2024版高考复习A版数学考点考法PPT讲解：解三角形

a=bsin A
bsin A<a<b
a≥b
注:当a<bsin A时无解.
②当A为钝角或直角时,如图,此时只有一个解. 注:当a≤b时无解.
2.三角形中常用的结论
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,常见的结论有:
1)A+B+C=π;
2)在△ABC中,大角对大边,大边对大角,如:a>b⇔A>B⇔sin A>sin B;
6)sin 15°= 6 2,cos 15°=
4
tan 15°=2- 3.
6 ,2
4
3.三角形的面积公式
设△ABC的三边为a,b,c,所对的三个内角分别为A,B,C,其面积为S,△ABC
的外接圆半径为R,内切圆半径为r.
1)S= 1 ah(h为BC边上的高);
2
2)S= 1 absin C= 1 acsin B= 1 bcsin A;
2R
2R
2R
③a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
④ a b c = a =2R.
sin A sin B sin C sin A
2.余弦定理 1)内容:a2=b2+c2-2bccos A;
b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C.
2)变形形式
cos A= b2 c2 a2 ;cos B= c2 a2 b2 ;
2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫方位角,如B点的方位角为 α(如图b). 3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图c). ①北偏东α°:指北方向顺时针旋转α°到达目标方向. ②东北方向:指北偏东45°方向.
4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(如图d,角θ为坡角). 坡度:坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度(或坡比)(如图d,i为坡比).
高考 数学
三角函数与解三角形
解三角形
基础篇
1.正弦定理
考点一 正弦定理和余弦定理
1)内容: a = b = c =2R(R为△ABC外接圆半径).
sin A sin B sin C
2)变形形式
①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
②sin A= a ,sin B= b ,sin C= c ;
3)在斜△ABC中,tan A+tan B+tan C=tan A·tan Btan C;
4)有关三角形内角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;
tan(A+B)=-tan
C
A
B
2
;sin
A
2
B
=cos
C 2
;cos
A
2
B
=sin
C 2
.
5)三角形中的射影定理:a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A.
AF+BE=BF+BE=DE+BE=100(2+ 3 )≈373.故选B.
答案 B
例4 (2022广东惠州一模,16)如图,曲柄连杆机构中,曲柄CB绕C点旋转
时,通过连杆AB的传递,活塞做直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连 杆成一条直线,连杆的端点A在A0处.设连杆AB长200 mm,曲柄CB长70 mm,
2.利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
例3 (2021全国甲,8,5分) 2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86 (单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测 量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B', C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差 为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差 AA'-CC'约为( 3≈1.732) ( ) A.346 B.373 C.446 D.473
由sin A+sin C=1得sin A+sin(60°-A)=1,得sin A+sin 60°cos A-cos 60°sin A=
1,即 1 sin A+ 3 cos A=1,所以sin(A+60°)=1,因为A为三角形的内角,所以A=
2
2
30°,则C=30°,所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形.故选D.
例2 (2019课标Ⅲ理,18,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已 知asin A C =bsin A.
2
(1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
解析 (1)由题设及正弦定理得sin Asin A C =sin Bsin A.因为sin A≠0,所
解析 因为cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,所以sin2A+sin2C-sin2B=-sin A·
sin C,由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,所以 a2 c2 b2 =- 1,所以cos B=- 1,因
2ac
2
2
为0°<B<180°,所以B=120°,所以A+C=60°,
sin C
sin C 2 tan C 2
知0°<A<90°,0°<C<90°.由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°,故 <a<2,从而1 <
2
S < △ABC 3 .
3
8
2
因此，C面积的取值范围是
3, 8
3
2
.
考法三 解三角形的实际应用 1.有关概念 1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下 方的角叫俯角(如图a).
2bc
2ca
cos C= a2 b2 c2 .
2ab
考点二 解三角形及其应用 1.已知两边及一边对角解三角形,如在△ABC中,已知a,b和A. 1)若利用余弦定理求边长,实质是解一元二次方程,解出后可根据已知条 件对方程的根进行取舍. 2)用正弦定理解三角形时,会出现如下情形: ①当A为锐角时,如图,解的个数分别为一解,两解,一解.
2
以sin A C =sin B.由A+B+C=180°,可得sin A C=cos B,
2
2
2
故cos B =2sin B cos B .
2
22
因为cos B ≠0,故sin B = 1 ,因此B=60°.
2
22
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC= 3 a.
4
由正弦定理得a= csin A = sin(120 C) = 3 + 1 .由△ABC为锐角三角形,
在Rt△BCE中,可得tan 15°= BE,即2-
CE
=3
100,∴CE= 100 =100(2+
CE
2 3
)3,在
△CDE中,由正弦定理可得 DE = CE ,∴DE= sin 45 ·CE=100( 3 +1),
sin 45 sin 75
sin 75
又知在Rt△ABF中,∠ABF=45°,所以AF=BF,所以AA'-CC'=AD=AF+DF=
答案 D
考法二 与三角形的最值、范围有关的问题 1.三角形中的最值、范围问题的解题策略 1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦 定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围. 2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表 示成函数形式. 3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 2.求解三角形中的最值、范围问题的注意点 1)涉及求范围的问题,一定要搞清变量的范围;若已知边的范围,求角的范 围可利用余弦定理进行转化. 2)注意题目中的隐含条件,如A+B+C=π,0<A<π,|b-c|<a<b+c,三角形中大边 对大角等.
2
2
2
3)S=2R2sin Asin Bsin C;
4)S= abc ;
4R
5)S=
p(
p
a)(
p
b)(

p
c)
p
1 2
(a
b
c)
.
6)S= 1 r(a+b+c).
2
综合篇
考法一 三角形形状的判断 要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考.依据已知 条件中的边角关系判断时,主要有以下两种途径: 1.化角为边:利用正、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因 式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状. 2.化边为角:利用正、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数 间的关系,通过三角恒等变换得出内角的关系,从而判断出三角形的形状, 此时要注意应用“△ABC中,A+B+C=π”. 提醒:在两种途径的等式变形中,一般两边的公因式不要约掉,要移项提取 公因式,以免漏解.
∵AB>BC,∴∠ACB>∠BAC,故∠BAC为锐角,
∴cos∠BAC=
1
7 25
2
=
24 25
,
又cos∠ACB=
1
4 5
2
=
3 5
,
∴sin∠ABC=sin(∠ACB+∠BAC)=sin∠ACBcos∠BAC+cos∠ACBsin∠BAC
= 4× 24+ ×3 7= 11,∴7 AC= ABsin AB=C200×
解析 如图,过点C分别作A'C',B'C'的平行线,分别交A'A与B'B于点D和E, 连接DE,则DE∥A'B',过点B作DE的平行线BF,交AA'于点F.
故△A'B'C'≌△DEC,
∴∠DCE=∠A'C'B'=45°,
∠CDE=∠C'A'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75°.
则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时,活塞移动的距离(即连杆的端点A
移动的距离A0A)约为
mm.(结果保留整数)(参考数据:sin 53.2°=0.8)
解析 在△ABC中,AB=200,BC=70,∠ACB=53.2°,由正弦定理,得sin∠BAC
= BC sin ACB = 7 ,
AB
25
5 25 5 25 125
sin ACB
(A0B0+B0C)-AC=(200+70)-234=36(mm).
×117=2534,故A0A=
125 4
故曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时活塞移动的距离约为36 mm. 答案 36
高考 数学
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例1 (2022江苏徐州期中,8)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,满足cos2A-cos2B+cos2C=1+sin Asin C,且sin A+sin C=1,则△ABC的 形状为 ( ) A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.顶角为120°的非等腰三角形 D.顶角为120°的等腰三角形