山东省青岛市2016届高三数学第一次模拟试题1

青岛市高三统一质量检测
数学(理科)
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上。

3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷(选择题 共50分)
一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知全集21log ,,1,2,162
U y y x x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，集合{}{}1,1,1,4A B =-=，则()U A C B
⋂= A. {}1,1- B. {}1- C. {}1 D. ∅
2.已知数据12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅（单位：公斤），其中12350,,,,,x x x x ⋅⋅⋅是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x ，中位数为y ，则12350,,,,,500x x x x ⋅⋅⋅这51个数据的平均数、中位数分别与x y 、比较，下列说法正确的是
A.平均数增大，中位数一定变大
B.平均数增大，中位数可能不变
C.平均数可能不变，中位数可能不变
D.平均数可能不变，中位数可能变小
3.设随机变量ξ服从正态分布()21N σ，，则函数()2=2f x x x ξ++不存在零点的概率为 A. 12 B. 23 C. 34 D. 45
4.已知a R ∈，则“1a <”是“2x x a -+>恒成立”的
A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.定义{}()2,1min ,min ,,a a b a b f x x b a b
x ≤⎧⎧⎫==⎨⎨⎬>⎩⎭⎩，设，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为 A. 712 B. 512 C. 1ln 23+ D. 1ln 26
+ 6.已知点12F F ，为双曲线()222210,0x y C a b a b
-=>>：的左，右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足21212,120PF F F F F P =∠=o ，则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 7.如图所示的程序框图，输出S 的值
为 A. 99223
- B. 100223
- C. 101223
- D. 102223
-
8.已知,x y R ∈，且满足34,2y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最
大值为
A.10
B.8
C.6
D.3 9.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为
A.1：2
B.1：8
C.1：6
D.1：3
10.已知抛物线24x y =，直线y k =（k 为常数）与抛物线交于A,B 两个
不同点，若在抛物线上存在一点P(不与A,B 重合)，满足0PA PB ⋅=uu r uu r ，
则实数k 的取值范围为
A. 2k ≥
B. 4k ≥
C. 02k <≤
D. 04k <≤
第II 卷（非选择题 共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.已知i 是虚数单位，,m n R ∈，且22m i ni +=-，则
m ni m ni
+-的共轭复数为_______；
12.在二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________（用数字作答）；
13.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<是偶函数，它的部点，
分图象如图所示.M 是函数()f x
图象上的
K ，L 是函数()f x 的图象与x 轴的交点，且KLM ∆为等腰直角三角形，则()f x =___________；
14.若0,0a b >>，则()21
a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值是___________； 15.定义在区间[]12,x x 上的函数()y f x =的图象为C ，M 是C 上任意一
点，O 为坐标原点，设向量()()()()()1122,,,,,OA x f x OB x f x OM x y ===uu r uu u r uuu r ，
且实数λ满足()121x x x λλ=+-，此时向量()1O N O A
O B λλ=+-uuu r uu r uu u r .若MN K ≤uuu r 恒成立，则称函数()y f x =在区间[]12,x x 上可在标准K 下线性
近似，其中K 是一个确定的实数.已知函数()22f x x x =-在区间[]1,2上可在标准K 下线性近似，那么K 的最小值是________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16. （本小题满分12分）
已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（,x R ω∈为常数且112
ω<<），函数()f x 的图象关于直线x π=对称.
（I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若31
1,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值.
17. （本小题满分12分）
为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1
；1小时以上且不超过2小时离开的概率小时离开的概率分别为11,
46
分别为12,
；两人滑雪时间都不会超过3小时.
23
（I）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（II）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()
Eξ.
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD
-中，PA⊥平面
ABCD，AC AD AB BC
⊥⊥
，，
o，E为PA的
∠====
45,2
BCA AP AD AC
中点.
（I ）设面PAB ⋂面PCD l =，求证：//CD l ；
（II ）求二面角B CE D --的余弦值.
19. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的公差d=2，其前n 项和为n S ，数列{}n a 的首项12b =，
其前n 项和为n T ，满足)122,n T n N *=+∈.
（I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（II ）求数列{}14n n a b -的前n 项和n W .
20. （本小题满分13分） 已知椭圆22:184
x y E +=，A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，动点M 在射线)
:0l x y =>上运动，MA 交椭圆E 于点P ，MB 交椭圆E 于点Q.
（I ）若MAB ∆垂心的纵坐标为-，求点P 的坐标；
（II ）试问：直线PQ 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
21. （本小题满分14分） 已知函数()sin f x x ax =-. （I ）对于()()0,1,0x f x ∈>恒成立，求实数a 的取值范围； （II ）当1a =时，令()()sin ln 1h x f x x x =-++，求()h x 的最大值； （III ）求证：()()1
111ln 11231n n N n n
*+<+++⋅⋅⋅++∈-.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。

山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。

薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。

东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。

莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。