为y ＝－x －3，设P (a ，a 2＋2a －3)，则E (a ，－a －3)，则PE ＝－a －3－(a 2＋2a －3)＝－a 2－3a ，根据对称可得四边形PEDE ′是菱形，则DE ′＝PE ＝－a 2－3a ， 如解图，过点P 作PG ⊥y 轴于点G ，∵ED ∥PE ′，ED 所在直线斜率k ＝－1∴∠E′＝∠AEF＝45°，GE′＝－a，PG＝GE′.在Rt△PGE′中，根据勾股定理得：PE′＝－2a，根据菱形性质可得：PE′＝DE′，∴－2a＝－a2－3a，解得a＝2－3，∴P(2－3，2－42)；第1题解图(3)存在．∵AB的中点为(－1，0)，且点G在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，∴AB只能为平行四边形的一边，∴GQ∥AB且GQ＝AB，由(1)可知AB＝1－(－3)＝4，∴GQ＝4，设G(t，t2－2t－3)，则Q(t＋4，t2－2t－3)或(t－4，t2－2t－3)，①当Q(t＋4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t＋4)2＋2(t＋4)－3，解得t＝－2，∴t2－2t－3＝4＋4－3＝5，∴G(－2，5)，Q(2，5)；②当Q(t－4，t2－2t－3)时，则t2－2t－3＝(t－4)2＋2(t－4)－3，解得t＝2，∴t2－2t－3＝4－4－3＝－3，∴G(2，－3)，Q(－2，－3)，综上可知，存在满足条件的点G、Q，其坐标为G(－2，5)，Q(2，5)或G(2，－3)，Q(－2，－3)．类型五相似三角形问题1. 解：(1)把点A、B、D的坐标分别代入抛物线的解析式中得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝09a －3b ＋c ＝0c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－2c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝－1， ∴点C 的坐标为(－1，4)；(2)如解图①，过点C 作CE ∥AD 交抛物线于点E ，交y 轴于点T ，则△ADE 与△ACD 面积相等，直线AD 过点D ，设其解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得：0＝－3m ＋3，解得m ＝1，则直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∵CE ∥AD ，设直线CE 的解析式为y ＝x ＋n ，将点C 的坐标代入上式得：4＝－1＋n ，解得n ＝5，则直线CE 的解析式为y ＝x ＋5，则点T 的坐标为(0，5)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋5， 解得x ＝－1或x ＝－2(x ＝－1为点C 的横坐标)，即点E 的坐标为(－2，3)；在y 轴取一点H ′，使DT ＝DH ′＝2，过点H ′作直线E ′E ″∥AD ，则△ADE ′和△ADE ″都与△ACD 面积相等，同理可得直线E ′E ″的解析式为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x ＋3y ＝x ＋1， 解得x ＝－3±172， ∴点E ″、E ′的坐标分别为(－3＋172，－1＋172)、(－3－172，－1－172)， 综上，满足要求的点E 的坐标为(－2，3)或(－3＋172，－1＋172)或(－3－172，－1－172)；第1题解图①(3)如解图②，设点P 的坐标为(m ，n )，则n ＝－m 2－2m ＋3，把点C 、D 的坐标代入一次函数的解析式y ＝kx ＋b 得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝－k ＋b b ＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝3， 即直线CD 的解析式为y ＝－x ＋3，由(1)得，直线AD 的解析式为y ＝x ＋3，∴AD ⊥CD ，而直线PQ ⊥CD ，故直线PQ 的解析式中的k 值与直线AD 的解析式中的k 值相同， 同理可得直线PQ 的解析式为y ＝x ＋(n －m )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝x ＋（n －m ）， 解得x ＝3＋m －n 2， 即点Q 的坐标为(3＋m －n 2，3－m ＋n 2)， 则PQ 2＝(m －3＋m －n 2)2＋(n －3－m ＋n 2)2＝（m ＋n －3）22＝12(m ＋1)2·m 2， 同理可得：PC 2＝(m ＋1)2[1＋(m ＋1)2]，AH ＝2，CH ＝4，则AC ＝25，当△ACH ∽△CPQ 时，PC PQ ＝AC CH ＝52， 即4PC 2＝5PQ 2，整理得3m 2＋16m ＋16＝0，解得m ＝－4或m ＝－43， ∴点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)； 当△ACH ∽△PCQ 时，同理可得，点P 的坐标为(－23，359)或(2，－5)， 综上所述，点P 的坐标为(－4，－5)或(－43，359)或(－23，359)或(2，－5)．第1题解图②。
二次函数60道压轴题型专项训练(12大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(浙教)
二次函数60道压轴题型专项训练（12大题型）【题型目录】压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题压轴题型三 根据二次函数的对称性求值压轴题型四 二次函数的平移压轴题压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）压轴题型八 二次函数中的存在性问题压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题压轴题型十 二次函数的翻折问题压轴题型十一 二次函数最值问题压轴题型十二 二次函数的综合【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】1．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线3y x =--与抛物线2()4=--y x m 对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．54m £B ．54m £或74m =C ．1m £D ．1m £或54m =2．（2024·浙江宁波·二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个公共点，且当x a =和x a n =+时函数值都为m ，则m 与n 的等量关系为 ．3．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数()()13y a x x =--的图像过点()4,m ，(),p n (1)当1m =时，求a 的值；(2)若>>0m n ，求p 的取值范围；(3)求证：0>am an +．4．（2024·浙江杭州·一模）已知二次函数2(2)3(0)y m x m =-->的图象与x 轴交于点(,0),(,0)A a B b ．(1)当3a =-时，求b 的值．(2)当0a b <<时，求m 的取值范围．(3)若(1,),(1,)P a p Q b q ++两点也都在此函数图象上，求证：0p q +>．5．（2024·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，点(1,)m 和(3,)n 都在二次函数2y ax bx =+（0，，¹a a b 是常数）的图象上．(1)若6==-m n ，求该二次函数的表达式和函数图象的对称轴．(2)若1a =-，m n <，求b 的取值范围．(3)已知点()()()1231,,2,,4,y y y -也都在该二次函数图象上，若0mn <且a<0，试比较123y y y ，，的大小，并说明理由．【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）抛物线()20y ax bx c a =++¹的顶点为(12)D -，，与x 轴的一个交点A 在点(30)-，和(20)-，之间，其部分图象如图，则以下结论：①0abc <；②若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；③320b c +<；④图象上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若12x x <且122x x +<-，则一定有12y y >；正确的是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（20-21九年级上·浙江·期末）抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ¹）经过点()1,0-和()0m ,；且12m <<，当1x <-时，y 随着x 的增大而减小．下列结论：①0abc >；②0a b +>③若点()13,A y -，点()23,B y 都在抛物线上，则12y y <；④()10a m b -+=；⑤若1c £-，则244b ac a -£．其中结论正确的是．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）在二次函数223(0)y x tx t =-+>中．(1)若函数图象的顶点在x 轴上，求t 的值．(2)若点(,)t s 在抛物线上，令q t s =+，求证：134q £．(3)如果(2,)A m a -，()4,B b ，(,)C m a 都在这个二次函数图象上，且3a b <<，求m 的取值范围．4．（2024·云南昆明·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()24430y mx mx m m =-+->与x 轴的交点为A ，B ．(1)求抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)若 1,m =当 3t x t +≤≤时，函数最小值为 2-，求t 的值；(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A ，B 之间的部分与线段 AB 所围成的区域内(包括边界)恰有10个整点，求m 的取值范围．5．（23-24九年级下·北京·阶段练习）已知抛物线()20y ax bx c a =++>，(1)若抛物线过点()()35m m -，，，，求抛物线的对称轴；(2)已知点()()()()0112042y x y y n -，，，，，，，在抛物线上，其中121x -<<-，若存在1x 使1y n >，试比较012y y y ，，的大小关系．【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】1．（2024·山东淄博·二模）二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ¹）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…2-1-012…2y ax bx c=++…tm2-2-n…且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③36m n +<-，其中正确的结论个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）已知二次函数2y ax bx c =++的图像过点(1,0)A -和(0,1)C ．（1）若此抛物线的对称轴是直线12x =，点C 与点P 关于直线12x =对称，则点P 的坐标是 ．（2）若此抛物线的顶点在第一象限，设t a b c =++，则t 的取值范围是 ．3．（2024·云南曲靖·二模）已知抛物线²y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ¹）(1)若20a b -=，4-+=a b c ，求此抛物线的顶点坐标；(2)在（1）的条件下，抛物线经过点()0,2，将抛物线²y ax bx c =++的图象0x <的部分向下平移h （h 为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与x 轴有2个交点，若点1(,)S m n y -与点2(,)Q m y 在平移后的抛物线上（点S ，Q 不重合），且点S 与点 Q 关于对称轴对称，求代数式22281244m mn n n h -+-+的值．4．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m ，()4,n 在抛物线()20y ax bx c a =++>上．设抛物线的对称轴为直线x t =．(1)若30a b +=．比较,,m n c 的大小关系，并说明理由；(2)点()00),1(x m x ¹在抛物线上，若m c n <<，求t 及0x 的取值范围．5．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线()220y ax bx a =++>的图象上，设抛物线的对称轴为x t =．(1)若()2,1M -，()8,1N -，则t =_______；(2)当12x =-，223x <<时，都有122y y >>，求t 的取值范围．【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】1．（2024·河北邯郸·二模）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线1C ：224y x x =-++与()22:C y x m =-（m 是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2024·福建·模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()02A ，，点()20C ，，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值的差为3．（2024·广东广州·二模）在平面直角坐标系中，将过点()2,1-的抛物线211:4C y x bx =-+（b 为常数）向右平移m 个单位（0m >），再向上平移n 个单位（0n ³）得到新的抛物线2C ，其顶点为E ．(1)求点E 的坐标；（用含m ，n 的式子表示）(2)若抛物线2C 与坐标轴有且只有两个公共点，求满足条件的点E 的纵坐标；(3)当1n =时，抛物线2C 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，且当02x ££时，对抛物线1C 上的任意一点P ，在抛物线2C 上总存在一点Q ，使得点P ，Q 的纵坐标相等，探究下列问题：①求m 的取值范围；②若存在一点F ，满足DF AF BF ==，求点F 的纵坐标的取值范围．4．（2024·内蒙古赤峰·二模）小爱同学学习二次函数后，对函数()21y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：(1)观察探究：①至少写出该函数的两条性质；②直接写出方程()211x --=-的解；③直接写出方程()21x a --=有四个实数根时a 的取值范围．(2)延伸思考：将函数()21y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数()21213y x =---+的图象?写出平移过程，并直接写出当123y <£时，自变量x 的取值范围．5．（2024·山东济南·二模）已知抛物线1C :26y x mx m =--+交x 轴于点A ，B ，交y 轴于点C ．(1)如图1，当点A 坐标为()30-，时，求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，点D 是第二象限内抛物线上的一点，连接BD ，若BD 将四边形ABCD 平分成面积相等的两部分，求点D 的横坐标；(3)如图2，EFH V 为等边三角形，点F ，H 在x 轴上，且点E 的坐标为()06，，将抛物线1C :26y x mx m =--+向右平移m 个单位，再向下平移6m 个单位后得到新的抛物线2C ，若2C 与等边EFH V 三边恰有四个交点，求m 的取值范围．【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】1．（2024·浙江杭州·一模）已知抛物线2y ax bx =+与2y bx ax =+的交点为A ，与x 轴的交点分别为B ，C ，点A ，B ，C 的横坐标分别为1x ，2x ，3x ，且1230x x x ¹．若0a b +<，20a b +>，则下列说法正确的是（ ）A ．231x x x <<B ．321x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<2．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数()2(2)03y x x =-££的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数()21034y x bx c x =++££图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线()230y ax ax c a =++¹与y 轴交于点A ．(1)当1a =，2c =，求该抛物线与x 轴交点坐标；(2)若1a =，点(),P m n 在二次函数抛物线23y ax ax c =++的图象上，且0n c ->，试求m 的值；(3)若点A 的坐标是()0,1，当2c c -<时，抛物线与x 轴只有一个公共点，求a 的取值范围．4．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）在书本阅读材料中提到利用几何画板可以探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图像的关系．如图1，在几何画板软件中绘制一个二次函数的图像的具体步骤如下：步骤一：在直角坐标系内的x 轴上取任意三个点A （A 不在原点），B ，C ，度量三个点的横坐标，分别记为a ，b ，c ；步骤二：绘制函数2y ax bx c =++；步骤三：任意移动A ，B ，C 三点的位置，发现抛物线的开口方向、大小、位置会发生变化．问题：如图2，将点A 移动到点()1,0-的位置．(1)若点B 移动到点()4,0-，请求出此时抛物线的对称轴；(2)在点B ，C 移动的过程中，且满足AB AC =，是否存在某一位置使得抛物线与x 轴只有一个交点，若存在，请求出此时点B 的坐标，若不存在，请说明理由．5．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象经过点(1,1)A -和(2,4)B .(1)求a ，b 满足的关系式；(2)当自变量x 的值满足12x -££时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；(3)若函数图象与x 轴无交点，求2a b +的取值范围.【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】1．（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的45%．经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数关系120y x =-+．有下列结论：①销售单价可以是90元；②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·江苏连云港·中考真题）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．3．（2024·四川德阳·三模）“端午节”吃粽子是中国传统习俗，在端午节来临前，某超市购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得少于50元，日销售量不低于350盒，根据以往销售经验发现，当每盒定价为50元时，日销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销售量减少10盒，设每盒售价为x 元，日销售量为P 盒．(1)当60x =时，P 等于______；(2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W （元）最大？最大利润是多少？(3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额不是最大．”小红说：“当日销售利润不低于8000元时，每盒售价x 的范围为6080x ££．”你认为他们的说法正确吗？4．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？②现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？5．（2023·湖北省直辖县级单位·一模）某销售卖场对一品牌商品的销售情况进行了调查，已知该商品的进价为每件3元，每周的销售量y （件）与售价x （元/件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x （元/件）456y （件）1000095009000(1)求y 关于x 的函数关系式(不求自变量的取值范围)；(2)在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？(3)抗疫期间，该商场这种商品的售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠整数m 元()15m ££，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出整数m 的值．【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】1．（22-23九年级上·浙江台州·期末）以初速度v （单位：m/s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系是24.9h vt t =-．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为9.8m/s ，经过a 秒后，将第二个相同材质的小球从地面以初速度4.9m/s 竖直上抛．若两球能在空中相遇，则a 的取值范围为（ ）A ．34a <<B ．12a <<C ．324a <<D 2a <<2．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长 2.7m AB =，宽 1.5m AD =的矩形，E F ，分别是AB 和CD 的中点，在E ，F 处设置高0.15m HE =的拦网．一次运动员在AD 端发球，在P 点击打乒乓球后经过桌面O 点反弹后的运行路径近似二次项系数427a =-的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O 在到桌面底边AD 的距离为0.1m ，到桌面侧边AB 的距离为0.1m 处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于BC ），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH 高0.1m ，则乒乓球落在对面的落点Q 到拦网EF 的距离为 m ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O 点反弹后飞向对方桌面，落点Q 在距离BC 为0.2m 的Q 点处，此时QC 的长度为 m ．3．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知点(2,2)A -和点(4,)B n -在抛物线2(0)y ax a =¹上．(1)求a 的值及点B 的坐标；(2)点P 在y 轴上，且ABP V 是以AB 为直角边的三角形，求点P 的坐标；(3)将抛物线2(0)y ax a =¹向右并向下平移，记平移后点A 的对应点为A ¢，点B 的对应点为B ¢，若四边形ABB A ¢¢为正方形，求此时抛物线的表达式．4．（22-23九年级上·天津河西·期末）如图所示，在ABC V 中，90B Ð=°，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度运动．P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当P 、Q 两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为s t ．(0)t ≥(1)当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ；(2)求出V BPQ S 关于t 的函数解析式，计算P 、Q 出发几秒时，V BPQ S 有最大值，并求出这个最大面积？5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()3,0A -、()1,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式．(2)已知点D 为y 轴上一点，点D 关于直线AC 的对称点为1D ．①当点1D 刚好落在第二象限的抛物线上时，求出点D 的坐标．②点P 在抛物线上（点P 不与点A 、点C 重合），连接PD ，1PD ，1DD ，是否存在点P ，使1PDD △为等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】1．（2024·浙江宁波·一模）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数22y x x c =-+（c 为常数）在13-<<的图象上存在两个“和谐点”，则c 的取值范围是（ ）A ．2574c <<B ．2544c <<C ．11c -<<D ．2504c <<2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）图1是洞头深门大桥，其桥底呈抛物线，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(如图2所示)，桥面CB ∥OA ，其抛物线解析式为()218020320y x =--+，抛物线上点A 离桥面距离22AB =米，若存在一点E 使得38CE CB =，则点E 到抛物线的距离ED = 米．3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数y =的图象与坐标轴交于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++的图象经过A 、B 两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 为抛物线上一动点，在直线AB 上方是否存在点P 使PAB V 的面积最大？若存在，请求出PAB V 面积的最大值及点P 的坐标，请说明理由．4．（23-24九年级上·黑龙江伊春·期末）如图，已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点，该抛物线的顶点为．(1)求此抛物线和直线AB 的表达式；(2)设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ，在射线EB 上是否存在一点M ，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，使点M ，N ，C ，E 是平行四边形的四个顶点？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由；5．（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，直线212y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线23103y ax x c =++经过B C ，两点，与x 轴交于另一点A ，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过E 作EF y ∥轴交x 轴于点F ，交直线BC 于点M ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EM 的最大值；(3)在（2）的条件下，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P Q A M ，，，为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】1．（2024·浙江杭州·一模）二次函数21y x bx c =++（b ，c 是常数）过()2,0-，()0m ,两个不重合的点，一次函数2y x d =+过()0m ,和二次函数的顶点，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0)ab ¹经过()()11,0,,0x ，一次函数y a x c =+经过()2,0x ，一次函数y b x c =+经过()3,0x ．已知1254,1x m x m -<<-<<+，31n x n <<+，其中,m n 为整数，则m n +的值为 ．3．（2024·浙江舟山·三模）已知一次函数5y x =-的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，将点A 向左平移4个单位，得到点A ¢，且点A ¢恰好在二次函数23y ax bx =+-（a 、b 是常数，0a ¹）图象的对称轴上．(1)用含a 的代数式表示b ．(2)求证：二次函数与一次函数图象交于一个定点，并求出该点的坐标．(3)若二次函数图象与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．4．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数121y x =+的图象与二次函数22y x ax b =++的图象相交于A ，B 两点，点A 坐标为()1m -，，点B 坐标为()25，．(1)求m 的值以及二次函数的解析式．(2)根据图象，直接写出当1y >2y 时x 的取值范围．(3)若将二次函数向上平移t 个单位长度后，得到的图象与x 轴没有交点，求t 的取值范围．5．（2023·浙江金华·三模）如图，一次函数()00b y x b a b a=-+>>，与坐标轴交于A ，B 两点，以A 为顶点的抛物线过点B ，过点B 作y 轴的垂线交该抛物线另一点于点D ，以AB ，AD 为边构造ABCD Y ，延长BC 交抛物线于点E ．(1)若2a b ==，如图1．①求该抛物线的表达式．②求点E 的坐标．(2)如图2，请问BE AB 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【压轴题型十 二次函数的翻折问题】1．（22-23九年级上·浙江湖州·期末）抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，过点C 作直线l 垂直于y 轴，将抛物线在y 轴右侧的部分沿直线l 翻折，其余部分保持不变，组成图形G ，点()1,M m y ，()21,N m y +为图形G 上两点，若12y y >，则m 的取值范围是（ ）A ．102m £<B 1m <<C m <<D 12m <<2．（2023江苏南通·模拟预测）如图，将二次函数2y x m =-（其中0m >）的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为1y ，另有一次函数2y x =+的图象记为2y ，若1y 与2y 恰有两个交点时，则m 的范围是 ．3．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线22(0)y x x m m =-++>与y 轴交于A 点，其顶点为D ．直线122y x m =--分别与x 轴、y 轴交于B 、C 两点，与直线AD 相交于E 点．(1)求A 、D 的坐标（用m 的代数式表示）；(2)将ACE V 沿着y 轴翻折，若点E 的对称点P 恰好落在抛物线上，求m 的值；(3)抛物线22(0)y x x m m =-++>上是否存在一点P ，使得以P 、A 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，将二次函数223y x x =--在x 轴上方的图象沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分不变，将这个组合的图象记为M ．(1)若直线12y x n =+与图象M 恰好有3个交点．求n 的值．(2)若直线12y x n =+与图象M 恰好有2个交点．求n 的取值范围．5．（2023·浙江杭州·二模）已知二次函数2420y mx mx m m =-+-¹（），且与x 轴交于不同点M 、N ．(1)若二次函数图象经过点30A （，），①求二次函数的表达式和顶点坐标；②将抛物线在05x ££之间的那部分函数图象沿直线5x =翻折，将抛物线翻折前后的这两部分合记为图象F ，若直线y kx n =+过点151C （，），且与图象F 恰有两个交点，求n 的取值范围；(2)若0m ＜，当4MN £时，求实数m 的取值范围．【压轴题型十一 二次函数最值问题】1．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数222y x x -=+， 当0x t ££时，函数最大值为M ，最小值为N ．若5M N =，则t 的值为 （ ）A ．0.5B ．1.5C ．3D ．42．（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数()2211y ax b x =--+（a ，b 为常数且0a >），当21x -££-时，y 随x 的增大而增大，则ab 的最大值为 ．3．（2024·浙江嘉兴·三模）已知二次函数 23y x bx =++的图象经过点()()()12,,,43A x n B x t C -,，．(1)求二次函数的函数表达式；(2)当 212x x -=时，①若 0nt £，求 t n -的取值范围；②设直线AB 的函数表达式为y kx m =+，求m 的最大值．4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知二次函数214y x bx c =-++的图象经过原点O 和点()8,0A t +，其中0t ³．(1)当0=t 时．①求y 关于x 的函数解析式；求出当x 为何值时，y 有最大值？最大值为多少？②当x a =和x b =时()a b ¹，函数值相等，求a 的值．(2)当0t >时，在08x ££范围内，y 有最大值18，求相应的t 和x 的值．5．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）设二次函数2y ax bx c =++（a b c ，，均为常数，且0a ¹）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x L3-2-1-01L y L n 5a -n a-4a L (1)若1a =．①求二次函数的表达式，并写出顶点坐标；②已知点()1,m y 与()23,m y -都在该二次函数图象上，且12y y ³，请求出1y 的最小值．(2)将该二次函数图象向右平移k （02k <<）个单位，若平移后的二次函数图象在20x -££的范围内有最小值为3116a -，求k 的值．【压轴题型十二 二次函数的综合】1．（22-23九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线218333y x x =+-与x 轴交于点A 和点B 两点，与y 轴交于点C ，D 点为抛物线上第三象限内一动点，当2180ACD ABC Ð+Ð=°时，点D 的坐标为（ ）A ．(8,3)--B ．(,)--1673C ．(6,7)--D ．(5,8)--2．（23-24九年级上·浙江金华·期末）定义：若x ，y 满足：24x y k =+，24y x k =+（k 为常数）且x y ¹，则称点(),M x y 为“好点”．（1）若()5,P m 是“好点”，则m ．（2）在32x -<<的范围内，若二次函数23y x x c =-+的图象上至少存在一个“好点”，则c 的取值范围为 ．3（2024·浙江温州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线()2233y mx m x m =--+-（m 是常数，且0m ¹）经过点()2,4，且与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．(1)求出二次函数的表达式．(2)垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点(),P a p 和(),Q b q ，与直线AB 交于点(),c n ，若a c b <<，直接写出a b c ++的取值范围．(3)当13x t =-，2x t =，33x t =+时，对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．求证：123454y y y ++³．4．（23-24九年级下·浙江宁波·期中）如图，已知抛物线21:4C y x =，()01F ，，点()11,A x y ，()22,B x y 为抛物线上第一象限内的两点，且满足FA FB ^，以FA FB 、为边向右作矩形FAPB ，若P 点纵坐标为5．(1)求12y y +的值；(2)求12x x 的值；(3)求矩形FAPB 的面积．5．（21-22九年级上·浙江·周测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B -和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q æöç÷èø，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，若BME AOM V V ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH V 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值．。
2020年中考数学压轴专题练习 二次函数与四边形综合(含答案)
2020中考数学 压轴专题 二次函数与四边形综合（含答案）1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ，直线L 为抛物线的对称轴，抛物线的顶点P 位于第三象限，点P 到x 轴的距离为103，到y 轴的距离为1，点C 关于直线L 的对称点为点A ，连接AC 交直线l 于点B ，直线y ＝34x ＋m 与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F ，连接BD 交y 轴于点E . (1)求抛物线的表达式；(2)若DE ∶BE ＝4∶1，求直线y ＝34x ＋m 的表达式；(3)在(2)的条件下，Q 为抛物线上位于直线y ＝34x ＋m 下方的图象上的一点，过点Q 作QK ⊥x 轴，交y ＝34x ＋m 于点K ，当线段QK 取得最大值时，求点Q 的横坐标；(4)在(2)的条件下，若N 为平面直角坐标系内的点，在直线y ＝34x ＋m 上是否存在点M ，使得四边形OFMN 是以OF 为一边的菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ， ∴C (0，－3)，则 OC ＝3；∵P 到x 轴的距离为103，P 到y轴的距离是1，且在第三象限，∴P (－1，－103)；∵点C 关于直线l 的对称点为点A ， ∴A (－2，－3)；将点A (－2，－3)，P (－1，－103)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4a －2b －3－103＝a －b －3，解得⎩⎨⎧a ＝13b ＝23，∴抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －3；（2）如解图①，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，则∠DGE ＝∠BCE ＝90°，第1题解图①∵∠DEG ＝∠BEC ， ∴△DEG ∽△BEC ，∴DG ∶BC ＝DE ∶BE ＝4∶1； 已知BC ＝1，则DG ＝4， ∴点D 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝13x 2＋23x －3中，得y ＝5，则 D (4，5)，∵直线y ＝34x ＋m 过点D (4，5)，∴5＝34×4＋m ，则 m ＝2，∴所求直线的表达式为y ＝34x ＋2；（3）如解图②，设Q (x ，13x 2＋23x －3)，则K (x ，34x ＋2)，第1题解图②则QK ＝34x ＋2－(13x 2＋23x －3)＝－13x 2＋112x ＋5，∵－13＜0，∴当x ＝－1122×（－13）＝18时，QK 取得最大值，即点Q 的横坐标为18；(4)存在，点M 的坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)．【解法提示】由(2)的直线解析式知：F (0，2)，则OF ＝2；设点M (x ，34x ＋2)，则：OM 2＝2516x 2＋3x ＋4，FM 2＝2516x 2；当OF 为菱形的边时，有：①FM ＝OF ＝2，则：2516x 2＝4，解得x 1＝85，x 2＝－85，代入y ＝34x ＋2中，得：y 1＝165，y 2＝45，即点M 的坐标为(85，165)或(－85，45)；②OF ＝OM ＝2，则：2516x 2＋3x ＋4＝4，解得x 1＝0(舍)，x 2＝－4825，代入y ＝34x ＋2中，得y ＝1425；即点M 的坐标为(－4825，1425)；综上，存在符合条件的点M ，其坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)． 2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知点B 的坐标为(8，0)． (1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)猜想△ABC 是什么样的三角形，并说明理由；(3)是否存在以BC 为边，且一个顶点P 在抛物线的对称轴上的矩形？若存在，求出符合条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4的图象经过点B (8，0)，∴a ×82＋32×8＋4＝0，解得a ＝－14，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4，又∵y ＝－14x 2＋32x ＋4＝－14(x －3)2＋254，∴对称轴方程为直线x ＝3； (2)△ABC 为直角三角形．理由：在y ＝－14x 2＋32x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴C (0，4)；令y ＝0，即－14x 2＋32x ＋4＝0，整理得x 2－6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2， ∴A (－2，0)，B (8，0)．∴AB 2＝(8＋2)2＝100，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝82＋42＝80， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴△ABC 为直角三角形；(3)存在，设直线AC 为y ＝mx ＋n ，把A (－2，0)，C (0，4)分别代入解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋n ＝0n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝4， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4.①如解图，延长AC 与对称轴x ＝3交于点P ，过点P 作PQ ∥BC ，过点B 作BQ ∥AC ，PQ 与BQ 交于点Q ，则四边形BCPQ 为平行四边形， 此时点P 的坐标为(3，10)， ∵∠PCB ＝180°－∠BCA ＝90°， ∴四边形BCPQ 为矩形，∴当点P 坐标为(3，10)时，四边形BCPQ 为矩形；第2题解图②如解图，再延长QB 与对称轴x ＝3相交于点P ′，过点P ′作P ′Q ′∥BC ，P ′Q ′与CA 的延长线相交于点Q ′，则四边形BCQ ′P ′为矩形，设直线BP′的解析式为y＝Kx＋B，∵BP′∥AC，∴K＝M＝2，∴直线BP′的解析式为y＝2x＋B，把B(8，0)的坐标代入y＝2x＋B，得：0＝16＋B，则B＝－16，∴直线BP′的解析式为y＝2x－16，∴点P′的坐标为(3，－10)，即当点P′坐标为(3，－10)时，四边形BCQ′P′为矩形；综上，存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形，点P的坐标为(3，10)或(3，－10)．3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c沿着x轴方向向左平移4个单位，此时C点对应的点为点C′，判定四边形AC′CB的形状；(3)若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)两点代入y＝x2＋bx＋c中得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，即y ＝(x －1)2－4， ∴顶点D 的坐标为(1，－4)； (2)由抛物线的解析式可知C (0，－3)，∵抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位，如解图①，第3题解图①∴C (0，－3)向左平移4个单位，得C ′(－4，－3)， 则CC ′＝0－(－4)＝4， ∵AB ＝3－(－1)＝4， ∴AB ＝CC ′，根据平移的性质得CC ′∥AB ， ∴四边形AC ′CB 为平行四边形；(3)存在，点P 的坐标为(－4，21)、(4，5)、(2，－3)． 理由如下：如解图②，第3题解图②①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可，又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为－4或4，当x＝－4时，y＝21；当x＝4时，y＝5；∴此时点P1的坐标为(－4，21)，P2的坐标为(4，5)；②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB的中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P3作x轴的垂线交于点H，可证得△P3HB≌△Q3OA，∴AO＝BH，∴GO＝GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P3的横坐标为2，当x＝2时，y＝－3，∴点P3(2，－3)．综上所述，符合条件的点为P1(－4，21)，P2(4，5)，P3(2，－3)．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，D与C关于抛物线对称轴对称．(1)求二次函数的解析式；(2)设Q为x轴上任意一点，P是抛物线上的点，且在抛物线对称轴的左侧，满足∠QBP ＝45°，是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△BDC相似？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E是该抛物线的顶点，点M是y轴上一点，N是坐标平面内一点，如果以点A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点N的坐标．解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，∴OA＝1，∴A(－1，0)，设二次函数的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，将C(0，3)代入得3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3；(2)∵C(0，3)、B(3，0)、A(－1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性得D(2，3)，由两点间的距离公式可知CD＝2，BC＝32，DB＝10.∵∠QBP＝45°，∴直线PB与x轴的夹角为45°，∴直线PB的解析式的一次项系数为1或－1.①当直线PB 的解析式的一次项系数为－1时，如解图①所示， 设直线PB 的解析式为y ＝－x ＋B ， 将点B (3，0)代入得B ＝3， ∴直线PB 的解析式为y ＝－x ＋3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(0，3)，此时点P 与点C 重合， 设QB ＝x ，∵以P 、Q 、B 为顶点的三角形与△BDC 相似，∠DCB ＝∠CBQ ＝45°， ∴△BDC ∽△QPB 或△BDC ∽△PQB ，∴CD CB ＝PB Q 1B 或CD CB ＝Q 2B PB ，即232＝32x 或232＝x 32， 解得x ＝9或x ＝2， ∴Q 1(－6，0)，Q 2(1，0)；第4题解图②当直线PB 的解析式的一次项系数为1时，如解图②所示，设直线PB 的解析式为y ＝x ＋D ，将点B (3，0)代入得D ＝－3，∴直线PB 的解析式为y ＝x －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2y 1＝－5，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(－2，－5)，此时PB ＝52＋52＝52，设BQ ＝x ，同理可得232＝52x 或232＝x 52，解得x ＝15或x ＝103.∴Q 3(－12，0)或Q 4(－13，0)．综上所述，当点P 的坐标为(0，3)时，点Q 的坐标为(－6，0)或(1，0)，当点P 的坐标为(－2，－5)时，点Q 的坐标为(－12，0)或(－13，0)；(3)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4. ∴E (1，4)．①AE 为矩形的对角线时，如解图③所示， 设H 为AE 的中点， ∵A (－1，0)，E (1，4)， ∴H (0，2)．由两点间的距离公式可知 HE ＝（1－0）2＋（4－2）2＝5，由矩形的性质知HN 1＝HN 2＝HE ＝5， ∴N 1(0，2＋5)，N 2(0，2－5);第4题解图②当AE 为矩形的一边时，如解图④，过N 3作N 3G ⊥y 轴，垂足为点G ，过N 4作N 4F ⊥y 轴，垂足为点F .∵在△AHO 中，AO ＝1，OH ＝2， ∴tan ∠AHO ＝12，∴tan ∠EHM 4＝M 4E EH ＝12，∴M 4E ＝12EH ＝52，HM 4＝52EH ＝52，OM 4＝HM 4＋OH ＝92，∴M 4N 3＝2M 4E ＝5， 易证∠M 4N 3G ＝∠AHO ， ∴M 4G ＝55M 4N 3＝1，GN 3＝255M 4N 3＝2. ∵OG ＝OM 4－M 4G ＝92－1＝72，∴N 3的坐标为(2，72)，由矩形的性质可知点N 3与N 4关于点H 对称， ∴N 4(－2，12)，综上所述，点N 的坐标为(0，2＋5)或(0，2－5)或(2，72)或(－2，12)．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ，动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N.(1)求点A的坐标和抛物线的解析式；(2)当T为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？(3)点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，∴A(1，4)．∵点A为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，∵抛物线过点C(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3;(2)如解图①，连接AM，CM，第5题解图①∵A (1，4)，C (3，0)，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∵点P (1＋t2，4)，∴将x ＝1＋t2代入y ＝－2x ＋6中，可求得点N 的纵坐标为4－t ，∴把x ＝1＋t 2代入抛物线的解析式中，可求得点M 的纵坐标为4－t 24，∴MN ＝(4－t 24)－(4－t )＝t －t 24，∴S △ACM ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·t 2＋12MN ·(2－t 2)＝12×2(t －t 24)＝－14(t －2)2＋1，由题可知0≤t ≤4，∴当t ＝2时，△ACM 的面积最大，最大值为1；(3)当H 在AC 上方时，如解图②，过点N 作NG ⊥AB 于点G ， ∵A (1，4)，C (3，0)，Q (3，t )，N (1＋t2，4－t )，AB ＝4，∴AG ＝4－(4－t )＝t ，BG ＝4－t ，AC ＝25， 由四边形CQHN 是菱形，可知CQ ＝CN ＝t ， 此时，AN ＝AC －CN ＝25－t ， ∵NG ∥BC ，∴AG BG ＝AN NC ， 即t4－t＝25－t t ，解得t ＝20－85；第5题解图当点H 在AC 下方时，如解图③，过点N 作NG ⊥DC 于点G ， 由四边形CQNH 是菱形，可知CH ＝HN ＝CQ ＝t ， ∴HE ＝4－t －t ＝4－2t ，CE ＝2－t2，在RT △CHE 中，由勾股定理得CE 2＋HE 2＝CH 2， ∴(2－t2)2＋(4－2t )2＝t 2，解得t ＝2013或t ＝4(舍去)，综上所述，当t ＝20－85或t ＝2013时，以C ，Q ，N ，H 为顶点的四边形为菱形． 6. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC 下方的抛物线上有一点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ∥x 轴交直线BC 于点F ，求△DEF 周长的最大值；(3)已知点M 是抛物线的顶点，点N 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P ，M ，N ，Q 为顶点且以PM 为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．第6题图解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)∵C (0，－3)，B (3，0)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －3.如解图①，过点D 作DG ∥y 轴，交直线BC 于点G .第6题解图①易证△DEF ≌△DEG ， ∴FD ＝GD .设D (n ，n 2－2n －3)(0<n <3)，G (n ，n －3)，则GD ＝n －3－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94，∴当n ＝32时，GD 的最大值为94，故FD 的最大值为94，∵直线BC 的解析式的一次项系数为1， ∴∠ABC ＝45°， ∵DF ∥x 轴，∴∠EFD ＝∠ABC ＝45°， 在Rt △DEF 中，DE ＝EF ＝22DF ， ∴△DEF 周长的最大值为FD ＋2×22FD ＝9＋924；(3)存在，点P 的横坐标为2或3＋52.【解法提示】∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴M (1，－4)，分两种情况讨论： ①当四边形PMNQ 是正方形时，如解图②，过点M 作MJ ⊥y 轴于点J ，过点P 作P I ⊥JM 交JM 的延长线于点I ，易证△M I P ≌△CJM ，∴点N 与点C 重合，点P 是点N 关于抛物线的对称轴x ＝1对称的点， 其横坐标为2；第6题解图②如解图③，过点P 作H I ∥y 轴，过点M 作M I ⊥H I 于点I ，过点N 作NH ⊥H I 于点H ， 同理△P I M ≌△NHP ， ∴P I ＝NH ，I M ＝HP ， 设点P 的横坐标为m ， 则NH ＝P I ＝m ， ∵点P 在抛物线上，∴点P 的纵坐标为m 2－2m －3， ∴P I ＝m 2－2m －3－(－4)， 即m ＝m 2－2m －3－(－4)， 解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52，∵点P 在抛物线对称轴x ＝1的右侧， ∴m ＝3＋52，综上所述，点P 的横坐标为2或3＋52.7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA ＝4，OC ＝3.若抛物线经过O ，A 两点，且顶点在BC 边上，点D ，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1)，对称轴交BE 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△EDB 的形状并加以证明；(3)点M 在对称轴右侧的抛物线上，点N 在x 轴上．请问是否存在以点A ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3， ∴A (4，0)，C (0，3)，∵抛物线经过O 、A 两点，且顶点在BC 上， ∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，把A 点坐标代入可得0＝a (4－2)2＋3，解得a ＝－34，∴抛物线的解析式为y ＝－34(x －2)2＋3，即y ＝－34x 2＋3x ；(2)△EDB 为等腰直角三角形．证明：由题可知B (4，3)，D (3，0)，E (0，1)，∴DE 2＝32＋12＝10，BD 2＝(4－3)2＋32＝10，BE 2＝42＋(3－1)2＝20， ∴DE 2＋BD 2＝BE 2，且DE ＝BD ， ∴△EDB 为等腰直角三角形；(3)存在．满足条件的点M 的坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．【解法提示】设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B 、E 两点的坐标代入可得3=41k b b +⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE 的解析式为y ＝12x ＋1，当x ＝2时，y ＝2， ∴F (2，2)，①当AF 为平行四边形的一边时，M 到x 轴的距离与F 到x 轴的距离相等，即M 到x 轴的距离为2，∴点M 的纵坐标为2或－2，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝2可得2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2，∴x ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝－2可得－2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±2153，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2， ∴x ＝6＋2153，∴点M 的坐标为(6＋2153，－2)；②当AF 为平行四边形的对角线时， ∵A (4，0)，F (2，2)，∴线段AF 的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M (t ，－34t 2＋3t )，则－34t 2＋3t ＝2，解得t ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴t >2， ∴t ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)；综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．8. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋c 的图象经过C 、D 两点，且C (0，1)，D (2，2)． (1)求抛物线的解析式；(2)已知E 是抛物线上的点，且△CDE 为等腰三角形(D 为顶角顶点除外)，求E 点的坐标；(3)如图②，已知y 轴上一点A (0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B .若△P AB 是等边三角形，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把C (0，1)，D (2，2)分别代入y ＝ax 2＋c 中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝14a ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14c ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1；(2)设E 点的坐标为(e ，14e 2＋1)，则EC 2＝e 2＋116e 4，ED 2＝(e －2)2＋(14e 2＋1－2)2＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，CD 2＝4＋1＝5，当EC ＝ED 时，有e 2＋116e 4＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，解得r ＝－4±26，∴E 点坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)；当CD ＝CE 时，有e 2＋116e 4＝5，解得e ＝－2或e ＝2(与D 的横坐标相同，舍去)， ∴E 点坐标为(－2，2)，综上所述，E 点的坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)或(－2，2)；(3)存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．【解法提示】∵△P AB 是等边三角形， ∴∠ABO ＝90°－60°＝30°. ∴AB ＝2OA ＝4. ∴PB ＝4.把y ＝4代人y ＝14x 2＋1，得x ＝±2 3.∴P 1(23，4)，P 2(－23，4)， ∵点A 的坐标为(0，2)，∴当P 点在A 点右边时，点P 的坐标为(23，4)， 设线段AP 所在直线的解析式为y ＝Kx ＋B ，⎩⎨⎧b ＝223k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝2， ∴线段AP 所在直线的解析式为y ＝33x ＋2， 设存在点N 使得四边形OAMN 是菱形， ∵点M 在直线AP 上， ∴设点M 的坐标为(M ，33M ＋2)， 如解图①，过点M 作MQ ⊥y 轴于点Q ，则MQ ＝|M |，AQ ＝OQ －OA ＝33M ＋2－2＝33M ，第8题解图①∵四边形OAMN 为菱形，∴AM ＝AO ＝2，∴在RT △AMQ 中，AQ 2＋MQ 2＝AM 2， 即m 2＋(33m )2＝22，解得m ＝±3， 代入直线AP 的解析式求得y ＝3或1， 当P 点在第一象限时，分为两种情况： 当N 在如解图②的位置时，第8题解图②∵OA ＝MN ， ∴MN ＝2，又∵M 点坐标为(3，3)， ∴N 点坐标为(3，1)，即 N 1坐标为(3，1)；当N 在如解图③的位置时，第8题解图③∵MN ＝OA ＝2，M 点坐标为(－3，1)，∴N 点坐标为(－3，－1)，即N 2坐标为(－3，－1)， 当P 点在第三象限时，分为两种情况：第一种是当点M 在线段P A 上时，则N 点坐标为(－3，1)， 第二种是当M 点在P A 的延长线上时，则N 点坐标为(3，－1)，∴存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A (－1，0)、B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P ，使△CDP 的面积为92？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E 是x 轴上一点，在抛物线上是否存在点P ，使以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；当x ＝0时，y ＝2，则C (0，2)， 又∵CD ∥x 轴，∴点D 的纵坐标为2.当y ＝2时，－12x 2＋32x ＋2＝2，解得x 1＝3，x 2＝0(舍去)，即点D 的坐标为(3，2)； (2)由(1)可知C (0，2)，D (3，2)， ∴CD ＝3，设点P 到CD 的距离为h ， ∴S △CDP ＝12CD ·h ，∴12×3h ＝92，解得h ＝3， 设P 点纵坐标为y ，则h ＝|y －2|＝3， 解得y ＝5或y ＝－1，∵y ＝－12x 2＋32x ＋2＝－12(x －32)2＋258，∴函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的最大值为258，∴y ＝5舍去，当y ＝－1时，则有－12x 2＋32x ＋2＝－1，解得x ＝3±332，此时P 点坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)，综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)；(3)存在，点P 的坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．【解法提示】A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能： ①当AE 为一边时，AE ∥PD ； ∴P 1(0，2)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线的距离相等， 可知P 点、D 点到直线AE (即x 轴)的距离相等， ∴P 点的纵坐标为－2，代入抛物线的解析式得：－12x 2＋32x ＋2＝－2，解得x 1＝3＋412，x 2＝3－412，∴P 点的坐标为(3－412，－2)或(3＋412，－2)，综上所述存在满足条件的P 点，其坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a ＞0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 左侧，且B (1，0)，OC ＝3BO . (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵B (1，0)，∴OB ＝1.∵OC ＝3BO ，∴OC ＝3，即C (0，－3)． ∵y ＝ax 2＋3ax ＋c 过B (1，0)、C (0，－3)两点， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝34x 2＋94x －3；（2）如解图①，连接BC ，过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ，第10题解图①在y ＝34x 2＋94x －3中，令y ＝0，得34x 2＋94x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1， ∴A (－4，0)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线AC 过A (－4，0)、C (0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34b ＝－3， ∴直线AC 的解析式为y ＝－34x －3，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝S △ABC ＋S △ADM ＋S △DCM ＝12AB ·OC ＋12DM ·(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ， 设D (x ，34x 2＋94x －3)(－4<x <0)，则M (x ，－34x －3)，∴DM ＝－34x －3－(34x 2＋94x －3)＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3， 此时四边形ABCD 面积的最大值为272；（3）如解图②，分两种情况讨论：第1题解图②①当平行四边形在AC 的左边时，过点C 作CP ∥x 轴交抛物线于点P ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，此时四边形ACPE 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴设P (x ，－3)，∴34x 2＋94x －3＝－3，解得x 1＝0，x 2＝－3， ∴P 1(－3，－3)；②当平行四边形在AC 的右边时，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ， 当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形， ∵C (0，－3)，∴设P (x ，3)，∴34x 2＋94x －3＝3，化简得：x 2＋3x －8＝0， 解得x 1＝－3＋412，x 2＝－3－412，此时存在点P 2(－3＋412，3)和P 3(－3－412，3)．综上所述，存在3个符合要求的点，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2(－3＋412，3)，P 3(－3－412，3)．。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
上海中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+.∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 1317t +=2317t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或3171,2⎛+- ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．2．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线233333y x x =--+“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】【分析】（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可【详解】（1）∵2234323y x x =-+a=233-，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=； 联立两解析式求交点2234323332323y=y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，3B （1,0）；（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，在223432333y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），∴AC=22-++2133=（23）（）由翻折的性质可知AN=AC=13，∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，∴N 在y 轴上，且AD=2，在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN=22AN -AD =13-4=3，∵OD=23，∴ON=23-3或ON=23+3，∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，∴∠ ACK=∠ EFH ，在△ ACK 和△ EFH 中ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ ACK ≌△ EFH ，∴FH=CK=1，HE=AK=23∵抛物线的对称轴为x=-1，∴ F 点的横坐标为0或-2，∵点F 在直线AB 上，∴当F 点的横坐标为0时，则F （0，233），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为EH-OF=32343，即E 的纵坐标为43∴ E（-1，-433）；当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵ C（-3,0），且A（-2，23），∴线段AC的中点坐标为（-2.5，3），设E（-1，t），F（x，y），则x-1=2×（-2.5），y+t=23，∴x= -4，y=23-t，23-t=-233×（-4）+233，解得t=43-3，∴E（-1，43-3），F（-4，1033）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-433）、（0，233）或E（-1，43 -3），F（-4，1033）【点睛】本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题3．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣1k（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2142y x x =-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH ＝5，请直接写出AB 的”母线”的函数解析式．【答案】（1）1(6)3y x =+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3．【解析】【分析】（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标， 由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为338； （4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1m（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．【详解】（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6， 则答案为：y ＝13（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），则直线CD 的表达式为：y ＝12（x+4）＝12x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12m 2﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝n mx ， 将直线OP 和CD 表达式联立得122n y x m y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：点Q （2438m m m --+，222838m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣32m+3， 当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）直线CD的表达式为：y＝﹣1m（x+3），令x＝0，则y＝﹣3m，令y＝0，则x＝﹣3，故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m），则点H（﹣32，﹣32m），同理可得：点G（﹣32m，32），则GH2＝（32+32m）2+（32﹣32m）2＝（5）2，解得：m＝﹣3（正值已舍去），则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．【点睛】此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.6．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，322a b b a+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x ， 令y=0，得x 2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A 的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,∴PF AF AE BE =，即244213x x x--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，∴B（3，0），C（0，），∴OB=3，OC=，∴tan∠BCO==，∴∠BCO=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACO=30°，∴=tan30°=，即=，解得AO=1，∴A（﹣1，0）；（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，∴DH=DM，MH=DM，∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，∴当DM有最大值时，其周长有最大值，∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，此时DM=×=，即△DMH周长的最大值为．考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想8．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（－1，0），；（2）；（3）P的坐标为（1，）或（1，－4）．【解析】试题分析：（1）在中，令y=0，得到，，得到A（－1，0），B（3，0），由直线l经过点A，得到，故，令，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有，得到，从而得出直线l的函数表达式；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝，故△ACE的面积的最大值为，而△ACE的面积的最大值为，所以，解得；（3）令，即，解得，，得到D （4，5a），因为抛物线的对称轴为，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的一条边，②若AD是矩形的一条对角线．试题解析：（1）∵=，令y=0，得到，，∴A（－1，0），B（3，0），∵直线l经过点A，∴，，∴，令，即，∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，∴，∴，∴直线l的函数表达式为；（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（，），则F（，），EF＝=，S△ACE＝S△AFE－S△CFE＝＝＝，∴△ACE的面积的最大值为，∵△ACE的面积的最大值为，∴，解得；（3）令，即，解得，，∴D（4，5a），∵，∴抛物线的对称轴为，设P（1，m），①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P1（1，）；②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，），m ＝，则P（1，8a），∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，∴，∴，即，∵，∴，∴P2（1，－4）．综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1，）或（1，－4）．考点：二次函数综合题．9．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=c 分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点P，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m．（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；（2）当m 为何值时，△MAB 面积S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标．【答案】（1）点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4；（2）当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【解析】【分析】（1）代入y=c 可求出点C 、P 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值，进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标，过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标，进而可得出ME 的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣12（m ﹣3）2+5，由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值；（3）分两种情况考虑：①当点M 在线段OP 上方时，由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出：当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，由此可找出点M 的坐标；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，()()22304n -+-DO=DP 可求出n 的值，进而可得出点D 的坐标，由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式，再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M 的坐标．综上此题得解． 【详解】（1）当y=c 时，有c=﹣x 2+bx+c ， 解得：x 1=0，x 2=b ，∴点C 的坐标为（0，c ），点P 的坐标为（b ，c ）， ∵直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点， ∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（0，3）， ∴OB=3，OA=1，BC=c ﹣3，CP=b ， ∵△PCB ≌△BOA ，∴BC=OA ，CP=OB ， ∴b=3，c=4，∴点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4； （2）当y=0时，有﹣x 2+3x+4=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=4， ∴点F 的坐标为（4，0），过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，如图1所示， ∵点M 的横坐标为m （0≤m≤4），∴点M 的坐标为（m ，﹣m 2+3m+4），点E 的坐标为（m ，﹣3m+3）， ∴ME=﹣m 2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m 2+6m+1， ∴S=12OA•ME=﹣12m 2+3m+12=﹣12（m ﹣3）2+5， ∵﹣12＜0，0≤m≤4， ∴当m=0时，S 取最小值，最小值为12；当m=3时，S 取最大值，最大值为5； （3）①当点M 在线段OP 上方时，∵CP ∥x 轴， ∴当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ， ∴点M 的坐标为（0，4）；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，∴n 2=（n ﹣3）2+16， 解得：n=256， ∴点D 的坐标为（256，0）， 设直线PD 的解析式为y=kx+a （k≠0）， 将P （3，4）、D （256，0）代入y=kx+a ， 342506k a k a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：2471007k a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线PD 的解析式为y=﹣247x+1007， 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，得：2241007734y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩﹣，解得：1134x y =⎧⎨=⎩，2224712449x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴点M 的坐标为（247，12449）． 综上所述：满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，12449）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b 、c 的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m ﹣3）2+5；（3）分点M 在线段OP 上方和点M 在线段OP 下方两种情况求出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A 、点B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；（3）点M 也是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =--；（2）P （1，0）；（3）．【解析】试题分析：（1）直接将A 、B 、C 三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可； （2）由图知：A ．B 点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知，直线l 与x 轴的交点，即为符合条件的P 点；（3）由于△MAC 的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC 、②MA=MC 、③AC=MC ；可先设出M 点的坐标，然后用M 点纵坐标表示△MAC 的三边长，再按上面的三种情况列式求解．试题解析：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，﹣3）代入抛物线2y ax bx c=++中，得：0{9303a b c a b c c -+=++==-，解得：1{23a b c ==-=-，故抛物线的解析式：223y x x =--．（2）当P 点在x 轴上，P ，A ，B 三点在一条直线上时，点P 到点A 、点B 的距离之和最短，此时x=2b a -=1，故P （1，0）； （3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=2b a -=1，设M （1，m ），已知A （﹣1，0）、C （0，﹣3），则：2MA =24m +，2MC =2(3)1m ++=2610m m ++，2AC =10；①若MA=MC ，则22MA MC =，得：24m +=2610m m ++，解得：m=﹣1； ②若MA=AC ，则22MA AC =，得：24m +=10，得：m=6±；③若MC=AC ，则22MC AC =，得：2610m m ++=10，得：10m =，26m =-； 当m=﹣6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M 点，且坐标为 M （1，6）（1，6-）（1，﹣1）（1，0）．考点：二次函数综合题；分类讨论；综合题；动点型．。
2019中考数学 题型训练- 二次函数综合题压轴
2019中考·数学 ---二次函数综合题压轴题型类型1线段问题1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(,)和B(4,c),点P是直线AB上的动点,设点P的横坐标为n,过点P作PC⊥x轴,交抛物线于点C,交x轴于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合),是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)点P在直线AB上自由移动,当点C,P,M中恰有一点是其他两点所连线段的中点时,请直接写出n的值.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x 轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=3EF,求m的值;(3)连接PC,是否存在点P,使△PCE是以PC为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.3.[2019原创]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,C(1,0),与y轴交于点B(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.①当△PDE的周长最大时,求出点P的坐标;②连接AP,以AP为边在其右侧作正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时,请直接写出点P的坐标.备用图类型2面积问题4.[2018四川绵阳]如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,-3)和点B(3,0),过点A 作直线AC∥x轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D,连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5.[2018山东东营]如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C恰为BM的中点,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.[2017开封二模]如图,已知抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C(0,5).(1)求该抛物线的函数解析式;(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,CD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由;(3)若M为抛物线对称轴上一动点,△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.类型3等腰三角形的存在性问题7.[2018山西中考改编]如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-3,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值;(3)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.8.[2018洛阳二模]如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点C,顶点为点P,经过B,C两点的直线的解析式为y=-x+3. (1)求二次函数的解析式;(2)Q是直线BC下方抛物线上一动点,△QBC的面积是否有最大值?若有,请求出这个最大值和此时点Q的坐标;若无,请说明理由;(3)该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以点C,P,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,二次函数y=x2+bx-的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式及点B的坐标;(2)当点P在线段AO(点P不与A,O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.备用图类型4直角三角形、等腰直角三角形的存在性问题10.[2018四川眉山中考改编]如图(1),已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P 是抛物线上一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上运动,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大?并求出其最大值;(3)如图(2),点F是抛物线的对称轴l上的一点,在对称轴左侧、y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图(1)图(2)11.[2018辽宁沈阳中考改编]如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M (1)求抛物线C1的解析式; (2)直接．．用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.备用图12.[2018平顶山二模]如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式.(2)点P为抛物线上一点,且点P在直线AB的下方,设点P的横坐标为m.①试求当m为何值时,△PAB的面积最大;②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,则在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型5平行四边形的存在性问题13.[2018濮阳一模]如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)点D在y轴上,且∠BDO=∠BAC,求点D 的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.14.[2018新乡一模]如图,一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t取何值时,MN有最大值,最大值是多少;(3)在(2)的条件下,以A,M,N,D(点D为平面内一点)为顶点作平行四边形,求顶点D的坐标.15.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;定义有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-x2-x+2与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x 轴负半轴交于点C. (1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为,点A的坐标为,点B的坐标为; (2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM 所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标; (3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型6矩形、菱形、正方形的存在性问题16.如图,以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(-1,0),与y 轴交于点C(0,4),作直线AC.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等.设点P的纵坐标为m,求m的值;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.备用图17.[2018四川南充]如图,抛物线的顶点为P(1,4),且与y轴交于C(0,3),与x轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q是抛物线上除点P外一点,且△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为点D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?若存在,请直接写出正方形MNED的边长;若不存在,请说明理由.18.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(-1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=-x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的A,B两点,且CD=4AC.(1)求直线l和抛物线的解析式;(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,连接AE,DE,求△ADE面积最大时点E的坐标;(3)设点P是抛物线对称轴上一点,点Q在抛物线上,以A,D,P,Q为顶点的四边形能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.备用图类型7相似三角形或全等三角形的存在性问题19.[2018四川达州中考改编]如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).(1)求抛物线的解析式;(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积;(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.备用图20.[2018郑州外国语三模]如图,抛物线y=-x2+(3m+1)x-m(m>,且m为实数)与x轴交于A,B(点B位于点A的右侧,且AB≠OA)两点,与y轴交于点C.(1)填空:点B的坐标为,点C的坐标为(用含m的代数式表示).(2)当m=3时,在直线BC上方的抛物线上有一点M,过点M作x轴的垂线,交直线BC于点N,求线段MN长度的最大值.(3)在第四象限内是否存在点P,使得△PCO,△POA和△PAB中的任意两个三角形都相似(全等是相似的特殊情况)?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.备用图21.[2018山东潍坊]如图(1),抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B,且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图(2),在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以点P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图(1)图(2)备用图类型8角度的存在性问题22.[2018广东]如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.23.[2018许昌二模]如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=-x+2经过点A,C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P为直线AC上方抛物线上一动点.①连接PO,交AC于点E,求的最大值.②过点P作PF⊥AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.24.[2018安阳二模]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4).已知点D的坐标为(0,2),点P为二次函数图象上的一动点. (1)求二次函数的解析式; (2)当点P位于第二象限内二次函数的图象上时,连接AD,AP,以AD,AP为邻边作平行四边形APED,设平行四边形APED的面积为S,求S 的最大值; (3)点F是y轴上一点,是否存在点F,P,使∠PDF与∠ADO互余?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.(1)∵B(4,c)在直线y=x+2上,∴c=6,则B(4,6).∵A(,),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴解得故抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.易知点P的坐标为(n,n+2)(<n<4),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2(n-)2+.∵-2<0,∴当n=时,线段PC的长取得最大值.(3)n的值为或.2.(1)将A(-1,0),B(3,0)两点的坐标分别代入y=ax2+bx-3中,得解得∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)∵点P的横坐标为m,点P在x轴下方,∴P(m,m2-2m-3),E(m,m-2),F(m,0),且-1<m<3,∴PE=|y E-y P|=|(m-2)-(m2-2m-3)|=|-m2+3m+1|,EF=|y F-y E|=|0-(m-2)|=|-m+2|.∵PE=3EF,∴|-m2+3m+1|=3|-m+2|.①若-m2+3m+1=3(-m+2),整理,得m2-6m+5=0,解得m=1或m=5.∵-1<m<3,∴m=5不合题意,应舍去,∴m=1.②若-m2+3m+1=-3(-m+2),整理,得m2-7=0,解得m=或m=-.∵-1<m<3,∴m=-不合题意,应舍去,∴m=.综上所述,m的值为1或.(3)存在,m的值为1+,1-,或.3.(1)将B(0,-3),C(1,0)分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2+2x-3.(2)①令y=x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),∴OA=OB,∴∠BAO=45°,又∵PF⊥AO,∴∠AEF=45°,∴∠PED=45°,∴PD=DE,∴△PDE为等腰直角三角形,△PDE的周长为PE+2×=(1+)PE.设点F的横坐标为m,则PF=-m2-2m+3,FE=AF=m+3,∴PE=PF-FE=-m2-3m=-(m+)2+.∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,∴-3<m<0,∴当m=-时,PE最大,为,此时△PDE的周长最大,点P的坐标为(-,-).②点P的坐标为(,)或(-1-,-2).4.(1)把点A,B的坐标分别代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x.(2)设点P的坐标为(m,n).∵A(,-3),∴C(0,-3),D(m,-3),∴PD=n+3,CO=3,AD=m-,AC=.①当△ADP∽△ACO时,=,即=,∴n=m-6.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-6=m2-m,解得m1=4,m2=(不合题意,舍去),∴P(4,6).②当△PDA∽△ACO时,=,即=,∴n=m-4.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-4=m2-m,解得m1=,m2=(不合题意,舍去),∴P(,-).综上所述,点P的坐标为(4,6)或(,-).(3)存在.∵A(,-3),∴AC=,OC=3,∴OA=2.在△AOC中,设边OA上的高为h,则S△AOC=OC·AC=OA·h,即×3×=×2×h,解得h=.∵S△AOC=S△AOQ,∴△AOQ的边OA上的高为.如图,过点O作OR⊥OA,在射线OR上截取OM=,过点M作MN∥OA交y轴于点N,过点M作MH⊥x轴于点H.∵AC=,OA=2,∴∠AOC=30°.∵MN∥OA,∴∠MNO=∠AOC=30°,OM⊥MN,∴ON=2OM=9,∠NOM=60°,∴点N的坐标为(0,9),∠MOB=30°,∴MH=OM=,OH=MH=,∴M(,).设直线MN的解析式为y=kx+c,则解得联立抛物线与直线MN的解析式,得整理,得x2-x-18=0,解得x1=3,x2=-2,故点Q的坐标为(3,0)或(-2,15). 5.(1)由题可知,当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC,∴OC2=OA·OB=3,则OC=.(2)∵点C是BM的中点,∴点C的横坐标为,又OC=,点C在x轴下方,∴C(,-).设直线BM的解析式为y=kx+b,把点B(3,0),C(,-)分别代入,得解得将C(,-)代入抛物线的解析式,得a=,故抛物线的解析式为y=x2-x+2.(3)存在.设点P的坐标为(m,m2-m+2),过点P作PQ⊥x轴,交直线BM于点Q,则Q(m,m-),∴PQ=m--(m2-m+2)=-m2+3m-3.当△BCP的面积最大时,四边形ABPC的面积最大,S△BCP=PQ·(3-)=PQ=-m2+m-,当m=-=时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为(,-).6.(1)∵抛物线y=a(x+1)(x-5)经过C(0,5).∴5=a(0+1)(0-5),解得a=-1,∴抛物线的函数关系式为y=-(x+1)(x-5),即y=-x2+4x+5.(2)直线BC能把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分.设直线BC的函数关系式为y=kx+b,则解得∴y=-x+5.设D(m,-m2+4m+5),则E(m,-m+5).∴DE=-m2+4m+5+m-5=-m2+5m,EF=-m+5.∵△BDE和△BFE是等高的,∴=.(i)当DE∶EF=2∶3时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).(ii)当DE∶EF=3∶2时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).综上所述,点D的坐标为(,)或(,).(3)点M的坐标为(2,7),(2,-3),(2,6)或(2,-1).7.(1)将点A(-3,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-4,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-4.(2)如图,过点F作FG⊥PQ于点G,则FG∥x轴.由B(4,0),C(0,-4),得△OBC为等腰直角三角形,∴∠QFG=∠OBC=45°,∴GQ=FG=QF.∵PE∥AC,∴∠1=∠2.∵FG∥x轴,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.又∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP∽△AOC,∴=,即=,∴GP=FG=×QF=QF,∴QP=GQ+GP=QF+QF=QF,∴QF=QP.∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m,∠MBQ=45°,∴QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4,∴QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m,∴QF=QP=(-m2+m)=-m2+m.∵-<0,∴QF有最大值,∴当m=-=2时,QF有最大值.(3)存在.点Q的坐标为(,-4)或(1,-3).8.(1)∵直线y=-x+3经过B,C两点,∴B(3,0),C(0,3).∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B,C,∴解得故二次函数的解析式为y=x2-4x+3.(2)有.设点Q的横坐标为m,则点Q的纵坐标为m2-4m+3.如图,过点Q作x轴的垂线交BC于点D,则点D的坐标为(m,-m+3),∴QD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m,∴S△QBC=S△QDC+S△QDB=m·QD+(3-m)QD=×3×QD=(-m2+3m)=-(m-)2+.故当m=时,△QBC的面积取最大值,为,此时点Q的坐标为(,-).(3)存在.点M的坐标为(2,7),(2,2-1),(2,)或(2,-2-1).9.(1)将点A坐标代入y=x2+bx-,解得b=1,故抛物线的解析式为y=x2+x-.令y=0,得x2+bx-=0,解得x1=1,x2=-3,故点B的坐标为(1,0).(2)由题意知,正方形ABCD的边长为4,OA=3,OB=1.设PA=t,OE=l.由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°,易得△DAP∽△POE.∴=,即=.∴l=-t2+t=-(t-)2+,故当t=时,l有最大值,即P为AO的中点时,OE的最大值为.(3)存在.由题意知,若△PED是等腰三角形,则PD=PE.①当点P在y轴左侧时,如图(1),设DE与x轴交于点G.图(1)易知△DAP≌△POE,∴OP=AD=4,OE=AP=4-3=1,∴点P的坐标为(-4,0).∵AD⊥x轴,EO⊥x轴,∴△ADG∽△OEG,∴==,∴AG=4GO=AO=,∴重叠部分的面积为S△ADG=××4=.图(2)②当点P在y轴右侧时,如图(2),设DE与x轴交于点G,DP与BC交于点F.同①可得OP=4,OE=AP=7,∴点P的坐标为(4,0).由△ADG∽△OEG,得AG=OG=OA=.由△DCF∽△PBF,得CF=BF=BC=.∴重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.10.(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D,由抛物线的对称性,得D(3,0),则抛物线的解析式可变形为y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入,得3=3a,解得a=1,故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)易得点P的坐标为(m,m2-4m+3),∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE=OA=3,∴E(3,3).易得直线OE的解析式为y=x,过点P作PG∥y轴,交直线OE于点G,则G(m,m),∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,∴S四边形AOPE=+=×3×3+PG·AE=+×3×(-m2+5m-3)=-m2+m=-(m-)2+.∵-<0,∴当m=时,S四边形AOPE有最大值,最大值是.(3)存在.点P的坐标为(,)或(,).11.(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和B(-1,-1),∴解得故抛物线C1的解析式为y=x2+x-1.(2)MN=t2+2.(3)分两种情况讨论.①当∠ANM=90°时,AN=MN,∵AN=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t1=0,t2=1.∵t=0时,∠AMN=90°,不符合题意,舍去,∴t=1.②当∠AMN=90°时,AM=MN,∵AM=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t3=0,t4=1.∵t=1时,∠ANM=90°,不符合题意,舍去,∴t=0.综上所述,t的值为0或1.12.(1)对于直线y=x-3,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=6,∴A(6,0),B(0,-3).将点A,B的坐标分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-3.(2)①由题易知P(m,m2-m-3).如图,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,则E(m,m-3),∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m,∴S△PAB=PE·OA=×(-m2+2m)×6=-(m-3)2+9,∵点P在直线AB下方的抛物线上,∴0<m<6,∴当m=3时,△PAB的面积最大,为9.②存在,点Q的坐标为(3,)或(3,-).13.(1)当x=0时,y=-3,∴C(0,-3).∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0).将A,B两点的坐标代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)过点B作BF⊥AC,交AC的延长线于点F.易得AF=BF=3,∴∠BAC=45°,∴∠BDO=∠BAC=45°.∵点D在y轴上,∴OB=OD=1,故点D的坐标为(0,1)或(0,-1).(3)存在.如图,当AB为对角线时,易得平行四边形AM1BN1,∴M1(0,-3).当AB为一边时,在▱ABM2N2中,点A的横坐标是2,点N2的横坐标是1,点B的横坐标是-1,由图形平移前后点的坐标关系,得点M2的横坐标是-2,∴点M2的纵坐标为(-2)2-2×(-2)-3=5,∴M2(-2,5).在▱ABN3M3中,点B的横坐标是-1,点N3的横坐标是1,点A的横坐标是2,由图形平移前后点的坐标关系,得点M3的横坐标为4,∴点M3的纵坐标为42-2×4-3=5,∴M3(4,5).14.(1)易知点A,B的坐标分别为(0,2),(4,0).将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c,得c=2,将x=4,y=0,c=2代入y=-x2+bx+c,得0=-16+4b+2,解得b=,故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)易得M(t,-t+2),N(t,-t2+t+2),则MN=y N-y M=-t2+t+2-(2-t)=-t2+4t=-(t-2)2+4,∴当t=2时,MN有最大值4.(3)易知A(0,2),M(2,1),N(2,5),设D(m,n).当AM是对角线时,AM的中点的坐标为(1,),DN的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=-2,此时点D的坐标为(0,-2).当AN是对角线时,AN的中点的坐标为(1,),DM的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=6,此时点D的坐标为(0,6).当MN是对角线时,MN的中点的坐标为(2,3),AD的中点的坐标为(,),∴2=,3=,解得m=4,n=4,此时点D的坐标为(4,4).15.(1)y=-x+(-2,2)(1,0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C,∴C(-3,0).过点A作AG⊥y轴,垂足为点G.当点N在y轴上时,如图(1),△AMN为抛物线的“梦想三角形”.设N(0,n),∵A(-2,2),C(-3,0),∴AC=,∴AN=AC=.在Rt△AGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2|,∴4+(n-2)2=13,解得n=2-3或n=2+3.设M(m,0),当n=2-3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2-3)2+m2=(m+3)2,解得m=2-2.当n=2+3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2+3)2+m2=(m+3)2,解得m=2+2.又-3<m≤1,∴m=2+2不合题意,舍去,∴m=2-2,此时n=2-3,∴N(0,2-3).图(1)图(2)当点M在y轴上时,如图(2),△AMN为“梦想三角形”,此时点M与点O重合,在Rt△AGM中,AG=2,GM=2,∴tan∠AMG==,∴∠AMG=30°,∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°,过点N作NP⊥x轴于点P,在Rt△NMP中,MN=CM=3,∴NP=,OP=,∴N(,).综上所述,点N的坐标为(0,2-3)或(,).(3)E1(-1,-),F1(0,);E2(-1,-),F2(-4,).16.(1)由题意得,c=4,则解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(2)∵抛物线与x轴交于点B(-1,0),对称轴为直线x=1,∴点A的坐标为(3,0).∵直线AC经过点A(3,0),点C(0,4),∴直线AC的解析式为y=-x+4.令对称轴与直线AC交于点D,与x轴交于点E,则DE⊥x轴,点D的坐标为(1,).∴DE=,AE=2,AD=.图(1)①当点P在∠CAB的平分线上时,如图(1),过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PE=m,DP=-m.易得△DPH∽△DAE,∴=,即=,解得m=1.图(2)②当点P在∠CAB的邻补角的平分线上时,如图(2),过点P作PG⊥AC于点G,则PG=PE=-m,DP=-m.易得△DPG∽△DAE,∴=,即=,解得m=-4.∴m的值为1或-4.(3)点Q的坐标为(1,)或(,).17.(1)由题可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4(a≠0),将C(0,3)代入,得a+4=3,∴a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)易得B(3,0),根据待定系数法,易得直线BC的解析式为y=-x+3.分以下两种情况讨论.①当点Q在直线BC上方时,∵S△PBC=S△QBC,∴PQ∥BC.如图(1),过点P作平行于BC的直线,交抛物线于点Q1,∵P(1,4),∴直线PQ的解析式为y=-x+5.联立y=-x+5与y=-x2+2x+3,得解得∴Q1(2,3).②当点Q在直线BC下方时,如图,设抛物线的对称轴交BC于点G,交x轴于点H,则G(1,2),∴PG=GH=2.过点H作平行于BC的直线,交抛物线于点Q2,Q3.易得直线Q2Q3的解析式为y=-x+1,联立y=-x+1与y=-x2+2x+3,得解得∴Q2(,),Q3(,).综上所述,点Q的坐标为(2,3),(,)或(,).(3)存在.正方形MNED的边长为9或.18.(1)将A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,得b=2,故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,过点D作DF⊥x轴于点F,易证△AOC∽△AFD,∴=.∵CD=4AC,∴==,∴点D横坐标为4.把x=4代入y=-x2+2x+3,得y=-5,∴D(4,-5).把A(-1,0),D(4,-5)分别代入y=kx+h,解得k=-1,h=-1,故直线l的解析式为y=-x-1.(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,设E(m,-m2+2m+3),则M(m,-m-1),∴EM=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4,∴S△ADE=×5(-m2+3m+4)=-m2+m+10,当m=-=时,△ADE的面积最大,此时,E(,).(3)以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.理由:设P(1,n),AD2=25+25=50.①若AD是一边,则∠QAD=90°.易知x Q-x P=x A-x D,即x Q-1=-1-4,解得x Q=-4,故点Q的坐标为(-4,-21).此时AQ2=32+212=450,DQ2=82+162=320,∴AQ2+AD2≠DQ2,∴∠QAD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.②若AD是对角线,则∠AQD=90°.用同样的方法求得Q(2,3),此时QD2=22+82=68,QA2=32+32=18,∴QD2+QA2≠AD2,∴∠AQD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.综上所述,以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.19.(1)设抛物线的解析式为y=ax(x-).将点A的坐标代入,得1=a(1-),解得a=-.故抛物线的解析式为y=-x(x-)=-x2+x.(2)如图,过点C作CD⊥x轴于点D,延长CA交y轴于点E,设AC与x轴交于点H.∵A(1,1),∴∠AOE=45°.∵AC⊥OA,∴△AOE为等腰直角三角形.∴OE=2,∴E(0,2).设直线AC的解析式为y=kx+b.根据题意,得解得故直线AC的解析式为y=-x+2.联立抛物线与直线AC的解析式,得解得∴C(5,-3),∴CD=3.易知H(2,0),∴S△AOC=OH·(1+CD)=×2×4=4.(3)存在,点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).过点M作MF⊥x轴于点F,则△MNO∽△FMO.①当点M在x轴上方时,由题意得△MNO∽△AOC,设M(m,-m2+m),则OF=m.∴△FMO∽△AOC,∴=.∵A(1,1),∴OA=.∵C(5,-3),∴AC=4,∴=,∴=.∵m>0,∴-m+=,解得m=,当m=时,-m2+m=,∴M(,).②当点M在x轴下方时.(i)若△MNO∽△AOC,同①可得=.∵m>0,∴m-=,解得m=,当m=时,-m2+m=-,∴M(,-).(ii)若△MNO∽△ACO,可得△FMO∽△ACO,∴=,∴=4,∵m>0,∴m-=4,解得m=.当m=时,-m2+m=-54,∴M(,-54).综上,满足条件的点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).20.(1)(3m,0)(0,-m)(2)当m=3时,y=-x2+x-3,点B的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,-3),易得直线BC的解析式为y=x-3.设M(a,-a2+a-3),则N(a,a-3),∴MN=-a2+a-3-(a-3)=-a2+3a.∵点M在直线BC上方的抛物线上,∴0<a<9,∴当a=-=时,MN的长有最大值,为-×()2+3×=. (3)存在,点P的坐标为(1,-3),(1,-)或(1,).21.(1)将C(0,),B(1,0)分别代入y1=ax2-x+c,得解得故抛物线y1的解析式为y1=-x2-x+.∵抛物线y1平移后得到抛物线y2,且顶点为B(1,0),∴抛物线y2的解析式为y2=-(x-1)2,即y2=-x2+x-.(2)存在.易得抛物线y2的对称轴l为直线x=1,A(-3,0),设T(1,t),过点T作TE⊥y轴于点E,则TC2=TE2+CE2=12+(-t)2, TA2=TB2+AB2=t2+(1+3)2=t2+16,AC2=.分以下三种情况讨论:①当TC=AC时,12+(-t)2=,解得t1=,t2=;②当TA=AC时,t2+16=,此方程无实数解;③当TA=TC时,12+(-t)2=t2+16,解得t3=-.综上可知,在直线l上存在点T,使△TAC是等腰三角形,此时点T的坐标为(1,),(1,)或(1,-).(3)设P(m,-m2-m+),则Q(m,-m2+m-).∵Q,R关于直线x=1对称,∴R(2-m,-m2+m-).分以下两种情况讨论:①当点P在直线l的左侧时,PQ=-m2-m+-(-m2+m-)=1-m,QR=2-2m,a.当△PQR≌△GMA,即PQ=GM,QR=AM时,易得m=0,∴P(0,),即点P与点C重合,∴R(2,-).设直线PR的解析式为y=kx+b,将P(0,),R(2,-)分别代入,得解得故直线PR的解析式为y=-x+.b.当△PQR≌△AMG,即PQ=AM,QR=MG时,这种情况不存在.②当点P在直线l的右侧时,PQ=-m2+m--(-m2-m+)=m-1,RQ=2m-2,同理可得P(2,-),R(0,-),利用待定系数法,可得直线PR的解析式为y=-x-.综上所述,直线PR的解析式为y=-x+或y=-x-.22.(1)将C(0,-3)代入y=x+m,得-3=0+m,解得m=-3.(2)对于y=x-3,令y=0,得x=3,∴B(3,0).将C(0,-3),B(3,0)分别代入y=ax2+b,得解得故抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式为y=x2-3.(3)存在.分以下两种情况讨论.①若点M在BC上方,设MC交x轴于点D,则∠ODC=45°+15°=60°,∴OD==,∴D(,0).设直线DC的解析式为y=kx-3,把D(,0)代入,得k-3=0,解得k=,故直线DC的解析式为y=x-3.联立直线DC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(3,6).②若点M在BC下方,设MC交x轴于点E,则∠OEC=45°-15°=30°,∴OE==3.设直线EC的解析式为y=mx-3,把E(3,0)代入,得0=3m-3,解得m=,故直线EC的解析式为y=x-3.联立直线EC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(,-2).综上所述,点M的坐标为(3,6)或(,-2).23.(1)对于y=-x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=4,∴A(4,0),C(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),C(0,2),∴解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)如图,过点P作PN⊥x轴于点N,交直线AC于点M,则PN∥y轴,∴∠PME=∠OCE.又∵∠PEM=∠OEC,∴△PEM∽△OEC,∴=.∵C(0,2),∴OC=2.设点P的坐标为(t,-t2+t+2),则点M(t,-t+2),∴PM=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t,∴=-t2+t=-(t-2)2+1.∵-<0,0<t<4,∴当t=2时,有最大值1.(3)存在.点P的坐标为(2,3)或(,).24.(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图象过点B(1,0),C(0,4),∴解得故二次函数的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图,连接PD,过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于点N,令-x2-3x+4=0,解得x1=1,x2=-4,∴A(-4,0).设直线AD的解析式为y=kx+t,将A(-4,0),D(0,2)分别代入,得解得故直线AD的解析式为y=x+2.设P(m,-m2-3m+4),则N(m,m+2),∴PN=-m2-3m+4-(m+2)=-m2-m+2,∴S=2S△APD=2(S△APN+S△PND)=2×(PN·AM+PN·MO)=PN·AO=(-m2-m+2)×4=-4(m+)2+.∵-4<m<0,∴当m=-时,S有最大值,为.(3)存在,点P的横坐标为1,-2,或.。
中考数学压轴题专集 4二次函数 试题
2021年全国各地中考数学压轴题专集：4二次函数制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日1．设函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1〔k 为实数〕．〔1〕写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个函数的图象；〔2〕根据所画图象，猜测出：对任意实数k ，函数的图象都具有的特征，并给予证明； 〔3〕对任意负实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．2．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋( m －3)x －3〔m ＞0〕的图象与x 轴交于A 、B 两点〔点A 在点B 左侧〕，与y 轴交于点C ． 〔1〕求点A 的坐标；〔2〕当∠ABC ＝45°时，求m 的值；〔3〕一次函数y ＝kx ＋b ，点P 〔n ，0〕是x 轴上的一个动点．在〔2〕的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数y ＝mx 2＋( m －3)x －3〔m ＞0〕的图象于N ．假设只有当－2＜n ＜2时，点M位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．3．平面直角坐标系xOy ，一次函数y ＝34x ＋3的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数y ＝3 2x 的图象上，且MO ＝MA ，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．〔1〕求线段AM的长；〔2〕求这个二次函数的解析式；〔3〕假设点B在y轴上，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y＝34x＋3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c和一次函数y＝－bx，其中实数a、b、c满足a＞b＞c，a＋b ＋c＝0．〔1〕求证：这两个函数的图象交于不同的两点；〔2〕设这两个函数的图象交于A、B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1长的取值范围．5．二次函数y＝ax2－4bx＋4c〔a＞0〕有两个实数根x1，x2，且2≤x1＜x2≤3．〔1〕求证：存在以a，b，c为边长的三角形；〔2〕求证：cb＋c＜aa＋c＋bb＋a．6．二次函数y＝x2＋bx＋c〔c＜0〕的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，△ABC的外接圆的圆心为点P．〔1〕证明：⊙P与y轴的另一个交点为定点；〔2〕假如AB恰好为⊙P的直径且S△ABC ＝2，求b和c的值．7．关于x的二次函数y1＝(m＋2)x2－2x－1和y2＝(m＋2)x2＋mx＋m＋1的图象都经过x 轴上的点〔n，0〕．〔1〕求m的值；〔2〕将二次函数y 1＝( m ＋2)x 2－2x －1的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y 3的图象． ①求y 3的解析式；②在所给的坐标系中画出y 2和y 3的大致图象，并结合函数的图象答复：当x 取何值时，y 3＞y 2？8．关于x 的方程：x 2＋ax －2－a －1＝0有一个增根为b ，另一根为c ．〔1〕求a 、c 的值；〔2〕假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋7〔－3 2 ≤x ≤ 32〕图象与x 轴交于E 、F 两点，在此二次函数的图象上求一点P ，使△PEF 的面积最大，求点P 的坐标．9．：二次函数y ＝x 2＋bx －3的图象经过点P 〔－2，5〕． 〔1〕求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；〔2〕设P 1〔m ，y 1〕、P 2〔m ＋1，y 2〕、P 3〔m ＋2，y 3〕在这个二次函数的图象上． ①当m ＝4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．10．A〔1，0〕，B〔0，－1〕，C〔－1，2〕，D〔2，－1〕，E〔4，2〕五个点，抛物线y＝a(x －1)2＋k〔a＞0〕经过其中的三个点．〔1〕求证：C，E两点不可能同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k〔a＞0〕；〔2〕点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k〔a＞0〕上吗？为什么？〔3〕求a与k的值．11．二次函数y＝x2－(2m－1)x＋4m－6．〔1〕试说明不管m取任何实数，函数图象都经过x轴上的一个定点A；〔2〕设函数图象与x轴的另一个交点为B〔A与B不重合〕，顶点为C，当△ABC为直角三角形时，求m的值；〔3〕在〔2〕的条件下，假设点B在点A的右侧，点D的坐标为〔0，3〕，点E是函数图象上一点．问：在x轴上是否存在点F，使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？假设存在，求出F点坐标；假设不存在，请说明理由．12．二次函数y＝x2＋bx＋c，其中函数值y与自变量x的局部对应值如下表：〔1〕求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系中画出函数的图象；〔2〕假设A〔m，y1〕，B〔m＋4，y2〕两点都在该函数的图象上．①试比拟y1与y2的大小；②假设A、B两点位于x轴的下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答以下问题：〔Ⅰ〕务实数m的取值范围；〔Ⅱ〕是否存在实数m，使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，13．二次函数y＝x2－(2a＋1)x＋2a．〔1〕假设函数图象与x轴有两个不同交点，且分别位于点〔2，0〕的两侧，务实数a的取值范围；〔2〕假设函数图象不经过第三象限，且当x＞2时，函数值y随x的增大而增大，务实数a 的取值范围．14．关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有实数根，且c为正整数．〔1〕求c的值；〔2〕假设此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋c与x轴交于A、B两点〔A在B左侧〕，与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；〔3〕将〔2〕中得到的抛物线沿程度方向平移，设顶点D的坐标为〔m，n〕，当抛物线与直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．15．一次函数y1＝2x，二次函数y2＝mx2－3(m－1)x＋2m－1的图象关于y轴对称，y2 的顶点为A．〔1〕求二次函数y2的解析式；〔2〕将y2左右平移得到y3，y3交y2于点P，过P点作直线l∥x轴交y3于点Q，假设△PAQ 为等腰三角形，求P点坐标和函数y3的解析式；〔3〕是否存在二次函数y4＝ax2＋bx＋c，其图象经过点〔－5，2〕，且对于任意一个实数x，y1≤y4≤y2均成立，假设存在，求出函数y4的解析式；假设不存在，请说明理由．16．二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a＞0〕图象经过点C〔0，1〕，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标为〔1，0〕．〔1〕求c的值；〔2〕求a的取值范围；〔3〕该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1－S2为常数，并求出该常数．17．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标为〔2，4〕．〔1〕试用含a的代数式分别表示b，c；〔2〕假设一次函数y＝kx＋4〔k≠0〕图象与y轴及二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的交点依次为D、E、F，且S△ODES△OEF＝13，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；〔3〕在〔2〕的条件下，假设线段EF的长m满足32≤m≤35，试确定a的取值范围．18．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点〔A在B的左侧〕，且x1＋x2＝4．〔1〕求b的值及c的取值范围；〔2〕假设AB ＝2，求二次函数的表达式；〔3〕设该二次函数的图象与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ．问是否存在这样的二次函数，使△AOC ≌△BED ？假设存在，求二次函数的表达式；假设不存在，请说明理由．19．二次函数y ＝x 2＋mx －3 4m 2〔m ＞0〕的图象与x 轴交于A 、B 两点． 〔1〕求证：该函数图象的对称轴在y 轴的左侧； 〔2〕假设1OB－1OA＝23〔O 为坐标原点〕，求二次函数的表达式； 〔3〕设函数图象与y 轴交于点C ，假设△ABC 是直角三角形．求△ABC 的面积．20．二次函数y ＝－1 4 x 2＋ 3 2x 的图象如下图． 〔1〕求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；〔2〕将该函数图象沿它的对称轴向上平移，设平移后的图象与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，假设∠ACB ＝90°，求此时函数的解析式；〔3〕设〔2〕中平移后的函数图象的顶点为M ，以D 为圆心，AB 为直径作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由.21．二次函数的图象经过点A 〔1，0〕和点B 〔2，1〕，且与y 轴交点的纵坐标为m ．备用图〔1〕假设m为定值，求此二次函数的解析式；〔2〕假设二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；〔3〕假设二次函数的图象截直线y＝－x＋1所得线段的长为22，求m的值．22．二次函数y＝3ax2＋2bx＋c．〔1〕假设a＝b＝1，c＝－1，求函数图象与x轴交点的坐标；〔2〕假设a＝b＝1，且当－1＜x＜1时，函数图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围；〔3〕假设a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，对应的函数值y均大于0．试判断当0＜x＜1时，函数图象与x轴是否有交点？请说明理由．23．在平面直角坐标系xOy中，过点P〔0，2〕作一直线与二次函数y＝ax2〔a＞0〕图象交于A、B两点，且使∠AOB＝90°．〔1〕判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明理由；〔2〕求a的值；〔3〕当△AOB的面积为42时，求直线AB的解析式．24．二次函数y＝x2＋4x＋m〔m为常数〕的图象经过点〔0，4〕，将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象，平移后的函数图象满足下述两个条件：它的对称轴〔设为直线l2〕与平移前的函数图象的对称轴〔设为直线l1〕关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为－8．〔1〕求平移后的二次函数的表达式；〔2〕试问在平移后的函数图象上是否存在点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l2相交？假设存在，恳求出点P的坐标，并求出直线l2被⊙P所截得的弦AB的长度；假设不存在，请说明理由．25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y＝x－1，令y＝0，可得x＝1，那么1就是函数y＝x－1的零点．己知函数y＝x2－2mx－2(m＋3)〔m为常数〕．〔1〕当m＝0时，求该函数的零点；〔2〕证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；〔3〕设函数的两个零点分别为x1和x2，且1x1＋1x2＝－14，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B〔点A在点B左侧〕，点M在直线y＝x－10上，当MA＋MB最小时，求直线AM 的函数解析式．26．二次函数y＝x2－2mx＋m2－4的图象与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左边〕，且与y轴交于点D．〔1〕当点D在y轴正半轴时，是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由；〔2〕当m＝－1时，将函数y＝x2－2mx＋m2－4的图象在x轴下方的局部沿x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象．当直线y＝12x＋b与这个新的图象有两个公一共点时，务实数b的取值范围．27．二次函数y＝x2－2mx＋4m－8．〔1〕当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；〔2〕以抛物线y＝x2－2mx＋4m－8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN〔M，N两点在拋物线上〕，请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？假设是，恳求出这个定值；假设不是，请说明理由；〔3〕假设抛物线y＝x2－2mx＋4m－8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数．．m的值．28．二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与一次函数y＝mx＋n图象相交于〔0，－12〕和〔m－b，m2－mb＋n〕两点〔a，b，c，m，n均为实数，且a，m不为0〕．〔1〕求c的值；〔2〕设二次函数图象与x轴的两个交点是〔x1，0〕和〔x2，0〕，求x1x2的值；〔3〕当－1≤x≤1时，设二次函数图象上与x轴间隔最大的点为P〔x0，y0〕，求此时|y0|的最小值．29．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标为〔0，p2〕，且ac＝14．〔1〕假设该函数的图象过点〔－1，－1〕．①求使y＜0成立的x的取值范围；②假设圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．〔2〕过点A〔0，p〕的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M1，N1．设△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积分别为S1，S2，S3 ，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S22＝mS1S3 成立，假设存在，求出m的值；假设不存在，请说明理由．30．在平面直角坐标系中，点A的坐标为〔3，0〕，第一象限内的点P在直线y＝2x上，且∠PAO＝45°．〔1〕求点P的坐标；〔2〕假设二次函数的图象经过P、O、A三点，求该二次函数的解析式；〔3〕设〔2〕中的二次函数图象的顶点为M，将该二次函数图象向上或者向下平移，使它的顶点落在直线y＝2x上的点Q处，求△APM与△APQ的面积之比．31．二次函数y＝－3x2－23(－a－1)x－3(－a2－2a)的图象与x轴交于点A〔x1，0〕、B〔x2，0〕，且x1＜1＜x2．〔1〕求A、B两点的坐标〔用a表示〕；〔2〕设二次函数图象的顶点为C，求△ABC的面积；〔3〕假设a是整数，P是线段AB上的一个动点〔不与点A、B重合〕，在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求二次函数的解析式及线段PQ的长的取值范围．32．二次函数y＝a(a＋1)x2－(2a＋1)x＋1〔a是正整数〕．〔1〕求该函数图象与x轴相交所截得的线段的长；〔2〕当a依次取1，2，3，…，n时，该函数图象与x轴相交所截得的n条线段的长分别为L1，L2，L3，…，L n，求L1＋L2＋L3＋…＋L n的值．33．a＞b＞c，且2a＋3b＋4c＝0．〔1〕求证：a＋b＋c＞0；〔2〕假设抛物线y＝ax2＋bx＋c在x轴上截得的线段长为916，求该抛物线的对称轴．34．关于x的方程(a＋2)x2－2ax＋a＝0有两个不相等的实数根x1和x2，且抛物线y＝x2－(2a＋1)x＋2a－5与x轴的两个交点分别位于点〔2，0〕的两侧．〔1〕务实数a的取值范围；〔2〕当|x1|＋|x2|＝22时，求a的值．35．二次函数y1＝ax2－x＋c的图象与x轴交于点A〔x1，0〕，B〔x2，0〕〔x1＜0，x2＞0〕，与y轴的交点C在y轴的负半轴上，且tan∠ACO＝23，S△ABC ＝3．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕假设该二次函数的图象与反比例函数y2＝kx〔k＜0〕的图象在第二象限内的交点的横坐标x0满足－3＜x0＜－2，求k的取值范围．36．方程ax2＋bx＋1＝x〔a＞0〕的两个实数根为x1，x2．〔1〕假设x1＜2＜x2＜4，二次函数y＝ax2＋bx＋1图象的对称轴为x＝x0，求证：x0＞－1；〔2〕假设|x1|＜2，|x2－x1|＝2，求b的取值范围．37．二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a＞0〕，且方程ax2＋bx＋c＝x的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜1a．〔1〕求证：当0＜x＜x1时，x＜ax2＋bx＋c＜x1；〔2〕假设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝x0对称，求证：x0＜x12．38．关于x的二次方程x2＋ax＋b＝0有两个实数根x1，x2．〔1〕假设|x1|＜2，|x2|＜2，求证：2|a|＜4＋b且|b|＜4；〔2〕假设2|a|＜4＋b且|b|＜4，求证：|x1|＜2，|x2|＜2．39．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C〔0，4〕，且|AB|＝23，图象的对称轴为x＝1．〔1〕求二次函数的表达式；〔2〕假设二次函数的图象都在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．40．二次函数y＝ax2－4ax＋b〔b＜0〕的图象开口向上，与x轴的两个交点分别为A、B，且|OA||OB|＝15〔O为坐标原点〕，与y轴的交点为C〔0，t〕，顶点的纵坐标为k，且|k－953|≤2453．〔1〕求A、B两点的坐标；〔2〕求t的取值范围；〔3〕当t取最小值时，求该二次函数的表达式．41．a，b为常数，当k取任意实数时，函数y＝(k2＋k＋1)x2－2(a＋k)2x＋(k2＋3ak＋b)的图象与x轴都交于点A〔1，0〕．〔1〕求a、b的值；〔2〕假设函数图象与x轴的另一个交点为B，当k变化时，求|AB|的取值范围．42．二次函数y＝－x2＋mx－m＋2．〔1〕假设该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝5，求m 的值；〔2〕设该二次函数图象与y轴的交点为C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且S△MNC ＝27，求m的值．43．两个二次函数y1，y2，当x＝m〔m＞0〕时，y1取最小值6且y2＝5，又y2最小值为56，y1＋y2＝2x2－3x＋9．〔1〕求m的值；〔2〕求二次函数y1、y2的表达式．44．ab≠0，且函数y1＝x2＋2ax＋4b与y2＝x2＋4ax＋2b有一样的最小值m，函数y3＝－x2＋2bx＋4a与y4＝－x2＋4bx＋2a有一样的最大值n，求证：m＋n＝0．45．对于x的二次三项式ax2＋bx＋c〔a＞0〕．〔1〕当c＜0时，求函数y＝－2|ax2＋bx＋c|－1的最大值；〔2〕假设不管k为任何实数，直线y＝k(x－1)－k24与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个公一共点，求a、b、c的值．46．二次函数y＝3ax2＋2bx＋c，假设a＋b＋c＝0，且当x＝0和x＝1时，函数值y均大于0．〔1〕求证：a＞0且－2＜ba＜－1；〔2〕求证：方程3ax2＋2bx＋c＝0有两个实数根且都大于0小于1．47．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点〔0，3〕，顶点在直线y＝－x＋1上且在第四象限，顶点与原点的间隔为5．〔1〕求该二次函数的表达式；〔2〕设该二次函数的图象与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，顶点为C，直线y＝－x＋1交y轴于点D．在yBCD相似？假设存在，求出P48．y＝ax2＋x－a〔－1≤x≤1〕．〔1〕假设|a|≤1，求证：|y|≤54；〔2〕假设y的最大值为178，求a的值．49．抛物线y＝x2＋mx＋n上有一点P〔x0，y0〕位于x轴下方．〔1〕求证：此抛物线与x轴交于两点；〔2〕设此抛物线与x轴的交点为A〔x1，0〕，B〔x2，0〕，且x1＜x2，求证：x1＜x0＜x2；〔3〕当点P坐标为〔1，－2021〕时，求整数x1，x2的值．50．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，且cot B＝AB·cos A．〔1〕求证：a＝b2；〔2〕假设b＝2，抛物线y＝m(x－b)2＋a与直线y＝x＋4交于M〔x1，y1〕、N〔x2，y2〕两点，且△MON的面积为6，求m的值；〔3〕假设a＝14b2n2，p－q＝3，抛物线y＝n(x2＋px＋3q)与x轴交于不同的两点，其中一个交点在原点右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，说明理由．51．二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕的图象经过A〔－1，0〕、B〔0，－l〕两点，它的顶点在第一象限，它的一局部图象如下图．〔1〕试确定b的符号；〔2〕当b变化时，求a＋b＋c的取值范围；〔3〕是否存在实数a，使得∠ABC＝120°？假设存在，求a的值；假设不存在，请说明理由．52．如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上〔点A在点B的左侧〕，直角顶点C在x轴的上方，且A〔tan A，0〕、B〔tan B，0〕，二次函数y＝－x2－52mx＋(2＋2m－m2)〔x为自变量〕的图象经过A 、B 两点． 〔1〕求该二次函数的表达式；〔2〕判断直角顶点C 是否在该二次函数的图象上，请说明理由．53．抛物线F 1：y ＝ax 2－2amx ＋am 2＋2m ＋1〔a ＞0，m ＞0〕的顶点为A ，抛物线F 2的顶点B 在y 轴上，且抛物线F 1和F 2关于点M 〔1，3〕成中心对称． 〔1〕求m 的值和抛物线F 2的解析式；〔2〕设抛物线F 2与x 轴正半轴的交点为C ，当△ABC 为等腰三角形时，求a 的值．54．二次函数y ＝－x 2＋( m －2)x ＋3( m ＋1)．〔1〕求证：无论m 为任何实数，函数图象与x 轴总有交点；〔2〕设函数图象与y 轴交于点C ，当函数图象与x 轴有两个交点A 、B 〔点A 在点B 的左侧〕，且△ABC 为钝角三角形时，求m 的取值范围；〔3〕在〔2〕的条件下，P 是函数图象的顶点，当△PAO 的面积与△ABC 的面积相等时，求二次函数的解析式．55．关于x 的一元二次方程x 2－2(k ＋1)x ＋k 2＝0有两个整数根，k ＜5且k 为整数．〔1〕求k的值；〔2〕当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝x2－2(k＋1)x＋k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；〔3〕根据直线y＝x＋b与〔2〕中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围．56．如图，二次函数y＝ax2＋bx〔a＞0〕与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为〔1，4〕，点B在第三象限，△AOB的面积为3．〔1〕求二次函数的表达式；〔2〕过点A作x轴的平行线，交二次函数y＝ax2＋bx的图象于另一点C，连接CO，在坐标平面内求点P，使△POC∽△AOB〔点P与点A57．直线y＝12x和y＝－x＋m，二次函数y＝x2＋bx＋c图象的顶点为M．〔1〕假设M恰好是直线y＝12x与y＝－x＋m的交点，试证明：无论m取何实数值，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与直线y＝－x＋m总有两个不同的交点；〔2〕在〔1〕的条件下，假设直线y＝－x＋m过点D〔0，－3〕，求二次函数y＝x2＋bx＋c 的表达式；〔3〕在〔2〕的条件下，假设二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴的交点为C，与x轴的左交点为A．①在直线y＝12x上求异于M的点P，使点P在△ACM的外接圆上；②在二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC为等腰三角形？假设存在，直接写出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．58．二次函数y＝x2＋(m－1)x＋m－2的图象与x轴相交于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，且x1＜x2．〔1〕假设x1x2＜0，且m为正整数，求该二次函数的表达式；〔2〕假设x1＜1，x2＞1，求m的取值范围；〔3〕是否存在实数m，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C〔0，2〕，假设存在，求出m 的值；假设不存在，请说明理由；〔4〕假设过点D〔0，12〕的直线与〔1〕中的二次函数图象相交于M、N两点，且MDDN＝13，求该直线的表达式．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
中考数学压轴题专题复习——二次函数的综合
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=1 2 x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+23C′D 的最小值．【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=12x2-x-32；（2）E(1，6)；（3）C′B＋23C′D4103【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得AEAP=AGAF=EGPF=15，从而求出E的坐标；（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝23C′D，由C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．试题解析：解：（1）∵抛物线y=12x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-122b=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴12-b+c=0，解得：c=-32，即：抛物线的表达式为：y=12x2-x-32．令y=0，则12x2-x-32=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AEAP =AGAF=EGPF=15．又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．如图，取点M（0，43），连接MC′、BM．则OM＝43，BM＝2243()3+＝97．∵423'23OMOC==，'23OCOD=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴'2'3MCC D=，∴MC′＝23C′D，∴C′B＋23C′D＝C′B＋MC′≥BM＝4103，∴C′B＋23C′D的最小值为4103．点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．2．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M 为y 轴右侧抛物线上一点，过点M 作直线AC 的垂线，垂足为N ．问：是否存在这样的点N ，使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y=211184x x --，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣12）；（3）N 点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1） 【解析】分析：（1）由待定系数法求解即可；（2）将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可；（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N 坐标，表示点M 坐标代入抛物线解析式即可．详解：（1）把A （-2，0），B （4，0）代入抛物线y=ax 2+bx-1，得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩＝＝解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝ ∴抛物线解析式为：y=18x 2−14x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-141228ba -=-⨯＝1 （2）存在使四边形ACPO 的周长最小，只需PC+PO 最小∴取点C （0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O 与直线x=1的交点即为P 点．设过点C′、O 直线解析式为：y=kx∴k=-1 2∴y=-1 2 x则P点坐标为（1，-12）（3）当△AOC∽△MNC时，如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似，∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称，则N为DM中点设点N坐标为（a，-12a-1）由△EDN∽△OAC ∴ED=2a∴点D坐标为（0，-52a−1）∵N为DM中点∴点M坐标为（2a，32a−1）把M代入y=18x2−14x−1，解得a=4则N点坐标为（4，-3）当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 由（2）N（2，-1）∴N 点坐标为（4，-3）或（2，-1）点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．3．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题(线段周长问题)
2023年中考数学专题复习：二次函数综合压轴题（线段周长问题）1．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B （A 左B 右），与y 轴交于点C ，直线3y x =-+经过点B 、C ，4AB =．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 在直线BC 上方的抛物线上，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，交BC 于点E ，2DE EF =，求点D 的坐标；(3)在（2）的条件下，点G 在点B 右侧x 轴上，连接CG ，AC ，12ACO AGC ∠=∠，过点G 作GP x ⊥轴交抛物线于点P ，连接BP ，点H 在y 轴负半轴上，连接HF ，若45OHF GPB ︒∠+∠=，连接DH ，求直线DH 的解析式2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点()0,3C -，点P 为x 轴下方拋物线上一点；(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当点P 横坐标为2时，D 为直线AP 上一点，OBD V 的周长为7是否成立，若成立，请求出D 点坐标，若不成立，请说明理由；(3)若直线AP 与y 轴交于点M ，直线BM 与抛物线交于点Q ，连接PQ 与y 轴交于点H ，求PHQH的值．3．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，(4,5)D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．则EM MP PB ++的最小值为．此时点M 的坐标为．4．如图，已知二次函数24y x bx =+-的图像经过点()3,4A -，与x 轴负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，连接AB ，BC ．(1)填空：b =______；(2)点P 是直线AB 下方抛物线上一个动点，过点P 作PT x ⊥轴，垂足为T ，PT 交AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值；(3)点D 是y 轴正半轴上一点，若∠=∠BDC ABC ，求点D 的坐标．5．如图，已知抛物线23y ax bx =+-的图象与x 轴交于点A ()10，和B ()30，，与y 轴交于点C ，D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使A M C V 的周长最小，M 的坐标__________周长的最小值______．(3)如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G ．设点P 的横坐标为m ．是否存在点P ，使FG 最长？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．6．如图1，抛物线()230y ax bx a =+->交x 轴于点A ，B （点A 在点B 左侧），交y 轴于点C ，且3OB OC O A ==，点D 为抛物线上第四象限的动点．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，直线AD 交BC 于点P ，连接AC BD ，，若ACP △和BDP △的面积分别为1S 和2S ，当12S S -的值最小时，求直线AD 的解析式．(3)如图2，直线BD 交抛物线的对称轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交抛物线的对称轴于点M ，当点D 运动时，线段MN 的长度是否会改变？若不变，求出其值；若变化，求出其变化的范围．7．如图1，抛物线2y ax =+2x +c ，交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，当0y ≥时，13x -≤≤(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是线段BE 上的动点（除B 、E 外），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ． ①当点P 的横坐标为2时，求四边形ACFD 的面积；②如图2，直线AD ，BD 分别与抛物线对称轴交于M 、N 两点．试问，EM EN +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．如图，抛物线23y ax bx =++与直线1y x =+交于点1322A ⎛⎫⎪⎝⎭，和点()21B --，．(1)求抛物线的表达式；(2)点C 为线段AB 上一点，作DC y ∥轴，交抛物线于点D ，求线段DC 的最大值；(3)在直线AB 上取一点P ，将P 向上平移3个单位长度得到点Q ，请直接写出PQ 与抛物线有交点时，点P 的横坐标P x 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()220y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y轴交于点C ，连接BC ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点，过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ，过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ，求PMN V 的周长的最大值．(3)若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，点О为坐标原点，抛物线2243y x bx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y轴交于点C ，:2:3OC OA =．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为第二象限抛物线上一点，过点D 作DH x ⊥轴，垂足为H ，连接AC 交DH 于点Q ，设点D 的横坐标为t ，线段DQ 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，点Р在DQ 上，119PD AH =，连接P A ，点E ，F 分别在HQ ，PA 上，连接AE EF ，，3PAB EAB ∠=∠，AEF APH ∠=∠，EF QH =，求点Р的坐标．11．如图1，直线y kx b =+与抛物线22y ax x c =-+交于()()3003A B -，，，两点，抛物线与x 轴正半轴交于点C ．(1)分别求抛物线及直线AB 的解析式；(2)在抛物线对称轴找一点M ，使BCM V 的周长最小，则点M 的坐标是______；(3)如图2，若点P 是线段AB 上（不与A 、B 重合）的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点Q ，设点P 的横坐标是t ，ABQ V 的面积记为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出当t 为何值时，S 有最大值．12．如图，抛物线2y x bx c =-+交x 轴于点()1,0A ，交y 轴于点B ，对称轴是直线2x =．备用图1 备用图2(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P ，使PAB V 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点D 是抛物线的顶点，求BCD △的面积(4)在直线BC 下方的抛物线上有一动点M ，当BCM V 面积最大时，求M 点坐标13．如图，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为()10，，与y 轴交于点()03C -，．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图（1），点F 为抛物线顶点，直线EF 垂直于x 轴于点E ，点P 是线段BE 上的动点（除B 、E 外），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点D ．当点P 的横坐标为2-时，求四边形ACFD 的面积．(3)如图（2），E '是点E 关于抛物线顶点F 的对称点，不平行与y 轴的直线l 分别交线段AE '，BE '（不含端点）于H ，G 两点．若直线l 与抛物线只有一个公共点，请问E G E H ''+的值是否为定值，如果是请求出这个定值；如果不是，请说明理由14．如图，抛物线()240y ax bx a =+-≠与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，其对称轴为1x =．过点A 的直线2y x =+与抛物线交于另一点E ．(1)该抛物线的解析式为；(2)点Q 是x 轴上的一动点，当AQE V 为等腰三角形时，直接写出Q 点的坐标；(3)点P 是第四象限内抛物线上的一个点，过点P 作PH AE ⊥于H ．若PH 取得最大值时，求这个最大值： (4)M 是抛物线对称轴上一点，过M 点作MN y ⊥轴于点N ．当EM AN +最短时，求点M 的坐标．15．如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过()1,0A -，()4,0B ，()0,2C 三点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)点D 是该二次函数图象上的一点，且满足DBA CAO ∠=∠（O 是坐标原点），求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点P 作PE BC ⊥于点E ，作PF y ∥轴交BC 于点F ，求PEF !周长的最大值．16．如图，抛物线的图像与x 轴交于A ，B 两点，(1,0)A -，对称轴是直线1x =，与y 轴交于点90,2C ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，矩形DEFG 的边DE 在x 轴上，顶点F ，G 在x 轴上方的抛物线上，设点D 的横坐标为d ，当矩形DEFG 的周长取最大值时，求d ，并求矩形DEFG 的周长的最大值；(3)在（2）的结论下，直线DG 上是否存在点M ，使得2GMF DEM ∠=∠，若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线与x 轴交于点(30)A ，，与y 轴交点(03)B -，，连接AB ． ①求该抛物线所表示的二次函数解析式；②若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n =+与y 轴交于点C ，同时与抛物线2y x bx c =++交于点()30D -，，以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．18．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接BC ．(1)求点B ，点C 的坐标；(2)点D 为y 轴上一点，且AD CD =，求点D 的坐标；(3)点M 为直线BC 下方抛物线上一点，连接OM 交BC 于点N ，过点M 作MP y ∥轴交BC 于点P ． ①若2ON MN =，求点M 的横坐标；②过点M 作ME BC ⊥，垂足为E ，求线段ME 的最大值及此时点M 的坐标．参考答案：1．(1)223y x x =-++(2)()2,3D(3)33y x =-2．(1)2=23y x x --(2)不成立，(3)33．(1)抛物线的解析式为223y x x =+-(2)存在，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-1，（-1，54）4．(1)3-(2)PQ 的最大值是4 (3)50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5．(1)2=+43y x x --(2)()21-，(3)存在，m 的值为326．(1)2=23y x x --(2)22y x =--(3)不变，值为8(2)①4；②EM EN +是定值8，理由见解析8．(1)2223y x x =--+ (2)258(3)21P x -≤≤-或1122P x -≤≤9．(1)224233y x x =-++；(3)点M 的坐标为()2,2或104,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭．10．(1)2210433y x x =--+ (2)2243d t t =-- (3)13(3)3-，11．(1)223y x x =--+，3y x =+(2)()1,2M (3)23327228S t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当32t =-时，S 有最大值27812．(1)243y x x =-+(2)存在，()2,1(3)3 (4)33,24M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)4(3)是，14．(1)2142y x x =--(2)()2,0-或()2,0或()14,0或()6,0(3)(4)161,7M ⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)213222y x x =-++ (2)(3,2)或(5,18)--(3)2 16．(1)3(1)(3)2y x x =-+- (2)当13d =时，矩形DEFG 的周长的最大，最大值为403． (3)不存在点M ，使得2GMF DEM ∠=∠，理由见解析17．(1)①2=23y x x --；②存在点P ，使得点M 是线PH 的三等分点(23)P -，或11524⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)133b >或32b <-．18．(1)点B 的坐标为()3,0，点C 的坐标为()0,3-；(2)点D 的坐标为40,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)①点M 的横坐标为或；②当32x =时，线段ME 的最大值为ME =．此时点M 坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当 的面积等于 的面积的 时，求m的值．
(3)当 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点 的坐标为 ， ，
5．(1) ，
(2)2
(3) 或 或
6．(1)
(2)
(3)矩形的周长
7．(1) ， ；
(2)存在， 或 ；
(3) 或 或 或 ．
8．(1) ，
(2)当 时，
(3)存在， 或 或
9．(1)
(2) 的面积最大值为4
(3)四边形 能构成菱形，点 的坐标为 或
10．(1)
(2)
(3)存在， 或 或
15．如图所示，在矩形 中，把点 沿 对折，使点 落在 上的 点．已知 ．
(1)求 点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过 ，且直线 是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点 是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点 是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较 与 的大小(不必证明)，并写出此时点 的横坐标 的取值范围．
11．(1) ；
(2) ；
(3) 、 、 ．
12．(1)
(2)
(3)M的坐标为 或 或 或
13．(1)
(2)13.5
(3)存在， ， 或
14．(1)
(2)点 的坐标为 或 或 或
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数y＝a(x－h)2＋k中，a，h，k的几何意义和作用各是什么？
专题解读
压轴题突破
步步高中考总复习
类型思路 1.主要类型有：(1)二次函数与几何图形综合；(2)二次函数与 一元二次方程综合；(3)二次函数与一次函数反比例函数综合. 2.解题思路是“审题→建立数学模型→利用函数的图象和性质 →解决问题”；解决这类问题的关键是善于利用图形的性质与
二次函数的图象和性质的有关知识，注意挖掘隐含条件，能
在变化过程中把握数量关系，对问题能正确分类讨论；始终 用到函数的思想、数形结合的思想.
专题解读
压轴题突破
步步高中考总复习
一、二次函数与几何图形综合
常考角度：1.确定二次函数解析式的方法仍是待定系数法； 2．等腰三角形，一次函数，相似三角形，勾股定理，解 直角三角形等； 3．转化的数学思想和方法．
专题解读
压轴题突破
步步高中考总复习
(3)①设点D的坐标为(x，y)，求y关于x的函数关系式？②过
点D作AB的平行线，与第(3)①题确定的函数图象的另一个
交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形 是平行四边形？
分析
(1)将m＝2代入原式，得到二次函数的顶点式，据此
即可求出B点的坐标； (2)延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出 △ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE＝4；
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步步高中考Байду номын сангаас复习
1 2 (3)①∵点 A 的坐标为(m，－ m ＋ m)， 4 1 2 ∴点 D 的坐标为(2m，－ m ＋ m＋ 4)， 4 1 ∴x＝2m， y＝－ m2＋m＋ 4， 4 1 x2 x ∴y＝－ ·( ) ＋ ＋ 4， 4 2 2 1 2 1 ∴所求函数的解析式为 y＝－ x ＋ x＋4， 16 2 ②作 PQ⊥DE 于点 Q，则△ DPQ≌△BAF，
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1 (3)① 根据点 A 和点 B 的坐标，得到 x＝ 2m， y＝－ m2＋ m 4 x 1 2 ＋ 4，将 m＝ 代入 y＝－ m ＋ m＋ 4，即可求出二次函数的 2 4 表达式； ②作 PQ⊥ DE 于点 Q，则△ DPQ≌△ BAF，然后分 (如图 1)、 (图 2)两种情况解答．
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(Ⅰ)当四边形 ABDP 为平行四边形时 (如图 1)， 点 P 的横坐标为 3m， 1 2 1 2 1 2 点 P 的纵坐标为：(－ m ＋ m＋ 4)－( m )＝－ m ＋ m＋ 4， 4 4 2 1 2 1 2 1 把 P(3m，－ m ＋ m＋ 4)的坐标代入 y＝－ x ＋ x＋ 4 得： 2 16 2 1 2 1 2 1 － m ＋ m＋ 4＝－ × (3m) ＋ × (3m)＋ 4， 2 16 2 解得： m＝ 0(此时 A， B， D，P 在同一直线上，舍去 )或 m＝ 8.
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二、二次函数与一次函数、反比例函数综合
常考角度：1.确定二次函数的解析式，理解二次函数的图 象和性质； 2．理解一次函数、反比例函数的图象和性质；
3．数形结合的思想．
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【例题2】 (2013· 义乌)如图，已知
抛物线y1＝－2x2＋2，直线y2＝
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【例题 1】 (2013· 舟山)如图，在平面直 1 角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ (x－m)2－ 4 1 2 m ＋ m 的顶点为 A，与 y 轴的交点为 B， 4 连结 AB， AC⊥AB，交 y 轴于点 C，延长 CA 到点 D，使 AD＝AC，连结 BD.作 AE ∥ x 轴， DE∥y 轴． (1)当 m＝ 2 时，求点 B 的坐标； (2)求 DE 的长．
答案
D
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1．结合图象理解一次函数、反比例函数和二次函数的性
质； 2．抓住函数图象的交点把握问题，能够运用转化的思想 和方法解决问题.
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∵抛物线y1＝－2x2＋2，直线y2＝2x＋2，与y轴交点坐标为 (0，2)，当x＝0时，M＝2，抛物线y1＝－2x2＋2，最大值为 2，故M大于2的x值不存在；
∴使得M大于2的x值不存在，∴③正确；
∵当－1＜x＜0时，
2 使得 M＝1 时，可能是 y1＝－ 2x ＋ 2＝1，解得： x1＝ ， x2 2
2x＋2，当x任取一值时，x对应 的函数值分别为y1，y2.若y1≠y2， 取y1，y2中的较小值记为M；若 y1＝y2，记M＝y1＝y2.例如：当
x＝1时，y1＝0，y2＝4，y1＜y2，此时M＝0.下列判断：
①当 x＞0 时，y1＞y2；②当 x＜0 时，x 值越大，M 值越小；③ 1 2 使得 M 大于 2 的 x 值不存在；④使得 M＝1 的 x 值是－ 或 . 2 2 其中正确的是
解
1 (1)当 m＝2 时，y＝ (x－2)2＋1， 4
1 把 x＝0 代入 y＝ (x－2)2＋1，得 y＝2， 4 ∴点 B 的坐标为(0，2)．
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(2)延长 EA，交 y 轴于点 F， ∵ AD＝ AC，∠ AFC＝∠ AED＝ 90°，∠ CAF＝∠ DAE， ∴△ AFC≌△ AED，∴ AF＝ AE， 1 ∵点 A(m，－ m2＋ m)，点 B(0， m)， 4 1 1 ∴ AF＝ AE＝ |m|， BF＝ m－ (－ m2＋ m)＝ m2， 4 4 ∵∠ ABF＝ 90°－∠ BAF＝∠ DAE，∠ AFB＝∠ DEA＝ 90°， ∴△ ABF∽△ DAE， 1 2 m BF AE 4 |m| ∴ ＝ ，即： ＝ ， AF DE |m| DE ∴ DE＝ 4.
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1．本题是中考压轴题，难度较大，解题核心是相似三角
形、全等三角形与抛物线的相关知识，另外也考查了平行 四边形、矩形、解方程等重要知识点． 2．解题的难点在于转化思想的运用，要求同学们能够将 所求解的问题转化为常见的数学问题，利用自己所熟悉的 数学知识去解决问题，否则解题时将不知道从何下手而导 致失分．
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(
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)
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A．①② 分析 解析 误；
B．①④
C．②③
D．③④
利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图 ∵当x＞0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错
象进行分析即可得出答案．
∵抛物线y1＝－2x2＋2，直线y2＝2x＋2，当x任取一值时，x 对应的函数值分别为y1，y2. 若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M； ∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大； ∴②错误；
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(Ⅱ)当四边形 ABDP 为平行四边形时(如图 2)， 点 P 的横坐标为 m， 1 2 1 2 点 P 的纵坐标为：(－ m ＋ m＋4)＋( m )＝m＋4， 4 4 1 2 1 1 2 把 P(m， m＋4)的坐标代入 y＝－ x ＋ x＋4 得： m＋4＝－ m 16 2 16 1 ＋ m＋ 4， 2 解得 m＝0(此时 A， B，D，P 在同一直线上，舍去)或 m＝－8， 综上所述：m 的值为 8 或－8.
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压轴题型四 二次函数综合型问题
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特征分析 二次函数综合型问题，主要以函数为主线，利用二次函数的
图象和性质与方程和几何图形形成综合性问题，有时也与一
次函数、反比例函数综合，这类问题往往是压轴题，考查的 知识点多，难度大，对学生综合运用数学知识的能力要求较 高；要求对二次函数的图象和性质理解到位，如二次函数y＝ ax2＋bx＋c中，a，b，c的几何意义和作用各是什么？二次函
2
2 ＝－ ， 2 当 y2＝ 2x＋ 2＝1， 1 解得：x＝－ ， 2
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2 由图象可得出：当 x＝ ＞ 0，此时对应 y1＝ M， 2 ∵抛物线 y1＝－2x2＋2 与 x 轴交点坐标为：(1，0)，(－1，0)， ∴当－1＜x＜0，此时对应 y2＝ M， 2 1 故 M＝1 时，x1＝ ， x2＝－ ， 2 2 1 2 使得 M＝1 的 x 值是－ 或 . 2 2 ∴④正确； 故正确的有：③④.