人教版高一数学必修1-1.2函数及其表示

1.2函数及其表示
（1）函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到B 的一个函数记作y=()f x 。

注意：A ，B 都是非空数集，因此定义域或值域为空集的函数不存在，如y=
√x−1
√1−x
就不是函数。

②函数的三要素 定义域：
求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．
②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③
()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． ⑤
()f x =x 0
的定义域是｛x ∈R ∣x ≠0｝
示例：（1）已知函数()f x 的定义域为[−1，4]，求函数ƒ（2x +1）的定义域；
（2）已知函数ƒ（2x −1）的定义域为[−3，3]，求()f x 的定义
域。

函数的对应关系： 函数的值域：
求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：将函数视为关于自变量的二次函数，利用判别式求函数值
的范围，若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程
2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必
须有
2
()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．使用此方法要特别注意自变量的取值范围。

④换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。

⑤分离常数法：将形如y=
cx+d
ax+b
（a ≠0）的函数，先分离常
数，变形过程为cx+d ax+b
=
c a (ax+b)+d−bc a
ax+b = c
a +
d−
bc
a
ax+b
,再结合x 的取
值范围确定
d−
bc
a
ax+b
的取值范围，从而确定函数的值域。

示例：求下列函数的定义域
⑴y=√x 2+5
⑵y=x 2-4x+6,x ∈[1，5）
⑶y=-x 4+x 2
+1
4
⑷y=
2x+13x+5
随堂练习
（1） 已知函数ƒ（2x −1）的定义域为[0，1]，求ƒ（1−3x ）的定义
域;
（2） 若函数ƒ（x +3）的定义域为[−5，−2]，求F （x ）= ƒ(x +1)+
ƒ（x −1）的定义域。

（3） 已知函数y=ax−1
√ax 2+4ax+3
3
的定义域为R ，求实数a 的取值
范围。

（4） 求使函数y=x 2+ax−2x 2−x+1
的值域为（−∞，2）的a 的取值范围。

（5） 求函数y=
2x 2+4x−7x 2+2x+3
的值域。

函数的表示方法： 函数解析式的求解：
1、换元法和配凑法求函数的解析式
已知ƒ（
1+x x
）=
1+x 2x 2
+1x
,求()f x
2、待定系数法求函数的解析式
已知()f x 是一次函数，且ƒ（()f x ）=4x-1,求()f x
已知()f x 是二次函数，且满足ƒ（0）=1，ƒ（x+1）-ƒ
(x)=2x,求()f x
3、消元法求函数的解析式
已知()f x +2ƒ(-x)=x 2+2x,求()f x
已知2ƒ(1
x
)+ ()f x =x(x ≠0), 求()f x
4、赋值法求函数的解析式
对于任意实数x,y 都有ƒ(x+y)-2ƒ(y)=x 2
+2xy-y 2
+3x-3y ，求函数()f x 的解析式。