专题三：三角函数及三角恒等变换
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＼，
ｚ
Ｂ ．
一ａ ｒ ｇ （ ３ ＋ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｉ １一ａ ｒ ｇ （ ５
２， 叫 ≥兀
ｒ
ｎ
＋
当∞ ＝兀 ， Ｔ一一１时满 足题 意． 所 以 ＜ ∞的
ｌ
ｎ
最 小值 为 ７ ｃ ．
ｍ “ Ｕ
一
＋ ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １ 一 ａ ｒ ｇ（ ７＋ ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １
２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ＜ ｎ ．
当一 １＜ ｚ ＜ １时
，
＞ ０且 ５ ｔ ＋ ２ ｘ
角形 ） ． 考生在 复 习备 考 时 ， 要 求熟 练 掌 握 和
差倍 半 、 降幂 、 升幂 、 积 化 和差 、 和差 化 积 、 万 ＞Ｏ ， 即 Ｏ ＜ａ ＋ ７ ｃ ， 所 以此 时①成 立． 能公 式 等公 式 ， 还要 求 能 准 确 解答 三角 函数 与 复数 、 不等 式 、 数 列 等综合 问题 ．
丢 ） 上 为 奇 函 数 ，
一 ｙ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
，
可得 ，
即证 厂 （ ｚ ） ＋ （ 一ｚ ） ＝ ＝ ＝ Ｏ ， 即ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ再 ２ － ２ ｘ
ｔ ａ ｎ （ ａ ＋卢 ） 一 ４
＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 一２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ． ①
ｈ 例４ （ ２ ０ １ ３年 北 约 第 ９题 ） 对
一
／Ｌ ＋ 厂 于任 意
＼，
的０ ， 求 ３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一Ｃ Ｏ Ｓ ６ 一６ ｃ ｏ ｓ ４ 一１ ５ ｃ Ｏ ｓ ２ ０
的值．
广
，
ａ ｒ ｇ （ ８ ＋ｉ ），
ａ ｒ ｇ （ （ ３＋ ｉ ）（ ５＋ ｉ ）（ ７＋ ｉ ）（ ８＋ ｉ ） ）一
例 ３ （ ２ ０ １ ２年 卓 越 第 ６题 ） 设 函 数
， （ ｚ ） 一ｓ ｉ ｎ （ ｚ ＋ ） ， 其中ｃ ｏ ＞０ ， ∈ Ｒ， 若 存
１ ） 一１ ５ （ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一 １ ）
一３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 一［ ２ （ ４ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一 ３ ｃ ｏ ｓ ） 。 一１ ］
专题三 ： 三 角 函 数 及 三 角 恒 等 变 换
北 京 市 丰 台第 二 中学 甘 志 国
三 角 函数 及 三 角 恒 等 变 换 都 是 自主 招
生 考试 （ 笔试 ） 的重 要 内容 ， 本 专 题将 以例 题 和 练 习题 的形 式 对 此 内容作 详 细讲 解 ． 这 些
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ １ ７
，
所以ａ ＋ ＋ ｙ ＋ 一 手 ．
暴懈
因 为
１
ａｒ ｃｔ ａｎ
， （ ｚ ） ， ２为 函数 厂 （ ｚ ） 的一 个 周 期 ， 所以 ≤ 若 Ｃ Ｕ
题 目基 本 上 涵盖 了 ２ ０ １ １ ～２ ０ １ ４年 自主招 生 数 学试题 中这 方 面 的典 型题 目（ 不包 括 解 三
ａ ， 卢 ∈ （ 一 号 ， 号 ） ， 可 得 ｔ ａ ｎ （ ａ ＋ ＝ 一 ４ ．
还 可 得ｔ ａ ｎ （ ２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ｊ 一 ～ 詈 ， ＜
明 （ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ＋ ２ ｘ
—
Ａ ． 詈 Ｂ ． ｛ ｃ ． 詈 Ｄ ． 警
解 Ｂ ．
设 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １一ａ ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 一卢 ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １
１
一
ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ 在 （ 一 １ ，
Ｏ
ｚ
＋ Ｏ 由公 式 Ｃ Ｏ Ｓ ２ ａ 一２ Ｃ Ｏ Ｓ 口 一１ ， Ｃ Ｏ Ｓ ３ ａ
ｌ ｌ
ａ ｒ ｇ （ ６ ５ ０ （ １ ＋ ｉ ） ） 一 号 ．
所 以 由复 数 的 幅 角 主 值 及 复 数 乘 法 的
＝４ Ｃ Ｏ Ｓ 。 口 ～３ ｃ ｏ ｓ ａ， 得
丁
、， Βιβλιοθήκη 而 Ｖ ３ ２ Ｃ ＯＳ 一Ｃ ＯＳ ６ 一 ６ ｃ ｏｓ ４ 一 １ ５ ｃ ｏ ｓ ２ ０ 一
—３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 一（ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ３ 一１ ） 一６ （ ２ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０
～
几 何 意 义 知 ， 答 案 为 ｛ ．
证毕 ！
注 这道题 出 自全俄 第 １ ６ 届数学竞
例 １ （ ２ ０ １ ４年 北 约 文 、 理科 第 ６ 题） 已 赛题 ： 求常 数 ｃ ， 使 函数 厂（ ｚ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ而 ２ －２ ｘ
０一－ ０～
知 （ １ ｚ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
＋ ｃ 在 区 间 （ 一 １ ４ ， ÷ ） 上 为 奇 函 数 ． （ 一 １ ， ４ ） 上 为 奇 函 数 ， 则 ｃ 一 （ ） 参例 ２ （ ２ 。 １ ２ 年 复 旦 大 学 千 分 考 ） ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 号
， ｔ ａ ｎ （ ＋ ） 一 音 ； ａ ＋ ， ｙ
证 明如 下 ：
＋ ∈ （ ｏ ， 号 ） ，
ｔ ａ ｎ （ ａ － ｝ － ｌ ｆ － ｔ － ７ － ｔ － ８ ） 一１ ； ａ ＋ ＋ｙ ＋ ∈ （ Ｏ ，
设ａ ｒ ｌ ｃ ｔ ａ ｎ
～
ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
Ａ． ０ Ｂ． — —ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２
＋ Ｃ（ Ｃ是 常数） 在
Ｃ ．ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２
Ｄ．不 存 在
＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｉ １＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １＝ ＝ ＝（
）
解
Ｂ ．
由－ 厂 （ ０ ） 一０ ， 得 Ｃ一 一 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ． 下 面 证
ｚ
Ｂ ．
一ａ ｒ ｇ （ ３ ＋ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｉ １一ａ ｒ ｇ （ ５
２， 叫 ≥兀
ｒ
ｎ
＋
当∞ ＝兀 ， Ｔ一一１时满 足题 意． 所 以 ＜ ∞的
ｌ
ｎ
最 小值 为 ７ ｃ ．
ｍ “ Ｕ
一
＋ ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １ 一 ａ ｒ ｇ（ ７＋ ｉ ） ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １
２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ＜ ｎ ．
当一 １＜ ｚ ＜ １时
，
＞ ０且 ５ ｔ ＋ ２ ｘ
角形 ） ． 考生在 复 习备 考 时 ， 要 求熟 练 掌 握 和
差倍 半 、 降幂 、 升幂 、 积 化 和差 、 和差 化 积 、 万 ＞Ｏ ， 即 Ｏ ＜ａ ＋ ７ ｃ ， 所 以此 时①成 立． 能公 式 等公 式 ， 还要 求 能 准 确 解答 三角 函数 与 复数 、 不等 式 、 数 列 等综合 问题 ．
丢 ） 上 为 奇 函 数 ，
一 ｙ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
，
可得 ，
即证 厂 （ ｚ ） ＋ （ 一ｚ ） ＝ ＝ ＝ Ｏ ， 即ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ再 ２ － ２ ｘ
ｔ ａ ｎ （ ａ ＋卢 ） 一 ４
＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 一２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ． ①
ｈ 例４ （ ２ ０ １ ３年 北 约 第 ９题 ） 对
一
／Ｌ ＋ 厂 于任 意
＼，
的０ ， 求 ３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一Ｃ Ｏ Ｓ ６ 一６ ｃ ｏ ｓ ４ 一１ ５ ｃ Ｏ ｓ ２ ０
的值．
广
，
ａ ｒ ｇ （ ８ ＋ｉ ），
ａ ｒ ｇ （ （ ３＋ ｉ ）（ ５＋ ｉ ）（ ７＋ ｉ ）（ ８＋ ｉ ） ）一
例 ３ （ ２ ０ １ ２年 卓 越 第 ６题 ） 设 函 数
， （ ｚ ） 一ｓ ｉ ｎ （ ｚ ＋ ） ， 其中ｃ ｏ ＞０ ， ∈ Ｒ， 若 存
１ ） 一１ ５ （ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一 １ ）
一３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 一［ ２ （ ４ Ｃ Ｏ Ｓ 。 一 ３ ｃ ｏ ｓ ） 。 一１ ］
专题三 ： 三 角 函 数 及 三 角 恒 等 变 换
北 京 市 丰 台第 二 中学 甘 志 国
三 角 函数 及 三 角 恒 等 变 换 都 是 自主 招
生 考试 （ 笔试 ） 的重 要 内容 ， 本 专 题将 以例 题 和 练 习题 的形 式 对 此 内容作 详 细讲 解 ． 这 些
Ｎ ｅ ｗ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅ ｎ ｔ ｒ ａ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｘ ａ ｍｉ ｎ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ １ ７
，
所以ａ ＋ ＋ ｙ ＋ 一 手 ．
暴懈
因 为
１
ａｒ ｃｔ ａｎ
， （ ｚ ） ， ２为 函数 厂 （ ｚ ） 的一 个 周 期 ， 所以 ≤ 若 Ｃ Ｕ
题 目基 本 上 涵盖 了 ２ ０ １ １ ～２ ０ １ ４年 自主招 生 数 学试题 中这 方 面 的典 型题 目（ 不包 括 解 三
ａ ， 卢 ∈ （ 一 号 ， 号 ） ， 可 得 ｔ ａ ｎ （ ａ ＋ ＝ 一 ４ ．
还 可 得ｔ ａ ｎ （ ２ ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ｊ 一 ～ 詈 ， ＜
明 （ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ＋ ２ ｘ
—
Ａ ． 詈 Ｂ ． ｛ ｃ ． 詈 Ｄ ． 警
解 Ｂ ．
设 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １一ａ ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 一卢 ， ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １
１
一
ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ 在 （ 一 １ ，
Ｏ
ｚ
＋ Ｏ 由公 式 Ｃ Ｏ Ｓ ２ ａ 一２ Ｃ Ｏ Ｓ 口 一１ ， Ｃ Ｏ Ｓ ３ ａ
ｌ ｌ
ａ ｒ ｇ （ ６ ５ ０ （ １ ＋ ｉ ） ） 一 号 ．
所 以 由复 数 的 幅 角 主 值 及 复 数 乘 法 的
＝４ Ｃ Ｏ Ｓ 。 口 ～３ ｃ ｏ ｓ ａ， 得
丁
、， Βιβλιοθήκη 而 Ｖ ３ ２ Ｃ ＯＳ 一Ｃ ＯＳ ６ 一 ６ ｃ ｏｓ ４ 一 １ ５ ｃ ｏ ｓ ２ ０ 一
—３ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 一（ ２ Ｃ Ｏ Ｓ 。 ３ 一１ ） 一６ （ ２ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０
～
几 何 意 义 知 ， 答 案 为 ｛ ．
证毕 ！
注 这道题 出 自全俄 第 １ ６ 届数学竞
例 １ （ ２ ０ １ ４年 北 约 文 、 理科 第 ６ 题） 已 赛题 ： 求常 数 ｃ ， 使 函数 厂（ ｚ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ而 ２ －２ ｘ
０一－ ０～
知 （ １ ｚ ） 一ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
＋ ｃ 在 区 间 （ 一 １ ４ ， ÷ ） 上 为 奇 函 数 ． （ 一 １ ， ４ ） 上 为 奇 函 数 ， 则 ｃ 一 （ ） 参例 ２ （ ２ 。 １ ２ 年 复 旦 大 学 千 分 考 ） ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ 号
， ｔ ａ ｎ （ ＋ ） 一 音 ； ａ ＋ ， ｙ
证 明如 下 ：
＋ ∈ （ ｏ ， 号 ） ，
ｔ ａ ｎ （ ａ － ｝ － ｌ ｆ － ｔ － ７ － ｔ － ８ ） 一１ ； ａ ＋ ＋ｙ ＋ ∈ （ Ｏ ，
设ａ ｒ ｌ ｃ ｔ ａ ｎ
～
ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
Ａ． ０ Ｂ． — —ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２
＋ Ｃ（ Ｃ是 常数） 在
Ｃ ．ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２
Ｄ．不 存 在
＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ｉ １＋ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ
ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ １＝ ＝ ＝（
）
解
Ｂ ．
由－ 厂 （ ０ ） 一０ ， 得 Ｃ一 一 ａ ｒ ｃ ｔ ａ ｎ ２ ． 下 面 证